Tema 9 La minimización de los costes. 2 Introducción Nuestro supuesto básico es que las empresas...
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Tema 9
La minimización de los costes
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2
Introducción• Nuestro supuesto básico es que las
empresas quieren obtener el máximo beneficio posible
• En este capítulo estudiamos cuál es la forma de producir una cantidad dada con el mínimo coste posible
• Más adelante, la empresa decidirá el nivel de producción que maximiza el beneficio
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Minimización de costes
• Una empresa usa los factores x1 y x2, cuyos precios son w1 y w2
• Si quiere producir y, ¿cuál es la forma más barata de hacerlo?
• Para resolver este problema necesitamos la función de producción del capítulo anterior
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Minimización de costes
• La empresa escogerá la combinación (x1,x2) que resuelve:
min w1x1+w2x2
sujeto a f (x1,x2) = y
• La solución dependerá de w1, w2 e y
• La escribimos c(w1,w2,y) y la llamamos función de costes
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Rectas isocoste
• La recta que representa todas las combinaciones de factores cuyo coste es el mismo es la recta isocoste
• Por ejemplo, para w1 y w2, la recta isocoste asociada a un coste de 100 es la que cumple:
w1x1+w2x2 = 100
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Rectas isocoste
• En general, para w1 y w2, la recta isocoste asociada a un coste C es:
w1x1+w2x2 = C
• Despejando x2: x2 = (C/w2)-(w1/w2)x1
• La pendiente es -(w1/w2)
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Rectas isocoste
c’ w1x1+w2x2
c” w1x1+w2x2
c’ < c”
x1
x2
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Rectas isocoste
c’ w1x1+w2x2
c” w1x1+w2x2
c’ < c”
x1
x2 Pendiente= -w1/w2
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Isocuantas
x1
x2 Todas las combinaciones de factoresque producen y’ unidades
f(x1,x2) y’
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Minimización de costes
x1
x2
f(x1,x2) y’
¿Cuál es la más barata?
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Minimización de costes
x1
x2
f(x1,x2) y’
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Minimización de costes
x1
x2
f(x1,x2) y’
x1*
x2*
La situada en la recta isocoste más baja posible
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Minimización de costes
x1
x2
x1*
x2*
Cumple dos condiciones:(1) Tangencia: Pendiente isocuanta =Pendiente isocoste
2
1
2
1*2
*1 ),(
w
w
PM
PMxxRTS
(2) Pertenece isocuanta
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Demandas condicionadas
• Las cantidades óptimas elegidas de los diferentes factores dependen de los valores particulares de w1, w2 e y
• La solución óptima la escribimos como x1(w1,w2,y) y x2(w1,w2,y)
• Estas son las demandas condicionadas de factores
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Ejemplo: Complementarios
• La función de producción es: f(x1,x2) = min{x1,x2}
• Los precios de los factores son w1 y w2. ¿Cuál es la forma más barata de producir y?
• ¿Cuáles son las funciones de demanda condicionadas?
• ¿Cuál es la función de costes?
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Ejemplo: Complementarios
x1
x2
min{x1,x2} y
x1 = x2
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Ejemplo: Complementarios
x1
x2
min{x1,x2} y
¿Qué combinación minimiza el coste totalde producir y?
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Ejemplo: Complementarios
x1
x2
x1* = y
x2* = y
x1 = x2
min{x1,x2} y
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Ejemplo: Complementarios
• La forma más barata de producir y es usando y unidades de x1 e y unidades de x2
• Por lo tanto, la función de costes es: c(w1,w2,y) = w1x1+w2x2 =
= (w1+w2)y
• Las demandas condicionadas son x1(w1,w2,y) = y, x2(w1,w2,y) = y
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Ejemplo: Sustitutos
• La función de producción es: f(x1,x2) = x1+x2
• Como x1 y x2 son sustitutos perfectos, la empresa utilizará sólo el más barato
• El coste será el menor entre w1y e w2y
• La función de costes es: c(w1,w2,y) = min{w1y,w2y} =
= min{w1,w2}y
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Ejemplo: Cobb-Douglas
• La función de producción es (hacemos A = 1 para simplificar):
f(x1,x2) = x1ax2
b
• Usamos la condición de tangencia:-PM1/PM2 = -w1/w2
• Sabíamos ya que: -PM1/PM2 = - a x2 / b x1
• Además y = x1ax2
b
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Ejemplo: Cobb-Douglas
• Despejando, obtenemos:
• La demanda de x2 es similar
• Finalmente, la función de costes es:
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Rendimientos de escala y costes
• En el caso de rendimientos constantes, supongamos que hemos resuelto el problema de minimización de costes para producir una unidad
• El coste resultante es c(w1,w2,1)
• El coste mínimo para producir y unidades será c(w1,w2,y) = c(w1,w2,1) y
• ¿Por qué?
