Teoría de Control - Giraldo y Tabares.pdf

TEORIA DE CONTROL

Didier Giraldo B. e Ivan Tabares G.

1997

TABLA DE CONTENIDO

PREFACIO xi1 INTRODUCCION 11.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Sistema de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Sistema de control escalar en lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 Sistema de control escalar en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6 Problema basico de la Ingenierıa de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.7 Ejemplos de sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.8 Requerimientos de un sistema de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.9 Algunos tipos de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.9.1 Control adaptivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.9.2 Control optimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.9.3 Control digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.10 Ejemplo introductorio a los sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.11 Construccion del modelo matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.12 Linealizacion del modelo matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.13 Seleccion de u (Estrategia de control) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.14 Acciones basicas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.15 Efectos de la realimentacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.16 Efecto en la ganancia total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.17 Efecto en la estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.18 Efecto en la sensitividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.19 Efecto en la perturbacion externa o ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS 252.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Modelos matematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Clasificacion de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.1 Sistema determinıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.2 Sistema causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.3 Sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.4 Sistema invariante con el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

iii

iv

2.4 Ecuaciones de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4.1 Matriz de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5 Una ecuacion diferencial de n−esimo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6 Sistemas mecanicos de traslacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6.1 Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.6.2 Resorte traslacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.6.3 Amortiguador traslacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.7 Un metodo para obtener la ecuacion de estado y la de salida . . . . . . . . . 362.8 Otro metodo para obtener la ecuacion de estado y la de salida . . . . . . . . 392.9 Sistemas mecanicos de rotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.9.1 Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.9.2 Resorte rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.9.3 Amortiguador rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.10 Circuito serie R-L-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.11 Analogıa fuerza-torque-voltaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.12 Circuito paralelo R-L-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.13 Analogıa fuerza-torque-corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.14 Ecuaciones de estado para circuitos electricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.15 Metodo sistematico para obtener las ecuaciones de estado . . . . . . . . . . . . 572.16 Ecuaciones de estado con derivadas de las entradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.17 Otras analogıas electromecanicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.17.1 Palancas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.17.2 El transformador ideal como analogo de la palanca . . . . . . . . . . . . 642.17.3 El transformador como acoplador de impedancias . . . . . . . . . . . . . 642.17.4 La palanca como acoplador de elementos mecanicos . . . . . . . . . . . . 652.17.5 Sistemas acoplados de movimento rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.17.6 El engranaje como acoplador de elementos mecanicos . . . . . . . . . . 69

2.18 Linealizacion de un modelo matematico no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.19 El servomotor hidraulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.20 Gobernador de velocidad de una turbina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.21 Linealizacion de las ecuaciones de estado no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.22 Diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.23 Sistema de lazo cerrado sometido a una perturbacion . . . . . . . . . . . . . . . . 822.24 Reduccion de diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.25 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.25.1 Sismografo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.25.2 El servomotor bifasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.25.3 Motor de CC controlado en el inducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.25.4 Motor de CC controlado en el campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.26 Sensores de error en sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.26.1 Potenciometros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942.26.2 Synchros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.27 Ejemplos de control de posicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.27.1 Control de posicion con sensor de error potenciometrico . . . . . . . . 992.27.2 Control de posicion con synchros y motor DC . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.27.3 Control de posicion con synchros y motor bifasico . . . . . . . . . . . . 104

0.0 TABLA DE CONTENIDO v

2.28 Sistemas de nivel de lıquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062.29 Sistemas de nivel de lıquido con interaccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.30 Sistema de nivel de lıquidos no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.31 Sistemas neumaticos o de presion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132.32 Sistemas termicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3 SIMULACION Y SINTESIS DE FUNCIONES DETRANSFERENCIA 1213.1 El Amplificador Operacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.1.1 Algunos Circuitos con Amplificador Operacional . . . . . . . . . . . . . 1223.1.1.1Amplificador con dos Fuentes de Entrada 1223.1.1.2Sumador 1243.1.1.3Integrador 1253.1.1.4Derivador 1263.1.1.5Filtro de un Polo 128

3.2 Elementos de Calculo Analogico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.2.1 Solucion de ecuaciones diferenciales mediante la computadora

analogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.2.2 Elementos basicos de calculo analogico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

3.3 Solucion de ecuaciones diferenciales mediante la computadoraanalogicaSıntesis de funciones de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.3.1 Realizacion ”OBSERVER” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.4 Generacion de algunas funciones del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.5 Escalamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

3.5.1 Escalamiento en amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.5.2 Escalamiento en tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.6 Otras realizaciones para representar sistemas por ecuaciones deestado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.6.1 Realizacion ”CONTROLLER” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.6.2 Realizacion ”OBSERVABILITY” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1423.6.3 Realizacion ”CONTROLLABILITY” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4 ACCIONES BASICAS DECONTROL 1474.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.2 Clasificacion de los controles automaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.2.1 Controles de dos posiciones o de SI-NO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.2.2 Accion de control proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.2.3 Accion de control integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.2.4 Accion de control proporcional integral (PI) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1584.2.5 Accion de control proporcional y derivativo (PD) . . . . . . . . . . . . . 1604.2.6 Accion de control proporcional integral derivativo (PID) . . . . . . 161

4.2.6.1Algunas estructuras del controlador PID 1635 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO 1755.1 Estabilidad absoluta, estabilidad relativa y error estacionario . . . . . . . . 175

5.1.1 Estabilidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.1.2 Error estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

vi

5.1.3 Respuesta impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.1.4 Algunos teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.1.5 Sistema de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.1.5.1Respuesta al escalon unitario 1785.1.5.2Respuesta a la rampa unitaria 1815.1.5.3Respuesta al impulso unitario 181

5.1.6 Sistema de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.1.6.1Caso subamortiguado o respuesta con 0 < ζ < 1 1845.1.6.2Caso de amortiguamiento crıtico o respuesta con ζ = 1 1855.1.6.3Caso sobreamortiguado o respuesta con ζ > 1 1865.1.6.4Respuesta oscilatoria o caso de amortiguamiento nulo,

ζ = 0 1875.2 Especificaciones de respuesta transitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5.2.1 Especificaciones de respuesta transitoria para sistemas de segundoorden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915.2.1.1Tiempo de crecimiento o tiempo de levante tr 1915.2.1.2Tiempo de pico tp 1915.2.1.3Maximo sobreimpulsoMp 1925.2.1.4Tiempo de establecimiento ts 193

5.3 Sistemas de ordenes superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.3.1 Sistema de tercer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.3.2 Respuesta transitoria de sistemas mayor orden . . . . . . . . . . . . . . . 197

6 CRITERIOS DE ESTABILIDAD 1996.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6.1.1 Metodo de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006.2 Analisis de estabilidad por cancelacion de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

6.2.1 Explicacion de la diferencia en comportamiento de las realizacionesde las Figs 6.3 y 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

6.3 Controlabilidad y observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056.3.1 Aclaracion sobre controlalibidad y observabilidad . . . . . . . . . . . . . 207

6.4 Control por realimentacion de variables de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.5 Criterios algebraicos y frecuenciales de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

6.5.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2096.5.2 Criterio de Routh y Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

6.6 Criterios frecuenciales de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2146.6.1 El principio del argumento o del angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2146.6.2 El criterio de Mikhailov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2156.6.3 El criterio de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2186.6.4 Regla de las transiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2326.6.5 Estabilidad segun el diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

7 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA 2357.1 Especificaciones en el dominio frecuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2357.2 Correlacion entre respuestas transitoria y frecuencial para un

sistema de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2367.3 Estabilidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2387.4 Margen de amplitud y margen de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

0.0 TABLA DE CONTENIDO vii

7.4.1 Margen de amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2407.4.2 Margen de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2427.4.3 Margen de amplitud y margen de fase en el lugar de Bode . . . . . 243

7.5 Tecnicas de compensacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2477.5.1 Compensador de adelanto de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2477.5.2 Errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

7.5.2.1Tipo Cero 2517.5.2.2Tipo Uno 2517.5.2.3Compensacion con adelantor de fase 253

7.5.3 El compensador de atraso de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2587.5.3.1Compensacion con atrasador de fase 260

8 REALIMENTACION LINEAL DE LAS VARIABLES DEESTADO 2658.1 Realimentacion de las variables de estado y controlabilidad de los

modos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2668.1.1 Algunas formulas para la ganancia de realimentacion . . . . . . . . . 2678.1.2 Importancia de la forma canonica ”CONTROLLER” . . . . . . . . . 2688.1.3 Otras formulas para la ganancia de realimentacion . . . . . . . . . . . . 2708.1.4 Formula de Mayne-Murdoch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2718.1.5 Realimentacion del estado y los ceros de la funcion de

transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2728.1.6 Realizaciones no controlables y estabilizables . . . . . . . . . . . . . . . . . 2728.1.7 Reguladores, referencias diferentes de cero y seguimiento . . . . . . 273

8.1.7.1Referencias diferentes de cero 2738.1.7.2Perturbaciones de entrada constante y realimentacion

integral 2758.1.7.3Observaciones finales 278

9 DISENO DE OBSERVADORES ASINTOTICOS YCOMPENSADORES 2799.1 Observadores asintoticos para medida de los estados . . . . . . . . . . . . . . . . 279

9.1.1 Un observador en lazo abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2809.1.2 Un observador en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2819.1.3 Formulas para el vector de ganancias del observador . . . . . . . . . . 282

9.2 Observador y controlador combinados (compensadores). . . . . . . . . . . . . . 2839.2.0.1Implementacion del observador 2879.2.0.2Resumen 287

9.2.1 Perturbaciones constantes y realimentacion integrativa . . . . . . . . 287A TABLAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 293B PROGRAMA MATLAB 297B.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297B.2 Entrando matrices simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297B.3 Elementos de las matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298B.4 Declaraciones y variables del MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299B.5 Informacion sobre el espacio de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300B.6 Como terminar el programa y guardar el espacio de trabajo . . . . . . . . . 300B.7 Numeros y expresiones aritmeticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

viii

B.8 Formato de salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302B.9 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303B.10 Operaciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303B.11 Division de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304B.12 Funciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304B.13 Operaciones sobre arreglos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304B.14 Operaciones relacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305B.15 Operaciones logicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306B.16 Funciones matematicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306B.17 Manipulacion de vectores y matrices. Generacion de vectores. . . . . . . . 307B.18 Referencia a los elementos de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308B.19 Referencia a los elementos de una matriz usando vectores con

ceros y unos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309B.20 Matrices vacıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309B.21 Matrices especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310B.22 Construccion de matrices mas grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310B.23 Funciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311B.24 Polinomios y procesamiento de senales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311B.25 Procesamiento de senales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312B.26 Filtraje de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313B.27 Funciones como funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314B.28 Integracion numerica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315B.29 Ecuaciones no lineales y funciones de optimizacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . 315B.30 Funciones de ecuaciones diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316B.31 Graficos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317B.32 Graficos en dos dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317B.33 Creacion de un grafico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318B.34 Estilos de lıneas, marcadores y colores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319B.35 Adicion de lıneas a un grafico existente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320B.36 Datos complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320B.37 El archivo tipo m ”peaks”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321B.38 Graficos de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321B.39 Funciones especiales para graficas en dos dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . 326B.40 Graficos en 3 dimensiones. Graficos de lıneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327B.41 ”Meshgrid”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328B.42 Pseudocolor en graficas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330B.43 Graficas en malla y superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331B.44 Algunas funciones para graficos de proposito general. . . . . . . . . . . . . . . . 333B.45 Flujo de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334B.46 Lazos for. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334B.47 Lazos while. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336B.48 Declaraciones if y break. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336B.49 Archivos tipo m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337B.50 Archivos ”script”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337B.51 Archivos funcion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338B.52 Ayuda en lınea para los archivos m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

0.0 TABLA DE CONTENIDO ix

B.53 Comandos ”echo”, ”input”, ”keyboard”, y ”pause”. . . . . . . . . . . . . . . . . . 339B.54 Variables globales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340B.55 Cadenas de texto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340B.56 La funcion ”eval”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341B.57 Como incrementar velocidad y memoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342B.58 Archivos de entrada y salida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

C INTRODUCCION AL SIMULINK 345C.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345C.2 Construccion de un modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346C.3 Inicio de una simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

D EJERCICIOS PROPUESTOS 361D.1 Del capıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361D.2 Del capıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362D.3 Del capıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368D.4 Del capıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369D.5 Del capıtulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373D.6 Del capıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375D.7 Del capıtulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380D.8 Del capıtulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383D.9 Del capıtulo 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384BIBLIOGRAFIA 387

PREFACIO

Este libro presenta un estudio del analisis y diseno de sistemas de control de tiempocontinuo. Su objetivo es servir como texto para un primer curso en sistemas decontrol. Se espera que el estudiante tenga conocimientos previos sobre ecuacionesdiferenciales, analisis vectorial-matricial, circuitos, mecanica, la variable compleja yla transformada de Laplace.Esta edicion incluye una introduccion al programa MATLAB y a su herramienta

SIMULINK, en los apendices B y C, de gran utilidad para el analisis matematico, lasimulacion y el diseno de sistemas. En el apendice D se incluyen algunos problemastıpicos.El capıtulo 1 es una introduccion a los sistemas de control realimentados en el que

se incluye el analisis y control de un pendulo invertido. Se introducen los efectos dela realimentacion.El capıtulo 2 presenta la forma de modelar sistemas fısicos mecanicos, electricos,

termicos, de nivel de lıquido, etc. Los modelos se presentan en su forma basica deecuaciones diferenciales. Se pasan luego a su representacion clasica de funciones detransferencia y a la moderna del espacio de estado. Se linealizan sistemas no linealesalrededor de un punto de operacion.El capıtulo 3 se refiere a la simulacion y sıntesis de funciones de transferencia

utilizando el amplificador operacional y se presentan varias representaciones o reali-zaciones canonicas basicas. Tambien se incluye el escalamiento en amplitud y tiempo.El capıtulo 4 presenta las acciones basicas de control utilizadas por la industria.El capıtulo 5 se refiere al analisis de las respuestas de un sistema en el tiempo.

Se enfatiza el sistema de segundo orden para establecer las especificaciones de larespuesta transitoria.El capıtulo 6 estudia diferentes criterios de estabilidad algebraicos y frecuenciales.

Se enfatiza el criterio de Nyquist.El capıtulo 7 trata sobre el diseno de sistemas realimentados en el dominio de la

frecuencia utilizando compensadores.En el capıtulo 8 se estudia el metodo moderno del control por realimentacion de

variables de estado.El capıtulo 9 es un complemento al capıtulo 8 ya que trata sobre el diseno de

observadores asintoticos para estimar las variables de estado.

xi

CAPITULO 1

INTRODUCCION

1.1 Objetivo

Dar algunas definiciones utilizadas en sistemas de control, presentar algunos ejemplosen forma puramente descriptiva y desarrollar un ejemplo introductorio en el cual sehace el analisis, la linealizacion y el esbozo del diseno de un sistema de control. Sepresentan, solo para sistemas estaticos, algunos de los efectos de la realimentacion encaracterısticas de los sistemas que la utilizan, tales como la estabilidad, la gananciatotal y la sensitividad; y tambien los efectos en las perturbaciones externas o ruido.

1.2 Sistema

Es un modelo de un dispositivo o de un conjunto de ellos existentes en el mundo real(sistema fısico).En general, el estudio de sistemas fısicos consta de cuatro partes: modelaje, des-

cripcion matematica, analisis y diseno.Para desarrollar el modelo de un sistema fısico es necesario un profundo conocimien-

to del mismo y de los rangos de operacion. Una vez obtenido el modelo, el pasosiguiente es la descripcion matematica, la cual se obtiene utilizando leyes fısicas. Apartir de la anterior se puede hacer el analisis cuantitativo que consiste en hallarlas respuestas debido a la aplicacion de ciertas senales de entrada; y el cualitativoque consiste en analizar ciertas propiedades tales como estabilidad, controlabilidad yobservabilidad.Si la respuesta del sistema no es satisfactoria, el sistema debe ser mejorado u

optimizado, ya sea ajustando ciertos parametros o en otros casos introduciendo com-pensadores.

1.3 Sistema de control

1

2 INTRODUCCION

Es aquel cuyo fin es obtener varias respuestas deseadas (a partir de ciertas entradas)

Figura 1.1 Bloque que representa un sistema

La Fig. 1.1 muestra un bloque que representa un sistema multivariable en el que sesupone hay una descripcion matematica entre las salidas, y =

£y1 y2 . . . yn

¤ty las entradas u =

£u1 u2 . . . um

¤t. Cuando m = n = 1 el sistema es es-

calar.

1.4 Sistema de control escalar en lazo abierto

Aquel que utiliza un controlador (un sistema) en cascada con el sistema a ser con-trolado (planta o proceso) para obtener la respuesta deseada, como se muestra en laFig. 1.2.

Figura 1.2 Sistema de control escalar en lazo abierto

1.5 Sistema de control escalar en lazo cerrado

Aquel que utiliza una medida de la salida actual para compararla con la respuestadeseada, como se muestra en la Fig. 1.3.Un transductor es un dispositivo que convierte una senal a otra, generalmente

electrica. Ejemplos: potenciometros, tacogeneradores, termocuplas, termistores, pre-sostatos, flotadores, etc.

1.6 Problema basico de la Ingenierıa de Control 3

Figura 1.3 Sistema de control escalar con realimentacion

1.6 Problema basico de la Ingenierıa de Control

Figura 1.4 Estructura general de un sistema de control

El problema basico de la Ingenierıa de Control es determinar una entrada u =

4 INTRODUCCION

£u1 u2 . . . um

¤t(vease Fig. 1.4) de modo que imparta sobre la salida c =£

c1 c2 . . . cp¤tcierto comportamiento deseado.

Un sistema de control se define como un servo si la salida c(t) es disenada paraseguir lo mas cercanamente posible una senal de referencia dada r(t). Cuando la senalde referencia r(t) es constante se habla de un regulador mejor que un servo.Si el controlador es un ser humano, se dice que el sistema es controlado manual-

mente.

1.7 Ejemplos de sistemas de control

Ejemplo 1.1 Una lavadora puede ser el ejemplo de un sistema de control en lazoabierto, en donde la salida es el grado de limpieza actual y la referencia es el gradode limpieza deseado. Vease Fig 1.5.

Figura 1.5 Sistema de control en lazo abierto

Ejemplo 1.2 La Fig. 1.6 muestra un sistema de control manual del nivel de lıquidoen un tanque ya que el ser humano sensa la salida (nivel actual), la compara con elnivel deseado (senal de referencia) y abre o cierra la valvula de entrada del lıquidodependiendo del resultado anterior.

Ejemplo 1.3 En el sistema de control en lazo cerrado de la Fig. 1.7 la senal resul-tante de la comparacion (comparador) entre la de referencia y otra que es proporcionalal nivel actual del lıquıdo (salida) en el tanque (sensor de nivel) es la entrada al con-trolador o cerebro del sistema, el cual genera una senal (variable de control) quedespues de ser amplificada en potencia (actuador) actua sobre la valvula para variarel caudal de entrada al tanque. Notese que se pretende que la salida, despues de ciertotiempo, sea igual al nivel deseado.

1.7 Ejemplos de sistemas de control 5

Figura 1.6 Sistema de control manual

Figura 1.7 Sistema de control escalar en lazo cerrado

Ejemplo 1.4 En la Fig. 1.8 las senales de salida de la planta (generador sıncronomas el motor DC y la carga) son la magnitud del voltaje generado y la frecuencia (que

6 INTRODUCCION

es proporcional a la velocidad del motor DC). Estas despues de ser comparadas consenales de referencia son aplicadas a controladores, y sus salidas, que son amplificadas(actuadores) actuan sobre el campo del generador sıncrono y la armadura del motorDC, respectivamente. Observese que se pretende que las salidas, despues de ciertotiempo, sean iguales a la magnitud del voltaje generado y la frecuencia deseadas.

Figura 1.8 Sistema de control bivariable en lazo cerrado

Ejemplo 1.5 La Fig. 1.9 muestra el sistema de control en lazo cerrado de un sistematermico. La variable que se desea controlar es la temperatura actual del agua a lasalida del tanque y la senal de referencia es la temperatura deseada. La variable decontrol (salida del controlador) es la entrada al actuador, cuya salida manipula elflujo de vapor hacia el intercambiador de calor.

1.7 Ejemplos de sistemas de control 7

Figura 1.9 Sistema de control en lazo cerrado de un sistema termico

Figura 1.10 Sistema de control en lazo cerrado multivariable

8 INTRODUCCION

Ejemplo 1.6 En la Fig. 1.10 se muestra un sistema de control multivariable de unaplanta de generacion termica en el que las salidas del sistema son: oxıgeno (o) enla caldera, temperatura (t) y presion (p) del vapor, y la magnitud y frecuencia delvoltaje generado (v y f). En este caso el controlador es un computador digital. SO,ST, SP, SV y SF representan los sensores de oxıgeno, temperatura, presion, voltaje yfrecuencia, respectivamente. GV es el gobernador de velocidad de la turbina, A/D esel conversor analogo-digital, D/A es el conversor digital-analogo y a, c, y ai simbolizanel agua, el combustible y el aire que le entran a la caldera, respectivamente.

1.8 Requerimientos de un sistema de control

Aunque los requerimientos de un sistema de control dependen logicamente de losobjetivos del diseno, se pueden enunciar, en general, los siguientes:

1. Debe ser estable.

2. Las respuestas deben ser razonablemente rapidas y razonablemente amortiguadas.

3. Los errores (si los hay), se deben reducir a un mınimo tolerable.

1.9 Algunos tipos de control

1.9.1 Control adaptivo

Es el que examina o identifica la planta para ajustar los parametros del controlador avalores optimos. Es decir, se adapta a los cambios de la planta o cambios ambientalesque afectan la misma.

1.9.2 Control optimo

Aquel cuya funcion objeto consiste en minimizar o maximizar variables tales comocombustible, energıa, tiempo, etc.

1.9.3 Control digital

Es aquel en el que el controlador es un microprocesador (computador digital) o unmicrocontrolador. La topologıa tıpica de este tipo de control se muestra en la Fig.1.11.

1.10 Ejemplo introductorio a los sistemas de control 9

Figura 1.11 Topologıa tıpica de un sistema de control digital

1.10 Ejemplo introductorio a los sistemas de

control

Figura 1.12 El pendulo invertido

En la Fig. 1.12 la barra B es restringida a movimientos en el plano del papel y esbalanceada sobre la parte superior del carro C.

10 INTRODUCCION

El objetivo de control es mantener la barra verticalmente tanto como sea posible. Labarra y el carro constituyen la planta o el sistema a ser controlado. La planta serıainestable sin la asistencia de la senal de control (fuerza de control) u. Esta no es unacaracterıstica general de sistemas controlados; la razon de este ejemplo es enfatizarque aun sistemas inestables pueden ser adecuadamente controlados. Para simplificarel analisis, se supondra ausencia total de fuerzas perturbadoras predecibles.Para lograr el objetivo de control se instala un motor en el carro y a traves de en-granajes se genera una fuerza u sobre las ruedas del carro. Esta solucion es basadaen la intuicion. Para sistemas mas complejos la intuicion podrıa fallar. Consideresepor ejemplo los sistemas de las Figs. 1.13 y 1.14.

Figura 1.13 Sistema no controlable de 2 barras

Figura 1.14 Sistema controlable de 2 barras

1.11 Construccion del modelo matematico 11

El sistema de la Fig. 1.14 puede ser balanceado mientras que el sistema de la Fig.1.13 no. Esto se debe a que el de la Fig. 1.14 es controlable y el de la Fig. 1.13 no.Los conceptos de controlabilidad y observabilidad, desarrollados por la teorıa decontrol moderno seran vistos posteriormente.

1.11 Construccion del modelo matematico

El modelo debe revelar como la salida del sistema, representada en este caso por ladesviacion angular φ, es afectada por la senal de control u.Para obtener el modelo matematico, representado por un sistema de ecuaciones dife-renciales, se necesita usar relaciones basicas de la mecanica clasica aplicables a estesistema fısico.

Figura 1.15 Diagramas de cuerpo libre de la barra y el carro

En la Fig. 1.15 las coordenadas de los centros de gravedad con respecto a un origenarbitrariamente escogido son:

1. Para el carro:posicion horizontal = y

2. Para la barra:posicion horizontal = y + L senφ

12 INTRODUCCION

posicion vertical = L cosφ

Si se toman momentos alrededor del centro de gravedad de la barra y sumando lasfuerzas que actuan sobre el carro y la barra en direcciones vertical y horizontal, seobtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Id2φ

dt2= V L senφ−HL cosφ (1.1)

V −mg = m d2

dt2(L cosφ) (1.2)

H = md2

dt2(y + L senφ) (1.3)

u−H =Md2y

dt2(1.4)

El momento de inercia de la barra I se calcula con respecto a su centro de gravedady es I = 1

3mL2.

El sistema de ecs. (1.1) a (1.4) se puede reescribir de la siguiente manera:

I..

φ = V L senφ−HL cosφ (1.5)

V −mg = −mL(..

φ senφ +.

φ2cosφ) (1.6)

H =m..y + mL(

..

φ cosφ −.

φ2senφ) (1.7)

u−H =M..y (1.8)

Notese que estas ultimas son ecuaciones diferenciales no lineales. Las 4 variablesdesconocidas son φ, y, V , H, suponiendo que u podrıa ser especificada.Notese que este es un problema mas de sıntesis que de analisis puesto que se debeespecificar una funcion adecuada para la senal de control u. Este problema no essimple y no tiene solucion unica.

1.12 Linealizacion del modelo matematico

Aunque las ecs. (1.5) a (1.8) podrıan ser resueltas por simulacion, ya sea con uncomputador analogo o con programas de simulacion como el MATLAB, el PSI, elCC, u otro, se hara por linealizacion.Cualquier sistema de ecuaciones diferenciales no lineales puede ser linealizado si lasvariables dependientes son limitadas a pequenas variaciones alrededor de un punto,llamado punto de operacion.

1.13 Seleccion de u (Estrategia de control) 13

Notese de las ecuaciones que la no linealidad aparece fundamentalmente en la variableφ. Considerese entonces solo relativas pequenas desviaciones del angulo φ: φ¿ 1rad.Utilizando la expansion en series de Taylor:

f(x) =∞Xn=0

f (n)(xo)

n!(x− xo)n (1.9)

las funciones senφ y cosφ se pueden expandir alrededor del punto φ = 0:

senφ = φ− φ3

3!+ · · · ≈ φ (1.10)

cosφ = 1− φ2

2!+ · · · ≈ 1 (1.11)

Reemplazando (1.10) y (1.11) en las ecuaciones (1.1) a (1.4) se obtiene:

I..

φ = V Lφ−HL (1.12)

V −mg = 0 (1.13)

H = m..y + mL

..

φ (1.14)

u−H =M..y (1.15)

Eliminando V y H del anterior sistema de ecuaciones se obtiene:

(I +mL2)..

φ +mL..y − mgLφ = 0 (1.16)

mL..

φ + (m+M)..y = u (1.17)

1.13 Seleccion de u (Estrategia de control)

Consideraciones:

1. El objetivo de control es mantener la barra verticalmente, la cual es una frasevaga, y por lo tanto se necesita un criterio mas especıfico. Por ejemplo, restringirφ de modo que |φ| nunca exceda 1o, o que φ se aproxime a cero asintoticamente.

2. La estrategia debe resultar en un sistema que pueda ser facilmente implementadocon dispositivos fısicos.

14 INTRODUCCION

3. Seleccionar u tal que al ser reemplazada en (1.17) se pueda obtener la solucionde la salida del sistema.

Para supervisar y controlar el angulo φ se escoge la estructura del sistema como semuestra en la Fig. 1.16.

Figura 1.16 Estructura de control para el pendulo invertido

El sensor da informacion sobre φ la cual es realimentada a un transductor de po-tencia el cual genera la senal u para corregir la posicion del carro. Notese que estaestructura es del tipo lazo cerrado. Se tiene libertad en escoger la senal u(φ), es decircomo reacciona el motor en respuesta a la senal del sensor φ. Se deben considerarlimitaciones fısicas del sensor y del transductor.Se consideraran cualidades dinamicas de sistemas de control que se obtienen haciendosimples suposiciones acerca de las reacciones del transductor.

1.14 Acciones basicas de control

(a) CONTROL PROPORCIONAL:

La estrategia mas simple de control se obtiene cuando el motor produce una fuerzaproporcional a la desviacion angular, es decir:

u = K1φ (1.18)

donde K1 en el sistema MKS tiene dimensiones Newtons/Radian.Notese que se han despreciado los retardos en tiempo debidos al sensor y el motor; esdecir, se ha supuesto que ellos responden instantaneamente, lo cual fısicamente no esposible. Sin embargo, la aproximacion es de naturaleza realıstica (las constantes detiempo del sistema mecanico son mucho menores que las del electrico).

1.14 Acciones basicas de control 15

Reemplazando (1.18) en (1.17) y escribiendo de nuevo (1.16) se obtiene:

(I +mL2)..

φ +mL..y − mgLφ = 0 (1.19)

mL..

φ + (m+M)..y −K1φ = 0 (1.20)

Eliminando..y de (1.19) y (1.20) se obtiene (1.21):

..

φ +K1 − g(m+M)

I(m+M) +mML2mLφ = 0 (1.21)

Definiendo:

ω2 =K1 − g(m+M)

I(m+M) +mML2mL (1.22)

a =K1

m+M(1.23)

b =mL

m+M(1.24)

Utilizandolas en (1.21) y (1.19) se obtienen (1.25) y (1.26):

..

φ + ω2φ = 0 (1.25)

..y = aφ− b

..

φ (1.26)

Notese que φ es independiente de y, pero lo opuesto no es cierto.

Se suponen las siguientes condiciones iniciales: y(0) =.y (0) =

.

φ (0) = 0, φ(0) = φo.Si se define la ganancia crıtica, Kcr como:

Kcr = g(m+M) (1.27)

se pueden considerar los tres siguientes casos, cuyas respuestas se pueden obtenerfacilmente utilizando la Transformada de Laplace en las ecs (1.25) y (1.26):

i. K1 > Kcr (Ganancia supercrıtica)

φ = φo cosωt (1.28)

y = φoa+ bω2

ω2(1− cosωt) (1.29)

ii. K1 = Kcr (Ganancia crıtica)

16 INTRODUCCION

φ = φo (1.30)

y = φoa

2t2 (1.31)

iii. K1 < Kcr (Ganancia subcrıtica)

φ = φo cosh |ω|t (1.32)

y = φoa− b|ω|2|ω|2 (cosh |ω|t− 1) (1.33)

Las respuestas φ para cada uno de los casos se muestran en la Fig. 1.17.

0 2 4 6 8 10-10

-5

0

5

10

15

20

25

tiempo (segs)

posi

ción

ang

ular

(gr

ados

)

iii

ii

i

Figura 1.17 Diferentes respuestas del pendulo con accion proporcional

Notese que este sistema de control proporcional tiene una respuesta inaceptable paravalores muy bajos de K1. El motor es demasiado debil para corregir las desviacionesangulares, ası el angulo crecera indefinidamente hasta que la barra cae. Se diceentonces que el sistema es inestable.

1.14 Acciones basicas de control 17

Para K1 > Kcr, la barra y el carro desarrollan oscilaciones armonicas (como las deun pendulo sin amortiguamiento). Notese que la barra no cae y se puede decir que elobjetivo de control ha sido pobremente satisfecho.

(b) CONTROL PROPORCIONAL MAS DERIVATIVO

Las oscilaciones debidas al control proporcional se pueden amortiguar por medio delcontrol derivativo. La presencia de oscilaciones no amortiguadas se debe al hecho deque el motor actua solo despues de que la desviacion angular ya ha ocurrido. Tienesentido entonces hacer que el motor actue cuando las desviaciones esten a punto deocurrir; es decir, que la fuerza de control actue antes de que la desviacion ocurra. Una

posible solucion es hacer la fuerza de control u una combinacion lineal de φ y de.

φ:

u = K1φ+K2.

φ (1.34)

Obviamente se requiere un sensor mas sofisticado que mida φ y.

φ o un medio dediferenciar la senal φ. La inclusion de la derivada de una senal significa fısicamenteque se esta habil para desarrollar un cierto grado de prediccion de los valores futuros

de φ, ya que.

φ es una medida de la rata de cambio de φ dando una indicacion haciadonde tiende.Reemplazando (1.34) en (1.17) y escribiendo de nuevo (1.16) se obtiene:

(I +mL2)..

φ +mL..y − mgLφ = 0 (1.35)

mL..

φ + (m+M)..y −K1φ−K2

.

φ = 0 (1.36)

Eliminando..y de (1.35) y (1.36) se obtiene:

..

φ + 2α.

φ + ω2φ = 0 (1.37)

donde

α =1

2

mLK2I(m+M) +mML2

ω2 =K1 − g(m+M)

I(m+M) +mML2mL

Suponiendo las mismas condiciones iniciales anteriores y utilizando la Transformadade Laplace se puede resolver la ecuacion diferencial (1.37) y su solucion es:

φ = φoω√

ω2 − α2e−αt sen(

pω2 − α2t+ arctan

√ω2 − α2

α) (1.38)

que es valida para valores reales del radical y cuya forma de onda se muestra en laFig. 1.18.

18 INTRODUCCION

0 2 4 6 8 10 12-2

0

2

4

6

8

10

tiempo (segs)

posi

ción

ang

ular

(gr

ados

)

Figura 1.18 Respuesta del pendulo correspondiente a la ec. (1.38)

0 5 10 150

2

4

6

8

10

tiempo (segs)

posi

ción

ang

ular

(gr

ados

)

Figura 1.19 Respuesta del pendulo correspondiente a la ec. (1.39)

Cuando el termino derivativo es grande en comparacion con el termino proporcional, elradical se hace imaginario y la respuesta del sistema en este caso es sobreamortiguaday dada por la ec. (1.39).

1.15 Efectos de la realimentacion 19

φ =φo2

1√α2 − ω2

h(α+

pα2 − ω2)e−(α−

√α2−ω2)t − (α−

pα2 − ω2)e−(α+

√α2−ω2)t

i(1.39)

Esta solucion, que se muestra en la Fig. 1.19, ocurre cuando α > |ω|.Notese de las Figs. 1.17, 1.18 y 1.19 la superioridad de este ultimo control sobre elcontrol proporcional, para este caso particular.Es importante anotar que con la salida considerada, la posicion angular de la barra,el sistema no es observable (concepto que sera visto posteriormente) y por lo tantono todas las frecuencias naturales (que deciden la estabilidad del sistema) aparecen ala salida. Si se considera tambien como salida la posicion lineal del carro, y, se notaraque el sistema es inestable, aun en lazo cerrado. Por lo tanto es necesario incluir otrocontrolador. Esta solucion se plantea mediante simulacion en el apendice C.Existen otras estrategias de control, lineales y no lineales, como por ejemplo el controlON-OFF, cuya ley de control se define por la ecuacion (1.40).

u =φ

|φ|umax = umaxsgn(φ) (1.40)

El controlador propuesto en este ejemplo introductorio no se garantiza para otrascondiciones que las supuestas en el analisis, es decir, para pequenas (infinitesimalesen el sentido estricto) perturbaciones.

1.15 Efectos de la realimentacion

Hasta ahora se ha visto en los ejemplos, de manera simplificada, que la realimentaciontiene como proposito reducir el error entre la entrada de referencia y la salida delsistema. Sin embargo, este es apenas uno de los propositos de la realimentacion.Se mostrara que esta tambien tiene efectos en caracterısticas del sistema como laestabilidad (como en el ejemplo introductorio), el ancho de banda, la ganancia total,la impedancia y la sensitividad.Por simplicidad, por ahora, se usara la notacion del sistema estatico.

Figura 1.20 Sistema con realimentacion

20 INTRODUCCION

En la Fig. 1.20 considerese que G y H son ganancias constantes. Por lo tanto:

c = Ge = G(r − b) = Gr −GHc (1.41)

De (1.41) se obtiene la ganancia total M :

M =c

r=

G

1 +GH(1.42)

1.16 Efecto en la ganancia total

De (1.42) se nota que la realimentacion afecta la ganancia G del sistema sin rea-limentacion por un factor de (1 + GH). La cantidad GH podrıa incluir un signomenos; asi el efecto general de la realimentacion podrıa incrementar o decrementar laganancia.En un sistema de control practico G y H son funciones de la frecuencia y por lo tantola magnitud de 1 +GH podrıa ser mayor que 1 en un rango de frecuencia y menorque 1 en otro. Por eso la realimentacion podrıa incrementar la ganancia del sistemaen un rango de frecuencia pero decrementarla en otro.

1.17 Efecto en la estabilidad

De manera no rigurosa se puede decir que un sistema es inestable si su salida seincrementa sin acotamiento (en amplitud) cuando la entrada es acotada.Notese de (1.42) que si GH = −1, la salida del sistema es infinita para cualquierentrada finita y entonces el sistema es inestable. Asi la realimentacion podrıa hacerque un sistema que era originalmente estable, se vuelva inestable. Recuerdese quesolo se esta tratando el caso estatico y, en general, GH = −1 no es la unica condicionpara inestabilidad.En el ejemplo introductorio se mostro que una de las ventajas de incorporar reali-mentacion es que se puede estabilizar un sistema inestable.

1.18 Efecto en la sensitividad 21

Figura 1.21 Sistema con doble lazo de realimentacion

Supongase que el sistema realimentado de la Fig. 1.20 es inestable debido a queGH = −1. Si se introduce otro lazo de realimentacion con ganancia F , como semuestra en la Fig. 1.21, la relacion entrada-salida del sistema total es:

c

r=

G

1 +GH +GF(1.43)

Notese que aunque las propiedades de G y H son tales que el sistema con el lazo derealimentacion interior es inestable, el sistema total puede ser estable si se seleccionaadecuadamente la ganancia F del lazo de realimentacion exterior. Recuerdese que enla practica GH es funcion de la frecuencia y la condicion de estabilidad del sistemaen lazo cerrado depende de la magnitud y fase de GH. Es decir, la realimentacionpodrıa mejorar la estabilidad o empeorarla si no es adecuadamente aplicada.

1.18 Efecto en la sensitividad

Puesto que todos los elementos fısicos tienen propiedades que cambian con el ambientey el tiempo, no se puede considerar siempre que los parametros de un sistema decontrol son completamente estacionarios durante toda su vida de operacion. Porejemplo, la resistencia de los devanados de un motor electrico cambia con el aumentode temperatura del motor durante su operacion. En general, un buen sistema decontrol debe ser muy insensitivo a variaciones en los parametros pero sensitivo alos comandos de entrada. Se investigara el efecto que la realimentacion tiene en lasensitividad a variaciones de parametros. Supongase en la Fig. 1.20 a la gananciaG como un parametro que podrıa variar. La sensitividad de la ganancia total delsistema M debido a la variacion en G se define como:

SMG =∂MM∂GG

=porcentaje de cambio en M

porcentaje de cambio en G(1.44)

22 INTRODUCCION

en donde ∂M denota el cambio incremental en M debido al cambio incremental enG, ∂G.De (1.42):

SMG =∂M

∂G

G

M=

1

1 +GH(1.45)

De (1.45) se nota que si GH es una constante positiva, la magnitud de la funcion sensi-tividad se puede hacer arbitrariamente pequena incrementando GH, con la condicionde que el sistema permanezca estable. Logicamente para el sistema en lazo abierto,SGG = 1.Recuerdese que en la practica GH es funcion de la frecuencia. Asi la magnitud de1 +GH podrıa ser menor que 1 sobre algunos rangos de frecuencia de modo que larealimentacion podrıa ser peligrosa para la sensitividad a variacion de parametros enciertos casos.

1.19 Efecto en la perturbacion externa o ruido

Todos los sistemas fısicos estan sujetos a algunos tipos de senales extranas o ruidodurante su operacion. Por ejemplo, voltajes en circuitos electronicos debido al ruidotermico. Perturbacion externa, tal como el viento actuando sobre sobre una antena.Por esto, en el diseno de un sistema de control se deben hacer consideraciones demodo que el sistema sea insensitivo a las perturbaciones y ruidos y sensitivo a loscomandos de entrada. Aunque no se pueden sacar conclusiones generales, en muchassituaciones la realimentacion puede reducir el efecto del ruido o perturbacion en eldesarrollo del sistema.

Figura 1.22 Sistema con realimentacion y ruido

En la Fig. 1.22, n es la senal de ruido. Si no hay realimentacion, H = 0, la salida es:

1.19 Efecto en la perturbacion externa o ruido 23

c = G1G2e+G2n (1.46)

en donde e = r.La relacion senal a ruido SR de la salida se define como:

SR =salida debido a la senal

salida debido al ruido=G1G2e

G2n= G1

e

n(1.47)

Para incrementar esta relacion se debe incrementar la magnitud de G1 o e relativo an. Notese que G2 no tendrıa efecto en esta relacion.Con realimentacion, la salida del sistema debido a r y n actuando simultaneamentees:

c =G1G2

1 +G1G2Hr +

G21 +G1G2H

n (1.48)

Comparando (1.48) con (1.46) se nota que la componente de la salida debida al ruidose reduce por el factor 1+G1G2H si este es mayor que 1, pero la componente debidoa la senal tambien es cambiada por la misma cantidad. La relacion senal a ruido esahora:

SR =G1G2

1+G1G2Hr

G2

1+G1G2Hn= G1

r

n(1.49)

que es la misma que sin realimentacion. En este caso, la realimentacion no tieneefecto directo en la relacion senal a ruido del sistema de la Fig. 1.22. Sin embargo, laaplicacion de realimentacion sugiere una posibilidad de mejorarla bajo ciertas condi-ciones. Supongase que en el sistema de la Fig. 1.22, la magnitud de G1 se incrementaa G01 y r a r0 sin cambiar los otros parametros, de modo que la salida debida a la senalde entrada actuando sola tiene el mismo nivel que cuando no hay realimentacion. Esdecir

e|n=0 = G01G21 +G01G2H

r0 = G1G2r (1.50)

Con G1 incrementada a G01, la salida debida al ruido actuando sola es

c|r=0 = G21 +G01G2H

n (1.51)

la cual es mas pequena que la salida debida a n cuando G1 no es incrementada. Larelacion senal a ruido es entonces

SR =G1G2rG2

1+G01G2H

n=G1r

n(1 +G01G2H) (1.52)

la cual es mayor que la del sistema sin realimentacion por un factor de (1 +G01G2H).Existen otras configuraciones en los sistemas de control que permiten reducir losefectos de las perturbaciones y el ruido.La realimentacion en general tambien tiene efectos en caracterısticas de desarrollotales como el ancho de banda, la impedancia, respuesta transitoria y respuesta fre-cuencial.

CAPITULO 2

MODELOS MATEMATICOS DE

SISTEMAS FISICOS

2.1 Objetivo

Se plantean modelos matematicos de sistemas mecanicos traslacionales y rotacionales,sistemas electricos, hidraulicos, neumaticos y termicos.

2.2 Modelos matematicos

Muchos sistemas dinamicos, independientemente de que sean mecanicos, electricos,termicos, hidraulicos, neumaticos, quımicos, economicos, biologicos, etc. se puedencaracterizar por ecuaciones diferenciales las cuales se obtienen con base en leyes fısicas,como por ejemplo las leyes de Kirchhoff, las leyes de Newton, etc.Se puede definir un modelo matematico como la descripcion matematica del com-portamiento del sistema. Muchas veces en el analisis de un sistema, inicialmente seobtiene un modelo matematico simple, como por ejemplo ignorando no linealidadesy parametros distribuidos (como en el caso de lıneas de transmision electrica), con elfin de obtener ecuaciones diferenciales lineales y de parametros concentrados.Se debe tener en cuenta que a veces los modelos son validos en operaciones de bajafrecuencia y no a frecuencias muy altas. Por ejemplo, al despreciar la masa de unresorte, su modelo es valido a bajas frecuencias. Para altas frecuencias, su masa debeser tenida en cuenta en el modelo. Otro ejemplo que ilustra como un dispositivo fısicose podrıa modelar con varios modelos es el de una bobina, como se muestra en la Fig.2.1.

25

26 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

Figura 2.1 Diferentes modelos de una bobina

Los modelos matematicos se pueden representar basicamente en dos formas: me-diante un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden, conocidas como ecua-ciones de estado o mediante una ecuacion diferencial de n−esimo orden. Sin em-bargo, esta ultima queda restringida a sistemas con una sola entrada y una sola salida.Las funciones o matrices de transferencia se pueden obtener a partir de las anteriores,aunque ya esto implica que el sistema es lineal o ha sido linealizado.Antes de continuar con estos dos metodos se haran las definiciones de lo que sonsistemas determinısticos, lineales, invariantes con el tiempo y causales.

2.3 Clasificacion de sistemas

Figura 2.2 Sistema con estado energetico inicial nulo

Para las siguientes definiciones se supone que el sistema de la Fig. 2.2 no contienefuentes independientes y que su estado energetico inicial es nulo antes de que la senalde entrada sea aplicada. La relacion entre la entrada y la salida se indica a menudosimbolicamente como:

y(t) = Lv(t) (2.1)

en donde L es un operador que caracteriza el sistema. Podrıa ser funcion de v, y yt, podrıa incluir operaciones como diferenciacion e integracion y podrıa ser dado enlenguaje probabilıstico. La ecuacion (2.1) expresa que hay una relacion de causa yefecto entre v(t) y y(t).

2.3 Sistema lineal 27

2.3.1 Sistema determinıstico

Un sistema es determinıstico si para cada entrada v(t) hay una unica salida y(t). Enun sistema probabilıstico o no determinıstico hay varias posibles salidas, cadauna con cierta probabilidad de ocurrencia para una entrada dada. Las entradas a unsistema podrıan ser funciones conocidas o funciones aleatorias. Las aleatorias, talescomo el ruido, pueden ser descritas solo en un sentido estadıstico o probabilıstico.Si la entrada a un sistema determinıstico es una funcion aleatoria, la salida es nodeterminıstica.

2.3.2 Sistema causal

Un sistema es causal o no anticipativo si la salida actual no depende de valoresfuturos de la entrada. En tal caso, y(to) esta determinada completamente por lascaracterısticas del sistema y por los valores de v(t) para t ≤ to. En particular, siv(t) ≡ 0 ∀ t ≤ to, entonces y(t) ≡ 0 ∀ t < to.2.3.3 Sistema lineal

Si se supone que las respuestas del sistema de la Fig. 2.2 a dos entradas diferentes v1(t)y v2(t) son y1(t) y y2(t), respectivamente, y que α y β son dos constantes, se dice que elsistema es lineal si la respuesta a v(t) = αv1(t)+βv2(t) es y(t) = αy1(t)+βy2(t) paratodos los valores de v1, v2, α y β. Esto se puede expresar simbolicamente mediantela ecuacion (2.2):

L[αv1(t) + βv2(t)] = αL[v1(t)] + βL[v2(t)] (2.2)

La ecuacion (2.2) tambien se conoce como el principio de superposicion.La mayorıa de sistemas lineales lo son en solamente rangos restringidos de ope-racion.Ası por ejemplo, la senal de salida de un amplificador se puede saturar para niveleselevados de la senal de entrada. A esta no linealidad se le conoce como alinealidadpor saturacion (vease la Fig. 2.3).Otro ejemplo lo constituyen los amortiguadores utilizados en sistemas mecanicos, loscuales pueden ser lineales para operaciones a baja velocidad y no lineales a altasvelocidades (en este caso la fuerza es proporcional al cuadrado de la velocidad, comose muestra en la Fig. 2.4).Un ultimo ejemplo es la alinealidad por zona muerta, la cual se puede presentar entrelas posiciones angulares de un par de engranajes mecanicos (vease la Fig. 2.5).


Figura 2.3 Alinealidad por saturacion

Figura 2.4 Alinealidad cuadratica

Figura 2.5 Alinealidad por zona muerta

2.3.4 Sistema invariante con el tiempo

Un sistema es invariante con el tiempo si la relacion entre la entrada y la salidaes independiente del tiempo. Si la respuesta a v(t) es y(t), entonces la respuesta a

2.4 Matriz de transferencia 29

v(t−λ) es y(t−λ). En tal sistema, la amplitud y forma de la salida son independientesdel tiempo en el cual la entrada es aplicada. Simbolicamente:

L[v(t− λ)] = y(t− λ) (2.3)

2.4 Ecuaciones de estado

Las ecuaciones de estado o la ecuacion (matricial) de estado la constituye un conjuntode ecuaciones diferenciales de primer orden, que describe completamente el compor-tamiento del sistema que se quiere modelar. Este metodo de plantear el modelomatematico de un sistema es muy importante porque puede ser aplicado a sistemasno lineales y sistemas multivariables. Matematicamente:

x = f(x,u, t) (2.4)

en donde f es un funcion vectorial no lineal.

Figura 2.6 Sistema multivariable

Si el sistema es lineal, o se ha linealizado alrededor de un punto de operacion (de-mostracion que se hara posteriormente), la ecuacion (2.4) se reduce a:

x = Ax+Bu (2.5)

en donde A es de dimensiones n× n y se le conoce como matriz de realimentacion, yB es de dimensiones n×m y se le conoce como matriz de entrada.Si el sistema ha sido completamente descrito mediante variables de estado, siempresera posible expresar las p salidas de interes (y) en funcion de ellas. Ası se plantea laecuacion de salida:

y = Cx+Du (2.6)

en donde C es de dimensiones p× n y se le conoce como matriz de salida, y D es dedimensiones p×m y se le conoce como matriz directa.


2.4.1 Matriz de transferencia

Utilizando la transformada de Laplace en las ecuaciones (2.5) y (2.6) suponiendo queel estado energetico inicial es x(0−), y organizando se obtienen:

X(s) = (sI −A)−1x(0−) + (sI −A)−1BU(s) (2.7)

Y(s) = CX(s)+DU(s) (2.8)

Reemplazando (2.7) en (2.8) se obtiene:

Y(s) = C(sI −A)−1x(0−) + [C(sI −A)−1B+D]U(s) (2.9)

Como la matriz de transferencia (H(s)) se define suponiendo que el estado ener-geticoinicial es nulo, y es aquella que relaciona Y(s) con U(s), entonces de (2.9) se obtiene:

H(s) = C(sI −A)−1B+D (2.10)

2.5 Una ecuacion diferencial de n−esimo ordenEl metodo de plantear el modelo matematico de un sistema mediante una ecuaciondiferencial de n−esimo orden es util en sistemas escalares. Si se utiliza la funcion detransferencia, ademas de servir en sistemas escalares, es para sistemas lineales o quehan sido linealizados. Matematicamente:

y(n) + a1y(n−1) + · · ·+ any = b0u(m) + b1u(m−1) + · · ·+ bmu (2.11)

Utilizando la transformada de Laplace en (2.11) suponiendo condiciones iniciales nulas(y(0) = y(1)(0) = · · · = y(n−1)(0) = 0), se obtiene la funcion de transferencia:

H(s) =Y (s)

U(s)=b0s

m + b1sm−1 + · · ·+ bmssn + a1sn−1 + · · ·+ ans (2.12)

La cual no depende de las condiciones iniciales ni del tipo de senal aplicada a laentrada. Solo depende de los parametros que caracterizan al sistema.

2.6 Sistemas mecanicos de traslacion

Los elementos de sistemas mecanicos idealizados son la masa, el resorte y el amor-tiguador.

2.6 Resorte traslacional 31

2.6.1 Masa

Figura 2.7 Masa

En la Fig. 2.7 se muestra el diagrama de un masa M que se ha aislado de un sistemamas complejo del cual forma parte. u es la fuerza neta resultante actuando sobreella y y su desplazamiento con respecto a una posicion de equilibrio (es decir, cuandoel sistema esta en reposo). Una fuerza de reaccion fM se desarrolla, su sentido dereferencia se muestra en la Fig. 2.7 y su expresion es dada por la ecuacion (2.13):

fM =Md2y

dt2(2.13)

Es importante hacer notar que la masa en movimiento almacena energıa y cuya ex-presion, la cual se puede demostrar facilmente, es E = 1

2M(y)2.

2.6.2 Resorte traslacional

Figura 2.8 Resorte traslacional

En la Fig. 2.8 se muestra el diagrama de un resorte con constante K que se ha aisladode un sistema mas complejo del cual forma parte. El desplazamiento del extremosuperior y y del extremo inferior yo se miden desde sus respectivas posiciones deequilibrio. Una fuerza restauradora es desarrollada debido a la propiedad elastica delresorte. Su sentido en el extremo superior se muestra en la Fig. 2.8 (en el inferiortiene el sentido opuesto al del superior) y su expresion, segun la ley de Hooke, es dadapor la ecuacion (2.14):


fK = K(y − yo) (2.14)

Si el extremo inferior (podrıa denominarse como el extremo de referencia) esta en elorigen del sistema de coordenadas, entonces en este caso fK = Ky.Se puede demostrar que la energıa almacenada por el resorte es E = 1

2u2

K , en dondeu es la fuerza neta en el extremo superior.

2.6.3 Amortiguador traslacional

Figura 2.9 Amortiguador traslacional

En la Fig. 2.9 se muestra el diagrama de un amortiguador con coeficiente de friccionviscosa B que se ha aislado de un sistema mas complejo del cual forma parte. Lasposiciones y y yo de los extremos superior e inferior, respectivamente, se miden desdesus respectivas posiciones de equilibrio. Una fuerza de reaccion se desarrolla, susentido en el extremo superior se muestra en la Fig. 2.9 y su expresion es dada porla ecuacion (2.15):

fB = B(dy

dt− dyodt) (2.15)

Si el terminal de referencia, yo, es estacionario, entonces en este caso fB = By.A diferencia de los dos elementos idealizados anteriores, el amortiguador es un dis-positivo que transforma energıa en calor, y se puede demostrar que la energıa trans-formada en calor por unidad de tiempo (potencia P ) es dada por P = Bv2, en dondev es la velocidad relativa de los extremos del amortiguador.

Ejemplo 2.1 Para el sistema mecanico traslacional de la Fig. 2.10(a) plantear unmodelo matematico. u(t) es una fuerza externa, y1o es la posicion en reposo con pesoy yo es la longitud del resorte sin peso (longitud natural del resorte).

2.6 Amortiguador traslacional 33

Figura 2.10 Sistema del ejemplo 2.1

Utilizando el diagrama de cuerpo libre de la Fig. 2.10(b) y aplicando la segunda leyde Newton se obtiene la ecuacion (2.16):

Mg −Bdy1dt

+ u(t)−K(y1 − yo) =Md2y1dt2

(2.16)

Notese que cuando el sistema esta en reposo con u(t) = 0, (2.16) se reduce a:

Mg − 0 + 0−K(y1o − yo) = 0

de donde se obtiene (2.17):

Mg = K(y1o − yo) (2.17)

Reemplazando (2.17) en (2.16) y organizando se obtiene:

Md2y1dt2

+Bdy1dt+K(y1 − y1o) = u(t) (2.18)

Haciendo un cambio de variable con relacion a la posicion de equilibrio (notese en laFig. 2.10 la convencion utilizada para medir la posicion de la masa con respecto a laposicion de equilibrio y) :

y = y1 − y1o (2.19)

dy

dt=d(y1 − y1o)

dt=dy1dt

(2.20)


d2y

dt2=d2y1dt2

(2.21)

Reemplazando (2.19), (2.20) y (2.21) en (2.18) se obtiene la ecuacion diferencial querelaciona la posicion de la masa M desde la posicion de equilibrio (y) con la entrada(u(t)):

Md2y

dt2+B

dy

dt+Ky = u(t) (2.22)

Notese que si se escoge como referencia la posicion de equilibrio (sistema en reposo),el peso no interviene.

Ejemplo 2.2 Plantear un conjunto de ecuaciones de estado y de salida del sistemadel ejemplo anterior.

El siguiente procedimiento para obtener las anteriores ecuaciones se generalizara en lasiguiente seccion. Dividiendo ambos miembros de (2.22) por M y tomando la trans-formada de Laplace en ambos lados de la ecuacion, suponiendo condiciones inicialesnulas (y(0) = y(0) = 0) se obtiene (2.23):

(s2 +B

Ms+

K

M)Y (s) =

1

MU(s) (2.23)

de la cual se obtiene la funcion de transferencia del sistema:

G(s) =Y (s)

U(s)=

1M

s2 + BM s+

KM

(2.24)

Se obtienen polinomios en el numerador y el denominador de G(s) con exponentesnegativos. Por lo tanto se dividen tanto el numerador como el denominador por s2

en este caso particular y se obtiene:

G(s) =Y (s)

U(s)=

1M s−2

1 + BM s−1 + K

M s−2 (2.25)

De (2.25):

Y (s) =1M s−2

1 + BM s−1 + K

M s−2U(s) (2.26)

Se define:

E(s) , 1

1 + BM s−1 + K

M s−2U(s) (2.27)

De (2.27) se obtiene:

E(s) = U(s)− B

Ms−1U(s)− K

Ms−2U(s) (2.28)

Reemplazando (2.27) en (2.26):

2.7 Un metodo para obtener la ecuacion de estado y la de salida 35

Y (s) =1

Ms−2E(s) (2.29)

Utilizando la ecuacion (2.28) se obtiene la mayor parte del diagrama de bloques (utilen simulacion de sistemas) de la Fig. (2.11), del cual se pueden obtener facilmentelas ecuaciones de estado si se consideran como variables de estado las salidas delos integradores (x1 y x2).

Figura 2.11 Diagrama de bloques del ejemplo 2.2

Notese del diagrama de bloques que:

X2(s) =1

sX1(s) (2.30)

X1(s) =1

sE(s) =

1

s(U(s)− B

MX1(s)− K

MX2(s)) (2.31)

Multiplicando ambos miembros de las ecuaciones (2.30) y (2.31), utilizando la Trans-formada inversa de Laplace suponiendo condiciones iniciales nulas y escribiendo lasecuaciones en forma matricial se obtiene la ecuacion de estado (2.32):·

x1x2

¸=

· − BM −K

M1 0

¸·x1x2

¸+

·10

¸u(t) (2.32)

Con la ecuacion (2.29) se obtiene el resto del diagrama de bloques de la Fig. 2.11 ya su vez se obtiene la ecuacion de salida:

Y (s) =1

MX2(s) (2.33)

que en el dominio del tiempo y en forma matricial es:

y(t) =£0 1

M

¤ · x1x2

¸+£0¤u(t) (2.34)


2.7 Un metodo para obtener la ecuacion de estado

y la de salida

Este metodo es valido para sistemas escalares cuya funcion de transferencia es cono-cida. Se supone que el grado del polinomio del numerador de la funcion de transferen-cia es menor o igual que el del denominador. Sin perdida de generalidad, considerese:

H(s) =Y (s)

U(s)=b0s

n−1 + b1sn−2 + · · ·+ bn−1sn + a1sn−1 + · · ·+ an (2.35)

Dividiendo tanto el numerador como el denominador de H(s) por sn, se obtiene:

H(s) =Y (s)

U(s)=b0s−1 + b1s−2 + · · ·+ bn−1s−n1 + a1s−1 + · · ·+ ans−n (2.36)

Se define:

E(s) =1

1 + a1s−1 + · · ·+ ans−nU(s) (2.37)

De donde:

E(s) = −a1s−1E(s)− a2s−2E(s)− · · ·− ans−nE(s) + U(s) (2.38)

De la ecuacion (2.38) se puede deducir parte del diagrama de bloques de la Fig. 2.12.

