Tema 8

La tecnología

2

Conducta de la empresa

• Empezamos a estudiar el comportamiento de la empresa

• En este tema nos centramos en las restricciones tecnológicas de la empresa

• Es decir, cómo usa la empresa factores de producción (inputs) para producir (output)

• El análisis es parecido el del consumidor

3

Tecnología• Una tecnología es un proceso por el

cual los factores de producción (o inputs) son convertidos en producto (o output)

• Por ejemplo, para producir estas transparencias necesitamos trabajo, un ordenador, electricidad y software

4

Tecnologias

• Los factores de producción se agrupan en categorías: tierra, trabajo, capital y materias primas

• Los bienes de capital son factores producidos a partir de otros factores: edificios, maquinaria y demás equipo

• Distinguimos capital físico del capital financiero

5

Conjunto de producción

• No todas las combinaciones de factores permiten obtener una cantidad dada de producción

• El conjunto de producción describe todas las combinaciones de factores y productos factibles

• Nos dice qué combinaciones son factibles y cuáles no

6

1 factor / 1 producto

x’ xCantidad de factor

Producción

y’

y”

Conjunto deproducción

7

1 factor / 1 producto

x’ xCantidad de factor

Producción

y’

y”

Conjunto deproducciónPlanes

técnicamenteineficientes

Planestécnicamenteeficientes

8

Función de Producción

• La frontera del conjunto de producción nos dice cuál es la cantidad máxima que se puede producir con una cantidad dada de factores

• La función que determina esa frontera es la función de producción

• La escribimos y = f(x)

• Ejemplos: y = 10x; y = x1/2; y = log(x)

9

Función de Producción

y = f(x) es lafunción de

producción.

x’ xCantidad de factor

Producción

y’y’ = f(x’) es la cantidadmáxima que se puedeproducir usando x’ unidades de factor

10

Varios factores• El concepto de función de producción se

puede extender al caso de más de un factor

• Ahora y = f(x1, x2) es la cantidad máxima de

producto cuando se usan las cantidades x1

y x2 de los factores

• Ejemplos: y = 10x1+5x2; y = x1x2; y =

min{x1,x2}

11

Isocuantas

• Con dos factores, las isocuantas representan las combinaciones de factores con las que se puede producir y

• Juegan un papel similar al de las curvas de indiferencia en la teoría del consumidor

• Diferencia: no solo información ordinal

• Las isocuantas muestran la flexibilidad de las empresas para sustituir un factor por otro

12

Ejemplo de isocuantas

Trabajo por año

1

2

3

4

1 2 3 4 5

5

Q1 = 55

A

D

B

Q2 = 75

Q3 = 90

C

ECapitalpor año

13

Ejemplo: proporciones fijas

• Para cavar hoyos tenemos que utilizar hombres y palas. Si tenemos tres hombres y tres palas, ¿producimos más con una cuarta pala?

• El número de hoyos viene determinado por el mínimo entre el número de trabajadores y el número de palas:

y = min{x1,x2}

14

Proporciones fijasx2

x1

min{x1,x2} = 14

4 8 14

4

8

14

min{x1,x2} = 8

min{x1,x2} = 4

x1 = x2

15

Ejemplo: sustitutos perfectos

• Los factores se pueden intercambiar entre sí a una tasa constante

• Decimos que los factores son sustitutos perfectos

• Ejemplos: y = x1+x2; podemos sustituir x1 y x2 a la tasa 1:1

• En el caso y = x1+3x2, podemos sustituir 3 unidades de x1 por 1 de x2

16

Sustitutos perfectos

9

3

18

6

24

8

x1

x2

x1 + 3x2 = 9

x1 + 3x2 = 18

x1 + 3x2 = 24

Las isocuantas son rectasparalelas

17

Tecnología Cobb-Douglas

• La función de producción Cobb-Douglas tiene forma: y = A x1

ax2b

• El parámetro A mide la escala de producción (lo que producimos usando una unidad de cada factor)

• Los parámetros a y b miden el efecto en la producción de cambiar la cantidad de los factores

18

x2

x1

Las isocuantas son hiperbólicas,convergen asintóticamente a losejes, sin llegar a tocarlos

Tecnología Cobb-Douglas

y=24

1 2 3

12

6

4

19

Propiedades de la tecnologia

• Monotonía: si usamos una cantidad mayor de ambos factores, debe ser posible obtener al menos el mismo volumen de producción

• Convexidad: si dos combinaciones distintas de factores permiten producir una cantidad y, una media ponderada de ambas permitirá producir al menos y

20

Convexidad

x2

x1

x2'

x1'

x2"

x1"

y

21

Convexidad

x2

x1

x2'

x1'

x2"

x1"

tx t x tx t x1 1 2 21 1' " ' "( ) , ( )

y

22

Convexidad

x2

x1

x2'

x1'

x2"

x1"

tx t x tx t x1 1 2 21 1' " ' "( ) , ( )

yy

23

Producto Marginal

• Supongamos que estamos usando una combinación de factores (x1,x2) con la que producimos y

• Queremos saber cuánto aumenta la producción de y por cada unidad que aumentamos de x1, manteniendo constante la cantidad de x2

• Esto es lo que mide el producto marginal

24

Producto Marginal

• Matemáticamente:

• La productividad marginal del factor 1 es PM1(x1,x2) y la del factor 2 es PM2(x1,x2)

• Si la función de producción es diferenciable:

1

21211

1

),(),(

x

xxfxxxf

x

y

11 x

yPM

25

Producto Marginal

• Si y = 10x1+5x2, podemos calcular que PM1

= 10 y PM2 = 5 (es constante)• Si y = x1x2, tenemos PM1 = x2 y PM2 = x1

• Si y = A x1ax2

b (Cobb-Douglas), calculamos que PM1 = A a x1

a-1x2b y que PM2 = A b

x1ax2

b-1

• En los dos últimos casos, el producto marginal depende de las cantidades de factores usadas

26

Relación técnica de sustitución

• Estamos usando las cantidades de factores (x1,x2) para producir y

• Si reducimos en una unidad la cantidad del factor x1, ¿cuánto tenemos que aumentar la cantidad del factor x2 para poder seguir produciendo y?

• Esto lo mide la pendiente de la isocuanta y se llama relación técnica de sustitución (RTS)

27

• Para obtener la fórmula hacemos: Δy = PM1(x1,x2)Δx1 +PM2(x1,x2)Δx2 = 0

• De ahí obtenemos: RTS(x1,x2) = Δx2 / Δx1 =

= - PM1(x1,x2) / PM2(x1,x2)

• Vemos que la RTS es igual al cociente de los productos marginales

Relación técnica de sustitución

28

Relación técnica de sustitución

x2

x1

y

La pendiente indica a qué tasa hay que reducir el factor 2 a medida que el factor 1 aumenta manteniendo constante el nivel de output . La pendiente de una isocuanta es la RTSx2

'

x1'

29

Relación técnica de sustitución

1

2

3

4

1 2 3 4 5

5 Las isocuantas tienenpendiente negativa yen este caso son convexas1

1

1

1

2

1

2/3

1/3

Q1 =55

Q2 =75

Q3 =90

Trabajo al mes

Capitalal mes

30

Sustitutivos Perfectos

Trabajoal mes

Capitalal mes

Q1 Q2 Q3

A

B

C

31

• Cuando los factores son sustitutos perfectos la RTS es constante en todos los puntos de una isocuanta

• Como los productos marginales son constantes, la RTS también será constante ya que es el cociente entre ambos

Sustitutivos Perfectos

32

Proporciones Fijas

Trabajoal mes

Capitalal mes

L1

K1Q1

Q2

Q3

A

B

C

33

• Cuando los factores son de proporciones fijas no se puede sustituir un factor por otro

• En el ejemplo de cavar hoyos, no se pueden sustituir palas por trabajadores (o al revés)

• Para aumentar la producción hay que aumentar las cantidades de ambos factores

Proporciones Fijas

34

Relación técnica de sustitución

• Calculamos la RTS para el caso Cobb-Douglas, y = A x1

ax2b

• Tenemos que:RTS = - PM1(x1,x2) / PM2(x1,x2)

= - A a x1a-1x2

b / A b x1ax2

b-1

= - a x2 / b x1

35

Producto marginal decreciente

• Si aumentamos la cantidad de un factor, dejando fijas las cantidades de los demás factores, en general la producción aumentará

• Pero el aumento de la producción se producirá normalmente a una tasa decreciente

• Hablamos de la ley del producto marginal decreciente

36

Producto marginal decreciente

• Ejemplo: supongamos que tenemos un terreno de 1 Ha y tenemos un trabajador. La producción es de 100 quintales de maíz

• Si añadimos un segundo trabajador, la producción aumentará

• Ahora imaginemos que seguimos aumentando el número de trabajadores (manteniendo fijo el tamaño de la finca)

37

Producto marginal decreciente

• Cada trabajador adicional hace que aumente la producción, pero estos aumentos son cada vez menores

• Incluso a partir de cierto punto, la producción podría disminuir

• Crucial: estamos manteniendo fija la cantidad de tierra

38

La RTS decreciente

• También supondremos que, en general, la RTS es decreciente

• Esto quiere decir que, a medida que aumentamos la cantidad del factor 1 y reducimos la del 2 para mantener constante la producción, la RTS disminuye

• Por lo tanto, la pendiente de la isocuanta disminuye en valor absoluto cuando aumentamos el factor 1 (o el 2)

39

La RTS decreciente

x2

x1

x2'

x1'

x2"

x1"

A medida que x1 aumenta,la pendiente de la isocuanta(la RTS) decrece en valor absoluto

40

• Vamos a distinguir entre planes de producción viables de forma inmediata y planes viables a largo plazo

• Cuando hablamos de corto plazo, nos referimos a un periodo de tiempo en el que algunos factores son fijos

• En el ejemplo de arriba, las dimensiones de la finca eran fijas a corto plazo

Largo plazo y corto plazo

41

• A largo plazo puede comprar más tierra, por lo que la cantidad de ese factor no es fija

• La distinción es que a largo plazo, las cantidades de todos los factores son variables

• A corto plazo, algunos factores son fijos. No se puede cambiar la cantidad

Largo plazo y corto plazo

42

Los rendimientos de escala

• Los productos marginales miden el aumento de producción a medida que se incrementa el nivel de un único factor (los demás permanecen constantes)

• Los rendimientos de escala miden cómo aumenta la producción cuando todos los factores aumentan a la misma tasa

43

Los rendimientos de escala

• Por ejemplo, supongamos que duplicamos las cantidades de factores, ¿qué efecto tiene esto en la producción?

• Si la producción también se dobla, hablamos de rendimientos constantes de escala

• Es decir: f(2x1, 2x2) = 2 × f(x1, x2)

44

Rendimientos constantes

• En general, si hay rendimientos constantes:

f(tx1, tx2) = t × f(x1, x2)

• Esto ocurriría si, por ejemplo, una empresa hace una réplica exacta de lo que hacía inicialmente

• Puede construir dos plantas idénticas y duplicar exactamente la producción

45

Rendimientos constantes

• ¿Puede tener una tecnología rendimientos constantes aunque todos sus productos marginales sean decrecientes?

• Sí. Ahora aumentamos todos los factores, mientras que cuando hablamos de PM, aumentamos la cantidad de un único factor

46

Rendimientos crecientes

• Ahora imaginemos que, al multiplicar todos los factores por t, el producto aumenta más que t veces:

f(tx1, tx2) > t × f(x1, x2)

• Hablamos de rendimientos crecientes de escala

• Un aumento en la escala de las operaciones hace que los factores sean más productivos

47

Rendimientos decrecientes

• Al multiplicar todos los factores por t, el producto aumenta menos que t veces:

f(tx1, tx2) < t × f(x1, x2)

• Hablamos de rendimientos decrecientes de escala

• Un aumento en la escala de las operaciones hace que los factores sean menos productivos

48

Ejemplo: sustitutos perfectos• Tecnología de sustitutos perfectos:

f(x1,x2) = ax1+bx2

• Si multiplicamos todos los factores por t:

f(tx1,tx2) = atx1+btx2

= t(ax1+bx2) = t × f(x1,x2)

• Hay rendimientos constantes a escala

49

Ejemplo: complementarios• Tecnología de complementos perfectos:

f(x1,x2) = min{ax1,bx2}

• Multiplicando los 2 factores por t:

f(tx1,tx2) = min{atx1,btx2}

= t × min{ax1,bx2} = t × f(x1,x2)

• También rendimientos constantes

50

Ejemplo: Cobb-Douglas• Tecnología Cobb-Douglas:

f(x1,x2) = A x1ax2

b

• Multiplicando los 2 factores por t:f(tx1,tx2) = A (tx1)a(tx2)b

= ta+b A x1ax2

b = ta+b f(x1,x2)

• El resultado depende de cuál es el valor del término a+b

51

Ejemplo: Cobb-Douglas

• Si a+b = 1, hay rendimientos constantes de escala

• Si a+b > 1, hay rendimientos crecientes

• Si a+b < 1, hay rendimientos decrecientes