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Rendimientos de escala y costes
• Con rendimientos crecientes, si queremos producir el doble, necesitamos menos del doble de factores
• Esto significa que los costes aumentan menos del doble
• La función de costes aumenta menos que proporcionalmente en relación con y
• Usamos el coste medio
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Coste medio
• La función de coste medio nos dice cuál es el coste por unidad cuando producimos y unidades:
CMe(y) = c(w1,w2,y) / y
• Con rendimientos constantes: CMe(y) = c(w1,w2,1)y / y =
= c(w1,w2,1)
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Coste medio
• Con rendimientos crecientes, los costes aumentan menos que proporcionalmente con la producción
• Por lo tanto, los costes medios son decrecientes con y
• Por el contrario, con rendimientos decrecientes, los costes medios son crecientes
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Costes a largo y corto plazo
• A largo plazo una empresa puede variar las cantidades de todos los factores
• A corto plazo hay algún factor cuya cantidad no podemos cambiar
• La función de costes a corto plazo nos dice cuál es el coste mínimo de producción, ajustando sólo los factores variables
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Costes a largo y corto plazo
• La función de costes a largo plazo nos dice cuál es el coste mínimo de producción, cuando podemos ajustar todos los factores
• Supongamos que, a corto plazo, la cantidad del segundo factor es fija, en concreto x2 = x2
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Costes a largo y corto plazo
• La función de costes a corto plazo es la solución de:
min w1x1+w2x2
sujeto a f(x1, x2) = y
• La llamamos cCP(y, x2). En general el coste mínimo dependerá de x2
• También podríamos definir las demandas a corto plazo de los factores
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Costes a largo y corto plazo
• Las demandas serían: x1 =x1CP(w1,w2, x2,y)
y x2 = x2
• Usando la función de costes a corto plazo, se debe cumplir:
cCP(y, x2) = w1 x1CP(w1,w2, x2,y) +w2x2
• Por otro lado, la función de costes a largo plazo, sale del problema de minimización del comienzo del tema
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Costes a largo y corto plazo
• Ya no tenemos la restricción x2 = x2. Podemos elegir también la cantidad de x2
• Las demandas de factores a largo plazo son x1(w1,w2,y) y x2(w1,w2,y)
• La función de costes a largo plazo es: c(y) = w1 x1(w1,w2,y)+w2 x2(w1,w2,y)
• Vamos a ver la relación que hay entre costes a corto y a largo plazo
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Costes a largo y corto plazo
• Suponemos que los precios de los factores son fijos (nos olvidamos de ellos por ahora)
• Las demandas de factores a largo plazo son x1(y) y x2(y)
• La función de costes a largo plazo cumple: c(y) = cCP(y, x2(y))
• ¿Qué significa esto?
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Costes a largo y corto plazo
• Que el coste mínimo a largo plazo de producir y coincide con el coste mínimo a corto plazo cuando el factor 2 es fijo, pero su valor coincide con el nivel que minimiza los costes a largo plazo
• Por lo tanto, la demanda a largo plazo del factor 1 cumple:
x1(w1,w2,y) = x1CP(w1,w2, x2(y),y)
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Costes a largo y corto plazo
• De nuevo, esto quiere decir que la cantidad del factor 1 (factor variable) que minimiza los costes a largo plazo es la misma que la empresa elegiría, a corto plazo, si la cantidad del factor 2 (factor fijo) fuese igual que la que minimiza los costes a largo plazo