Figura 2.12 Diagrama de bloques de la realizacion ”Controller”

Con (2.37) en (2.36) se obtiene:

2.7 Un metodo para obtener la ecuacion de estado y la de salida 37

Y (s) = b0s−1E(s) + b1s−2E(s) + · · ·+ bn−1s−nE(s) (2.39)

Con la ecuacion (2.39) se obtiene la otra parte del diagrama de bloques de la Fig.2.12.Si se definen las salidas de los integradores como las variables de estado, se puedededucir de la Fig. 2.12 las ecuaciones de estado y de salida:

x1x2...xn

=−a1 −a2 · · · −an1 0 · · · 0...

. . .. . .

...0 · · · 1 0

x1x2...xn

+10...0

u(t) (2.40)

y(t) =£b0 b1 · · · bn−1

¤x1x2...xn

(2.41)

Esta representacion es conocida como una simulacion o realizacion canonica llamada”Controller”.

Ejemplo 2.3 Para el sistema mecanico traslacional de la Fig. 2.13 plantear unconjunto de ecuaciones que lo describa completamente y obtener la funcion de trans-ferencia considerando como salida el desplazamiento y. La entrada al sistema es eldesplazamiento u(t).

Figura 2.13 Sistema mecanico traslacional del ejemplo 2.3

La Fig. 2.14 muestra los diagramas de cuerpo libre de las dos masas, en donde porsimplicidad se ha supuesto que u > y > z.


Figura 2.14 Diagramas de cuerpo libre de M1 y M2

Aplicando la segunda ley de Newton a cada una de las masas se obtienen las ecuaciones(2.42) y (2.43), las cuales describen completamente el sistema.

K1(u− y)−K2(y − z)−B1 dydt=M1

d2y

dt2(2.42)

K2(y − z)−B2 dzdt=M2

d2z

dt2(2.43)

Reorganizando terminos se obtienen (2.44) y (2.45):

M1y + B1y + (K1 +K2)y −K2z = K1u(t) (2.44)

−K2y +M2z + B2z + K2z = 0 (2.45)

Aplicando la Transformada de Laplace a ambos miembros de las ecuaciones (2.44) y(2.45) suponiendo condiciones iniciales nulas se obtienen (2.46) y (2.47):

[M1s2 +B1s+ (K1 +K2)]Y (s)−K2Z(s) = K1U(s) (2.46)

−K2Y (s) + [M2s2 +B2s+K2]Z(s) = 0 (2.47)

Manipulando algebraicamente (2.46) y (2.47) se obtiene la funcion de transferencia:

Y (s)

U(s)=

b3s4 + a1s3 + a2s2 + a3s+ a4

(2.48)

donde:

b3 =K1

M1M2

a1 =M1B2 +M2B1

M1M2

a2 =K2M1 + (K1 +K2)M2 +B1B2

M1M2

2.8 Otro metodo para obtener la ecuacion de estado y la de salida 39

a3 =B1K2 +B2(K1 +K2)

M1M2

a4 =K1K2M1M2

Utilizando ahora (2.40) y (2.41) facilmente se pueden obtener las ecuaciones de estadoy de salida.

2.8 Otro metodo para obtener la ecuacion de

estado y la de salida

Este metodo es tambien valido para un sistema escalar y se parte de que se conocela ecuacion diferencial que relaciona la entrada y la salida. Sea esta de la forma dadaen la ecuacion (2.49):

y(n)+ a1y(n−1)+ · · ·+ an−1y(1)+ any = b0u(n−1)+ b1u(n−2)+ · · ·+ bn−2u(1)+ bn−1u

(2.49)Reorganizando (2.49) se obtiene:

y(n) + [a1y − b0u](n−1) + · · ·+ [an−1y − bn−2u](1) = [bn−1u− any] (2.50)

Integrando ambos miembros se obtiene:

y(n−1) + [a1y − b0u](n−2) + · · ·+ [an−1y − bn−2u] =Z[bn−1u− any]dt = xn (2.51)

Reorganizando (2.51):

y(n−1) + [a1y − b0u](n−2) + · · ·+ [an−2y − bn−3u](1) = xn + bn−2u− an−1y (2.52)

Integrando (2.52):

y(n−2) + [a1y− b0u](n−3) + · · ·+ [an−2y− bn−3u] =Z[xn+ bn−2u− an−1y]dt = xn−1

(2.53)Se repite el mismo proceso hasta que se finalmente se obtiene:

y(1) + [a1y − b0u] =Z[x3 + b1u− a2y]dt = x2 (2.54)

y(1) = x2 + b0u− a1y (2.55)


y =

Z[x2 + b0u− a1y]dt = x1 (2.56)

Las ecuaciones (2.56), (2.54), (2.53) y (2.51) se pueden implementar mediante eldiagrama de bloques de la Fig. 2.15.

Figura 2.15 Realizacion canonica ”Observer”

La simulacion o realizacion canonica de la Fig. 2.15 es conocida como la tipo ”Ob-server”. De dicho diagrama se pueden obtener facilmente las ecuaciones de estado yde salida, las cuales escritas en forma matricial son:

x1x2...xn

=−a1 1 · · · 0

−a2 0. . .

......

.... . . 1

−an · · · 0 0

x1x2...xn

+

b0b1...

bn−1

u(t) (2.57)

y(t) =£1 0 · · · 0

¤x1x2...xn

(2.58)

De la ecuacion diferencial (2.49) se puede obtener la funcion de transferencia:

H(s) =Y (s)

U(s)=b0s

n−1 + b1sn−2 + · · ·+ bn−1sn + a1sn−1 + · · ·+ an (2.59)

que es la misma que se utilizo en el metodo de la seccion anterior para obtener lasecuaciones de estado y de salida.

2.9 Resorte rotacional 41

2.9 Sistemas mecanicos de rotacion

Los elementos de sistemas mecanicos de rotacion idealizados son la inercia, el resortey el amortiguador.

2.9.1 Inercia

Figura 2.16 Inercia

En la Fig. 2.16 se muestra el diagrama de un cuerpo con inercia J que se ha aisladode un sistema mas complejo del cual forma parte. T es el torque neto resultanteactuando sobre ella y θ su desplazamiento angular con respecto a una posicion deequilibrio (es decir, cuando el sistema esta en reposo). Un torque de reaccion TJ sedesarrolla, su sentido de referencia se muestra en la Fig. 2.16 y su expresion es dadapor la ecuacion (2.60):

TJ = Jd2θ

dt2(2.60)

Es importante hacer notar que un cuerpo con inercia en movimiento angular almacenaenergıa y cuya expresion, la cual se puede demostrar facilmente, es E = 1

2J(θ)2.

2.9.2 Resorte rotacional


Figura 2.17 Resorte rotacional

En la Fig. 2.17 se muestra el diagrama de un resorte rotacional (un ejemplo puedeser un eje elastico) con constante K que se ha aislado de un sistema mas complejodel cual forma parte. El desplazamiento angular del extremo derecho θ y del extremoizquierdo (extremo de referencia) θo se miden desde sus respectivas posiciones deequilibrio. Un torque de reaccion se desarrolla debido a la propiedad elastica delresorte. Su sentido en el extremo derecho se muestra en la Fig. 2.17 y su expresiones dada por la ecuacion (2.61):

TK = K(θ − θo) (2.61)

Si el extremo de referencia es estacionario, entonces en este caso TK = Kθ.Se puede demostrar que la energıa almacenada por el resorte rotacional es E = 1

2T2

K ,en donde T es el torque neto actuando en el extremo derecho.

2.9.3 Amortiguador rotacional

Figura 2.18 Amortiguador rotacional

En la Fig. 2.18 se muestra el diagrama de un amortiguador rotacional con coeficientede friccion viscosa B que se ha aislado de un sistema mas complejo del cual formaparte. Las posiciones angulares θ y θo de los extremos derecho y de referencia (elizquierdo), respectivamente, se miden desde sus respectivas posiciones de equili-brio.Un torque de reaccion se desarrolla, su sentido en el extremo derecho se muestra enla Fig. 2.18 y su expresion es dada por la ecuacion (2.62):

TB = B(dθ

dt− dθodt) (2.62)

Si el extremo de referencia es estacionario, entonces en este caso TB = Bθ.A diferencia de los dos elementos idealizados anteriores, el amortiguador rotacional esun dispositivo que transforma energıa en calor, y se puede demostrar que la energıatransformada en calor por unidad de tiempo (potencia P ) es dada por P = Bω2, endonde ω es la velocidad angular relativa de los extremos del amortiguador.

2.10 Circuito serie R-L-C 43

Ejemplo 2.4 Para el sistema mecanico rotacional de la Fig. 2.19 hallar la ecuaciondiferencial que relaciona a θ(t) con T (t) y la funcion de transferencia θ(s)

T (s) .

Figura 2.19 Sistema mecanico rotacional del ejemplo 2.4

Utilizando el diagrama de cuerpo libre de la Fig. 2.19(b) y aplicando la segunda leyde Newton para sistemas mecanicos rotacionales se obtiene la ecuacion (2.63):

T (t)−Bdθdt−Kθ = J

d2θ

dt2(2.63)

Organizando se obtiene la ecuacion pedida:

Jd2θ

dt2+B

dθ

dt+Kθ = T (t) (2.64)

Transformando ambos miembros de la ecuacion (2.64) suponiendo condiciones ini-ciales nulas se obtiene la funcion de transferencia:

G(s) =θ(s)

T (s)=

1J

s2 + BJ s+

KJ

(2.65)

2.10 Circuito serie R-L-C


Figura 2.20 Circuito serie RLC

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff (de voltajes) a la unica trayectoria cerrada delcircuito de la Fig. 2.20 se obtiene la ecuacion (2.66):

vi(t) = Ri+ Ldi

dt+1

C

Zidt (2.66)

Utilizando la definicion de corriente electrica como la variacion por unidad de tiempodel flujo neto de carga a traves de la seccion transversal de una puerta:

i =dq

dt(2.67)

Reemplazando (2.67) en (2.66) se obtiene la ecuacion diferencial (2.68):

Ld2q

dt2+R

dq

dt+1

Cq = vi(t) (2.68)

2.11 Analogıa fuerza-torque-voltaje

Comparando las ecuaciones diferenciales (2.22), (2.64) y (2.68) de los sistemas fısicoscorrespondientes (mecanico traslacional de la Fig. 2.10, mecanico rotacional de laFig. 2.19 y circuito electrico de la Fig. 2.20) se nota que son de forma identica. Talessistemas se denominan sistemas analogos y los terminos que ocupan las posicionescorrespondientes en las ecuaciones diferenciales se denominan magnitudes y variablesanalogas. Esto explica porque se denomina la analogıa fuerza-torque-voltaje. Lasiguiente tabla hace un resumen de las analogıas:

2.11 Analogıa fuerza-torque-voltaje 45

Sist. mecanico traslacional Sist. mecanico rotacional Sistema electrico

Fuerza u Torque T Voltaje v

Velocidad lineal y Velocidad angular θ Corriente iDesplazamiento lineal y Desplazamiento angular θ Carga qMasa M Inercia J Inductancia LCoef. friccion viscosa B Coef. friccion viscosa B Resistencia RConstante del resorte K Constante del resorte K Inverso capacitancia 1

C

Es posible entonces obtener circuitos electricos analogos a sistemas mecanicos trasla-cionales y rotacionales y utilizar todas las tecnicas de descripcion de redes paraplantear modelos matematicos para los sistemas mecanicos.El circuito electrico analogo a un sistema mecanico traslacional (rotacional) se puedeobtener teniendo en cuenta la anterior tabla y notando que por cada masa (inercia) opunto que se desplace (rote) a cierta velocidad en el sistema mecanico, habra una mallaen el circuito analogo. Si se supone, sin perdida de generalidad, que todas aquellasvelocidades son positivas con respecto a la referencia, en el circuito se supone quetodas las corrientes de malla tienen el mismo sentido.

Ejemplo 2.5 Plantear un modelo matematico para el sistema mecanico traslacionalde la Fig. 2.21 utilizando la analogıa fuerza-torque-voltaje.


Notese de la Fig. 2.21 que hay dos velocidades y1y y2 que se suponen positivas con


respecto a la referencia. Por lo tanto, el circuito electrico analogo (Fig. 2.22) tendrados mallas (1 y 2) cuyas corrientes i1 e i2, ambas con el mismo sentido (horario en estecaso), son analogas a las velocidades y1y y2, respectivamente. Utilizando la tabla de laanalogıa fuerza-torque-voltaje se obtienen los elementos de circuito correspondientes alas masas, resortes y amortiguadores. Puesto que las masasM1 yM2 se mueven a lasvelocidades y1y y2, entonces las corrientes netas a traves de las inductancias analogascorrespondientes L1 y L2 son i1 e i2 y por lo tanto pertenecen a las mallas 1 y 2. Asımismo, como uno de los extremos de B1 y de K1 se mueve a la velocidad y1 y el otroextremo es fijo, entonces sus elementos de circuito analogo R1 y C1, respectivamente,pertenecen a la malla 1. Notese que R2 y C2 son elementos comunes a las mallas1 y 2 (la corriente neta a traves de ellos es i1 − i2, con sentido de referencia haciaarriba) ya que los extremos de sus analogos, B2 y K2, se mueven a las velocidadesy1y y2 (la velocidad relativa del extremo inferior con respecto al superior es y1− y2).Finalmente, la fuerza externa p(t) tiene como analogo en el circuito la fuente de voltajev(t). Notese que con la polaridad mostrada de la fuente, si el estado energetico inicialse supone nulo, las corrientes i1(o) e i2(0) son positivas con los sentidos mostradoscuando v(0) > 0, lo cual coincide con que si p(0) > 0, y1(0) y y2(0) son positivas conlos sentidos mostrados.

Figura 2.22 Circuito electrico analogo del ejemplo 2.5

Las siguientes son las magnitudes y variables analogas:L2 = M2, L1 = M1, R2 = B2, R1 = B1, C2 =

1K2, C1 =

1K1, v(t) = p(t), i2 = y2,

i1 = y1.Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a cada una de las mallas del circuito de la Fig.2.22 se obtienen las ecuaciones que lo describen:

v(t) = L2di2dt+R2(i2 − i1) + 1

C2

Z(i2 − i1)dt (2.69)

0 = L1di1dt+R1i1 +

1

C1

Zi1dt+

1

C2

Z(i1 − i2)dt+R2(i1 − i2) (2.70)

Reemplazando las anteriores magnitudes y variables analogas en (2.69) y (2.70) se

2.11 Analogıa fuerza-torque-voltaje 47

obtienen las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema mecanico trasla-cional de la Fig. 2.21:

p(t) =M2d2y2dt2

+B2(dy2dt− dy1dt) +K2(y2 − y1) (2.71)

0 =M1d2y1dt2

+B1dy1dt+K1y1 +K2(y1 − y2) +B2(dy1

dt− dy2dt) (2.72)

Ejemplo 2.6 Verificar que las ecuaciones (2.71) y (2.72) describen el comportamientodel sistema de la Fig. 2.21.

La Fig. 2.23 muestra los diagramas de cuerpo libre de las dos masas, en los cuales seha supuesto, por comodidad , que y2 > y1 y que y2 > y1.

Figura 2.23 Diagramas de cuerpo libre de M1 y M2

Aplicando la segunda ley de Newton a cada una de las masas de la Fig. 2.23 seobtienen las siguientes ecuaciones:

p(t)−B2(dy2dt− dy1dt)−K2(y2 − y1) =M2

d2y2dt2

(2.73)

K2(y2 − y1) +B2(dy2dt− dy1dt)−B1 dy1

dt−K1y1 =M1

d2y1dt2

(2.74)

Reorganizando (2.73) y (2.74) se obtienen (2.71) y (2.72).

Ejemplo 2.7 Plantear un modelo matematico para el sistema mecanico rotacionalde la Fig. 2.24 utilizando la analogıa fuerza-torque-voltaje.


Figura 2.24 Sistema mecanico rotacional del ejemplo 2.7

Notese de la Fig. 2.24 que hay dos velocidades angulares θ1 y θ2 que se suponenpositivas con los sentidos mostrados. Por lo tanto, el circuito electrico analogo (Fig.2.25) tendra dos mallas (1 y 2) cuyas corrientes i1 e i2, ambas con el mismo sen-tido (horario en este caso), son analogas a las velocidades θ1y θ2, respectivamente.Utilizando la tabla de la analogıa fuerza-torque-voltaje se obtienen los elementos decircuito correspondientes a las inercias, resortes y amortiguadores. Puesto que lasinercias J1 y J2 se mueven a las velocidades θ1y θ2, entonces las corrientes netas atraves de las inductancias analogas correspondientes L1 y L2 son i1 e i2 y por lo tantopertenecen a las mallas 1 y 2. Como uno de los extremos de B1 y de B2 se mueve a lavelocidad θ1 y el otro extremo es fijo, entonces sus elementos de circuito analogo R1y R2, respectivamente, pertenecen a la malla 1. Asi mismo, uno de los extremos deB3 y de B4 se mueve a la velocidad θ2 y el otro extremo es fijo, entonces sus elemen-tos de circuito analogo R3 y R4, respectivamente, pertenecen a la malla 2. Noteseque C es un elemento comun a las mallas 1 y 2 (la corriente neta a traves de el esi1−i2, con sentido de referencia hacia abajo) ya que los extremos de su analogo, K, semueven a las velocidades angulares θ1y θ2 (la velocidad relativa del extremo izquierdocon respecto al derecho es θ1 − θ2). Finalmente, el torque externo T (t) tiene comoanalogo en el circuito la fuente de voltaje v(t). Notese que con la polaridad mostradade la fuente, si el estado energetico inicial se supone nulo, las corrientes i1(o) e i2(0)son positivas con los sentidos mostrados cuando v(0) > 0, lo cual coincide con que siT (0) > 0, θ1(0) y θ2(0) son positivas con los sentidos mostrados.


2.12 Circuito paralelo R-L-C 49

Las siguientes son las magnitudes y variables analogas:L2 = J2, L1 = J1, R4 = B4, R3 = B3, R2 = B2, R1 = B1, C = 1

K , v(t) = T (t),

i2 = θ2, i1 = θ1.Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a cada una de las mallas del circuito de la Fig.2.25 se obtienen las ecuaciones que lo describen:

v(t) = (R1 +R2)i1 + L1di1dt+1

C

Z(i1 − i2)dt (2.75)

0 = (R3 +R4)i2 + L2di2dt+1

C

Z(i2 − i1)dt (2.76)

Reemplazando las anteriores magnitudes y variables analogas en (2.75) y (2.76) seobtienen las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema mecanico rota-cional de la Fig. 2.24:

T (t) = (B1 +B2)dθ1dt+M1

d2θ1dt2

+K(θ1 − θ2) (2.77)

0 = (B3 +B4)dθ2dt+M2

d2θ2dt2

+K(θ2 − θ1) (2.78)

Ejemplo 2.8 Verificar que las ecuaciones (2.77) y (2.78) describen el comportamientodel sistema de la Fig. 2.24.

La Fig. 2.26 muestra los diagramas de cuerpo libre de las dos inercias

Figura 2.26 Diagramas de cuerpo libre de J1 y J2

Aplicando la segunda ley de Newton para sistemas rotacionales a cada una de lasinercias de la Fig. 2.26 se obtienen las siguientes ecuaciones:

T (t)−B1 dθ1dt−B2 dθ1

dt−K(θ1 − θ2) =M1

d2θ1dt2

(2.79)

−K(θ2 − θ1)−B3 dθ2dt−B4 dθ2

dt=M2

d2θ2dt2

(2.80)

Reorganizando (2.79) y (2.80) se obtienen (2.77) y (2.78).


2.12 Circuito paralelo R-L-C

Figura 2.27 Circuito paralelo R-L-C

Aplicando la primera ley de Kirchhoff (de corrientes) al unico corte del circuito de laFig. 2.27 se obtiene la ecuacion (2.81):

is(t) =1

L

Zedt+

e

R+C

de

dt(2.81)

Si se tiene en cuenta que el flujo concatenado por la inductancia es φ = Li, entoncesel voltaje en los terminales de la inductancia es dado por:

e =dφ

dt(2.82)

Utilizando (2.82) en (2.81) se obtiene la ecuacion diferencial (2.83):

Cd2φ

dt2+1

R

dφ

dt+1

Lφ = is(t) (2.83)

2.13 Analogıa fuerza-torque-corriente

Comparando las ecuaciones diferenciales (2.22), (2.64) y (2.83) de los sistemas fısicoscorrespondientes (mecanico traslacional de la Fig. 2.10, mecanico rotacional de laFig. 2.19 y circuito electrico de la Fig. 2.27) se nota que son de forma identica. Talessistemas tambien se denominan sistemas analogos y los terminos que ocupan lasposiciones correspondientes en las ecuaciones diferenciales se denominan magnitudesy variables analogas. De esta comparacion se explica porque se denomina la analogıafuerza-torque-corriente. La siguiente tabla hace un resumen de las analogıas eneste caso:

2.13 Analogıa fuerza-torque-corriente 51

Sist. mecanico traslacional Sist. mecanico rotacional Sistema electrico

Fuerza u Torque T Corriente i

Velocidad lineal y Velocidad angular θ Voltaje vDesplazamiento lineal y Desplazamiento angular θ Flujo φMasa M Inercia J Capacitancia CCoef. friccion viscosa B Coef. friccion viscosa B Conductactancia 1

R

Constante del resorte K Constante del resorte K Inverso inductancia 1L

Nuevamente entonces se pueden obtener circuitos electricos analogos a sistemas mecanicostraslacionales y rotacionales y utilizar todas las tecnicas de descripcion de redes (inclu-sive muchos teoremas que simplifican el analisis) para plantear modelos matematicospara los sistemas mecanicos.El circuito electrico analogo a un sistema mecanico traslacional (rotacional) se puedeobtener teniendo en cuenta la anterior tabla y notando que por cada masa (inercia)o punto que se desplace (rote) a cierta velocidad en el sistema mecanico, habra unnodo en el circuito analogo (ademas del de referencia). Si se supone, sin perdida degeneralidad, que todas aquellas velocidades son positivas con respecto a la referencia,en el circuito se supone que todos los nodos estan a mayor potencial con respecto alde referencia.

Ejemplo 2.9 Plantear un modelo matematico para el sistema mecanico traslacionalde la Fig. 2.21 utilizando ahora la analogıa fuerza-torque-corriente.

Notese de la Fig. 2.21 que hay dos velocidades y1 y y2 que se suponen positivascon respecto a la referencia. Por lo tanto, el circuito electrico analogo (Fig. 2.28)tendra dos nodos (1 y 2) y el de referencia (0) cuyos voltajes con respecto al dereferencia (llamados voltajes de nodo) e1 y e2, son analogos a las velocidades y1y y2,respectivamente. Utilizando la tabla de la analogıa fuerza-torque-corriente se obtienenlos elementos de circuito correspondientes a las masas, resortes y amortiguadores.Puesto que las masas M1 y M2 se mueven a las velocidades y1y y2, entonces losvoltajes entre los terminales de las capacitancias analogas correspondientes C1 y C2son e1 y e2 y por lo tanto estan conectadas entre los nodos 1 y referencia y 2 yreferencia, respectivamente. Ası mismo, como uno de los extremos de B1 y de K1 semueve a la velocidad y1 y el otro extremo es fijo, entonces sus elementos de circuitoanalogo R1 y L1, respectivamente, estan conectados entre el nodo 1 y el de referencia.Notese que R2 y L2 son elementos conectados entre los nodos 1 y 2 (la diferenciade potencial entre sus terminales es e1 − e2, suponiendo el nodo 1 a mayor potencialcon respecto al nodo 2) ya que los extremos de sus analogos, B2 y K2, se muevena las velocidades y1 y y2 (la velocidad relativa del extremo inferior con respecto alsuperior es y1 − y2). Finalmente, la fuerza externa p(t) tiene como analogo en elcircuito la fuente de corriente i(t). Notese que con el sentido mostrado de la fuente,si el estado energetico inicial se supone nulo, los voltajes de nodo e1(o) y e2(0) sonpositivos cuando i(0) > 0, lo cual coincide con que si p(0) > 0, y1(0) y y2(0) sonpositivas con los sentidos mostrados.



Las siguientes son las magnitudes y variables analogas:C2 = M2, C1 = M1, R2 =

1B2, R1 =

1B1, L2 =

1K2, L1 =

1K1, i(t) = p(t), e2 = y2,

e1 = y1.Aplicando la primera ley de Kirchhoff a los nodos 1 y 2 del circuito de la Fig. 2.28 seobtienen las ecuaciones que lo describen:

0 = C1de1dt+e1R1

+1

L1

Ze1dt+

1

L2

Z(e1 − e2)dt+ e1 − e2

R2(2.84)

i(t) = C2de2dt+(e2 − e1)R2

+1

L2

Z(e2 − e1)dt (2.85)

Reemplazando las anteriores magnitudes y variables analogas en (2.84) y (2.85) seobtienen las ecuaciones (2.72) y (2.71), respectivamente, que describen el compor-tamiento del sistema mecanico traslacional de la Fig. 2.21.

Ejemplo 2.10 Plantear un modelo matematico para el sistema mecanico rotacionalde la Fig. 2.24 utilizando la analogıa fuerza-torque-corriente.

Notese de la Fig. 2.24 que hay dos velocidades angulares θ1 y θ2 que se suponenpositivas con los sentidos mostrados. Por lo tanto, el circuito electrico analogo (Fig.2.29) tendra dos nodos (1 y 2) y el de referencia (0) cuyos voltajes de nodo e1 y e2, sonanalogos a las velocidades θ1y θ2, respectivamente. Utilizando la tabla de la analogıafuerza-torque-corriente se obtienen los elementos de circuito correspondientes a lasinercias, resortes y amortiguadores. Puesto que las inercias J1 y J2 se mueven a lasvelocidades θ1 y θ2, entonces los voltajes entre los terminales de las capacitanciasanalogas correspondientes C1 y C2 son e1 y e2 y por lo tanto estan conectadas entrelos nodos 1 y referencia y 2 y referencia, respectivamente. Como uno de los extremosde B1 y de B2 se mueve a la velocidad θ1 y el otro extremo es fijo, entonces suselementos de circuito analogo R1 y R2, respectivamente, estan conectados entre elnodo 1 y el de referencia. Asi mismo, uno de los extremos de B3 y de B4 se mueve a


la velocidad θ2 y el otro extremo es fijo, entonces sus elementos de circuito analogoR3 y R4, respectivamente, estan conectados entre el nodo 1 y el de referencia. Noteseque L es un elemento conectado entre los nodos 1 y 2 (la diferencia de potencial entresus terminales es e1−e2, suponiendo el nodo 1 a mayor potencial con respecto al nodo2) ya que los extremos de su analogo, K, se mueven a las velocidades angulares θ1y θ2 (la velocidad relativa del extremo izquierdo con respecto al derecho es θ1 − θ2).Finalmente, el torque externo T (t) tiene como analogo en el circuito la fuente decorriente i(t). Notese que con el sentido mostrado de la fuente, si el estado energeticoinicial se supone nulo, los voltajes de nodo e1(o) y e2(0) son positivos cuando i(0) > 0,lo cual coincide con que si T (0) > 0, θ1(0) y θ2(0) son positivas con los sentidosmostrados.


Las siguientes son las magnitudes y variables analogas:C2 = J2, C1 = J1, R4 =

1B4, R3 =

1B3, R2 =

1B2, R1 =

1B1, L = 1

K , i(t) = T (t),

e2 = θ2, e1 = θ1.Aplicando la primera ley de Kirchhoff a los nodos 1 y 2 del circuito de la Fig. 2.29 seobtienen las ecuaciones que lo describen:

i(t) =e1

(R1 +R2)+C1

de1dt+1

L

Z(e1 − e2)dt (2.86)

0 =e2

(R3 +R4)+C2

de2dt+1

L

Z(e2 − e1)dt (2.87)

Reemplazando las anteriores magnitudes y variables analogas en (2.86) y (2.87) seobtienen las ecuaciones (2.78) y (2.77), respectivamente, que describen el compor-tamiento del sistema mecanico rotacional de la Fig. 2.24.

Ejemplo 2.11 Obtener un modelo matematico que describa el comportamiento delsistema mecanico traslacional de la Fig. 2.30 utilizando la analogıa fuerza-torque-corriente.



Utilizando el mismo procedimiento de los dos ejemplos anteriores se obtiene el circuitoelectrico analogo que se muestra en la Fig. 2.31.


Las parametros y variables analogas son:Ci =Mi, i = 1, 2, 3Rk =

1Bk, k = 1, 2

Lj =1Kj, j = 1, 2, 3, 4


i(t) = p(t), e1 = y1, e2 = y2, e3 = y3Aplicando la primera ley de Kirchhoff a los nodos 1, 2 y 3 se obtienen las ecuacionesque describen el circuito de la Fig. 2.31:

C1de1dt+ (

1

L1+1

L2)

Ze1dt+

1

L3

Z(e1 − e2)dt+ e1 − e2

R1+e1 − e3R2

= i(t) (2.88)

e2 − e1R1

+1

L3

Z(e2 − e1)dt+C2 de2

dt+1

L4

Z(e2 − e3)dt = 0 (2.89)

C3de3dt+1

L4

Z(e3 − e2)dt+ e3 − e1

R2= 0 (2.90)

Utilizando los parametros y variables analogas en las ecuaciones (2.88), (2.89) y (2.90)se obtienen las ecuaciones que describen el sistema de la Fig. 2.30:

M1y1 + (K1 +K2)y1 +K3(y1 − y2) +B1(y1 − y2) +B2(y1 − y3) = p(t) (2.91)

B1(y2 − y1) +K3(y2 − y1) +M2y2 +K4(y2 − y3) = 0 (2.92)

M3y3 +K4(y3 − y2) +B2(y3 − y1) = 0 (2.93)

Ejemplo 2.12 Plantear un modelo matematico para el sistema mecanico traslacionalde la Fig. 2.13 utilizando la analogıa fuerza-torque-corriente.

El circuito analogo electrico en este caso se muestra en la Fig. 2.32, en donde lasmagnitudes y variables analogas son:C2 = M2, C1 = M1, R2 =

1B2, R1 =

1B1, L2 =

1K2, L1 =

1K1, v(t) = u(t), e2 = z,

e1 = y.


Aplicando la primera ley de Kirchhoff a los nodos 1 y 2 se obtienen las ecuaciones(2.94) y (2.95):


e1R1

+C1de1dt+1

L1

Z(e1−

.u)dt+

1

L2

Z(e1 − e2)dt = 0 (2.94)

e2R2

+C2de2dt+1

L2

Z(e2 − e1)dt = 0 (2.95)

Reemplazando los anteriores parametros y variables analogas en (2.94) y (2.95) seobtienen las ecuaciones (2.44) y (2.45), que describen el sistema mecanico de la Fig.2.13.

2.14 Ecuaciones de estado para circuitos electricos

Se vera un procedimiento sistematico para asignar variables de estado y plantear lasecuaciones de estado para circuitos con parametros concentrados que pueden contenerfuentes independientes de voltaje y de corriente.Si en una red electrica se conocen las corrientes en todas las inductancias y los voltajesen todos los condensadores, entonces el comportamiento de la red esta completamentedescrito. Por lo tanto es natural seleccionar como variables de estado las corrientesen todos los inductores y los voltajes en todos los capacitores en redes propias (queno son impropias).Una red impropia es aquella que contiene por lo menos una trayectoria cerrada(llamada impropia) compuesta unicamente de condensadores y/o fuentes indepen-dientes de voltaje y/o un corte (llamado impropio) formado unicamente por inductores(con o sin acoplamiento mutuo) y/o fuentes independientes de corriente.Notese que al aplicar la segunda (primera) ley de Kirchhoff a cada trayectoria impropia(corte impropio) aparece una dependencia lineal entre los voltajes (corrientes) delos condensadores (inductancias) que forman parte de ella (el). Por lo tanto, enuna red impropia se deben escoger como variables de estado los voltajes en todoslos condensadores, menos uno por cada trayectoria impropia (el correspondiente acualquiera de los condensadores de la trayectoria impropia) y las corrientes en todaslas inductancias, menos una por cada corte impropio (la correspondiente a cualquierade las inductancias del corte impropio) para que el numero de variables de estado seamınimo (es decir, no haya variables de estado redundantes).Recuerdese que un conjunto de cortes es mınimo si cada uno de ellos tiene una solarama.

2.15 Metodo sistematico para obtener las ecuaciones de estado 57

Figura 2.33 Circuitos impropios

Notese que si en cualquiera de los circuitos impropios de la Fig. 2.33 se asignan losvoltajes en todos los condensadores y las corrientes en todas las inductancias comovariables de estado se ve que x1(t) = x2(t) ∀t. Obviamente hay una redundanciaaquı.

2.15 Metodo sistematico para obtener las ecua-

ciones de estado

1. Hacer un grafico y seleccionar un arbol que se llamara arbol normal, en dondelas ramas de este se escogen en el siguiente orden: fuentes de voltaje, capaci-tores, resistencias, inductancias y fuentes de corriente. Por lo tanto, un arbolnormal consiste de todas las fuentes de voltaje, el maximo numero permisible decapacitores (en el caso de una trayectoria impropia no todos los condensadorespueden formar parte del arbol), las resistencias y finalmente el numero mınimode inductancias. Generalmente no contiene fuentes de corriente

2. Asignar los voltajes en los condensadores que forman parte del arbol normaly las corrientes en las inductancias que corresponden a enlaces como variablesde estado. Los voltajes en los condensadores que corresponden a enlaces y lascorrientes en las inductancias que forman parte del arbol normal no son necesariosescogerlos como variables de estado.

3. Expresar los voltajes y corrientes a traves de todas las resistencias, todos loscondensadores que correspondan a enlaces y todos los inductores que formanparte del arbol normal en funcion de las variables de estado y las entradas (fuentesindependientes) mediante la aplicacion de la segunda y la primera ley de Kirchhoff


a los anillos (un anillo es una trayectoria cerrada que contiene un solo enlace) ycortes que contienen aquellos elementos.

4. Aplicar la segunda y la primera ley de Kirchhoff a cada anillo y cada corte quecontiene cada elemento que ha sido asignado como variable de estado.

Ejemplo 2.13 Plantear las ecuaciones de estado y de salida del circuito mostradoen la Fig. 2.34.

Figura 2.34 Circuito electrico del ejemplo 2.13

Se obtiene el grafico que se muestra en la Fig. 2.35, en donde el arbol es un arbolnormal.

Figura 2.35 Grafico del circuito de la Figura 2.34

Se escogen como variables de estado a x =£x1 x2 x3

¤t=£v2 v3 i7

¤tSe expresana v6 (y por lo tanto i6) e i4 (y por lo tanto v4) en funcion de las variablesde estado y de las entradas, usando las leyes de Kirchhoff.Aplicando la segunda ley de Kirchhoff en el anillo formado por los nodos 1-0-2-1 seobtiene:


v6 = u1(t)− x1 (2.96)

Por lo tanto:

i6 =u1(t)− x1

R1(2.97)

Aplicando la primera ley de Kirchhoff al corte c4 se obtiene:

i4 = x3 (2.98)

Por lo tanto:

v4 = R2x3 (2.99)

Ahora se obtienen las ecuaciones de estado.Aplicando la primera ley de Kirchhoff (plk) al corte c2, usando (2.97) y organizandose obtiene (2.100).

x1 = − 1

R1C1x1 − 1

C1x3 +

1

R1C1u1(t) +

1

C1u2(t) (2.100)

Usando la primera ley de Kirchhoff en el corte c3 y organizando se obtiene (2.101).

x2 =1

C2x3 (2.101)

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff (slk) en el enlace formado por los nodos 0-2-3-4-0 y organizando se obtiene (2.102).

x3 =1

Lx1 − 1

Lx2 − R2

Lx3 (2.102)

Reescribiendo (2.100), (2.101) y (2.102) en forma matricial se obtiene la ecuacion deestado (2.103).

x1x2x3

= − 1

R1C10 − 1

C10 0 1

C21L − 1

L −R2L

x1x2x3

+ 1

R1C100

1C100

· u1(t)u2(t)

¸(2.103)

La ecuacion de salida se puede expresar facilmente en funcion de las variables deestado y las entradas como:

y = v7 = L.x3= x1 − x2 −R2x3

la cual escrita en forma matricial es:

y =£1 −1 −R2

¤ x1x2x3

(2.104)


Ejemplo 2.14 Plantear las ecuaciones de estado y de salida del circuito mostradoen la Fig. 2.36. Las salidas son: el voltaje en el condensador C1 con la polaridadmostrada y la corriente a traves de la inductancia L2 con el sentido mostrado.

Figura 2.36 Circuito del ejemplo 2.14

La Fig. 2.37 muestra el grafico orientado en donde se uso el arbol normal.

Figura 2.37 Grafico del circuito de la Figura 2.36


Se escogen como variables de estado a x =£x1 x2 x3

¤t=£v2 v3 i6

¤tComo hay inductancias mutuamente acopladas, es conveniente plantear la ecuacionprimitiva que relaciona los voltajes entre sus terminales y las derivadas temporalesde las corrientes. Es decir, en este caso:·

v5v6

¸=

·L1 −M−M L2

¸ ·di5dtdi6dt

¸(2.105)

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al anillo que contiene el enlace 7 y la primera leyde Kirchhoff a los cortes que contienen la ramas 5 y 4, respectivamente, se obtienen:

v7 = x2 − x1 (2.106)

i5 = u2 + x3 (2.107)

i4 = x3 (2.108)

Por lo tanto:

i7 = C2(x2 − x1) (2.109)

v5 = L1(u2 + x3)−Mx3 (2.110)

v4 = Rx3 (2.111)

Aplicando la plk a los cortes c2 y c3 y usando la ec. (2.109) se obtienen, respectiva-mente:

C1x1 −C2(x2 − x1)− u2 − x3 = 0 (2.112)

C3x2 +C2(x2 − x1) + u2 = 0 (2.113)

Organizando (2.112) y (2.113) y resolviendo para.x1y

.x2se obtienen:

x1 =C2 +C3

π1x3 +

C3π1u2 (2.114)

x2 =C2π1x3 − C1

π1u2 (2.115)

en donde π1 = C1C2 +C1C3 +C2C3.Aplicando la slk al anillo que contiene el enlace 6, usando las ecs. (2.105), (2.107) y(2.111) y organizando se obtiene:

x3 = − 1π2x1 − R

π2x3 +

1

π2u1 +

M − L1π2

.u2 (2.116)

en donde π2 = L1 + L2 − 2M .Reescribiendo las ecuaciones de estado en forma matricial:


x1x2x3

= 0 0 C2+C3

π1

0 0 C2π1

− 1π2

0 −R2π2

x1x2x3

+ 001π2

C3π1−C1π10

· u1u2

¸+

000

00

M−L1π2

· u1u2

¸(2.117)

La ecuacion de salida es:

y =

·1 0 00 0 1

¸ x1x2x3

(2.118)

2.16 Ecuaciones de estado con derivadas de las

entradas

Como se puede notar del ejemplo anterior (caso de un circuito impropio), a vecespueden aparecer en la ecuacion matricial de estado la primera derivada de las entradas.Es decir, en forma general:

x = Ax+B1u+B2u (2.119)

y = Cx+Du (2.120)

Para evitar que estas derivadas de las entradas aparezcan en la ecuacion de estado,se pueden redefinir las variables de estado de la siguiente manera:

bx , x−B2u (2.121)

De (2.119):

x−B2u = Ax+B1u (2.122)


.bx = A[bx+B2u]+B1uy organizando:

.bx = Abx+ [B1 +AB2]u (2.123)

(2.123) es la nueva ecuacion matricial de estado.La ecuacion de salida se obtiene reemplazando (2.121) en (2.120):

y = Cbx + [CB2 +D]u (2.124)

(2.124) es la ecuacion de salida en funcion de las nuevas variables de estado bx.

2.17 El transformador ideal como analogo de la palanca 63

2.17 Otras analogıas electromecanicas

2.17.1 Palancas

Figura 2.38 Palanca ideal

Considerese el sistema mecanico de la Fig. 2.38 el cual consta de una palanca idealy un punto de apoyo. Supongase que F1 (con el sentido mostrado) es una fuerzaexterna aplicada en el extremo de la izquierda y F2 (con el sentido mostrado) es lafuerza generada sobre alguna carga mecanica, la cual no se muestra. La velocidadangular ω de la palanca que rota alrededor del punto de apoyo se puede expresar enfuncion de las velocidades lineales de los extremos, v1 y v2, de la siguiente manera:

ω =v1d1=v2d2

de donde se obtiene la relacion entre las velocidades lineales:

v1v2=d1d2

(2.125)

Puesto que se ha supuesto que la palanca es ideal, entonces, aplicando el principiode conservacion de la energıa, la potencia entregada en el extremo izquierdo de lapalanca (F1v1) es igual a la potencia absorbida por la carga en el extremo derecho dela palanca (F2v2). Matematicamente:

F1v1 = F2v2

de donde se obtiene la relacion entre las fuerzas en los extremos:

F1F2=d2d1

(2.126)


2.17.2 El transformador ideal como analogo de la palanca

Figura 2.39 El transformador ideal

La Fig. 2.39 muestra el circuito de un transformador ideal, en el cual se satisfacenlas siguientes relaciones:

e1e2=n1n2= a (2.127)

i1i2=n2n1=1

a(2.128)

en donde e1 y e2 (i1 e i2) son los voltajes (corrientes) con las polaridades (sentidos)mostradas entre (a traves de) los terminales de los devanados del primario y delsecundario, respectivamente. a es la relacion del numero de espiras del primario alsecundario.Comparando las ecuaciones (2.127) con la (2.125) y la (2.128) con la (2.126) se puedeestablecer una analogıa entre la palanca y el transformador, en donde e1 y e2 (i1 e i2)son analogos a v1 y v2 (F1 y F2) y la relacion a =

n1n2a d1d2. Notese que esta analogıa

usa la analogıa fuerza-corriente.

2.17.3 El transformador como acoplador de impedancias

Figura 2.40 El transformador con carga

Considerese el transformador ideal mostrado en la Fig. 2.40, en donde la carga podrıa

2.17 La palanca como acoplador de elementos mecanicos 65

ser una resistencia, un condensador, una inductancia o una combinacion de estoselementos.

a. Si se supone que la carga es una resistencia R, entonces:

e2 = Ri2 (2.129)

Reemplazando (2.127) y (2.128) en (2.129) se obtiene (2.130):

e1 = Reqi1 (2.130)

en donde Req = a2R, es una resistencia equivalente vista entre los terminales delprimario.

b. Si la carga es una inductancia L, entonces:

e2 = Ldi2dt

(2.131)

Usando (2.127) y (2.128) en (2.131) se obtiene (2.132):

e1 = Leqdi1dt

(2.132)

en donde Leq = a2L, es una inductancia equivalente vista entre los terminales delprimario.

c. Si la carga es una capacitancia C, entonces:

i2 = Cde2dt

(2.133)


i1 = Ceqde1dt

(2.134)

en donde Ceq =Ca2 , es una capacitancia equivalente vista entre los terminales del

primario.

2.17.4 La palanca como acoplador de elementos mecanicos

Considerese la palanca ideal de la Fig. 2.38, en donde la carga podrıa ser una masa,un resorte o un amortiguador, o cualquier conexion de estos elementos.


a. Si se supone que la carga conectada entre el extremo derecho de la Fig. 2.38 yla referencia es un amortiguador, con coeficiente de friccion viscosa B, entonces:

F2 = Bv2 (2.135)


F1 = Beqv1 (2.136)

en donde Beq =³d2d1

´2B, es el coeficiente de friccion viscosa del amortiguador equiv-

alente en el extremo izquierdo de la palanca.

b. Si la carga es un resorte con constante K, conectado entre el extremo derecho dela Fig. 2.38 y la referencia, entonces:

F2 = K

Zv2dt (2.137)


F1 = Keq

Zv1dt (2.138)

en donde Keq =³d2d1

´2K, es la constante del resorte equivalente en el extremo

izquierdo de la palanca.

c. Si la carga es una masa M en el extremo derecho de la palanca, entonces:

F2 =Mdv2dt

(2.139)


F1 =Meqdv1dt

(2.140)

en donde Meq =³d2d1

´2M , es la masa equivalente en el extremo izquierdo de la

palanca.

2.17 La palanca como acoplador de elementos mecanicos 67

Ejemplo 2.15 Para el sistema mecanico de la Fig. 2.41 hallar la ecuacion diferen-cial que relaciona el desplazamiento de la masaM con la fuerza externa p(t). Suponerque la palanca es ideal.

Figura 2.41 Sistema mecanico del ejemplo 2.15

Se utilizara la analogıa fuerza-torque-corriente. El circuito electrico analogo se mues-tra en la Fig. 2.42.


Las analogıas son:C =M, R = 1

B , L =1K , a =

d1d2, i(t) = p(t), e = dy

dtAplicando la plk en el nodo 1 se obtiene (2.141):

ai(t) = cde

dt+e

R(2.141)

Reemplazando las analogıas en (2.141) se obtiene (2.142) que es la ecuacion dife-


rencial pedida:

Md2d1

d2y

dt2+B

d2d1

dy

dt= p(t) (2.142)

2.17.5 Sistemas acoplados de movimento rotacional

Figura 2.43 Engranajes

Considerese el sistema mecanico rotacional de la Fig. 2.43 el cual consta de un parde engranajes y alguna carga mecanica en el engranaje de la derecha, la cual no semuestra. Supongase que T1 (con el sentido mostrado) es una torque externo aplicadoen el engranaje de la izquierda y T2 (con el sentido mostrado) es el torque generadosobre la carga mecanica. La velocidad tangencial en el punto A de la Fig. 2.43, v,se puede expresar en funcion de las velocidades angulares, ω1 y ω2, de la siguientemanera:

v = ω1r1 = ω2r2

donde r1 y r2 son los radios de los engranajes 1 y 2, respectivamente. Como la relaciondel numero de dientes de los engranajes es proporcional a la relacion de los radiosrespectivos, entonces:

ω1ω2=r2r1=N2N1

=1

N(2.143)

Puesto que se ha supuesto que el acoplamiento es ideal, entonces, aplicando el prin-cipio de conservacion de la energıa, la potencia entregada en el eje del engranajeizquierdo (T1ω1) es igual a la potencia absorbida por la carga conectada en el eje delengraje derecho (T2ω2). Matematicamente:

T1ω1 = T2ω2

2.17 El engranaje como acoplador de elementos mecanicos 69

de donde se obtiene la relacion entre los torques:

T1T2=N1N2

= N (2.144)

Comparando las ecuaciones (2.127) con la (2.143) y la (2.128) con la (2.144) se puedeestablecer una analogıa entre el par de engranajes acoplados rotacionalmente y eltransformador, en donde e1 y e2 (i1 e i2) son analogos a ω1 y ω2 (T1 y T2) y larelacion a = n1

n2a 1N = N2

N1. Notese que esta analogıa usa la analogıa torque-corriente.

2.17.6 El engranaje como acoplador de elementos mecanicos

Considerese el engranaje ideal de la Fig. 2.43, en donde la carga podrıa ser unainercia, un resorte o un amortiguador, o cualquier conexion de estos elementos.

a. Si se supone que la carga conectada en el engranaje 2 de la Fig. 2.43 y lareferencia es un amortiguador rotacional, con coeficiente de friccion viscosa B,entonces:

T2 = Bω2 (2.145)


T1 = Beqω1 (2.146)

en donde Beq = N2B, es el coeficiente de friccion viscosa del amortiguador equi-valente en el eje del engranaje 1.

b. Si la carga es un resorte rotacional con constante K, conectado en el engranaje2 de la Fig. 2.43 y la referencia, entonces:

T2 = K

Zω2dt (2.147)


F1 = Keq

Zv1dt (2.148)

en donde Keq = N2K, es la constante del resorte equivalente en el eje del engranaje

1.

c. Si la carga es una inercia J en el engranaje 2, entonces:


T2 = Jdω2dt

(2.149)


T1 = Jeqdω1dt

(2.150)

en donde Jeq = N2M , es la inercia equivalente en el eje del engranaje 1.

Ejemplo 2.16 Plantear un conjunto linealmente independiente de ecuaciones dife-renciales que describa completamente el comportamiento del sistema mostrado en laFig. 2.44.


Como se supone que la corriente de campo del motor es constante, entonces el voltajeinducido en la armadura del motor, e, y el torque generado por el mismo, Tm, sondados por:

e = Kmωm = Kmdθmdt

(2.151)

Tm = KT ia (2.152)

dondeKm yKT son las constantes de voltaje y de torsion del motor, respectivamente.Aplicando la slk en la armadura del motor se tiene:

2.17 El engranaje como acoplador de elementos mecanicos 71

u(t) = Raia + Ladiadt+ e (2.153)

Utilizando la analogıa fuerza-torque-corriente, para el sistema mecanico rotacional seobtiene el circuito electrico analogo de la Fig. 2.45, en donde las analogıas son:Im = Tm, em =

dθmdt , ec =

dθcdt , R1 =

1B1, R2 =

1B2, Rc =

1Bc,

Rm =1Bm, Lm =

1Gm, a = 1

N , C1 = J1, C2 = J2, Cc = Jc

Figura 2.45 Circuito analogo del sistema mecanico rotacional del ejemplo 2.16

Si los elementos de circuito del lado derecho del transformador (secundario) se refierenal lado izquierdo del mismo (primario), el circuito de la Fig. 2.45 queda reducido alcircuito simple de la Fig. 2.46.

Figura 2.46 Circuito reducido de la Figura 2.45

en donde:

Ceq = C1 +C2 +Cca2

(2.154)

Req =a2R1R2Rc

R1R2 +R1Rc + a2R2Rc(2.155)


Aplicando la plk a los nodos 1 y 2 del circuito de la Fig. 2.46 se obtienen:

emRm

+1

Lm

Z(em − aec)dt = Im (2.156)

aecReq

+Ceqd(aec)

dt+

1

Lm

Z(aec − em)dt = 0 (2.157)

Reemplazando las analogıas, (2.154) y (2.155) en (2.156) y (2.157) se obtienen:

Bmdθmdt

+Gm(θm − 1

Nθc) = Tm (2.158)

1

N[B1+N

2(Bc +B2)dθcdt+1

N[J1+N

2(Jc + J2)d2θcdt2

+Gm(1

Nθc− θm) = 0 (2.159)

Las ecuaciones (2.151), (2.152), (2.153), (2.158), y (2.159) constituyen el modelomatematico que describe completamente el comportamiento del sistema de la Fig.2.44.

2.18 Linealizacion de un modelo matematico no

lineal

Supongase que se tiene la funcion f(x, y, z) y se desea expandir en series de Tayloralrededor del punto (x0, y0, z0) = P0. Entonces:

f(x, y, z) = f(x0, y0, z0)+∞X1

[∂kf

∂xk|P0

(x− x0)kk!

+∂kf

∂yk|P0

(y − y0)kk!

+∂kf

∂zk|P0

(z − z0)kk!

]

(2.160)Sea:

∆x , x− x0, ∆y , y − y0, ∆z , z − z0, ∆f , f(x, y, z)− f(x0, y0, z0) (2.161)

Despreciando terminos de orden superior a uno y utilizando las definiciones (2.161)en (2.160) se obtiene:

∆f ≈ Kx∆x+Ky∆y +Kz∆z (2.162)

en donde:

Kx =∂f

∂x|P0 , Ky =

∂f

∂y|P0 , Kz =

∂f

∂z|P0 (2.163)

Supongase ahora que se tiene la ecuacion diferencial no lineal (2.164):

F (x, x(1), · · · , x(m), y, y(1), · · · , y(n)) = 0 (2.164)

2.18 Linealizacion de un modelo matematico no lineal 73

y el punto de operacion P0 = (x0, x(1)0 , · · · , x(m)0 , y0, y

(1)0 , · · · , y(n)0 ).

Obviamente el punto de operacion debe satisfacer la ecuacion diferencial (2.163) ypor lo tanto:

F (x0, x(1)0 , · · · , x(m)0 , y0, y

(1)0 , · · · , y(n)0 ) = 0 (2.165)

en donde:

x(k)0 =

∂kx

∂tk|P0 , y(k)0 =

∂ky

∂tk|P0

Expandiendo en series de Taylor (2.164) y despreciando terminos de orden superiora uno:

F (x, x(1), · · · , x(m), y, y(1), · · · , y(n)) = F (x0, x(1)0 , · · · , x(m)0 , y0, y(1)0 , · · · , y(n)0 ) + α

(2.166)en donde:

α =∂F

∂x|P0 ∆x+

∂F

∂x(1)|P0 ∆x(1)+· · ·+

∂F

∂x(m)|P0 ∆x(m)+

∂F

∂y|P0 ∆y+· · ·+

∂F

∂y(n)|P0 ∆y(n)

(2.167)y:

∆x(k) = ∆dkx

dtk=dk∆x

dtk, ∆y(k) = ∆

dky

dtk=dk∆y

dtk(2.168)

Reemplazando (2.164) y (2.165) en (2.166) y usando (2.168) se obtiene la ecuaciondiferencial linealizada alrededor del punto P0:

K0∆x+K1d∆x

dt+ · · ·+Km d

m∆x

dtm= d0∆y + d1

d∆y

dt+ · · ·+ dn d

n∆y

dtn(2.169)

donde:

K0 =∂F

∂x|P0 , K1 =

∂F

∂x(1)|P0 , · · · , Km =

∂F

∂x(m)|P0 (2.170)

y:

d0 = −∂F∂y

|P0 , d1 = −∂F

∂y(1)|P0 , · · · , dn = −

∂F

∂y(n)|P0 (2.171)

Ejemplo 2.17 Linealizar la ecuacion diferencial no lineal (2.172) alrededor de unpunto de operacion que se supone conocido, P0.

x2(dx

dt)2 + 2x = y3

d2y

dt2+ (1 + y2)(

dy

dt)2 +

1

y(2.172)

En este caso:


F (x, x(1), y, y(1), y(2)) = x2(x(1))2 + 2x− y3y(2) − (1 + y2)(y(1))2 − 1y

Por lo tanto la ecuacion linealizada es:

K0∆x+K1d∆x

dt= d0∆y + d1

d∆y

dt+ d2

d2∆y

dt2(2.173)

en donde:K0 = [2x(x

(1))2 + 2] |P0 , K1 = [2x2x(1)] |P0d0 = [3y

2y(2) + 2y(y(1))2 − 1y2 ] |P0 , d1 = [2(1 + y2)y(1)] |P0 , d2 = [y3] |P0

2.19 El servomotor hidraulico

Figura 2.47 El servomotor hidraulico

Como ejemplo de un sistema fısico no lineal se considera el servomotor hidraulico,cuyo modelo matematico se linealiza alrededor de un punto de operacion conocido,P0. El funcionamiento descriptivo del sistema consiste en que si la valvula piloto esdesplazada hacia la derecha, aceite a presion entra por el lado derecho del piston depotencia y el aceite del lado izquierdo del mismo va hacia el drenaje. La diferencia depresion a ambos lados del piston de potencia produce el desplazamiento de este haciala izquierda. El aceite retorna, recibe nuevamente presion por una bomba y vuelve acircular al sistema. Cuando el piston piloto se desplaza hacia la izquierda, el pistonde potencia se mueve hacia la derecha. Se determinara la funcion de transferencia,

2.19 El servomotor hidraulico 75

despues de ser linealizado obviamente el sistema, considerando como salida el cambioen el desplazamiento de la carga mecanica, ∆y, y como entrada el cambio en eldesplazamiento de la valvula piloto, ∆x.

