TEORÍA DE CONTROL

CompensaciónPéndulo Invertido

Teoría de Control

PÉNDULO INVERTIDO

El péndulo invertido es conocido por ser uno de los problemas más importantes y clásicos de la teoría de control. Se trata de un control inestable y no lineal. A menudo, es utilizado como ejemplo académico, principalmente por ser un sistema de control accesible, y por otro lado, permite mostrar las principales diferencias de control de lazo abierto y de su estabilización a lazo cerrado.

Se supone que la varilla no tiene masa, que la masa del carro es M y la masa en el extremo superior del péndulo invertido es m . Hay una fuerza externa, u(t), sobre el carrito en la dirección x, y una fuerza de gravedad que actúa sobre la masa del péndulo en todo momento .

El sistema de coordenadas elegido se define en la figura, donde x (t) representa la posición del carro y θ(t) es el ángulo de inclinación que se mide respecto de la dirección vertical.

xg

x

ygm.gL

θ

L.senθ

L.co

sθ

M

m

u(t)

Fr

0

Teoría de Control

ECUACIONES BÁSICASxg

x

ygm.gL

θ

L.senθ

L.co

sθ

M

m

u(t)

Fr

0

2( ) cos sen (1)M m x m L m L B x uθ θ θ θ+ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =

2( ) sen cos (2)J m L m L g m L xθ θ θ+ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

PÉNDULO INVERTIDO

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MODELO DE ESTADO

De las ecuaciones (1) y (2) se obtiene el modelo de estado.

Las variables de estado son : 1 2 3 4 , , y x x x x x xθ θ= = = =

1 22 2 2 2

3 3 4 3 22 2 2 2 2

3

3 4

23 2 4 3 3

4 2 2 2 23

sen cos ( )( sen ) cos ( ) ( )

cos sen ( ) sencos ( ) ( )

x xm L g x x J m L m L x x B x ux

m L x J m L m Mx x

m L x B x m L x x u g m M xx

m L x J m L m M

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅ =

⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ +

Considerando un punto de equilibrio en donde el carro se encuentra detenido en el origen de coordenadas y la barra se encuentra en la posición vertical, se halla el modelo lineal.

PÉNDULO INVERTIDO

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MODELO DE ESTADO LINEAL

2 2 2

2 2* *

2 2

0 1 0 0( )0 0

( ) ( )( ) ( ) ...0 0 0 1

( )0 0( ) ( )

...

B J m L m g LJ M m m M L J M m m M Lx t x t

m L B m g L M mJ M m m M L J M m m M L

+ ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅

= + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅

+

[ ]

2

2

2

*

0

( ) ( )0

( )

( ) ( ) 0 0 1 0 ( )

J m LJ M m m M L u t

m LJ M m m M L

y t t x tθ

+ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅−

⋅ + + ⋅ ⋅ = =

PÉNDULO INVERTIDO

Teoría de Control

MODELO DE ESTADO LINEAL

Considerando los siguientes valores M = 0.5 Kg; m = 0.2 Kg; B = 0.1 N.m/s; J = 0.006 N.m/s2; g = 9.8 m/s2 y L = 0.3 m el modelo queda:

[ ]

* * *

*

0 1 0 0 00 0.1818 2.673 0 1.818

( ) ( ) ( )0 0 0 1 00 0.4545 31.18 0 4.545

( ) 0 0 1 0 ( )

x t x t u t

y t x t

− − = + −

=

La función de transferencia del ángulo de inclinación es:

Como puede verse el sistema es inestable

( ) 4.5455( ) ( 5.565) ( 5.604) ( 0.1428)s s

U s s s sθ −

=− + +

PÉNDULO INVERTIDO

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PÉNDULO INVERTIDO

DISEÑO:

Se va a diseñar un control para mantener la barra del péndulo en posición vertical. Seconsidera en el diseño, una perturbación en la fuerza aplicada sobre el carro.Se plantea para ello el siguiente esquema de control:

Para determinar las condiciones de diseño, se va a utilizar la función de transferencia del sistema linealizado. Para el diseño, se analiza la estabilidad para un controlador con transferencia

( ) 1Gc z =

CONTROLADOR PLANTA

SENSOR

Fuerza sobre

el carroÁngulo de la barraREFERENCIA

+-

Fuerza deperturbación

Fuerza de

control

+

+ROC

D.A.C.

A.D.C.

T

T

Gc(z) Gp(s)

H(s)

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PÉNDULO INVERTIDO

DISEÑO:

Se considera para el diseño que la transferencia del sensor es: H(s)=1.Se va a utilizar una plataforma digital que muestrea a una frecuencia de 50 Hz.A partir de estos datos se calcula la transferencia discreta de la planta:

{ }1 ( ) ( ) 0,0009089( 0,9988)( 1)( ) (1 ) ( 0,9971)( 1,118)( 0,894)

pG s H s z zGH z zs z z z

Z− + −= − =

− − −

Aplicando la transformación BILINEAL se llega a :

7 512,751 10 ( 1,649 10 )( 100)2( )

( 0,1428)( 5,559)( 5,598)12

wTw w wGH w GH

wT w w w

− + × + × − = = + − + −

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PÉNDULO INVERTIDO

Los diagramas de Bode y Nyquist se muestra a continuación:

Im(GH)

Re(GH)

ω=0+

ω=+∞

ω=-∞

ω=0-

7 52,751 10 ( 1,649 10 )( 100)( )( 0,1428)( 5,559)( 5,598)

w w wGH ww w w

−× + × −=

+ − +

El sistema resulta inestable para cualquier valor de ganancia.

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PÉNDULO INVERTIDO

Para poder llevar el polo inestable alsemiplano izquierdo es indispensableeliminar el cero en el origen.

Analizando el lugar de raíces se puede desarrollar una técnica que permita llevar elsistema, a lazo cerrado, a una condición de estabilidad. Se analiza, en forma cualitativa,el movimiento de las raíces en el plano complejo.

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PÉNDULO INVERTIDO

De acuerdo a lo analizado, se agrega un polo en el origen para mejorar la estabilidad.El gráfico respuesta en frecuencia se muestra a continuación.

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PÉNDULO INVERTIDO

De acuerdo a lo analizado, se agrega un polo en el origen para mejorar la estabilidad.El gráfico respuesta en frecuencia se muestra a continuación.

Aún cancelando el cero, resulta imposibleestabilizar al sistema.

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PÉNDULO INVERTIDO

La condición para poder estabilizar el sistema es realimentar positivamente y generaruna zona del diagrama de Nyquist en donde N=-1. Para eso se necesita levantar lafase, para poder superar el valor de 0º. De este modo, el diagrama de Nyquist sería dela siguiente forma:

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Se va a utilizar la técnica de adelanto de fase para modificar la respuesta en frecuenciade acuerdo a lo analizado. Se tener en cuenta que el módulo en el primer cruce por 0ºdebe ser mayor a uno y en el segundo cruce, menor que la unidad. Por lo tanto, elavance de fase debe hacerse en donde la curva de ganancia tenga un valor que asegureel cruce por cero dB.

En baja frecuencia no se puede asegurar el cruce por 0 dB

En esta zona se debe adelantar mucho la fase

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PÉNDULO INVERTIDO

Se decide realizar el avance de fase centrado en ω=10 r/s, pero resulta que a esafrecuencia se debe avanzar más de 90º. Se va a utilizar una red doble de avance de 65º.Se procede al diseño de la red:

0 max10 65ºradseg

ω φ= =

1 1 20.341 1

MAXMAX

MAX

senasen aa sen

+ Φ−Φ = ⇒ = =

+ − Φ

0 45.107p aω ω= =0 2.2169c aωω = =

( )

2

1 20,35( 2.217)( )

45.11cwG w

w+ +

=

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PÉNDULO INVERTIDO

Finalmente, se debe ajustar la ganancia para que el cruce por 0 dB quede dentro de lazona de estabilidad.

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PÉNDULO INVERTIDO

Se debe aumentar la ganancia aproximadamente 14 veces.Finalmente el compensador total queda:

( )

2

2 ( 2.217)57( )

45.1196

CTwG w

w w++

=

Transformando el compensador a Z:

( ) ( )( ) ( )

2

2

0,9566 10,3783

28(

1.76

)CT

z zG z

z z+

−=

−

−

El algoritmo de control resulta:

28.76 ( ) 26.26 ( 1) 28.71 ( 2) 26.32 ( 3) ... ... 1.757 ( 1) 0.8997 ( 2) 0.1431 ( )

)3

( e k e k e k e ku u

uk u

kk k

⋅ − ⋅ − − ⋅ − + ⋅ − ++ ⋅ − − ⋅ − + −

=⋅

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PÉNDULO INVERTIDO

Simulación: