Tema 8:Cuerpos geométricos

Matemáticas Específicas para Maestros

1º Grado en Educación Primaria

ÍNDICE

DefinicionesTeoremas y fórmulas para el cálculo de

área y volumen

Cuerpos geométricos• Poliedros.

Elementos.Clasificaciones:o Poliedros cóncavos y convexos.o Poliedros regulares e irregulares.

PrismasElementos. Clasificaciones. PirámidesElementos. Clasificaciones

• Cuerpos/sólidos de revolución Cilindro. Elementos. Clasificación. Cono. Elementos. Clasificación. Esfera. Elementos.

• Teorema de Euler

• Área total de poliedros regulares

• Área lateral y total y volumen de prismas

• Área lateral y total y volumen de pirámides

• Área total y volumen de cilindro, cono y esfera• Relación entre el volumen de una esfera, un

cilindro y un cono2

¿Qué es un cuerpo geométrico?

Definición: un cuerpo geométrico es una porción del espacio cerrada o limitada por superficies.

En este tema nos centraremos en dos tipos: poliedros y cuerpos de revolución.

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Poliedros

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Definición: un poliedro es la región del espacio limitada por polígonos.

Poliedro: definición

De la definición se deduce que las caras de un poliedro son planas, luego ningún poliedro puede tener ninguna superficie curva 5

Caras: son los polígonos que delimitan el poliedro.

Aristas: son los segmentos intersección de cada dos caras. Es decir, los lados de las caras del poliedro.

Vértices: son los puntos donde concurren tres o más aristas. Es decir, son los vértices de las caras del poliedro.

Poliedro: elementos

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Diagonales: son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

Ángulos diedros: los obtenidos al cortarse dos caras, tienen una arista en común.

Ángulos poliédricos: los obtenidos al cortarse tres o más caras del poliedro, tienen un vértice común.

Poliedro: elementos

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Poliedros: clasificación

Hay varias formas de clasificar los poliedros:

• Según sean cóncavos o convexos

• Según la igualdad de sus caras: regulares o irregulares

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Poliedro convexo: cuyas diagonales son internas.Equivalentemente:• El poliedro en el que una recta solo puede cortar a su superficie en

dos puntos.• El poliedro en el que ninguna cara corta al poliedro al prolongarla.

Poliedro cóncavo: es aquel no convexo. Es decir, que tiene al menosuna diagonal externa.Equivalentemente:• El poliedro en el que una recta puede cortar a su superficie en tres

puntos o más.• El poliedro que tiene al menos una cara que al prolongarla corta al

poliedro.

Poliedros cóncavos y convexos

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Poliedros cóncavos y convexos

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Convexo Cóncavo

Teorema de EulerFórmula de Euler para poliedros convexos:

Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2

¿Cuáles de los siguientes poliedros son cóncavos y cuáles convexos?¿Cumplen todos la fórmula de Euler?

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Poliedro regular: es aquel cuyas caras son polígonosregulares y congruentes entre sí (es decir, de lados yángulos iguales).

Poliedro irregular: es aquel no regular.

Poliedros regulares o irregulares

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Poliedros regulares

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Solo existen 5 poliedros regulares, también llamados sólidos platónicos:

https://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_plat%C3%B3nicos 15

Tetraedro

• Su superficie está formada por 4 triángulos equiláteros

• Tiene 4 vértices y 6 aristas

• Desarrollo plano:

• Área = 4 x Áreatriángulo

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Hexaedro

• Su superficie está formada por 6 cuadrados

• Tiene 8 vértices y 12 aristas

• Desarrollo plano:

• Área = 6 x Áreacuadrado

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Octaedro

• Su superficie está formada por 8 triángulos equiláteros

• Tiene 6 vértices y 12 aristas

• Desarrollo plano:

• Área = 8 x Áreatriángulo

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Dodecaedro

• Su superficie está formada por 12 pentágonos regulares

• Tiene 20 vértices y 30 aristas

Desarrollo plano

Área = 12 x Áreapentágono

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Icosaedro

• Su superficie está formada por 20 triángulos equiláteros

• Tiene 12 vértices y 30 aristas

Desarrollo plano:

Área = 20 x Áreatriángulo20

Prismas

(un tipo particular de poliedro)

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Prisma: definición

Un prisma es un poliedro que tiene dos caras paralelas e iguales (llamadas bases) y el resto de sus caras, (llamadas laterales) son paralelogramos.

Elementos:

• Altura: distancia entre las bases

• Arista básica: arista de las bases

• Arista lateral: arista de las caras laterales

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Prismas: clasificación

Hay varias formas de clasificar los prismas:

• Según sus caras laterales sean rectángulos o no (rectos u oblicuos)

• Según sus bases sean:• Polígonos regulares o no (regulares o irregulares)

• Triángulos, cuadrados, pentágonos… (triangular, cuadrangular, pentagonal…)

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Prismas: rectos u oblicuos

•Prisma recto: sus caras laterales son rectángulos

•Prisma oblicuo: sus caras laterales no son rectángulos

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Prismas: regulares o irregulares

•Prisma regular: sus bases son polígonos regulares

•Prisma irregular: sus bases son polígonos irregulares

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Prismas: triangulares, cuadrangulares, pentagonales…Reciben su nombre del tipo de polígono que tienen de base.

