1. Tema 3EcuacionesySistemas 2. Introduccin.Ecuaciones.Una ecuacin es una igualdad entre expresiones algebraicas que sloes cierta para determinados valores de las incgnitas. A estosvalore se les denominan soluciones de la ecuacin.Ejemplos:Ecuaciones polinmicas P(x )=0Ecuaciones Racionales P(x )Q(x )=0Ecuaciones Irracionales x 1+1=xEcuaciones exponenciales 3x+132 x=27Ecuaciones Logartmicas ln (x+3)Lnx2=2Etc... 3. Ecuaciones polinmicas.El nmero de soluciones de una ecuacin polinmica es menor o igual queel grado del polinomio.Ecuaciones Equivalentes.Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.:Resolucin de Ecuaciones.Es el proceso mediante el cual encontramos ecuaciones equivalentes a laoriginal de la forma X= n donde n es un nmero real.La resolucin de ecuaciones polinmicas es equivalente a encontrar losceros del polinomio. 4. Ecuaciones polinmicasde 2 Grado.ax 2 + bx + c = 0 con a 0Son reducibles a la formaEl nmero de soluciones depende del discriminante. = b2 4acSi > 0 tendr dos soluciones reales simples.Si = 0 tendr una solucin real dobleSi < 0 no tendr solucin real. Tendr solucin dentro del conjunto delos nmeros complejos .Las soluciones de la ecuacin de segundo grado pueden calcularse con lafrmulax = b b 2 4ac2a 5. Propiedades de lassoluciones de la ecuacinde 2 gradoSea x1 y x2 las soluciones de la ecuacin de segundo grado. Entoncesbax1+ x2=x1x2=caY el polinomio se factoriza como ax2+bx+c=a(xx1)(xx2) 6. Ecuaciones Trinmicasa x2n+bxn+c=0Son ecuaciones de la forma que se reducen aecuaciones de segundo grado mediante un cambio de variable.xn=tEcuaciones Polinmicasde grado superiorUna vez resuelta la ecuacin de segundo grado se deshace elcambio y se obtienen las soluciones de la ecuacin original.Slo se podrn resolver aquellas ecuaciones que se puedan factorizar yas convertirlas en otras de primer o segundo grado. 7. Ecuaciones RacionalesP(x)Q(x)=0Las ecuaciones Racionales del tipo donde los dospolinomios son primos entre si, tienen por solucin las races delnumerador.Ecuaciones IrracionalesUna ecuacin es irracional cuando tiene la incgnita bajo el signoradical.Para resolver una ecuacin irracional se siguen los siguientes pasos:1.Se asla un radical en un miembro.2.Se eleva al cuadrado los dos miembros. (La ecuacin resultante ya noes equivalente a la anterior, pero sigue teniendo todas las solucionesde la original).3.Se repite el proceso anterior si aun queda algn radical.4.Se resuelve la ecuacin resultante y se comprueban las soluciones. 8. Ecuaciones ExponencialesUna Ecuacin es Exponencial cuando la incgnita aparece en el423x=20482223x=21123 x+2=2113 x+2=11 x=323 x=15323 x=153log23 x=log153 xlog28=log153x=En este caso no se pueden escribir como dos potenciasde igual base, para resolverla tomamos logaritmos y operamos.log153log8exponente de una potencia.Su solucin no tiene un procedimiento general, pero hay algunosprocedimiento usuales para algunos tipos de ecuacionesexponenciales.Ejemplos:1.- Se puede escribir como dos potencias deigual base y se reduce a igualar los exponentes.2.- 9. Ecuaciones ExponencialesEjemplos:Ecuaciones resolubles mediante cambio de variable3x+3x1+3x2=13z+1.- Se hace el cambiotras aplicar las propiedades de las potencias. Nos quedar la ecuacin:z3+z32 =139 z+3 z+z93x=z=113 z=139 z=9Y deshaciendo el cambio nosqueda9x+1283x+3=03x=9 x=29z228 z+3=0Resolviendo la ecuacin de segundo grado tenemosz1=3 y z2 =1/9 y deshaciendo el cambio x1=1 y x2=-22.-Se hace el cambio 3x=zNos quedar la ecuacin: 10. Ecuaciones LogaritmicasUna Ecuacin es Logaritmica cuando la incgnita aparece afectada porun logaritmoSu solucin no tiene un procedimiento general. Pero siempretendremos que usar : Definicin de logaritmos. Igualdad de logaritmos. Propiedades de los logaritmosEjemplo.logam=zaz=mlogam=loga pm=p2log xlog(x16)=2log x2log(x16)=2log10log (x2)=log 100x2=100x16 x16x2=100( x16) x2100 x+1600=0 x1=80 y x2=20 11. Sistemas de EcuacionesDefinicin:Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que debenverificarse para los mismos valores.La Solucin de un sistema ser un conjunto de nmeros que sustituidosen todas las ecuaciones, las convierten en igualdades numricas.Resolver un sistema consiste en encontrar todas y cada una de lassoluciones.Clasificacin de los sistemas segn su nmero de soluciones.Se Clasifican en : Determinados (solucin nica) Compatibles ( Tienen solucin) Indeterminados (infinitas soluciones) Incompatibles no tienen solucin 12. Sistemas de EcuacionesLinealesDefinicin:Un sistema de ecuaciones es lineal cuando todas sus ecuaciones son de1er grado.Un sistema lineal de m ecuaciones con n incgnitas tiene la forma{a11 x1+a12 x2++a1n xn=k1a21 x1+a22 x2++a2n xn=k2 am1 x1+am2 x2++amn xn=k m Las incgnitas son x 1 , x 2 , ..., x n . Los coeficientes son a ij Los trminos independientes son k 1 , k 2 , ..., k m .La primera ecuacin se denota con E1 , la segunda con E2 y assucesivamente. 13. Sistemas EquivalentesDefinicinSistemas equivalentes son aquellos que tienen las mismassoluciones aunque no tengan el mismo nmero de ecuaciones.Criterios de Equivalencia. Criterio 1: si multiplicamos o dividimos los dos miembros deuna ecuacin por un nmero distinto de cero, resulta otrosistema equivalente al dado. Criterio 2: si en un sistema sustituimos una ecuacin por lasuma de ella con una combinacin lineal de otras, resulta otrosistema equivalente al dado. Criterio 3: si en un sistema de ecuaciones lineales unaecuacin es combinacin lineal de otras, esta ecuacin se puedesuprimir y resulta un sistema equivalente al dado. 14. Mtodo de GaussDefinicinUn sistema de ecuaciones es escalonado si cada ecuacin tieneuna incgnita ms que la inmediatamente inferior.La solucin de un sistema escalonado se realiza por sustitucin deabajo hacia arriba.DefinicinEl mtodo de Gauss consiste en convertir el sistema en otroequivalente que sea escalonado Para ello podemos :Cambiamos el orden de dos ecuaciones. Lo denotamos por Ei EjMultiplicamos los dos miembros de una ecuacin por un mismonmero. Lo denotamos por Ei tEiCambiamos una ecuacin por la suma de ella misma ms unacombinacin lineal de otras. Lo denotamos por Ei Ei + tEjSuprimimos las ecuaciones que sean combinacin lineal de otras. 15. Mtodo de GaussEjemplo{2 x+ y z=0x y+2 z=5x+ y+z=3E1E3 {x+ y+z=3x y+2 z=52x+ y z=0E2E2E1E3E32 E1 {x+ y+z=3 2 y+z=2 y 3 z= 6E2E3{ x+ y+z=3 y 3 z= 6E3E32 E2 7 z=14Cuya solucin es: {x=1y=0z=2En forma matricial(2 1 1 01 1 2 51 1 1 3) F1F3 (1 1 1 31 1 2 52 1 1 0) F2F2F1F3F32 F1 (1 1 1 30 2 1 20 1 3 6)0 1 3 60 0 7 14) { x+ y+z=3F2F3F3F32 F2 (1 1 1 37 z=14 {x=1 y 3 z= 6y=0z=2 16. Sistemas de Ecuacionesno LinealesDefinicin:Un sistema de ecuaciones es no lineal cuando no todas sus ecuacionesson de 1er grado.Ejemplos:{x2+ y2=61xy=30 {4x+4y=126{log x log y=11254x=5y x+ y=22Estos sistema de ecuaciones es no lineal se resolvern por los mtodosya conocidos de sustitucin, igualacin o reduccin, aplicando laspropiedades de las potencias o de los logaritmos igual que en laresolucin de ecuaciones.En los sistemas no lineales siempre hay que comprobar las soluciones.