1Anlisis de la respuesta transitoria

Unidad IVMC Nicols Quiroz

Nicols Quiroz 2

Seales de prueba tpicas Las seales de prueba que se usan regularmente son

Funciones escaln Rampa Parbola Impulso Sinusoidales, etc.

Con estas seales de prueba, es posible realizar con facilidad anlisis matemticos y experimentales de sistemas de control, dado que las seales son funciones del tiempo muy simples.

La forma de la entrada a la que el sistema estar sujeto con mayor frecuencia bajo una operacin normal determina cul de las seales de entrada tpicas se debe usar para analizar las caractersticas del sistema.

2Nicols Quiroz 3

Respuesta transitoria y respuesta en estado estable

La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de dospartes: la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable.

Respuesta transitoria es la que va del estado inicial al estado final. Respuesta en estado estable, es la que obtiene la salida del

sistema conforme t tiende a infinito.

Nicols Quiroz 4

Estabilidad absoluta, estabilidad relativa y error en estado estable

Un sistema de control est en equilibrio si, en ausencia de cualquier perturbacin o entrada, la salida permanece en el mismo estado.

Un sistema de control lineal e invariante con el tiempo es: Estable si la salida termina por regresar a su estado de

equilibrio cuando el sistema est sujeto a una condicin inicial. Crticamente estable si las oscilaciones de la salida continan

para siempre. Es inestable si la salida diverge sin lmite a partir de su estado

de equilibrio cuando el sistema est sujeto a una condicin inicial.

3Nicols Quiroz 5

Estabilidad absoluta, estabilidad relativa y error en estado estable

La respuesta transitoria de un sistema de control prctico con frecuencia exhibe oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar unestado estable.

Error en estado estable. Es la diferencia entre lasalida de un sistema en estado estable y la entrada. Este error indica la precisin del sistema.

Al analizar un sistema de control, debemos examinar el comportamiento de la respuesta transitoria y el comportamiento en estado estable.

Nicols Quiroz 6

Sistemas de Primer OrdenFsicamente, este sistema representa un circuito RC, un sistema trmico o algo similar.

Analizaremos las respuestas del sistema a entradas: Escaln unitario Rampa unitaria Impulso unitario

Se supone que las condiciones iniciales son cero.Observe que todos los sistemas que tienen la misma funcin de transferencia exhibirn la misma salida en respuesta a la misma entrada.

11

)()(

+= TssRsC

La relacin entrada-salida:

4Nicols Quiroz 7

Respuesta escaln unitario de sistemas de primer orden

La funcin escaln unitario es 1/ssTs

sC 11

1)( +=

TssTsT

ssC

111

11)( +=+=

Expandir C(s) en fracciones parciales produce

Si tomamos la transformada inversa de Laplace 01)( / = tetc Tt

La salida c(t) es: Inicialmente cero y al final se vuelve unitaria. Para t = T, el valor de c(t) es 63.2% de su cambio total. Conforme ms pequea es la constante de tiempo T, ms rpida es

la respuesta del sistema. La pendiente de la lnea tangente en t = 0 es 1/T.

Nicols Quiroz 8

Respuesta escaln unitario de sistemas de primer orden

El estado estable se alcanza matemticamente en infinito. En la prctica, en cuatro constantes de tiempo se alcanza (2%).

5Nicols Quiroz 9

Para determinar experimentalmente si el sistema es o no de primer orden, grafique la curva logartmica |c(t) - c() |, en donde c(t) es la salida del sistema, como una funcin de t. Si la curva seconvierte en una lnea recta, el sistema es de primer orden.

Nicols Quiroz 10

Respuesta rampa unitaria de sistemas de primer orden

La funcin rampa unitaria es 1/s2 21

11)(

sTssC +=

11)(

2

2 += TsT

sT

ssC

Expandir C(s) en fracciones parciales produce

Si tomamos la transformada inversa de Laplace 0)( / += tTeTttc Tt

( )Te

eTtctrteTt

===

)(tcuando1

)()()(/

La seal de error e(t) es

6Nicols Quiroz 11

Respuesta rampa unitaria de sistemas de primer orden

El error despus de la entrada rampa unitaria es igual a T para una t suficientemente grande.

