Tema III

Interpolación lineal.

Ing. Gilma Tablada Martínez Página 13

Universidad TÉCNICA

de BABAHOYO.

Métodos Numéricos.

Tema III. Interpolación.

Gilma Tablada Martínez.

Ingeniera en Matemática.

𝑥0 𝑥1 𝑥2

𝑓(𝑥)

𝑝(𝑥)



2.2.2. INTERPOLACIÓN PARA NODOS EQUIDISTANTES. A pesar de que el polinomio de Lagrange puede usarse para nodos equidistantes y no equidistantes tiene algunas desventajas. Ellas son:

Los cálculos para obtener el polinomio de Lagrange son grandes. La evaluación en el polinomio para un cierto valor requiere de la misma

cantidad de cálculos. Al variar la cantidad de nodos de interpolación los cálculos realizados se

pierden. Se dificulta valorar el error cometido al interpolar la función.

Otros métodos de interpolación de Newton salvan estas dificultades.

2.2.2.1. DIFERENCIAS FINITAS PARA NODOS EQUIDISTANTES. Para usar la interpolación de Newton debemos partir de una tabla de diferencias finitas divididas, que ofrecen ventajas y desventajas para tal cálculo.

Las diferencias pueden ser:

Progresivas o hacia delante. Regresivas o hacia atrás.

Ventajas de las diferencias finitas: Permite la incorporación de nuevos puntos a la interpolación. Permite eliminar puntos en caso de necesidad. Permiten escoger el grado conveniente del polinomio de interpolación. Permiten detectar errores en el procedimiento de cálculo y corregirlos. Observando el comportamiento de los datos en la tabla podemos detectar si

faltan o sobran datos y si algunos son erróneos.

Desventajas de las diferencias finitas: Se requiere para usar este polinomio que los nodos x0, x1, x2, . . . ., xn sean

equidistantes.

Para n puntos se tendrán n diferencias y el orden de la mayor es n-1. Las diferencias de orden cero coinciden con los valores .

Cada diferencia se obtiene como combinación de los valores más cercanos en la columna anterior.

A medida que aumenta el orden de la diferencia, disminuye una diferencia.

Hay n diferencias de orden cero, que coinciden con las yi

Hay n -1 diferencias de orden 1.

Hay n-2 diferencias de orden 2, y así sucesivamente,

Hay 1 diferencia de orden n

Las diferencias finitas de manera general se representan a través del símbolo , que se lee “delta” e indica variación.



Dado un conjunto de puntos x0, x1, x2, . . . ., xn y una función f(x) definida para ellos, o sea, existen y0, y1, y2, . . . .. , yn , tal que, yi = f(xi) y además xi+1 - xi =h para i = 0, 1, 2, . . , n, es decir, los puntos son equidistantes; las diferencias de los valores yi se denotan por ∆yi y se tiene que:

0 =

yi = yi+1 - yi para i = 0, 1, 2, . . , n. Primeras diferencias.

2 ( ) = yi+1 - yi Segundas diferencias.

= ( yi+2 - yi+1) – ( yi+1 - yi ) = yi+2 - 2yi+1 + ;

y así sucesivamente se pueden calcular las diferencias de orden n.

De manera general las diferencias n-ésimas se calculan así:

1 1

1 n - ésima diferencia.

En la práctica esta fórmula sólo se usa para calcular una determinada diferencia sin necesidad de calcular las anteriores.

Veremos en clases que las diferencias pueden ser colocadas en la tabla de diferentes formas. Es importante poder identificarlas y usarlas adecuadamente.

Las diferencias se representan en una tabla de la siguiente manera:

El valor de una diferencia cualquiera se puede obtener mediante la siguiente expresión en función de los coeficientes binomiales:

= ∑ ( ) ( )

0

donde :

( )

( ) es el coeficiente binomial para todo i = 0, 1, 2, . . , m.

4 2 = 24 ∑ ( ) (4

) 4 2

4 0

( ) (40) 4 0 2 + ( ) (4

1) 4 1 2 + ( ) (4

2) 4 2 2+ ( ) (4

3) 4 3 2+ ( )

(44) 4 2 4

i xi yi yi 2 3 . . . . . .

