Tema8(Geometría Plana)

Dpto. Matemáticas IES Las Norias 1

GEOMETRÍA PLANA 8

GEOMETRÍA ALREDEDOR

La Geometría es un elemento básico para las construcciones que llenan nuestras calles. Un ejemplo cercano puede ser la plaza del Ayuntamiento de El Ejido, donde las formas rectas predominan, resultando ser una combinación de rectángulos de distintos tamaños.

Estas formas básicas aparecen tanto en baldosas como en ventanas. Por tanto, un paseo por las calles de cualquier pueblo o cuidad nos permite distinguir gran variedad de figuras geométricas, ya sea en las baldosas que pisamos o en las fachadas que nos rodean. Pero no sólo a pie de calle aparece la Geometría. La siguiente imagen muestra las instalaciones del Colegio de lo Leones de Santiago de Chile:

Así los edificios adoptan forma de rectángulos, las rotondas de círculos, todo ello formando una composición de formas geométricas básicas que nos describe el mapa de cualquier población.

En este tema aprenderás los distintos tipos de figuras planas, a identificarlas y a conocer sus tipos y características que las diferencia. Además, aprenderás a calcular el área y el perímetro de dichas figuras, aplicando una serie de fórmulas fundamentales.


RECORDANDO Ángulos

Un ángulo es la región del plano limitada por dos semirrectas, llamadas lados, que tienen un origen común, que llamamos vértice.

En función de la amplitud de los ángulos, éstos reciben el nombre de:

Agudo Recto

Obtuso Llano

RECORDANDO Polígonos

Un polígono es una figura plana cerrada limitada por segmentos. Los polígonos se pueden clasificar atendiendo al número de lados que tengan.

Triángulo 3 lados Octógono 8 lados Cuadrilátero 4 lados Eneágono 9 lados Pentágono 5 lados Decágono 10 lados Hexágono 6 lados Endecágono 11 lados Heptágono 7 lados

Dodecágono 12 lados


RECORDANDO Clasificación de triángulos

Según los ángulos Según los lados Rectángulo: 1 ángulo recto Equilátero: 3 lados iguales

Acutángulo: 3 ángulos agudos Isósceles: 2 lados iguales

Obtusángulo: 1 ángulo obtuso Escaleno: lados desiguales

1. Clasifica los siguientes triángulos según sus lados y ángulos.

Según lados: Según lados: Según lados:

Según ángulos: Según ángulos: Según ángulos:


RECORDANDO Teorema de Pitágoras

Como hemos visto, el triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto. Los lados que forman este ángulo se llaman catetos y llamamos hipotenusa al tercer lado, opuesto al ángulo recto y el de mayor tamaño. El Teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Esto se formula:

222 cba += La hipotenusa es a y los catetos son b y c.

2. Para el siguiente triángulo, identifica cuál es la hipotenusa y cuáles son los catetos. Escribe el Teorema de Pitágoras sustituyendo los datos que conozcas y despeja el otro.

3. Un triángulo rectángulo tiene un cateto de 12 cm y otro de 16 cm. Averigua cuánto mide la hipotenusa. Dibuja este triangulo en tu cuaderno. 4. ¿Forman un triángulo rectángulo los lados 15 dm, 0,25 dam y 2 m?


5. La altura de la Estatua de la Libertad es de 176 m, y se sabe que la base está situada a 47 m del barco desde donde miro, ¿qué distancia hay en línea recta desde donde yo estoy al pico más alto de la torre?

6. Desde la ventana de la cárcel un preso lanzó una cuerda para escaparse. Un amigo suyo ata la cuerda a un árbol situado a 5,9 m de la cárcel. Si la longitud de la cuerda es de 14,5 m, ¿cuál es la altura desde el suelo a la ventana?


RECORDANDO Clasificación de cuadriláteros

Usualmente se clasifican los cuadriláteros atendiendo al paralelismo de sus lados. Según esto podemos distinguir: paralelogramo, trapecio y trapezoide. PARALELOGRAMO Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene los lados paralelos dos a dos. Puede ser:

Rectángulo Tiene los ángulos rectos

Rombo

Tiene los lados iguales

Cuadrado

Es rectángulo y rombo a la vez

Romboide Paralelogramo que no cumple ninguna de las condiciones anteriores

Observemos que lados opuestos y ángulos opuestos son iguales. TRAPECIO El trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y los otros dos no son paralelos. A los lados paralelos se les llama bases y a la distancia entre ellos, altura. Puede ser:

Trapecio isósceles Trapecio recto Trapecio escaleno

Los lados no paralelos son iguales

Tiene dos ángulos rectos No cumple ninguna de las propiedades anteriores


TRAPEZOIDE Un trapezoide es un cuadrilátero que no tiene lados paralelos.

7. Clasifica los siguientes cuadriláteros e indica alguna propiedad de ellos.

Nombre: Propiedad:

Nombre: Propiedad:

Nombre: Propiedad:

Nombre: Propiedad:

Nombre: Propiedad:

Nombre: Propiedad:


RECORDANDO Perímetro y áreas de polígonos

• El perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados. • El área de un polígono es la medida de la región o superficie encerrada por él.

Polígono Perímetro Área

lP 4= 2lA =

hbP 22 += hbA ⋅=

abP 22 += hbA ⋅=

cbaP ++= 2

hBA ⋅=

aP 4= 2

dDA ⋅=

BcbaP +++= ( )2

hbBA ⋅+=

lP 6= 2

apotemaPA ⋅=

El polígono se descompone en otras figuras más sencillas cuyo perímetro es conocido, calculando sólo el valor de los lados exteriores.

El polígono se descompone en otras figuras más sencillas cuya área es conocida.

4321 FFFFA +++=


8. Busca en la foto las siguientes figuras:

a) Un cuadrado b) Un rectángulo c) Un trapecio. d) Otro rectángulo.

Con cada una de las figuras anteriores rellena el siguiente cuadro:

Figura Dibujo Perímetro Área

9. Mis padres poseen un terreno en Balerma y quieren montar un invernadero en el mismo. El terreno tiene superficie rectangular, siendo el lado mayor 150 m y el lado menor 85 m. ¿Qué superficie de plástico debe cubrir el techo de mi invernadero? ¿Qué perímetro de postes debo colocar para poder sostenerlo?


10. Calcula el área y el perímetro de las siguientes figuras:

a) Rectángulo de lados 3 y 5 cm. b) Triángulo rectángulo lados 3 y 4 cm y la hipotenusa 5 cm. c) Cuadrado de lado 3 cm. d) Octógono de lado 2 cm y apotema 3 cm.

11. Calcula el área de un rombo sabiendo que un lado mide 30 cm y que la diagonal mayor es de 48 cm. Calcula además el perímetro de la figura.

12. Observa la siguiente imagen y contesta a las preguntas:

a) ¿Qué forma geométrica destaca en la imagen?

b) ¿En qué país se tomó la imagen?

c) ¿Qué figuras geométricas forman los lados de la forma geométrica principal? ¿Y qué figura es la base?

d) Calcula el área de la base si un lado de la misma es de 132 m.

13. Un tetra brik de leche tiene seis caras, las cuales son iguales dos a dos. Si abrimos el paquete y extendemos las 6 caras, ¿qué superficie de brik tiene un cartón de leche de 35 cm de alto y cuya base tiene de lados 15 cm y 6 cm?


14. Esta tarde he ido a pasear por la playa de Balanegra con mi hija y hemos estado volando unas cometas que tenían forma de rombo. La de mi hija era azul y tenía 28 cm y 18 cm de diagonales. La mía, sin embargo, era verde y tenía de lado 30 cm y de diagonal mayor 52 cm ¿Cuál de las dos cometas era más grande? ¿Qué diferencia en superficie hay entre las dos cometas?

15. Fátima y Andrés han decidido comprarse un piso y el plano es el siguiente:

Contesta las siguientes preguntas:

a) ¿Cuántos metros cuadrados tiene el piso? b) ¿Cuántos metros de cenefa necesitamos para ponerla en la cocina? c) El cuarto de baño lo quieren poner de cerámica oscura, ¿cuántos metros

cuadrados de suelo necesitarán? d) ¿Cuántos metros cuadrados tiene el pasillo? e) ¿Qué dormitorio es más grande el 1 o el 2? f) ¿Es más grande el salón que la cocina y el dormitorio 1 juntos?


16. Los padres de Antonio han repartido sus fincas entre sus tres hijos: Pedro, Elena y Antonio. Las fincas son como las siguientes figuras:

PEDRO ELENA ANTONIO

Cada uno decide poner una valla alrededor:

a) ¿Cuántos metros de valla necesita Pedro? b) ¿Tendrá Pedro con 8500 metros de valla? c) ¿Qué finca es la más grande? ¿Y la más pequeña?

17. La señal de la imagen tiene varias figuras geométricas.

a) Indica cuáles son las figuras elementales que aparecen.

b) Mide los lados del cuadrado: a. Dibuja la figura anotando

sus medidas. b. Calcula su perímetro c. Calcula su área.

c) Mide los lados del rectángulo: a. Dibuja la figura anotando

sus medidas. b. Calcula su perímetro c. Calcula su área.

d) Mide los lados y la altura del triángulo:

a. Dibuja la figura anotando sus medidas.

b. Calcula su perímetro c. Calcula su área.


18. Utiliza la regla graduada y calcula el área y el perímetro de las siguientes figuras:

19. ¿Cómo se llama la siguiente figura?

a) Mide el lado de la figura. b) Calcula el perímetro de la figura. c) Divide la figura en triángulos iguales. d) Mide la altura del triángulo y calcula su área. e) Calcula el área de la figura.

20. Los padres de Raquel tienen un invernadero de la siguiente forma:

¿Cuántos metros cuadrados tiene el invernadero?


RECORDANDO Longitud de la circunferencia y área del círculo

Para calcular la longitud de la circunferencia y el área de un círculo hay que utilizar uno de los números más famosos de las Matemáticas es el número pi, representado por la letra griega π. Dicho número tiene infinitas cifras, aunque en la práctica se suelen usar las primeras, dependiendo de lo exacto que se quiera dar el resultado. Así, ...141592,3=π , pero tomaremos para los ejercicios 3,14. Para una círculo de radio r , tenemos que:

• La longitud de la circunferencia que lo rodea (“perímetro”) es: rL ⋅⋅= π2 • El área del círculo es: 2rA ⋅= π

21. Escribe el nombre de cada uno de los elementos de la circunferencia:


22. Calcula la longitud de una circunferencia de 5 cm de radio. Además calcula el área del círculo correspondiente. 23. Dada una circunferencia de diámetro 15 cm, calcula su longitud y el área de la región comprendida. 24. Completa:

Datos de la circunferencia Longitud Área del círculo

Radio = 11 cm Radio = 6 dm Diámetro = 7 cm Diámetro = 15 m

25. La longitud de una circunferencia es de 50,24 cm. ¿Cuál es el área del círculo? 26. La rueda del camión de mi padre tiene 90 cm de radio. ¿Cuál es la longitud de dicha rueda? ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?


MÁS PROBLEMAS 27. Calcula el área de los siguientes polígonos.

a) Un trapecio de bases 14 cm y 8 cm y de altura 3 cm. b) Un rombo de diagonales 8 y 5 mm. c) Un hexágono regular de lado 10 hm. d) Un pentágono regular de lado 6 cm y apotema 4 cm. e) Un cuadrado de lado 7 cm. f) Un rectángulo de diagonal 9 m y de lado menor 4 m.

28. En la empresa de albañilería de mi tío Juan le ha quedado un sobrante de 55 m2 de suelo de una obra que ya ha terminado. Así que, hemos decidido poner suelo al porche de mi cortijo que tiene forma cuadrada de lado 7 m. ¿Podremos poner el suelo del porche con ese sobrante de mi tío? ¿Nos sobrará alguna cantidad de suelo? En caso de sobrarnos, ¿podremos poner suelo a una cochera que tiene de ancho 2 m y de largo 5 m?

29. He decidido construir un trapecio y para ello he unido un cuadrado de lado 4 cm a un par de triángulos rectángulos cuyos catetos miden uno 3 cm y 4 cm el otro. Realiza un dibujo con la composición del cuadrado y los dos triángulos rectángulos que forman el trapecio. Calcula el área de la figura formada a partir de la fórmula del trapecio y también por descomposición de las 3 figuras que lo forman.


CAJÓN DESASTRE Situaciones de la vida Señales de tráfico

Como sabrás, las señales de tráfico, son los signos usados en postes o pintadas en la calle ubicados en el lado de caminos para impartir la información necesaria a los usuarios que transitan por un camino o carretera, en especial los conductores de vehículos. Puesto que las diferencias de idioma pueden crear barreras, las muestras internacionales usan símbolos en lugar de palabras. Las señales de tráfico verticales en España se basan en la normativa de la Unión Europea para que sean iguales en todos los países de la Unión.

Contesta las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos países forman la Unión Europea? b) Hay varios tipos de señales, entre las que destacan las señales de prohibición,

señales de advertencia y señales de prioridad (STOP y CEDA EL PASO). A continuación, identifica cada imagen con el tipo de señal, según su forma y color.

c) La señal de PROHIBIDO ESTACIONAR es una circunferencia. Mide el

radio de la circunferencia del dibujo y calcula su longitud y área. Trabajando entre albañiles

El siguiente esquema muestra cómo los albañiles llegan a comprobar si dos paredes que se van a levantar son perpendiculares.

Se hace una señal A a 60 cm del punto de corte y sobre la otra pared, una señal B a 80 cm. ¿Cómo saben si las paredes serán perpendiculares?


Pruebas de diagnóstico Tres triángulos Si alineamos sobre una recta un triángulo equilátero, un triángulo rectángulo y un triángulo isósceles forman la siguiente figura:

Sabiendo que el ángulo G mide 45º y el ángulo K mide 70º, ¿cuánto miden los demás ángulos indicados en la figura? Un poco de historia Historia del número Pi

El número pi se define como la razón entre la longitud de una circunferencia y su

diámetro. Los objetos redondos (ruedas, recipientes, discos...) fueron utilizados por el hombre desde muy antiguo. Los antiguos egipcios (hacia 1600 a. de C.) ya sabían que existía una relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro; y entre el área del círculo y el diámetro al cuadrado (seguramente de forma intuitiva). En Mesopotamia, más o menos por la misma época, los babilonios utilizaban el valor 3'125 (3+1/8) según puede leerse en la Tablilla de Susa.

En el siglo II d. de C., Ptolomeo utiliza polígonos de hasta 720 lados y una

circunferencia de 60 unidades de radio para aproximarse un poco más, y da el valor 3 + 8/60 + 30/3600 = 377/120 = 3'14166... En China también se hicieron esfuerzos para calcular su valor. Liu Hui en el siglo III, utiliza polígonos de hasta 3072 lados para conseguir el valor de 3'14159, y Tsu Ch'ung Chi en el siglo V da como valor aproximado 355/113 = 3'1415929... De la India nos han llegado unos documentos llamados Siddhantas, que datan del 380 d. de C. Son unos sistemas astronómicos en los que se da a p el valor 3 + 177/1250, que es exactamente 3'1416. Pero el mayor logro conseguido con este método se debe al matemático alemán, residente en Holanda, Ludolf van Ceulen (1540-1610), que trabajó en el cálculo de p casi hasta el día de su muerte. Llegó a trabajar con polígonos de 43611.6862018.4271387.904 lados (262) consiguiendo una aproximación de 35 cifras decimales. Su deseo fue que, después de su muerte, se grabara sobre su lápida el número con los 35 decimales calculados.

Estudiemos cómo calcular fácilmente el valor del número pi: a) Buscamos cosas redondas. b) Medimos su perímetro (en la circunferencia se llama longitud). c) Medimos el diámetro (extremos de la circunferencia pasando por el centro). d) Dividimos el perímetro entre el diámetro (con la calculadora). El número obtenido es el número pi.


Juegos rompecocos Un poema

SOY Y SERÉ A TODOS DEFINIBLE

NI NOMBRE TENGO QUE DAROS

COCIENTE DIAMETRAL SIEMPRE INMEDIBLE

SOY DE LOS REDONDOS AROS.

Contando las letras de las palabras obtenemos las 20 primeras cifras del número pi.

Golmayo, Manuel (1883-1973)

Para practicar y repasar Enlaces de interés http://www.aplicaciones.info/decimales/geoplana.htm http://www.portalplanetasedna.com.ar/geometria1.htm http://www.angelfire.com/ar/geom/


PONTE A PRUEBA NOTA

1. (1,5)Hoy en la playa he estado volando mi cometa y al acabarse los 12 m de cuerda que tenía,

ha alcanzado la cometa una altura de 8 m. ¿Qué distancia habría en línea recta desde mi posición al punto perpendicular que indica la altura a la que se encuentra mi cometa?

2. (2,5)Calcula el área y el perímetro de las siguientes figuras:

a) Rectángulo de lados 6 y 8 mm. b) Triángulo rectángulo de catetos 7 y 14 dm. c) Cuadrado de lado 9 m. d) Decágono de lado 4 cm y apotema 5 cm. e) Trapecio de altura 6 cm y de bases 8 y 12 cm.

3. (1,5)Para el cumpleaños de mi sobrino Manuel hemos hecho un pastel que nos ha salido

perfectamente redondo. ¿Cuál es el área del círculo que se crea en la base del pastel si tiene de radio 16 cm. ¿Cuál será además la longitud de la circunferencia que delimita el pastel?

4. (1,5)La pizarra de mi aula tiene forma rectangular. Hoy la hemos dividido por la mitad para

hacer los ejercicios Marta y yo. Si la pizarra tiene de lados 4 m y 1,5 m. ¿Qué superficie de pizarra hemos usado tanto Marta como yo?

5. (1,5)Hoy he ido a comprar un televisor nuevo y me han dicho que tiene de diagonal 32 cm.

Yo no he entendido bien al vendedor de la tienda, pero he cogido un metro y he medido que la altura de la televisión es de 15 cm. ¿Cuánto medirá la anchura del televisor?:

6. (1,5)No sé si sabéis que hay una marca de coches cuyo logotipo es un rombo, el otro día se

me ocurrió medir las dos diagonales que forman el emblema de la marca y medía 8 cm y 12 cm cada una, ¿cuál es el área de la figura?

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