Entre ms pequea es la constante de tiempo T, ms pequeo es el error en estado estable despus de la entrada rampa.

Nicols Quiroz 12

Respuesta impulso unitariode sistemas de primer orden

La funcin impulso unitario

es R(s)=11

1)( += TssC

La transformada inversa de Laplace

0,1)( / = teT

tc Tt

7Nicols Quiroz 13

Una propiedad importante de los sistemas lineales e invariantes con el tiempo

Para una entrada rampa unitaria, la salida c(t) es

Para la entrada escaln unitario, que es la derivada de la entrada rampa unitaria, la salida c(t) es

Para la entrada impulso unitario, que es la derivada de la entrada escaln unitario, la salida c(t) es

Una comparacin de las respuestas del sistema para estas tres entradas indica con claridad que la respuesta a la derivada de una seal de entrada se obtiene diferenciando la respuesta del sistema para la seal original.

0)( / += tTeTttc Tt

01)( / = tetc Tt

0,1)( / = teT

tc Tt

Nicols Quiroz 14

Sistemas de Segundo Orden En algunos servomotores de cd, el campo magntico se produce

mediante un imn permanente y, por tanto, el flujo magntico es constante.

Los servomotores de cd con campos excitados en forma independiente, al igual que los servomotores de cd con imn permanente se controlan mediante la corriente de la armadura.

Un servomotor de cd tambin es manejado por un controlador de movimiento electrnico, con frecuencia denominado servomanejador. El servomanejador determina el movimiento de un servomotor de cd y opera en diversos modos. Algunas de las caractersticas son el posicionamiento de punto a punto, el perfilado programable de velocidad y aceleracin. El uso de un manejador de movimiento electrnico mediante un manejador de modulacin por ancho de pulso para controlar un servomotor de cd se observa con frecuencia en los sistemas de control de robots, de control numrico y otros de posicin y/o velocidad.

8Nicols Quiroz 15

Servomotor

a) Diagrama esquemtico de un sistema de seguimientob) diagrama de bloques para el sistemac) diagrama de bloques simplificado.

vcr eeecre=

=

Nicols Quiroz 16

Servomotor

La velocidad del servomotor controlado por armadura estdeterminada por el voltaje de la armadura ea. La ecuacin diferencial para el circuito de la armadura es

La ecuacin para el equilibrio de pares es

donde J0 es la inercia de la combinacin del motor, de la carga y el tren de engranes referida a la flecha del motor, bo es el coeficiente de friccin viscosa de la combinacin del motor, la carga y el tren de engranes referida a la flecha del motor.

9Nicols Quiroz 17

ServomotorLa funcin de transferencia entre el desplazamiento angular de la flecha del motor y el voltaje de error se obtiene

Suponemos que la relacin de engranes del tren de engranes es tal que la flecha de salida gira n veces por cada revolucin de la flecha del motor. Por tanto,

en donde C(s) = L[c(t)] y c(t) es el desplazamiento angular de la flecha de salida. La relacin entre Ev(s), R(s) y C(s) es

La funcin de transferencia en la trayectoria directa de este sistema es

El diagrama de bloques de este sistema se muestra en la figura b del sistema

Nicols Quiroz 18

Servomotor

Dado que La es, por lo general, pequea, puede pasarse por alto, y la funcin de transferencia G(s) en la trayectoria directa se convierte en

o

Donde:

La funcin de transferencia contien el trmino 1/s. Por tanto, este sistema posee una propiedad de integracin.

10

Nicols Quiroz 19

Respuesta escaln de sistemas de segundo orden

La funcin de transferencia en lazo cerrado del sistema

que puede rescribirse como

en donde se denomina atenuacin; n frecuencia natural no amortiguada y factor de amortiguamiento relativo del sistema. El factor de amortiguamiento relativo es el cociente entre amortiguamiento real B y el amortiguamiento crtico , o bienJKBc 2=

Los polos en lazo cerrado son complejos si , y son reales si . En el anlisis de la respuesta transitoria, es conveniente escribir

042 JKB

KBsJsK

sRsC

++= 2)()(

Nicols Quiroz 20

Comportamiento dinmico de un sistema de segundo orden ( y n)

En trminos de y n el sistema se convierte

La funcin de transferencia en lazo cerrado

Si 0 < < 1. Los polos en lazo cerrado son complejos conjugados y se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s. El sistema es subamortiguado y la respuesta transitoria es oscilatoria.

Si = 1. El sistema crticamente amortiguado. La respuesta transitoria no oscila.

Si > 1. Sistema sobreamortiguado. La respuesta transitoria no oscila.

Si =0. la respuesta transitoria no se amortigua.

11

Nicols Quiroz 21

1) Caso subamortiguado (0 < < 1)

en donde . La frecuencia d se denominafrecuencia natural amortiguada.

21 = ndPara una entrada escaln unitario, C(s) se escribe como

si C(s) se escribe en la forma siguiente:

Nicols Quiroz 22

1) Caso subamortiguado (0 < < 1), continuacin

La transformada inversa de Laplace

12

Nicols Quiroz 23

1) Caso subamortiguado (0 < < 1) continuacin

La seal de error para este sistema es la diferencia entre la entrada y la salida, y es

Esta seal de error presenta una oscilacin sinusoidal amortiguada. En estado estable, o en t =, no existe un error entre la entrada y la salida.

Si el factor de amortiguamiento relativo es igual a cero, la respuesta se vuelve no amortiguada y las oscilaciones continan indefinidamente.

n es la frecuencia a la cual el sistema oscilara si el amortiguamiento disminuyera a cero.

Nicols Quiroz 24

2) Caso crticamente amortiguado ( = 1)

Si los dos polos de C(s)/R(s) son casi iguales, el sistema se aproxima mediante uno crticamente amortiguado.Para una entrada escaln unitario, R(s) = 1/s y C(s) se escribe como

Este resultado se obtiene suponiendo que se aproxima a la unidad en la ecuacin y usando el lmite siguiente:

22

2

2)()(

nn

n

sssRsC

++=

13

Nicols Quiroz 25

3) Caso sobreamortiguado ( > 1)Los dos polos de C(s)/R(s) son reales negativos y diferentes. Para una entrada escaln unitario, R(s) = 1/s y C(s) se escriben como

La transformada inversa de Laplace

en donde y

Nicols Quiroz 26

3) Caso sobreamortiguado ( > 1)

Cuando es apreciablemente mayor que la unidad, uno de los dos exponenciales que decaen disminuye mucho ms rpido que el otro, por lo que el trmino exponencial que decae ms rpido puede pasarse por alto (corresponde a una constante de tiempo ms pequea).

La respuesta es similar a la de un sistema de primer orden, y C(s)/R(s) se aproxima mediante:

Con la funcin de transferencia aproximada C(s)/R(s), la respuesta escaln unitario se obtiene como:

La respuesta del tiempo c(t) es

14

Nicols Quiroz 27

Familia de curvas c(t) con diversos valores de

Un sistema subamortiguadocon entre 0.5 y 0.8 se acerca al valor final con mayor rapidez que un sistema crticamente amortiguado o sobreamortiguado.

Entre los sistemas que responden sin oscilacin, un sistema crticamente amortiguado presenta la respuesta ms rpida. Un sistema sobreamortiguado siempre es lento para responder a las entradas.

Nicols Quiroz 28

Definiciones de las especificaciones de respuesta transitoria

Las caractersticas de desempeo deseadas del sistema de control se especifican en trminos de cantidades en el dominio del tiempo.

Los sistemas que pueden almacenar energa no responden instantneamente y exhiben respuestas transitorias cada vez que estn sujetos a entradas o perturbaciones.

Si se conoce la respuesta a una entrada escaln, es matemticamente posible calcular la respuesta para cualquier entrada. sta es fcil de generar y es suficientemente drstica.

La respuesta transitoria de un sistema de control prctico exhibe con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estadoestable.