0 x0 y0

y0

1 x1 y1 2 0

y1 3 0

2 x2 y2 2 1

. . . .

0

n-2 xn-2 yn-2 2yn-3

yn-2 3yn-3

n-1 xn-1 yn-1 2yn-2

yn-1

n xn yn



(40) 6 (4

1) 5 + (4

2) 4 (4

3) 3 (4

4) 6

6 5 + 4 3 6

Depende de los valores de las variables yi para obtener los valores de la diferencia indicada.

2.2.2.2. POLINOMIO PROGRESIVO DE NEWTON.

El polinomio progresivo de Newton se define en función de las diferencias finitas progresivas de orden 0.

Diferencias finitas progresivas.

Las diferencias finitas progresivas se representan a través del símbolo y se calculan y representan de la misma manera que las vistas anteriormente.

Dado un conjunto de puntos x0, x1, x2, . . . ., xn y una función f(x) definida para ellos, o sea, existen y0, y1, y2, . . . .. , yn , tal que, yi = f(xi) y además xi+1 - xi =h para i = 0, 1, 2, . . , n, es decir, los puntos son equidistantes; las diferencias de los valores yi se denotan por ∆yi y se tiene que para i = 0, 1, 2, . . , n:

0 = Diferencias de orden cero.

∆yi = yi+1 - yi Diferencias de orden 1.

2 ( ) = ∆yi+1 - ∆yi Diferencias de orden 2.

= (∆yi+2 - ∆yi+1) – (∆yi+1 - ∆yi )

= yi+2 - 2yi+1 + ; y así sucesivamente se pueden calcular las diferencias de orden n que de manera general se calculan así:

1 1

1 N - ésimas diferencias.

El valor de una diferencia cualquiera se puede obtener mediante la siguiente expresión en función de los coeficientes binomiales:

= ∑ ( ) ( )

0 donde:

( )

( ) es el coeficiente binomial para todo i = 0, 1, 2, ….. , n.

En la práctica esta fórmula sólo se usa para calcular una determinada diferencia sin necesidad de calcular las anteriores.

Veremos en clases que las diferencias pueden ser colocadas en la tabla de diferentes formas. Lo que nos debe preocupar es poder identificarlas y usarlas adecuadamente.

EJEMPLO 1: Dados los 4 siguientes puntos y los valores de una función para ellos, calcular las diferencias finitas progresivas:



SOLUCIÓN: La tabla de diferencias finitas es:

Las diferencias que aparecen en negritas son las primeras diferencias progresivas de cada orden.

La tabla para las diferencias progresivas generalmente es representan así:

Las diferencias que están en la primera fila (para i = 0) son las primeras diferencias progresivas de cada orden. En lo adelante las representaremos así por comodidad.

EJEMPLO 2: Usando la fórmula general para calcular una diferencia obtenga 2 0 y 2 1 para los datos del ejemplo 1.

SOLUCIÓN: La fórmula genera para una diferencia es = ∑ ( ) (

)

0

a) 2 0 = ∑ ( ) (2 ) 2 0

2 0

= (1) (20) 2 0 0 + (-1) (2

1) 2 1 0 + (1) (2

2) 2 2 0

= y2 – 2y1 + y0

= 27 – 2 (8) + 1

= 27 – 16 + 1

= 12

) 2 1 = ∑ ( ) (2 ) 2 1

2 0

x 1 2 3 4 y 1 8 27 64

i xi yi yi 2 3

0 1 1 7

1 2 8 12 19 6

2 3 27 18 37

3 4 64

i xi yi ∆yi 2 3

0 1 1 7 12 6 1 2 8 19 18 2 3 27 37 3 4 64



= (1) (20) 2 0 1 + (-1) (2

1) 2 1 1 + (1) (2

2) 2 2 1

= y3 – 2y2 + y1

= 64 – 2 (27) + 8

= 64 – 54 + 8

= 18

EJEMPLO 3: Dados 4 puntos y los valores de una función para ellos, calcular las diferencias finitas progresivas:

x 2 4 6 8 y -2 1 3 8

SOLUCIÓN: Para este caso h = 2. La tabla de diferencias finitas es:

DEBER 1: 1.- Agregue un nodo = 10 y para él ( ) = 11 a la tabla del ejercicio 3 y complete la tabla de diferencias.

2.- Verifique usando la fórmula general que 3 0 = 4 tomando los datos de la tabla del ejemplo 3.

Fórmula progresiva de Newton. La fórmula progresiva ó hacia delante de interpolación de Newton que pasa por n+1 nodos equidistantes x0, x1, x2, . . . ., xn para una función f(x) definida para ellos, o sea que existen y0, y1, y2, . . . . . . , yn, tal que, yi = f(xi) para todo i = 0, 1, 2, . . , n puede expresarse en función de diferencias finitas y coeficientes binomiales de la siguiente manera:

pk = ∑ ( ) 0

0

= 0 +

1 ( 1) 0 +

2 ( 2) 2 0 +

3 ( 3) 3 0 +

4 ( 4) 4 0 + . . . . . . . .

= 0 + k 0 + ( 1)

2 2 0 +

( 1)( 2)

3 3 0 +

( 1)( 2)( 3)

4 4 0 + . . . . .

Como se han tomado los puntos x0, x1, x2, . . . ., xn equidistantes, entonces xk = x0 + kh,

lo que implica que k =

. Sustituyendo este valor en la expresión anterior

tenemos:

i xi yi ∆yi 2 3

0 2 -2 3 -1 4

1 4 1 2 3

2 6 3 5

3 8 8



p(xk) = 0+ (

) 0+ (

1

2 ) (

) (

) 2 0+

(1

3 ) (

) (

) (

) 3 0+

(1

4 ) (

) (

) (

) (

) 4 0 + . . . . .

p(xk) = 0+ (

) 0+ (

1

2 ) (

) (

) 2 0+

(1

3 ) (

) (

) (

2

) 3 0+

(1

4 ) (

) (

) (

2

) (

3

) 4 0 + . . . . .

p(xk) = 0+ ( 0)

+ ( 0) ( 0 )

2 +

( 0) ( 0 )( 0 )

3 +

( 0) ( 0 )( 0 )( 0 )

4 + . . . . . . . .

p(xk) = 0+ ( 0)

+ ( 0) ( ( 0 ))

2 +

( 0) ( ( 0 ))( ( 0 ))

3 +

( 0) ( ( 0 ))( ( 0 ))( ( 0 ))

4 + . . . .

p(xk) = 0+ ( 0)

+ ( 0) ( 1)

2 + ( 0)( 1)

( 2)

3 + ( 0)( 1)( 2)( 3)

4 + . . . . . . +

( 0)( 1)( 2)( 3) . . . . ( 1)

Nota: El polinomio de interpolación de Lagrange p(xk) toma los mismos valores que la función original f(x) en los nodos x0, x1, x2, . . . ., xn , o sea, p(xi) = f(xi) para todo i= 1, 2, 3, 4, . . . . . .

El error cometido al obtener el polinomio de Newton para n nodos de interpolación es también de orden n.

EJEMPLO 4: Dados los siguientes puntos xk y sus correspondientes yk = f(xk). Hallar el polinomio progresivo de Newton que pasa por dichos puntos.



SOLUCIÓN: Para este caso h = 2. La tabla de diferencias finitas es:

El polinomio progresivo de Newton para este ejemplo tendrá 4 términos y será de orden 3. Tiene la siguiente expresión:

p(xk) = 0+ ( 0)

+ ( 0) ( 1)

2 + ( 0)( 1)

( 2)

3

Sustituyendo los valores x0, x1, x2 , y0 , 0, 2 0, 3 0 y h tenemos:

p(xk) = + ( ) 2

2 + ( ) ( )

3

2(2) + ( )( ) ( )

6

6(2)

p(xk) = + ( ) + ( ) ( ) 3

8 + ( )( )( )

1

12

p(xk) = + ( ) ( ) 3

8 + ( )( )( )

1

12

p(xk) = + 3

8( ) ( ) +

1

12( )( )( )

p(xk) = 1

24 [ (

2 ) ( 3

2 )]

p(xk) = 1

24 [

2 3

2 ]

p(xk) = 1

24[

3 2 ]

DEBER 2: Verifique que p(xk) = f(xk) para la tabla del ejemplo 4.

EJEMPLO 5: Aplique la fórmula progresiva de Newton para encontrar el polinomio de grado 4 o menor que pasa por los puntos xk y toma los siguientes valores yk = f(xk).

x 4 6 8 10

y 1 3 8 20

i xi yi ∆yi 2 3

0 4 1 2 3 4

1 6 3 5 7

2 8 8 12

3 10 20



SOLUCIÓN: La tabla de diferencias finitas es:

El polinomio progresivo de Newton para este ejemplo tendrá 5 términos y será de orden 4 y tiene la siguiente expresión:

p(xk) = 0+ ( 0)

+ ( 0) ( 1)

2 + ( 0)( 1)

( 2)

3 + ( 0)( 1)( 2)( 3)

4

Para este caso h = 1 y xk = k. Sustituyendo estos valores y los de 0 para i = 1, 2, 3, 4 obtenemos lo siguiente:

p(xk) = + ( ) 2

1 + ( ) ( )

4

2(1) + ( )( ) ( )

8

6(1)

+ ( )( ) ( )( ) 16

24(1)

p(xk) = 1-2k + k(k -1) 4

2 + k(k -1) ( )

4

3 + k(k -1) ( )( )

2

3

p(xk) = 1-2k + 2(k2 – k) + ( 4

3) (k3 -3k2 +2k) + (

2

3) ( 4 3 2 )

p(xk) = 1-2k + 2k2 – 2k + ( 4

3) (k3 -3k2 +2k) + (

2

3) ( 4 3 2 )

p(xk) = 1-4k + 2k2 + ( 4

3) (k3 -3k2 +2k) + (

2

3) ( 4 3 2 )

p(xk) = 1

3 [ 2 3 2 4 3 2 ]

p(xk) = 1

3 [ 2 3 4 ]

EJEMPLO 6: Aplique la fórmula progresiva de Newton para encontrar el polinomio de grado 4 ó menor que pasa por los puntos xk y toma los siguientes valores yk = f(xk).

x 0 1 2 3 4

y 1 -1 1 -1 1

i xi yi ∆yi 2 3 4

0 0 1 -2 4 -8 16

1 1 -1 2 -4 8

2 2 1 -2 4

3 3 -1 2

4 4 1



SOLUCIÓN:

Si comparamos las tablas de los ejemplos 5 y 6, son iguales excepto en la columna de xi. El polinomio calculado en el ejemplo 5 nos sirve, salvo k = xk -1 en el ejemplo 6 y

k = xk en el ejemplo 5.

Del ejemplo 5 se tiene que:

p(xk) = 1

3 [ 2 3 4 ]

Sustituyendo a k por xk -1 tenemos:

( )

[ ( ) ( )

( )3 ( )

4 ]

( ) 1

3[ (

2 ) (

3 2 )

( 4

3 2 )]

( ) 1

3[

2 – 3

2

4

3 2 ]

p(xk) 1

3[

4 3

2 ]

EJEMPLO 7: Ajuste la función del ejemplo 6 para los valores k = 1, 2, 3. (Los que están sombreados en verde)

SOLUCIÓN: Debemos usar las diferencias señaladas en la tabla de diferencias finitas del ejemplo anterior. La tabla quedaría:

x 1 2 3 4 5

y 1 -1 1 -1 1

i xi yi ∆yi 2 3 4

0 1 1 -2 4 -8 16

1 2 -1 2 -4 8

2 3 1 -2 4

3 4 -1 2

4 5 1

i xi yi ∆yi 2 3 4

0 1 1 -2 4 -8 16

1 2 -1 2 -4 8

2 3 1 -2 4

3 4 -1 2

4 5 1



Como tenemos 3 nodos de interpolación tomamos hasta el término de la diferencia de orden 2.

p(xk) = 0+ ( 0)

+ ( 0) ( 1)

2 ( )

p(xk) = + ( ) 2

1 + ( ) ( )

4

2 (1)

p(xk) = + – 2 ( 2 )

p(xk) = – 2

p(xk) = – 2

DEBER 3: Para los ejemplos 5, 6 y 7 verifique que p(k) = f(xk) y p(xk) = f(xk).

EJEMPLO 8: Evalúe el error del polinomio encontrado en el ejemplo 7 para los nodos xi = 2, 3, 4 en el punto x = 2.5.

SOLUCIÓN: Como p(xk) se ajustó a los puntos xi = 2, 3, 4; el próximo nodo sería x3 = 5, para el cuál la diferencia 3 0 = 8, por lo tanto el cuarto término del polinomio es el que se usa para estimar el error.

e(x) = |( )( )( )( )

|

e(x) = [

]

8

6 |

e(x) = 4

3 [

4 3

2 ] |

Evaluando esta expresión para x = 2.5 tenemos:

e(x) = |4

3 (( )4 ( )3 ( )2 ( ) ) |

e(x) = |4

3( )|

e(x) =

DEBER 4: 1.- Ajuste la función del ejemplo 6 para los valores k = 2, 3, 4.

i xi yi ∆yi 2

0 2 -1 2 -4

1 3 1 -2

2 4 -1



2.- Evalúe el error del polinomio encontrado en el ejercicio 1 del deber 4 para los nodos xi = 3, 4, 5 en el punto x = 4.5.

3.- Verifique que para el polinomio encontrado en el ejercicio 1 del deber 4, se cumple que p(xk) = f(xk)

2.2.3. Polinomio regresivo de Newton. El polinomio de interpolación de Newton se basa en las diferencias finitas y en los coeficientes binomiales. Para el polinomio regresivo usaremos las diferencias hacia atrás o regresivas.

Diferencias finitas regresivas. Consideremos el conjunto de puntos equidistantes x0, x-1, x-2, . . . ., x-n. Igual que en caso anterior la distancia entre ellos es h = xi – xi-1.

El operador que usaremos para denotar las diferencias finitas regresivas es

0 = = f( )

= 1 = f( ) ( 1)

2 = 1 = ( ) ( 1)

. . . . .

1 = 2 2 1 = 2 ( )

2 ( 1)

= 1 1 1 = 1 ( )

1 ( 1)

La tabla de diferencias finitas regresivas se obtiene de igual manera pero los nodos se indexan de manera diferente. La estructura de la tabla es:

EJEMPLO 9: Para los datos del ejemplo 1 calculemos las diferencias regresivas.

i xi yi yi 2 3 4

-4 x-4 y-4

-3 x-3 y-3 3

-2 x-2 y-2 2 2 2

-1 x-1 y-1 1 2 1 3 1

0 x0 y0 0 2 0 3 0 4 0

x 1 2 3 4 y 1 8 27 64



SOLUCIÓN: La tabla de diferencias finitas divididas es:

Las diferencias que están en la última fila (para i = 0) son las primeras diferencias regresivas de cada orden.

La tabla también puede ser representada así:

DEBER 5: Verifique que y0=37 y que 2 0 =18 usando la formula general.

EJEMPLO 10: Para los datos del ejemplo 3 calculemos las diferencias regresivas.

Los datos son:

SOLUCIÓN: Para este caso h = 2. La tabla de diferencias finitas divididas es:

i xi yi yi 2 3

-3 1 1

-2 2 8 7

-1 3 27 19 12

0 4 64 37 18 6

i xi yi yi 2 3

-3 1 1

7

-2 2 8 12

19 6

-1 3 27 18

37

0 4 64

x 2 4 6 8 y -2 1 3 8

i xi yi yi 2 3

-3 2 -2

3

-2 4 1 -1

2 4

-1 6 3 3

5

0 8 8



Las primeras diferencias regresivas de cada orden están señaladas en negritas y sombreadas. La tabla también puede ser representada así:

DEBER 6: Para los siguientes datos:

x 0 1 2 3

y 1 1 2 5

Encontrar la tabla de diferencias finitas regresivas.

Fórmula regresiva de Newton. La fórmula de interpolación de Newton hacia atrás se expresa en función de las diferencias regresivas y de los coeficientes binomiales de la siguiente manera:

pk = 0 + ∑ ( 1)( 2) ( 1)

0

1

Este polinomio está expresado en función de k y necesitamos encontrar el polinomio en función de xk. Para ello se necesita establecer la correspondencia que existe entre k y xk, según los valores en la tabla.

EJEMPLO 11: Escriba el polinomio de Newton hacia atrás para los datos del ejemplo 9.

SOLUCIÓN: La tabla de diferencia para estos datos es:

pk = 0 + ∑ ( 1)( 2) ( 1)

0

1

pk = 0 + k 0 + k(k+1)

2 +k(k+1)(k+2)

3

pk = + k + k(k+1) 18

2 +k(k+1)(k+2)

6

6

i xi yi yi 2 3

-3 2 -2

-2 4 1 3

-1 6 3 2 -1

0 8 8 5 3 4

i xi yi yi 2 3

-3 1 1

-2 2 8 7

-1 3 27 19 12

0 4 64 37 18 6



pk = + 37k + 9(k2 +k) + (k3 +3k2 + 2k)

pk = + 37k + 9k2 +9k + k3 +3k2 + 2k

pk = k3 +12k2 + 48k + 64

Para establecer la correspondencia entre k y xk a la hora de encontrar el polinomio p(xk) se considera un signo negativo delante de los índices de la tabla.

xk = k + 4 k = xk – 4

pk = k3 +12k2 + 48k + 64

p(xk) = ( )3 +12( )2 + 48( ) + 64

p(xk) = ( 3

2 ) ( 2 ) 48

p(xk) = 3

2 2 48

p(xk) = 3

DEBER 7: Verifique que p(k) = f(xk) y p(xk) = f(xk) para la tabla del ejemplo 11.

EJEMPLO 12: Escriba el polinomio de Newton hacia atrás para los datos del ejemplo 10.

SOLUCIÓN: La tabla para estos datos fue obtenida en el ejemplo 10. Para establecer la correspondencia entre k y xk a la hora de encontrar el polinomio p(xk) se considera un signo negativo delante de los índices de la tabla.

pk = 0 + ∑ ( 1)( 2) ( 1)

0

1

pk = 0 + k 0 + k(k+1)

2 +k(k+1)(k+2)

3

pk = + k + k(k+1) 3

2 +k(k+1)(k+2)

4

6

pk = + k ( ) + 3

2 (k2 +k) +

2

3 (k3 +3k2 + 2k)

pk = 1

6 [48 + 30k + 9(k2 +k) + 4 (k3 +3k2 + 2k)]

pk = 1

6 [48 + 30k + 9k2 +9k + 4k3 +12k2 + 8k]

x 2 4 6 8

y -2 1 3 8

i xi yi yi 2 3

-3 2 -2

-2 4 1 3

-1 6 3 2 -1

0 8 8 5 3 4



pk = 1

6 [4k3 +21k2 + 47k + 48]

Como xk = x0 + kh

xk = 8 + 2k k = 8

2

p(xk) = 1

6 [4(

8

2)3

+21( 8

2)2

+ 47( 8

2) + 48]

p(xk) = 1

6 *1

2( )

3 21

4( )

2 47

2( ) +

p(xk) = 1

24 [ ( )

3 ( )2 ( ) ]

p(xk) = 1

24[ (

3 2 ) (

2 ) ]

p(xk) = 1

24[(

3 2 ) (

2 ) ]

p(xk) = 1

24 (

3 2 )

DEBER 8: 1.- Verifique que p(k) = f(xk) y p(xk) = f(xk) para la tabla del ejemplo 12.

2.-Para los datos del deber 6 encuentre el polinomio regresivo de Newton y verifique los valores para el polinomio obtenido, o sea, que p(k) = f(xk) y p(xk) = f(xk).

EJERCICIOS PROPUESTOS: 1.- Diga si son Verdaderos o Falsos los siguientes enunciados: a) El desarrollo en Serie de Taylor es un caso particular de un polinomio de interpolación.

b) La sucesión de números de Fibonacci tiene recursividad simple.

c) Los polinomios de interpolación mantienen su expresión, no importa la fórmula que se utilice para encontrarlos.

d) Las diferencias finitas no facilitan la obtención de un nuevo polinomio de interpolación cundo se cambian los nodos de interpolación originales.

e) El polinomio de interpolación encontrado para una función dada permite encontrar un valor para esa función en cualquier punto real.

f) Si se tienen m nodos de interpolación el polinomio tendrá m – 1 términos y será

de grado m.

2.- Deduzca una fórmula regresiva para el polinomio de Newton p(xk) en función de xk, usando la fórmula obtenida para pk y la relación existente entre k y xk.

3.-Encuentre el polinomio de interpolación progresivo de Newton que se ajusta a la función f(x) = 2x2 + 3x +1 en el intervalo [0.1, 0.5] con h = 0.1.

a) Elabore la tabla de diferencias finitas progresivas.

b) Escriba los polinomios que se ajustan a los puntos para



- k = 0, 1, 2, 3.

- k = 2, 3, 4.

c) Compruebe que esos polinomios coinciden con los resultados obtenidos en la tabla, o sea, que p(k) = f(xk) y p(xk) = f(xk).

4.- Encuentre las diferencias progresivas y regresivas para los siguientes puntos. Encuentre el polinomio de Newton hacia delante y hacia atrás. Compare los resultados obtenidos.

5.- Aplique la fórmula regresiva de Newton a los siguientes datos para obtener un polinomio de grado 4 en cada caso.

a)

b)

c)

d)

6.- Dada la función f(x) = x cos (x). Obtenga un polinomio de interpolación en el

intervalo [0, 2], con h = 0.4. Use las fórmulas de:

a) Lagrange

b) Newton:

- Progresivo.

- Regresivo

7.- Para los datos que aparecen a continuación:

Use las fórmulas de Lagrange y Newton para obtener un polinomio de cuarto grado o menos y evalúe dicho polinomio para x = 3.5b

8.-Aplique las fórmulas progresiva y regresiva de Newton a los siguientes datos para obtener el polinomio de interpolación.

9.- Ajuste la función del ejercicio 5 para los puntos:

a) k = 0, 1, 2, 3.

xi 3 4 5 6 yi 6 24 60 120

i -4 -3 -2 -1 0

xi 1 2 3 4 5

yi 1 -1 1 -1 1

i -5 -4 -3 -2 -1 0

xi 0 1 2 3 4 5

yi 0 0 1 1 0 0

xi 0 3 6 9

yi 0 6 120 720

xi 0 1 2 3 4 yi 0 16 48 88 0

xi 0 1 2 3 4

yi 0 0 1 6 24



b) k = 2, 3, 4, 5.

c) En ambos casos deduzca la magnitud del error para el punto x = 2.23.

10.- Ajuste la función f(x) = 2321

1

xx

x

en el intervalo [0, 3] con h = 0.5 a través de

un polinomio de Newton hacia delante. Construya la tabla de diferencias finitas progresivas.

11.- Dada la función f(x) = (1 + x2) / 2.

a) Calcule un polinomio de Newton en el intervalo [0, 1.5] y h = 0.3. b) Compruebe que p(x) = f(x) para todos los nodos de interpolación. c) Compruebe el error al evaluar el polinomio encontrado en el punto x = 1.3

12.- Para la función 1

encuentre el polinomio de interpolación usando la

fórmula regresiva de Newton para los puntos = 2, 4, 6, 8. 13.- Dado el siguiente conjunto de pares de puntos: Use la fórmula de regresiva de Newton para demostrar que el polinomio de interpolación es el que se señala:

P(xk) = 1

12(

4 3

2 )

14.- Dada la función

3 , encuentre el polinomio de interpolación de

Newton de orden 5 en puntos del intervalo [-2, 6]. a) Use la fórmula progresiva. b) Use la fórmula regresiva.

15. Dada la siguiente tabla de diferencias finitas para nodos equidistantes:

a) Complétela añadiendo un nodo al final.

b) Encuentre el polinomio de interpolación progresivo de Newton que permita conocer una expresión analítica para la función que los genera.

c) Compruebe que p(xi) = yi

xi -1 0 1 2 3

yi 4 3 6 11 18

i xi yi 2

3 4

-2

0

2 0 -1

1 2

4 1 -1/2

1/2

6 3/2

Tema III

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