Los prismas cuyas bases son paralelogramos se llaman paralelepípedos

Prisma triangular Prisma cuadrangular Prisma pentagonal

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Prismas: área y volumen

Área lateral de un prisma recto

AL=perímetro de la base x h

Área total de un prisma recto

AT=AL +2AB

Volumen de cualquier prisma

V=AB x h

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Pirámides(un tipo particular de poliedro)

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Pirámide: definición

Una pirámide es un poliedro con una sola base poligonal y caras laterales que son triángulos con un vértice común, el vértice de la pirámide.

Elementos:

• Altura: distancia entre la base y el vértice

• Apotema: altura de una cara

• Arista básica: arista de la base

• Arista lateral: arista que concurre en el vértice29

Pirámides: clasificación

Al igual que pasaba con los prismas, hay varias formas de clasificar las pirámides:

• Según sus caras laterales sean triángulos isósceles o no (rectas u oblicuas)

• Según sus bases sean:• Polígonos regulares o no (regulares o irregulares)

• Triángulos, cuadrados, pentágonos… (triangular, cuadrangular, pentagonal…)

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Pirámides: rectas u oblicuas• Pirámide recta: sus caras laterales son triángulos isósceles, es

decir, la línea que une el vértice con el centro del polígono de la base coincide con la altura de la pirámide

• Pirámide oblicua: no es recta

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Pirámides: regulares o irregulares

•Pirámide regular: su base es un polígono regular

•Pirámide irregular: su base es un polígono irregular

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Pirámides: triangulares, cuadrangulares, pentagonales…Reciben su nombre del tipo de polígono que tienen de base.

Pirámide triangular Pirámide cuadrangular Pirámide pentagonal

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Pirámides: área y volumenÁrea lateral de una pirámide recta

AL= 1

2perímetro base x ap. cara lateral

Área total de una pirámide recta

AT=AL +AB

Volumen de cualquier pirámide

V(pirámide)=1

3V(prisma)=

1

3AB x h

https://www.youtube.com/watch?v=qXC8uzy_HFw

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Cuerpos/sólidos de revolución

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Cuerpos/sólidos de revoluciónLlamamos cuerpo o sólido de revolución al cuerpo geométricoobtenido al rotar una región del plano alrededor de una rectaubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicharecta se denomina eje de revolución.

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Cilindro recto

Llamamos cilindro recto al cuerpo geométrico que se obtiene algirar un rectángulo alrededor de un eje paralelo a él.

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Cilindros: área y volumen• Área lateral

𝐴𝐿 = 2 𝜋𝑟 ℎ

• Área total

𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 2𝐴𝐵 = 2 𝜋𝑟 ℎ + 2𝜋𝑟2

𝐴𝑇 = 2 𝜋𝑟 (𝑟 + ℎ)

• Volumen𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ

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Cono rectoLlamamos cono recto al cuerpo geométrico que se obtiene algirar un triángulo rectángulo alrededor de uno de suscatetos.

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Cumple: ℎ2 + 𝑟2 = 𝑔2

Conos: área y volumen

• Área lateral

𝐴𝐿 =2𝜋 𝑟

2 𝜋 𝑔𝜋𝑔2 = 𝜋𝑟 𝑔

• Área total

𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 𝐴𝐵 = 𝜋𝑟𝑔 + 𝜋𝑟2

𝐴𝑇 = 𝜋𝑟 (𝑔 + 𝑟)

• Volumen

𝑉 𝑐𝑜𝑛𝑜 =1

3𝑉(𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜) =

1

3𝜋𝑟2ℎ

40https://www.youtube.com/watch?v=RZkhnIzBC_k (min 0-1:15)

Esfera

Llamamos esfera de radio r alconjunto de los puntos delespacio que están a unadistancia menor o igual que rde otro punto llamado centro.

La esfera es también un cuerpode revolución que se obtiene algirar medio círculo alrededorde uno de sus diámetros.

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Esferas: volumen

𝑉 =4

3𝜋𝑟3

42

“Demostración”: Arquímedes probó:

V(esfera)=2

3V(cilindro)

https://www.youtube.com/watch?v=RZkhnIzBC_k (1:15-2:00)

Por tanto, V(esfera)=2

3𝜋𝑟2ℎ =

2

3𝜋𝑟22𝑟 =

4

3𝜋𝑟3

Relación entre los volúmenes de cilindro, esfera y cono

Comprobación usando las relaciones ya vistas:

V(cono)+V(esfera)=1

3V(cilindro)+

2

3V(cilindro)=V(cilindro)

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https://www.youtube.com/watch?v=RZkhnIzBC_k (min 2-2:30)

Comprobación usando las fórmulas ya vistas:

V(cono)+V(esfera) =1

3𝜋𝑟2ℎ +

4

3𝜋𝑟3 =

1

3𝜋𝑟2 2𝑟 +

4

3𝜋𝑟3 = 2𝜋𝑟3

V(cilindro)=𝜋𝑟2ℎ = 𝜋𝑟2(2𝑟) = 2𝜋𝑟3

Esferas: área

𝐴 = 4𝜋𝑟2

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“Demostración”:

𝑉 =1

3𝑟𝐴𝐿

https://www.youtube.com/watch?v=eg8VO2I_2Gs

4

3𝜋𝑟3 =

1

3𝑟𝐴𝐿 𝐴𝐿 = 4𝜋𝑟2