Al especificar las caractersticas de la respuesta transitoria de un sistema de control para una entrada escaln unitario, es comn especificar lo siguiente:

15

Nicols Quiroz 29

Especificaciones1. Tiempo de retardo, td: El tiempo requerido para que la respuesta alcance la

primera vez la mitad del valor final.2. Tiempo de levantamiento, tr: es el tiempo requerido para que la respuesta pase

del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Para sistemas subamortiguados de segundo orden, por lo comn se usa el tiempo de levantamiento de 0 a 100%. Para sistemas sobreamortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de 10 a 90%.

3. Tiempo pico, tp: es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primerpico del sobrepaso.

4. Sobrepaso mximo (porcentaje), Mp: el sobrepaso mximo es el valor pico mximo de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado estable de la respuesta es diferente de la unidad, es comn usar el porcentaje de sobrepaso mximo. Se define mediante

%100)(

)()(sobrepaso porcentaje Maximo

=c

ctc p

La cantidad de sobrepaso mximo (en porcentaje) indica de manera directala estabilidad relativa del sistema.

Nicols Quiroz 30

Especificaciones5. Tiempo de asentamiento, ts: es el tiempo que se requiere para que la

curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final del tamao especificado por el porcentaje absoluto del valor final (por lo general, de 2 a 5%) y permanezca dentro de l.

El tiempo de asentamiento se relaciona con la mayor constante de tiempo del sistema de control. Los objetivos del diseo del sistema en cuestin determinan cul criterio de error en porcentaje usar.

1. Tiempo de retardo, td2. Tiempo de subida, tr3. Tiempo pico, tp4. Sobrepaso mximo, Mp5. Tiempo de asentamiento, ts

Respuesta al escaln unitario

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Nicols Quiroz 31

Sistemas de segundo orden y especificaciones de la respuesta transitoria

Para un sistema subamortiguado se obtendrn los valores de: El tiempo de levantamiento El tiempo pico El sobrepaso mximo y el tiempo de asentamiento en trminos de y n. Un sistema de segundo orden tiene la siguiente ecuacin:

22

2

2)()(

nn

n

sssRsC

++=

Nicols Quiroz 32

Tiempo de levantamiento trSuponiendo que c(tr) = 1, o sea una respuesta al escaln unitario

Dado que ,

o bien

Por tanto, el tiempo de levantamiento tr es

Es evidente que para un valor pequeo de tr, d debe ser grande.

d

n

drt

=

=

1tan1

17

Nicols Quiroz 33

Tiempo pico tpRemitindonos a la ecuacin de la respuesta subamortiguada , obtenemos el tiempo pico diferenciando c(t) con respecto al tiempo y suponiendo que esta derivada es igual a cero. Por tanto,

Los trminos de coseno de esta ltima ecuacin se cancelan uno al otro y dcldt, evaluada en t = tp, se simplifica a

21 =

dn

Esta ltima ecuacin da lugar a la ecuacin siguiente:( ) K,3,2,,0o0sin == pdpd ttDado que el tiempo pico corresponde al primer pico de sobrepaso mximo

dppd tt

== El tiempo pico tp corresponde a medio ciclo de lafrecuencia de oscilacin amortiguada.

Nicols Quiroz 34

Sobrepaso mximo Mp

El sobrepaso se presenta en el tiempo pico o en t = tp = /. Portanto, a partir de la ecuacin c(t) , Mp se obtiene como

El porcentaje de sobrepaso mximo es ( ) %100/ de

18

Nicols Quiroz 35

Tiempo de asentamiento tsPara un sistema subamortiguado de segundo orden, la respuestatransitoria se obtiene a partir de la ecuacin

La constante de tiempo de estascurvas envolventes es 1/n. La velocidad de decaimiento de la respuesta transitoria depende del valor de esta constante

Nicols Quiroz 36

Tiempo de asentamiento tsvalor mnimo alrededorde = 0.76 (para el criterio del 2%)

= 0.68 (para el criterio del 5%)

Cuando se comparan las respuestasde los sistemas, por lo general definimos

el tiempo de asentamiento ts como

ns

ns

Tt

Tt

333

444

===

=== (criterio del 2%)

(criterio del 5%)

El valor de se determina, por lo general,a partir de los requerimientos del sobrepaso mximo permisible. La duracin del transitorio puede variarse, sin modificar el sobrepaso mximo, ajustando la frecuencia natural no amortiguada n.

19

Nicols Quiroz 37

Tiempo de asentamiento ts

Para una respuesta rpida, n debe ser grande. Para limitar el sobrepaso mximo Mp, y para reducir el tiempo de asentamiento, el factor de amortiguamiento relativo no debe ser demasiado pequeo.

Si el factor de amortiguamiento relativo est entre 0.4 y 0.8,el porcentaje de sobrepaso mximo para la respuesta escaln est entre 25 y 2.5%.

Nicols Quiroz 38

EjemploConsidere el sistema de la figura, en el que = 0.6 y n = 5 rad/seg.Obtener el tiempo de levantamiento tr, el tiempo pico tp, el sobrepaso mximo Mpy el tiempo de asentamiento ts,cuando el sistema est sujeto a una entrada escaln unitario.

A partir de los valores dados de y n, 3412 ==== nnd y

Tiempo de levantamiento tr:

drt

=en donde se obtiene mediante

rad93.034tantan 11 =

=

= d

seg55.04

93.014.3 ==rtel tiempo de levantamiento tr es

20

Nicols Quiroz 39

Ejemplo, continuacinTiempo pico tp: seg785.0

414.3 ===

dpt

Sobrepaso mximo Mp: ( ) 095.014.3)43(/ === eeM dp Por tanto, el porcentaje de sobrepaso mximo es 9.5%.

Tiempo de asentamiento ts: para el criterio del 2%

para el criterio del 5%

seg33.1344 === st

seg1333 === st

Nicols Quiroz 40

Comparando esta ecuacin con la ecuacin del servo, observamos que la realimentacin de velocidad tiene el efecto de aumentar el amortiguamiento. El factor de amortiguamiento relativo se convierte en

Sistema de seguimiento con realimentacin de velocidad

En este aparato se realimentala seal de velocidad a la entrada, junto con la seal de posicin, para producir una seal de error. En cualquier sistema de seguimiento, tal seal de velocidad se genera con facilidad mediante un tacmetro.

( ) KsKKBJsK

sRsC

h +++= 2)(

)(

KJKKB h

2+=

21

Nicols Quiroz 41

Sistema de seguimiento con realimentacin de velocidad

La frecuencia natural no amortiguada no se ve afectada por la realimentacin de velocidad. Considerando que el sobrepaso mximo para una entrada escaln unitario se controla manejando el valor del factor de amortiguamiento relativo , reducimos el sobrepaso mximoajustando la constante de realimentacin de velocidad Kh para que est entre 0.4 y 0.7.

La realimentacin de velocidad tiene el efecto de aumentar el factor deamortiguamiento relativo sin afectar la frecuencia natural no amortiguadadel sistema.

JKn /=

Nicols Quiroz 42

EjemploPara el sistema de la figura anterior , determine los valores de la ganancia K y la constante de realimentacin de velocidad Kh para que el sobrepaso mximo en la respuesta escaln unitario sea 0.2 y el tiempo pico sea 1 seg. Con estos valores de K y Kh, obtenga el tiempo de levantamiento y el tiempo de asentamiento. Suponga que J = 1 kg-m2 y que B = 1 N-m/rad/seg.

El sobrepaso mximo Mp se obtiene mediante la ecuacin

( ) 456.061.11

2.02

1/ 2 =====

eeM dp

El tiempo pico tp se especifica como 1 seg: 14.3seg1 === dd

pt

53.31 2

== dn

Dado que la frecuencia natural JKn /= mN5.1222 === nnJK

22

Nicols Quiroz 43

a partir de la ecuacin KJKKB h

2+=

Tiempo de levantamiento tr:d

rt =

seg65.0= rt

Tiempo de asentamiento ts:

seg48.24 == st

seg86.13 == stPara el criterio del 5 %

para el criterio del 2%

Nicols Quiroz 44

Respuesta impulso de sistemas de segundo orden

Para una entrada impulso unitario r(t), la transformada de Laplace correspondiente es la unidad, o R(s) = 1. La respuesta impulso unitario C(s) del sistema de segundo orden

22

2

2)(

nn

n

sssC

++=

La transformada inversa de Laplace de esta ecuacin da la solucin en el tiempo para la respuesta c(t), del modo siguiente:

Para 0 < 1

Para = 1

23

Nicols Quiroz 45

Respuesta impulso de sistemas de segundo orden

Para > 1

Tambin se obtiene el tiempo de respuesta c(t) diferenciando la respuesta escaln unitario correspondiente, dado que la funcin impulso unitario es la derivada con respecto al tiempo de la funcin de escaln unitario.

Para los casos crticamente amortiguado y sobreamortiguado, la respuesta impulso unitario siempre es positiva o cero; es decir, c(t) 0.

Nicols Quiroz 46

Respuesta impulso de sistemas de segundo orden

El rea bajo la curva de respuesta impulso unitario desde t = 0 hasta el tiempo del primer cero, es 1 + MP.Dado que la respuesta impulso unitario es la derivada de la funcin de respuesta escalnunitario.El sobrepaso mximo para la respuesta impulso unitario del sistema subamortiguado ocurre en

y el sobrepaso mximo es:

24

Nicols Quiroz 47

Anlisis de la Respuesta Transitoria con Matlab

Con frecuencia se usan respuestas transitorias (tales como las escaln, impulso y rampa) para investigar las caractersticas en el dominio del tiempo de los sistemas de control.

Representacin de sistemas lineales en MATLABLa funcin de transferencia en lazo cerrado de un sistema se

representa mediante dos arreglos de nmeros.

++= 25225)( 2 ss

sC [ ][ ]25412500

==

dennum

step(num,den), step(num,den,t)generarn grficas de respuestas escaln unitario

Nicols Quiroz 48

Para un sistema de control definido en el espacio de estados, endonde se conocen la matriz de estado A, la matriz de control B, la matriz de salida C, y la matriz de transmisin directa D de las ecuaciones en el espacio de estados, el comando step(A,B,C,D)generar grficas de respuestas escaln unitario.

iu escalar es un ndice dentro de las entradas del sistema y especifica cul entrada se va a usar para la respuesta y t es el tiempo especificado por el usuario.

Si el sistema contiene mltiples entradas y salidas, el comando step, produce una serie de grficas de respuestas escaln, una para cada combinacin de entrada y salida de

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Nicols Quiroz 49

Respuesta escaln unitario

25225)( 2 ++= sssC

Nicols Quiroz 50

Ejemplo. Respuesta escaln unitarioConsidere el sistema siguiente:

Para el sistema definido mediante

La matriz de transferencia G(s) es aquella que relaciona Y(s) y U(s)del modo siguiente:

La transformada de Laplace de las ecuaciones en el espacio de estados

Al obtener la matriz de transferencia suponemos que x(0) = 0.

(1)

(2)

(3)

(5)

(4)

26

Nicols Quiroz 51

Ejemplo. Respuesta escaln unitarioa partir de la ecuacin (4), obtenemos

Sustituyendo la ecuacin (6) en la ecuacin (5), obtenemos

(6)

la matriz de transferencia G(s) se obtiene mediante

La matriz de transferencia G(s) para el sistema determinado se convierte en

Nicols Quiroz 52

Ejemplo. Respuesta escaln unitario

Por tanto,

Se definen cuatro funciones de transferencia, dependiendo de cules seales se consideran como entrada y cules como salida. Cuando se considera la seal u1 como la entrada, suponemos que la seal u2 escero, y viceversa. Las cuatro funciones de transferencia son

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Nicols Quiroz 53

Ejemplo. Respuesta escaln unitarioLas cuatro curvas de respuesta escaln individuales se grafican mediante el comando step(A,B,C,D)

Nicols Quiroz 54

Respuesta impulsoLa respuesta impulso unitario de un sistema de control se obtienemediante alguno de los siguientes comandos de MATLAB:

Obtenga la respuesta impulso unitario del sistema siguiente:

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Nicols Quiroz 55

Ejemplo. Respuesta impulso unitario

Obtenga la respuesta impulso unitario del sistema siguiente: