Ejercicios resueltos Geometría Plana (Calvache G)

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Nombre: Jimmy Pitacuar

Curso: GR"13"

SOLUCIONARIO DE GEOMETRÍA

ÁNGULOS

5) Dos ángulos son suplementarios; uno de ellos es disminuido en

rad para ser agregad

al otro de tal manera que este nuevo ángulo es igual a cuatro veces el resto del primero.

¿Cuánto mide el ángulo?

11) Dos veces la medida de un ángulo es

rad menos, que los

la medida de su

complemento. ¿Cuál es la medida del ángulo?

14) Los ángulos x, y, z son proporcionales a los números 4, 5 y 8. Hallar el .

D) ∡X+∡Y =180°

4(∡X - 15°)= ∡Y +15°

4∡X-60°= (180°-∡X) +15°

5∡X=255°

∡X=51°

D) ∡Y =180° -∡X

∡Y= 180°-51°

∡Y=129°

D)2∡X+30°= (180°- ∡X)

14∡X +210°= +540°- ∡X

17∡X=330°

∡X=19,41°

∡Y=5A=5(10,59°)

∡Y=52,94°

Pag. 34 (Ejercicio 33)



T) ∡X= ?

D) 40°+ ∡1=70°

∡1=30°

∡X+∡1=96°

∡X= 96°+30°

∡X=66°

T) ∡X= ?

D) 70°+ ∡X=95°

∡X=95°-70°

∡X= 25°

D) ∡1+∡2=114°

∡3+∡4=∡X

∡4= 18°

∡X=18°+∡3

∡X= 18°+24°

∡X=42°

T) ∡X= ?


Hipótesis: Tesis:

Demostración:

TRIÁNGULOS


T) ∡X= ?

D) ∡1=50°

∡1+4∡ α = 4∡w

50°=4∡w - 4∡α

∡w=12.5° + ∡α

2∡1 =100°

∡X+3∡w = ∡1+3∡α

∡X+3(12.5° + ∡α )= ∡1+3∡α

∡X+37.5°+3∡w = 50°+3∡α

∡X=50°- 37.5°

∡X =12.5°



CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS


D) ∡A+∡B +∡C=180°

50° +∡B+70° =180°

∡B=60°

∡B+∡D +∡E=180°

60°+∡D +80° =180°

∡D=40°

∡X=40°

H) ∡A=50°

∡C=70°

∡BED=80°

T) ∡X= ?

D) ∡2+23° =90°

∡2=67 °

2∡1=90°

∡1=45 °

∡B+∡1+∡2 =180°

∡B+45°+67°=180°

∡B=68°

∡B+∡X =90°

∡X =90°- 68°

∡X = 22°

T) ∡X= ?

H) AB=AC

BD=DC

∡1=∡2

T) BF=EC

D) ∡ABC =∡ACB

∡4=∡4

∡3=∡3

BD=DC

ΔBED ≅ ΔFDC

∡BED= ∡FDC

ED=FD

∡5+∡2 =∡5+∡1

ED=FD

BD=DC

ΔBFD ≅ ΔEDC

BF=EC



D) ΔADL ≅ ΔDLP

ΔPEM ≅ ΔMEC

∡A+84°+C=180°

∡A+∡C=96°

∡1+∡2+∡X=180°

∡1= ∡A

∡2= ∡C

∡A+∡C +∡X=180°

96°+∡X=180°

∡X=84°

H) AL=LP

PM=MC

∡X=?

T) ∡X= ?

D) ΔAPD ≅ ΔPBD

∡ABD= ∡A

ΔBQE ≅ ΔCEQ

∡EBQ=∡C

2∡A+2∡C+∡X=180°

∡ABC=∡A+∡C +∡X

2(∡ABC - ∡X)+∡X=180°

2∡ABC - 2∡X+∡X=180°

∡X=2∡ABC - 180°

T) ∡X= 2∡ABC-180°

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Pag. 81 (Ejercicio 3)



D) AC=AD+CD

AC=8+12

AC=20

∡C=∡C

ΔCDE ≈ ΔABC

∡CDE=∡CAB

∡CED=∡CBA

DE ‖ AB

H) CD= 12u

CE=15u

DA=8u

CB=25u

T) DE ‖ AB

D) ∡C=∡C

ΔABC ≈ ΔEDC

AB×EC=ED×BC

T) AB×EC=ED×BC

D) ΔAPM ≈ ΔAPB

AP2 =AB×AM

AP= AN

AN2 =AB×AM

H) PN bisectríz ∡MPB

AP= AN

T) AN2 =AB×AM



H) ΔABC Escaleno

AD= 2DB

CF=2FB

T) DE×EA=EC×EF

D) ∡B=∡B

AD=2DB

AB=AD+DB

AB=2DB+DB

AB=3DB

BC=BF+FC

BC=BF+2BF

BC=3BF

ΔABC ≈ ΔDBF

DF ‖ AC

∡C=∡DBF

ΔDEF ≈ ΔAEC

DE×EA=EC×EF

D) ∡1=∡1

∡2=∡2

ΔADP ≈ ΔPEB

∡5=∡6

∡6=∡6

ΔDQP ≈ ΔAPB

AP2 =b2×ab

AP2

=AB×AM

AP= AN

T) AP2 =b2×ab


D) ∡BAP=∡QAC

ΔABP ≈ ΔAQC

∡BDP=∡CDQ

ΔPBD ≈ ΔDQC

a.DQ=ab+ b2+b.DQ

H) AP=a

PD=b

T)

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS



D) AB2=3.6AC

AC=AD+DC

AC=7.2+DC

82=AC×HC

64=AC(3.6+DC)

64=(7.2+DC).(3.6+DC)

64=25.92+10.8DC+DC2

DC2+10.8DC-38.08=0

DC=2.8

∡2=∡2

ΔABC ≈ ΔDEC

DE=1.68

T) DE=1.68

D) ∡C=∡C

ΔHBC ≈ ΔADC

EC2=BC×DC

BD×DE=AC×HC

EC2=AC×HC

EC=

EC=

H) AB=BC

T) EC=

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS ESCALENOS



D) CD×AP×EB=DA×PE×CB

7×AP×8=9×PE×14

PE=

AE2 ×CB=(EB×AC2)+(CE×AB2)-(CE×EB×CB)

AE2 ×14= (8×162 )+ (6×172)-(6×8×14)

AE=14,9 u

AE=AP+PE

14,9=

PE+PE

13PE=14,9×4

PE=4,58 u

H) AB=17u

T) PE=

D)

EC=11,74

BEC=54,03 u2

T) BEC= u2


D) BC2= PC×AC

242 =PC(6+PC)

PC2+6PC-576=0

PC=21,19u

BP2= 242- 21,192

BP2= 11,27u

=

u2

BP=BO+OP

11,27=BO+OP

OP=11,27-BO

CE×BO×AP=BE×OP×AC

18×BO×6=6×OP×AC

18BO=OP(6+PC)

18BO=(11,27-BO)(6+21,19)

BO= 6,78u

u2

A = 69,66-17,96 u2

A = 51,7u2

T) A = 51,7u2


D) BD×AE×CF=AD×EC×BF

2×7×8=3×CE×17

EC=2,2

BC2= AB2+AC2-2(AB)(AC)cos∢A

92= 52+9,22-2(5)(9,2)cos∢A

∢A=71,86°

A

ABC=21,86 u2

A

DAE=9,98 u2

u2

T) DBEC= u2

CÍRCULOS



T) ∢X= 50°

D) 100°=

∢X=-90°+

∢X=-90°+140°

X=50°

D)

B=65°

T) ∢B= 65°



H) BD=OA=OE=OC

T)

D)

B=∢ -∢B

H)

T) AB=17,89

D)

ΔABD ≈ ΔABE

AB2=320

AB=17,89

CUERDAS

Deber (Ejercicio 9)

Deber (Ejercicio 3)

D) BC2=BP×PE

82= 82+102-2(8)(10)cos∢1

cos∢1=0,625

62= 62+PE2-2(6)cos∢1

PE=7,5

BE=BP+PE

BE=10+7,5

BE=17,5

BC2= BP×PE

BC2= 10×17,5

BC=13,23

D)

=

Deber (Ejercicio 2)


Demostración:

≈ DF2 = AF x FP

DF2 = (a+b)b

(a+b) b = AF x FP DF =

D)

=


Demostración:

AC x CB = DC x CP

48 = DC x CP

CP2 = 48

CP = 6.93

ÁREAS CIRCULARES


Tesis: Sx =?

Demostración:

cos

S

AC = 26.31 =

40°

Sa-b =

(

) cos

CD= 14.90

(

)

5.42

S

Sx = S S + Sa-b

= 125. 99 – 35.68 + 5.42 = 95.75 u2


Hipotesis: O1O2 =24

Tesis: Sx=?

O1O2 = O1A + R O1O2 = O1C + CO2 R22 = R1

2 + (O1O2)2 – 2R1 O1O2COS

24 = O1A +12 24 = 18 + CO2 122 = 182 + 242 – 2x18x24 cos

O1A = 12 CO2 = 6

SB-C =

(

) R1

2 = R22 + O1O2

2 – 2R2 O1O2 cos

= 3.44 u2 82 = 122 + 242 – 2x12x24 cos

BC2 = R12 + R1

2 - 2 R12 cos SA_B =

(

)

BC2 = 9 = 6.24 u2

=

S

= 26.15 Sx = S SB-C + SA_B

Sx= 26.15 + 3.44 + 6.24 Sx = 35. 83 u2

Deber (Ejercicio 1) Demostración:

Tan

EC = 102.68 L. coseno EC2 = DE2 + OC2 – 2OECO cos 102.68° 61 = R2 + R2 – 2R2 cos 102.68° 61 = 2R2 ( 1 – coas 102.68°) R = 5

SE-C =

(

) Sx = S SE-C

Sa-b =

(

) Sx =

+ 10.21

SE-C= 10.21 Sx = 25.21 u2


H) OM=MB=C

T) Sx=?

D) AM= =1039

cos =

= 60° β=120°

Sx=SAOB+S MAO

= 181,97 u2


SA-C =

(

)

SA-C =

(

)

SA-C = 8 = 2r + w w = 8 – 2r

BD= 2r + 2w

BD = 128 = 2r + 16 - 4r

BD = 2r = - r = 2.34 SO ( o, r ) = πR2 = π (2.34)2 Sx = 2 S A-C - SO ( o, r ) = 17.25 Sx= 36.53 – 17.25

Sx = 19.28 u2


(alt. Internos) ley senos

=

AO = 6.62= R

SD-B = =

(

)

=

SD-B = =

(

) BD = 8.51

SD-B = =

Ley cosenos S =

AO2 = AB2 + BD2 – 2BBD cosa 75° S =

AO2= 122 + 8.512 – 2x12x8.51 cosa 75° S = 49.06 AO = 12.79 Sx= S SD-B Sx = 58.35 u2 Pag. 172 (Ejercicio 19)

Tesis: Sx = ? Demostración:

56°= 110°

SO-B-C =

Ley senos Sx = S - SO-B-C

SO-B-C = 33.91

=

Sx=

– 33.91

PO = 20.94 Sx = 23.11 u2

Folleto (Ejercicio 92)

Hipótesis: OH= 5.56 u y HP = 12.48 u Tesis: calcular el área rayada. Demostración:

En En

OT2 = OP x OH

R2 = 18.04 x 5.56 R = 10

Sx = S - S

Sx=

Sx =

Sx= 25.9 u2


Tesis: x = ? Demostración:

180° 180° 118°

Pag. 174 (Ejercicio 38) Tesis: Sx = ? Demostración:

SO-B-A= =

=

= 12.56

Ley coseno PE2 = Po2 + OE2 – 2POxOEx cos 140 PE2 = 162 + 42 - 2x6x4xcos 140 PE = 9.42

Ley de senos

=

=

15.84

Ley de senos

=

=

PC = 5.04

S =

=

Sx= SO-B-A + S

S = 4.13 Sx = 12.56 + 4.13

Sx = 16.70 u2


R = R = 5.66

S 0-p-q =

=

AP = 8 – R

S 0-p-q = 25.16 AP = 2.84 = 2.74

Sx = 4 (S Sx = 4 ( 4.10) Sx = 16.4 u2

Deber (Ejercicio 6)

Demostración:

DC = DC = 17.32

En

Tan 30° =

OG= 5.77

SA-O-D =

=

OA = AG + r SA-O-G =

=

= 34.9 r = 11.55 – 10 = 28.85 = 1.55

SG-r= =

Sx = 36.42 + 11.32

= 3.77 SX = 47. 74 u2

POLÍGONOS

Folleto (Ejercicio 97) Cuántos lados tiene un polígono, cuyos ángulos internos sumados, es igual a la suma de los ángulos internos y externos de otro polígono de 16 lados.

=

+

180( n-2) = 180 (16 – 2) + 360 180 n – 360 = 2880 180 n = 3240 n = 18


H) S/// =

AB = 15 u

T) y =?

D) PQ = AB = 15

AP = QB = y

S1=

S1=

S2 = AB * y

S2 = 15y

S/// = 2S1 + S2

= 2(2,32y) +15y

= 19,64 y

tan 36° =

PD = 5,45

S3=

2S1 + S2 =

2(2,32y) +15y =

98,2y = 78,56 + 163,44y

y = 8,32 u

Deber (Ejercicio 9)

El radio de un polígono regular es 10 m y su área es 200√2 m². Determinar el número total

de diagonales que tiene el polígono. Respuesta 20

A =

α =

# Totales diagonales =

=

= 20


Calcular el lado de un cuadrado inscrito en un círculo si la superficie de un octágono regular inscrito

en el mismo círculo es 35,44 u². Respuesta 5 u.

Soct =

35,44 = R2 (8) sen

R2 =

R = 3,54 u

CB2 = R2 + R2

CB =

CB = 5 u

n

3 4 5 6 7 8

2,6 4

4,78 5,2

5,47 5,66

Folleto (Ejercicio 81) T) y = ?

D) x2 + x2 = R2

R = √2 x => x =

R2 = R2 + x2 – 2Rxcos (∆EOC)

0 =

OD2 = OE2 + ED2 – 2OE*ED*cos

0 = (R + y)2 – 2R*(R + y)*cos 41,4°

2R*cos 41,4° = R + y

y = 2R*cos 41,4° - R

= R ( 2* cos 41,4° - 1) = R(0,5)

=

Pag. 181 (Ejercicio 96) H) ABCD cuadrado

T) Sx = 5,37

D) SABCD = 25

S1 = π (2,5)2 = 19,63

Sx = SABCD - S1

Sx= 25 – 19,63

Sx =5,37 u2

Ejercicios resueltos Geometría Plana (Calvache G)

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