P1

Q1

x1

x2

x3

x4

Ps P2

Q2

x1

x2

x3

x4

Figura 2.48 Curvas no lineales de Q1 y Q2

La Fig. 2.48 muestra curvas no lineales de los caudales, Q1 y Q2, en funcion de laspresiones P1 y P2, respectivamente y del desplazamiento de la valvula piloto, x. Lasexpresiones matematicas no lineales son:

Q1 = KdxpPs − P1 (2.174)

Q2 = KdxpP2 (2.175)

Linealizando (2.174) y (2.175):

∆Q1 = K1∆x−K2∆P1 (2.176)

∆Q2 = K3∆x+K4∆P2 (2.177)

donde:K1 = [Kd

√Ps − P1] |P0 , K2 = Kdx

2√Ps−P1 |P0 , K3 = [Kd

√P2] |P0 , K4 = Kdx

2√P2|P0

Puesto que el caudal se define como el cambio de volumen por unidad de tiempo,entonces:

Q1 = Q2 =d(Ay)

dt= A

dy

dt

y por lo tanto:


∆Q1 = ∆Q2 = Ad∆y

dt(2.178)

La fuerza que actua sobre la masa M , con sentido de derecha a izquierda, debida alpiston de potencia es:

F = A(P1 − P2)

y por lo tanto:

∆F = A(∆P1 −∆P2) (2.179)

Reemplazando (2.178) en (2.176) y (2.177) y despejando M P1 y M P2 en (2.179) seobtiene (2.180):

∆F = Kx∆x−Ky d∆ydt

(2.180)

Haciendo el diagrama de cuerpo libre de M y aplicando la segunda ley de Newton seobtiene:

F −Bdydt=M

d2y

dt2

y por lo tanto:

∆F −Bd∆ydt

=Md2∆y

dt2(2.181)

Reemplazando (2.180) en (2.181) se obtiene la ecuacion diferencial que relaciona M xy M y:

Md2∆y

dt2+ (B +Ky)

d∆y

dt= Kx∆x (2.182)

Usando la transformada de Laplace en (2.182), suponiendo condiciones iniciales nulas,se obtiene la funcion de transferencia pedida:

∆Y (s)

∆X(s)=

K

s(Ts+ 1)(2.183)

donde K = Kx

B+Kyy T = M

B+Ky

Si la constante de tiempo T es muy pequena, o despreciable, entonces el servomotorhidraulico en este caso se comporta como un integrador con ganancia K:

∆Y (s)

∆X(s)=K

s(2.184)

2.20 Gobernador de velocidad de una turbina 77

2.20 Gobernador de velocidad de una turbina

Figura 2.49 Gobernador de velocidad de una turbina

Notese que si Pref , la potencia de referencia, aumenta, el punto A baja, C sube, Dsube, abriendo la valvula piloto, lo que hace bajar E y abre mas la valvula de aguja.La turbina se acelera y ω = Kf aumenta. Al aumentar la velocidad las masas m seseparan y el punto B baja, C y D bajan. Cuando se consigue el estado estacionariola valvula piloto se cierra.Asimismo, con Pref constante, si la turbina es cargada, baja la velocidad ω = Kf , lasmasas se acercan subiendo los puntos B, C y D. La valvula piloto se abre y E baja,abriendo mas la valvula de aguja, incrementando la velocidad de la turbina, la quehace bajar B, C y D. En el equilibrio (nuevo) se vuelve, entonces, a cerrar la valvulapiloto.Si se considera la palanca A-B-C:

Xc = f(XA,XB)

Linealizando:

∆Xc =∂F

∂XA|XB=const ∆XA +

∂F

∂XB|XA=const ∆XB

∆Xc = − ba∆XA +

a+ b

a∆XB


Puesto que ∆XB ∝ ∆f y ∆XA ∝ ∆Pref entonces:

∆Xc = K1∆f −K2∆Pref (2.185)

Asimismo para la palanca C-D-E:

∆XD = K3∆XC +K4∆XE (2.186)

Si se considera la funcion de transferencia simple del servomotor entonces:

∆XE = −K5Z∆XDdt (2.187)

Transformando (2.187) y utilizando (2.186) :

∆XE(s) = −K3

K4

1 + 1K4K5

s∆Xc(s) (2.188)

Con (2.185) en (2.188):

∆XE(s) =KG

1 + TGs(∆Pref (s)− 1

R∆f(s)) (2.189)

donde:KG =

K3K2

K4, TG =

1K4K5

, R = K2

K1.

Figura 2.50 Concatenacion simple del gobernador de velocidad con la turbina,generador y area de potencia

La Fig. 2.50 muestra una concatenacion simple del gobernador de velocidad con laturbina, generador y area de potencia, en donde los modelos para la turbina-generadory el area de potencia se han escogido de primer orden. ∆PG y∆PD son los incrementosde la potencia generada y la demandada por los usuarios, respectivamente.

2.21 Linealizacion de las ecuaciones de estado no lineales 79

2.21 Linealizacion de las ecuaciones de estado no

lineales

Sea el conjunto de ecuaciones de estado no lineales:

x = f(x,u, t) (2.190)

en donde x y u son vectores (columna) que contienen las variables de estado (n) ylas entradas al sistema (p), respectivamente; y f es una funcion vectorial no lineal dex, u y t.La representacion de un sistema no lineal y/o variante con el tiempo mediante ecua-ciones de estado es una gran ventaja sobre el metodo de la funcion de transferencia,ya que este ultimo se define estrictamente solo para sistemas lineales e invariantes conel tiempo.Sea la trayectoria nominal de operacion (punto de operacion) denotada por x0(t), lacual corresponde a la entrada nominal u0(t). Expandiendo la ecuacion de estado nolineal (2.190) en series de Taylor alrededor del punto de operacion y despreciando losterminos de orden superior a uno:

xi(t) = fi(x0,u0) +nXj=1

∂fi(x,u)

∂xj|x0,u0 (xj − x0j) +

pXj=1

∂fi(x,u)

∂uj|x0,u0 (uj − u0j)

(2.191)en donde i = 1, 2, · · · , n.Se definen:

∆xi , xi − x0i, ∆uj , uj − u0j , ∆xi , xi − x0i (2.192)

Ademas:

x0i = fi(x0,u0) (2.193)

Reemplazando (2.192) y (2.193) en (2.191):

∆xi =nXj=1

∂fi(x,u)

∂xj|x0,u0 ∆xj +

pXj=1

∂fi(x,u)

∂uj|x0,u0 ∆uj (2.194)

La cual se puede reescribir en forma matricial como:

∆x = A∗∆x+B∗∆u (2.195)

en donde:

A∗ =

∂f1∂x1

∂f1∂x2

· · · ∂f1∂xn

∂f2∂x1

∂f2∂x2

· · · ∂f2∂xn· · · · · · · · · · · ·

∂fn∂x1

∂fn∂x2

· · · ∂fn∂xn

x0,u0

(2.196)


B∗ =

∂f1∂u1

∂f1∂u2

· · · ∂f1∂up

∂f2∂u1

∂f2∂u2

· · · ∂f2∂up

· · · · · · · · · · · ·∂fn∂u1

∂fn∂u2

· · · ∂fn∂up

x0,u0

(2.197)

Notese que A∗ y B∗ son evaluados en el punto nominal.Se ha linealizado el sistema no lineal (2.190) alrededor del punto nominal de operacion.Sin embargo, en general, aunque la ec. (2.195) es lineal, A∗ y B∗ podrıan contenerelementos que varıan con el tiempo.

Ejemplo 2.18 La Fig. 2.51 muestra el diagrama de un sistema de suspension magne-tico de una bola metalica. El objetivo del sistema es controlar la posicion de la bola aju-stando la corriente en el electroiman mediante el voltaje de entrada e(t). Plantear unmodelo matematico mediante ecuaciones de estado y linealizarlo alrededor del puntode equilibrio y0(t) = Y0 = constante.

Figura 2.51 Sistema de suspension magnetico de una bola

Las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema se pueden obtener apli-cando la segunda ley de Newton a la bola y la segunda ley de Kirchhoff al circuitoelectrico:

Mg − i2

y=M

d2y

dt2(2.198)

e(t) = Ri+ Ldi

dt(2.199)

Si se definen las variables de estado como :x1 = y, x2 =dydt , x3 = i, las ecuaciones de

estado del sistema son:

dx1dt

= x2 (2.200)

2.22 Diagramas de bloques 81

dx2dt

= g − 1

M

x23x1

(2.201)

dx3dt

= −RLx3 +

1

Le(t) (2.202)

Se determina el punto nominal de operacion. Puesto que y0(t) = x01(t) = Y0 =

cons tan te, entonces x02(t) =dx01(t)dt = 0. Ademas, como d2y0(t)

dt2 = 0, reemplazandoeste en (2.198) se obtiene i0(t) = x03(t) =

√MgY0.

Utilizando el punto nominal de operacion y linealizando las ecs. de estado no linealesse obtiene (2.203):

∆x1∆x2∆x3

= 0 1 0

gY0

0 −2q

gMY0

0 0 −RL

∆x1∆x2∆x3

+ 001L

∆e(t) (2.203)

Ejemplo 2.19 Sea el sistema no lineal de ecuaciones:

x1 = − 1

x22(t)(2.204)

x2 = x1(t)u(t) (2.205)

Linealizarlas alrededor de la trayectoria nominal [x01(t), x02(t)] que es la solucion alas ecuaciones con las condiciones iniciales x1(0) = x2(0) = 1 y la entrada u(t) = 0.Integrando (2.205), x2(t) = x2(0) = 1 e integrando (2.204), x1(t) = −t+ 1. Es decir,la trayectoria nominal alrededor de la cual las ecs.(2.204) y (2.205) seran linealizadases descrita por x01(t) = −t + 1 y x02(t) = 1. Como ∂f1

∂x1= ∂f2

∂x2= ∂f1

∂u = 0, ∂f1∂x2

=2

x32(t), ∂f2∂x1

= u(t), ∂f2∂u = x1(t) y evaluando estas en el punto de operacion se obtienen

las ecuaciones pedidas:

·∆x1∆x2

¸=

·0 20 0

¸ ·∆x1∆x2

¸+

·0

1− t¸∆u(t) (2.206)

(2.206) es un conjunto de ecs. de estado lineales con coeficientes variables con eltiempo.

2.22 Diagramas de bloques


Figura 2.52 Sistema de lazo cerrado

La Fig. 2.52 muestra un diagrama de bloques general de un sistema en lazo cerrado.Se define la funcion de transferencia directa como C(s)

E(s) = G(s), y la funcion

de transferencia en lazo abierto como B(s)E(s) =Wla(s) = G(s)H(s). Notese que si

la funcion de transferencia de realimentacion es la unidad (H(s) = 1), la funcion detransferencia en lazo abierto y la directa son iguales. Para el sistema en lazo cerradose tiene:

C(s) = G(s)E(s) = G(s)[R(s)−B(s)] = G(s)[R(s)−H(s)C(s)]

de la cual se halla la funcion de transferencia en lazo cerrado:

C(s)

R(s)=Wlc(s) =

G(s)

1 +G(s)H(s)(2.207)

2.23 Sistema de lazo cerrado sometido a una

perturbacion

Figura 2.53 Sistema de lazo cerrado sometido a una perturbacion

La respuesta del sistema lineal de la Fig. 2.53 debido a ambas entradas, r(t) y u(t)se puede obtener utilizando superposicion:

2.24 Reduccion de diagramas de bloques 83

a. Supongase N(s) = 0, entonces la respuesta debida a R(s), CR(s), se puedeobtener usando (2.207):

CR(s)

R(s)=

G1(s)G2(s)

1 +G1(s)G2(s)H(s)(2.208)

b. Se supone ahora R(s) = 0, entonces la respuesta debida a N(s), CN(s), tambiense puede obtener usando (2.207):

CN(s)

N(s)=

G2(s)

1 +G1(s)G2(s)H(s)(2.209)

Usando superposicion la respuesta del sistema es:

C(s) = CR(s) +CN(s) =G2(s)

1 +G1(s)G2(s)H(s)[G1(s)R(s) +N(s)] (2.210)

Suponiendo que | G1(s)G2(s)H(s) |À 1, se puede notar que la respuesta debido a lareferencia es aproximadamente independiente de G1(s) y G2(s) ya que

CR(s)R(s) ' 1

H(s) .

Si ademas, | G1(s)H(s) |À 1, se ve que el efecto de perturbacion se atenua consider-ablemente ya que CN(s)

N(s) ' 1G1(s)H(s)

→ 0.

2.24 Reduccion de diagramas de bloques

La reduccion de un diagrama de bloques complicado a uno mas simple se puede llevara cabo utilizando los diagramas equivalentes que se muestran en la Fig. 2.54.


Figura 2.54 Diagramas equivalentes

Ejemplo 2.20 Reducir el diagrama de bloques de la Fig. 2.55 y obtener la funcionde transferencia.

Figura 2.55 Diagrama de bloques del ejemplo 2.20

Las Figuras 2.56 y 2.57 muestran las diferentes etapas para la reduccion del diagramade bloques en donde A = FG

1−FGI , B =FGH

1−FGI+GHJ .

2.24 Reduccion de diagramas de bloques 85

Figura 2.56 Reduccion parcial del diagrama de la Fig. 2.55

Figura 2.57 Reduccion final del diagrama del ejemplo 2.20

Finalmente entonces la funcion de transferencia es:


C(s)

R(s)=

FGH

1− FGI +GHJ + FGH (2.211)

Ejemplo 2.21 Reducir el mismo diagrama de bloques de la Fig. 2.55 de otra manera.

La Fig. 2.58 muestra las diferentes etapas para la reduccion del diagrama de bloquesde otra manera, en donde D = GH

1+GHJ , E =IH − 1.

Figura 2.58 Otra manera de reducir el diagrama de la Fig. 2.55

Finalmente se obtiene la misma funcion de transferencia dada por la ec. (2.211).

2.25 Ejemplos

2.25 El servomotor bifasico 87

2.25.1 Sismografo

Figura 2.59 Diagrama esquematico de un sismografo

El sismografo basicamente indica el desplazamiento de su envoltura con respecto alespacio inercial.xi es el desplazamiento de la envoltura o gabinete con respecto al espacio inercialo referencia, x0 es el desplazamiento de la masa m con respecto a la referencia.y = x0 − xi es el desplazamiento de la masa m con respecto al gabinete.Haciendo el diagrama de cuerpo libre de la masa m y aplicando la segunda ley deNewton:

B(xi − x0) +K(xi − x0) = mx0

y haciendo cambio de variable, x0 = y + xi, se obtiene:

my +By +Ky = −mxi

Utilizando Laplace y suponiendo condiciones iniciales nulas se obtiene la funcion detransferencia:

Y (s)

Xi(s)= − ms2

ms2 +Bs+K(2.212)

Si el rango de frecuencias de interes es relativamente alto de modo que para s = jω setiene que mω2 Àp

(Bω)2 +K2 (desigualdad que sirve para el diseno del sismografo)

entonces de (2.212) se obtiene que |Y (jω)||Xi(jω)| ' 1. Asi entonces se obtiene a la salida

(y) una senal cuya forma de onda es igual al desplazamiento de entrada (xi).Este dispositivo tambien puede ser utilizado como acelerometro ya que Y (s)

s2Xi(s)=

Y (s)a(s) − m

ms2+Bs+K .


2.25.2 El servomotor bifasico

Figura 2.60 El servomotor bifasico

Tiempo

Vol

taje

Ec(t)

ec(t)

Tiempo

Tor

que T(t)

Figura 2.61 Curvas de voltaje de control y torque del servomotor bifasico convelocidad constante

Muy utilizado en servomecanismos de instrumentacion y control. Es un motor conrotor jaula de ardilla y en el estator tiene dos devanados en cuadratura, llamados fasede control (cuyo voltaje entre sus terminales ec(t) = Ec(t) senωt, generalmente se usacomo senal de control) y fase de referencia (su voltaje es ef (t) = E cosωt). Como lamayorıa de sistemas fısicos, el servomotor bifsico es un dispositivo no lineal, lo cual serefleja fundamentalmente en la relacion entre el torque generado, T , con la velocidadangular, ωm, y el voltaje Ec(t). La Fig. 2.60 muestra una curva tıpica, dada por los

2.25 Motor de CC controlado en el inducido 89

fabricantes, de esta relacion y la Fig. 2.61 muestra que, para una velocidad angularconstante, el torque generado por el motor T (t) es proporcional a Ec(t). Se suponeque las variaciones de Ec(t) son lentas comparadas con la senal de alimentacion senωt.Asi pues T = T (ωm, ec) y linealizando alrededor de algun punto de operacion P0:

∆T =∂T

∂ωm|P0 ∆ωm +

∂T

∂Ec|P0 ∆ec (2.213)

= −k1 d∆θdt

+ k2∆ec = Jd2∆θ

dt2+B

d∆θ

dt

Organizando (2.213) se obtiene la ecuacion diferencial (2.214):

Jd2∆θ

dt2+ (B + k1)

d∆θ

dt= k2∆ec (2.214)

Usando Laplace en (2.214) con condiciones iniciales nulas se obtiene la funcion detransferencia:

∆θ(s)

∆Ec(s)=

K

s(1 + τs)(2.215)

donde K = k2B+k1

y τ = JB+k1

.

2.25.3 Motor de CC controlado en el inducido

Figura 2.62 Motor de CC controlado por la armadura

Aplicando la slk en el circuito de armadura:

v − ea = Raia + La diadt

(2.216)

en donde ea, el voltaje inducido en la armadura es dado por ea = Kaφωm, siendoωm la velocidad angular del motor y φ el flujo en el entrehierro, el cual se supondra


proporcional a la corriente de campo, que en este caso se supone constante. Por lotanto:

ea = Keωm (2.217)

Asimismo, el torque generado por el motor es dado por τ = Kbφia. Por lo tanto:

τ = Kτ ia (2.218)

Con el diagrama de cuerpo libre de la inercia J y utilizando la sln:

τ − τL = jdωmdt

+Bωm (2.219)

en donde τL es el torque de perturbacion en la carga.Transformando las ecs. (2.216) a la (2.219) con condiciones iniciales nulas y orga-nizandolas se obtienen:

Ia(s) =1

Ra + Las(V (s)−Ea(s)) (2.220)

Ea(s) = Keωm(s) (2.221)

τ(s) = KτIa(s) (2.222)

ωm(s) =1

Js+B(τ(s)− τL(s)) (2.223)

Figura 2.63 Diagrama de bloques del motor de CC controlado por el inducido

Con las ecs. (2.220) a la (2.223) se obtiene el diagrama de bloques de la Fig. 2.63 delmotor de cc controlado por el inducido.

2.25 Motor de CC controlado en el campo 91

2.25.4 Motor de CC controlado en el campo

Figura 2.64 Motor de CC controlado en el campo

En este caso se supone que el voltaje aplicado a la armadura es constante. Aquı no sesupondra, como sucede a veces, que la corriente de armadura es constante (conectandouna resistencia alta en serie con la armadura) ya que esto no es estrictamente cierto.El comportamiento del sistema es descrito con las siguientes ecuaciones:

V = Raia + Ladiadt+ ea

ea = K0φω = K1ifω

τ = K0φia = K1if ia

τ = jdω

dt+Bω

vf = Rf if + Lfdifdt

las cuales despues de ser linealizadas alrededor de un punto de operacion se conviertenen:

∆V = 0 = Ra∆ia + Lad∆iadt

+∆ea

∆ea = Kf∆if +Kω∆ω


∆τ = K2∆if +Kω∆ia

∆τ = jd∆ω

dt+B∆ω

∆vf = Rf∆if + Lfd∆ifdt

y utilizando la transformada de Laplace en ellas con condiciones iniciales nulas:

∆If (s) =1

Rf + Lfs∆Vf (s)

∆Ia(s) = − 1

Ra + Las∆Ea(s)

∆Ea(s) = Kf∆If (s) +Kω∆ω(s)

∆τ(s) = K2∆If (s) +Kω∆Ia(s)

∆ω(s) =1

Js+B∆τ(s)

de las cuales se puede obtener el diagrama de bloques de la Fig. 2.65.

Figura 2.65 Diagrama de bloques del motor de CC controlado en el campo

Utilizando reduccion de diagramas de bloques en la Fig. 2.65 o mediante la ma-nipulacion algebraica de las ultimas cinco ecuaciones se puede obtener la funcion detransferencia:

2.26 Potenciometros 93

∆ω(s)

∆Vf (s)=

(K2 − KfKω

Ra+Las)(Ra + Las)

(Rf + Lfs)[LaJs2 + (RaJ + LaB)s+ (RaB +K2ω)]

(2.224)

Considerese como entrada un escalon unitario, es decir ∆vf (t) = us(t), por lo tanto∆Vf (s) =

1s . Partiendo de que el sistema es estable entonces el cambio en velocidad

en estado estacionario, ∆ωss, se puede calcular utilizando el teorema del valor final:∆ωss = lim

t→∞ ∆ω(t) = lims→0 s∆ω(s). En este caso da:

∆ωss =(K2 − KfKω

Ra)Ra

Rf (RaB +K2ω)

de donde se puede notar que si:

a. Ra es pequena de modo que (K2 − KfKω

Ra) < 0, entonces ∆ω(s) < 0, es decir la

velocidad decrece con el aumento de vf .

b. Ra es grande de modo que (K2 − KfKω

Ra) > 0, entonces ∆ω(s) > 0, es decir la

velocidad crece con el aumento de vf .

Si la inductancia de armadura es despreciable, entonces la funcion de transferencia sereduce a:

∆ω(s)

∆Vf (s)' −KfKω +RaK2(Rf + Lfs)(RaJs+RaB +K2

ω)=

−KfKω

Ra+K2

(Rf + Lfs)(Js+B +K2ω

Ra)(2.225)

y si la resistencia en el circuito de armadura se hace grande (conectando una resisten-cia alta en serie):

∆ω(s)

∆Vf (s)' K2(Rf + Lfs)(Js+B)

(2.226)

2.26 Sensores de error en sistemas de control

Como se sabe, en sistemas de control a menudo es necesario comparar varias senalesen cierto punto de un sistema. Por ejemplo, la comparacion de la entrada de re-ferencia con la variable controlada, que es llamada la senal de error. En terminosde componentes fısicos, un sensor de error puede ser un simple potenciometro o unacombinacion de ellos, un engranaje diferencial, un transformador, un amplificadordiferencial, un synchro, etc. Se consideraran algunos de ellos.


2.26.1 Potenciometros

Un potenciometro es un transductor electromecanico que convierte una senal mecanicaen una senal electrica. La entrada al dispositivo es en forma de desplazamientomecanico, sea traslacional o rotacional. Cuando se aplica un voltaje entre los termi-nales fijos del potenciometro, el voltaje de salida que se mide entre el terminal variabley tierra es proporcional al desplazamiento de entrada, linealmente o de acuerdo a al-guna relacion no lineal.Potenciometros rotatorios son disponibles comercialmente en forma de una o multi-ples revoluciones. El material comunmente es alambre o plastico conductor. Esteultimo es preferible para control de precision.

Figura 2.66 Potenciometros

En la Fig. 2.66a se tiene el modelo de un potenciometro rotatorio lineal. Este dis-positivo se puede usar para indicar la posicion absoluta de un sistema o la posicionrelativa de dos salidas mecanicas. Entonces el voltaje de salida e(t) sera proporcionala la posicion del eje θc(t). Es decir e(t) = Ksθc(t), en donde Ks es una constante deproporcionalidad.Un arreglo mas flexible se obtiene usando dos potenciometros conectados en pa-ralelocomo se muestra en la Fig. 2.66b. En este caso se permite la comparacion de dosposiciones de ejes localizados remotamente. El voltaje de salida se toma entre losterminales variables de los dos potenciometros y es dado por e(t) = Ks[θ1(t)− θ2(t)].

2.26 Potenciometros 95

Figura 2.67 Control de posicion con motor DC

Referencia

E

e(t)

ea(t)

Tiempo

pos. carga

Figura 2.68 Ondas tıpicas del motor DC

La Fig. 2.67 muestra el diagrama esquematico simplificado de un tıpico sistema decontrol de posicion con motor DC. En la Fig. 2.68 se muestran formas de onda tıpicasdel sistema para cuando θr(t) es un escalon unitario. Notese que todas las senalesson demoduladas. En la terminologıa del control, una senal DC se refiere a una senalno modulada. Por otro lado, una senal AC se refiere a aquella que es modulada porun proceso de modulacion.


Figura 2.69 Control de posicion con motor bifasico AC

Referencia

v(t)

error posición

e(t)

Tiempo

pos. carga

Figura 2.70 Ondas tıpicas del motor bifasico AC

La Fig. 2.69 muestra un sistema de control que sirve esencialmente al mismo propositoque el de la Fig. 2.67, excepto que prevalecen las senales AC. El voltaje aplicado aldetector de error es sinusoidal. La frecuencia de esta senal es usualmente mucho masalta que la de la senal que esta siendo transmitida a traves del sistema. Senales tıpicasdel sistema de control AC se muestran en la Fig. 2.70. v(t) = E senωct es llamadala portadora cuya frecuencia es ωc. La senal de e-rror es e(t) = Ksθe(t)v(t), endonde θe(t) = θr(t) − θL(t), es la diferencia entre el desplazamiento de entrada y el

2.26 Synchros 97

desplazamiento de la carga. Para la senal θe(t) de la Fig. 2.70, e(t) es una senalmodulada con portadora suprimida ya que no contiene la frecuencia originalportadora. Por ejemplo, si θe(t) = senωst, en donde normalmente ωs ¿ ωc, entonces,usando relaciones trigonometricas, e(t) = 1

2KsE[cos(ωc − ωs)t− cos(ωc + ωs)t]. Poreso, e(t) no contiene a ωc o ωs, sino a ωc + ωs y ωc − ωs.Cuando la senal modulada se transmite a traves del sistema, el motor actua como undemodulador, de modo que el desplazamiento de la carga sera de la misma forma quela senal DC antes de modulacion.

2.26.2 Synchros

Son muy confiables. Basicamente un synchro es un dispositivo rotatorio que operacon el mismo principio que un transformador y produce una correlacion entre unaposicion angular y un voltaje o conjunto de ellos. Los synchros son dispositivos ACy hay muchos tipos de ellos. Aquı solo se discuten el synchro transmisor y el synchrotransformador de control.El synchro transmisor. Los devanados de su estator estan conectados en Y. Elrotor es de polos salientes con un solo devanado. Su diagrama esquematico se muestraen la Fig. 2.71.

Figura 2.71 El synchro transmisor

Un voltaje AC monofasico, ec = ER senωct, se aplica al rotor a traves de dos anillosdeslizantes. Se puede demostrar que las magnitudes de los voltajes en los terminalesdel estator son:

ES1S2 =√3KER sen(θ+ 240

) (2.227)

ES2S3 =√3KER sen(θ+ 120

) (2.228)

ES3S1 =√3KER sen θ (2.229)


en donde θ es la posicion del rotor relativa alguna referencia. Por lo tanto, un synchrotransmisor sirve para identificar posiciones angulares.El synchro transformador de control. Un detector de error por synchros involu-cra el uso de dos: el transmisor y el transformador de control como se muestra en laFig. 2.72.

Figura 2.72 Detector de error por synchros

Basicamente el principio de operacion del synchro transformador de control es identicaa la del trasmisor, excepto que el rotor es de forma cilındrica de modo que el flujoen el entrehierro es uniformemente distribuido alrededor del rotor. Esta cualidades esencial para un transformador de control ya que los terminales del rotor sonconectados usualmente a un amplificador o un dispositivo electrico similar, de modoque este vea una impedancia constante.Cuando los voltajes (2.227) a (2.229) se aplican a los correspondientes terminales delestator del transformador de control, la amplitud del voltaje en su rotor es funcion delseno de la diferencia entre los angulos de los ejes del transmisor y del transformadorde control. Naturalmente el detector de error sıncrono es un dispositivo no lineal.Sin embargo, para pequenas desviaciones angulare de hasta 15 en la vecindad de las2 posiciones nulas del seno, el voltaje del rotor del del transformador de control esaproximadamente proporcional a la diferencia de posicion. Por eso, para pequenasdesviaciones angulares, la funcion de transferencia del detector de error sıncrono sepuede aproximar por una constante Ks =

Eθr−θL =

Eθe, en donde E es un voltaje de

error en voltios, θr y θL son las posiciones de los ejes del transmisor y del transfor-mador de control en radianes, respectivamente, θe es el error de las posiciones de losejes en rads. y Ks es la sensitividad del detector de error en voltios/rad.Se debe hacer notar que la senal de error en los terminales del rotor del transformadorde control cuando el voltaje aplicado al rotor del transmisor es ER senωct, es una senalmodulada de portadora suprimida, e(t) = Ksθe(t) senωct.

2.27 Control de posicion con sensor de error potenciometrico 99

Figura 2.73 Control de posicion con motor bifasico

La Fig. 2.73 muestra un diagrama simplificado de un sistema de control de posicionempleando un detector de error sıncrono. El rotor del transformador de control seconecta al eje controlado y el rotor del transmisor se conecta al eje de entrada dereferencia.

2.27 Ejemplos de control de posicion

Los siguiente tres ejemplos tienen como objetivo el control de una posicion angular.

2.27.1 Control de posicion con sensor de error potenciometrico

Figura 2.74 Control de posicion con sensor de error potenciometrico y motor DC

En la Fig. 2.74 Jm y Bm son: el momento de inercia y el coeficiente de friccionviscosa del motor, respectivamente, n = N1

N2, es la relacion del numero de dientes de los

engranajes primario y secundario, Km es la constante de voltaje y de torsion del motor(iguales en el sistema MKS), K1 es la ganancia del detector de error potenciometrico,


KA es la ganancia del amplificador, r, c, y θ1 son los desplazamientos angulares delos ejes de referencia, de salida (en la carga) y del motor, respectivamente.Las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema son:

e = K1(r − c)

va = KAe

va − ea = Raia + La diadt

ea = Kmω1

τ = Kmia

τ = Jeqdω1dt

+Beqω1

ω1c=1

n

en donde Jeq = (Jm + n2JL) y Beq = (Bm + n2BL).Transformando las ecuaciones con condiciones iniciales nulas se obtienen:

E(s) = K1(R(s)−C(s))

Va(s) = KAE(s)

Ia(s) =1

Ra + Las(Va(s)−Ea(s))

Ea(s) = Kmω1(s)

τ(s) = KmIa(s)

ω1(s) =1

Beq + Jeqsτ(s)

C(s) =n

sω1(s)

2.27 Control de posicion con synchros y motor DC 101

Con estas ecuaciones se puede obtener el diagrama de bloques que se muestra en laFig. 2.75.

Figura 2.75 Diagrama de bloques del sistema de la Fig. 2.74

Utilizando reduccion de diagramas de bloques o mediante manipulacion de las ecua-ciones transformadas se puede obtener la funcion de transferencia, la cual, en el casode despreciar la inductancia de armadura, es:

C(s)

R(s)=

K1KAKmn

RaJeqs2 + (RaBeq +K2m)s+K1KAKmn

2.27.2 Control de posicion con synchros y motor DC

Figura 2.76 Control de posicion con synchros y motor DC


Puesto que la senal de error del detector de error sıncrono es modulada, ec = K(θi −θ0) cosωct, y se desea usar un motor DC, es necesario entonces demodular el error,para lo cual se utiliza el circuito de la Fig. 2.77a, en donde vr = V cosωct.

Figura 2.77 Demodulador y circuitos equivalentes

Como se supone que las variaciones del error, θr − θL, son lentas con relacion a laportadora, el analisis del circuito se puede hacer en dos partes:

a. Cuando θr − θL > 0 y vr > 0. En este caso, como los transistores P y Q quedanen saturacion y corte, respectivamente, el circuito de la Fig. 2.77b es equivalenteal de la Fig. 2.77a sin considerar el condensador.

En el circuito de la Fig. 2.77c se usa una red equivalente Thevenin en donde:RTh =

R2(2R1+R2)2(R1+R2)

y eTh = − R22(R1+R2)

ec. Por lo tanto:

v0 =R

2R1 +R2ec

Asi, si ec > 0⇒ v0 > 0, y si ec < 0⇒ v0 < 0, lo cual justifica parte de las graficas dela Fig.2.78.

b. Cuando θr−θL > 0 y vr < 0. En este caso los transistores P y Q quedan en corte

2.27 Control de posicion con synchros y motor DC 103

y saturacion, respectivamente. Haciendo un analisis como en el caso anterior seobtiene:

v0 = − R

2R1 +R2ec

Asi, si ec > 0 ⇒ v0 < 0, y si ec < 0 ⇒ v0 > 0, lo cual justifica otra parte de lasgraficas de la Fig.2.78.

Vr

ec

Vo

Vr

ec

Tiempo

Vo

Figura 2.78 Senales del demodulador

El condensador en el circuito de la Fig. 2.77a sirve como filtro para obtener a lasalida del demodulador una senal DC que es proporcional al error de las posicionesangulares θr − θL.

Figura 2.79 Diagrama de bloques de la Figura 2.76


La Fig. 2.79 muestra el diagrama de bloques correspondiente al sistema de la Fig.2.76, en donde Kθ es la ganancia del detector de error sıncrono, KDM representa laaccion del demodulador y KTG es la ganancia del tacogenerador de iman permanente.

2.27.3 Control de posicion con synchros y motor bifasico

Figura 2.80 Control de posicion con synchros y motor bifasico

La Fig. 2.80 muestra el control de posicion angular utilizando detector de errorsincronico y motor bifasico. El tacogenerador en este caso es AC. Sus voltajes dereferencia, al igual que el aplicado al rotor del synchro transmisor son de la mismafrecuencia angular. La inercia y coeficiente de friccion viscosa equivalentes en el ejedel motor son:

Jme = Jm +³N1

N2

´2Jc +

³N4

N5

N2

N3

N1

N2

´2Jt, y Bme = Bm +

³N1

N2

´2Bc +

³N4

N5

N2

N3

N1

N2

´2Bt

La funcion de transferencia del motor bifasico que se encontro anteriormente es:

θm(s)

E2(s)=

Kms(1 + Tms)

Las siguientes ecuaciones, de una vez en el dominio de s, completan el conjunto quedescribe el sistema de la Fig. 2.80:

θe(s) = θr(s)− θt(s)

E(s) = Ksθe(s)

2.28 Sistemas de nivel de lıquido 105

Ea(s) = E(s)−Et(s)

E2(s) = AEa(s)

θc(s) =N1N2

θm(s)

θt(s) =N4N5

N2N3

θc(s)

Et(s) = Ktsθt(s)

Con estas ecuaciones se puede obtener el diagrama de bloques de la Fig. 2.81.


La funcion de transferencia, que se puede obtener por manipulacion algebraica de lasecuaciones o por reduccion del diagrama de bloques, es:

θc(s)

θr(s)=

KsAKmn1Tms2 + (1 +AKmKtn2)s+KsAKmn2

donde n1 =N1

N2y n2 =

N4

N5

N2

N3.

2.28 Sistemas de nivel de lıquido


Figura 2.82 Sistema de nivel de lıquido

Dependiendo de si el flujo del lıquido es turbulento o laminar, lo cual se mide conel numero de Reynolds, el sistema se describe mediante ecuaciones diferenciales nolineales o lineales, respectivamente.En el sistema de nivel de lıquido (sistema hidraulico) de la Fig. 2.82a, A es el promediode la seccion transversal del tanque, Qi es el caudal (volumen por unidad de tiempo)a la entrada y Q0 es el caudal a la salida. Naturalmente el volumen (V ) del lıquidoen el tanque, suponiendo una seccion transversal constante, es funcion del nivel delmismo, H. Es decir:

V = f(H)

Cuando ocurre un pequeno cambio en el nivel con respecto al valor del punto deoperacion, entonces:

∆V =∂f(H)

∂H|P0 ∆H = A∆H (2.230)

Notese que el lıquido en el tanque almacena energıa. Si se considera que el volumen dellıquido en el tanque y el nivel en el sistema hidraulico tienen como analogos electricosa la carga electrica (q) en un condensador y la diferencia de potencial (voltaje e),respectivamente, entonces, puesto que q = Cee, donde Ce es la capacitancia electrica,y comparando con la ec. (2.230) se define la capacitancia del tanque como C , A ypor lo tanto (2.230) se puede reescribir como (2.231):

∆V = C∆H (2.231)

Ademas, como la diferencia entre el caudal que le entra al tanque y el que le sale esla variacion del volumen del lıquido en el tanque, entonces:

Qi −Q0 = dV

dt(2.232)

Asi si Qi −Q0 > 0, entonces el volumen aumenta y vicerversa. De (2.232):

2.28 Sistemas de nivel de lıquido 107

∆Qi −∆Q0 = d∆V

dt(2.233)

Es importante notar que puesto que la corriente electrica se define como i , dqdt ,

entonces el analogo del caudal es la corriente electrica.Con (2.231) en (2.233):

∆Qi −∆Q0 = Cd∆Hdt

(2.234)

Considerese el caudal a la salida Q0, el cual como se muestra en la Fig. 2.82b puedeser una funcion no lineal del nivel H, es decir Q0 = Q0(H). Linealizando alrededordel punto de operacion:

∆Q0 =∂Q0(H)

∂H|P0 ∆H (2.235)

Como se sabe, la resistencia electrica Re se define por Re , ei y con ∆Q0 analogo a

i y ∆H analogo a e, entonces de (2.235) se define la resistencia de la valvula a lasalida como R , ∆H

∆Q0. Esta es la pendiente de la curva mostrada en la Fig. 2.82b.

Por lo tanto, reescribiendo (2.235):

∆Q0 =1

R∆H (2.236)

Con (2.236) en (2.234) y organizando se obtiene la ecuacion diferencial que relacionaun cambio en el caudal de entrada con un cambio en el nivel del sistema de la Fig.2.82a:

Cd∆H

dt+1

R∆H = ∆Qi (2.237)

La funcion de transferencia es:

∆H(s)

∆Qi(s)=

R

RCs+ 1(2.238)

Si se considera como salida el caudal a traves de la valvula de salida y como ∆Q0(s) =1R∆H(s), entonces:

∆Q0(s)

∆Qi(s)=

1

RCs+ 1(2.239)

Figura 2.83 Circuito electrico analogo al sistema de nivel de lıquido de la Fig. 2.82a


Teniendo en cuenta las analogıas electricas descritas en esta seccion, se puede obtenerel circuito electrico analogo del sistema de nivel de lıquido de la Fig. 2.82a como semuestra en la Fig. 2.83.En la Fig. 2.83 las analogıas son:Ce = C, Re = R, e = ∆H, i = ∆Qi, i0 = ∆Q0.Aplicando la plk al nodo superior del circuito de la Fig. 2.83 se obtiene:

i = Cee+1

Ree (2.240)

Reemplazando las analogıas en (2.240) se obtiene nuevamente la ecuacion diferencial(2.237).La siguiente tabla hace un resumen de las analogıas consideradas en esta seccion.

Sistema hidraulico Sistema electrico

Nivel, ∆H Voltaje, eCaudal, ∆Q Corriente, iResistencia hidraulica, R Resistencia electrica, ReCapacitancia hidraulica, C Capacitancia electrica, Ce

2.29 Sistemas de nivel de lıquido con interaccion

Figura 2.84 Sistema de nivel de lıquido con interaccion

La Fig. 2.84 muestra dos tanques conectados a traves de una valvula. Se planteara unmodelo matematico linealizado y se obtendra la funcion de transferencia, considerandocomo entrada una variacion del caudal Q, ∆Q, y como salida la variacion en el caudalQ2, ∆Q2.Para el tanque de la izquierda:

2.29 Sistemas de nivel de lıquido con interaccion 109

Q−Q1 = dV1dt

Entonces:

∆Q−∆Q1 = d∆V1dt

= C1d∆H1dt

(2.241)

Como Q1 = Q1(H1 −H2), entonces:

∆Q1 =1

R1(∆H1 −∆H2) (2.242)

Similarmente para el tanque de la derecha:

Q1 −Q2 = dV2dt

∆Q1 −∆Q2 = d∆V2dt

= C2d∆H2dt

(2.243)

y como Q2 = Q2(H2), entonces:

∆Q2 =1

R2∆H2 (2.244)

Suponiendo condiciones iniciales nulas y transformando (2.241) a (2.244) se obtienen:

∆H1(s) =1

C1s[∆Q(s)−∆Q1(s)] (2.245)

∆Q1(s) =1

R1[∆H1(s)−∆H2(s)] (2.246)

∆H2(s) =1

C2s[∆Q1(s)−∆Q2(s)] (2.247)

∆Q2(s) =1

R2∆H2(s) (2.248)



Con las ecuaciones (2.245) a (2.248) se puede obtener el diagrama de bloques quese muestra en la Fig. 2.85 y a partir de este o mediante reduccion de diagrama debloques se obtiene la funcion de transferencia:

∆Q2(s)

∆Q(s)=

1

R1C1R2C2s2 + (R1C1 +R2C2 +R2C1)s+ 1(2.249)

El circuito electrico analogo al sistema hidraulico de la Fig. 2.84 es el que se muestraen la Fig. 2.86.

Figura 2.86 Circuito electrico analogo al sistema hidraulico de la Fig. 2.84

Las ecuaciones que describen el circuito de la Fig. 2.86, de una vez en el dominio des, y que se obtienen aplicando la plk en dos nodos son:

∆Q(s) = C1s∆H1(s) +1

R1[∆H1(s)−∆H2(s)] (2.250)

0 = C2s∆H2(s) +1

R2∆H2(s) +

1

R1[∆H2(s)−∆H1(s)] (2.251)

de las cuales se puede obtener ∆H2(s) en funcion de ∆Q(s) y teniendo en cuentaque ∆Q2(s) =

1R2∆H2(s) se obtiene

∆Q2(s)∆Q(s) , que resulta ser la misma funcion de

transferencia obtenida anteriormente y dada por la ec. (2.249).

2.30 Sistema de nivel de lıquidos no lineal

2.30 Sistema de nivel de lıquidos no lineal 111

Figura 2.87 Sistema hidraulico

En el sistema hidraulico de la Fig. 2.87, Q1 = K1√H1, Q2 = K2

√H2. Notese que

la seccion transversal del tanque esferico varıa con el nivel de su lıquido, es decir sucapacitancia hidraulica no es constante. El caudal u es la entrada al sistema. Seplantearan las ecuaciones de estado no lineales que describen el comportamiento delsistema.

Figura 2.88 Tanque esferico de la Fig. 2.87

En el tanque esferico de la Fig. 2.88 considerese el diferencial de volumen mostrado,


dv. Matematicamente:

dv = πhr2 − (r −H)2

idH = π

¡2rH −H2

¢dH

Es decir, el volumen en el tanque esferico para un nivel determinado H2 es:

V2 =

Z H2

0

π¡2rH −H2

¢dH (2.252)

= π

µrH2

2 −H32

3

¶Para el tanque superior de la Fig. 2.87:

u−Q1 = AdH1dt

(2.253)

y para el tanque esferico:

Q1 −Q2 = dV2dt

(2.254)

Las ecuaciones no lineales (2.255) y (2.256) son dadas:

Q1 = K1pH1 (2.255)

Q2 = K2pH2 (2.256)


Q1 −Q2 = πH2 (2r −H2) dH2dt

(2.257)

Con (2.255) en (2.253) y con (2.255) y (2.256) en (2.257) se obtienen las ecuacionesde estado no lineales que describen el comportamiento del sistema de la Fig. 2.87:

dH1dt

= −K1A

pH1 +

1

Au (2.258)

dH2dt

=1

πH2 (2r −H2)hK1pH1 −K2

pH2

i(2.259)

2.31 Sistemas neumaticos o de presion

2.31 Sistemas neumaticos o de presion 113

Figura 2.89 Sistema neumatico

En el sistema neumatico de la Fig. 2.89 se tiene una restriccion o valvula y unacamara de gas. Q es el flujo de gas (masa por unidad de tiempo), Pi es la presionde entrada (antes de la restriccion) y P0 es la presion en la camara. Ya que el flujode gas a traves de la restriccion, con el sentido mostrado, es funcion, en general nolineal, de la diferencia de presiones Pi − P0, entonces:

Q = Q(Pi − P0)

la cual despues de ser linealizada alrededor del punto de operacion Pop, se obtiene:

∆Q =∂Q

∂(Pi − P0) |Pop (∆Pi −∆P0) (2.260)

Si se considera al flujo de gas analogo a la corriente electrica, i, y la diferencia depresion analoga a la diferencia de potencial, e, teniendo en cuenta la definicion deresistencia electrica, Re =

ei , entonces la resistencia al flujo de gas R, de (2.260) se

define como:

R =∆Pi −∆P0∆Q

=1

∂Q∂(Pi−P0) |Pop

Por lo tanto (2.260) se puede reescribir como:

∆Q =1

R(∆Pi −∆P0) (2.261)

Considerese la ley de los gases ideales, cuya expresion matematica es dada por:

pv =p

ρ=R

mT (2.262)

en donde p es la presion absoluta, v el volumen especıfico del gas, ρ su densidad, msu peso molecular, R la constante universal de los gases y T la temperatura absoluta.Si se supone que el gas en la camara de la Fig. 2.89 esta bajo ciertas condiciones,como por ejemplo volumen y temperatura constantes, y se varıa la presion a la cualesta sometido, entonces su densidad (ρ) varıa, y puesto que M = V ρ, entonces lamasa M tambien varıa. Por lo tanto en el sistema de la Fig. 2.89, M = M(P0), ylinealizando alrededor del punto de operacion:


∆M =∂M

∂P0|Pop ∆P0 (2.263)

Ya que el flujo de gas es variacion de masa por unidad de tiempo, Q = dMdt , y puesto

que, como se dijo antes, Q es analogo a la corriente electrica, i, entonces la masaM =

RQdt tiene como analogo a la carga electrica, qe =

Ridt. Asi entonces, se

puede definir la capacitancia neumatica C de la camara del gas como:

∆M = C∆P0 (2.264)

en donde en el punto de operacion C = ∂M∂P0

|Pop .Como:

∆Q =d∆M

dt(2.265)

Con (2.261) y (2.264) en (2.265) se obtiene la ecuacion diferencial lineal que relacionaun cambio en la presion de la camara del gas con un cambio en la presion de entrada:

Cd∆P0dt

+1

R∆P0 =

1

R∆Pi (2.266)

y utilizando la transformada de Laplace con condiciones iniciales nulas se obtiene lafuncion de transferencia:

∆P0(s)

∆Pi(s)=

1

RCs+ 1(2.267)

Teniendo en cuenta las analogıas electricas descritas en esta seccion, se puede obtenerel circuito electrico analogo del sistema neumatico de la Fig. 2.89 como se muestraen la Fig. 2.90 y obtener la misma funcion de transferencia de la ec. (2.267).

Figura 2.90 Circuito electrico analogo del sistema de la Fig. 2.89

La siguiente tabla hace un resumen de las analogıas consideradas en esta seccion.

Sistema neumatico Sistema electrico

Presion, ∆P Voltaje, eFlujo, ∆Q Corriente, iResistencia neumatica, R Resistencia electrica, ReCapacitancia neumatica, C Capacitancia electrica, Ce

2.31 Sistemas neumaticos o de presion 115

Ejemplo 2.22 Para el sistema neumatico de la Fig. 2.91 plantear un conjunto deecuaciones en el dominio de s que describa el comportamiento del sistema en funcionde los cambios de presion ∆P01 y ∆P02. Los cambios de presion en las entradasson ∆Pi1 y ∆Pi2. Ri es la resistencia neumatica de la i-esima valvula y Ci es lacapacitancia neumatica de la i-esima camara.

Figura 2.91 Sistema neumatico del ejemplo 2.22

La Fig. 2.92 muestra el circuito electrico analogo del sistema neumatico de la Fig.2.91, de una vez transformado, es decir en el dominio de s.

Figura 2.92 Circuito electrico analogo del sistema de la Fig. 2.91

Aplicando la plk a los nodos 1 y 2 del circuito de la Fig 2.92 se obtiene el conjuntode ecuaciones que se desea:

1

R1[∆P01(s)−∆Pi1(s)] +C1s∆P01(s) + 1

R3[∆P01(s)−∆P02(s)] = 0

1

R3[∆P02(s)−∆P01(s)] +C2s∆P02(s) + 1

R2[∆P02(s)−∆Pi2(s)] = 0


Ejemplo 2.23 En el sistema neumatico de la Fig. 2.93 A es la seccion transversalde cada fuelle, K es la constante del resorte, Kg es la constante de los gases ideales yRi es la resistencia al flujo del gas en cada una de las restricciones, i = 1, 2. Obtenerla funcion de transferencia considerando como entrada un cambio en la presion P0,∆P0, y como salida un cambio en la posicion z, ∆z. Suponer conocido el punto deoperacion, la temperatura en los fuelles constante y que el gas es ideal.

Figura 2.93 Sistema neumatico del ejemplo 2.23

Se supone que la presion del gas en el fuelle de la izquierda es Pi y en el de la derechaPf . Por lo tanto A(Pf − Pi) = Kz, y linealizando:

A(∆Pf −∆Pi) = K∆z (2.268)

Los flujos de gas a traves de las restricciones de la izquierda, Mi, y de la derecha,Mf , son funciones de las respectivas diferencias de presion, P0 − Pi y P0 − Pf . Esdecir, Mi = Mi(P0 −Pi) y Mf = Mf (P0 − Pf ), las cuales despues de ser linealizadasse convierten en:

∆Mi =1

R1(∆P0 −∆Pi) (2.269)

∆Mf =1

R2(∆P0 −∆P2) (2.270)

Aplicando la ley de los gases ideales en cada uno de los fuelles se obtienen:

PiVi = KgMiTi

PfVf = KgMfTf

las cuales al ser linealizadas se reducen a:

2.32 Sistemas termicos 117

∆Mi = C1∆Pi +C2∆Vi (2.271)

∆Mf = C3∆Pf +C4∆Vf (2.272)

Reemplazando ∆Vi = ∆Vf = A∆z en (2.271) y (2.272):

∆Mi = C1∆Pi +C2A∆z (2.273)

∆Mf = C3∆Pf +C4A∆z (2.274)

Suponiendo condiciones iniciales nulas, transformando (2.269) y (2.270) y reemplazandoen ellas (2.273) y (2.274) despues de ser tambien transformadas se obtienen:

∆Mi(s) =1

R1s[∆P0(s)−∆Pi(s)] = C1∆Pi(s) +C2A∆z(s) (2.275)

∆Mf (s) =1

R2s[∆P0(s)−∆Pf (s)] = C3∆Pf (s) +C4A∆z(s) (2.276)

Despejando ∆Pi(s) y ∆Pf (s) de (2.275) y (2.276) respectivamente:

∆Pi(s) =R1s

R1C1s+ 1

·1

R1s∆P0(s)− C2A∆z(s)

¸(2.277)

∆Pf (s) =R2s

R2C3s+ 1

·1

R2s∆P0(s)−C4A∆z(s)

¸(2.278)

Con (2.277) y (2.278) en (2.268) despues de ser transformada y organizando se hallala funcion de transferencia pedida:

∆z(s)

∆P0(s)=

b0s+ b1a0s2 + a1s+ a2

en donde:b0 = A (R1C1 +R2C3) , b1 = 2A, a0 = KR1R2C1C3 +AR1R2C1C4 −AR1R2C2C3a1 = KR1C1 +KR2C3 +AR2C4 −AR1C2, a2 = K

2.32 Sistemas termicos

Si se supone que la temperatura de un cuerpo es uniforme, entonces un pequenonumero de sistemas termicos pueden ser representados por ecuaciones diferencialeslineales. Se considerara especıficamente un calentador de agua como ejemplo de untıpico sistema termico.


Figura 2.94 Sistema termico

En la Fig. 2.94 el mezclador tiene como fin uniformizar la temperatura del lıquido enel tanque.Se definen las siguientes variables:Qi: flujo de calor que entra (por ejemplo en calorıas/segundo)Qh: flujo de calor producido por la resistenciaQc: calor almacenado por unidad de tiempoQ0: flujo de calor que saleQl: calor perdido a traves del aislante por unidad de tiempoTt: temperatura en el tanque y del lıquido que saleTe: temperatura en el exteriorLa relacion fundamental de sistemas termicos en equilibrio establece que el caloradicionado al sistema (Qi + Qh) es igual al calor almacenado mas las perdidas decalor (Qc +Q0 +Ql). Por lo tanto:

Qi + Qh = Qc + Q0 + Ql

y linealizada:

∆Qi +∆Qh = ∆Qc +∆Q0 +∆Ql (2.279)

El calor almacenado en el tanque es funcion de la temperatura del lıquido, Qc =Qc(Tt). Por lo tanto:

∆Qc =∂Qc∂Tt

|P0 ∆Tt (2.280)

Si se considera que el calor almacenado en el tanque es analogo a la carga electrica(qe) en un condensador y la temperatura es analoga al voltaje (e), entonces teniendo

2.32 Sistemas termicos 119

en cuenta la definicion de capacitancia electrica, qe = Cee, y la ecuacion (2.280),se define la capacitancia termica como C = ∂Qc

∂Tt|P0 .Por lo tanto, (2.280) se puede

reescribir como ∆Qc = C∆Tt, la cual despues de ser derivada es:

∆Qc = C∆Tt (2.281)

El flujo de calor que sale, Q0, es funcion del parametro denominado capacidad caloricaespecıfica, c, del caudal, M , y de la temperatura del lıquido, Tt. Matematica-mente:

Q0 = cMTt (2.282)

la cual despues de ser linealizada alrededor del punto de operacion es:

∆Q0 = cTt0∆M + cM0∆Tt (2.283)

El flujo de calor perdido a traves del aislante depende de la diferencia de temperaturasen el tanque y en el exterior. Es decir, Ql = Ql(Tt − Te). Linealizando alrededor delpunto de operacion:

∆Ql =∂Ql

∂(Tt − Te) |P0 (∆Tt −∆Te) (2.284)

Como el flujo de calor es variacion de calor por unidad de tiempo, entonces aqueles analogo a la corriente electrica y teniendo en cuenta la definicion de resistenciaelectrica, Re =

ei , entonces de (2.284) se puede definir la resistencia termica de

aislamiento R =h

∂Ql

∂(Tt−Te) |P0i−1

. Por lo tanto (2.284) se puede reescribir:

∆Ql =1

R(∆Tt −∆Te) (2.285)

Con (2.281), (2.283) y (2.285) en (2.279) y organizando:

Cd∆Ttdt

+

µcM0 +

1

R

¶∆Tt = ∆Qi +∆Qh +

1

R∆Te − cTt0∆M (2.286)

Si se supone que no hay cambios en el caudal, es decir ∆M = 0, ni cambios en latemperatura en el exterior, es decir ∆Te = 0, entonces (2.286) se reduce a:

Cd∆Ttdt

+

µcM0 +

1

R

¶∆Tt = ∆Qi +∆Qh (2.287)

que es la ecuacion diferencial que relaciona un cambio en la temperatura en el tanquecon cambios en Qi y en Qh.


Figura 2.95 Circuito electrico analogo al sistema de la Fig. 2.94

La Fig. 2.95 muestra un circuito electrico analogo al sistema termico de la Fig. 2-94. Notese que cM0 es el inverso de una resistencia electrica analoga a las perdidasa la salida, y si la fuente de voltaje ∆Te se despreciara, estarıa en paralelo con laresistencia analoga a la resistencia termica de aislamiento. ∆Qi y ∆Qh son analogasa dos fuentes de corriente conectadas en paralelo suministrando energıa al circuito.C representa la capacitancia termica del lıquido en el tanque.La siguiente tabla hace un resumen de las analogıas consideradas en esta seccion.

Sistema termico Sistema electrico

Temperatura, ∆T Voltaje, eFlujo de calor, ∆Q Corriente, iResistencia termica, R Resistencia electrica, ReCapacitancia termica, C Capacitancia electrica, Ce

CAPITULO 3

SIMULACION Y SINTESIS DE

FUNCIONES DE

TRANSFERENCIA

El amplificador operacional, la computadora digital, el microprocesador o el microcon-trolador se pueden utilizar no solo para simular sistemas sino tambien para sintetizarfunciones de transferencia tales como filtros activos, controladores y compensadoresen un sistema de control

3.1 El Amplificador Operacional

Es un amplificador directamente acoplado de muy alta ganancia, alta impedancia deentrada y baja impedancia de salida al cual se le anade realimentacion para obtenerdiferentes funciones de transferencia. La Fig. 3.1(a) muestra su representacion. Tienedos entradas: una inversora (−) y otra no inversora (+). Si el voltaje entre (+) y (−)es mas positivo en (−), la salida es negativa como se muestra en el modelo de laFig. 3.1(b). Cuando se utiliza realimentacion negativa el voltaje entre (+) y (−) espracticamente nulo y las corrientes de entrada a ambos terminales tambien se puedendespreciar.Un amplificador operacional ideal serıa aquel que tuviese impedancia de entrada in-finita, impedancia de salida cero, amplificacion de voltaje sin realimentar infinita,ancho de banda infinito y balance perfecto. Un amplificador real, como el LM741,tiene, como valores tıpicos, impedancia de entrada 2M, impedancia de salida 75 Ohm,ganancia de voltaje sin realimentar 200000, el ancho de banda depende de la configu-racion y el desbalance es imperfecto pero pequeno. Sin embargo, si se realimentanegativamente su comportamiento es muy cercano al ideal.

121

122 SIMULACION Y SINTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

Figura 3.1 Sımbolo y modelo

3.1.1 Algunos Circuitos con Amplificador Operacional

Con el amplificador operacional se pueden obtener amplificadores inversores y no-inversores de signo, sumadores, integradores, derivadores, filtros activos, y en generalcualquier funcion de transferencia. Algunos circuitos basicos son los siguientes:

3.1.1.1 Amplificador con dos Fuentes de Entrada

La Fig. 3.2 muestra un amplificador operacional con dos entradas v1(s) y v2(s) conrealimentacion negativa , desde la salida v0(s) al terminal inversor (-) a traves de laimpedancia Z

0(s).

Figura 3.2 Amplificador con dos entradas

Notese que:

3.1 Sumador 123

v1(s)− v(−)Z(s)

+v0(s)− v(−)Z 0(s)

= i(−) ' 0 (3.1)

Ademas como v(+) − v(−) ' 0 y v(+) = v2(s):

v0(s) = −Z0(s)

Z(s)v1(s) +

Ã1 +

Z0(s)

Z(s)

!v2(s) (3.2)

Si v2(s) = 0, con impedancias resistivas Z0(s) = R

0y Z(s) = R:

v0(s)

v1(s)= − R

0

R(3.3)

que es un amplificador inversor de ganancia − R0

R . Con R0= R se tiene un inversor

de signo para el cual v0(s) = −v1(s).Por otro lado, si en (3.2) v1(s) = 0, con impedancias resistivas:

v0(s)

v2(s)= 1 +

R0

R(3.4)

con lo que se tiene un amplificador no-inversor de signo cuya ganancia es siempremayor que la unidad. Un caso particular, pero muy util, es aquel para el cual R

0= 0

y R =∞, llamado seguidor de voltaje, porque:

v0(s)

v2(s)= 1 (3.5)

Este es un amplificador de ganancia unitaria positiva que se caracteriza por teneruna altısima impedancia de antrada y una muy baja impedancia de salida lo que lohace muy util para acoplar un circuito de alta impedancia de salida con otro cuyaimpedancia de entrada sea relativamente baja.


3.1.1.2 Sumador

Figura 3.3 Sumador

Como se muestra en la Fig. 3.3, ya que v(−) ' v(+) = 0, i1 = v1−v(−)R1

= v1R1, i2 =

v2R2,

· · ·, in = vnRn

e i0= v0

R0 :

v1R1

+v2R2

+ · · ·+ vnRn

+v0R0 = i(−) ' 0 (3.6)

Ası:

v0 = −ÃR0

R1v1 +

R0

R2v2 + · · ·+ R

0

Rnvn

!= −

nXk=1

ÃR

0

Rkvk

!(3.7)

donde vk (con k = 1, 2 · · · n) y v0 son funciones del tiempo t.La salida v0 es el negativo de la suma ponderada por las ganancas

R0

Rkde las entradas

vk. Si R1 = R2 = · · · = Rn = R0la salida es directamente el negativo de la suma de

las senales de entrada:

v0 = −nXk=1

vk (3.8)

3.1 Derivador 125

3.1.1.3 Integrador

Figura 3.4 Integrador

Un circuito que produce la integral de las entradas se muestra en la Fig. 3.4. Seutiliza un condensador C en la realimentecion. Como v(−) ' v(−) = 0, i1 =

v1R1,

i2 =v2R2, · · ·, in = vn

Rne i

0= C dv0

dt :

v1R1

+v2R2

+ · · ·+ vnRn

+Cdv0dt

= i(−) ' 0 (3.9)

de donde:

v0 = −nXk=1

Z µ1

RkCvk

¶dt+ v0(0+) (3.10)

donde v0(0+) es la condicion inicial o valor de v0 en el tiempo t = 0+


3.1.1.4 Derivador

Figura 3.5 Derivador

La Fig. 3.5 muestra un circuito derivador con una entrada. En este caso comov(−) ' v(+) = 0 :

Cdv1dt+v0R= i(−) ' 0 (3.11)

y ası el voltaje de salida es:

v0 = −RC dv1dt

(3.12)

Es decir, la salida es proporcional a la derivada de la entrada. Este uso no es re-comendable porque amplifica el ruido. Esto es, si v1contiene una componente deruido v1R = V1Rm sen(ωt), la componente de ruido a la salida, v0R, es:

v0R = −RC ddt(V1Rm sen(ωt)) = −RCωV1Rm cos(ωt) (3.13)

Con f la frecuencia en Hertzios, el factor ω = 2πf en la amplitud RCωV1Rm amplificaconsiderablemente el ruido, especialmente, si ω es de alta frecuencia.Es preferible deteriorar un poco la funcion derivadora filtrandola, por ejemplo, con elcircuito de la Fig 3.6:

3.1 Filtro de un Polo 127

Figura 3.6 Derivador filtrado

Como v(−) ' v(+) = 0 :

v1(s)

R1 +1Cs

+v0(s)

R= i(−) ' 0 (3.14)

la funcion de transferencia del derivador filtrado es:

v0(s)

v1(s)= (−RCs) 1

1 +R1Cs(3.15)

La parte (−RCs) corresponde a la funcion derivadora y :

G (s) =1

1 +R1Cs(3.16)

es la parte filtrante con frecuencia de corte o ancho de banda 1R1C

rad/seg.


3.1.1.5 Filtro de un Polo

Figura 3.7 Filtro de un polo

Un filtro de un polo se puede obtener con el circuito de la Fig. 3.7:Sumando corrientes con v(−) ' 0 :

v1(s)

R1+v0(s)

R2+Csv0(s) = i(−) ' 0 (3.17)

de donde:

v0(s)

v1(s)= −R2

R1

µ1

1 +R2Cs

¶(3.18)

que es un filtro de ganancia −R2R1 y frecuencia de corte o ancho de banda 1R2C

rad/seg.

3.2 Elementos de Calculo Analogico

3.2.1 Solucion de ecuaciones diferenciales mediante la com-

putadora analogica

Un elemento basico de la computadora analogica es el integrador (Fig. 3.8):

3.2 Solucion de ecuaciones diferenciales mediante la computadora analogica 129

Figura 3.8 Circuito integrador basico

Donde ei es la entrada que se integra y VIC = −e0 (0) sirve para establecer la condicioninicial.La Tabla 3.1 resume la operacion del circuito integrador basico dependiendo de lasposiciones de los conmutadores S1 y S2:

Tabla 3.1 Modos de operacion del integrador basico.

Modo delintegrador

Posicion delos conmuta-dores

Circuito resultante

Computoo calculo

”HOLD”(Sostenimiento)


Modo delintegrador

Posicion delos conmuta-dores

Circuito resultante

”RESET”(Reposicion)

Con referencia a la Tabla 3.1, para obtener la condicion inicial e0 (0) = −VIC se utilizael circuito de reposicion. Despues de lo cual se puede utilizar el circuito de calculo.Si se desea congelar la solucion se utiliza el circuito de sostenimiento.

3.2.2 Elementos basicos de calculo analogico

La Tabla 3.2 muestra algunos elementos basicos de calculo utilizados en la computa-dora analogica.

Tabla 3.2 Algunos elementos de calculo analogico

Ciruito Sımbolo Operacion basica

e0 = a ei0 < a < 1

e0 = −a eia = R0

Ri

e0 =nPk=1

ak ek

ak =R0Rk

3.3 Realizacion ”OBSERVER” 131

Ciruito Sımbolo Operacion basica

e0 (t) =

−a R t0 ei (τ) dτ+e0 (0)a = 1/RC

e0 = aei1ei2

e0 = F (ei)

e0 = −nPk=1

akR t0 eik (τ) dτ+e0 (0)

ak = 1/RkC

La Tabla 3.2 muestra algunos elementos basicos de calculo analogico. Se considerancomo elementos especiales el multiplicador y el generador de funcion. Otro elementoespecial, no incluido en la tabla, es el derivador que debe ser de tipo filtrado paraevitar la amplificacion de ruido. Generalmente se utilizan configuraciones o realiza-ciones que no incluyan derivadores al hacer la simulacion de un sistema para evitarla amplificacion de ruido.

3.3 Solucion de ecuaciones diferenciales mediante

la computadora analogica

Sıntesis de funciones de transferencia

Existen diferentes realizaciones para resolver ecuaciones diferenciales. Una de ellas sellama realizacion ”OBSERVER”.

3.3.1 Realizacion ”OBSERVER”

Sea por ejemplo la funcion de transferencia:


y (s)

u (s)=

b1s2 + b2s+ b3

s3 + a1s2 + a2s+ a3(3.19)

que en el dominio del tiempo es:

d3y

dt3+ a1

d2y

dt2+ a2

dy

dt+ a3y = b1

d2u

dt2+ b2

du

dt+ b3u (3.20)

Agrupando derivadas del mismo tipo:

d3y

dt3=d2

dt2(b1u− a1y) + d

dt(b2u− a2y) + (b3u− a3y) (3.21)

Integrando (3.21):

d2y

dt2=d

dt(b1u− a1y) + (b2u− a2y) +

Z(b3u− a3y) dt (3.22)

Se define la tercera variable de estado x3 mediante la ecuacion:

x3 =

Z(b3u− a3y) dt (3.23)

Integrando (3.22):

dy

dt= (b1u− a1y) +

Z(b2u− a2y + x3) dt (3.24)

Se define la segunda variable de estado x2 por:

x2 =

Z(b2u− a2y + x3) dt (3.25)

Integrando (3.24):

y =

Z(b1u− a1y + x2) dt (3.26)

Se puede definir la primera variable de estado x1:

x1 =

Z(b1u− a1y + x2) dt (3.27)

de donde:

y = x1 (3.28)

Derivando (3.23), (3.25) y (3.27) se obtienen las ecuaciones de estado (3.29):

.x1= −a1x1 + x2 + b1u.x2= −a2x1 + x3 + b2u.x3= −a3x1 + b3u

(3.29)

Ası las matrices A, B, C y D, para la realizacion tipo ”OBSERVER”, son:

3.3 Realizacion ”OBSERVER” 133

A =

−a1 1 0−a2 0 1−a3 0 0

B =

b1b2b3

C =

£1 0 0

¤D = 0

Tabla 3.3 Matrices de la realizacion ”OBSERVER”

La realizacion ”OBSERVER” puede ser representada por medio del diagrama debloques mostrado en la Fig. 3.9:

Figura 3.9 Diagrama de bloques de la realizacion ”OBSERVER”

El correspondiente diagrama de calculo analogico se muestra en la Fig 3.10:

Figura 3.10 Diagrama de calculo analogico de la realizacion ”OBSERVER”


Por ejemplo si b3 = 7.5 y a3 = 0.53, el diagrama circuital para el integrador INT1 es:

Figura 3.11 Diagrama circuital de INT1

Notese que x3 se puede expresar:

x3 = −·

0.75

100K × 1ufZ−udt+ 0.53

1M × 1ufZx1dt

¸(3.30)

o:

.x3= −0.53x1 + 7.5u = −a3x1 + b3u (3.31)

que corresponde a la tercera ecuacion de estado.El circuito para realizar el inversor INV1 se muestra en la Fig. 3.12:

Figura 3.12 Diagrama para obtener INV1

3.4 Generacion de algunas funciones del tiempo

1) Generacion de y (t) = t, t0 ≤ t ≤ tf .Note que

.y (t) = 1 y con y (0) = 0 el diagrama correspondiente se muestra en la Fig

3.4 Generacion de algunas funciones del tiempo 135

3.13:

Figura 3.13 Generacion de la funcion y (t) = t

2) Generacion de y (t) = t2, t0 ≤ t ≤ tfNotese que

.y (t) = 2t,

..y (t) = 2 y con y (0) = 0,

.y (0) = 0, el diagrama correspondiente

se muestra en la Fig 3.14:

Figura 3.14 Generacion de la funcion y (t) = t2

3) Generacion de y (t) = Ae−at

Notese que.y (t) = −aAe−at = −ay (t), y con y (0) = A, la funcion se puede obtener

mediante el diagrama mostrado en la Fig 3.15:

Figura 3.15 Generacion de.y (t) = −aAe−at

Notese que:


y (t) = −µZ

ay (t) dt−A¶

(3.32)

entonces:

.y (t) = −ay (t) (3.33)

que es la ecuacion diferencial original.

Ejercicio

1) Estudiar factores de escala de amplitud y de tiempo2) Hacer un diagrama de computadora para la solucion de:

..

θ +3.

θ +67θ = 30 sen(5t)

con todas las condiciones iniciales cero.3) Obtener la ecuacion diferencial y el diagrama circuital para generar la funcion:

y (t) = A t e−at

con.y (0) = 10.

3.5 Escalamiento

La tension de salida de cualquier amplificador no debe exceder del voltaje de pola-rizacion para evitar la saturacion de los amplificadores lo cual puede causar erroresen la solucion de una ecuacion diferencial o en la generacion de una funcion de trans-ferencia. Por otro lado, la tension maxima en cualquier amplificador no debe serdemasiado pequena.Al establecer el diagrama de computadora es deseable que la maxima variacion detension de salida sea la misma para cualquier amplificador.De aquı que sea de gran importancia elegir las magnitudes apropiadas de los factoresde escala que son los que relacionan las tensiones de salida de los amplificadores conlas correspondientes cantidades fısicas (velocidad, angulo, distancia, fuerza, etc.)La escala en tiempo relaciona la variable independiente del problema fısico, con lavariable independiente de la computadora analogica. Para fenomenos que tienen lugarmuy rapidamente, es necesario frenar la velocidad a la cual se simulan esos problemasen la computadora con el fin de poderlos observar bien sea en un osciloscopio o enun graficador. Por otro lado, sistemas como hornos y tanques, que tienen respuestaslentas, en el rango de horas, se pueden acelerar al hacer una simulacion con el fin deseleccionar mas rapidamente los parametros, por ejemplo, los de un controlador.

3.5.1 Escalamiento en amplitud

Se ilustra la seleccion de los factores de escala en amplitud utilizando como ejemplola funcion:

3.5 Escalamiento en amplitud 137

x = 10 sen(3t) (3.34)

Note que:

.x= 30 cos(3t)..x= −90 sen(3t)..x= −9× 10 sen(3t) = −9x

Ası la ecuacion diferencial correspondiente es:

..x (t) + 9x (t) = 0 (3.35)

Selecionando las variables de estado x1 y x2 mediante las ecuaciones:

x1 = xx2 =

.x

(3.36)

entonces:.x1 = x2 =

.x

.x2 =

..x = −9x = −9x1

lo que define las ecuaciones de estado (3.37):

.x1 = x2.x2 = −9x1 (3.37)

Las condiciones iniciales son:

x1 (0) = x (0) = 0x2 (0) =

.x (0) = 30

Para hacer la realizacion utilizando amplificadores operacionales las variables de es-tado x1 y x2 seran representadas por los voltajes vx1 y vx2 mediante las relaciones:

x1 = k1vx1x2 = k2vx2

(3.38)

donde k1 y k2 son factores de escala en amplitud. Reemplazando (3.38) en (3.37) seobtiene:

k1.vx1 = k2vx2

k2.vx2 = −9k1vx1

o:

.vx1 = k2

k1vx2

.vx2 = −9k1k2 vx1

(3.39)

que son las ecuaciones de estado escaladas.Como x1 = x = 10 sen(3t):


k1vx1 = 10 sen(3t)

Si se escoge k1 = 1:

vx1 = 10 sen(3t) (3.40)

Cuya amplitud maxima es 10 voltios lo que no satura un amplificador alimentado convoltajes de polarizacion de ± 12 voltios o mas.Como x2 =

.x1=

.x = 30 cos(3t):

x2 = k2vx2 = 30 cos(3t)

Y si se escoge k2 = 3:vx2 = 10 cos(3t) (3.41)

cuya amplitud maxima es 10 voltios. Las nuevas ecuaciones escaladas de estado son:

.vx1= 3vx2.vx2= −3vx1 (3.42)

Note que..vx1= 3

., vx2= −9vx1, lo que da:

..vx1 +9vx1 = 0 (3.43)

que es la misma ecuacion original.Ası, con vx1 (0) = 0 y vx2 (0) = 10 se obtiene la realizacion con amplificadores opera-cionales mostrada en la Fig 3.16.

Figura 3.16 Generacion de la funcion vx1 = 10 sen 3t

3.5.2 Escalamiento en tiempo

En este caso el tiempo real t se relaciona con el tiempo de simulacion tc por mediode la ecuacion:

t = kt tc (3.44)

3.5 Escalamiento en tiempo 139

Observese que:

tc < t, si kt > 1, simulacion rapidatc > t, si kt < 1, simulacion lenta

Sea por ejemplo la ecuacion:

.vx1=

dvx1dt

= 3vx2

Al escalarla en tiempo queda:

dvx1dtc

= kt 3vx2 (3.45)

Esto equivale en general a multiplicar las ganancias de todas las entradas a los in-tegradores por kt. Algunos computadores analogicos disponen de un condensadoradicional que es 10 o 100 veces menor que el utilizado normalmente. Con esto sepuede obtener la solucion en forma repetitiva para observar la respuesta en un oscilo-scopio y hacer ajustes de parametros, por ejemplo los de un controlador, rapidamente.En el caso del ejemplo se tendrıa con un condensador 100 veces menor:

·vx1= 300vx2·vx2= −300vx1

(3.46)

lo que darıa como solucion vx1 = 10 sen (300t), que es la misma solucion con unafrecuencia 100 veces mayor.En general el proceso de escalamiento exige tantear, especialmente cuando no seconocen previamente los valores maximos de las variables.Si se expresa el comportamiento dinamico del sistema mediante ecuaciones de estado,un posible punto de inicio para seleccionar los factores de escala, es hacer que loscoeficientes de las ecuaciones escaladas esten en el rango 0 a ±10. Por ejemplo, paraun sistema de dos ecuaciones de estado:

·x1 = a11x1 + a12x2 + b1u·x2 = a21x1 + a22x2 + b2u

con

x1 = k1v1

x2 = k2v2

u = kuvu

se tiene

·v1 = (a11) v1 +

µa12k2k1

¶v2 +

µb1kuk1

¶vu

·v2 =

µa21k1k2

¶v1 + (a22) v2 +

µb2kuk2

¶vu


Si todos los coeficientes:

|aijv| =

¯aijkjki

¯para i = 1, 2, j = 1, 2

|biu| =

¯bikuki

¯para i = 1, 2

son menores que 10, al hacer la primera simulacion se puede determinar cuales vari-ables superan 10 voltios para cambiar las escalas correspondientes.

Ejercicio

Hacer un escalamiento previo de las ecuaciones de estado:

·x1 = 0.5x1 − 20x2 − 5x3 + 3u·x2 = 0.6x1·x3 = 80x2

con:

u = 20 sen (2π0.1) t

de tal manera que todos los coeficientes de las variables escaladas esten en el rango 0a ±10.

3.6 Otras realizaciones para representar sistemas

por ecuaciones de estado

3.6.1 Realizacion ”CONTROLLER”

Sea la funcion de transferencia.

y (s)

u (s)=

b1s2 + b2s+ b3

s3 + a1s2 + a2s+ a3(3.47)

Definiendo:

y (s) =¡b1s

2 + b2s+ b3¢z (s)

u (s) =¡s3 + a1s

2 + a2s+ a3¢z (s)

(3.48)

donde z (s)es una variable auxiliar, que no afecta la funcion de trasferencia original:

y (s)

u (s)=

¡b1s

2 + b2s+ b3¢z (s)

(s3 + a1s2 + a2s+ a3) z (s)(3.49)

En el dominio del tiempo:

3.6 Realizacion ”CONTROLLER” 141

y = b1d2zdt2 + b2

dzdt + b3z

u = d3zdt3 + a1

d2zdt2 + a2

dzdt + a3z

(3.50)

Definiendo

x3 = z

x2 =dz

dt(3.51)

x1 =d2z

dt2

Ası:

d3z

dt2=

.x1

Lo que permite obtener las ecuaciones de estado:

.x1 = −a1x1 − a2x2 − a3x1 + u.x2 = x1 (3.52).x3 = x2

con la ecuacion de salida:

y = b1x1 + b2x2 + b3x3 (3.53)

Las matrices Ac, Bc, Cc y Dc para la realizacion tipo ”CONTROLLER”, son:

Ac =

−a1 −a2 −a31 0 00 1 0

Bc =

100

Cc =

£b1 b2 b3

¤Dc = 0

Tabla 3.4 Matrices de la realizacion ”CONTROLLER”

Esta realizacion puede ser representada en diagrama de bloques como se muestra en laFig 3.17. Note que Ac = At, Bc = Ct y Cc = Bt, donde t indica transpuesto. A,B y Cson las matrices de la realizacion ”OBSERVER”. Ası, la realizacion ”CONTROLLER”es dual de la ”OBSERVER”.


Figura 3.17 Diagrama de bloques de la realizacion ”CONTROLLER”

3.6.2 Realizacion ”OBSERVABILITY”

La funcion de transferencia:

y (s)

u (s)=

b1s2 + b2s+ b3

s3 + a1s2 + a2s+ a3(3.54)

puede ser escrita:

d3y

dt3= −a1 d

2y

dt2− a2 dy

dt− a3y + b1 d

2u

dt2+ b2

dy

dt+ b3u (3.55)

Llamando:

w1 = y

w2 =.y

w3 =..y

(3.56)

Como.w3=

...y :

.w3 = −a1w3 − a2w2 − a3w1 + b1 ..u +b2 .

u +b3u.w2 = w3.w1 = w2

(3.57)

de donde: z | •¡

w3 − b1 .u¢= −a1w3 − a2w2 − a3w1 + b2 ·

u +b3u (3.58)

definiendoz3 = w3 − b1 .

u

w3 = z3 + b1.u (3.59)

Reemplazando 3.59:

3.6 Realizacion ”OBSERVABILITY” 143

.z3= −a1z3 − a2w2 − a3w1 + (b2 − a1b1) .u +b3u.w2= z3 + b1

.u

.w1= w2

(3.60)

de donde: z | •

(z3 − (b2 − a1b1)u) = −a1z3 − a2w2 − a3w1 + b3uz | •

(w2 − b1u) = z3 (3.61)•w1 = w2

definiendo:

x3 = z3 − (b2 − a1b1)ux2 = w2 − b1u (3.62)

x1 = w1

se obtiene:

z3 = x3 + (b2 − a1b1)uw2 = x2 + b1u

y = w1 = x1

y reemplazando en (3.61):

.x1 = x2 + b1u.x2 = x3 + (b2 − a1b1)u (3.63).x3 = −a3x1 − a2x2 − a1x3 + [b3 − a2b1 − a1 (b2 − a1b1)]u

Llamando:

β1 = b1

β2 = b2 − a1b1 (3.64)

β3 = b3 − a2b1 − a1 (b2 − a1b1)

las matrices Aob, Bob, Cob y Dob son:

Aob =

0 1 00 0 1−a3 −a2 −a1

Bob =

β1β2β3

Cob =

£1 0 0

¤Dob = 0

Tabla 3.5 Matrices para la realizacion ”OBSERVABILITY”


La matriz Bob se puede tambien calcular mediante:

Bob =

β1β2β3

= 1 0 0a1 1 0a2 a1 1

−1 b1b2b3

(3.65)

La realizacion ”OBSERVABILITY” puede ser representada en un diagrama de blo-ques como se muestra en la Fig 3.18.

Figura 3.18 Diagrama de bloques para la realizacion ”OBSERVABILITY”

3.6.3 Realizacion ”CONTROLLABILITY”

La realizacion ”CONTROLLABILITY” es dual de la ”OBSERVABILITY”. Las ma-trices Aco, Bco, Cco y Dco son:

Aco =

0 0 −a31 0 −a20 1 −a1

Bco =

100

Cco =

£β1 β2 β3

¤Dco = 0

Tabla 3.6 Matrices para la realizacion ”CONTROLLABILITY”

donde Cco se puede calcular mediante:

Cco =£β1 β2 β3

¤=£b1 b2 b3

¤ 1 a1 a20 1 a10 0 1

−1 (3.66)

3.6 Realizacion ”CONTROLLABILITY” 145

El diagrama de bloques de la realizacion ”CONTROLLABILITY” se muestra en laFig 3.19.

Figura 3.19 Diagrama de bloques para la realizacion ”CONTROLLABILITY”

CAPITULO 4

ACCIONES BASICAS DE

CONTROL

4.1 Introduccion

Un control automatico, Fig.4.1, compara el valor efectivo de salida (c) de una plantacon el valor deseado (r), determina la desviacion (e) y produce una senal de control(m) que reduce la desviacion a cero o a un valor pequeno.La forma en que el control automatico produce la senal de control (m) recibe el nombrede accion de control.En este capıtulo se presentan las acciones de control basicas usadas comunmente en loscontroles automaticos industriales y sus efectos en el funcionamiento de un sistema.

Figura 4.1 Sistema controlado

4.2 Clasificacion de los controles automaticos

Los sistemas de control automatico se clasifican segun su accion de control:1. Controles de dos posiciones (todo-nada, si-no, on-off).2. Controles proporcionales.

147

148 ACCIONES BASICAS DE CONTROL

3. Controles integrales.4. Controles proporcionales e integrales (PI).5. Controles proporcionales y derivativos (PD).6. Controles proporcionales, integrales y derivativos (PID).

4.2.1 Controles de dos posiciones o de SI-NO

Figura 4.2 Control de dos posiciones

Aquı el controlador tiene solamente dos posiciones fijas. Son generalmente dispo-sitivos electricos en donde habitualmente hay una valvula accionada por un solenoideelectrico. Tambien los controles neumaticos proporcionales con muy altas gananciasactuan como controles de 2 posiciones.Si m (t) es la salida del controlador y e (t) es la senal de error actuante:

m(t) =

½M1, e(t) > 0M2, e (t) < 0

(4.1)

Generalmente M2 = −M1 o M2 = 0.

Figura 4.3 Brecha diferencial o histeresis

El rango en que e(t) se debe desplazar antes de que se produzca la conmutacion se

4.2 Controles de dos posiciones o de SI-NO 149

llama brecha diferencial o histeresis, Fig 4.3. La brecha diferencial hace que la salidadel control m (t) mantenga su valor hasta que la senal de error actuante haya pasadodel valor cero. Debe notarse que la brecha diferencial evita la accion excesivamentefrecuente del mecanismo de SI-NO.

Figura 4.4 Control SI-NO de un tanque

Con referencia a la Fig 4.4, cuando h = h2 la valvula de entrada se cierra y conh = h1, se abre.

Figura 4.5 Analogo electrico de un tanque

La ecuacion diferencial que relaciona la salida h con la entrada, qi, sin considerar elcontrolador se puede obtener del analogo electrico de la Fig 4.5:

Cdh

dt+h

R= qi(t) (4.2)

Considerese ahora el controlador de dos posiciones en el cual la valvula de entradaesta abierta o cerrada. Entonces qi(t) = Q o qi(t) = 0.La respuesta del sistema se muestra en la Fig.4.6:


Figura 4.6 Respuesta del nivel de un tanque con control SI-NO con brecha diferencial

h (t) se obtiene de (4.2) con:

h (0) = 0 qi (t) = Qu (t) para 0 ≤ t ≤ t1h (t1) = h2 qi (t) = 0 para t1 ≤ t ≤ t2h (t2) = h1 qi (t) = Qu (t− t2) para t2 ≤ t ≤ t3

(4.3)

La Fig.4.7 muestra el diagrama de bloques del sistema:

Figura 4.7 Diagrama de bloques de un tanque con control SI-NO

De la respuesta del sistema, h (t) se ve que se puede reducir la amplitud de la oscilacionde la salida si se reduce la brecha diferencial. Esto, sin embargo, aumenta la cantidadde conmutaciones por minuto y reduce la vida util de los componentes mecanicos.

4.2 Accion de control proporcional 151

4.2.2 Accion de control proporcional

Figura 4.8 Accion de control proporcional

En este caso, Fig 4.8, la senal de control m (t) es proporcional al error e (t):

m (t) = KP e (t) (4.4)

donde KP es la ganancia proporcional, o:

M (s)

E (s)= KP (4.5)

Con el fin de estudiar los efectos de la accion de control proporcional en el compor-tamiento de un sistema considerese la Fig 4.9:

Figura 4.9 Control proporcional de una planta con perturbacion

Ası:

E

R=

1

1 +KPG1G2, con N (s) = 0

C

N=

G21 +KPG1G2

, con R (s) = 0 (4.6)

C

N=

KPG1G21 +KPG1G2

, con N (s) = 0

Si en (4.6) KP >> 1:


E

R≈ 1

KPG1G2→ 0

C

N≈ 1

KPG1→ 0 (4.7)

C

R→ 1

Pero si G1 (s)G2 (s) tiene varios polos, se podrıa tener problemas de estabilidad,dependiendo de la ubicacion en el plano complejo de los polos de la funcion de trans-ferencia.

Ejemplo 4.1 Control proporcional de un sistema de primer orden.

Figura 4.10 Control proporcional de un tanque

Para la Fig 4.10:

∆H (s)

∆Qi (s)=

R

RCs+ 1(4.8)

El diagrama de bloques del control proporcional se muestra en la Fig 4.11:

Figura 4.11 Diagrama de bloques de un tanque con control proporcional

4.2 Accion de control proporcional 153

Debido al control proporcional∆Qi (s) = K (∆R (s)−∆H (s)), dondeK es la ganan-cia proporcional. Ası:

∆H (s)

∆R (s)=

KRRCs+1

1 + KRRCS+1

=KR

RCs+ 1+KR=

KR

Ts+ 1+KR(4.9)

donde T = RC.Supongase que:

∆r (t) = u (t) (4.10)

con u (t) la funcion escalon unitaria:

u(t) =

½1, t > 00, t < 0

se tiene:

∆R (s) =1

s(4.11)

y:

∆H (s) =KR

Ts+ 1+KR· 1s

(4.12)

Expandiendo (4.12) en fracciones parciales:

∆H (s) =KR

1 +KR· 1s− TKR

Ts+ 1+KR· 1

Ts+ 1+KR(4.13)

y antitransformando:

∆h (t) =KR

1 +KR

h1− e− t

T1 u (t)i

(4.14)

donde:

T1 =T

1 +KR=

RC

1 +KR

La Fig 4.12 muestra la respuesta (4.14):


Figura 4.12 Control proporcional de un tanque

La respuesta en estado estacionario es:

∆hss (t) = limt→∞∆h (t) =

KR

1 +KR(4.15)

Notese que en el estado estacionario hay un error:

ess = 1− KR

1 +KR=

1

1 +KR(4.16)

llamado corrimiento o error estatico. Este se puede disminuir si K se hace grande.El corrimiento es una caracterıstica del control proporcional de una planta cuyafuncion transferencia no posee elemento integrador. Como se vera en la siguienteseccion, para eliminar este corrimiento hay que agregar la accion de control integral.Otra manera de calcular el corrimiento es obtener la funcion de transferencia del error:

E (s)

R (s)=

1

1 + KRTs+1

=Ts+ 1

Ts+ 1+KR(4.17)

con R (s) = 1/s :

E (s) =1

s

Ts+ 1

Ts+ 1+KR(4.18)

y aplicando el teorema del valor final:

ess = limt→∞ e (t) = lim

s→0 sE (s) =1

1 +KR(4.19)

4.2 Accion de control integral 155

4.2.3 Accion de control integral

Figura 4.13 Control integrativo

La accion de control integral, llamada tambien de reposicion , resello, de respuesta acero o ”reset” se muestra en la Fig 4.13, donde:

m (t) = K

Ze (t) dt (4.20)

o:

M (s)

E (s)=K

s(4.21)

Figura 4.14 Senal de control si el error permanece cosntante

Suponiendo que e (t) = C1 =constante, m (t) = C1t (Fig 4.14). De esta maneraRC1dt = 0 solo si C1 = 0. Si el sistema total es estable la unica forma de llegar al

estado estacionario es que finalmente el error sea cero.Para todo el sistema: si e (t) > 0, m (t) crece e (t) aumenta y e (t) = r (t) − c (t)disminuye.Si e (t) < 0, m (t) disminuye, e (t) disminuye y e (t) = r (t)− c (t) aumenta.Si e (t) = 0, m (t) es constante la cual mantiene la salida deseada de la planta.El integrador K

s podrıa afectar grandemente la estabilidad del sistema. El controlintegrativo es bueno para plantas muy estables.


En el control proporcional de una planta cuya funcion de trasferencia no posee unintegrador 1s , hay un error en estado de regimen o corrimiento en la respuesta a unaentrada escalon. Este corrimiento se puede eliminar si se incluye la accion de controlintegral.En el control integral de una planta, la senal de control, m (t) en cada instante es elarea bajo la curva de la senal de error actuante e (t) hasta ese momento. m (t) puedeser diferente a cero cuando e (t) = 0 como se muestra en la Fig.4.15.

Figura 4.15 Senales de error y de control integrativo

Lo anterior es imposible en el caso del control proporcional pues una senal de controlno nula requiere una senal de error actuante como se muestra en la Fig.4.16.

Figura 4.16 Senal de error y de control proporcional

Se hace notar que la accion de control integral, si bien elimina el efecto de corrimientoo error de estado de regimen, puede llevar a una respuesta oscilatoria que, aunqueamortiguada, podrıa ser indeseable, Fig 4.17. Si la planta posee muchos polos, laaccion de control integral puede inestabilizar totalmente el sistema.

4.2 Accion de control integral 157

Figura 4.17 Algunas respuestas no aceptables

Ejemplo 4.2 Control integral de un sistema de primer orden.

Figura 4.18 Control integral de un tanque

Para la Fig 4.18 con controlador integrativo se puede obtener el diagrama de bloquesde la Fig 4.19:

Figura 4.19 Diagrama de bloques del control integrativo de un tanque

Las funciones de transferencia para la salida y para el error son:


∆H (s)

∆R (s)=

KR

R (s2 + s+KR)(4.22)

∆E (s)

∆R (s)=

R¡s2 + s

¢RCs2 + s+KR

(4.23)

Notese que los polos estan ubicados en:

s1,2 = − 1

2RC±sµ

1

2RC

¶2− KC

(4.24)

y con K > 0 el sistema es estable.Si K/C > (1/2RC)2

s1,2 = − 1

2RC± jsK

C−µ

1

2RC

¶2(4.25)

se presentan oscilaciones pero es estable.El error de estado de regimen, o error estatico, para una entrada escalon unitario∆r (t) = u (t) o ∆R (s) = 1

S se puede obtener aplicando el teorema del valor final:

∆ess = lims→0 s∆E (s) = lim

s→0s¡RCs2 + s

¢RCs2 + s+KR

· 1s= 0 (4.26)

Por lo tanto, el control integral del sistema de nivel de liquido elimina el error deestado de regimen en la respuesta a la entrada escalon.

4.2.4 Accion de control proporcional integral (PI)

Figura 4.20 Control proporcional e integrativo

Para la Fig 4.20:

M (s)

E (s)= KP +

KIs=KP

³s+ KI

KP

´s

(4.27)

Este tipo de control combina las caracterısticas de los anteriores controles. KP ayudaa corregir mas rapidamente el error. KI

s elimina totalmente el error.Con este tipo de controlador, las condiciones de estabilidad se mejoran con respectoal control integral puro. Note que el controlador PI tambien puede ser interpretadocomo un controlador integrativo con un cero ubicado en:

4.2 Accion de control proporcional integral (PI) 159

s = −KIKP

(4.28)

El cero mejora las condiciones de estabilidad, como se vera en la siguiente seccion.

Ejemplo 4.3 Control proporcional e integral.

Considerese el sistema de la Fig.4.21 con un controlador proporcional e integral:

Figura 4.21 Ejemplo con control proporcional e integrativo

Para este sistema:

C (s) =

¡KP +

KI

s

¢1

s(Js+f)

1 +¡KP +

KI

s

¢1

s(Js+f)

·R (s) +1

s(Js+f)

1 +¡KP +

KI

s

¢1

s(Js+f)

N (s) (4.29)

E (s) =1

1 +¡KP +

KI

s

¢1

s(Js+f)

R (s)−1

s(Js+f)

1 +¡KP +

KI

s

¢1

s(Js+f)

N (s) (4.30)

o:

C (s) =KP s+KI

Js3 + fs2 +KP s+KIR (s) +

s

Js3 + fs2 +KP s+KIN (s) (4.31)

E (s) =s2 (Js+ f)

Js3 + fs2 +KP s+KIR (s)− s

Js3 + fs2 +KP s+KIN (s) (4.32)

Con los escalones c (t) = u (t) y n (t) = Nou (t):

R (s) = 1s

N (s) = No

s

(4.33)

Css = limt→∞ c (t) = lim

s→0sC (s) = 1 + 0×No (4.34)

ess = e (t) = lims→0

sE (s) = 0 (4.35)

(4.34) y (4.35) muestran que: a) la salida alcanza exactamente el valor unitario delescalon y b) el error estacionario es nulo, a pesar de la perturbacion presente.

Ejercicios


a) Con KI = 0 (controlador proporcional) calcule ess con los escalones: n(t) =No u (t) y r (t) = u (t) .b) Si r (t) = t u (t) y n (t) = Nou (t) encuentre ess.c) Con r(t) = u (t) y n (t) = No u (t) obtenga mss = lim

t→∞m (t) .d) ¿ Si KP = 0, es el sistema estable ?

4.2.5 Accion de control proporcional y derivativo (PD)

Figura 4.22 Controlador proporcional-derivativo

En este caso:

M (s)

E (s)= KP +KDs (4.36)

A la accion proporcional se le anade la accion derivativa que aumenta la senalm de talmanera que si el error crece rapidamente, m sera grande ayudando a corregir el erroren forma mas efectiva. Es como un efecto anticipativo que impide un crecimientobrusco de error.

a) b)

Figura 4.23 Senal de control b) cuando el error a) crece linealmente

En la Fig 4.23, por ejemplo, la senal de control m (t) crece mas rapidamente a mayorpendiente de la senal de error e (t).El control PD es un controlador estabilizante. La accion de control derivativo tienela desventaja de amplificar las senales de ruido.

Ejemplo 4.4 Control proporcional derivativo.

4.2 Accion de control proporcional integral derivativo (PID) 161

Considere el sistema (Fig 4.24) de una carga inercial con controlador PD.

Figura 4.24 Ejemplo con control proporcional-derivativo

Para este sistema:

C (s)

R (s)=

(KP +KDs)

Js2 +KDs+KP=

KP +KDs

Js2 +KDs+KP(4.37)

Si KP > 0 y TD > 0 las raices de Js2 +KDs+KP = 0 tienen parte real negativa, y

el sistema es estable.Si r(t) = u(t), una posible respuesta oscilatoria amortiguada, c(t), se muestra en laFig 4.25. Si KD se aumenta la amplitud de las oscilaciones disminuye.

Figura 4.25 Una posible respuesta del sistema de la Fig. 4.24

Ejercicio

Para el sistema anterior, encontrar c(t) si r(t) = u(t) y el controlador es proporcionalunicamente. ¿ Es estable el sistema ?

4.2.6 Accion de control proporcional integral derivativo (PID)

La Fig 4.26 muestra la combinacion de los anteriores controles:


Figura 4.26 Controlador proporcional integral derivativo

Ası:

M (s)

E (s)= KP +

KIs+KDs =

KI +KP s+KDs2

s(4.38)

La Fig 4.27 b) muestra la senal de controlm (t) cuando el error e (t) crece linealmente:

Figura 4.27 Senal de control b) cuando el error a) varıa linealmente con el tiempo

KP aumenta la rapidez de respuesta y solo actua en el transitorio, ya que al final, eltermino KI

s elimina el error, ganando completo control de la planta. El termino KDsactua para ayudar a la estabilidad.

Notese que H (s) = eTs = 1+ Ts+ (Ts)2

2! + · · · es una funcion de adelanto, entonces:

y (t) = $−1 (H (s)X (s)) = x (t+ T ) (4.39)

(4.39) define un sistema anticipativo (no causal), fısicamente imposible.El numerador de la funcion de trasferencia del PID, (KI +KP s+KDs

2), en (4.38),tiene una similitud con la funcion de adelanto.El PID es ampliamente utilizado por la industria donde se encuentran terminos pro-pios tales como:

KP = accion proporcional (”proportional action”).KIs

= accion de reposicion (de respuesta a cero) (”reset action”).

KDs = accion de crecimiento por unidad de tiempo (”rate action”).

Esta terminologıa proviene primordialmente del area quımica donde se habla de con-trol de procesos en lugar de control de sistemas.

4.2 Algunas estructuras del controlador PID 163

Ademas las constantes se definen como bandas. Por ejemplo, 1KP100% es la banda

proporcional en porcentaje.

Ejercicio

Figura 4.28 Seleccion de controlador

Para la Fig. 4.28 suponga ∆Qi = 0 y que ocurre una perturbacion n (t) = nou (t)(escalon)Determine el error en estado estacionario si:a) El controlador es de tipo proporcional: ∆Qi(s)

∆E(s) = KP .

b) El controlador es de tipo integral: ∆Qi(s)∆E(s) =

KI

s .

Figura 4.29 Seleccion de Gc (s)

Para la Fig 4.29 seleccionar el tipo de controlador, Gc (s), que podrıa usarse de modoque el sistema sea estable y que un par perturbador constante, n (t) = nou (t), noproduzca modificacion en la velocidad en estado estacionario de regimen, es decir,que el error en estado estacionario sea cero.

4.2.6.1 Algunas estructuras del controlador PID

La Fig 4.30 muestra el controlador PID clasico:


Figura 4.30 Controlador PID clasico

Cuya ley de control es:

u = KP e+KI

Zedt+KD

de

dt(4.40)

La Fig 4.31 muestra otra estructura del controlador PID:

Figura 4.31 PID con derivada de la salida

Esta estructura es muy utilizada. En lugar de derivar el error se deriva la salida. Conesto se evita que la planta responda a cambios bruscos de la senal de referencia r. Laley de control correspondiente es:

u = KP e+KI

Zedt−KD dy

dt(4.41)

Otra estructura, menos utilizada que la anterior, se muestra en la Fig 4.32. En estala accion de control proporcional se toma tambien de la salida en lugar de la senal deerror e.


Figura 4.32 Otra estructura del PID

La ley de control correspondiente es:

u = KI

Zedt−KPy −KD dy

dt(4.42)

Ejemplo 4.5 Ejemplo de un PID.

La Fig 4.33 muestra un controlador PID hidromecanico para un sistema de nivel delıquido:

Figura 4.33 PID hidromecanico

Notese que:

z1 =a1bh (4.43)

z2 =a2bh (4.44)


z3 =a3bh (4.45)

Como la carga del serromotor hidraulico (SMH) es despreciable, entonces:

z6 (s) =K1s· z2 (s) = K1a2

b· H (s)

s(4.46)

Del amortiguador y el resorte:

B¡ .z3 − .

z4¢= Kz4 (4.47)

Transformando (4.44):

z4 (s) =Bs

Bs+ k· z3 (s) = τs

τs+ 1· a3bH (s) (4.48)

en donde τ = B/K.El desplazamiento de la valvula es:

z =d4

d3 + d4z5 +

d3d3 + d4

z6 (4.49)

Ademas:

z5 =d1

d1 + d2z1 +

d2d1 + d2

z4 (4.50)

con (4.47) en (4.46) y luego usando (4.40),(4.43) y (4.45) se obtiene:

z (s) = KP ·H (s) + KIsH (s) +KD

s

τs+ 1H (s) (4.51)

donde:

KP =d4d1a1

(d3 + d4) (d1 + d2) b

KI =d3K1a2(d3 + d4) b

(4.52)

KD =d4d2τa3

(d3 + d4) (d1 + d2) b

Entonces el caudal de entrada se puede calcular como qi = −Ciz, donde Ci es unaconstante.

Ejemplo 4.6 El telescopio del transbordador espacial.

El telescopio para seguir estrellas y asteroides de transbordador espacial se puedemodelar como una masa M = 100 Kg. Esta suspendido por medio de actuadoresmagneticos que producen una fuerza u (t). El cable que le suministra energıa electricase modela como un resorte de constante K = 1 New/m, Fig 4.34a.


Figura 4.34 Ejemplo 4.6

Disene un controlador PID tal que el error ess = e (∞) para una entrada rampar (t) = t u (t) sea 0.01 y que tenga un par de polos complejos como se muestra en laFig.4.34c ademas del tercer polo real.

Figura 4.35 Diagrama del cuerpo libre a) y de bloques b) para el ejemplo 4.6

De la Fig 4.35a:

u−Kz =Md2z

dt2(4.53)

Transformando (4.53) se obtiene la funcion de transferencia de la planta:

Z (s)

U (s)=

1

Ms2 +K(4.54)

De la Fig 4.35b:

Z (s)

R (s)=

KDs2 +KP s+KI

Ms3 +KDs2 + (KP +K) s+KI(4.55)

y,

E (s)

R (s)=

s¡Ms2 +K

¢Ms3 +KDs2 + (KP +K) s+KI

(4.56)

Con ess = 0.01 para R (s) =1s2 (rampa r (t) = t u (t)):


E (s) =1

s2s¡Ms2 +K

¢Ms3 +KDs2 + (KP +K) s+KI

(4.57)

ess = lims→0

sE (s) = lims→0

"s× s

¡Ms2 +K

¢s2 [Ms3 +KDs2 + (KP +K) s+KI ]

#(4.58)

de donde:

ess =K

KI= 0.01 (4.59)

Ası, KI = 100.(4.55) se puede escribir:

Z (s)

R (s)=

KD

M s2 + KP

M s+ KI

M

s3 + KD

M s2 + (KP+K)M s+ KI

M

(4.60)

El polinomio caracterıstico del sistema es:

A (s) = s3 +KDMs2 +

(KP +K)

Ms+

KIM

(4.61)

que de acuerdo con la ubicacion de polos de la Fig 4.34c es:

A (s) =

Ãs+

√2

2+ j

√2

2

!Ãs+

√2

2− j√2

2

!(s+ p) (4.62)

o:

A (s) = s3 +³√2 + p

´s2 +

³1 +√2p´s+ p (4.63)

de donde:

p =KIM

= 1

√2 + p =

KDM

(4.64)

1 +√2p =

KP +K

M

Ası:

KD = 100³1 +√2´

KP = 100³1 +√2´− 1

Ejemplo 4.7 PID neumatico.


Figura 4.36 PID neumatico

Con P1 constante, ϕin = K1√P1 − P2, ϕ0 = K2x

√P2, P0 = −K y, Kg constante de

los gases ideales y con la temperatura T de los fuelles constante, el sistema de la Fig4.36 se comporta como un controlador PID.

Figura 4.37 Diagrama de cuerpo libre para puntos de masa cero

De las Figs. 4.37a y b:

Ac∆P2 = Kc∆y (4.65)

Kf∆z +Af ∆Pi = Af ∆PD (4.66)

de donde:

∆y =AcKc∆P2 (4.67)

∆z =AfKf

(∆PD −∆Pi) (4.68)


Ademas:

∆x =1

2(∆e−∆z) (4.69)

∆ϕi =∆P0 −∆Pi

R1(4.70)

∆ϕD =∆P0 −∆PD

R2(4.71)

∆ϕin = −∆P2Rin

(4.72)

donde:

1

Rin= − K1

2√P1 − P20

Tambien:

∆ϕ0 = Kx∆x+Kp2∆P2 (4.73)

donde:

Kx = K2pP20

Kp2 =K2x0

2√P20

Para la presion de salida:

∆P0 = −K∆y (4.74)

La diferencia de flujos es:

ϕin − ϕ0 =dM2

dt

donde M2 es la masa de gas en el volumen V2.Con la ley de los gases P2 υ2= KgT con υ2=

V2M2, el volumen especıfico y T la

temperatura absoluta:

M2 =P2V2KgT

∆M2 = C2 ∆P2 +Kv2∆V2

Donde la capacitancia C2 y la constante Kv2 son:

C2 =V20KgT

Kv2 =P20KgT


suponiendo T constante.Con ∆V2 = Ac∆y:

∆ϕin −∆ϕ0 = C2 d∆P2dt

+Kv2 Acd∆y

dt(4.75)

De la misma manera, como ϕi =dMi

dt y ϕD =dMD

dt :

∆ϕi = Cid∆ Pidt

+Kvi Af

µ−d∆zdt

¶(4.76)

∆ϕD = CDd∆ PDdt

+KVD Afd∆z

dt(4.77)

donde:

Ci =Vi0KgT

Kvi =Pi0KgT

CD =VD0

KgTKVD =

PD0KgT

Con (4.72), (4.73) y (4.67) en (4.75) y utilizando la transformada de Laplace concondiciones iniciales nulas:

∆P2 (s)

∆x (s)= − K2

1 + τ2s

donde:

K2 =Kx

1Rin

+Kp2

τ2 =C2 +

Kv2 A2c

Kc

1Rin

+Kp2

Generalmente la constante de tiempo τ2 es muy pequena y:

∆P2 (s) ' −K2∆x (s) (4.78)

ademas:

K2 >> 1

Con (4.70) y (4.68) en (4.76) y transformando:

(τis+ 1)∆Pi (s) = ∆P0 (s) + τ0Ds ∆PD (s) (4.79)

Con (4.71) y (4.68) en (4.77) y transformando:

(τDs+ 1)∆PD (s) = ∆P0 (s) + τ0i s ∆Pi (s) (4.80)

donde:


τi =³Ci +

Kvi AfKf

´R1 τ

0D =

Kvi A2fR1

Kf

τD =³CD +

KVD A2fKf

´R2 τ

0i =

KVD A2fR2Kf

De (4.79) y (4.80):

∆Pi (s) =1 +

³τD + τ

0D

´s

∆ (s)∆P0 (s) (4.81)

∆PD (s) =1 +

³τi + τ

0i

´s

∆ (s)∆P0 (s) (4.82)

donde:

∆ (s) =

"CiCD +

A2fKf

(CiKVD +CDKV i)

#s2 + (τi + τD) s+ 1

Con (4.69), (4.78), (4.67), (4.74), (4.81), (4.82) y (4.68) se obtiene el diagrama debloques:

Figura 4.38 Diagrama de bloques del PID neumatico

Como: h1 +

³τi + τ

0i

´i−h1 +

³τD + τ

0D

´i= CiR1 −CDR2 (4.83)

La Fig 4.38 se puede dibujar, con K0= 1

2 (−K2) AcKc(−K) :


Figura 4.39 Diagrama de bloques simplificado

donde K0>> 1 porque K2 >> 1.

Ası:

∆P0 (s)

∆e (s)' Kp + KI

s+KDs (4.84)

donde:

KP =Kf (τi + τD)

Af (CiR1 −CDR2)KI =

KfAf (CiR1 −CDR2)

KD =Kf

hCiCD +

A2fKf(CiKVD +CDKvi)

iAf (CiR1 −CDR2)

CAPITULO 5

RESPUESTA EN EL DOMINIO

DEL TIEMPO

El objetivo de este capıtulo es obtener la respuesta temporal de los sistemas a senalesaperiodicas tales como el escalon, la rampa,etc.

5.1 Estabilidad absoluta, estabilidad relativa y

error estacionario

La caracterıstica mas importante del comportamiento dinamico de un sistema decontrol es la estabilidad absoluta, concepto que se vera posteriormente.Por ahora es suficiente saber que un sistema es estable si las raıces del polinomiocaracterıstico o denominador de la funcion de transferencia del sistema H (s) = b(s)

a(s)tienen parte real negativa. Lo cual significa que los valores de s que satisfacen laecuacion caracterıstica a(s) = 0, esto es, las raices de a (s) , deben estar ubicadas enel semiplano complejo izquierdo.Un sistema esta en equilibrio si, en ausencia de perturbaciones o de entradas dereferencia, la salida se mantiene en el mismo estado.Un sistema de control lineal invariante en el tiempo, es estable si finalmente la salidaretorna a un estado de equilibrio cuando el sistema es sometido a una perturbacion oa una senal de entrada acotada.Una funcion f (t) es acotada si f (t) <M1, para −∞ < t <∞.En otras palabras, considere el sistema de la Fig 5.1:

175

176 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

Figura 5.1 Funcion de transferencia de un sistema

H (s) es estable si:

$−1 (x (s)) = x (t) <M1, −∞ < t <∞produce una salida acotada:

$−1 (y (s)) = y (t) <M2, −∞ < t <∞

5.1.1 Estabilidad relativa

El hecho de que todos los polos de H (s) queden en el semiplano complejo izquierdode s no garantiza caracterısticas satisfactorias de respuesta transitoria. Esta podrıapresentar excesivas oscilaciones o ser muy lenta.Para garantizar una respuesta transitoria rapida y bien amortiguada, los polos deH (s) deben quedar en una zona como la mostrada en la Fig 5.2:

Figura 5.2 Region recomendada para la ubicacion de polos

5.1.2 Error estacionario

Ya que un sistema fısico de control generalmente tiene elementos que almacenanenergıa, su salida no puede seguir inmediatamente a la entrada sino que presenta unarespuesta transitoria antes de alcanzar un estado estacionario.Si la salida del sistema de control en estado estacionario no coincide exactamente con

5.1 Algunos teoremas 177

la senal deseada, llamada senal de referencia o entrada, se dice que el sistema tieneun error estacionario, el cual indica la exactitud del sistema.Es importante analizar en los sistemas de control la respuesta transitoria, el tiemponecesario para alcanzar el estado estacionario, y el error en este estado.

5.1.3 Respuesta impulsiva

Para el sistema de la Fig 5.1:

y (s) = H (s)x (s) (5.1)

El diagrama correspondiente en el dominio del tiempo se muestra en la Fig 5.3:

Figura 5.3 Diagrama de bloques en el dominio del tiempo del sistema de la Fig 5.1

donde h (t) es la respuesta impulsiva del sistema, o respuesta a un impulso unitarioδ (t). Note que si x (t) = δ (t), entonces x (s) = 1, y:

y (s) = H (s) = $ (h (t)) (5.2)

La respuesta impulsiva h (t) es la respuesta de un sistema lineal a una entrada impulsounitario con condiciones iniciales iguales a cero. Ası la transformada de Laplace dela respuesta impulsiva h (t) es la funcion de transferencia del sistema H (s) .Si el sistema es causal, x (t) = 0 para t < 0, entonces:

y (t) = x (t)~ h (t) =Z t

0

h (τ) x (t− τ) dτ =

Z t

0

h (t− τ) x (τ) dτ (5.3)

La funcion de transferencia y la respuesta impulsiva de un sistema lineal invarianteen el tiempo contienen la misma informacion sobre la dinamica del sistema. En lapractica se puede considerar como un impulso, a un pulso de entrada con muy cortaduracion en comparacion con las constantes significativas del sistema.

5.1.4 Algunos teoremas

En las siguientes consideraciones se suponen condiciones iniciales nulas.1. Por la formula de Leibniz

d

dα

Z u1(α)

u0(α)

f (x,α) = f (u1,α)du1dα− f (u0,α) du0

dα+

Z u1(α)

u0(α)

∂

∂α[f (x,α)] dx (5.4)

Aplicandola a (5.3) :

dy (t)

dt= h (t) x (0) +

Z t

0

∂

∂t[h (τ) x (t− τ)] dτ (5.5)


Como x (0) = 0 :

dy (t)

dt=

Z t

0

h (τ)∂x (t− τ)

∂tdτ (5.6)

(5.6) indica que si la respuesta de un sistema lineal a una entrada x (t) es y (t),entonces la respuesta a la derivada de la entrada

.x (t) es

.y (t).

2. Cambiando la variable t por λ en (5.3):

y (λ) =

Z λ

0

h (τ) x (λ− τ) dτ (5.7)

integrando (5.7):

Z t

0

y (λ) dλ =

Z t

0

Z λ

0

h (τ) x (λ− τ) dτ dλ =

Z t

0

h (τ)

Z λ

0

x (λ− τ) dλ dτ (5.8)

Con λ = t : Z λ

0

x (λ− τ) dλ =

Z t

0

x (t− τ) dt (5.9)

Ası (5.8) tambien puede ser escrita:Z t

0

y (t) dt =

Z t

0

h (τ)

Z t

0

x (t− τ) dt dτ (5.10)

(5.10) indica que la respuesta de un sistema lineal a la integral de la entrada x (t) esla integral de la salida y (t) .Pruebas similares se pueden hacer para derivadas de mas alto orden e integralesmultiples.Los anteriores resultados son muy utiles. Supongase por ejemplo que se conoce larespuesta de un sistema cuando la entrada es un impulso δ (t). Es decir se conoceh (t) = $−1 (H (s)) .Ası, como u (t) =

R t0− δ (τ) dτ , entonces y (t) =

R t0− h (τ) dτ.

Asimismo, si x (t) =R t0− u (t) dτ , entonces la nueva salida es y2 (t) =

R t0− y (τ) dτ.

Ademas, si se conoce la respuesta de un sistema lineal a la funcion escalon u (t),facilmente obtenible en practica, la respuesta impulsiva se puede obtener derivandola respuesta al escalon.

5.1.5 Sistema de primer orden

Se analizaran las respuestas de un sistema de primer orden, o de un solo polo, aentradas tales como el escalon unitario, rampa unitaria e impulso unitario suponiendocondiciones iniciales nulas.

5.1.5.1 Respuesta al escalon unitario

Un sistema de primer orden se muestra en la Fig 5.4:

5.1 Respuesta al escalon unitario 179

Figura 5.4 Sistema de primer orden

Para este sistema:

Y (s)

R (s)= H (s) =

KPK1+Ts

1 + KPK1+Ts

=KPK

1 + Ts+KPK

o:

Y (s)

R (s)= H (s) =

KPK

1 +KPK

µ1

1 + T1s

¶=

K11 + T1s

(5.11)

donde:

K1 =KPK

1 +KPK

T1 =T

1 +KPK

Con un escalon unitario:

r (t) = u (t) =

½1, t > 00, t < 0

⇒ R (s) =1

s

la respuesta es:

Y (s) =1

s

K11 + T1s

=A

s+

B

1 + T1s=A+ T1As+Bs

s (1 + T1s)(5.12)

A y B son:

A = K1

B = −K1T1Ası:

Y (s) = K1

"1

s− 1

s+ 1T1

#(5.13)

Antitransformando:

y (t) = K1

³1− e−t/T1

´u (t) (5.14)

(5.14) se muestra en la Fig 5.5:


Figura 5.5 Respuesta de un sistema de primer orden a una entrada en escalonunitario u (t)

Notese que la constante de tiempo T1 es aquel valor de tiempo para el cual la respuestaha alcanzado el 63.2% de su valor final K1. A menor valor de la constante de tiempo,mas rapida es la respuesta del sistema. y cuando T1 es pequena, el polo p = − 1

T1se

aleja del eje imaginario haciendose mas negativo.Para t = 4T1 la respuesta esta a menos del 2% del valor final K1. Por eso se acos-tumbra suponer que despues de cuatro constantes de tiempo, el sistema ha alcanzadoel estado estacionario, y se define el tiempo de solucion ts por la ecuacion:

ts = 4T1 (5.15)

Otra caracterıstica importante de la curva exponencial es que la pendiente de latangente en t = 0 es K1

T1:

dy (t)

dt

¯t=0

=K1T1e− tT1

¯t=0

=K1T1

(5.16)

Si se traza una recta:

yp (t) =K1T1t

esta alcanzarıa el valor final K1 en t = T1segundos.El error o corrimiento e (∞) = ess es:

ess = 1−K1 = 1− KPK

1 +KPK=

1

1 +KPK(5.17)

Este tambien puede ser calculado utilizando la funcion de trasferencia del error:

E (s)

R (s)=

1

1 + KPK1+Ts

=1 + Ts

Ts+ 1+KPK(5.18)

5.1 Sistema de segundo orden 181

Con R (s) = 1s :

E (s) =1

s× 1 + Ts

Ts+ 1+KPK

y aplicando el teorema del valor final:


s→0 sE (s) =1

1 +KPK

que es el mismo resultado (5.17).

5.1.5.2 Respuesta a la rampa unitaria

Como la respuesta al escalon unitario esta dado por (5.14), la respuesta a la rampaunitaria r (t) = t u (t) es la integral de esta ecuacion:

y1 (t) =

Z t

0

K1

h1− e− τ

T1

idτ = K1

ht− T1 + T1e−

tT1

i(5.19)

El error e (t) es:

e (t) = t u (t)−K1ht− T1 + T1e− t

T

iu (t)

= K1T1³1− e− t

T1

´u (t) + (1−K1) t u (t) (5.20)

Para t >> T1 :

e (t) ' (1−K1) t+K1T1 (5.21)

Notese que e (∞) =∞, o sea que este sistema no sigue la rampa.5.1.5.3 Respuesta al impulso unitario

Como el impulso unitario es la derivada del escalon, la respuesta del sistema es laderivada de la respuesta al escalon:

y2 (t) =d

dt

hK1

³1− e−t/T1

´u (t)

i=K1T1e−

tT1 (5.22)

5.1.6 Sistema de segundo orden

Considerese el servomecanismo que se muestra en la Fig 5.6:


Figura 5.6 Control de posicion

El correspondiente diagrama de bloques se muestra en la Fig 5.7:

Figura 5.7 Diagrama de bloques para la Fig 5.6

donde:

n =N1N2

· N3N4

J = Jm + n2JL

f = fm + n2fL

Con:

K =K0K1Km

(Raf +K2m)n

T =RaJ

Raf +K2m

la Fig 5.7 se puede simplificar al diagrama de bloques mostrado en la Fig 5.8:

5.1 Caso subamortiguado o respuesta con 0 < ζ < 1 183

Figura 5.8 Diagrama simplificado de la Fig 5.7

El diagrama de la Fig 5.8 se puede dibujar como el de la Fig 5.9:

Figura 5.9 Una representacion estandarizada del diagrama de bloques de la Fig 5.8

donde:

ω2n =K

T

2ζωn =1

T= 2σ (5.23)

ζ =1

2√KT

Ası:

C (s)

R (s)=

ω2ns2 + 2ζωns+ ω2n

(5.24)

donde σ se llama atenuacion, ωn, frecuencia natural no amortiguada y ζ, relacion orazon de amortiguacion.La ecuacion caracterıstica del sistema es:

A (s) = s2 + 2ζωns+ ω2n = 0 (5.25)

Las raıces de (5.25) o polos del sistema son:

λ1,2 =−2ζωn ±

p4ζ2ω2n − 4ω2n2

= −ζωn ±pζ2 − 1ωn (5.26)


5.1.6.1 Caso subamortiguado o respuesta con 0 < ζ < 1

Si ζ < 1 :

λ1,2 = −ζωn ± jp1− ζ2ωn = −ζωn ± jωd (5.27)

donde ωd =p1− ζ2ωn se llama frecuencia natural amortiguada.

La ubicacion correspondiente de los polos se muestra en la Fig 5.10:

Figura 5.10 Ubicacion de los polos para el caso subamortiguado (0 < ζ < 1)

en donde:

cos θ =ζωnωn

= ζ

sen θ =p1− ζ2 (5.28)

tan θ =

p1− ζ2

ζ

o:

θ = cos−1 ζ = sen−1p1− ζ2 = tan−1

p1− ζ2

ζ(5.29)

Si la entrada es un escalon unitario r (t) = u (t) o R (s) = 1s :

C (s) =1

s· ω2ns2 + 2ζωns+ ω2n

=K

s+

As+B

s2 + 2ζωns+ ω2n

Con K = 1, A = −1 y B = −2ζωn :

C (s) =1

s− s+ 2ζωns2 + 2ζωns+ ω2n

=1

s− s+ 2ζωn

(s+ ζωn)2 +

³p1− ζ2ωn

´2=

1

s− s+ ζωn

(s+ ζωn)2 + (ωd)

2 −ζωn

(s+ ζωn)2 + (ωd)

2

5.1 Caso de amortiguamiento crıtico o respuesta con ζ = 1 185

=1

s− s+ ζωn

(s+ ζωn)2 + (ωd)

2 −1p

1− ζ2ωn· ζωn ·

p1− ζ2ωn

(s+ ζωn)2 + (ωd)

2

C (s) =1

s− s+ ζωn

(s+ ζωn)2 + (ωd)

2 −ζp1− ζ2

· ωd

(s+ ζωn)2 + (ωd)

2 (5.30)

Antitransformando (5.30) se tiene:

c (t) = 1− e−ζωnt cosωdt− ζp1− ζ2

e−ζωnt sinωdt (5.31)

para t ≥ 0. (5.31) tambien se puede escribir:

c (t) =

(1− e−ζωnt

"cosωd +

ζp1− ζ2

sinωdt

#)u (t)

=

(1− 1p

1− ζ2e−ζωnt

hζ sinωdt+

p1− ζ2 cosωdt

i)u (t) (5.32)

donde ωd =p1− ζ2ωn. Utilizando las relaciones (5.28), (5.32) se puede escribir en

forma compacta como en la ecuacion (5.33):

c (t) =

(1− e−ζωntp

1− ζ2sin (ωdt+ θ)

)u (t) con ζ < 1 (5.33)

que es el primer tipo de respuesta mostrado en la Fig 5.11:

Figura 5.11 Respuesta subamortiguada de un sistema de segundo orden

5.1.6.2 Caso de amortiguamiento crıtico o respuesta con ζ = 1

Si ζ = 1 :

C (s)

R (s)=

ω2ns2 + 2ωns+ ω2n

=ω2n

(s+ ω2n)(5.34)


que corresponde a un par de polos reales ubicados en λ1,2 = −ωn.Si R (s) = 1

s :

C (s) =1

s· ωn

(s+ ωn)2 =

K

s+

A

(s+ ωn)2 +

B

(s+ ωn)

donde K = 1, A = −ωn y B = −1. Ası:

C (s) =1

s− 1

(s+ ωn)− ωn

(s+ ωn)2 (5.35)

Antitransformando (5.35) se obtiene (5.36):

C (s) =©1− e−ωnt (1 + ωnt)

ªu (t) con ζ = 1 (5.36)

(5.36) es el segundo tipo de respuesta mostrado en la Fig 5.12:

Figura 5.12 Respuesta de amortiguamiento crıtico de un sistema de segundo orden

Esta respuesta tambien se puede obtener de (5.32) usando la regla de L’Hoppital.

5.1.6.3 Caso sobreamortiguado o respuesta con ζ > 1

Si ζ > 1 la ubicacion del par de polos reales correspondientes esta dada por (5.36).Con:

p1− ζ2 = j

pζ2 − 1

sin jθ = j senh θ

cos jθ = cosh θ

y utilizando (5.32):

c (t) =

(1− e−ζωnt

"ζp

ζ2 − 1 senh³p

ζ2 − 1ωnt´+ cosh

³pζ2 − 1ωnt

´#)u (t)

(5.37)

5.1 Respuesta oscilatoria o caso de amortiguamiento nulo, ζ = 0 187

c (t) tambien se puede reescribir como (5.38):

c (t) =

(1 +

ωn

2pζ2 − 1

·e−s1t

s1− e−s1tt

s2

¸)u (t) (5.38)

donde:

s1 =³ζ +

pζ2 − 1

´ωn

s2 =³ζ −

pζ2 − 1

´ωn

Si s1 >> s2, la respuesta debido a s1 se puede despreciar ya que al termino queinvolucra a s1 cae mucho mas rapidamente que el correspondiente a s2. Es decir, larespuesta es similar a la de un sistema de primer orden con un solo polo ubicado en−s2. La respuesta correspondiente sobre el caso sobreamortiguado se muestra en laFig 5.13:

Figura 5.13 Respuesta sobreamortiguada de un sistema de segundo orden

5.1.6.4 Respuesta oscilatoria o caso de amortiguamiento nulo, ζ = 0

Si ζ = 0, hay un par de polos complejos ubicados en λ1,2 = ±jωn y la solucion es:

c (t) = 1− cosωntu (t) (5.39)

cuya grafica se muestra en la Fig 5.14:


Figura 5.14 Respuesta oscilatoria de un sistema de segundo orden

La Fig 5.15 resume los casos vistos:

Figura 5.15 Diferentes respuestas de un sistema de segundo orden

Notese que en todos los casos, excepto para la respuesta oscilatoria (ζ = 0), el erroren estado estacionario es cero, ess = 0.Dos sistemas de segundo orden con el mismo ζ, pero diferente ωn tienen el mismosobreimpulso y el mismo diagrama oscilatorio mostrado anteriormente.Un sistema subamortiguado con 0.5 < ζ < 0.8 se aproxima al valor final masrapidamente que uno con amortiguamiento crıtico o sobreamortiguado. Entre lossistemas que responden sin oscilacion, el amortiguado crıticamente presenta la re-spuesta mas rapida. Un sistema sobreamortiguado siempre es lento en responder acualquier entrada.

5.2 Especificaciones de respuesta transitoria 189

5.2 Especificaciones de respuesta transitoria

Como se dijo antes, sistemas con almacenamiento de energıa no pueden responderinstantaneamente y presentan transitorios siempre que se les somete a entradas dereferencia o perturbaciones.La entrada escalon, facil de generar, es frecuentemente usada para especificar lascaracterısticas de funcionamiento de un sistema de control. Ademas, como se vioanteriormente, si se conoce la respuesta de un sistema a una entrada escalon, enprincipio es posible calcular la respuesta a cualquier entrada.Obviamente la respuesta transitoria de un sistema depende de las condiciones iniciales.Sin embargo, para poder comparar facilmente las caracterısticas de la respuesta tran-sitoria de diversos sistemas, se acostumbra suponer que las condiciones iniciales soncero.Cuando la respuesta transitoria presenta oscilaciones amortiguadas es habitual darlas especificaciones mostradas en la Fig 5.16:

Figura 5.16 Especificaciones para un sistema con respuesta subamortiguada

Las especificaciones son las siguientes:

1 Tiempo de retardo, td.

El tiempo que la respuesta tarda en alcanzar por primera vez la mitad del valor final.


2 Tiempo de crecimiento, tr.

El requerido para que la respuesta crezca del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al100% de su valor final. Se utilizara esta ultima especificacion (0 al 100%) en calculosposteriores.

3 Tiempo de pico o de sobrepaso, tp.

El requerido por la respuesta para alcanzar el primer pico del sobreimpulso o so-brepaso.

4 Maximo sobreimpulso o sobrepaso, Mp.

Este se define en forma porcentual mediante (5.40):

Mp =e (tp)− e (∞)

e (∞) × 100% (5.40)

y es un indicativo de la estabilidad relativa del sistema.

5 Tiempo de establecimiento o de solucion, ts.

Tiempo requerido por la respuesta para alcanzar y mantenerse dentro de determinadorango alrededor del valor final. Este rango generalmente se especifica en porcentajeabsoluto del valor final (habitualmente 5% o 2%). El tiempo de establecimiento serelaciona con la constante de tiempo mas grande del sistema.El criterio para la fijacion del porcentaje de error a usar depende de los objetivos deldiseno del sistema en cuestion.Notese que si se especifican td, tr, tp, ts, y Mp, virtualmente queda determinada laforma de la respuesta.Para un sistema sobreamortiguado no se aplican los terminos tiempo pico y maximosobreimpulso. Para sistemas con error estacionario para entradas escalon, el error sedebe mantener dentro de un nivel porcentual especıfico.

Comentarios.

Excepto donde no se toleren oscilaciones, se desea una respuesta transitoria suficien-temente rapida y suficientemente amortiguada. Para sistemas de segundo orden elrango recomendado para ζ es: 0.4 < ζ < 0.8. Para ζ < 0.4 el sobrepaso es excesivo ypara ζ > 0.8 la respuesta es lenta.Se vera posteriormente queMp y tr estan en conflicto entre sı. Es decir, siMp decrece,tr aumenta y viceversa.

5.2 Tiempo de pico tp 191

5.2.1 Especificaciones de respuesta transitoria para sistemas

de segundo orden

Se obtendran el tiempo de crecimiento, tiempo pico, maximo sobrepaso y tiempo deestablecimiento de sistemas de segundo orden obtenidos del sistema (5.24). Los valoresse obtendran en terminos de ζ y ωn y se supondra que el sistema es subamortiguado(ζ < 1).

5.2.1.1 Tiempo de crecimiento o tiempo de levante trUtilizando el criterio de 0 al 100%, c (tr) = 1. Reemplazando en (5.33):

c (tr) = 1 = 1− e−ζωntrp1− ζ2

sen (ωd tr + θ) (5.41)

de donde:

sen (ωd tr + θ) = 0 (5.42)

Ası:

(ωdtr + θ) = π, 2π, 3π, · · · (5.43)

El primer cruce de c (t) con el valor unitario o 100% ocurre cuando (ωdtr + θ) = π.Por lo tanto:

tr =π − θ

ωd=

π − θp1− ζ2ωn

(5.44)

Notese que para un valor pequeno de tr, ωndebe ser grande.

5.2.1.2 Tiempo de pico tpCon (5.33) cuando t = tp, la pendiente es cero:

dc (t)

dt

¯t=tp

=ζωnp1− ζ2

e−ζωntp sen (ωdtp + θ)

−p1− ζ2ωnp1− ζ2

e−ζωntp cos (ωdtp + θ) = 0 (5.45)

de donde:

ζ sen (ωd tp + θ)p1− ζ2

= cos (ωd t+ θ)

o:

tan (ωd tp + θ) =

p1− ζ2

ζ(5.46)

Ası:


ωd tp + θ = tan−1Ãp

1− ζ2

ζ

!= θ + πn n = 0, 1, · · · (5.47)

El primer pico ocurre cuando n = 1 :

tp =π

ωd=

πp1− ζ2ωn

(5.48)

5.2.1.3 Maximo sobreimpulso Mp

Este es:

Mp = c (tp)− 1 (5.49)

Utilizando (5.32) se tiene:

c (tp)− 1 = −e−ζωntpÃcosωdtp +

ζp1− ζ2

senωdtp

!=Mp (5.50)

Pero de (5.48) ωd tp = π y:

Mp = −e−ζωntpÃcosπ +

ζp1− ζ2

senπ

!= e−ζωntp

o:

Mp = e−ζωntp = e

− ζπ√1−ζ2 (5.51)

Existen diferentes criterios integrales para establecer lo que podrıa llamarse el valoroptimo de la razon de amortiguacion ζ.Uno de ellos se llama criterio ITAE el cual minimiza la integral J =

R∞0|e| tdt, integral

del valor absoluto del error multiplicado por el tiempo, que trata de penalizar lamagnitud del error y la duracion del mismo. Utilizando este criterio con e (t) =r (t)− c (t) se obtiene ζ = 0.707.Otro criterio es el ISE que minimiza la integral J =

R∞0 e2dt, o integral del cuadrado

del error. Este criterio no penaliza la duracion de error. Con el ISE se obtiene ζ = 0.5.Existen otros criterios de optimizacion. Sin embargo, el valor de ζ = 0.7 correspondeal valor cercano al optimo con respecto a varios de ellos. Para ζ = 0.7, el sistema desegundo orden tiene una respuesta rapida a la entrada escalon con un sobrepaso deaproximadamente el 4.3%.La Fig 5.17 muestra una grafica del sobrepaso Mp en funcion de la razon de amor-tiguacion ζ para el sistema de segundo orden:

5.2 Tiempo de establecimiento ts 193

Figura 5.17 Sobrepaso en funcion de la razon de amortiguacion

Observese que para ζ = 0.4 el sobrepaso es del 25.4%, mientras que para ζ > 0.707es menor del 4.3%.

5.2.1.4 Tiempo de establecimiento tsDe (5.51) Mp = e

−ζωntp . Ası, se puede construır una curva envolvente de sobrepasos(5.52):

Mp (t) = e−ζωnt (5.52)

que es una curva exponencial tal que:

Mp (t) < 2% para t > 4T =4

ζωn

Ası, se puede aceptar que el transitorio de c (t) esta a menos del 2% del valor finalpara el tiempo ts, o tiempo de establecimiento dado por (5.53):

ts =4

ζωn(5.53)

Notese que la constante de tiempo de las envolventes es 1ζωn, Fig 5.18:


Figura 5.18 Curvas envolventes de sobrepaso

Observese que para el mismo ωn y ζ < 1, el tiempo de establecimiento para unsistema muy levemente amortiguado, es mayor que para un sistema adecuadamenteamortiguado. Sin embargo, como el valor de ζ generalmente es determinado por unrequerimiento de maximo sobreimpulso permitido, el tiempo de establecimiento tsesta determinado principalmente por la frecuencia natural no amortiguada ωn. Esdecir, la duracion del perıodo transitorio puede ser variada sin modificar el maximosobrepaso, ajustando ωn.Entonces, para tener una respuesta rapida, ωn debe ser grande, y para limitar elmaximo sobrepasoMp, la relacion de amortiguacion ζ no debe ser demasiado pequena.

Ejercicio.

1. Con C(s)R(s) =

ω2ns2+2ζωns+ω2n

y r (t) = δ (t), la funcion impulso, hallar c (t) :para ζ = 0, ζ < 1, ζ = 1 y ζ > 1. Hacer graficos y comparar.2.

Figura 5.19 Sistema de segundo orden

Para el sistema de la Fig 5.19, hallar el error en estado estacionario ess cuandor (t) = t u (t) en funcion de ζ y ωn.

Ejemplo 5.1 Calculo de algunos parametros.

5.2 Tiempo de establecimiento ts 195

Figura 5.20 Sistema para el ejemplo 5.1

Para el sistema de la Fig 5.20, hallar los valores de ganancia K y la constante derealimentacion de velocidad Kh de manera que el maximo sobrepaso en la respuestaal escalon unitario sea 0.2 y el tiempo de pico de 1 segundo. Con estos valores de Ky Kh hallar el tiempo de crecimiento y el de establecimiento.El sistema anterior es de segundo orden:

C (s)

R (s)=

K

s2 + (1 +KKh) s+K=


(5.54)

donde:

ωn =√K

2ζωn = 1 +KKh

ζ =1 +KKh

2√K

De (5.51):

Mp = e− ζπ√

1−ζ2 = 0.2

ζπp1− ζ2

= 1.61

Ası:

ζ = 0.456

De (5.48):

tp =π

ωd=

πp1− ζ2ωn

= 1

Ası:

ωd = 3.14 y ωn = 3.53

Ademas:


K = ω2n = 12.5

Kh =2ζωn − 1K

= 0.178

De (5.44):

tr =π − θ

ωd

Como:

θ = tan−1Ãp

1− ζ2

ζ

!= 1.10

entonces:

tr =π − 1.103.14

= 0.65seg

y para el criterio de 2%:

ts =4

ζωn= 2.48 seg

Ejercicio.

Resolver el ejemplo anterior con un sobrepaso del 3%, con un tiempo de solucion de1 segundo.Calcule K,Kr, tr y tp

5.3 Sistemas de ordenes superiores

5.3.1 Sistema de tercer orden

Considerese el sistema (5.55):

C (s)

R (s)=

ω2np

(s2 + 2ζωns+ ω2n) (s+ p)(5.55)

Si r (t) = u (t) o R (s) = 1s , se puede obtener c (t), (5.56), con 0 < ζ < 1:

c (t) = 1− e−ζωnt

βζ2 (β − 2) + 1 ×(βζ2 (β − 2) cos

p1− ζ2ωnt+

βζ£ζ2 (β − 2) + 1¤p1− ζ2

senp1− ζ2ωnt

)

− ept

βζ2 (β − 2) + 1 (5.56)

5.3 Respuesta transitoria de sistemas mayor orden 197

donde β = pζωn

Observese que como:

βζ2 (β − 2) + 1 = ζ2 (β − 1)2 + ¡1− ζ2¢> 0

entonces el coeficiente del termino e−pt es siempre negativo. Por lo tanto el efectodel polo real situado en s = −p en la respuesta al escalon unitario es reducir elmaximo sobrepaso y podrıa aumentar el tiempo de establecimiento. Si el polo realesta ubicado a la derecha de los polos complejos conjugados, hay tendencia a unarespuesta lenta y el sistema se comporta como uno sobreamortiguado al cual los poloscomplejos conjugados anaden ondulaciones a la curva de respuesta.

5.3.2 Respuesta transitoria de sistemas mayor orden

Para el sistema dado por (5.57):

C (s)

R (s)=b0s

m + b1sm−1 + · · ·+ bm

a0sn + a1sn−1 + · · ·+ an (5.57)

si no hay polos repetidos, entonces:

C (s)

R (s)=

K·mQi=1

(s+ zi)

qQj=1

(s+ pj) ·rQk=1

(s2 + 2ζkωks+ ω2k)

(5.58)

donde q + 2r = n.Por descomposicion en fracciones parciales de (5.58) con R (s) = 1

S , funcion escalon,se obtiene (5.59):

c (s) =a

s+

qXj=1

ajs+ pj

+rXk=1

bk (s+ ζkωk) + ckωkp1− ζ2k

s2 + 2ζkωks+ ω2k(5.59)

Si se antitransforma (5.59), c (t) se puede expresar:

c (t) = a+

qXj=1

aje−pjt+

rXk=1

bke−ζkωkt cosωk

q1− ζ2kt

+rXk=1

cke−ζkωkt senωk

q1− ζ2kt para t ≥ 0 (5.60)

Si todos los polos estan en el semiplano complejo izquierdo:

css = limt→∞ c (t) = a

Considerese que el sistema es estable. Entonces los polos que estan ubicados lejos deleje jω tienen partes reales negativas grandes y por lo tanto los terminos exponencialesen c (t) que corresponden a esos polos caen muy rapidamente a cero ya que el tiempode establecimiento depende de la distancia horizontal de los polos al eje jω.


La curva de respuesta de un sistema estable de orden superior a una entrada escalonunitario es la suma de cierto numero de curvas exponenciales y curvas senoidalesamortiguadas. Algunas respuestas se muestran en la Fig 5.21.

a) b) c)

Figura 5.21 Algunas respuestas de sistemas de orden superior

En la Fig 5.21a la respuesta corresponde a un par de polos complejos conjugadosdominantes. Su comportamiento es similar al de uno de segundo orden. En la Fig5.21b se nota la presencia de un polo real dominante, ya que se asemeja a la respuestade un sistema de primer orden sobre el que se superpone la respuesta de un par depolos complejos conjugados menos dominantes. La Fig 5.21c muestra la respuesta deun par de polos complejos dominantes sobre la que se superpone la respuesta de otropar de polos complejos menos dominantes.

CAPITULO 6

CRITERIOS DE ESTABILIDAD

6.1 Introduccion

Un sistema con funcion de transferencia W (s) es estable si todos sus polos estan enel semiplano complejo izquierdo.Considerese el sistema de lazo cerrado de la Fig 6.1, con una entrada y una salida:

Figura 6.1 Sistema realimentado

donde:

y (s)

u (s)=W (s) =

G (s)

1 +G (s)H (s)(6.1)

Cualquier sistema como el (6.1) puede ser descrito mediante las variables de estadox (t):

.x (t) = Ax (t) +Bu (t) (6.2)

llamada ecuacion de estado. La ecuacion de salida esta dada por (6.3):

y (t) = Cx (t) +Du (t) (6.3)

199

200 CRITERIOS DE ESTABILIDAD

En general D = 0, ya que D 6= 0 implica conexion directa entre entrada y salida.Transformando (6.2) y (6.3), con D = 0:

sx (s) = Ax (s) +Bu (s)

y (s) = Cx (s) (6.4)

o:

x (s) = (sI −A)−1Bu (s) (6.5)

con (6.5) en (6.4):

y (s) = C (sI −A)−1Bu (s) (6.6)

Para el caso SISO, una entrada una salida (6.6) se puede escribir:

y (s)

u (s)= C (sI −A)−1B = C [adj (sI −A)]B

det (sI −A) =G (s)

1 +G (s)H (s)=b (s)

a (s)(6.7)

donde adj (sI −A) es la matriz adjunta de (sI −A).El sistema es estable si los ceros de a (s) = det (sI −A) estan en el semiplano complejoizquierdo, donde det significa determinante.Cuando el grado del polinomio a (s) = det (sI −A) = sn + a1sn−1 + · · · + an, es deorden mayor que 3, las raıces no se pueden calcular, en general, analıticamente. Porlo tanto, en estos casos se debe recurrir a metodos iterativos para encontrar las raıcescomo por ejemplo el metodo de Newton-Raphson, etc.

6.1.1 Metodo de Newton-Raphson

Con a (s) = 0, la ecuacion caracterıstica de un sistema, entonces:

∆a (s) ' da (s)

ds∆s

Si sk es el valor de s en la k-esima iteracion y sk+1 en la siguiente, entonces ∆a (s) =a (sk+1)− a (sk) y ∆ (s) = sk+1 − sk. Ası:

a (sk+1)− a (sk) ' a0 (sk) (sk+1 − sk) (6.8)

donde:

a0 (sk) =da (s)

ds

¯s=sk

Si en la iteracion k+1 se esta muy cerca de una raız, entonces a (sk+1) ' 0 y (6.8) sepuede escribir:

sk+1 = sk − a (sk)

a0 (sk)(6.9)

6.2 Analisis de estabilidad por cancelacion de polos 201

que es la formula iterativa de Newton-Raphson. Para aplicar (6.9), se escoge un valorinicial arbitrario s1 y se calcula s2, y ası sucesivamente. El algoritmo se puede detenercuando:

|sk+1 − sk| < ²

donde ² es un valor positivo pequeno.

Ejercicio.

Hallar las raıces de a (s) = s3+9s2+25s+25 usando el metodo de Newton-Raphson.Escoger como valor inicial s1 = −1 + j.Sin embargo, existen criterios de estabilidad que permiten determinar si un sistemaes estable o no, sin necesidad de tener que encontrar las raıces del polinomio a (s),como por ejemplo el criterio de estabilidad de Routh y Hurwitz.

6.2 Analisis de estabilidad por cancelacion de polos

Considerese un sistema con funcion de trasferencia Hf (s) =1s−1 el cual es inestable,

Fig 6.2:

Figura 6.2 Compensacion serie o cascada

Supongase que para estabilizarlo se precede Hf (s) con un compensador Hc (s) =s−1s+1

para lograr la funcion de transferencia total:

Hf (s)Hc (s) =1

(s− 1) ·(s− 1)(s+ 1)

=1

s+ 1estable? (6.10)

En (6.10) se hizo una cancelacion de un polo con un cero, lo cual le da, aparentemente,estabilidad al sistema. Como se vera a continuacion, esta tecnica no funciona. Paraver porque, considerese la realizacion que se muestra en la Fig 6.3:


Figura 6.3 Realizacion para la Fig 6.2

Ejercicio.

Verificar que las realizaciones de la Fig 6.3 tienen las funciones de trasferencia mostradas.Con x1 y x2 como variables de estado, las ecuaciones de estado son:· .

x1.x2

¸=

· −1 01 1

¸·x1x2

¸+

· −21

¸v (6.11)

y la ecuacion de salida es:

y =£0 1

¤ · x1x2

¸Observese que la ecuacion caracterıstica obtenida de las ecuaciones de estado es:

det (sI −A) = det·s+ 1 0−1 s− 1

¸= (s+ 1) (s− 1) = 0 (6.12)

(6.12) muestra claramente la presencia de una raız s = 1 ubicada en el plano complejoderecho y por lo tanto el sistema es inestable.Como puede verse (6.10) y (6.12) se contradicen. Sin embargo el resultado obtenido de(6.12) es enteramente correcto. Una manera de ver mas claramente el origen de estacontradiccion es obtener la respuesta del sistema incluyendo las condiciones iniciales.De (6.11):

.x1= −x1 − 2v

con las condiciones iniciales:

x1 (0) = x10 y x2 (0) = x20

y transformando:

sx1 (s)− x10 = −x1 (s)− 2v (s)x1 (s) =

x10(s+ 1)

− 2

(s+ 1)v (s)

de donde:

6.2 Analisis de estabilidad por cancelacion de polos 203

x1 (t) = x10e−t − 2e−t ~ v (t)

Ademas:

.x2= x1 + x2 + v (t)

sx2 (s)− x2 (0) = x1 (s) + x2 (s) + v (s)(s− 1)x2 (s) = x20 + x1 (s) + v (s)

de donde:

x2 (s) = y (s) =x20s− 1 +

x10(s− 1) (s+ 1) +

v (s)

(s+ 1)

y antitransformando:

x2 (t) = y (t) = x20 et +

x102

¡et − e−t¢+ e−t ~ v (t) (6.13)

Observese que si el estado energetico inicial es cero, la funcion de transferencia es1s+1 como es de esperarse. Sin embargo, a menos que el estado energetico inicial sepueda mantener en cero, y (t) crecera sin lımite. Como es evidente, es difıcil mantenerx10 = x20 = 0.(6.13) muestra claramente que el sistema es inestable. Por lo tanto, el metodo decancelacion de polos y ceros es totalmente insatisfactorio.A veces se argumenta que la inestabilidad es debida a la cancelacion inexacta de polosy ceros. Fısicamente la cancelacion exacta es imposible debido a la variacion en losvalores de los componentes. Sin embargo, la razon de la inestabilidad es mucho masprofunda. El hecho es que, aun con una cancelacion perfecta, si algun valor inicial esdiferente de cero, el sistema es inestable.Ahora considerese el sistema de la Fig 6.4:

Figura 6.4 Compensador Hc (s) adelante de Hf (s)

En la Fig 6.4, Hc (s) esta despues de Hf (s). Desde el punto de vista de manejomatematico de diagramas de bloques la funcion de transferencia, de la Fig 6.4 escompletamente equivalente al de la Fig 6.2.


Figura 6.5 Realizaciones para la Fig 6.4

Sin embargo, si se considera la realizacion de la Fig 6.5, la ecuacion de estado y la desalida son: · .

x1.x2

¸=

·1 0−2 −1

¸ ·x1x2

¸+

·10

¸v (6.14)

y =£1 1

¤ · x1x2

¸(6.15)

De (6.14):

.x1 = x1 + v.x2 = −2x1 − x2

y transformando:

sx1 (s)− x10 = x1 (s) + v (s)

(s− 1)x1 (s) = x10 + v (s)

de donde:

x1 (s) =x10s− 1 +

v (s)

s− 1 (6.16)

Ademas:

sx2 (s)− x20 = −2x1 (s)− x2 (s)(s+ 1)x2 (s) = x20 − 2x1 (s)

lo cual da:

x2 (s) =x20s+ 1

− 2x10(s+ 1) (s− 1) −

2v (s)

(s+ 1) (s− 1) (6.17)

Observando (6.16) y (6.17) se nota que ambas variables de estado son inestables, sinembargo reemplazandolas en (6.15) se obtiene:

6.3 Controlabilidad y observabilidad 205

y (s) =x10s+ 1

+x20s+ 1

+v (s)

s+ 1(6.18)

Antitransformando (6.18) se obtiene (6.19):

y (t) = (x10 + x20) e−t + e−t ~ v (t) (6.19)

Notese que ahora el sistema es estable en lo que toca a y (t), aun si el estado energeticoinicial es diferente de cero. Sin embargo, la realizacion de la Fig 6.5 es todavıainternamente inestable ya que x1 (t) y x2 (t) tienen terminos que crecen como e

t.La conclusion de las anteriores discusiones es que el comportamiento interno de unarealizacion podrıa ser mas complicada que lo que indica su comportamiento externo.Notese que la estabilidad determinada mediante las raıces de det (sI −A) = 0 nofalla. El comportamiento interno es determinado por las frecuencias naturales de larealizacion sin senal de entrada, las cuales en el ejemplo anterior son s = +1,−1. Sinembargo, debido a la cancelacion, no todos los modos correspondientes, o frecuen-cias naturales, apareceran en la funcion de transferencia total. En otras palabras, yaque la funcion de transferencia es definida con condiciones iniciales nulas, podrıa nomostrar todos los modos de la realizacion actual del sistema. Para un analisis com-pleto, se necesita hacerle un buen seguimiento a todos los modos, aquellos mostradosexplıcitamente por la funcion de transferencia y los escondidos. Esto es posible sise es cuidadoso en los calculos de la funcion de transferencia. Sin embargo, fue laecuacion de estado la que dio claridad con respecto al problema.

6.2.1 Explicacion de la diferencia en comportamiento de las

realizaciones de las Figs 6.3 y 6.5

El modo inestable et en la Fig 6.3 es observable, aparece a la salida, pero no escontrolable porque la entrada externa v (t) no puede afectarla directamente, mientrasen la Fig 6.5 el modo et es controlable pero no observable. Analisis mas detallados porvariables de estado permiten predecir esta diferencia en comportamiento sin calculosexplıcitos.Estabilidad externa podrıa no ser equivalente a estabilidad interna, excepto pararealizaciones mınimas.Una realizacion con matrices A, B, C es mınima si es controlable y observable.

6.3 Controlabilidad y observabilidad

Una realizacion A,B,C es controlable si y solo si la matriz:

Co =£B AB · · · An−1B

¤llamada matriz de controlabilidad tiene rango total, es decir, no es singular. Estoquiere decir que si una realizacion es controlable, entonces:

detCo 6= 0 realizacion controlable


Una realizacion A,B,C es observable si y solo si la matriz:

Ob =

CCA...

CAn−1

llamada matriz de observabilidad tiene rango total, es decir, no es singular. Estoquiere decir que si una realizacion es observable, entonces:

detOb 6= 0 realizacion observable

Ejemplo 6.1 Controlabilidad y observabilidad.

Para la realizacion de la Fig 6.3 las matrices A, B, y C son:

A =

· −1 01 1

¸B =

· −21

¸C =

£0 1

¤y las matrices de controlabilidad y observabilidad se pueden calcular de la manerasiguiente:

Co =

· −21

· −1 01 1

¸ · −21

¸¸=

· −2 21 −1

¸Ob =

0 1£0 1

¤ · −1 01 1

¸ = · 0 11 1

¸

Como detCo = 0 y detOb = −1 esta realizacion es observable pero no controlable.Para la realizacion de la Fig 6.5 las matrices A, B, y C son:

A =

·1 0−2 −1

¸B =

·10

¸C =

£1 1

¤Calculando Co y Ob se obtiene:

Co =

·10

·1 0−2 −1

¸ ·10

¸¸=

·1 10 −2

¸Ob =

1 1£1 1

¤ ·1 0−2 −1

¸ = · 1 1−1 −1

¸

Como detCo = −2 y detOb = 0 esta realizacion es controlable pero no observable.

6.4 Control por realimentacion de variables de estado 207

6.3.1 Aclaracion sobre controlalibidad y observabilidad

Figura 6.6 Representacion de un sistema con variables de estado

Con referencia a la Fig 6.6, un sistema es observable si dados u (t) y y (t) se puededeterminar x (t).Un sistema es controlable si es posible encontrar una senal de control u (t) de modoque el estado x (t0) pueda ser llevado a un estado deseado x (tf ).

6.4 Control por realimentacion de variables de

estado

Supongase que el sistema de la Fig 6.6 es inestable. Si el sistema es controlableentonces los polos o valores propios se pueden reubicar utilizando realimentacion devariables de estado como en la Fig 6.7 de tal manera que resulte estable.

Fig 6.7 Control por realimentacion de variables de estado

Como, con D = 0:

.x (t) = Ax (t) +Bu (t) (6.20)

y (t) = Cx (t) (6.21)


Ya que:

u (t) = r (t)−K x (t) (6.22)

donde:

K = (k1, k2, · · ·kn)Con (6.22) en (6.20) se tiene:

.x (t) = Ax (t) +B (r (t)−K x (t)).x (t) = (A−BK)x (t) +Br (t) (6.23)

Transformando (6.23) con condiciones iniciales cero:

sx (s) = (A−BK)x+Br (s)(sI −A+BK)x (s) = Br (s)

de donde:

x (s) = (sI −A+BK)−1Br (s) (6.24)

Con (6.24) en (6.21):

y (s) = C (sI −A+BK)−1Br (s) = C adj (sI −A+BK)Bdet (sI −A+BK) r (s) (6.25)

De (6.25) se observa que ahora la ecuacion caracterıstica es:

a (s) = det (sI −A+BK) = (s− s1) · · · (s− sn) = 0 (6.26)

(6.26) indica que los nuevos valores propios o polos s1, · · ·, sn se pueden ubicar selec-cionando las componentes de la matriz K si el sistema es controlable.Si el sistema no es controlable significa que algunos valores propios no se puedenreubicar, lo cual no serıa problema si son estables.Se dice entonces que un sistema es ESTABILIZABLE si todos los valores propiosno estables, aquellos con parte real positiva, se pueden reubicar arbitrariamente uti-lizando realimentacion de variables de estado.Una formula para determinar K es la siguiente:

K = qtn · α (A) (6.27)

donde α (s) es el polinomio caracterıstico deseado y qtn = [00 · · · 01]C−1o es la ultimafila de C−1o .Tambien se puede demostrar que la realimentacion por variables de estado no afectalos ceros de la funcion de transferencia, a menos, por supuesto, que sean canceladospor una escogencia especial del polinomio α (s) .Observese que el orden del sistema no se incrementa como ocurre en el caso de usarseotros tipos de controladores, PID, por ejemplo. Sin embargo, generalmente se hacenecesario utilizar un integrador en serie con la senal de error para eliminar el errorestatico, lo cual aumenta el orden del sistema en una unidad.

6.5 Introduccion 209

6.5 Criterios algebraicos y frecuenciales de

estabilidad

6.5.1 Introduccion

Una planta inestable puede formar parte de un sistema de control estable. Este, detodas maneras, tiene que ser estable para poder ser utilizado.Una planta es estable si la parte real de cada polo de la funcion de transferencia esnegativa.

a) b)

Figura 6.8 Sistema de control en lazo cerrado

Si se tiene el sistema de control de la Fig 6.8a, Y1 es la salida indirectamente controladay, Y es la senal directamente controlada. Wl−a (s) = G (s)H (s) se llama funcion detransferencia de lazo abierto, y es la ganancia de lazo. El analisis de esta funcionconduce a la determinacion de la estabilidad del sistema en lazo cerrado. H (s) puedeser la funcion de transferencia de un transductor, o una realimentacion especial quetrata de disminuir el error o mejorar la estabilidad, o ambas. Entonces, para analisisde estabilidad se considera como entrada X y como salida Y , la variable directamentecontrolada. La estabilidad es una caracterıstica propia de un sistema y no dependede la escogencia de la senal de salida.En la Fig 6.8b se muestra la funcion Wl−a (s), o funcion de transferencia en lazoabierto, definida por (6.28):

Wl−a (s) =Y (s)

E (s)=K (s)

D (s)(6.28)

donde K (s), y D (s) son polinomios en s.Wl−a (s) es estable si las raıces de D (s), esto es, aquellos valores de s que satisfacenla ecuacion caracterıstica (6.29):

D (s) = 0 (6.29)

tienen parte real negativa.Cuando se cierra el lazo, como en la Fig 6.8b la funcion de transferencia, en lazocerrado, Wl−c (s) es:

Wl−c (s) =Y (s)

X (s)=

Wl−a (s)1 +Wl−a (s)

(6.30)


o:

Wl−c (s) =K (s)

K (s) +D (s)=B (s)

A (s)(6.31)

donde el polinomio caracterıstico de Wl−c (s) es:

A (s) = K (s) +D (s) (6.32)

Para estabilidad es necesario entonces que los polos de Wl−c (s) esten en el planocomplejo izquierdo, o que las raıces de:

A (s) = 0 (6.33)

tengan parte real negativa. Esta condicion fue extendida por A.M. Lyapunov, en1892, para ecuaciones linealizadas de plantas no lineales.Las raıces se pueden calcular analıticamente para ecuaciones hasta de tercer grado.No hay metodo analıtico para mayor grado, solo metodos iterativos, o metodos deensayo y error. Sin embargo, no es necesario conocer las raıces, ya que solo se necesitasaber el signo de sus partes reales.Las reglas para conocer la ubicacion de las raıces respecto al eje imaginario se llamancriterios de estabilidad. Existen varios tipos de criterios: algebraicos y frecuenciales.

6.5.2 Criterio de Routh y Hurwitz

Sea la ecuacion caracterıstica de un sistema:

A (s) = ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s+ a0 = 0 (6.34)

Se construye la siguiente tabla:

sn

sn−1

sn−2

sn−3

sn−4...s0

¯¯¯¯

an an−2 an−4 an−6 · · ·an−1 an−3 an−5 an−7 · · ·b1 b3 b5 b7 · · ·b2 b4 b6 b8 · · ·c1 c3 c5 c7 · · ·...

......

......

......

...

Tabla 6.1 Criterio de Routh y Hurwitz

donde:

b1 = −

·an an−2an−1 an−3

¸an−1

b2 = −

·an−1 an−3b1 b3

¸b1

c1 = −

·b1 b3b2 b4

¸b2

b3 = −

·an an−4an−1 an−5

¸an−1

b4 = −

·an−1 an−5b1 b5

¸b1

c3 = −

·b1 b5b2 b6

¸b2

6.5 Criterio de Routh y Hurwitz 211

El criterio es el siguiente:Para que el sistema sea estable es necesario que todas las constantes de la primeracolumna sean positivas. Esto es:

an, an−1, b1, b2, c1 · · · > 0

En caso de inestabilidad, el numero de raıces en el plano complejo derecho es igual alnumero de cambios de signo.

Ejemplo 6.2 .

Con:

A (s) = s6 + 6s5 + 21s4 + 44s3 + 62s2 + 52s+ 100 = 0

la tabla de Routh y Hurwitz es:

s6 1 21 62 100s5 6 44 52 0

s4 −

·1 216 44

¸6 = 13.67 −

·1 626 52

¸6 = 53.33 100 0

s3 20.6 8.10 0 0s2 48 100 0 0

s1 −

·20.6 8.1048 100

¸48 = −34.8 0 0 0

s0 100 0 0 0

Como el primer elemento de la fila s1 es negativo, el sistema es inestable. Hay doscambios de signo, +−+, lo cual indica dos polos en el plano complejo derecho.

Ejemplo 6.3 .

Con:

A (s) = s5 + s4 + 4s3 + 4s2 + 2s+ 1 = 0

la tabla es:

s5 1 4 2s4 1 4 1s3 ² 1 0s2 4²−1

²²² = 1 0

s1 −²2+4²−14²−1 0 0

s0 1 0 0


Cuando ²→ 0+ el primer elemento de la cuarta fila (s2) es negativo (−). El primerelemento de la quinta fila

¡s1¢es 1. Hay dos cambios de signo, dos raıces en el plano

complejo derecho.

Ejemplo 6.4 .

Para la ecuacion caracterıstica:

A (s) = s3 + 10s2 + 16s+ 160 = 0

la tabla es:

s3 1 16s2 10 160 → F (s) = 10s2 + 160 = 0s1 0 0

20 0 ← F 0 (s) = 20ss0 160 0

Cuando aparece una fila con ceros, como la de s1, se deriva la ecuacion correspondientea la fila inmediatamente superior. Los coeficientes de F

0(s) reemplazan los ceros.

Ceros en una fila indican:1) Pares de raıces, complejas o reales, de signo opuesto.2) Pares de raıces imaginarias en el eje imaginario. En el caso de este ejemplo, estasraıces se obtienen de la ecuacion F (s) = 10s2 + 160 = 0. De donde el par de raıcescorrespondiente es:

s1,2 = ±jr160

10= ±j4

Esto significa que el sistema esta en el lımite de estabilidad. La respuesta sera oscila-toria de amplitud constante, en lo que respecta al par de polos ±j4.Ejercicio.

Determinar la estabilidad de un sistema con ecuacion caracterıstica:

A (s) = s5 + 4s4 + 8s3 + 8s2 + 7s+ 4 = 0

Ejemplo 6.5 .

Para el polinomio caracterıstico:

A (s) = a4s4 + a3s

3 + a2s2 + a1s+ a0

la tabla es:

s4 a4 a2 a0s3 a3 a1 0s2 a2a3−a1a4

a3= x a0 0

s1 a1x−a3a0x 0 0

s0 a0 0 0

6.5 Criterio de Routh y Hurwitz 213

Para estabilidad:

a4 > 0, a3 > 0, a0 > 0

a2a3 > a1a4 (x > 0)

a1x > a3a0

Notese que siendo a3, a0 y x mayores que cero, a1 > 0.Si a1 > 0, de a2a3 > a1a4, a2 > 0 porque a3, a1 y a4 > 0.En Resumen:

a4, a3, a2, a1, a0 > 0

y ademas:

x > 0 o a2a3 > a1a4

y a1x > a3a0

En general, si alguno de los coeficientes ai, de la ecuacion caracterıstica A (s) = 0, esnegativo, ai < 0, el sistema es inestable y no es necesario hacer la prueba de Routh yHurwitz. El criterio se usa solo si los ai > 0. Debe tenerse en cuenta que ai > 0 noindica estabilidad.

Ejercicio.

Figura 6.9 Sistema del ejercicio

Para el sistema mostrado en la Fig 6.9, demuestre que para estabilidad en lazo cerrado:

K <

µ1

T3+1

T2+1

T1

¶(T1 + T2 + T3)− 1

En resumen, si la ecuacion caracterıstica de un sistema es:

A (s) = ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s+ a0 = 0

donde todos los coeficientes son numeros reales, para que en esta ecuacion no existanraıces con la parte real positiva es necesario pero no suficiente que:


1) Todos los coeficientes del polinomio tengan el mismo signo.2) Ninguno de los coeficientes sea nulo.Para sistemas reales los polos complejos siempre son pares conjugados y todos loscoeficientes de la ecuacion caracterıstica son numeros reales. Si la ecuacion contienefunciones exponenciales de s, como ocurre en el caso de un sistema con retardo, elcriterio de Routh-Hurwitz no puede aplicarse.Otra limitacion del criterio de Routh-Hurwitz es que solo facilita informacion sobrela estabilidad absoluta del sistema. El que un sistema resulte estable por la pruebade Routh no es suficiente, pues interesa ademas saber el grado de estabilidad, o sea,en otras palabras, cuan cerca del eje imaginario del plano s estan situadas las raıces.Por otra parte, si el sistema es inestable, la prueba de Routh no nos proporcionaindicacion alguna sobre como podemos establilizarlo. Para estudiar la estabilidadrelativa de un sistema de control, se debe aplicar el criterio de Nyguist o el metododel lugar de las raıces.

6.6 Criterios frecuenciales de estabilidad

6.6.1 El principio del argumento o del angulo

Si A (s) = ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s+ a0, entonces, por factorizacion:

A (s) = an (s− p1) (s− p2) · · · (s− pn−1) (s− pn) (6.35)

donde pi (i = 1, 2, · · ·, n) son las raıces de A (s) = 0.Con s = jω :

A (jω) = an (jω − p1) (jω − p2) · · · (jω − pn−1) (jω − pn) (6.36)

Figura 6.10 Principio del angulo o del argumento

donde (jω − pi) es el vector trazado desde pi al punto jω sobre el eje imaginario comose muestra en la Fig 6.10.Si ω varıa entre −∞ y +∞, el angulo o arg (jω − p1) varıa entre −π

2 y +π2 en sentido

antihorario, esto es positivamente, y el cambio del angulo es:

6.6 El criterio de Mikhailov 215

∆ arg (jω − p1)−∞→ω→∞

=π

2−³−π2

´= π

Pero el angulo o arg (jω − p3) varıa entre −π2 y +

π2 pero en sentido horario, o sea

negativamente, esto es:

∆ arg (jω − p3)−∞→ω→∞

= −hπ2−³−π2

´i= −π

Por eso:

∆ argA (jω)−∞→ω→∞

= lπ −mπ = (l −m)π (6.37)

donde:

l, es el numero de polos en el plano complejo izquierdo.

m, es el numero de polos en el plano complejo derecho.

Ya que n = l +m, l = n−m, entonces:


= (n− 2m)π (6.38)

Por lo tanto, si no hay polos en el plano derecho, entonces m = 0 y:


= nπ (6.39)

6.6.2 El criterio de Mikhailov

Figura 6.11 Criterio de Mikhailov

Para sistemas realizables, o reales, por cada polo complejo p2 existe su conjugado p∗2.

Ası, si ω varıa entre 0 e ∞ (0→ ω →∞), entonces:


∆ argA (jω)0→ω→∞

= ∆ arg (jω − p1) +∆ arg (jω − p2) +∆ arg (jω − p∗2)


=³π2− 0´+hπ2− (−α)

i+hπ2− (α)

i= 3

³π2

´segun la Fig 6.11.Ası, las ecuaciones (6.38) y (6.39) pueden ser escritas:


=

½nπ2 si el sistema es estable

(n− 2m) π2 si el sistema es inestable(6.40)

La ecuacion (6.40) constituye el criterio de Mikhailov:Un sistema es estable si al variar ω entre 0 e ∞, el angulo o argumento de A (jω)cambia nπ2 , esto es, n cuadrantes positivamente. Con n, grado de A (s) .

a)Sistemas estables b)Sistemas inestables

Figura 6.12 Graficos de A(jω) para el criterio de Mikhailov

La Fig 6.12a muestra varios casos estables. Notese, por ejemplo, que la curva paran = 3 gira 3π2 radianes alrededor del origen.La Fig 6.12b corresponde a sistemas inestables. Por ejemplo, para n = 4, el giroentre a0 y 1, alrededor del origen es

π2 ; entre a0 y 2 es

π2 + β; entre a0 y 3 es

π2 ,

porque el giro entre 2 y 3 es (−β); entre a0 y 4 es 0 porque el giro entre 3 y 4 es −π2 .

Finalmente, el giro entre 4 y 5 (para ω→∞) es (−γ) + (γ), dando un giro neto decero. Como:


= (n− 2m) π2= 0

con n = 4,⇒m = 2. Hay dos polos en el semiplano complejo derecho.

Ejemplo 6.6 .

6.6 El criterio de Mikhailov 217


Para la Fig 6.13:

Wl−a (s) =K

(1 + T1s) (1 + T2s) (1 + T3s)

con T1 = 2 seg, T2 = 0.5 seg y T3 = 0.1 seg, determine el valor maximo que puedetener K para que Wl−c (s), la funcion de transferencia en lazo cerrado, sea estable.Ası:

Wl−c (s) =Wl−a (s)

1 +Wl−a (s)=

K

(1 + 2s) (1 + 0.5s) (1 + 0.1s) +K

y el polinomio caracterıstico es:

A (s) = (1 + 2s) (1 + 0.5s) (1 + 0.1s) +K = 0.1s3 + 1.25s2 + 2.6s+ (1 +K)

=£(1 +K)− 1.25ω2¤+ j £2.6ω − 0.1ω3¤

Como n = 3, para que el sistema Wl−c (s) sea estable, la curva de A (jω) debe giraralrededor del origen 3π2 radianes, como se muestra en la fig 6.14:

Figura 6.14 Grafico de A(jω) estable

Para ω = 0:

A (jω)|ω=0 = 1 +KLas frecuencias para las cuales A (jω) corta el eje imaginario se obtienen haciendo laparte real cero:


ReA (jω)|ω=ωπ2

= 0 = (1 +K)− 1.25ω2¯ω=ωπ

2

lo que da: ωπ2

=

r1 +K

1.25

Como ωπ2debe ser real, para asegurar el cruce, es necesario que 1 +K > 0, esto es:

K > −1.Las frecuencias para las cuales A (jω) corta el eje real se obtienen haciendo la parteimaginaria cero:

ImA (jω)|ω=ω0,ωπ = 0 = ω£2.6− 0.1ω2¤¯

ω=ω0,ωπ

lo que da:

½ω0 = 0

ωπ =√26

Observese que en el criterio de Mikhailov se descartan las frecuencias negativas. Paraestabilidad, el punto A debe estar a la izquierda del origen, para que el giro neto sea3π2 radianes. Es decir:

U (ωπ) = ReA (jωπ) = (1 +K)− 1.25ω2π < 0de donde: K < 31.5

Ademas notese que, para estabilidad:

ImA¡jωπ

2

¢= ωπ

2

³2.6− 0.1ω2π

2

´> 0

2.6− 0.1ω2π2

> 0→ ω2π2=1+K

1.25< 26

es decir K < 31.5, el mismo resultado anterior.

En resumen, este sistema es estable si −1 < K < 31.5.

Ejercicio.

Con el mismo sistema del Ejemplo 6.6, graficar las curvas de Mikhailov para a)K = 40y b) K = −5. Para cada caso calcular el numero de polos inestables.6.6.3 El criterio de Nyquist

Figura 6.15 Sistema basico para el criterio de Nyquist

6.6 El criterio de Nyquist 219

En la Fig 6.15, con la definicion dada por (6.28):

Wl−a =K (s)

D (s)(6.41)

donde K (s) y D (s) son polinomios en s, se tiene:

Wl−c (s) =Wl−a

1 +Wl−a=

Wl−aD(s)+K(s)

D(s)

(6.42)

Se define la funcion F (s) con (6.43):

F (s) =D (s) +K (s)

D (s)= 1 +Wl−a (s) (6.43)

Fısicamente es difıcil encontrar funciones de transferencia en las cuales el grado deK (s) sea mayor que el de D (s). Si el grado de D (s) es n y el de K (s) es r, estoimplica que el grado de [D (s) +K (s)] es n. Resumiendo:

si n ≥ rgrado de D (s) = ngrado de K (s) = r

entonces grado de [D (s) +K (s)] = n

(6.44)

Caso 1: Wl−a estable.

Entonces por el criterio de Mikhailov:

∆ argD (jω)0→ω→∞

= nπ

2si Wl−a es estable (6.45)

Para que el sistema sea estable en lazo cerrado:

∆ arg [D (jω) +K (jω)]0→ω→∞

= nπ

2si Wl−c es estable (6.46)

y:

∆ argF (jω)0→ω→∞

=∆ arg [1 +Wl−a (jω)]0→ω→∞

= ∆ arg0→ω→∞

·D (jω) +K (jω)

D (jω)

¸de donde:


= ∆ arg [D (jω) +K (jω)]0→ω→∞

− ∆ argD (jω)0→ω→∞

= nπ

2− nπ

2= 0 (6.47)

Asi:

Un sistema en lazo cerrado es estable si la variacion del angulo deF (jω) = 1 +Wl−a (jω) es cero cuando ω cambia entre cero e infini-to. Dicho de otra manera, un sistema en lazo cerrado es estable, siF (jω)0→ω→∞

=1 +Wl−a (jω)0→ω→∞

no enlaza el punto 0 + j0, el origen, dado

que Wl−a (s) sea estable.


a) Criterio aplicado a 1 +Wl−a (jω) b) Criterio aplicado a Wl−a (jω)

Figura 6.16 Criterio de Nyquist

En la Fig 6.16a se muestra el grafico 1 +Wl−a (jω) de dos sistemas. En la curva Iel angulo va desde cero a un maximo negativo, regresa a cero, va hasta un maximopositivo y regresa a cero. El cambio en angulo neto resulta ser cero y por lo tanto esestable. En la Fig 6.16a, curva II, el angulo de 1 +Wl−a (jω) tiene un cambio netode −2π radianes 6= 0, y ası, II es inestable.En la Fig 6.16b se ha graficado Wl−a (jω), que es el mismo grafico de F (jω) =1 +Wl−a (jω) pero desplazado una unidad hacia la izquierda ya que Wl−a (jω) =F (jω)− 1. Notese que la curva I, estable, no enlaza el punto −1 + j0, mientras quela curva II, inestable, sı lo hace. De esta manera, el criterio de Nyquist aplicado a lafuncion Wl−a (jω)

0→ω→∞, se puede reformular:

Un sistema es estable en lazo cerrado, si el lugar geometrico de Wl−a (jω),con ω variando desde 0 a ∞, no enlaza el punto −1 + j0, dado que Wl−a (s)sea estable, con 0→ ω →∞. En otras palabras, si Wl−a (s) es estable,Wl−c (s) sera estable si la grafica de Wl−a (jω), llamada curva de Nyquist,no enlaza el punto −1 + j0, con 0→ ω →∞.

Ejemplo 6.7 .

Sea:

Wl−a (s) =K

(1 + T1s) (1 + T2s) (1 + T3s)

cuyo grafico Wl−a (jω), para diferentes valores de K, se ve en la Fig 6.17:


Figura 6.17 Diagrama de Nyquist de Wl−a(s) del ejemplo 6.7

Existe un valor lımite de K, KLIM , para el cual el sistema en lazo cerrado empiezaa ser inestable. Wl−a (jω) puede ser escrito:

Wl−a (jω) = |Wl−a (jω)| α (ω)

donde:

|Wl−a (jω)| =Kq

1 + (ωT1)2q1 + (ωT2)

2q1 + (ωT3)

2

y, α (ω) = − tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 − tan−1 ωT3Ası α (0) = 0 y α (∞) = −3π2 mientras que |Wl−a (jω)| decrece cuando 0→ ω →∞.Con T1, T2, y T3 positivos, Wl−a es estable. Ası para que el sistema en lazo cerradosea estable es necesario que:

Wl−a (jωπ) > −1Siendo ωπ la frecuencia de cruce por 180

, cuando ImWl−a (jω) = 0.Como:

Wl−a (jω) =K

(1 + jωT1) (1 + jωT2) (1 + jωT3)

=K

1− (T1T2 + T1T3 + T2T3)ω2 + jω(T1 + T2 + T3 − T1T2T3ω2)en ω = ωπ la parte imaginaria es cero, por lo tanto:

T1 + T2 + T3 − T1T2T3ω2π = 0

de donde: ωπ =

rT1 + T2 + T3T1T2T3


Entonces:

Wl−a (jωπ) =K

1− (T1T2 + T1T3 + T2T3) (T1+T2+T3)T1T2T3

> −1 (6.48)

Notese que Wl−a (jωπ) < 0 o (−Wl−a (jωπ)) > 0. Ası, la condicion (6.48) se puedetambien escribir:

−Wl−a (jωπ) < 1

Esto es:

K

(T1T2 + T1T3 + T2T3)(T1+T2+T3)T1T2T3

− 1< 1

lo que finalmente da:

K <

µ1

T1+1

T2+1

T3

¶(T1 + T2 + T3)− 1 = KLIM

para que el sistema sea estable.Notese tambien que:

µ1

T1+1

T2+1

T3

¶(T1 + T2 + T3) =

µ1 +

T2 + T3T1

¶+

µ1 +

T1 + T3T2

¶+

µ1 +

T1 + T2T3

¶> 1

Caso 2: Wl−a(s) inestable.

En este caso: Wl−a (s) =K(s)D(s) tiene m polos en el plano derecho, esto es: D (s) tiene

m raıces en el plano derecho, y (n−m) raıces en el plano izquierdo. Por el criteriode Mikhailov:

∆ argD (jω)0→ω→∞

= (n− 2m) π2

con Wl−a (s) inestable

Para que el sistema en lazo cerrado sea estable, con:

Wl−c (s) =Wl−a (s)

1 +Wl−a (s)=Wl−a (s)D(s)+K(s)

D(s)

=Wl−a (s)F (s)

sera necesario que:

∆ arg [D (jω) +K (jω)]0→ω→∞

= nπ

2con Wl−c (s) estable

o:


=∆ arg [D (jω) +K (jω)]0→ω→∞

− ∆ argD (jω)0→ω→∞

= nπ

2− (n− 2m) π

2


o sea:


=∆ arg [1 +Wl−a (jω)]0→ω→∞

=m

2(2π) con

½Wl−a (s) inestableWl−c (s) estable

(6.49)

Consecuentemente:

Un sistema, Wl−c (s), es estable en lazo cerrado, si el diagramade Nyquist con 0→ ω→∞ de Wl−a (jω) enlaza m

2 veces elpunto −1 + j0, donde m es el numero de polos de la funcion detransferencia en lazo abierto, o ganancia de lazo, Wl−a (s), situa-dos en el plano derecho, esto es, con Wl−a (s) inestable.

En otras palabras:

Si Wl−a (s) es inestable con m polos en el plano derecho, paraque Wl−c (s) sea estable Wl−a (jω) debe enlazar el punto−1 + j0, m

2 veces.

Ejemplo 6.8 .

Figura 6.18 Diagrama de Nyquist estable para Wl−a(s) inestable con m = 2

Si por ejemplo Wl−a (s) tiene dos polos, m = 2, en el plano derecho y Wl−a (jω) escomo se muestra en la Fig 6.18 el sistema en lazo cerrado Wl−c (s) es estable porqueel vector F (jω) gira m

2 (2π) = 2π radianes alrededor del punto −1 + j0.

Ejemplo 6.9 .

Supongase que se tiene la funcion de transferencia de un sistema inestable en lazoabierto:


Wl−a (s) =K

(T1s− 1) (1 + T2s)Se puede aplicar Routh y Hurwitz al denominador deWl−a (s) para determinar cuan-tas raıces hay en el plano complejo derecho. Es decir, para determinarm. En este casono es necesario ya que los polos de Wl−a (s) estan ubicados en s1 = 1

T1y s2 = − 1

T2.

Con T1 y T2 mayores que cero s1 esta ubicado en el plano complejo derecho. Entoncesm = 1, y el lugar geometrico de Nyquist o grafica de la funcion:

Wl−a (jω) =K

(jωT1 − 1) (1 + jωT2)debe enlazar el punto −1 + j0, 12 vez para ser estable. Es decir, el giro alrededor de−1 + j0 debe ser +π radianes.Considerese varios casos:a) K > 1 y T1 < T2.

Figura 6.19 Caso K > 1 y T1 < T2

Notese que:

Wl−a (j0) = −K < −1 con K > 1

Ademas:

argWl−a (jω) = − tan−1 ωT1−1 − tan−1 ωT2

= − ¡π − tan−1 ωT1¢− tan−1 ωT2Esto es:

argWl−a (jω) = −π + tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 < −π

porque con T1 < T2: (tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2) < 0Para ω →∞ :


Wl−a (jω)w→∞

→ 0

argWl−a (jω)ω→∞

= −π + π

2− π

2= −π

Ası, F (jω) gira −π rad. alrededor de −1 + j0, lo que indica inestabilidad. Entoncesel caso K > 1 y T1 < T2 es inestable en lazo cerrado.b) K < 1 y T1 > T2.

Figura 6.20 Caso K < 1 y T1 > T2

Notese que:

Wl−a (j0) = −K > −1 con K < 1

Ademas:

argWl−a (jω) = −π + tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 > −π

porque con T1 > T2: (tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2) > 0

Para ω →∞ :

Wl−a (jω) → 0


= −π

El giro neto de F (jω) es cero alrededor de −1 + j0. Ası, el caso K < 1, T1 > T2 esinestable.c) K > 1 y T1 > T2.


Figura 6.21 Caso K > 1 y T1 > T2

Notese que:

Wl−a (j0) = −K < 1 con K > 1

Ademas:

argWl−a (jω) = −π + tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 > −π

porque con T1 > T2: (tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2) > 0Para ω →∞ :

Wl−a (jω) → 0


= −π

Ası F (jω) gira +π radianes alrededor de −1+ j0. Entonces, el caso K > 1 y T1 > T2es estable en lazo cerrado.

Ejemplo 6.10 .

Figura 6.22 Posibles casos del Nyquist del ejemplo 6.10


Para el sistema (6.50):

Wl−a (s) =K

(T1s− 1) (1 + T2s) (1 + T3s) (6.50)

con K > 1 Wl−a (j0) = −K < −1Ademas:

con:

½tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 − tan−1 ωT3 > 0

para 0 < ω < ωπ

argWl−a (jω) = −π + tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 − tan−1 ωT3 > −πPara ω →∞ :

|Wl−a (jω)| → 0

y argWl−a (jω)ω→∞

= −π + π

2− π

2− π

2= −3π

2

Entonces Wl−a (jω) cruza 180 para terminar en −3π2 en ω =∞.Como m = 1, entonces F (jω) debe girar m2 (2π) = +π radianes alrededor de −1+ j0para que el sistema en lazo cerrado, Wl−c (s), sea estable. La curva II de la Fig 6.22gira −π, mientras que la I, +π.Ası, I es estable y Wl−a (jωπ) debe estar a la derecha de −1 + j0.Por lo tanto:

Wl−a (jωπ) > −1 o −Wl−a (jωπ) < 1

Como:

Wl−a (jω) =K

− [1 + ω2 (T1T2 + T1T3 − T2T3)] + jω [T1 − T2 − T3 − ω2T1T2T3]

ωπ se obtiene haciendo la parte imaginaria cero, esto es:

T1 − T2 − T3 − ω2πT1T2T3 = 0

de donde ωπ =

rT1 − T2 − T3T1T2T3

Ası:

−Wl−a (jωπ) =K

1 + ω2π (T1T2 + T1T3 − T2T3)=

K

1 + (T1−T2−T3)T1T2T3

(T1T2 + T1T3 − T2T3)< 1


Entonces, Wl−c (s) es estable si:

1 < K < 1 + (T1 − T2 − T3)µ1

T3+1

T2− 1

T1

¶Caso 3: Sistemas Integradores.

En este caso la funcion de transferencia en lazo abierto es:

Wl−a (s) =K (s)

sνD1 (s)(6.51)

donde ν es el numero de integradores.Supongase que D1 (s) no tiene raıces en el plano complejo derecho ni sobre el ejeimaginario.Considerese el caso ν = 1, un solo integrador. (6.51) puede ser escrita:

Wl−a (jω) =K (jω)

jωD1 (jω)=

k0 + k1 (jω) + · · ·+ kr (jω)r

jω³d0 + d1 (jω) + · · ·+ dn−1 (jω)n−1

´ (6.52)

Notese que de (6.52) Wl−a (jω)ω→0

→ ∞. Ası, para ω → 0, Wl−a (jω) → ∞, con unangulo de −π/2, y si ω→∞, Wl−a (jω)→ 0, como se muestra en la Fig 6.23a.

a) b)

Figura 6.23 Caso de un solo integrador

Ahora, si se desplaza el polo ubicado en el origen una pequena cantidad β hasta laposicion p0, como se muestra en la Fig 6.23b, se tendrıa una funcion de transferencia,con s = jω, de la forma:

Wl−a (jω) =K (jω)

(jω − p0)D1 (jω) (6.53)

En (6.53), cuando ω → 0, se tiene:

Wl−a (jω)ω→0

=k0βd0

= R (6.54)


y cuando β → 0, R→∞, con angulo de 0 radianes, si k0d0 > 0.O sea el fasor jω − p0, contribuye con −π/2 al angulo de K(jω)

(jω−p0)D1(jω).

Ası, para que el diagrama de Nyquist quede completo, debe cerrarse con un arco deradio infinito que gira −π/2, tal como se muestra en la Fig 6.23a. correspondiente ala lınea punteada. Este arco se denomina complemento en infinito.Si se tienen dos polos en el origen, ν = 2, cada uno contribuye con −π/2. O sea, queel complemento en infinito son 2/4 de cırculo, o −π radianes.Como, en el analisis, se considero que el polo en el origen esta desplazado una distanciainfinitesimal β a la izquierda, entonces se esta partiendo de la base de que todos lospolos de Wl−a (s) estan en el plano complejo izquierdo. Ası, se puede aplicar al casoWl−a (s) estable.Por eso, en la Fig 6.23a:El sistema I es estable, porque el punto −1 + j0 no es encerrado por el diagrama deNyquist.El II, es inestable porque −1 + j0 es encerrado por el lugar geometrico.Se pueden establecer, ası, las siguientes reglas:

a) Un sistema de control con integradores, estable en lazo abierto,mas bien marginalmente estable, es estable en lazo cerrado, si eldiagrama de Nyquist deWl−a (jω) con su complemento en infinitono encierra el punto −1 + j0.

b) Un sistema de control con integradores, inestable en lazoabierto, es estable en lazo cerrado, si el diagrama de Nyquistde Wl−a (jω), con su complemento en infinito, encierra el punto−1 + j0, m2 veces, donde m es el numero de polos de Wl−a (s) enel plano complejo derecho.

Figura 6.24

c) Si Wl−a (s) tiene polos, so-bre el eje imaginario, el com-plemento en infinito se hace con−π radianes, media circunferen-cia. Notese que al recorrer el ejeimaginario hay que rodear el polopor la derecha dando un giro adi-cional de +π radianes, Fig 6.24,lo cual corresponde a un giro de−π radianes, en Wl−a (jω).

Ejemplo 6.11 .

Sea el sistema:

Wl−a (jω) =K

s (1 + T1s) (1 + T2s)

entonces:


Wl−a (jω) =K

s (1 + jωT1) (1 + jωT2)

=K

−ω2 (T1 + T2) + jω (1− ω2T1T2)(6.55)

Ası:

|Wl−a (jω)| =K

ω

q1 + (ωT1)

2q1 + (ωT2)

2

argWl−a (jω) = −90 − tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 con K > 0

Para ω = 0:

|Wl−a (j0)| = ∞argWl−a (j0) = −π/2

Para ω =∞:

|Wl−a (j∞)| = 0

argWl−a (j∞) = −3π/2

El diagrama de Nyquist correspondiente, con su complemento en infinito, se muestraen la Fig 6.25.

Figura 6.25 Diagrama de Nyquist del ejemplo 6.11

Con T1 y T2 mayores que cero Wl−a (s) no tiene polos en el plano complejo derecho,m = 0. Para estabilidad, el diagrama de Nyquist no debe enlazar el punto −1 + j0.El cruce con el eje de 180 debe estar a la derecha de este punto. Ası la curva I de laFig 6.25 es estable.


Los cortes con el eje real se pueden obtener haciendo la parte imaginaria deWl−a (jω)cero en (6.55), esto es:

ω¡1− ω2T1T2

¢= 0

lo que da ω =

½01√T1T2

Ası la frecuencia de cruce por π radianes, ωπ es:

ω = ωπ =1√T1T2

y:

Wl−a (jωπ) = − K

ω2π (T1 + T2)= − KT1T2

T1 + T2

Para estabilidad:

Wl−a (ωπ) > 1 o −Wl−a (ωπ) < 1

lo que da:

KT1T2T1 + T2

< 1 o K <

µ1

T1+1

T2

¶con T1 = 0.1 y T2 = 0.2 : 0 < K < 15.

Ejemplo 6.12 .

a) b)

Figura 6.26 Polos sobre el eje imaginario

Considerese:


Wl−a (s) =K

(s2 + 1) (1 + T1s)

con Wl−a (jω) =K

(1− ω2) (1 + jωT1)

Notese que cuando ω→ 1, Wl−a (jω)→∞. Si K > 0, Fig 6.26a:

argWl−a (jω) =½ − tan−1 ωT1 para 0 ≤ ω < 1−π − tan−1 ωT1 para ω > 1

Entonces Wl−a →∞, cuando ω → 1, con un angulo − tan−1 1×T1. LuegoWl−a (jω)gira −π radianes, complemento en infinito, y el angulo sera −π − tan−1 ωT1, termi-nando en −3π2 en ω = ∞. Como m = 0 el diagrama de Nyquist no debe enlazar elpunto −1 + j0. Ası, el diagrama de la Fig 6.26a es inestable.Si K < 0 :

argWl−a (jω) =½ −π − tan−1 ωT1 para 0 ≤ ω < 1−2π − tan−1 ωT1 para ω > 1

Cuando ω → 1, Wl−a → ∞, con angulo −π − tan−1 1 × T1. Luego el diagrama gira−π radianes, complemento en infinito, como se muestra en la Fig 6.26b, y el angulosera −2π − tan−1 ωT1.De los diagramas de la Fig 6.26b, I es estable porque no encierra el punto −1 + j0.Para este diagrama K > −1. Asi K no puede ser positivo ni inferior a cero.La condicion de estabilidad es, entonces −1 < K < 0.

6.6.4 Regla de las transiciones

Figura 6.27 Regla de las transiciones

Con referencia a la Fig 6.27, en general, si se consideran las transiciones sobre el ejereal, para el intervalo (−∞,−1), positivas del plano superior al inferior, cuando ω

6.6 Estabilidad segun el diagrama de Bode 233

aumenta, y negativas del plano inferior al superior, tambien cuando ω aumenta, elsistema es estable si la suma algebraica del numero de transiciones es igual a m

2 , dondem es el numero de polos de la funcion de transferencia en lazo abierto Wl−a (s), en elplano complejo derecho.Supongase m = 2, para la Fig 6.27. El numero de transiciones a la izquierda de−1 + j0 es 2− 1 = 1 y m

2 = 1, luego el sistema en lazo cerrado Wl−c (s), es estable.Notese que el giro neto alrededor de −1+j0 es 2π = m

2 (2π) conm = 2, lo que verificael resultado, en este caso particular.Si el diagrama arranca a la izquierda de −1+j0, se considera −12 transicion si lo hacehacia arriba, y +1

2 transicion si lo hace hacia abajo.Ademas, debe tenerse en cuenta las transiciones del complemento en infinito si estetoca la region (−∞,−1).Ejercicio

Por el metodo de las transiciones determinar la estabilidad de Wl−c (s) para:

Wl−a (s) =K (1 + T1s)

s (T2s− 1)con:

T1, T2 > 0 y K > 0

6.6.5 Estabilidad segun el diagrama de Bode

a) Diagrama de Bode b) Curva de Nyquist correspondiente

Figura 6.28 Regla de las transiciones para el diagrama de Bode

Ya que cuando |Wl−a (jω)| > 1, |Wl−a (jω)|dB = 20 log |Wl−a (jω)| > 0, el intervalo(−∞,−1) esta asociado con valores positivos de |Wl−a|dB. La lınea −π en el diagramade Nyquist esta asociada, en el Bode, con los angulos −π, −3π, 5π, · · ·. Ası, elintervalo (−∞,−1) corresponde a |Wl−a (jω)|dB > 0 y ϕ (ω) = argWl−a (jω) = −π,−3π, −5π, · · ·.De esta manera, el criterio de Nyquist aplicado al diagrama de Bode puede ser for-mulado:


Un sistema de control, en lazo cerrado, es estable si la sumaalgebraica del numero de transiciones positivas y negativas dela curva de fase de Wl−a (jω), ϕ (ω) con las lıneas −π, −3π,−5π, · · ·, cuando la curva de amplitud en decibelios |Wl−a (jω)|dBdel sistema en lazo abierto es positiva, |Wl−a (jω)|dB > 0 o|Wl−a (jω)| > 1, es igual a m

2 , donde m es el numero de polosde Wl−a (s) en el plano complejo derecho. Las transiciones son(+) positivas cuando ϕ (ω) aumenta positivamente. Negativas enel caso contrario.

CAPITULO 7

SINTESIS EN EL DOMINIO DE

LA FRECUENCIA

7.1 Especificaciones en el dominio frecuencial

1) Ancho de Banda: AB.

Con:

M (jω) =C (jω)

R (jω)=

Wl−a (jω)1 +Wl−a (jω)

=M (ω) ejφm(ω) (7.1)

Se define el ancho de banda, AB, como la frecuencia a la cual |M (jω)| vale el 70.7%del nivel a frecuencia cero o 3dB por debajo del nivel de frecuencia nula, como semuestra en la Fig 7.1.

Figura 7.1 Ancho de banda

235

236 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Notese que AB indica las caracterısticas de filtraje de ruido del sistema y da tambienuna medida de las propiedades de la respuesta transitoria. Si AB es grande, las senalesde alta frecuencia pasan a la salida, es decir, la respuesta transitoria tiene un tiempode subida, o de levante, rapido. Por el contrario, si AB es pequena, solo pasaran lassenales de baja frecuencia y, por consiguiente, la respuesta temporal sera lenta.

2) Factor de pico o de resonancia: Mv.

Es el valor maximo de |M (jω)|. Es un indicativo de la estabilidad relativa del sistema.Posteriormente se vera que a valores altos de Mv corresponden amplios sobrepasosen la respuesta temporal. Normalmente se admite que 1.1 < Mv < 1.5, para buenosresultados.

3) Frecuencia de resonancia: ωv.

Es la frecuencia para la cual se produce el pico de resonancia.Otros factores importantes en la medida de la estabilidad relativa de un sistema decontrol son el margen de amplitud y el margen de fase. Estos conceptos se veran masadelante.

7.2 Correlacion entre respuestas transitoria y

frecuencial para un sistema de segundo orden

Figura 7.2 Sistema de segundo orden

Para el sistema de la Fig 7.2:

C (s)

R (s)=


Con s = jω se tiene:

C (jω)

R (jω)=

1³1− ω2

ω2n

´+ j2ζ ω

ωn

=M (ω) ejϕ(ω) (7.2)

donde:

7.2 Correlacion entre respuestas transitoria y frecuencial para un sistema de segundo orden 237

M (ω) =1r³

1− ω2

ω2n

´2+³2ζ ω

ωn

´2 (7.3)

ϕ (ω) = − tan−1Ã2ζ ω

ωn

1− ω2

ω2n

!(7.4)

El pico de resonancia es el valor maximo deM (ω), que se puede calcular minimizandosu denominador. Esto es, M (ω) es maximo si (7.5) es mınimo:

D2 (ω) =

µ1− ω2

ω2n

¶2+

µ2ζ

ω

ωn

¶2(7.5)

Derivando (7.5):

dD2 (ω)

dω

¯ω=ωv

= 2

µ1− ω2

ω2n

¶µ−2ωω2n

¶+ 2

µ2ζ

ω

ωn

¶µ2ζ

ωn

¶¯ω=ωv

= −µ1− ω2v

ω2n

¶+ 2ζ2 = 0

de donde:

ωv = ωnp1− 2ζ2 (7.6)

Observe que ωv existe si 1− 2ζ2 > 0, esto es, si: ζ < 1√2= 0.707. Cuando ζ > 0.707

no hay resonancia y M (ω) < 1, como se muestra en la Fig 7.3.

Figura 7.3 Respuesta frecuencial de un sistema de segundo orden

Con (7.6) en (7.3):

Mv =1q

(2ζ2)2 + 4ζ2 (1− 2ζ2)=

1

2ζp1− ζ2

(7.7)

La Fig 7.4 muestra la correlacion existente entre el pico de resonanciaMv y el maximosobrepaso Mp.


Figura 7.4 correlacion entre Mv y Mp.

Observese que Mp y Mv estan relacionados. Si Mv aumenta, tambien lo hace Mp.Recuerdese que si ζ aumenta, Mp disminuye y el transitorio se suaviza. Lo mismo sepuede decir del factor o pico de resonancia Mv.

7.3 Estabilidad relativa

Evidentemente del diagrama de Nyquist se logra una buena idea de margen de esta-bilidad de un sistema. Es decir:

1) ¿ Si el sistema es estable, en que grado lo es ?

2) ¿ Y si no es suficientemente estable, o es inestable, como puede mejorarse lacondicion de estabilidad del sistema ?

La primera pregunta es un problema de analisis, mientras que la segunda es un pro-blema de diseno, sıntesis o proyecto.La Fig 7.5 muestra el concepto de estabilidad relativa de un sistema en lazo cerradoWl−c (s) mediante los lugares de Nyquist de Wl−a (jω) para un sistema de tercerorden, con cuatro valores distintos de la ganancia K, suponiendo Wl−a (s) estable.El lugar Wl−a (jω) en la Fig 7.5a enlaza el punto −1 + j0 por lo cual Wl−a (s) esinestable y la respuesta a un escalon unitario crece con el tiempo. En la Fig 7.5b,Wl−a (jω) pasa por el punto crıtico −1+ j0 y el sistema esta entre la estabilidad y lainestabilidad, por lo tanto la respuesta a un escalon unitario es una oscilacion senoidalsostenida. Los lugares Wl−a (jω) en las figuras 7.5c y d no enlazan el punto crıtico.Sin embargo, el lugar Wl−a (jω) de la Fig 7.5c pasa mas proximo al punto crıtico, ypor consiguiente, la respuesta del sistema a un escalon unitario sera mas oscilante ycon un sobrepaso mas pronunciado que el mostrado en la Fig 7.5d, correspondiente aun lugar de Nyquist mas alejado de −1 + j0.

7.4 Margen de amplitud y margen de fase 239

a)

b)

c)

d)

Figura 7.5 Grados de estabilidad de un sistema

Cuantitativamente, la distancia entre el lugar Wl−a (jω) y el punto −1 + j0 da unamedida de la estabilidad relativa del sistema en lazo cerrado.Mas especıficamente, el margen de amplitud y el marge de fase se utilizan general-mente para determinar el grado de estabilidad relativa de un sistema de control.

7.4 Margen de amplitud y margen de fase


figura 7.6 Margen de amplitud y margen de fase

7.4.1 Margen de amplitud

Es una medida de la proximidad del punto de fase crıtica al punto crıtico, punto Ben la Fig 7.6. Con ω = ωcp la frecuencia en el punto de fase crıtica:

α = |Wl−a (jωcp)|

y el margen de amplitud en dB del sistema se define como:

Margen de amplitud en dB = 20 log1

α= 20 log

1

|Wl−a (jωcp)| (7.8)

Observese en la Fig 7.6 que si la ganancia en lazo abierto se aumenta hasta que|Wl−a (jωcp)| = 1 el margen de amplitud vale 0 dB. Por otro lado, para un sistemade segundo orden el lugar Wl−a (jω) no corta el eje real negativo, y por lo tanto|Wl−a (jωcp)| = 0 y entonces el margen de amplitud es infinito, en decibelios, comose muestra en la Fig 7.7.La interpretacion fısica del margen de amplitud es la siguiente:El margen de amplitud es la ganancia en decibelios que se puede anadir a la cadenaen lazo abierto antes de que el sistema alcance la inestabilidad. Si Wl−a (jω) pasapor el punto −1+ j0 el margen de amplitud vale 0 dB lo que implica que la gananciade la cadena ya no puede aumentarse sin provocar la inestabilidad.

7.4 Margen de amplitud 241

Figura 7.7 Lugar de Nyquist de un sistema de segundo orden

Para un sistema de segundo orden, el corte con el eje negativo |Wl−a (jωcp)| es cero yel margen de amplitud es infinito; es decir que, teoricamente, el valor de la ganancia dela cadena puede aumentarse hasta infinito antes de que se produzca la inestabilidad.Cuando el lugar Wl−a (jω) enlaza el punto crıtico, |Wl−a (jωcp)| > 1 y el margen deamplitud en dB se hace negativo. Un margen de amplitud negativo corresponde aun sistema inestable siempre y cuando Wl−a (s) sea estable. Ya que si Wl−a (s) esinestable, con m polos en el plano derecho, Wl−a (jω)

0→ω→∞debe enlazar m2 veces el punto

crıtico para que Wl−c (s) sea estable.En general, el margen de amplitud es una de las varias formas esenciales empleadaspara indicar la estabilidad relativa de un sistema.Teoricamente, un sistema con un amplio margen de amplitud debe ser mas estableque otro con un margen de amplitud menor. Sin embargo, esta afirmacion no siemprees cierta.En la practica, el margen de amplitud por si solo no da indicacion suficiente de laestabilidad relativa del sistema. Por ejemplo, los dos lugares Wl−a (jω) de la Fig 7.8tienen el mismo margen de amplitud, infinito.

Figura 7.8 Lugares de Nyquist de dos sistemas con igual margen de amplitud perocon distinta estabilidad relativa


Sin embargo, el lugar A corresponde a un sistema mas estable que el lugar B ya quecon cualquier pequeno cambio en algun parametro del sistema, es posible que el lugarB pase por el punto −1 + j0 o lo enlace.

Figura 7.9 Lugares de Nyquist de dos sistemas con igual margen de amplitud perocon diferente grado de estabilidad relativa

Los dos lugaresWl−a (jω) de la Fig 7.9 tienen tambien el mismo margen de amplitud,pero el sistema correspondiente a la curva A representa ciertamente un sistema masestable.Para definir adecuadamente la estabilidad relativa de un sistema, se utiliza el margende fase para diferenciar el grado de estabilidad de casos como los de las figuras 7.8 y7.9.

7.4.2 Margen de fase

Figura 7.10 Margen de fase

7.4 Margen de amplitud y margen de fase en el lugar de Bode 243

El margen de fase mide la proximidad del punto de ganancia crıtica al punto crıtico.Se define como el angulo que debe girarse el lugar de Nyquist de Wl−a (jω) para queel punto |Wl−a (jωcg)| = 1 del lugar pase por el punto crıtico −1 + j0.La Fig 7.10 muestra que el margen de fase es el angulo que el radio vector unidadforma con el eje real negativo en el plano Wl−a (jω).Entonces:

Margen de fase, M.F. = γ = α− 180 = argWl−a (jωcg)− 180 = 180 + θ (7.9)

donde ωcg es la frecuencia de la ganancia crıtica. Algunos valores recomendables dediseno son: M.A. = 12dB, M.F.= 60.

Ejercicio.

Dado:

Wl−a (s) =K

(1 + s) (1 + 2s) (1 + 3s)

a) Dibuje el lugar de Nyquist de Wl−a (jω) y determine los lımites de K para que elsistema en lazo cerrado Wl−c (s) sea estable.b) Suponga K = 5. Determine la frecuencia correspondiente al punto de fase crıticaωcp y el margen de amplitud en dB y el margen de fase.c) Hallar el valor de K para que el margen de amplitud del sistema sea igual a 20 dB.

7.4.3 Margen de amplitud y margen de fase en el lugar de Bode

Con Wl−a (s) el procedimiento para obtener el margen de amplitud y el margen defase a partir del lugar de Bode, Fig 7.11, es el siguiente:

1) Construir el lugar de Bode de |Wl−a(jω)|K y de argWl−a (jω) en funcion de ω.

2) Para obtener el margen de amplitud, se determina en primer lugar el punto enque argWl−a (jω) corta el eje de −180, punto de fase crıtica. El margen de amplitudpara K = 1 es el valor que toma la curva de amplitud |Wl−a(jω)|

K en dB, en el puntode fase crıtica, Fig 7.11.

Para cualquier otro valor de K el margen de ampitud es simplemente el margen deamplitud para K = 1 menos el valor de K en dB, 20 logK.Si la curva de fase no corta nunca el eje de −180 permaneciendo por encima, elsistema es siempre estable; por ejemplo, en un sistema de segundo orden la fasetiende a −180 asintoticamente cuando ω →∞.3) Para obtener el margen de fase, se determina en primer lugar el punto en que la

curva |Wl−a(jω)|K en dB corta al eje de 0 dB, es decir, el punto de ganancia crıtica.

El angulo entre la curva de fase en el punto de ganancia crıtica, argWl−a (jωcg) yel eje de −180 es el margen de fase para K = 1 . Para cualquier otro valor de K,el margen de fase se obtiene desplazando el eje de 0 dB a −K en dB y siguiendo elprocedimiento que se acaba de indicar.


Figura 7.11 Margenes de fase y de amplitud en el diagrama de Bode

Ejercicios.

1) La configuracion de polos y ceros de una funcion de transferencia en lazo cerradoWl−c (s) viene dada en la Fig P7.1a.

a) b)

Figura P7.1

a) Calcular la banda pasante del sistema, o ancho de banda, AB.b) Se anade un cero como indica la Fig P7.1b. ¿ Como queda modificada la AB ?c) Se anade a la configuracion de la Fig P7.1b un polo sobre el eje real negativo, peroa una distancia del origen 10 veces mayor que la del cero.

7.4 Margen de amplitud y margen de fase en el lugar de Bode 245

¿ Como queda afectado el AB?2) La especificacion dada para un servosistema de segundo orden es que el sobrepasomaximo de la respuesta a un escalon unitario no exceda del 25%.¿ Cuales son los valores lımites correspondientes del coeficiente de amortiguamientoy del factor de resonancia Mv ?3) La funcion de transferencia en lazo cerrado de un servosistema es:

Wl−c (s) =C (s)

R (s)=

1

(1 + 0.01s) (1 + 0.05s+ 0.01s2)

a) Trazar la curva de respuesta en frecuencia del sistema en lazo cerrado.b) Determinar el factor de resonanciaMv y la frecuencia de resonancia ωv del sistema.c) Determinar el coeficiente de amortiguamiento ζ y la frecuencia propia no amor-tiguada ωn del sistema de segundo orden que produce el mismo Mv y la misma ωvque el sistema original.4) La funcion de transferencia en lazo abierto de un servosistema con realimentacionunitaria es:

Wl−a (s) =K (1 + Ts)

s (1 + s) (1 + 0.01s)

Determinar el menor valor posible de T para que el sistema tenga un margen deamplitud infinito.5) La funcion de transferencia en lazo abierto de un servosistema con realimentacionunitaria es:

Wl−a (s) =K

s (1 + 0.1s) (1 + s)

a) Determinar el valor de K para que el factor de resonanciaMv del sistema sea iguala 1.4.b) Determinar el valor de K para que el margen de amplitud del sistema sea de 20dB.c) Determinar el valor de K para que el margen de fase del sistema sea de 60.6) Use el criterio de estabilidad de Nyquist para determinar si los sistemas con lassiguientes funciones de transferencia de lazo abierto son estables:

a) Wl−a (s) =10

(1 + s) (1 + 2s) (1 + 3s)

b) Wl−a (s) =10

s (1 + s) (1 + 10s)

c) Wl−a (s) =10

s2 (1 + 0.1s) (1 + 0.2s)

d) Wl−a (s) =2

s2 (1 + 0.1s) (1 + 10s)


7)

Figura P7.2

Determine la estabilidad de los sistemas cuyos lugares geometricos de Wl−a (jω) semuestran en las figuras P7.2a, b y c. Suponga que Wl−a (s) no tiene polos en elsemiplano derecho.8) Para un sistema de segundo orden:

Wl−a (s) =16

s (2 + s)

a) Grafique el diagrama de Bode.b) Determine Mv y ωv.9) Repita el problema 8 cuando:

a) Wl−a (s) =60 (1 + 0.5s)

s (1 + 5s)

b) Wl−a (s) =60 (1 + s)

s2 (1 + 0.1s)

10) Dado.

Wl−a (s) =as+ 1

s2

hallar a tal que el margen de fase sea 45.11) Trazar los diagramas polares de:

Wl−a (s) =K (Tas+ 1) (Tbs+ 1)

s2 (T1s+ 1)

para los dos casos siguientes:

a) Ta > T1 > 0, Tb > T1 > 0

b) T1 > Ta > 0, T1 > Tb > 0

7.5 Compensador de adelanto de fase 247

12)

Figura P7.3

Determine el valor crıtico de Kh respecto a la estabilidad del sistema de lazo cerradode la Fig P7.3. Recuerde que Wl−a (s) = G (s)H (s) .13)

Figura P7.4

Sea el sistema que se muestra en la Fig P7.4. Hallar el valor crıtico de K respecto aestabilidad, utilizando el criterio de Nyquist.

7.5 Tecnicas de compensacion

Se refiere al uso de redes de adelanto, atraso y adelanto-atraso combinadas para refor-mar la respuesta frecuencial de lazo abierto, Wl−a (jω), a fin de conseguir estabilidadrelativa aceptable y error disminuido.

7.5.1 Compensador de adelanto de fase

Considerese el circuito de la Fig 7.12. Para este circuito:

V(+) =R2V1

R2 +¡R1//

1Cs

¢ = R2V1

R2 +R1

1Cs

R1+1Cs

(7.10)

V(−) =R3

R3 +R4V2 (7.11)

Como V(+) ' V(−) :R2V1

R2 +R1

1+R1Cs

=R3

R3 +R4V2


Figura 7.12 Compensador de adelanto de fase

de donde:

V2V1= Gc (s) =

R3 +R4R3

· R2(R1 +R2)

· (1 +R1Cs)³1 + R2

R1+R2R1Cs

´ (7.12)

Llamando:

Av0 =R3 +R4R3

α =R2

R1 +R2< 1

T1 = R1C

T2 = αR1C < T1

ω1 =1

T1

ω2 =1

T2> ω1

α =T2T1=

ω1ω2

(7.12) se puede expresar:

Gc (s) = Av0 α1 + T1s

1 + T2s= Av0 α

1 + sω1

1 + sω1

(7.13)

Con s = (jω) :

Gc (jω) = Av0 α1 + j ω

ω1

1 + j ωω2

(7.14)

y la fase de Gc (jω) es:

ϕc (jω) = tan−1 ω

ω1− tan−1 ω

ω2> 0 (7.15)

porque con ω1 < ω2:

ω

ω1>

ω

ω2

7.5 Compensador de adelanto de fase 249

Entonces es un circuito que puesto en cascada con una planta puede servir paraadelantar fase y mejorar la estabilidad relativa.Notese tambien que:

Gc (jω) = Av0 α

³1 + j ω

ω1

´³1− j ω

ω2

´1 +

³ωω2

´2 =1 + ω2

ω1ω2+ j

³ωω1− ω

ω2

´1 +

³ωω2

´2de donde:

tanϕc (ω) =

³ωω1− ω

ω2

´1 + ω2

ω1ω2

(7.16)

Figura 7.13 Diagrama de Bode del compensador de adelanto de fase

Para obtener el maximo adelanto de fase ϕcm se deriva (7.16):

d tanϕc (ω)

dω

¯ω=ωm

=d

dω

³1ω1− 1

ω2

´ω

1 + ω2

ω1ω2

ω=ωm

=

µ1

ω1− 1

ω2

¶ h1 + ω2

ω1ω2

i− ω

h2ωω1ω2

ih1 + ω2

ω1ω2

i2¯¯ω=ωm

= 0


O sea:

1 +ω2mω1ω2

− 2 ω2mω1ω2

= 0

de donde:

ωm =√ω1ω2 (7.17)

El maximo adelanto de fase ocurre en el medio geometrico de las dos frecuencias dequiebre ω1 y ω2. El diagrama de Bode se muestra en la Fig 7.13.Con (7.17) en (7.16):

tanϕcm =

³ωmω1− ωm

ω2

´1 + ω2m

ω1ω2

=

³√ω1ω2ω1−√ω1ω2ω2

´1 + ω1ω2

ω1ω2

=1− α

2√α

(7.18)

sinϕcm =(1− α)q

(1− α)2 + (2√α)2=

1− α√1− 2α+ α2 + 4α

=1− α

1 + α(7.19)

Tambien:

α =1− sinϕcm1 + sinϕcm

(7.20)


|Gc (jω)|ω=ωm = Av0 α

vuuuut1 +³ωmω1

´21 +

³ωmω2

´2 = Av0 αs1 + ω2

ω1

1 + ω1ω2

= Av0 α

rω2ω1=Av0 α√

α

Entonces:

|Gc (jω)|ω=ωm dB = 20 log (Av0 α) + 20 log1√α

(7.21)

como se muestra en la Fig 7.13.

7.5.2 Errores

Al disenar un compensador no solo se busca mejorar la estabilidad relativa, sinotambien, disminuir el error, en lo posible. El compensador de adelanto al mejorar laestabilidad permite aumentar la ganancia del sistema en lazo abierto lo cual disminuyeel error. Para mejorar aun mas el sistema, en lo que respecta al error, se puede utilizarun compensador de atraso de fase, como se vera posteriormente.Considerese, por ejemplo, el sistema mostrado en la Fig 7.14:

7.5 Tipo Uno 251

Figura 7.14 Sistema en lazo cerrado

donde E es la senal de error E = R−C, la cual es:

E (s) =1

1 +Wl−a (s)R (s) (7.22)

El error estatico se define por:


s→0 sE (s) = lims→0

sR (s)

1 +Wl−a (s)(7.23)

Dependiendo de cuantos integradores tenga una planta se puede hacer una clasifi-cacion por tipos de integracion:

7.5.2.1 Tipo Cero

Una planta tipo cero es aquella que no tiene integradores, por ejemplo:

Wl−a (s) =Kp

rQ1(1 + Tis)

nQ1(1 + Tjs)

(7.24)

Se puede analizar el error estatico para diferentes senales de entrada:a) Escalon. Si R (s) = R0

s , el error estatico es:

ess = lims→0

sR0s1 +Wl−a (s)

=R0

1 +Kp

y ess% =essR0

· 100 = 1

1 +Kp· 100% (7.25)

Ası el error disminuye con la ganancia del sistema en lazo abierto Kp. A mayorganancia menor error.b) Rampa. Si R es una rampa: r (t) = R1t, entonces R (s) =

R1s2

ess = lims→0

s · R1s21 +Wl−a (s)

=∞

Ası, un sistema tipo cero tiene error finito para entrada escalon, pero infinito pararampa, parabola, etc.

7.5.2.2 Tipo Uno

Una planta tipo uno tiene un integrador. Por ejemplo:


Wl−a (s) =Kv

rQ1(1 + Tis)

snQ1(1 + Tjs)

(7.26)

Los errores estaticos para diferentes senales de entrada son:a) Escalon. Con R (s) = R0

s :

ess = lims→0

sR0s1 +Wl−a (s)

= 0

b) Rampa. R (s) = R1s2 :

ess = lims→0

s · R1s21 +Wl−a (s)

=R1Kv

ess% =1

Kv· 100%

c) Parabola. Si R es una parabola: r (t) = R22 t

2, entonces R (s) = R2s3 .

En este caso: ess =∞Ası, un sistema tipo uno sigue un escalon con error cero, una rampa con error finito,pero no sigue una parabola, cubica, etc.Analizando sistemas de tipo mayor, dos integradores o mas, se puede elaborar lasiguiente tabla:

Tipo

ErrorSenal→ Escalon R0 Rampa Rit Parabola R2

2 t2 Cubica R3

3! t3

0 R01+Kp

∞ ∞ ∞1 0 R1

Kv∞ ∞

2 0 0 R1Ka

∞3 0 0 0 R3

Kc

Tabla 7.1 Errores estaticos segun el tipo y la senal de entrada

Kp, Kv, Ka y Kc son las ganancias de las plantas, que de acuerdo al tipo de la plantareciben diferentes nombres:

Kp : constante de error de posicion.

Kv : constante de error de velocidad.

Ka : constante de error de aceleracion.

Kc : constante de error de veloaceleracion.

Para todos los casos de error finito puede notarse que el error es tanto menor cuantomayor sea la ganancia de la planta.

7.5 Compensacion con adelantor de fase 253

7.5.2.3 Compensacion con adelantor de fase

Diferentes metodologıas se han planteado para el diseno o sıntesis del compensadorde adelanto.

Procedimiento 1:

1. Determinar la ganancia en lazo abierto para la especificacion de error dada.2. Usando la ganancia K ası determinada, evaluar el margen de fase del sistema nocompensado.3. Calcular el adelanto de fase ϕc requerido para obtener el margen de fase deseadomas aproximadamente 5. Se le anaden unos 5 ya que la frecuencia del cruce cambiaal insertar el compensador.4. Determinar α de:

α =1− sinϕcm1 + sinϕcm

con ϕcm ≤ 60

ϕcm ≤ 60 para que ω1 y ω2 no queden excesivamente separadas.5. Suponer Av0 =

1α , entonces Av0 · α = 1. Ası, el aumento de ganancia en ω = ωm

sera 20 log 1√α. Para que ωm = ωcgn, la nueva frecuencia de cruce, sera necesario bus-

car un punto de |Wl−a (jω)| tal que |Wl−a (jω)|dB = 20 log |Wl−a (jω)| = −20 log 1√α.

Entonces seleccionese ω = ωcgn la frecuencia para la cual |Wl−a (jω)|dB = −20 log 1√α.

Esta nueva frecuencia sera tambien ωm = ωcgn.6. Calcular las frecuencias de quiebre del compensador:

ωm =√ω1ω2 =

qαω22 =

rω21α=√αω2 =

ω1√α

de donde:

ω1 =√αωm

ω2 =ωm√α

7. Evaluar el margen de fase del sistema con el compensador y chequear la gananciaen ωcgn que debe ser 1,o cero dB.Chequear el margen de ganancia |Wl−a|dB compensado = −MG donde este calculo sehace cuando ϕ compensado = −180.ϕ compensado = ϕ no ompensado + ϕc en ω = ωcp donde ϕ compensado = −180.8. Calcular T1 =

1ω1, T2 =

1ω2y los parametros del circuito de las formulas para T1 y

T2 en terminos de R1, R2 y C. Algunos parametros se pueden escoger libremente.

Procedimiento 2:

Este opera en forma un poco inversa al anterior.1. Seleccionar una frecuencia ωcgn tal que el adelanto de fase exigido al compensadorϕcm no sobrepase 60. A fin de satisfacer el requerimiento de margen de fase en elsistema compensado:

γ = 180 + ϕNC + ϕcm| en ω=ωcgn


donde ϕNC es la fase del sistema no compensado en ω = ωcgn, la nueva frecuencia decruce.2. Calcular α = 1−sinϕcm

1+sinϕcm. Calcular el compensador.

3. Calcular la ganancia en dB del sistema no compensado en ωcgn:

|Wl−a (jω)|dB = 20 log |Wl−a (jω)|ω=ωcgnLa ganancia del compensador en ωcg = ωm es:

|Gc (jω)|ω=ωm = Av0α√α= Av0

√α

Para que el sistema compensado cruce por cero dB en ωcg = ωm es necesario entoncesque:

20 log¡Av0√α¢= − |Wl−a (jω)|ω=ωcgn dB

o tambien:

20 logAv0 = 20 log1√α− |Wl−a (jω)|ω=ωcgn dB

4. Calcular el error estatico del sistema con el compensador incluıdo. Si excede laespecificacion, el diseno es correcto. Si no, procedase a intercalar ademas un compen-sador de atraso para mejorar las condiciones de error.5. Verificar el margen de fase y la ganancia en ωcgn. Calcular el margen de gananciaMG = − |Wl−a (jω)|ω=ωcf dB donde ωcf es la frecuencia a la cual:

ϕcompensado = ϕno compensado + ϕc = −180

Ejemplo 7.1 .

Para el sistema de la Fig 7.15:se especifica Kv = 20, γ = 50

y MG = 10dB, por lo menos. Notese que:

Wl−a (s) =4K

s (s+ 2)=

2K

s¡s2 + 1

¢ = Kv

s¡s2 + 1

¢ = 20

s¡1 + s

2

¢


Ası K = 10. La Fig 7.16 muestra el diagrama de Bode para este sistema.


Figura 7.16 Bode de Wl−a(jω) del ejemplo 7.1

Procedimiento 1

El Bode de amplitud es:

|Wl−a| dB = 20 log20

ωq1 +

¡ω2

¢2= 20 log 20− 20 logω − 20 log

r1 +

³ω2

´2Para bajas frecuencias:

|Wl−a| dB ≈ 20 log 20− 20 logω = 26− 20 logωo sea:

Y1dB = 26− 20 logωY1dB = 0 en ω = 20

La primera frecuencia de quiebre es 2, para el termino 11+ s

2.

A partir de ω = 2 el Bode cae con −40 dBdec. : −20 dBdec. del termino 1s y −20 dBdec.del

termino 11+ s

2. Esto es Y2dB = Y20 − 40 logω.

En ω = 2 : Y2dB = 20


por lo tanto: Y20 = 20 + 40 log 2 = 32dB

Ası: Y2dB = 32− 40 logωY2dB = 0 cuando 32− 40 logω = 0. Esto es para:

ω = 1032/40 = 6.3 rad/seg

La fase del sistema no compensado es:

ϕ (ω) = −90 − tan−1 ω2

En ω = 6.3, ϕ (6.3) = −90 − tan−1 6.32= −162.4

Ası, γv = 180− 162.4 = 17.6, que es el margen de fase no compensado. El margen

de fase pedido es γn = 50, entonces:

ϕc = 50 − 17.6 + 5 = 37.4 = ϕcm = ϕm

de donde: α =1− sinϕm1 + sinϕm

=1− sin 37.41 + sin 37.4

= 0.244

Se puede seleccionar ωcgn de la siguiente manera: se calcula

|Wl−a| dB = −20 log 1√α= −20 log 1√

0.244= −6.13dB

y se busca un ω tal que |Wl−a| dB = −6.13dB. Ya que:

Y2dB = −40 logω + 32 = −6.13entonces ωcgn = 8.98 = ωm

Ası:

ω1 =√αωm = 4.44rad/seg y ω2 =

ωmα= 18.18rad/seg

El compensador con Av0 =1α es:

Gc (s) =1 + s

4.44

1 + s18.18

Chequeo

Con compensador:

ϕcomp = −90 − tan−1 ω2+ tan−1

ω

4.44− tan−1 ω

18.18

En ω = 8.98:


ϕcomp = −130γn = 180 − 130 = 50

|Wl−a|dB = 20 log

q1 +

¡ω4.44

¢2q1 +

¡ω

18.18

¢2 · 20

ωq1 +

¡ω2

¢2ω=8.98

= −0.18dB

|Wl−a|dB deberıa ser cero. Esto indica que ωcgn esta un poco a la izquierda de 8.98.Podrıa reajustarse Av0 de tal manera que compense los −0.18dB. Como Av0 α = 1para el diseno se puede escoger Av0 α =

¡0.1820

¢= 1.02 en lugar de 1 y en este caso:

Av0 =1.02

α= 4.18

Calculo de los parametros

De T1 = R1C =1ω1, R1 =

14.44C , y con C = 1µf , arbitrario, entonces R1 = 225KΩ.

Con α = R2R1+R2

= 0.244, y R1 = 225KΩ, entonces R2 = 73KΩ.

Con Av0 =R3+R4R3

= 4.18 y con R3 = 10KΩ, arbitrario, se obtiene R4 = 32KΩ.

Margen de ganancia

Se busca ωcf esto es cuando ϕcomp = −180.Pero note que el sistema no compensado tenıa ϕ = −90 − tan−1 ω

2 > −180Como el compensador adelanta fase, entonces ϕcomp > −180 para toda frecuenciaexcepto en ωcf = ∞. La fase del compensador en ∞ es ϕc (∞) = 0 y ϕcomp (∞) =−90 − 90 = −180. O sea ωcf = ∞. Pero en ∞, |Wl−a|comp dB = −∞. Ası,MG = − |Wl−a|comp dB =∞, lo que excede la especificacion.Procedimiento 2

Como ϕ = −90−tan−1 ω2 , si se selecciona ω = ωcgn = 10, entonces ϕ (10) = −168.7.

Para γn = 50 la fase del sistema compensado debe ser ϕcomp = −180+50 = −130.

Ası, el compensador debe suministrar ϕc = 168.7 − 130 = 38.7 < 60. Entonces:

α =1− sin 38.71 + sin 38.7

= 0.231

|Wl−a (jωcgn)|dB = 20 log

20

ωq1 +

¡ω2

¢2ω=ωcgn

= −8.13dB

Ası:

20 logAv0 = 20 log1√α− |Wl−a (jωcgn)|dB = 14.49dB

entonces:

Av0 = 1014.4920 = 5.3


ω1 =√0.231 · 10 = 4.81

ω2 =10√0.231

= 20.81

Y el compensador es:

Gc (s) = 5.3 · 0.231 ·1 + s

4.81

1 + s20.81

El sistema en lazo abierto compensado es:

Wl−a (s) = 5.3 · 0.231 ·1 + s

4.81

1 + s20.81

· 20

s¡1 + s

2

¢Como:

ϕcomp = −90 − tan−1 ω2+ tan−1

ω

4.81− tan−1 ω

20.81

|Wl−a (jω)| = 5.3 · 0.231 ·q1 +

¡ω4.81

¢2q1 +

¡ω

20.81

¢2 · 20

ω

q1 +

¡ω2

¢2entonces:

ϕcomp (10) = −130γ = 180 − 130 = 50

|Wl−a (j10)| = 0.9985

|Wl−a (j10)|dB = 20 log 0.9985 = −0.013dB ≈ 0

Para bajas frecuencias la ganancia es Kv = 5.3 · 0.231 · 20 = 24.5. Este diseno tieneun Kv mayor que el especificado y por lo tanto el error estatico es menor:

ess% =1

Kv· 100 = 4.1%

7.5.3 El compensador de atraso de fase

En la Fig 7.17:

V(+) =R2 +

1Cs

R2 +1Cs +R1

V1 =1 +R2Cs

1 + (R1 +R2)CsV1 (7.27)

V(−) =R3

R3 +R4V2 (7.28)

7.5 El compensador de atraso de fase 259

Figura 7.17 Compensador de atraso de fase

Como V(+) ' V(−) :

Gc (s) =V2 (s)

V1 (s)=R3 +R4R3

· 1 +R2Cs

1 + (R1 +R2)Cs(7.29)

O sea:

Gc (s) = Av01 + T2s

1 + T1s= Av0

1 + sω2

1 + sω1

(7.30)

donde:

T1 = (R1 +R2)C > T2 ω1 =1T1

T1 = βT2 ω2 = βω1T2 = R2C ω2 =

1T2

β = R1+R2R2

Con T1 > T2, ω1 < ω2. Ası, ocurre primero el quiebre del polo.Ademas:

ϕc = tan−1 ω

ω2− tan−1 ω

ω1< 0

porque:

1

ω2<1

ω1

O sea que este tipo de compensador atrasa fase.Este compensador no puede mejorar la estabilidad utilizando su caracterıstica de fase.Se utiliza, mas bien, la atenuacion de ganancia a altas frecuencias, para correr el puntode 0 dB, ωcg, a la izquierda, donde la fase sea mas favorable. Con Av0 = 1, R3 =∞,la atenuacion a altas frecuencias es −20 logβ. De esta forma, indirectamente mejorala estabilidad.


Figura 7.18 Diagrama de Bode del atrasador de fase

Por otro lado, si el sistema original ya tiene un margen de estabilidad aceptable, γapropiado, si se escoge Av0 ≈ β, a altas frecuencias se tiene 20 logAv0 ≈ 0, no produceatenuacion, pero a bajas frecuencias se tiene 20 logAv0 ≈ 20 log β, que aumenta laganancia estatica, disminuyendo el error.

7.5.3.1 Compensacion con atrasador de fase

Procedimiento

1. Determinar la ganancia en lazo abierto a bajas frecuencias que satisfaga el reque-rimiento de error.2. Dibujar el diagrama de Bode con esta ganancia y determinar el margen de fasedel sistema compensado. Si las especificaciones de margen de fase son satisfechas,continuar en el punto 7. Si las especificaciones de margen de fase no son satisfechas,seguir con el punto 3.3. Encontrar una frecuencia ω donde la fase sea:

ϕ = −180 + γ + (5 a 12)

Se anade 5 a 12 por el atraso que introducira el compensador. Seleccionar estafrecuencia como la nueva frecuencia de cruce ωcgn.4. Seleccionar la frecuencia ω2, cero del compensador, entre una octava y una decadaabajo de la nueva ωcgn :

1

10ωcgn < ω2 <

1

2ωcgn

Una escogencia muy baja de ω2 puede conducir a valores muy grandes de T1 y T2,exigiendo valores altos de resistencias y condensadores en el circuito.5. Determinar la atenuacion requerida en ωcgn para que el Bode de amplitud crucepor cero dB :

7.5 Compensacion con atrasador de fase 261

20 log

µAv0β

¶= 20 logAv0 − 20 log β = − |Wl−a (jω)|ω=ωcgn dB

Si la atenuacion requerida es grande, es preferible hacer Av0 = 1 a fin de que T1 noresulte exageradamente grande. Por lo general β ≤ 10 y T1 depende de β, porqueT1 = βT2.6. Chequear el margen de fase y de ganancia. Chequear la amplitud 0 dB en ωcgn ycalcular el circuito.7. Si en el punto 2 las especificaciones de margen de fase son satisfechas, seleccionarωcgn tal que:

ϕ = −180 + r + (5 a 12)

8. Proceder como en el punto 4 y continuar despues en el punto 9.9. Calcular Av0 de:

20 log

µAv0β

¶= − |Wl−a (jω)|ω=ωcgn dB

escogiendo un valor de β ≤ 10 tal que T1 no resulte demasiado grande.10. Proceder como en el punto 6.

Ejemplo 7.2 .


Para el sistema de la Fig 7.19 se especifica Kv = 5, γ = 40 y un margen de gananciaMG de por lo menos 10 dB.


Figura 7.20 Diagrama de Bode con compensacion con atraso de fase

Sin Gc (s), la ganancia a bajas frecuencias es K, entonces con Kv = 5, K = 5.A bajas frecuencias |Wl−a (s)| = 5

s .

Y dB1 = |Wl−a (jω)|dB = 20 log 5− 20 logω = 14− 20 logωEn ω = 1, Y dB1 (1) = 14dB.Ademas Y dB2 = Y02 − 40 logω. En ω = 1, Y dB2 (1) = 14dB. Entonces Y02 =14 + 40 log 1 = 14. Ası:

Y dB2 = 14− 40 logωEn ω = 2, Y dB2 (2) = 14− 40 log 2 = 1.96dB.Ademas Y dB3 = Y03 − 60 logω. En ω = 2, Y dB (3) = 1.96. Entonces Y03 = 20dB.Ası:

Y dB3 = 20− 60 logωY dB3 = 0 en ωcg. Por lo tanto 0 = 20− 60 logωcg, o ωcg = 10 2060 = 2.15.

ωcg = 2.15rad

seg

La fase es:

ϕ = −90 − tan−1 ω1− tan−1 ω

2

En ωcg = 2.15, ϕ (2.15) = −202 y:

γ = 180 + ϕ (2.15) = −22

7.5 Compensacion con atrasador de fase 263

Esto indica que si se cierra el lazo, el sistema resulta inestable.Se busca, entonces, un punto donde la fase sea:

ϕ = −180 + 40 + 12 = −128

Tanteando:

ω 1 0.5 0.45 0.47ϕ −161 −130 −126 −128.4

Se escoge ωcgn = 0.47radseg .

En ωcgn = 0.47, Y dB1 = 14− 20 log 0.47 = 20.56dB.Con Av0 = 1, −20 log β = −20.56, β = 10 20.5620 = 10.7. El valor de β resulto mayorque 10. Quizas se necesite primero un compensador de adelanto para mejorar lascondiciones de estabilidad y ası conseguir un Kv mejor que el especificado.Como 0.47

10 < ω2 <0.472 , o 0.047 < ω2 < 0.235, se puede escoger ω2 = 0.1. Entonces:

ω1 =ω2β=0.1

10.7= 9.34 · 10−3

T2 =1

ω2= 10

T1 =1

9.34 · 10−3 = 107

Con C = 100 µf , R2 =T2C = 100K, R1+R2R2

= β = 10.7. Con R1 = 100K, R2 =1.07M.Ademas como se escogio Av0 = 1, R4 = 0 y R3 =∞.Chequeo

El compensador es:

Gc (s) =1 + s

0.1

1 + s9.34·10−3

Entonces:

ϕcomp (ω) = −90 − tan−1 ω − tan−1 ω2+ tan−1

ω

0.1− tan−1 ω

9.34 · 10−3

|Wl−a (jω)| =

q1 +

¡ω0.1

¢2q1 +

¡ω

9.34·10−3¢2 · 5

ω√1 + ω2

q1 +

¡ω2

2

¢2En ω = ωcg = 0.47:

ϕcomp (0.47) = −139.3γ = 180 + ϕ = 40.7 > 40

|Wl−a (j0.47)| = 0.889


|Wl−a (j0.47)| deberıa ser 1. Para corregir esto se puede tomar Av0 = 10.889 = 1.13 =

R3+R4R3

. Con esto, si R3 = 100K, R4 = 13K.

Margen de ganancia

Por tanteos, en ω = 1.31 ϕcomp = −179.8 ≈ 180 y |Wl−a|dB = −14.8dB. Entoncesel margen de ganancia es MG = 14.8dB que excede la especificacion.

Ejemplo 7.3 .

Para el sistema compensado con adelantador de fase, por el procedimiento 2, se obtuvoel sistema compensado, en lazo abierto:

Wl−a (s) = 5.3 · 0.231 ·1 + s

2.41

1 + s20.81

· 20

s¡1 + s

2

¢con un Kv = 24.5.Se desea cambiar el Kv a 100 perdiendo solo 5 de margen de fase, esto es γn = 45.Como el sistema ya tiene 50 en ωcgn = 10 se puede introducir un compensador deatraso que atrase 5 en ωcgn = 10

radseg .

La ganancia adicional requerida es Av0 =10024.5 = 4.1. Se escoge entonces β = Av0

para no producir atenuacion a altas frecuencias, esto es β = 4.1.La fase del compensador es entonces:

ϕc = tan−1 ω

ω2− tan−1 ω

ω1= tan−1

ω

ω2− tan−1 βω

ω2

que contribuye con la fase:

ϕc (ωcg) = tan−1 ωcg

ω2− tan−1 βωcg

ω2

Con β = 4.1, tanteando valores de ω2 en la ecuacion:

ϕc (10) = tan−1 10

ω2− tan−1 4.1 · 10

ω2= −5

se obtiene:

ω2 =10

8.6= 1.16

rad

seg

Ası:

ω1 =ω2β=1.16

4.1= 0.283

rad

seg

Y el sistema compensado resulta:

Wl−a (s) =4.1 ·1 + s

1.16

1 + s0.283| z

Atraso

· 5.3 · 0.231 · 1 +s2.41

1 + s20.81| z

Adelanto

· 20

s¡1 + s

2

¢

CAPITULO 8

REALIMENTACION LINEAL DE

LAS VARIABLES DE ESTADO

Introduccion

Unas de las primeras aplicaciones de las variables de estado en sistemas lineales fuela de realimentarlas para reubicar los valores propios de un sistema dado. Los polosy los valores propios coinciden en sistemas mınimos, aquellos que son controlables yobservables.En lugar de realimentar y (t), salida de un sistema, y sus derivadas o realimentary (t) a traves de un compensador, lo adecuado es hacerlo a traves del estado x (t)de una realizacion del sistema ya que, despues de todo, el estado resume toda lainformacion actual del sistema. Por eso, cualquier operacion que pueda ser hechacon y (t),

.y (t), etc. , se debe poder realizar con los estados y, lo mas importante,

cualquier operacion que no se pueda hacer con los estados, probablemente no puedeser hecha en ninguna otra forma general. La realimentacion de las variables de estadopuede ser usada para modificar las frecuencias naturales del sistema y, en particular,hacerlas todas estables, siempre y cuando la realizacion usada para definir los estadosdel sistema sea controlable por realimentacion de las variables de estado, es decir, lamatriz C = £B AB · · ·An−1B¤ de la realizacion A, B, C no es singular.La utilidad de este resultado depende de la habilidad para obtener los estados, lo cualsera considerado mas adelante. Por claridad de discusion y por razones pedagogicas,se trataran por ahora, el problema de la determinacion de los estados y el de la reali-mentacion de ellos separadamente. Por el momento se supone que, por algun medio,los estados son disponibles. Recuerde que para obtener los estados, si el sistema esobservable, se necesita conocer no solo la salida y (t) y sus derivadas sino tambien la en-

trada u (t) y, en general, se necesitany (t) ,

.y (t) , · · · ,y(n−1) (t) ,u (t) , · · · ,u(n−1) (t)

o.

Por eso, se esperarıa que una configuracion deseable de realimentacion involucre lasalida y algunas de sus derivadas y la entrada y algunas de sus derivadas. Se puedeobtener entonces compensadores que permitan reubicar arbitrariamente los polos,garantizar estabilidad interna de la configuracion total y mantener el grado del poli-

265

266 REALIMENTACION LINEAL DE LAS VARIABLES DE ESTADO

nomio del denominador de la funcion de transferencia total igual al del sistema origi-nal. Si no hay restriccion en este ultimo, el uso directo de la entrada no es necesario.

8.1 Realimentacion de las variables de estado y

controlabilidad de los modos

Considere el siguiente problema. Se da la realizacion:

.x (t) = Ax (t) +Bu (t)y (t) = Cx (t)

(8.1)

con el polinomio caracterıstico:

a (s) = det (sI −A) = sn + a1sn−1 + · · ·+ an (8.2)

Si se especifica una funcion de transferencia de la forma:

H (s) =b (s)

a (s)=

b1sn−1 + · · ·+ bn

sn + a1sn−1 + · · ·+ an (8.3)

Se supondra que A, B, C es alguna realizacion con n estados de esta funcion detransferencia.Se desea modificar el sistema dado, mediante el uso de realimentacion de las variablesde estado, para obtener un nuevo sistema con valores propios especificados, o en otraspalabras, para obtener un polinomio caracterıstico deseado.Es decir:

α (s) = sn + α1sn−1 + · · ·+ αn (8.4)

Figura 8.1 Realizacion modificada por realimentacion de las variables de estado

En la Fig 8.1, la senal de control u (t) se obtiene, utilizando realimentacion por vari-ables de estado, mediante la ecuacion:

8.1 Algunas formulas para la ganancia de realimentacion 267

u (t) = v (t)−Kx (t) (8.5)

con K = [K1 · · ·Kn]en donde v (t) es la nueva entrada externa.El uso de −K x (t) en lugar de K x (t) es puramente convencional, ya que la reali-mentacion es usualmente negativa. Con esta realimentacion se tiene la realizacion(8.6):

.x (t) = (A−BK) x (t) +Bv (t)y (t) = Cx (t)

(8.6)

que tiene el polinomio caracterıstico:

aK (s) = det (sI −A+BK) (8.7)

El objetivo es escoger K de modo que aK (s) = α (s) .Hay muchas maneras de determinar K, algunas de las cuales seran presentadas aquı.

8.1.1 Algunas formulas para la ganancia de realimentacion

Se deducira la formula de Bass y Gura que usa la siguiente identidad:

det [In − PQ] = det [Im −QP ] (8.8)

en donde In e Im son matrices identidad de dimensiones n× n y m×m, respectiva-mente, y P y Q son matrices de dimensiones n×m y m× n, respectivamente.De (8.7):

aK (s) = det (sI −A+BK)= det

n(sI −A)

hI + (sI −A)−1BK

io= det (sI −A) det

hI + (sI −A)−1BK

i(8.9)

Usando la identidad (8.8) en (8.9):

aK (s) = a (s)h1 +K (sI −A)−1B

i(8.10)

de donde:

aK (s)− a (s) = a (s)K (sI −A)−1B (8.11)

Ambos lados de (8.11) son polinomios en s, y por lo tanto K se puede encontrarigualando los coeficientes que corresponden a iguales potencias de s. Para hacerlo seutilizara la formula (8.12):

(sI −A)−1 =1

a (s)sn−1I + sn−2 (A+ a1I) + sn−3

¡A2 + a1A+ a2I

¢+ · · ·+

+s¡An−2 + a1An−3 + · · ·+ an−2I

¢+s

¡An−1 + a1An−2 + · · ·+ an−1I

¢ (8.12)



α1 − a1 = KB, α2 − a2 = KAB + a1KB, α3 − a3 = KA2B + a1KAB + a2KBy asi sucesivamente. Reescribiendolas en forma matricial:

α− a =£KB, KAB + a1KB, · · · ,KAn−1B + a1KAn−2B + · · ·+ an−1KB

¤

= K£B, AB, A2B, · · · , An−1B¤

1 a1 a2 · · · an−10 1 a1 · · · an−2

0 0 1 · · · ......

.... . .

. . . a10 0 · · · 0 1

α− a = K C At (8.13)

en donde:

α = [α1α2 · · ·αn]a = [a1a2 · · · an]C =

£B, AB, · · · , An−1B¤

y A es una matriz Toeplitz triangular inferior con primera columna:

[1 a1 · · · an−1]t (8.14)

Puesto que A es nosingular, se puede resolver (8.13) para hallar K para α y a arbitra-rios, si y solo si C es nosingular. Se ha probado entonces que mediante realimentacionde las variables de estado se pueden reubicar arbitrariamente los valores propios deuna realizacion A, B, C, si y solo si C = ©B, AB, · · · , An−1Bª es no singular.Entonces la ganancia de realimentacion requerida se puede calcular como:

K = (α− a)AtC−1 (8.15)

(8.15) es conocida como la formula de Bass-Gura para determinar K.La reubicacion de valores propios por realimentacion de las variables de estado hasido llamada controlabilidad de modos.Notese de (8.15) que cambios grandes en los coeficientes de a (s) necesitara, en general,valores mas grandes en las ganancias del vector K, con consecuentes dificultades enla implementacion y operacion (alejamiento del punto de operacion a una region nolineal, distorsion en el transitorio, favorecimiento del ruido, etc). Note tambien quegrandes valores de K podrıan ser debidos a que C es cercanamente singular.8.1.2 Importancia de la forma canonica ”CONTROLLER”

Para controlabilidad de los estados, la forma canonica ”CONTROLLABILITY”, parala cual C = I es la mas conveniente. Tambien es util para calcular K de (8.15); sin

8.1 Importancia de la forma canonica ”CONTROLLER” 269

embargo, es posible encontrar una forma mas simple. Recuerde que para la formacanonica ”CONTROLLER” Ac, Bc, Cc, en donde Ac es una matriz ”companion”con [−a1,−a2, · · · ,−an] como primera fila, Bc tiene como primer elemento uno y losdemas ceros, C−1c = At. Si se reemplaza esta en (8.15) se obtiene(8.16).

Kc = α− a (8.16)

Otra derivacion de (8.16) se obtiene observando que, debido a la forma especial deBc.

Ac −BcKc =

− (a1 +Kc1) − (a2 +Kc2) · · · − (an +Kcn)

1 0 01

... 0...

0 1 0

(8.17)

la cual esta todavıa en forma ”CONTROLLER”, y por lo tanto:

det (sI −Ac +BcKc) = sn + (a1 +Kc1) sn−1 + · · ·+ (an +Kcn) (8.18)

De (8.18) se obtiene inmediatamente (8.16).Lo anterior sugiere que una manera de resolver el problema para una realizaciongeneral A, B, C es convertirla primero en una forma ”CONTROLLER” por mediode un cambio adecuado de variables:

x (t) = Txc (t) (8.19)

con detT 6= 0


A = TAcT−1

B = TBc(8.20)

Se puede demostrar que si la nueva realizacion, en este caso tipo ”CONTROLLER”,es controlable, entonces:

T = C C−1c (8.21)

Por lo tanto:

aK (s) = det (sI −A+BK) = det ¡sI − TAcT−1 + TBcK¢= det

©T [sI −Ac +BcKT ]T−1

ª= detT det (sI −Ac +BcKT ) detT−1

Ası:


aK (s) = det (sI −Ac +BcKT ) (8.22)

KT = Kc (8.23)

Con (8.16), (8.21), sabiendo que Cc = A−t y reemplazando en (8.23), se obtiene denuevo (8.15).

8.1.3 Otras formulas para la ganancia de realimentacion

(8.15) es una formula paraK en terminos de los coeficientes del polinomio carcterısticoviejo y del nuevo. La siguiente es la formula de Ackerman:

K = qtnα (A) (8.24)

en donde α (s) es el polinomio caracterıstico deseado, y

qtn = [0 · · · 01] C−1 (8.25)

la ultima fila de C−1.(8.24) es util algunas veces para analisis teoricos. Note que no se requiere un conoci-miento explıcito del polinomio original a (s) = det (sI −A) .Para demostrar (8.24) se supondra que se tiene una realizacion tipo ”CONTROLLER”,en cuyo caso:

Kc = α− a = qtc,nα (Ac) (8.26)

la ultima fila de α (Ac), porque:

qtc,n = [0 · · · 01] C−1 = [0 · · · 01]At

= [0 · · · 01]

1 a1 · · · an−10 1 · · · an−2...

......

0 0 · · · 1

= [0 · · · 01]Puesto que:

α (Ac) = Anc + α1A

n−1c + · · ·+ αnI (8.27)

y del teorema de Cayley-Hamilton que establece que cada matriz cuadrada, Ac eneste caso, satisface su ecuacion caracterıstica:

a (s) = sn + a1sn−1 + · · ·+ an = 0

a (Ac) = Anc + α1An−1c + · · ·+ anI = 0

Entonces:

8.1 Formula de Mayne-Murdoch. 271

Anc = −nXi=1

aiAn−ic (8.28)

(8.28) en (8.27) y se obtiene:

α (Ac) =nXi=1

(αi − ai)An−ic (8.29)

La propiedad de desplazamiento de las matrices ”companion” establece que:

eti Ac = eti−1 2 ≤ i ≤ n

et1 Ac = [−a1 − a2 · · ·− an] (8.30)

en donde eti denota el vector fila [00 · · · 010 · · · 0] con el i esimo elemento igual a uno.Si la ultima columna de la matriz ”companion” es − [an · · · a1]t, la propiedad dedesplazamiento es de la forma:

A ei = ei+1 (8.31)

i = 1 2 · · ·n− 1

Utilizando (8.29) y la anterior propiedad en (8.24) se obtiene (8.32):

Kc = etn α (Ac) =nXi=1

(αi − ai) etn An−ic

= (α1 − a1) et1 + (α2 − a2) et2 + · · ·+ (αn−1 − an−1) etn−1 + (αn − an) etn= [α1 − a1 α2 − a2 · · ·αn−1 − an−1 αn − an]

O sea:

Kc = α− a (8.32)

que era lo que se querıa demostrar. Note que (8.32) es la misma ecuacion (8.16).

8.1.4 For mu la de Mayne- Mur do ch

Ganancias de realimentacion en terminos de los valores propios

En muchos problemas son especificados los valores propios del sistema y, por propositosnumericos, a veces es preferible trabajar directamente con ellos, al menos cuando sondistintos.Suponga que A es diagonal con valores propios λ1 · · ·λn y que las raıces deseadasson µ1 · · ·µn. De la ecuacion (8.10) se obtiene:

aK (s)

a (s)= 1 +K (sI −A)−1B = 1+

nXi=1

Kibi(s− λi)

(8.33)


De (8.33) se nota que una regla para obtener Ki es expandir en fracciones parcialesaK(s)a(s) y dividir el coeficiente del termino (s− λi)

−1 por bi.Mas explıcitamente, se multiplica ambos lados de (8.33) por (s− λi) y se hace s = λipara obtener (8.34):

Kibi =

QJ

(λi − µJ)QJ 6=i

(λi − λJ)(8.34)

(8.34) muestra claramente que la ganancia de realimentacion se incrementa a medidaque aumenta la separacion entre los polos de lazo abierto y de lazo cerrado, |λi − µJ |.Formulas explıcitas para cuando A no es diagonalizable tambien se pueden obtener,aunque son de menos importancia.

8.1.5 Realimentacion del estado y los ceros de la funcion de

transferencia

Se ha demostrado que mediante realimentacion del estado se puede cambiar el de-nominador de la funcion de transferencia de a (s) a cualquier polinomio, monico, α (s)del mismo grado. Se estudiara ahora el efecto sobre los ceros.Una manera simple es suponer que la realizacion es de tipo ”CONTROLLER”,Ac, Bc, Cc, en donde Ac es la matriz ”companion” con primer fila − [a1 · · · an],Btc = [10 · · · 0] y Cc contiene los coeficientes de b (s), Cc = [b1 b2 · · · bn] .Note que despues de realimentar el estado la realizacion es Ac −BcKc, Bc, Cc, lacual es todavıa del tipo ”CONTROLLER” y por lo tanto la funcion de transferenciaes:

Y (s)

V (s)=b (s)

α (s)

Es decir, la realimentacion del estado no afecta los ceros de la funcion de transferencia,a menos, por supuesto, que sean cancelados por la escogencia apropiada del nuevopolinomio del denominador α (s). Por lo tanto, aquella resuelve el problema de losceros ubicados indeseablemente (limitaciones en las caracterısticas de fase y de atrasodel sistema).

8.1.6 Realizaciones no controlables y estabilizables

Modos controlables e incontrolables.

Suponga que se tiene una realizacion tipo diagonal y con todos los valores propiosdiferentes.

.x = Λx+Bu

Λ = diag λ1 · · ·λn , λi 6= λJ

Facilmente se puede demostrar que esta realizacion es controlable si y solo si cadauno de los elementos de B es diferente de cero. Si, por ejemplo, b1 = b3 = 0, entonces

8.1 Referencias diferentes de cero 273

la entrada esta desacoplada de los correspondientes modos λ1 y λ3, y por lo tanto,ninguna realimentacion puede afectarlos. Por eso, en una realizacion diagonal nocontrolable ciertos valores propios no se pueden reubicar, o en otras palabras, nopueden ser afectados por realimentacion del estado. Si estos modos son estables,entonces, en muchas situaciones, no es importante que no puedan ser afectados. Sinembargo, si son inestables, habra problemas. Una realizacion es estabilizable si todoslos valores propios inestables se pueden reubicar arbitrariamente por realimentacionde las variables de estado.Una realizacion diagonal es estabilizable si y solo si los bi correspondientes a losinestables λi son diferentes de cero, es decir, si los modos inestables son todoscontrolables.Puesto que una realizacion A, B con matriz ”CONTROLLABILITY” C de rangor se puede transformar en el par

©A, B

ª, en donde:

A =

·Ac A120 Ac

¸|zr

|zn−r

B =

·Bc0

¸ rn− r

entonces©A, B

ª, y por lo tanto A, B sera estabilizable si y solo si todos los valores

propios de Ac tienen parte real negativa.

8.1.7 Reguladores, referencias diferentes de cero y seguimiento

Se ha demostrado que, dada una realizacion A, B, C que es controlable, utilizandorealimentacion de las variables de estado, u = −K x+ v, se puede obtener una real-izacion A−BK,B,C con det (sI −A+BK) arbitrario. Este resultado se utilizageneralmente en problemas de regulacion, en donde las condiciones iniciales dife-rentes de cero, x (0) = x0 6= 0, provienen de alguna perturbacion y la reali-mentacion −K x se usa para restablecer el estado a cero a una velocidad determi-nada por los valo-res propios de A−BK. Un decaimiento bastante rapido se puedeobtener moviendo los valores propios lejos del eje imaginario en el semiplano complejoizquierdo, SCI, pero a un precio que tiene que ser pagado en termino de alta energıadel control, K grande, incremento en el ancho de banda del sistema en lazo cerradoy por lo tanto el incremento en la sensitividad al ruido, etc. Ası, debe de haber uncompromiso en la reubicacion de los valores propios. Aquı, sin embargo, se trataranalgunos problemas que pueden ser tratados con pequenas modificaciones a la soluciondel problema del regulador.

8.1.7.1 Referencias diferentes de cero

En el problema del regulador, el objetivo es regresar el estado x a cero, y por esola entrada externa v es tomada como cero. Si se supone, sin embargo, que se deseatener:

y (t) = Cx (t) →t→∞ yd


en donde yd, o comando, es algun valor deseado diferente de cero, en el estado esta-cionario, de la combinacion C x (t) .Esto se puede lograr usando un comando de entrada constante vd tal que:

.x = 0 = (A−BK)xd +B vd

yd = Cxd = −C (A−BK)−1B vd = HK (0) vd

en donde HK (s) es la funcion de transferencia en lazo cerrado:

HK (s) = C (sI −A+BK)−1BNote que (A−BK)−1 existe ya que K se escoge, presumiblemente, para que losvalores propios de A−BK tengan partes reales suficientemente negativas, y en par-ticular, ningun valor propio de A−BK es cero. Por lo tanto vd se puede determinarcon la ecuacion:

vd = H−1K (0) yd

con la condicion de que HK (0) 6= 0, es decir, la funcion de transferencia en lazocerrado no debe tener ceros en el origen. Pero, como se demostro antes, los ceros deHK (s) son los mismos de la funcion de transferencia original H(s). Por lo tanto, elcomando de entrada vd se puede determinar si y solo si:

H (0) = −CA−1B 6= 0Una vez encontrado vd, la respuesta del sistema se puede hallar, utilizando super-posicion, como la suma de las soluciones a los casos:

1) v = vd, x (0) = xd

2) v = 0, x (0) = x0 − xdAsı, la respuesta, o salida del sistema, y(t), se puede expresar como:

y (t) = yd +C x (t)

en donde:

.˜x (t) = (A−BK) ˜

x (t)

con˜x (0) = x0 − xd

Observe que˜x (t) →

t→∞ 0 a una velocidad determinada por los valores propios de

A−BK y, por lo tanto, y (t) →t→∞ yd a esa misma rata.

Si el comando yd es cambiado,de manera suficientemente lenta, el anterior esquemapuede desarrollar un trabajo razonable de seguimiento.

8.1 Perturbaciones de entrada constante y realimentacion integral 275

8.1.7.2 Perturbaciones de entrada constante y realimentacion integral

Suponga que en el modelo del sistema se tiene un vector de perturbacion w constante,pero desconocido.Ası, el sistema se puede desribir mediante las ecuaciones:

.x = Ax+Bu+w, x (0) = x0

y = Cx

Si se usa realimentacion de las variables de estado, u (t) = −K x (t), para estabilizarel sistema original, la presencia de w producira un valor de estado estacionariodiferente de cero. Este valor se puede reducir incrementando K; sin embargo, esteprocedimiento tiene lımites debido a los efectos de saturacion y ruido.Un metodo razonable podrıa ser tratar de estimar el descononido w de alguna mane-ra y usar esta estimacion para cancelar la perturbacion. Los efectos de vectoresde perturbacion constantes, a menudo, se pueden eliminar utilizando realimentacionintegral del error. Ası, se introduce una variable de estado adicional:

q (t) = y

y se usa la realimentacion:

u (t) = Kx (t)−Kq q (t) ley de control

Figura 8.2 Realimentacion de las variables de estado y la integral de la salida

El sistema aumentado en lazo cerrado es:· .x.q

¸=

·A−BK −BKqC 0

¸ ·xq

¸+

·w0

¸Si K, Kq se escogen de modo que el sistema sea estable, entonces el valor de y enel estado estacionario sera cero, ya que de la segunda ecuacion anterior:

0 = Cx (∞) = y (∞)


Es importante notar que el error de estado estacionario es llevado a cero sin conocerla perturbacion w. Ademas, notese que usando un comando de entrada vd, o refe-rencia, en adicion a la realimentacion integrativa se puede obtener un valor de estadoestacionario y (∞) deseado.

Ejemplo 8.1 .

Figura 8.3 Ejemplo

En la lınea que conecta el centro de la tierra con el centro de la luna, hay un punto L1,Fig 8.3, en donde la fuerza de atraccion de la tierra sobre un satelite (en una orbitaalrededor de la tierra con el mismo perıodo que la orbita de la luna) es exactamenteigual a la fuerza de atraccion de la luna mas la fuerza centrıfuga. Sin embargo, estepunto de equilibrio es inestable como se vera. Despues se demostrara que usandorealimentacion del estado, a traves de un pequeno motor de reaccion, un satelite enese punto puede ser estabilizado.Las ecuaciones dinamicas para pequenas desviaciones del punto de equilibrio se puededemostrar que son:

..x −2ω .

y −9ω2x = 0..y +2ω

.x +4ω2y = u

en donde:

x perturbacion de la posicion radial.

y perturbacion de la posicion acimutal.

u = F/mω2

F fuerza del motor en la direccion y,

m masa del satelite

ω =2π

29rad. dıa−1

1) Con u = 0, demostrar que el punto de equilibrio es inestable.2) Para estabilizar el sistema, usar realimentacion de las variables de estado:

u = −K1x−K2 .x −K3y −K4

.y

8.1 Perturbaciones de entrada constante y realimentacion integral 277

Determinar los Ki de modo que el sistema en lazo cerrado tenga los polos en s = −3ω,s = −4ω, y s = (−3± j3)ω.3) Disenar un controlador con la anterior realimentacion y con un comando de refe-rencia para la posicion y.4) Explicar porque un controlador como el anterior para la posicion x no puede serdisenado para el satelite.

Solucion:

1) Utilizando como variables de estado x,.x, y,

.y, entonces:

A =

0 1 0 09ω2 0 0 2ω0 0 0 10 −2ω −4ω2 0

B =

0001

La ecuacion caracterıstica es:

a (s) = det (sI −A) = s4 − ω2s2 − 36ω4

cuyas raıces se determinan con:

s2 =ω2 ±√ω4 + 144ω4

2=

ω2¡1±√145¢2

Por lo tanto, los valores propios son:

±ω2.35, ±jω2.55y el sistema es claramente inestable.2) Como el sistema es controlable, ya que la matriz de controlabilidad C∗ (A, B) es nosingular

¡detC∗ = −36ω4¢, se puede reubicar los valores propios por realimentacion

de las variables de estado. El polinomio caracterıstico deseado es:

α (s) = (s+ 3ω) (s+ 4ω) (s+ 3ω + j3ω) (s+ 3ω − j3ω)= s4 + 13ωs3 + 72ω2s2 + 198ω3s+ 216ω4

Utilizando la formula de Bass-Gura, por ejemplo, o por comparacion de coeficientescon el polinomio det (sI −A+BK) se obtiene:

K4 = 13ω K3 = −28ω2 K2 = 50.5ω K1 = 157.5ω2

3) Como la salida es y, entonces:

C = [0 0 1 0]

Calculando:

HK (0) = −C (A−BK)−1B = − 1

24ω2


Por lo tanto:

vd = H−1K (0) yd = −24ω2yd

y la solucion por realimentacion, ley de control, es:

u (t) = −Kx− 24ω2yden donde:

K =£157.5ω2 50.5ω − 28ω2 13ω

¤4) En este caso la salida serıa x, y entonces:

C = [1 0 0 0]

Si se calcula −C (A−BK)−1B = 0 para todo K.Ası, es imposible encontrar una entrada vd para ajustar cualquier valor deseado de x.

8.1.7.3 Observaciones finales

La escogencia de un conjunto de valores propios deseados, depende de criterios defuncionamiento de diseno tales como el tiempo de crecimiento, tiempo de establec-imiento, el maximo sobrepaso, la magnitd maxima de las senales, etc. Aunque estoscriterios sean precisamente especificados, no hay respuesta simple al problema pro-puesto. Una manera de proceder es por simulacion en el computador. Por supuestoel conjunto de valores propios obtenidos no sera unico. La unica manera sistematicaconocida para las ganancias de realimentacion, y consecuentemente un conjunto unicode valores propios es minimizando el ındice de desarrollo cuadratico:

J =

Z ∞0

hx (t)

tQx (t) + u (t)tRu (t)

idt

K se puede determinar resolviendo la ecuacion algebraica de Riccati. Sin embargo,no existe ninguna regla especıfica para escoger las matrices Q y R en el anterior ındicecuadratico. Esta metodologıa esta fuera del alcance de este libro.Una de las ventajas de la tecnica propuesta en este capıtulo es que el procedimientoconsiste de dos pasos independientes. El primero supone que todas las variables deestado estan disponibles para propositos de realimentacion. Naturalmente esto esimpractico ya que implicarıa conseguir un gran numero de sensores. La suposicion dela disponibilidad de las entradas meramente permiten proceder con el primer diseno,que se llamara ley de control. El paso restante consiste en disenar un ”estimador”u ”observador asintotico” el cual permite estimar todo el vector de estado. El con-trolador final, o compensador, consistira de la combinacion de la ley de control y elestimador, en donde la ley de control se basa en los estados estimados en lugar de losestados actuales, o reales.

CAPITULO 9

DISENO DE OBSERVADORES

ASINTOTICOS Y COMPEN-

SADORES

Si una realizacion A, B, C es controlable, entonces la realimentacion de las variablesde estado puede reubicar los valores propios de A a donde se desee. Se discutira elproblema de obtener los estados de la realizacion conociendo unicamente la entrada u yla salida y del sistema. Si el sistema es observable, mediante diferenciacion se puedencalcular los estados. Esta tecnica es por supuesto impractica y se desarrollara unestimador de estado mas realıstico conocido como observador asintotico. Su nombrees debido a que los estados se pueden obtener unicamente con un error tal que tiendea cero a una rata exponencial deseada.Se vera que las ecuaciones de diseno para el controlador no se afectan por el hecho deque se usen los estados aproximados en lugar de los verdaderos. Se vera ademas que laconfiguracion total del observador-controlador es internamente estable. Sin embargo,el uso de los estados estimados en lugar de los verdaderos para realimentacion, podrıaconducir en general a un deterioro de la respuesta transitoria.

9.1 Observadores asintoticos para medida de los

estados

Se desea determinar los estados de la realizacion:

.x (t) = Ax (t) +Bu (t) , x (0−) = x0y (t) = Cx (t) , t > 0−

279

280 DISENO DE OBSERVADORES ASINTOTICOS Y COMPENSADORES

suponiendo conocidos y (t) y u (t) .Si se conocen A, B, C, y (t) y u (t) se puede simular el sistema y usar como entrada au (t). El problema sin embargo es que no se conoce el estado energetico inicial (e.e.i)x (0−) = x0. Se puede demostrar que con u (t) = 0, t ≤ 0− :

O.x (0−) =hy (0−) , · · · , y(n−1) (0−)

itde la cual podrıa hallarse x (0−) si se da ©y (0−) , · · · , y(n−1) (0−)ª como parte delproblema.

9.1.1 Un observador en lazo abierto.

Si se simula el sistema A, B, C con el e.e.i correcto y se excita con la entradau (t) , t > 0−, se puede obtener x (t) , t > 0−. Observe que es una estrategia enlazo abierto y es susceptible, por lo tanto, a perturbaciones y no hay medio paracompensar por algunos errores.

Figura 9.1 Sistema original y simulacion

Suponga que el e.e.i de la simulacion tiene un ligero error; es decir se tiene x0 , x0+ζ,kζk << kx0k, en lugar de x0.Los estados seran las variables x (t) en lugar de x (t) :

.

x (t) = Ax (t) +Bu (t) , x (0−) = x0 = x0 + ζ (9.1).x (t) = Ax (t) +Bu (t) (9.2)

Obviamente hay un error x (t) , x (t)−x (t) que satisface la ecuacion diferencial (9.3)que se obtiene de (9.1) y (9.2):

.

x (t) = A x (t) (9.3)

x (0−) = ζ

9.1 Un observador en lazo cerrado 281

Es decir, el error ζ en el e.e.i produce un error x (t) , ∀t ≥ 0− .Usando Laplace:

sx (s)− ζ = Ax (s)

x (s) = (sI −A)−1 ζ (9.4)

Si se expande (9.4) en fracciones parciales se nota que x (t) sera una suma de terminosde la forma

©eλit, tJeλKt · · ·ª, en donde los λi son los valores propios de A. Obvi-

amente si el sistema es inestable (recuerdese que interesa determinar los estados paraser realimentados y lograr estabilidad) entonces el error x (t) crecera indefinidamentea medida que t→∞ sin importar que tan pequeno es el error inicial.Aun si el sistema es estable, si algunos valores propios tienen partes reales muypequenas, los efectos de los errores en las estimaciones iniciales tomaran mucho tiempoen desaparecer practicamente.

9.1.2 Un observador en lazo cerrado

Habra situaciones en las que un estimador de lazo abierto puede ser satisfactorio,especialmente si se hace una reinicializacion periodica, para eliminar, o al menoscontrolar deseablemente, los efectos de errores iniciales y perturbaciones.Sin embargo, la manera clasica de resolver estas dificultades potenciales de sistemasde lazo abierto es usar realimentacion para que el error tienda a cero, excitando elsistema con un termino proporcional al error en la estimacion. El problema consisteen como determinar este error. En problemas clasicos de realimentacion se obtienede la senal de referencia.En nuestro problema, el error es x (t)− x (t) = x (t), pero por supuesto x (t) no estadisponible. Por esto se debe obtener una senal de referencia de alguna otra manera.La salida y (t), no usada en la relacion de lazo abierto, puede ser utilizada ahora yaque con y (t) = Cx (t), y (t) es disponible. Una senal de error se puede generar como:

y (t)− y (t) = y (t)−Cx (t) = C [x (t)− x (t)] = C x (t)

la cual puede ser utilizada para excitar la ecuacion del estimador. Estas observacionesllevan a considerar un estimador para x (t) de la forma mostrada en la Fig 9.2.Se supone que se tiene acceso a la entrada y salida del sistema original. Ası:

.

x (t) = Ax (t) +Bu (t) + l [y (t)−Cx (t)] (9.5)

x (0) = x0

donde x0 es una estimacion inicial del vector de estado y l es un vector de gananciasde realimentacion que debe ser escogido deseablemente.


Figura 9.2 Observador asintotico

El sistema que genera x es llamado observador u observador asintotico, por razonesque se veran mas adelante. l debe ser escogido para controlar adecuadamente el errorx = x− x.De (9.2) y (9.5) se obtiene:

.

x (t) = (A− lC) x (t) (9.6)

x (0) = x0 − x0Observese que con l = 0, (9.6) se reduce a (9.3) o ecuacion de error en lazo abierto.El efecto de realimentar el error l [y − y] = lC [x− x] es dar algun control sobre elcomportamiento del error x. En efecto, las frecuencias naturales seran los valorespropios de A − lC, y lo que se trata de hacer es escoger l de modo que el error seatenue tan rapido como se desee. Por ahora la estimacion inicial x0 no es importantesi no se tiene informacion especial. A menudo se toma x0 = 0. La razon para elnombre observador asintotico debe ser clara ahora.Se demostrara que si C, A es observable, entonces se puede hallar l de modo queA− lC tenga valores propios arbitrarios, es decir:

det (sI −A+ lC) = α (s) = sn + α1sn−1 + · · ·+ αn (9.7)

en donde los αi son completamente arbitrarios.Este problema es esencialmente el mismo como el de determinar el vector de re-alimentacion K requerido para darle una dinamica arbitraria a una realizacion quees controlable.

9.1.3 Formulas para el vector de ganancias del observador

Se demostro que dada una realizacion A, B, C con A, B controlable, se puedeencontrar un vector K de varias maneras de modo que:

9.2 Observador y controlador combinados (compensadores). 283

det (sI −A+BK) = sn + α1sn−1 + · · ·+ αn (9.8)

para cualquier αi. Una formula, por ejemplo, es:

K = (α− a)Γ−1C−t (A, B) (9.9)

en donde a es el vector de coeficientes de a (s) = det (sI −A) y Γt es una matriztriangular superior Toeplitz con [1 a1 · · · an−1] como la primer fila.

Γt =

1 a1 a2 · · · an−10 1 a1 · · · an−20 0 1 · · · an−3...

. . ....

... a10 1

Para reformular el problema del observador de la anterior manera, puesto que detM =detMt, entonces:

det (sI −A+ lC) = det (sI −A+ lC)t = det ¡sI −At +Ctlt¢y si en la solucion del problema del controlador se reemplaza:

A→ At B → Ct K → lt

entonces l se puede encontrar si y solo si C (At, Ct) es no singular. Entonces:

lt = (α− a)Γ−t− C−1¡At, Ct

¢Pero:

C ¡At, Ct¢ = hCt AtCt · · ·At(n−1)Cti = O (A C)Por lo tanto el vector de ganancias l del observador se puede calcular como:

l = O−1 (A, C)Γ−t (α− a)t (9.10)

Entonces para calcular l es necesario que el sistema sea observable. La dualidad entreel problema del observador asintotico y el del controlador modal es muy util y puedeser usada como se hizo anteriormente.

9.2 Observador y controlador combinados (com-

pensadores)

El problema del observador se genero por la necesidad de obtener los estados parausarlos en el controlador. Ahora se tiene estimaciones asintoticas correctas de los


estados en lugar de los estados mismos y una pregunta natural es si el resultadoprevio de ubicar polos arbtrariamente por realimentacion de las variables de estadose sostendra cuando solo se dispone de tales estimaciones de los estados actuales.Logicamente en estado estacionario el observador asintotico es adecuado ya que loserrores en las estimaciones son nulos. Por eso, como se vera mas adelante, la funcionde tranferencia del observador y controlador conbinadas sera la misma que la del con-trolador puro, con perfecta realimentacion de los estados. Pero la preocupacion basicaes si la incorporacion del sistema dinamico observador en el lazo de realimentacionafectara la estabilidad de el sistema total ya que interconexiones de subsistemas es-tables podrıan conducir a sistemas totales inestables. Sin embargo, se probara que laincorporacion de un observador asintotico estable no inestabiliza el sistema total.

Figura 9.3 Observador y controlador combinados

El sistema original de la Fig 9.3 puede ser descrito por su funcion de transferenciaH (s) o por una realizacion A, B, C. Si se tiene H (s) se puede obtener una re-alizacion conveniente, por ejemplo, tipo ”CONTROLLER”, de modo que se puedausar realimentacion de las variables de estado. Si estas son directamente medibles,se puede cerrar el lazo a traves del vector de ganancias K. De otra manera, se debeusar estados estimados x, los cuales se obtienen del sistema simulado que es excitadopor el error l [y −Cx] y por la misma entrada del sistema original, u = v−Kx. Esteultimo hecho debe ser ası, pues de lo contrario los estados x no seguiran a los estadosx.Para el sistema de la Fig 9.3 se pueden plantear las siguientes ecuaciones:

.x (t) = Ax (t) +B [v (t)−Kx (t)]

.x (t) = Ax (t)−BKx (t) +Bv (t) (9.11)

9.2 Observador y controlador combinados (compensadores). 285

x (0−) = x0

.

x (t) = Ax (t) +B [v (t)−Kx (t)] + l [Cx (t)−Cx (t)]

.

x (t) = l Cx (t) + (A− lC −BK) x (t) +Bv (t) (9.12)

x (0−) = x0

El error en los estados obedece la siguiente ecuacion:

.

x (t) =.x (t)−

.

x (t) = Ax (t)−Ax (t)− lCx (t) + lCx (t)

.

x (t) = (A− lC) x (t) (9.13)

x (0−) = x0 − x0Observe que en la ecuacion (9.13) la entrada no interviene.Las ecuaciones (9.11) y (9.12) se pueden reescribir, en forma matricial, ası:

· .x (t).

x (t)

¸=

·A −BKlC A− lC −BK

¸ ·x (t)x (t)

¸+

·BB

¸v (t) (9.14)·

x (0−)x (0−)

¸=

·x0x0

¸

y (t) = C x (t) (9.15)

Suponiendo el estado energetico inicial nulo y usando la transformada de Laplace en(9.14) y (9.15) para obtener la funcion de transferencia total, Ho−c (s) =

Y (s)V (s) , se

obtiene:

sx (s) = Ax (s)−BKx (s) +B V (s) (9.16)

sx (s) = lCx (s) + (A− lC −BK) x (s) +B V (s) (9.17)

Eliminando x (s) entre (9.16) y (9.17) se obtiene:

hsI −A+BK (sI −A+BK + lC)−1 lC

ix (s) =

=hI −BK (sI −A+BK + lC)−1

iB V (s) (9.18)

Una identidad matricial muy util es:hI +C (sI −A)−1B

i−1= I −C (sI −A+BC)−1B (9.19)


Si se usa la identidad matricial (9.19) en (9.18), se obtiene (9.20), esto es:

Bv (s) =hI +BK (sI −A+ lC)−1

insI −A+ lC −

hI −BK (sI −A+BK + lC)−1

ilCox (s)

= (sI −A+ lC +BK − lC)x (s)Bv (s) = (sI −A+BK)x (s) (9.20)

De donde:

x (s) = (sI −A+BK)−1B V (s) (9.21)

Transformando (9.15):

Y (s) = Cx (s) (9.22)

Con (9.21) en (9.22) se obtiene la funcion de transferencia total:

Ho−c (s) = C (sI −A+BK)−1B (9.23)

que es la misma que se obtendrıa con realimentacion perfecta de los estados.Es decir, la funcion de transferencia es la misma del sistema controlado y no dependede la dinamica del observador. En otras palabras, la funcion de transferencia no de-pende de que tan rapido el error en los estados estimados tienda a cero. La explicaciones que con estado inicial cero, para ambos x y x, entonces por supuesto el observador,cuando se excita con las mismas entradas que el sistema original, tendra las mismassalidas que el sistema original. Es decir, x (t) = x (t) cuando x (0) = 0 = x (0). Poreso, al calcular la funcion de transferencia, el observador asintotico es lo mismo queel observador perfecto.Sin embargo el principal interes es con los modos de la realizacion total, que son lasraıces de la ecuacion caraterıstica de la realizacion (9.14):

ao−c (s) = det·sI −A BK−lC sI −A+ lC +BK

¸(9.24)

por transformaciones en las filas y columnas de la matriz en (9.24) se puede simplificareste determinante de modo que:·

sI −A BK−lC sI −A+ lC +BK

¸=

·sI −A+ lC 0−lC sI −A+BK

¸(9.25)

por lo tanto:

ao−c (s) = det (sI −A+BK) det (sI −A+ lC)ao−c (s) = acont (s) aobs (s)

(9.26)

Entonces, el polinomio caracterıstico del sistema total es el producto de los poli-nomios caracterısticos del observador y del sistema controlado suponiendo que seconocen perfectamente los estados. Esto significa que las frecuencias naturales o mo-dos del sistema total se pueden ubicar para que este sea estable. De hecho, se pueden

9.2 Perturbaciones constantes y realimentacion integrativa 287

escoger arbitrariamente, si la realizacion original es controlable y observable. Ası,seleccionando K como en el Capıtulo 8, sobre realimentacion por variables de estado,se puede hacer acont (s) = det (sI −A+BK) arbitrario. Por eso, si acont (s) y aobs (s)son estables, es decir, con raıces ubicadas en el plano complejo izquierdo, entoncesao−c (s) tambien lo es. Resultado que es fundamental y que no era obvio ya que, comose dijo antes, hay muchas situaciones en las que la interconexion de sistema establesconduce a un sistema inestable.Otra consecuencia util de (9.26) es que el controlador y el observador se pueden disenarindependientemente el uno del otro. Para el calculo de las ganancias de realimentacionK no importa si son los verdaderos estados, o las estimaciones asintoticas correctasde los estados, los que estan disponibles; similarmente, la dinamica del observadorasintotico se puede calcular del conocimiento de A y C sin importar si este se va acombinar con un controlador por realimentacion o no.Lo anterior constituye la ası llamada propiedad de separacion en el procedimiento dediseno del observador-controlador. Sin embargo, habra un deterioro en la respuestatransitoria del sistema combinado (ver ejemplo).

9.2.0.1 Implementacion del observador

El hecho de que el observador tenga tantos estados como el sistema original no sig-nifica que se tiene que replicar el sistema original para lograr los anteriores resulta-dos. El sistema original podrıa ser una complicada planta de potencia, un procesadorquımico, etc. Afortunadamente, se sabe que, excepto en circunstancias muy espe-ciales, no se necesita contruir el observador de la misma manera como el sistemaoriginal. En particular, se puede construir con circuiteria electronica, miniaturizada,con grandes ventajas de tamano, costo, etc. De hecho, los modernos desarrollos en laelectronica integrada facilita el uso de observadores de muy alto orden en el control desistemas fısicos bastante complicados. Ası, en muchas aplicaciones, es posible utilizarun microprocesador disenado especialmente para integrar, no solo el controlador, sino tambien las ecuaciones de estado del observador.

9.2.0.2 Resumen

Usando realimentacion de los estados de una realizacion completamente controlabley completamente observable de la funcion de transferencia original, se puede obteneruna nueva realizacion internamente estable cuyas frecuencias naturales esten ubicadasdonde se desee.Aunque se ha obtenido este resultado solo para sistemas escalares, una entrada, unasalida, hay una extension natural al caso multivariable y en esto representa quizas elmayor triunfo del metodo del estado espacial en el control de sistemas lineales.

9.2.1 Perturbaciones constantes y realimentacion integrativa

Para un sistema excitado con una perturbacion constante desconocida w, se disenaraun observador para estimar a w y usar esta para compensar la perturbacion. Matema-ticamente:

.x = Ax+Bu+Bw.w = 0


y = Cx

en donde u es la entrada de control y y la salida observada. La perturbacion constantese modela como la salida de un integrador no excitado. Se tiene entonces el sistemaaumentado mostrado en la Fig 9.4:

Figura 9.4 Sistema con perturbacion

Si se tuviera una estimacion w de w, se ajustarıa u = −w para tratar de cancelar laperturbacion. Esto motiva para obtener un observador que estime a w.Un observador para el sistema aumentado es dado por:

" .

x.

w

#=

·A B0 0

¸ ·xw

¸+

·B0

¸u+ l (y −Cx)

x (0) = 0, w (0) = 0

en donde l es un vector columna de dimensiones (n+ 1)×1. Partiendo l como [lt1, lt2]t,con l2 un escalar, se tiene:

" .

x.

w

#=

·A− l1C B−l2C 0

¸ ·xw

¸+

·B0

¸u+

·l1l2

¸y

La estructura del observador se muestra en la Fig 9.5:


Figura 9.5 Observador para estado y perturbacion

Si el sistema aumentado es observable, se puede escoger l de tal manera que los modosdel error decaigan, tiendan a cero con el tiempo, y ası asegurar que w se aproximaasintoticamente a w.

Ejemplo 9.1 .

Para el ejemplo del satelite resuelto en el capıtulo de realimentacion de variables deestado, disenar un observador utilizando medidas de la perturbacion de la posicionacimutal y. Ubicar los polos del observador en s = −2ω, s = −3ω, s = −3ω± j3ω, locual significa que los errores estimados decaeran en un tiempo de aproximadamente4/2ω = 2/ω = 2/ (2π/29.3) = 9.33 dıas.Debido a la propiedad de separacion el observador se puede disenar independiente-mente del diseno de la realimentacion de las variables de estado. Entonces:

C = [0 0 1 0]

Para determinar si el sistema es observable:

0∗ =

CCACA2

CA3

CA = [ 0 0 0 1 ]CA2 = [ 0 −2ω −4ω2 0 ]CA3 =

£−18ω3 0 0 −8ω2¤

0∗ =

0 0 1 00 0 0 10 −2ω −4ω2 0

−18ω3 0 0 −8ω2

Por lo tanto:

det 0∗ = −36ω4 6= 0El sistema es observable y se puede disenar el observador.


sI −A+ lC =

s −1 0 0−9ω2 s 0 −2ω0 0 s −10 2ω 4ω2 s

+l1l2l3l4

£ 0 0 1 0¤

=

s −1 l1 0−9ω2 s l2 −2ω0 0 s+ l3 −10 2ω 4ω2 + l4 s

det (sI −A+ lC) = sdet

s l2 −2ω0 s+ l3 −12ω 4ω2 + l4 s

+ 9ω2 −1 l1 0

0 s+ l3 −12ω 4ω2 + l4 s

= s

©s£s2 + l3s+ 4ω

2 + l4¤+ 2ω [−l2 + 2ωs+ 2ωl3]

ª+9ω2

©− £s2 + l3s+ 4ω2 + l4¤+ 2ω [−l1]ª= s4 + s3 [l3] + s

2£4ω2 + l4 + 4ω

2 − 9ω2¤+s£2ω (−l2 + 2ωl3) + 9ω2l3

¤+ 9ω2

£4ω2 + l4 − 2ωl1

¤

La ecuacion caracterıstica deseada del observador es:

α (s) = (s+ 2ω) (s+ 3ω) (s+ 3ω − J3ω) (s+ 3ω + J3ω)α (s) = s4 + 11ωs3 + 54ω2s2 + 126ω3s+ 108ω4

Comparando los coeficientes correspondientes se obtienen las componentes del vectorl:

l1 = 23.5ω l2 = 8.5ω2 l3 = 11ω l4 = 55ω

2

La Fig 9.6 muestra el esquema del control con el observador.


Figura 9.6 Control del satelite con observador

APENDICE A

TABLAS DE LA TRANSFOR-

MADA DE LAPLACE

293

294 TABLAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Tabla A.1.

f (t) F (s)

1impulso unitario δ (t) 1

2escalon unitario 1 (t) 1

s

3t 1

s2

4tn−1(n−1)! (n = 1, 2, 3, . . .) 1

sn

5tn (n = 1, 2, 3, . . .) n!

sn+1

6e−at 1

s+a

7te−at 1

(s+a)2

81

(n−1)! tn−1 e−at (n = 1, 2, 3, . . .) 1

(s+a)n

9tn e−at (n = 1, 2, 3, . . .) n!

(s+a)n+1

10senωt ω

s2+ω2

11cosωt s

s2+ω2

12senhωt ω

s2−ω2

13coshωt s

s2−ω2

141a (1− e−at) 1

s(s+a)

151b−a

¡e−at − ebt¢ 1

(s+a)(s+b)

161b−a

¡be−bt − ae−at¢ s

(s+a)(s+b)

A.0 TABLAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 295

Tabla A.1 Continuacion

171ab

h1 + 1

a−b¡be−at − ae−bt¢i 1

s(s+a)(s+b)

181a2 (1− e−at − ate−at) 1

s(s+a)2

191a2 (at− 1 + e−at) 1

s2(s+a)

20e−at senωt ω

(s+a)2+ω2

21e−at cosωt s+a

(s+a)2+ω2

22ωn√1−ζ2 e

−ζωnt sen³ωnp1− ζ2 t

´ω2n

s2+2ζωns+ω2n

23

− 1√1−ζ2 e

−ζωnt sen³ωnp1− ζ2 t− φ

´φ = tan−1

√1−ζ2ζ

ss2+2ζωns+ω2n

24

1− 1√1−ζ2 e

−ζωnt sen³ωnp1− ζ2 t+ φ

´φ = tan−1

√1−ζ2ζ

ω2ns(s2+2ζωns+ω2n)

251− cosωt ω2

s(s2+ω2)

26ωt− senωt ω3

s2(s2+ω2)

27senωt− ωt cosωt 2ω3

(s2+ω2)2

2812ω t senωt

s(s2+ω2)2

29t cosωt s2−ω2

(s2+ω2)2

301

ω22−ω21 (cosω1t− cosω2t)¡ω21 6= ω22

¢s

(s2+ω21)(s2+ω22)

3112ω (senωt+ ωt cosωt) s2

(s2+ω2)2

296 TABLAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Tabla A.2.

1L [Af (t)] = AF (s)

2L [f1 (t)± f2 (t)] = F1 (s)± F2 (s)

3L±£ddtf (t)

¤= sF (s)− f (0±)

4L±hd2

dt2 f (t)i= s2F (s)− sf (0±)− f (0±)

5

L±£dn

dtn f (t)¤= snF (s)−

nPk=1

sn−k(k−1)f (0±)

donde(k−1)f (t)= dk−1

dtk−1 f (t)

6 L±£Rf (t) dt

¤= F (s)

s +

£Rf(t)dt

¤t=0±

s

7 L±£R R

f (t) dt dt¤= F (s)

s2 +

£Rf(t)dt

¤t=0±

s2 +

£R Rf(t)dt dt

¤t=0±

s

8L±

£R · · · R f (t) (dt)n¤ = F (s)sn +

nPk=1

1sn−k+1

hR · · · R f (t) (dt)kit=0±

9L±hR t0f (t) dt

i= F (s)

s

10

R∞0f (t) dt =lim

s→0 F (s) siR∞0f (t) dt existe

11L [e−atf (t)] = F (s+ a)

12L [f (t− α) 1 (t− α)] = e−asF (s) α ≥ 0

13L [tf (t)] = −dF (s)ds

14L£t2f (t)

¤= − d2

ds2F (s)

15L [tnf (t)] = (−1)n dn

dsnF (s) n = 1, 2, 3, . . .

16L£1t f (t)

¤=R∞sf (s) ds

17L£f¡ta

¢¤= aF (as)

APENDICE B

PROGRAMA MATLAB

B.1 Introduccion

Programa que sirve para calculo numerico y visualizacion de alto desarrollo. El ambi-ente es tal que los problemas y soluciones se expresan como se escriben matematica-mente, sin la tradicional programacion. Es un sistema interactivo cuyo elementobasico de datos es una matriz que no requiere dimensionamiento.MATLAB tambien tiene cajas de herramientas, ”toolboxes”, que resuelven clasesparticulares de problemas tales como procesamiento de senales, diseno de sistemas decontrol, simulacion de sistemas dinamicos, identificacion de sistemas, redes neurales,sistemas de control robustos, optimizacion y otros (Matematica simbolica).La cualidad mas importante del MATLAB es que es facilmente extendible. Estopermite crear nuestras propias aplicaciones.El contenido de este apendice describe:a) Como entrar matrices simples, los elementos para construirlas, declaraciones yvariables del MATLAB.b) Como conseguir informacion del espacio de trabajo y como guardarla.c) Numeros y expresiones aritmeticas.d) Formato de salida.e) Ayuda.f) Funciones del MATLAB.

B.2 Entrando matrices simples

El MATLAB trabaja fundamentalmente con una clase de objeto, una matriz numericarectangular con elementos posiblemente complejos.Se pueden entrar de diferentes maneras:a) Una lista explıcita de elementos.b) Generar matrices usando declaraciones y funciones propias del MATLAB.

297

298 PROGRAMA MATLAB

c) Crear matrices en archivos M.d) Cargar matrices de archivos de datos externos.El lenguaje MATLAB no contiene declaraciones ”DIMENSION” ni ”TYPE”. Separala memoria necesaria para el almacenamiento.Entrando una lista explıcita de elementos se siguen las siguientes convenciones:a) Se separa la lista de elementos con comas (,) o espacios en blanco.b) El punto y coma (;) se usa para indicar los finales de las filas.c) El comienzo y el fin de la matriz se indica con corchetes [ ].

Ejemplo B.1 .

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

Esta declaracion genera la siguiente salida:

A =1 2 34 5 67 8 9

La matriz A es guardada por el MATLAB para uso posterior.El punto y coma (;) puede ser reemplazado por el ” RETURN” o ”ENTER”.Se pueden entrar matrices desde archivos de disco si su nombre tiene extension ·m.Si un archivo llamado gena ·m tiene las siguientes lıneas de texto:

A = [1 2 34 5 67 8 9]

entonces la declaracion gena lee el archivo y genera A.

B.3 Elementos de las matrices

Estos pueden ser cualquier expresion del MATLAB.

Ejemplo B.2 .

x = [−1.3 sqrt (3) (1 + 2 + 3) ∗ 4/5]

resulta en:

x = −1.3000 1.7321 4.8000

los elementos de la matriz pueden ser referenciados con ındices dentro de parentesis.

B.4 Declaraciones y variables del MATLAB 299

Ejemplo B.3 .

x (5) = abs (x (1))

produce:

x = −1.3000 1.7321 4.8000 0 1.3000

Note que el tamano de x se incrementa automaticamente para acomodar el nuevoelemento y que los elementos no definidos se igualan a cero.Se pueden construir matrices grandes usando matrices pequenas como elementos. Porejemplo, para adicionar otra fila a la matriz A :

r = [10 11 12] ;

A = [A ; r]

que resulta en:

A = 1 2 34 5 67 8 910 11 12

Se puede extraer matrices pequenas de matrices grandes usando dos puntos (:).

Ejemplo B.4 .

A = A (1 : 3, :) ;

toma las tres primeras filas y todas las columnas de la A actual.

B.4 Declaraciones y variables del MATLAB

El MATLAB es un lenguaje de expresion. Es decir, interpreta y evalua las expresionesescritas. Las declaraciones son frecuentemente de la forma:variable = expresiono simplementeexpresion.Las expresiones se pueden componer de operadores y otros caracteres especiales, fun-ciones y nombres de variables. La evaluacion de la expresion produce una matriz lacual se muestra en la pantalla y se asigna a la variable.Si se omite el nombre de la variable y el signo =, MATLAB automaticamente creauna variable con el nombre ans.

300 PROGRAMA MATLAB

Ejemplo B.5 .

1900/81

produce:

ans = 23.4568

Una declaracion normalmente termina con ”RETURN” o ”ENTER”. Sin embargo,si el ultimo caracter es punto y coma (;) antes del ”RETURN” o ”ENTER” elresultado no se muestra en la pantalla pero sı se realiza la asignacion.

Ejemplo B.6 .

p = eig (A) ;

halla los valores propios de A pero no los muestra en pantalla.Si es necesaria mas de una lınea para la expresion se puede usar · · · (3 puntos) y el”RETURN” para indicar que continua en la proxima lınea.Se pueden formar variables y nombre de funciones con una letra, seguida por cualquiernumero de letras y digitos. MATLAB recuerda solo los primeros 19 caracteres de unnombre. Ademas, distingue entre mayusculas y minusculas. Todos los nombres defunciones deben ser en minusculas.Ası, inv (A) invierte A, pero INV (A) se refiere a una funcion no definida.

B.5 Informacion sobre el espacio de trabajo

Para listar las variables en el espacio de trabajo escriba:who . Para ver el tamano de las variables se puede usar whos . Cada elementode una matriz real requiere 8 bytes de memoria.Las variables ans y eps son permanentes y no se pueden borrar. eps es una toleranciapara determinar aspectos tales como singularidades y rango. eps = 2−52 ≈ 2.22·10−16.Se le puede reasignar otro valor, incluyendo cero.El MATLAB tiene la facilidad help. Ensayar el comando help lookfor. Ası comohelp what y help which.

B.6 Como terminar el programa y guardar el

espacio de trabajo

Para terminar el programa escribir quit o exit . Antes de parar se puede guardarel espacio de trabajo con el comando save , el cual guarda todas las variables en unarchivo del disco llamado matlab.mat.

B.8 Formato de salida 301

La proxima vez que se invoque el MATLAB se puede ejecutar el comando load pararecuperar el espacio de trabajo desde matlab.mat. save y load se pueden usar conotros nombres de archivos, o tambien guardar unicamente las variables que se deseen.Ası, save temp x y z guarda las variables x, y y z en el archivo llamado temp.mat.load temp , recupera todas las variables del archivo temp.mat. load y save puedentambien importar y exportar archivos de datos ASCII.

B.7 Numeros y expresiones aritmeticas

Usa notacion convencional decimal, con el punto decimal opcional. Se puede incluir lapotencia 10 como un factor de escala o una unidad compleja como un sufijo. Ejemplosde numeros son:

3 − 99 0.001

9.6397238 1.602e− 20 6.022e 23

2i − 3.14159i 3e5i

La precision relativa de los numeros es eps que equivale a, aproximadamente, 16digitos decimales significativos. El rango es ≈ de 10−308 hasta 10308.Se pueden construir expresiones con las operaciones aritmeticas usuales y con reglasde precedencia: + (suma), − (resta), ∗ (multiplicacion), / (division por la derecha),\ (division por la izquierda), ˆ (potenciacion).Los parentesis sirven para afectar la precedencia.La funcion pi calcula π (usa 4 ∗ atan (1)).La funcion Inf es usada para infinito.

Ejemplo B.7 .

s = 1/0 = Inf

La variableNaN implica ”no un numero”. Calculos como Inf/Inf o 0/0 la producen.MATLAB maneja numeros complejos, indicados por las funciones especiales i y j, entodas sus operaciones y funciones.

Ejemplo B.8 .

A = [1 + 5i 2 + 6i; 3 + 7i 4 + 8i]

Un nombre de una funcion interna puede ser un nombre de una variable, pero en estecaso no es disponible la funcion interna dentro del actual area de trabajo hasta que lavariable no sea borrada. Si se usa i y j como variables y se sobreescribe sus valores,se puede generar una nueva unidad de complejos y usarse de la manera usual:

302 PROGRAMA MATLAB

ii = sqrt (−1)

z = 3 + 4ii

B.8 Formato de salida

El comando format afecta la forma en que se muestran las matrices en la pantalla,no como se calculan o guardan. MATLAB desarrolla todos los calculos en dobleprecision.Si todos los elementos de una matriz son exactos, la matriz se muestra en un formatosin puntos decimales.Si por lo menos un elemento de la matriz no es un entero exacto, se dispone de variosformatos de salida. El formato por defecto es el short, el cual muestra aproximada-mente 5 dıgitos decimales significativos. Los otros formatos muestran mas dıgitossignificativos o usan notacion cientıfica.

Ejemplo B.9 .

x = [4/3 1.2345e− 6]

Los formatos, y la salida resultante para este vector, son:

format short

1.3333 0.0000

format short e

1.3333e+ 00 1.2345e− 06

format long

1. 3333 · · · 3| z 14

0.00000123450000

format long e

1. 3333 · · · 3| z 15

e+ 00 1.23450 · · · 0 e − 06

B.11 Division de matrices 303

format bank

1.33 0.00

format hex

format +

Con los formatos short y long si el elemento mas grande de una matriz es mayor que1000 o menor que 0.001, la matriz total se muestra con un factor de escala comun.

B.9 Funciones

Gran parte de la potencia del MATLAB proviene de su extensivo conjunto de fun-ciones. Algunas son intrınsecas, otras son disponibles en la librerıa de archivos exter-nos tipo m, distribuıda con el MATLAB (las herramientas). El usuario puede crearsus propias funciones para aplicaciones mas especializadas (posteriormente se hablarade los archivos m).Usar el help para ver las diferentes categorıas de funciones analıticas disponiblesen el MATLAB (matematica elemental, funciones especiales, matrices elementales,especiales,· · ·).Las funciones pueden tener varios argumentos de entrada y varias salidas. Ejemplos:theta = atan2 (y, x), usa 2 argumentos de entrada.[V,D] = eig (A), retorna 2 matrices, V y D, con los vectores y valores propios de lamatriz A, respectivamente. Las salidas son delimitadas con corchetes [ ] y separadascon comas.[y, i] = max (x), regresa el maximo valor del vector x en y, y el ındice respectivo en i.MATLAB nunca modifica la entrada o argumentos de entrada a la funcion. Siempreretorna las salidas de una funcion en los argumentos del miembro izquierdo.

B.10 Operaciones matriciales

El caracter0(prima o apostrofe) denota la transpuesta de una matriz. Si z es una

matriz con complejos, z0es la transpuesta de la conjugada z. Para la transpuesta no

conjugada, usar z.0o conj

³z0´.

+ y − denotan suma y resta de matrices siempre y cuando tengan las mismas dimen-siones. Si uno de los operandos es un escalar, este es sumado o restado de todos loselementos del otro operando.

Ejemplo B.10 .

y = [1 2 3]− 1 = [0 1 2]

304 PROGRAMA MATLAB

∗ denota multiplicacion de matrices. Valida si hay conformabilidad en la multipli-cacion de las matrices.

B.11 Division de matrices

Se usan 2 sımbolos: \ y /. Si A es cuadrada no singular, A\B y B/A correspondenformalmente a la multiplicacion por la izquierda y por la derecha de B por la inversade A, es decir, inv (A) ∗ B y B ∗ inv (A). Sin embargo el resultado se obtiene sin elcalculo de la inversa. En general:

x = A\B es una solucion a A ∗ x = Bx = B/A es una solucion a x ∗A = B

Aˆp = A ·A · · · · ·A| z p

, si p es un entero > 1

Aˆp = V ∗D.ˆ p/V , para otros valores de pdonde:

[V,D] = eig (A)

B.12 Funciones matriciales

MATLAB considera expresiones como exp (A) y sqrt (A) como operaciones sobre cadauno de los elementos de la matriz. Se pueden calcular tambien funciones trascenden-tales matriciales, tales como la matriz exponencial y la matriz logaritmo, las cualesse definen solo para matrices cuadradas (son generalmente difıciles de calcular).Una funcion matematica trascendental se interpreta como una funcion matricial sise adiciona una m al nombre de la funcion, ejemplo: expm(A) y sqrtm (A). Hay 3definidas expm, logm y sqrtm.Otras funciones matriciales elementales incluyen:poly, polinomio caracterıstico.det, determinante.trace, la traza, y otras.

B.13 Operaciones sobre arreglos

Esto se refiere a operaciones aritmeticas sobre cada elemento de una matriz.Un punto (.) precediendo un operador (∗, \, /, ˆ, 0

) indica una operacion sobrearreglos.

B.15 Operaciones logicas 305

Para suma y resta, las operaciones sobre arreglos y sobre matrices son las mismas,ası + y − se pueden considerar como operaciones sobre matrices o arreglos..∗ denota la multiplicacion de arreglos.Ejemplo B.11 .

Si:

x = [1 2 3] ; y = [4 5 6] ;

entonces:

z = x. ∗ y = [4 10 18]A ./B y A .\B dan los cocientes de los elementos individuales.

Ejemplo B.12 .

z = x.\y = [4.0000 2.5000 2.0000]

.ˆ denota potencias de arreglos.

Ejemplo B.13 .

Para el x y y anterior:

z = x.ˆy = [1 32 729]

z = x.ˆ2 = [1 4 9] (el exponente es un escalar)

z = 2.ˆ [x y] = [2 4 8 16 32 64] (la base es un escalar)

B.14 Operaciones relacionales

Se dispone de 6 operadores relacionales para comparar 2 matrices de iguales dimen-siones.< menor que.<= menor o igual que.> mayor que.>= mayor o igual que.== igual.˜ = no igual.MATLAB compara los pares de elementos correspondientes. El resultado es unamatriz con unos y ceros, en donde uno representa ”cierto” y cero ”falso”.

Ejemplo B.14 .

2 + 2 ∼= 4 es simplemente cero

306 PROGRAMA MATLAB

B.15 Operaciones logicas

Los operadores &, | y ∼ son los operadores logicos ”Y ”, ”O” y ”NO”.C = A & B es una matriz cuyos elementos son unos en donde A y B tengan elementosdiferentes de cero, y ceros en donde cualquiera tenga un cero. A y B deben tener lasmismas dimensiones, a menos que una sea un escalar. Un escalar puede operar conotro escalar o una matriz.C = A | B es una matriz cuyos elementos son unos en donde A o B tengan elementosdiferentes de cero, y ceros en donde ambas tengan ceros. A y B deben tener lasmismas dimensiones, a menos que una sea un escalar.B =∼ A es una matriz cuyos elementos son unos en donde A tiene ceros y ceros endonde A tiene elementos diferentes de cero.Las funciones any y all son utiles con operaciones logicas.any (x) retorna 1 si cualquiera de los elementos de x son diferentes de cero, retornacero de otra manera.all (x) retorna 1 solo si todos los elementos de x son diferentes de cero. Estas funcionesson utiles particularmente en declaraciones como:if all (A < 0.5)haga algoendSi los argumentos de any y all son matrices, retorna un vector fila con el resultadopara cada columna.Para las siguientes funciones relacionales y logicas:any, all, find, exist, isnan, isinf , finite, isempty, isstr, isglobal, issparse, usarhelp para saber que hacen.

B.16 Funciones matematicas

Un conjunto de funciones matematicas elementales se aplican a los arreglos.

Ejemplo B.15 .

A = [1 2 3; 4 5 6]

B = cos (pi ∗A) =· −1 1 −11 −1 1

¸MATLAB incluye todas las funciones trigonometricas y exponenciales:sin, cos, tan, asin, acos, atan, atan2, sinh, cosh, tanh, asinh, acosh, atanh.Incluye estas funciones elementales:abs, angle, sqrt, real, imag, conj, round, fix, floor, ceil, sign, rem, gcd, lcm, exp, log,log10.Algunas funciones especiales suministran capacidades mas avanzadas:bessel, beta, gamma, rat, erf , erfinv, ellipk, ellipj.Ası como las funciones elementales, las especiales tambien operan sobre arregloscuando los argumentos son matrices.

B.18 Referencia a los elementos de una matriz 307

B. 17 Manipulacio n de vectore s y matri ces

Generacion de vectores.

La declaracion x = 1 : 5 genera un vector fila que contiene los numeros de 1 a 5 conincrementos unitarios. Es decir:

x = 1 2 3 4 5

Se pueden usar incrementos diferentes a la unidad:

y = 0 : pi/4 : pi

resulta en:

y = 0.0000 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416

Los incrementos tambien pueden ser negativos:

z = 6 : −1 : 1da:

z = 6 5 4 3 2 1

La notacion (:) permite la generacion facil de tablas. Para obtener una tabla en formavertical se traspone el vector fila obtenido de la notacion (:), se calcula una columnade los valores de una funcion y luego se forma la matriz de las 2 columnas.

Ejemplo B.16 .

x = (0.0 : 0.2 : 3.0)0;

y = exp (−x) . ∗ sin (x) ;[x y]produce:

ans = 0.0000 0.00000.2000 0.1627...

...3.0000 0.0070

Otras funciones para generar vectores son: logspace, la cual genera vectores uniformey logarıtmicamente espaciados, y linspace, la cual permite especificar el numero depuntos, mejor que el incremento:

k = linspace (−pi, pi, 4)

k = −3.1416 − 1.0472 1.0472 3.1416

308 PROGRAMA MATLAB

B.18 Referencia a los elementos de una matriz

Los elementos individuales de una matriz se pueden referenciar indicando su posicionen parentesis. Por ejemplo A (i, j) se refiere al elemento de la i-esima fila, j-esimacolumna.Un ındice puede ser un vector. Si x y v son vectores, entonces x (v) es:

[x (v (1)) , x (v (2)) , · · · , x (v (n))]En matrices, vectores como ındice permiten el acceso a submatrices contiguas y nocontiguas. Por ejemplo supongase que A es una matriz de 10×10, enotncesA (1 : 5, 3)especifıca la submatriz de 5×1 (vector columna) que contiene los primeros 5 elementosen la tercera columna de A. Ası mismo, A (1 : 5, 7 : 10) es la submatriz de 5×4 cuyoselementos son las primeras 5 filas y las ultimas 4 columnas de A.Usar (:) (”colon”) en lugar de un ındice indica todas las correspondientes filas ocolumnas. Por ejemplo A (:, 3) es la tercera columna de A y A (1 : 5, :) contiene lasprimeras 5 filas de A.Efectos sofisticados se obtienen referenciando submatrices en ambos lados de unadeclaracion de asignacion.

Ejemplo B.17 .

A (:, [3 5 10]) = B (:, 1 : 3)

reemplaza la tercera, quinta y decima columnas de A con las 3 primeras columnas deB.En general, si v y w son vectores cuyos elementos son enteros, entonces A (v,w) es lamatriz obtenida tomando los elementos de A con ındices fila de v e ındices columnade w. Ası A (:, n : −1 : 1) invierte las n columnas de A.

Ejemplo B.18 .

v = 2 : 2 : n;

w = [3 1 4 1 6] ;

A (v,w)

A (:) en el lado derecho de una declaracion de asignacion denota todos los elementosde A pero organizados en un vector columna.

Ejemplo B.19 .

A = [1 2 ; 3 4 ; 5 6]

B.21 Matrices especiales 309

b = A (:)

resulta en:

b =

135246

A (:) en el lado izquierdo de una declaracion de asignacion denota una matriz conlas mismas dimensiones de A pero con el nuevo contenido de lado derecho de laasignacion. Por ejemplo, la matriz A anterior es de 3× 2, A (:) = 11 : 16 es ahora:

A =

11 1412 1513 16

B.19 Referencia a los elementos de una matriz

usando vectores con ceros y unos

Se pueden usar vectores con ceros y unos, creados generalmente de operaciones rela-cionales, para referirse a submatrices. Si A es una matriz de dimensiones m× n y Les un vector de longitud m de ceros y unos, entonces A (L, :) especifica las filas de Aen donde los elementos de L son diferentes de cero.x = x (x <= 3 ∗ std (x)) ; remueve del vector x aquellos elementos mayores que 3desviaciones estandar.L = x (:, 3) > 100 ; x = x (L, :) ; reemplaza x con aquellas filas de x cuya terceracolumna es mayor que 100.

B.20 Matrices vacıas

La declaracion x = [ ] asigna una matriz de dimension 0× 0 a x. El uso subsecuentede esta matriz no conduce a una condicion de error, propaga matrices vacıas.La funcion exist sirve para probar la existencia de una matriz, y la funcion isemptysirve para indicar si una matriz es vacıa.Una manera eficiente de remover filas y columnas de una matriz es asignarles unamatriz vacıa.

Ejemplo B.20 .

310 PROGRAMA MATLAB

A (:, [2 4]) = []

borra las columnas 2 y 4 de A.

B.21 Matrices especiales

Una coleccion de funciones generan matrices especiales del algebra lineal y en proce-samiento de senales:compan, diag, gallery, hadamard, hankel, hilb, toeplitz, vander, etc.

Ejemplo B.21 .

Para generar la matriz ”companion” asociada con el polinomio:

s3 − 7s+ 6

p = [1 0 − 7 6]

A = compan (p)

genera:

A =

0 7 −61 0 00 1 0

Los valores propios de A son las raıces del polinomio:

eig (A) = [−3 2 1]t

Otras funciones que generan matrices son:zeros, ones, rand, randn, eye, linspace, logspace, meshgrid (usar help para masdetalles).

B.22 Construccion de matrices mas grandes

Se pueden formar matrices mas grandes de matrices pequenas, delimitandolas con

corchetes, [ y ]. Por ejemplo, si A es cuadrada, C =hA A

0; ones (size (A)) A.ˆ2

icrea una matriz dos veces el tamano de A. Las dimensiones de las matrices maspequenas deben ser consistentes.Otras funciones que manipulan matrices son:rot90, fliplr, flipud, diag, tril, triu, etc.La funcion size devuelve un vector con dos elementos: el numero de filas y el numerode columnas de una matriz.La funcion length devuelve la longitud de un vector.

B.24 Polinomios y procesamiento de senales 311

B.23 Funciones matriciales

Factorizacion triangular : la funcion lu factoriza una matriz cuadrada con el productode dos matrices esencialmente triangulares. Para obtener las dos matrices utilizar:

[L, u] = lu (A)

Factorizacion ortogonal : la funcion qr, util para matrices cuadradas y rectangulares,expresa la matriz como el producto de una matriz ortonormal y una matriz superior.Las dos matrices se obtienen con:

[Q,R] = qr (A)

Descomposicion en valores singulares: la asignacion [U,S, V ] = svd (A) produce lostres factores en esta descomposicion (”singular value decomposition”). Las matricesU y V son ortogonales y la matriz S es diagonal. Los elementos de la diagonal de Sson los valores singulares de A.Vectores y valores propios: la asignacion [x,D] = eig (A) retorna en los elementos dela diagonal de D los valores propios de A y en las columnas de x los correspondientesvectores propios.

B.24 Polinomios y procesamiento de senales

Representacion de polinomios.MATLAB los representa como vectores fila que contienen los coeficientes ordenadospor potencias descendientes.Si:

A =

1 2 34 5 67 8 0

su ecuacion caracterıstica se calcula con:

p = poly (A)

p = [1− 6− 72− 27]que es la representacion del polinomio s3 − 6s2 − 72s− 27.Las raıces de esta ecuacion son:

r = roots (p)

r =

12.1229−5.7345−0.3884

312 PROGRAMA MATLAB

Estas raıces son, por supuesto, los mismos valores propios de la matriz A. Tambiense pueden obtener el polinomio original con poly :

p2 = poly (r)

p2 = [1− 6− 72− 27]

Sea a (s) = s2 + 2s+ 3 y b (s) = 4s2 + 5s+ 6. El producto de los dos polinomios esla convolucion de los coeficientes.

a = [1 2 3] ; b = [4 5 6]

c = conv (a, b)

c = [4 13 28 27 18]

Se usa deconvolucion para dividir polinomios:

[q, r] = deconv (c, a)

q = [4 5 6]

r = [0 0 0 0 0]

Otras funciones polinomiales son:poly, roots, polyval (evaluacion polinomial), polyvalm (evaluacion de un polinomiomatricial), residue (expansion en fracciones parciales), polyder, polyfit.

B.25 Procesamiento de senales

En procesamiento de senales, los vectores pueden contener datos de senales muestradaso secuencias. Para sistemas con multiples entradas, cada fila de una matriz corre-ponde a un punto de muestra con los ”canales” distribuidos a lo largo de las columnasde la matriz.Algunas funciones para el procesamiento de senales son:abs, angle, conv, cov, deconv, fft, ifft.La herramienta ”signal processing” del MATLAB suminitra muchas funciones parael procesamiento de senales.

B.27 Funciones como funcion 313

B.26 Filtraje de datos

La funcion y = filter (b, a, x) filtra los datos del vector x con el filtro descrito por losvectores a y b.Los datos filtrados son devueltos en el vector y.La ecuacion de diferencia del filtro es:

y (n) = b (1)x (n) + b (2)x (n− 1) + · · ·+ b (nb)x (n− nb + 1)+

−a (2) y (n− 1)− · · ·− a (na) y (n− na + 1)o la funcion de transferencia z :

H (z) =Y (z)

x (z)=b (1) + b (2) z−1 + · · ·+ b (nb) z−(nb−1)1 + a (2) z−1 + · · ·+ a (na) z−(na−1)

Por ejemplo, para encontrar y graficar la respuesta al impulso (con n puntos) de unfiltro digital:

x = [1 zeros (1, n− 1)] ;

y = filter (b, a, x) ;

plot (y,0 o0)

la funcion freqz retorna la respuesta frecuencial de filtros digitales.La respuesta frecuencial es H (z) evaluada alrededor del cırculo unitario en el planocomplejo, z = ejω. Se puede usar freqz para encontrar y graficar la respuesta fre-cuencial con n puntos.

[h,w] = freqz (b, a, n) ;

mag = abs (h) ;

phase = angle (h) ;

semi log y (w,mag)

plot (w, phase)

La herramienta ”signal processing” incluye numerosas funciones para el diseno defiltros digitales. Sabiendo algunas tecnicas de diseno de filtros, muchos metodos sonposibles. Por ejemplo, las tecnicas de la transformacion bilineal y el mapeo de polosy ceros convierten prototipos en el dominio s al dominio z.fft (x) es la transformada discreta de Fourier del vector x.fft (x, n) es la transformada discreta de Fourier del vector x con n puntos.Si x es una matriz, fft (x) es la transformada rapida de Fourier de cada columna dex.ifft (x) es la transformada rapida inversa del vector x.

314 PROGRAMA MATLAB

B.27 Funciones como funcion

Una clase de funciones en MATLAB no trabaja con matrices numericas, si no confunciones matematicas. Estas funciones como funcion incluyen:a) Integracion numerica.b) Ecuaciones no lineales y optimizacion.c) Solucion de ecuaciones diferenciales.MATLAB representa funciones matematicas declarandolas como funcion en archivostipo m. Por ejemplo, la funcion:

f (x) =1

(x− 0.3)2 + 0.01 +1

(x− 0.9)2 + 0.04 − 6

se puede generar en MATLAB creando un archivo tipo m llamado humps.m con lassiguientes declaraciones:

function y = humps (x)

y = 1./ ((x− .3) .ˆ2 + .01) + 1./ ((x− .9) .ˆ2 + .04)− 6;

Una grafica de esa funcion es, por ejemplo:

x = −1 : .01 : 2;

plot (x, humps (x) ,0w0)

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-20

0

20

40

60

80

100

Figura B.1 Grafica de la funcion ”humps”

B.30 Funciones de ecuaciones diferenciales. 315

B. 28 Inte gracion numeri ca

El area bajo la curva f (x) se puede calcular numericamente integrando f (x) . Lafuncion que se usa es quad o quad8. Por ejemplo, para integrar la funcion definida enhumps.m desde 0 hasta 1 :

q = quad (0humps0, 0, 1)

q = 29.8583

Notese que el primer argumento de la funcion quad es el nombre del archivo, quecontiene la funcion matematica, entre comillas simples.

B.29 Ecuaciones no lineales y funciones de

optimi zacion

fmin mınimo de una funcion de una variable.fmins mınimo de una funcion multivariable.fzero cero de una funcion de una variable.

Ejemplo B.22 .

xm = fmin (0humps0, .5, 1)

xm = 0.6370

es el mınimo de la funcion definida en humps.m en la region 0.5 a 1.El valor de la funcion en el mınimo es:

y = humps (xm)

y = 11.2528

xz1 = fzero (0humps0, 0)

localiza el cero cerca a x = 0, es decir:

xz1 = −0.1316y:

xz2 = fzero (0humps0, 1)

localiza el cero cerca a x = 1, es decir:

xz2 = 1.2995

La herramienta ”optimization” del MATLAB contiene varias funciones de funcionespara ecuaciones no lineales y optimizacion.

316 PROGRAMA MATLAB

B. 30 Funciones de ecuaciones di ferenciales

Las funciones para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias son:ode23 metodo de Runge-Kutta de orde 2/3.ode45 metodo de Runge-Kutta de orde 4/5.Sea la ecuacion diferencial de Vander Pol:

..x +

¡x2 − 1¢ x+ x = 0

Reescribiendola como ecuaciones de estado:

x1 = x1¡1− x22

¢− x2x2 = x1

El primer paso es crear una funcion en un archivo tipo m con estas ecuaciones difer-enciales. Si el archivo es llamado vdpol.m, entonces debe contener:

function xdot = vdpol (t, x)

xdot = zeros (2, 1) ;

xdot (1) = x (1) . ∗ (1− x (2) .ˆ2)− x (2) ;

xdot (2) = x (1) ;

Para simular la ecuacion diferencial definida en vdpol.m en el intervalo 0 ≤ t ≤ 20, seusara ode23.

to = 0 ; tf = 20;

xo = [0 0.25]0;% condiciones iniciales

[t, x] = ode23 (0vdpol0, to, tf, xo)

plot (t, x,0w0)

B.32 Graficos en dos dimensiones. 317

0 5 10 15 20-3

-2

-1

0

1

2

3

Figura B.2 Graficas de las variables de estado de la ecuacion de Vander Pol

Para trabajar con ecuaciones diferenciales o simulacion, el MATLAB tiene otra her-ramienta especializada llamada ”Simulink”, la cual se estudiara en detalle posterior-mente.

B. 31 G rafico s

El sistema de graficos del MATLAB suministra una variedad de tecnicas sofisticadaspara presentar y visualizar datos. Este sistema utiliza objetos graficos, tales comolıneas y superficies, los cuales se pueden controlar con los valores de las propiedadesde los objetos. Sin embargo, ya que el MATLAB implementa un rico conjunto defunciones graficas de alto nivel (en 2 y 3 dimensiones), la mayorıa de las veces no esnecesario accesar estos objetos graficos a bajo nivel.Se describira como usar las capacidades graficas de alto nivel del MATLAB parapresentar los datos.

B. 32 G rafico s en dos dimensiones

Existe una variedad de funciones para presentar datos como graficos en dos dimen-siones. Cada una acepta entradas en forma de vectores o matrices y automaticamenteescalan los ejes para acomodar los datos de entrada.plot crea una grafica de vectores o columnas de matrices.loglog crea una grafica usando escalas logarıtmicas en ambos ejes.semilogx crea una grafica usando una escala logarıtmica para el eje x y una escalalineal para el eje y.semilogy grafica con escala logarıtmica para el eje y y escala lineal para el x.Se pueden adicionar tıtulos, etiquetas de ejes, cuadrıculas y texto al grafico usando:

318 PROGRAMA MATLAB

title adiciona un tıtulo al grafico.xlabel adiciona una etiqueta al eje x.ylabel adiciona una etiqueta al eje y.text muestra una cadena de caracteres en la localizacion que se especifique.gtext coloca texto en el grafico usando el raton (”mouse”).grid habilita la cuadrıcula.ginput permite leer valores del grafico con el raton.

B. 33 Crea cion de un grafico

Si y es un vector, plot (y) produce un grafico lineal de los elementos de y contrael ındice de los elementos de y. Si se especifican dos vectores como argumentos,plot (x, y) produce un grafico de y contra x.Tambien se pueden especificar multiples conjuntos de datos y definir el color y estilode lınea para ser usado con cada conjunto de datos.

Ejemplo B.23 .

t = 0 : pi/100 : 2 ∗ pi;

x = sin (t) ;

y1 = sin (t+ .25) ;

y2 = sin (t+ .5) ;

plot (x, y1,0 r−0, x, y2,0 g −−0)plot genera un grafico de y1 contra x y y2 contra x en los mismos ejes.El primer conjunto de datos serıa graficado con una lınea solida roja y el segundoconjunto con una lınea discontinua verde. Con el fin de mostrar las graficas, en lugardel comando anterior se usara:

plot (x, y1,0w−0, x, y2,0 w −−0)el cual permite ver las graficas en la pantalla con fondo negro y las curvas blancas.Sin embargo al importarlas a este texto los dos colores anteriores se intercambian.Las siguientes declaraciones le adicionan un tıtulo al grafico y etiquetas a los ejes:

title (0fase0)

xlabel¡0x = sen (t)0¢

B.34 Estilos de lıneas, marcadores y colores. 319

ylabel¡0y = sen (t+)0¢

Los resultados de este ejemplo se muestran en la Fig. B.3.

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

x=sen(t)

y=se

n(t+

)

fase

Figura B.3 Resultados del ejemplo B.23

B. 34 Est ilo s d e lıneas, marcadores y colores

En la declaracion plot (x, y, s), s es una cadena de 1, 2 o 3 caracteres (entre comillassimples) para especificar el estilo de lınea y colores en la grafica. Los caracteres usadosse muestran en la siguiente tabla:

sımbolo color sımbolo colory amarillo • puntom fucsia cırculoc cyan x xr rojo + masg verde ∗ estrellab azul − continuaw blanco .. punteadak negro −. raya− punto

−− discontınua

si no se especifica un color, la funcion plot automaticamente usa los colores de arriba.Para una lınea, el color por defecto es amarillo, ya que este es el color mas visiblesobre un fondo negro. Para multiples lıneas, la funcion plot utiliza en forma cıclica

320 PROGRAMA MATLAB

los 6 primeros colores de la tabla.Los sımbolos •, , x, + y ∗ son marcadores escalables.

B. 35 Adicion de lıneas a un gra fic o exi s te nte

Se pueden adicionar lıneas a un grafico existente utilizando el comando hold.Cuando se usa la declaracion hold on, MATLAB no remueve las lıneas existentes y sepueden adicionar nuevas lıneas en los ejes actuales. Sin embargo, los ejes se puedenreescalar si los nuevos datos estan fuera del rango de los datos anteriores. Por ejemplo,utilizando los mismos datos del ejemplo anterior:

plot (x,0 w−0) ; hold on ; plot (y1,0w −−0) ;

plot (y2,0w − .0) ; hold off

Estas declaraciones producen un grafico con tres curvas como se muestra en la Fig.B.4.

0 50 100 150 200 250-1

-0.5

0

0.5

1

Figura B.4 Graficas de x, y1, y2 del ejemplo B.23

B. 36 Dat os c omplejo s

Cuando los argumentos de plot son complejos, la parte imaginaria es ignorada exceptocuando el argumento de plot es uno solo. En este caso, se obtiene una grafica de laparte real contra la parte imaginaria.Ası, plot (z), en donde z es un vector o una matriz de complejos, es equivalente aplot (real (z) , imag (z)) .

B.38 Graficos de matrices. 321

Ejemplo B.24 .

plot (eig (randn (20, 20)) ,0 x0)

Esta grafica se muestra en la Fig. B.5.

-5 0 5-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Figura B.5 Grafica del ejemplo B.24

Para graficar mas de una matriz compleja, se deben tomar explıcitamente las partesreales e imaginarias.

B. 37 El archivo tip o m ”peak s ”

Futuros ejemplos usan el archivo tipo m llamado peaks para generar una matriz dedatos. Los datos se basan en una funcion de dos variables que tiene maximos ymınimos:

f (x, y) = 3 (1− x)2 e−x2−(y+1)2 − 10³x5− x3 − y5

´e−x

2−y2 − 13e−(x+1)

2−y2

El archivo peaks crea una matriz que contiene los valores de la funcion para valoresde x y y en el rango de −3 a 3. Los valores de x varıan a lo largo de las columnas ylos de y a lo largo de las filas. Se puede especıficar el tamano de la matriz cuadradapasandole un argumento a peaks. EjemploM = peaks (20) ; crea una matriz de datosde 20× 20. Si se omite el argumento de entrada, por defecto el tamano es 49.

B. 38 G rafico s de m atr i ce s

La funcion plot puede tomar un solo argumento matricial: plot (Y ) .

322 PROGRAMA MATLAB

Ella dibuja una curva por cada columna de Y . El eje x corresponde al ındice de lasfilas, 1 : m, en donde m es el numero de filas en Y . Por ejemplo, plot (peaks,0w−0)produce un grafico con 49 curvas. Vease Fig. B.6.

0 10 20 30 40 50-10

-5

0

5

10

Figura B.6 Resultado de plot(peaks,0w−0)Esta grafica es una vista desde la superficie peaks mirando a lo largo del eje x (esdecir, una vista desde el azimuth = 90 y elevacion = 0).La funcion plot tambien acepta dos vectores o dos matrices como argumentos. Porejemplo, plot (peaks, rot90 (peaks) ,0 w−0) . Vease Fig. B.7.

-10 -5 0 5 10-10

-5

0

5

10

Figura B.7 Resultado de plot(peaks, rot(peaks),0w−0)

B.38 Graficos de matrices. 323

En general, si plot es usada con dos argumentos y si X o Y tienen mas de una fila ocolumna, entonces:a) Si Y es una matriz y x es un vector, plot (x,Y ) grafica sucesivamente las filas ocolumnas de Y contra el vector x, usando diferentes colores o tipos de lıneas paracada una. La orientacion por filas o columnas se selecciona dependiendo del numerode elementos en x. Es decir, si x tiene m elementos y Y es m×n entonces se graficanlas columnas de Y contra x; y si x tiene n elementos y Y es m×n se grafican las filasde Y contra x. Si Y es cuadrada, se grafican las columnas.b) Si X es una matriz y y es un vector, plot (X, y) grafica cada fila o columna de Xcontra el vector y.

Ejemplo B.25 .

y = 1 : 49; plot (peaks, y,0w−0)Vease Fig. B.8.

-10 -5 0 5 100

10

20

30

40

50


c) Si X y Y son matrices del mismo tamano, plot (X,Y ) grafica las columnas de Xcontra las columnas de Y.Se puede usar la funcion plot con multiples pares de argumentos matriciales:

plot (X1, Y1,X2, Y2, · · ·)Cada par X−Y es graficado generando multiples curvas. Los diferentes pares puedenser de dimensiones diferentes.

Ejemplo B.26 .

Almacenar en un archivo tipo m la siguiente matriz:

324 PROGRAMA MATLAB

weather = [30 4.031 3.738 4.149 3.759 3.568 2.974 2.772 3.765 3.455 3.445 4.234 4.9]

con el nombre mweather.m. Las declaraciones:

temp = weather (:, 1) ; precip = weather (:, 2) ;

despues de usar la declaracion mweather, almacena las columnas de temperatura yprecipitacion en vectores individuales.Graficar la temperatura contra el numero del mes y la precipitacion contra el numerodel mes en la misma ventana, utilizando plot y subplot:

subplot (2, 1, 1) ; plot (temp)

subplot (2, 1, 2) ; plot (precip)

0 2 4 6 8 10 1220

40

60

80

0 2 4 6 8 10 122

3

4

5

Figura B.9 Graficas del ejemplo B.26

La Fig. B.9 muestra las dos curvas.Las siguientes declaraciones producen un grafico como se muestra en la Fig. B.10 quemuestra la relacion entre temperatura y precipitacion mes a mes:

B.39 Funciones especiales para graficas en dos dimensiones. 325

mes = [0Ene0;0 Feb0;0Mar0;0Abr0; ...0May0;0 Jun0;0 Jul0;0Ago0; ...0Sep0;0Oct0;0Nov0;0Dic0];

plot (temp, precip,0wo0)

axis ([28 80 2.5 5.2])

text (temp, precip,mes)

xlabel (0temp0)

ylabel (0precip0)

title (0Boston0)

30 40 50 60 70 802.5

3

3.5

4

4.5

5

temp

prec

ip

Boston

Ene

Feb

Mar

AbrMay

JunJul

Ago

SepOct

Nov

Dic

Figura B.10 Relacion entre temperatura y precipitacion cada mes

La declaracion axis en el ejemplo anterior adiciona espacio extra al grafico, definien-do explıcitamente el escalamiento de los ejes a valores mayores que el rango de datos.Esto permite que el texto permanezca dentro de los lımites del cuadro del grafico.

326 PROGRAMA MATLAB

B.39 Funciones especiales para graficas en dos

di men s io ne s

bar crea una grafica de barras.compass crea una grafica de angulos y magnitudes de numeros complejos con flechasemanando desde el origen.errorbar crea una grafica con barras de error.feather crea una grafica de angulos y magnitudes de numeros complejos con flechasemanando desde puntos igualmente espaciados a lo largo de un eje horizontal.fplot evalua una funcion y grafica los resultados.hist crea un histograma.polar crea una grafica en coordenadas polares.quiver crea una grafica de un gradiente u otro campo vectorial.rose crea un histograma de angulos.stairs crea una grafica similar a una de barras, pero sin las lıneas internas.fill dibuja un polıgono y lo llena con colores solidos o interpolados.

Ejemplo B.27 .

Crear la funcion:

function y = fofx (x)

y = cos (tan (pi ∗ x)) ;con el nombre fofx.m. Despues, dentro del MATLAB correr:

fplot (0fofx0, [0 1])

para graficar la funcion correspondiente en el intervalo (0, 1) .Esta grafica se puede comparar con la que se obtiene de la siguiente manera:

x = (0 : 1/2000 : 1)0 ;

plot (x, cos (tan (pi ∗ x)))Los dos graficos se pueden ver, como se muestra en la Fig. B.11, en la misma ventanaası:

subplot(2, 1, 1);

x = (0 : 1/2000 : 1)0 ;

plot (x, cos (tan (pi ∗ x)))

B.40 Graficos en 3 dimensiones. Graficos de lıneas. 327

subplot (2, 1, 2) ;

fplot (0fofx0, [0 1])

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

0

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

0

1

Figura B.11 Graficos del ejemplo B.27

La funcion fplot tiene la ventaja de que muestrea la funcion a intervalos mas cercanosen la region en donde la rata de cambio es mayor, generando ası una figura mas precisacerca a x = 0.5 en este caso particular.

B.40 Graficos en 3 dimensiones. Graficos de lıneas.

El analogo tridimensional a la funcion plot es plot3. Si x, y, z son 3 vectores de lamisma longitud, plot3 (x, y, z) genera una lınea que pasa a traves de los puntos cuyascoordenadas son los elementos de x, y, z y luego produce una proyeccion bidimensionalde esa lınea en la pantalla.

Ejemplo B.28 .

t = 0 : pi/50 : 10 ∗ pi;

plot3 (sin (t) , cos (t) , t) ;

328 PROGRAMA MATLAB

produce una figura como la de un resorte. Vease Fig. B.12.

-1

0

1

-1

0

10

10

20

30

40

Figura B.12 Figura del ejemplo B.28

Tambien se pueden usar matrices en lugar de vectores:plot3 (X,Y,Z, S). Se grafican las lineas obtenidas de las columnas de X,Y,Z. S es lomismo que en la funcion plot.O tambien se pueden combinar los graficos definidos por las cuadruples (x, y, z, s) :

plot3 (x1, y1, z1, s1, x2, y2, z2, s2, · · ·)

en donde todas las xi, yi y zi son vectores o matrices y las si cadenas como en lafuncion plot.

B. 41 ”M es h g r i d”

MATLAB define una superficie en forma de malla mediante las coordenadas z depuntos por encima de una cuadrıcula rectangular en el plano x − y. La grafica seforma uniendo puntos adyacentes con lıneas rectas.Estas superficies son utiles para visualizar matrices que son demasiado grandes paramostrar en forma numerica, o para graficar funciones de dos variables.El primer paso para mostrar (en pantalla) una funcion de dos variables, z = f (x, y) ,es generar dos matrices X y Y que consisten de filas repetidas y columnas repetidas,respectivamente, sobre el dominio de la funcion. Despues se usan estas matrices paraevaluar y graficar la funcion.La funcion meshgrid transforma el dominio especificado por dos vectores, x y y, enmatrices X y Y . Luego se usan estas matrices para evaluar funciones de dos variables.Las filas de X son copias del vector x, y las columnas de Y con copias del vector y.Es importante notar que si x tiene m elementos, y tiene n elementos, entonces X es

B.41 ”Meshgrid”. 329

de dimension n×m y Y tambien.

Ejemplo B.29 .

Considere la funcion sinc (r) = sin(r)r que produce la superficie popularmente conocida

como el ”sombrero” como se muestra en la Fig. B.13. Se evaluara esta funcion parael rango de x entre −8 y 8, y y entre −10 y 10. :

x = −8 : 0.5 : 8;

y = −10 : 0.5 : 10;

[X,Y ] = meshgrid (x, y)

R = sqrt (X.ˆ2 + Y.ˆ2) + eps;

Z = sin (R) ./R;

mesh (x, y, Z)

-10

0

10

-10

0

10-0.5

0

0.5

1

Figura B.13 Superficie del ejemplo B.29

Las funciones contour y contour3 sirven para generar graficas de contorno (de nivel)en 2 y 3 dimensiones, respectivamente.

330 PROGRAMA MATLAB

Ejemplo B.30 .

contour (peaks, 20)

contour3 (peaks, 20)

Usar el comando help para mas informacion.

B. 42 Pseudo co lor en gra ficas

pcolor (Z) muestra en cada punto Z(i, j) un color. Este se determina de un mapa decolores con un ındice (numero) obtenido escalando el valor del elemento Z(i, j) de lamatriz Z.El mapa de colores es una matriz con tres columnas que especifica la intensidad de lastres componentes de video, rojo, verde y azul. El comando para el mapa de coloreses colormap(map), donde map es una matriz con cualquier numero de filas y trescolumnas. La intensidad de los colores se puede especificar en el rango 0.0 a 1.0.Ejemplo [0 0 0] es negro y [1 1 1] es blanco.Los objetos graficos que usan pseudocolor (objetos SURFACE y PATCH), los cualesson creados con las funciones mesh, surf , y pcolor, mapean una matriz de color, C,cuyos valores estan en el rango [Cmın,Cmax], a un arreglo de ındices, K, en el rango[1,m] .Los valores de Cmın y Cmax sonmin (min (C)) ymax (max (C)), o son especificadospor caxis. El mapeo es lineal, con Cmın mapeando el ındice 1 y Cmax el ındice m.Los ındices son luego usados con colormap para determinar el color asociado con cadaelemento de la matriz.Usar help color para ver mapas de colores ya predefinidos, tales como hsv, gray, hot,cool, bone, copper, pink, etc.

Ejemplo B.31 .

z = peaks ;

colormap (bone)

pcolor (z)

Las funciones contour y pcolor muestran esencialmente la misma informacion sobrela misma escala. De hecho, a veces es util superponer las dos. Para eliminar las lıneasde la cuadrıcula en el grafico pcolor se debe cambiar el modo ”shading” a flat. Parausar lıneas negras para todos los contornos, especificar 0k0 para su color.

B.43 Graficas en malla y superficie. 331

Ejemplo B.32 .

colormap (hot)

pcolor(peaks)

shading flat

hold on

contour(peaks, 20,0 k0)

hold off

El MATLAB tambien maneja la funcion image que es similar a pcolor. Ambas pro-ducen figuras bidimensionales con valores de brillo o color proporcionales a los elemen-tos de una matriz dada. Sin embargo, image esta disenada para mostrar fotografıas,pinturas, etc., mientras pcolor es disenada para visualizar objetos matematicos masabstractos. Usar help para mas informacion.

B. 43 G rafica s en m all a y s u p er ficie

mesh y surf muestran superficies en tres dimensiones. Si Z es una matriz cuyoselementos Z(i, j) definen la altura de una superficie sobre una cuadrıcula inferior (i, j),entoncesmesh (Z) genera una vista de la superficie en malla y a colores. Similarmentesurf(Z) genera una vista de la superficie con cuadrilateros en malla de color constante,delineados con lıneas negras. La funcion shading permite eliminar las lıneas en mallao escoger interpolacion en el ”shading”.Cuando mesh (Z) y surf (Z) se usan con una sola matriz como argumento, esteargumento especifica tanto la altura como el color de la superficie.

Ejemplo B.33 .

mesh (peaks)

surf (peaks)

Con dos matrices como argumentos, las declaraciones mesh (Z,C) y surf (Z,C)especifican independientemente el color usando el segundo argumento. Ası como conpcolor (C), los valores de C se escalan y se utilizan como ındices en el mapa actualde color.

332 PROGRAMA MATLAB

Ejemplo B.34 .

C = del2 (peaks) ;% funcion que calcula el laplaciano discreto de

% cualquier matriz.

surf (peaks,C) ;% renglones con curvaturas similares se dibujan en el

colormap (hot) % mismo color.

Se pueden eliminar partes de una superficie con datos tipo NaN , ya que estos noson graficados. Esto crea huecos en la superficie en la localizacion correspondiente.Llenando elementos de la matriz de color con datos tipo NaN se obtienen regionesde la superficie invisibles.

Ejemplo B.35 .

p = peaks ;

p (30 : 40, 20 : 30) = nan ∗ p (30 : 40, 20 : 30) ;

mesh (peaks, p)

La Fig. B.14 muestra la superficie del ejemplo B.35.

020

4060

0

20

4060

-10

-5

0

5

10

Figura B.14 Superficie del ejemplo B.25

Usar help sobre las funciones surfc, meshz, surfl para mas informacion.

B.44 Algunas funciones para graficos de proposito general. 333

B.44 Algunas funciones para graficos de proposito

genera l

La funcion view permite especificar el angulo desde el cual se ve un grafico tridimen-sional. Se debe especificar el azimuth y la elevacion del punto desde donde se quierever, con respecto al origen de los ejes como se muestra en la Fig. B.15.El formato de la funcion es: view(azimuth, elevacion). Como ejemplo se puedeutilizar la matriz peaks para ver su superficie desde varios puntos.

Figura B.15 Convencion para los angulos azimuth y elevacion

La funcion axis permite seleccionar el escalamiento, orientacion y relacion de ejes delos graficos.Generalmente, el MATLAB encuentra el maximo y el mınimo de los datos a graficar yescoger una caja apropiada para el grafico (lımites). Los lımites de los ejes se puedencambiar ası:

axis ([xmın xmax ymın ymax zmın zmax])

Para graficos bidimensionales se omiten los ultimos dos argumentos.axis (0auto0) retorna al escalamiento por defecto.v = axis guarda el escalamiento de los ejes en el vector v.axis (axis) congela el escalamiento a los lımites actuales.axis (0ij0) cambia el origen del sistema de coordenadas ası: el origen queda en laesquina superior izquierda, el eje i es vertical y se numera de arriba hacia abajo, yel eje j es horizontal y se numera de izquierda a derecha. Estos son llamados ejesmatriciales.

334 PROGRAMA MATLAB

axis (0xy0) pone los ejes en el modo caartesiano (por defecto).axis (0square0) y axis (0equal0) afectan la relacion ancho-altura del grafico y la relacionentre las escalas de los ejes x y y.axis manipula el objeto axes, el cual es un objeto grafico.subplot (m,n, p) divide la ventana de la pantalla para m × n subgraficos y escogeel grafico p como el actual. Los graficos se numeran a lo largo de la fila, luego lasegunda, etc.Usar la funcion figure sin argumentos abre una nueva ventana.figure (N) hace la figura N la figura actual.Usar help para informacion sobre la funcion moviein, movie.La funcion ginput permite usar el mouse o las teclas de direccion para escoger puntosen un grafico. Ella retorna las coordenadas de la posicion del ”senalador”, ya seacuando el boton del mouse o una tecla se presiona.Las cualidades graficas discutidas hasta ahora comprenden la interfase a alto niveldel sistema grafico del MATLAB. Sin embargo, este sistema tambien suministra unconjunto de funciones a bajo nivel que permiten crear y manipular lıneas, superficiesy otros objetos graficos que el MATLAB usa para producir graficos sofisticados.Para mas informacion referirse a la guıa del usuario del MATLAB (pags 2-101 a2-123).

B. 45 Fl ujo de co ntrol

MATLAB tiene declaraciones de flujo de control como las encontradas en la mayorıade los lenguajes de computador. Esto permite que el MATLAB sea utilizado comoun lenguaje de programacion de alto nivel.

B. 46 L az o s for

La forma general para el lazo for es:

for v = expresiondeclaraciones

end

La expresion es actualmente una matriz. Las columnas de la matriz se asignan una auna a la variable v y luego son ejecutadas las declaraciones. Una manera mas clarade lograr lo mismo es ası:

E = expresion ;[m,n] = size (E) ;for J = 1 : n

v = E (: , J) ;declaraciones

end

Usualmente, expresion es algo como m : i : n, que es una matriz con una sola fila,

B.47 Lazos while. 335

y por lo tanto sus columnas son escalares. En este caso especial, el lazo for deMATLAB es como los lazos FOR o DO de otros lenguajes.

Ejemplo B.36 .

Graficar la respuesta al escalon unitario de un sistema de segundo orden con frecuencianatural 1 rad

seg y relacion de amortiguamiento variando desde 0 hasta 1.

t = 0 : 0.5 : 19.5;r = 0.05 : 0.05 : 1.0;n = 1;% numerador de la FTfor j = 1 : 1 : 20

d = [1 2 ∗ r (j) 1] ;% denominador de la FTY (:, j) = step (n, d, t) ;% respuesta al escalon% unitario

endmesh (r, t, Y )hold onylabel (0tiempo0)xlabel (0amortiguamiento0)zlabel (0respuesta0)view (60, 30)

La Fig. B.16 muestra los resultados del ejemplo B.36.

0

0.5

1 05

1015

20

0

0.5

1

1.5

2

TiempoAmortiguamiento

Res

pues

ta


B. 47 L az o s while

336 PROGRAMA MATLAB

Su forma general es:

while expresiondeclaraciones

end

Las declaraciones se ejecutan repetidamente siempre y cuando todos los elementosen la matriz expresion sean diferentes de cero. La matriz expresion es casi siempreuna expresion relacional 1×1, en este caso expresion 6= 0 corrsponde a true (cierto).Cuando la matriz expresion no es un escalar, se puede reducir usando las funcionesany y all.

Ejemplo B.37 .

Este ejemplo encuentra el primer entero n para el cual n! es un numero de 100 dıgitos.

n = 1;while prod (1 : n) < 1.0 e 100 ;

n = n+ 1;endn

B. 48 Dec l arac io ne s if y br e a k

Ejemplo B.38 .

Se muestra como un calculo se puede dividir en tres casos, dependiendo del signo yla paridad de n :

n = input(0 Entre un numero positivo = 0);% Datos por tecladoIf n < 0

disp (0 Es negativo 0)parid

elseif rem (n, 2) == 0disp (0 Es par 0)

elsedisp (0 Es impar 0)

end

Debe archivarse como archivo tipo m con el nombre parid.m.

Ejemplo B.39 .

Se lee un numero positivo por teclado. Si es par se divide por 2, si es impar semultiplica por 3 y se le suma 1. Se repite el proceso hasta que el entero llega a 1.¿Existe algun entero para el cual el proceso no termina?.

B.50 Archivos ”script”. 337

while 1n = input(0Entre n > 0.0);if n <= 0

break;% Salida de los lazos

end;while n > 1

if rem(n, 2) == 0n = n/2;

elsen = 3 ∗ n+ 1;

end;end;

end;

B. 49 Arch i vos ti p o m

MATLAB puede ejecutar secuencias de comandos que son almacenados en un archivo.Los archivos de disco que contienen declaraciones del MATLAB son llamados archivosm porque tienen un tipo de archivo con .m como la ultima parte del nombre del archivo(la extension). Por ejemplo, un archivo llamado bessel.m contiene declaraciones delMATLAB que evaluan las funciones de Bessel.Un archivo m consiste de una secuencia de declaraciones normales del MATLAB, lascuales posiblemente incluyan referencıas a otros archivos m.Un archivo m se puede llamar a si mismo recursivamente y se puede crear usando uneditor de texto o un procesador de palabra.Dos tipos de archivos m se pueden usar: los que automatizan secuencias de comandos(archivos ”script”) y las funciones que hacen mas extensible el MATLAB. Gran partede la potencia del MATLAB consiste en que permite crear nuevas funciones que re-suelven problemas especıficos del usuario. Ambos tipos de archivo son ordinariamentearchivos de texto ASCII.

B. 50 Arch i vos ”scri pt ”

Cuando un archivo de estos es invocado, MATLAB simplemente ejecuta los comandosencontrados en el archivo. Las declaraciones operan globalmente sobre los datos enel espacio de trabajo.Estos archivos son utiles para desarrollar analisis, resolver problemas o disenar largassecuencias de comandos que se vuelven difıciles de manejar interactivamente.

Ejemplo B.40 .

338 PROGRAMA MATLAB

El archivo llamado ”fibno.m” contiene los siguientes comandos:

% Este es un archivo para calcular% los numeros de Fibonacci.f = [1 1] ; i = 1;while f (i) + f (i+ 1) < 1000

f (i+ 2) = f (i) + f (i+ 1)i = i+ 1

endplot (f)

Escribiendo fibno causa que es el MATLAB ejecute los comandos. Calcula losprimeros 16 numeros de Fibonacci y crea una grafica.Despues de que la ejecucion del archivo esta completa, las variables f e i permanecenen el espacio de trabajo.Los ”demos” del MATLAB son buenos ejemplos de como usar estos archivos paradesarrollar tareas mas complicadas. Cuando se invoca el MATLAB, automaticamenteejecuta un archivo llamado ”matlabrc.m”,el cual corre el archivo ”startup.m”, si esteexiste, en el cual se pueden entrar constantes fısicas, factores de conversion, o cualquierotra cosa que se quiera predefinir en el espacio de trabajo.

B. 51 Arch i vos funci on

Un archivo m que contiene la palabra ”function” al comienzo de la primera lınea esun archivo funcion. Este difiere del ”script” en que se le pueden pasar argumentos,y las variables definidas y manipuladas dentro del archivo son locales a la funcion yno operan globalmente en el espacio de trabajo. Los archivos funcion son utiles paraextender el MATLAB, es decir, crear nuevas funciones del MATLAB utilizando supropio lenguaje.

Ejemplo B.41 .

El archivo ”media.m” con las siguientes declaraciones es una funcion:

function [med, desv] =media (x)% Retorna el valor medio y la desviacion estandar de los elementos del vector x.% Retorna un vector fila que contiene el valor medio y la desviacion estandar% de cada columna cuando x es una matriz.[m,n] = size (x) ;if m == 1

m = n ;endmed = sum (x) /m; desv = sqrt (sum (x.ˆ2) /m−med.ˆ2) ;

Se puede utilizar con:

z = 1 : 99;

B.53 Comandos ”echo”, ”input”, ”keyboard”, y ”pause”. 339

[me, de] = media (z)

lo cual resulta en:

me =

50

de =

28.5774

Notese que:1) La primera lınea declara el nombre ”function”, los argumentos de entrada x (sies mas de uno, se separan por comas) y los argumentos de salida, med y desv.2) El sımbolo ” % ” indica que el resto de la lınea es un comentario y debe ser ignorada.3) Las primeras pocas lıneas documentan el archivoM y la muestra cuando se escribe”help media ”.4) Las variables m, n, med y desv son locales a la funcion media y no existen enel espacio de trabajo despues de que media ha terminado (o si existıan previamente,permanecen sin cambiar).5) El vector z que contenıa los enteros de 1 a 99 fue pasado o copiado en media endonde llega a ser una variable local llamada x.

B. 52 Ayuda en lı nea para los archivos m

Se puede crear ayuda en lınea para los archivos m entrando texto en una o mas lıneasde comentario, empezando con la segunda lınea del archivo.Ası cuando se entra help media (ver ejemplo anterior), las lıneas 2, 3 y 4 se muestran.Son las primeras lıneas contiguas de comentarios. El sistema de ayuda ignora las lıneasque aparecen posteriores a cualquier declaracion ejecutable o aun una lınea en blanco.

B.53 Comandos ”echo”, ”input”, ”keyboard”, y

”pause”

Normalmente mientras un archivo m se ejecuta, los comandos en el archivo no semuestran en la pantalla. El comando echo hace que los archivos m se vean en lamedida que se ejecutan, lo cual es util para depuracion o para demostraciones.La funcion input obtiene entrada del usuario. Ası:

n = input (0Entre un entero0)

340 PROGRAMA MATLAB

muestra el mensaje ”Entre un entero”, espera y luego asigna a n el valor o expresionentrada por el teclado.La funcion keyboard invoca el teclado del computador como un ”script”. Cuandose usa en archivos m es util para depuracion o para modificar variables durante laejecucion.El comando pause hace que un procedimiento pare y espere que el usuario presionecualquier tecla antes de continuar. pause (n) pausa durante n segundos antes decontinuar.

B. 54 Va riab le s glo ba les

Generalmente cada funcion del MATLAB, definida por un archivom, tiene sus propiasvariables locales, las cuales son separadas de aquellas de otras funciones, de aquellasdel espacio de trabajo y de aquellas de archivos ”script”. Sin embargo, si variasfunciones y posiblemente el espacio de trabajo, declaran todas un nombre particularcomo global, entonces todos comparten una copia unica de esa variable. Cualquierasignacion a esa variable, en cualquier funcion, es disponible a todas las otras funcionesque la declaran global. El formato es:global Nombrevariable1 Nombrevariable2 ...En las funciones esta declaracion se puede hacer despues de las primeras lıneas decomentario.

B. 55 Cade na s de t exto

Las cadenas de texto se entran en MATLAB delimitadas por comillas simples. Porejemplo:

s = 0Hola0

resulta en:

s =

Hola

El texto se almacena en un vector, un caracter por elemento. En este ejemplo:

size (s)

ans =

1 4

indica que s tiene cuatro elementos. Los caracteres son almacenados como sus valoresASCII y abs muestra estos valores:

B.56 La funcion ”eval”. 341

abs (s)

ans =

72 111 108 97

la funcion setstr permite mostrar el vector como texto en lugar de mostrar los valoresASCII. disp muestra el texto en la variable.Otras funciones utiles son: isstr la cual detecta caracteres, y strcmp, la cual comparacadenas de caracteres.El uso de corchetes concatena variables de texto en cadenas mas largas:

s = [s,0 amigos0]

s =

Hola amigos

Valores numericos son convertidos a caracteres con sprintf , num2str, int2str. Losvalores numericos son a veces concatenados para poner tıtulos en graficos que incluyenvalores numericos:

f = 70; c = (f − 32) /1.8;

title ([0la temperatura del cuarto es 0, num2str (c) , 0grados C 0])

B. 56 La funcion ” ev a l ”

La funcion eval trabaja con variables de texto para implementar una poderosa fa-cilidad al estilo macro. eval (t) hace que el texto contenido en t sea evaluado. SiCADENA es el texto fuente para cualquier expresion o declaracion del MATLAB,entonces:

t = 0CADENA0;

codifica el texto en t. Escribir t imprime el texto (en pantalla) y eval (t) hace queel texto sea interpretado, como una declaracion o como un factor en una expresion.

Ejemplo B.42 .

342 PROGRAMA MATLAB

t = 01/ (i+ j − 1)0 ;for i = 1 : n

for j = 1 : na (i, j) = eval (t) ;

endend

genera la matriz del Hilbert de orden n.Se puede usar eval e input para escoger una de varias tareas definidas en archivos m.

Ejemplo B.43 .

En este ejemplo los archivos m tienen los nombres : resist.m, induct.m y conden.m.

elementos = [0resist0; 0induct0; 0conden0] ;

K = input (0Escoja numero de elemento : 0) ;

eval (elementos (K, :))

Notese que el numero de columnas en elementos implica que cada fila debe tener elmismo numero de caracteres.

Ejemplo B.44 .

En este ejemplo se muestra como eval puede usar el comando load para cargar 10archivos de datos numerados secuencialmente:

nombre ar = 0misdatos0 ;for i = 1 : 10

eval ([ 0load 0, nombre ar, int2str (i)])end

B. 57 Como i n cre menta r velo c i da d y me moria

Para obtener la maxima velocidad del MATLAB, se debe hacer el esfuerzo de vector-izar los algoritmos en los archivos m. Siempre que sea posible, convertir lazos for ywhile a operaciones con vectores o matrices.

Ejemplo B.45 .

Una manera de obtener el seno de 1001 numeros desde el 1 hasta 10 es:

B.58 Archivos de entrada y salida. 343

i = 0;for t = 0 : .01 : 10

i = i+ 1;y (i) = sin (t) ;

end

Una version con vectores del mismo codigo es:

t = 0 : .01 : 10 ;y = sin (t) ;

si no se puede vectorizar un pedazo de codigo, los lazos for se pueden acelerar preubi-cando los vectores en los cuales los resultados son almacenados. Por ejemplo, al incluirla primer declaracion que usa la funcion zeros, el lazo for se ejecuta mas rapido en:

y = zeros (1, 100) ;for i = 1 : 100

y (i) = det¡Xˆi

¢;

end

Si no se preubican vectores, el interpretador del MATLAB debe cambiar el tamanodel vector y a un elemento mas grande cada vez en el lazo de iteracion. Si el vectores prelocalizado, se elimina este paso y ejecuta mas rapido.El esquema de prelocalizacion tiene un segundo beneficio: usa memoria mas eficiente-mente. Durante una sesion del MATLAB, la memoria tiende a fragmentarse. Aunquese haya dejado mucha memoria libre, podrıa no haber suficiente espacio contiguo parasostener una variable grande. Ası, preubicacion ayuda a reducir la fragmentacion.

B. 58 Arch i vos de ent ra d a y sali da

Las funciones de archivos de entrada y salida del MATLAB permiten leer datos,directamente en el MATLAB, que han sido guardados en otro formato, o escribir datosgenerados en el MATLAB en formatos requeridos por otro programa o dispositivo.Las funciones leen y escriben archivos en formato de texto y archivos de datos binario.Estas funciones son basadas en las funciones de archivos de entrada y salida dellenguaje C.Informacion adicional se puede encontrar en la guıa del usuario del MATLAB.

APENDICE C

INTRODUCCION AL SIMULINK

C.1 Introduccion

El SIMULINK es una herramienta del MATLAB que permite simular sistemas tantolineales como no lineales interactuando con el usuario de una manera grafica.Para entrar al programa se escribe simulink una vez se este dentro del MATLAB.Se presenta un pantallazo con varias ventanas (cajas) que contienen los diferentesbloques de simulacion. Estas ventanas son:”sources” (fuentes), ”sinks” (sumideros), ”discrete” (discretos), ”linear” (lineales),”nonlinear” (no lineales), ”connections” (conexiones) y ”extra” (extras).

Linear Connections

SIMULINK Block Library (Version 1.3c)

ExtrasSources Discrete NonlinearSinks

Figura C.1 Librerıas del Simulink

Una sesion tıpica comienza por definir un modelo o traer un modelo ya definido yluego se procede al analisis del modelo.Los modelos se crean y editan principalmente con comandos manejados por el ”mouse”.Despues de definir un modelo se puede analizar escogiendo opciones de los menus delSIMULINK o entrando comandos en la ventana de comandos del MATLAB.El progreso de una simulacion se puede ver mientras esta corriendo, y los resultadosfinales se pueden hacer disponibles en el area de trabajo del MATLAB cuando lasimulacion esta completa.

345

346 INTRODUCCION AL SIMULINK

C.2 Construccion de un modelo

La definicion de un sistema en el SIMULINK es como la representacion del sistemaen diagramas de bloques, en donde estos son copiados de las librerıas de bloques delSIMULINK (las anteriores ventanas) o las que se contruyan. La librerıa estandar seorganiza en varios subsistemas, agrupando bloques de acuerdo a su comportamiento,por ejemplo ”sources” contiene bloques para generar senales. Se pueden abrir pre-sionando dos veces el boton izquierdo (doble click) del mouse. Los bloques que allıse presentan se pueden copiar donde se desee, por ejemplo en el modelo que se estecreando, senalizandolos con el boton izquierdo del mouse y arrastrandolo (sin soltarel boton).Un sistema nuevo se puede abrir seleccionando ”new” del menu ”file”, a lo cualaparece una ventana vacıa.La mayorıa de los bloques se pueden abrir para mostrar sus parametros en ventanasseparadas. Estas permiten controlar el comportamiento del bloque modificando losvalores de sus parametros. Por ejemplo, el bloque ”signal generator” (generador desenales) del subsistema ”sources” tiene como parametros la forma de onda, amplitudy frecuencia.Otro bloque importante del subsistema ”sources” es el denominado ”from workspace”(del espacio de trabajo) el cual sirve para recibir en el SIMULINK cualquier senalo senales que se deseen del MATLAB en una matriz cuya primer columna tiene losinstantes de tiempo y las demas columnas las senales correspondientes.

Signal Source Library

RandomNumber

Chirp Signal

RepeatingSequence

Band-LimitedWhite Noise

SignalGenerator

1

Constant

Sine Wave Step Input

untitled.mat

From File

[T,U]

FromWorkspace

12:34

Digital ClockClock

PulseGenerator

Figura C.2 Librerıa de ”sources”

El subsistema ”sinks” contiene bloques que en general son utilizados como salidas:

C.2 Construccion de un modelo 347

osciloscopios (”scope”) graficadores (”graph”) y un bloque llamado ”to workspace”(al espacio de trabajo) el cual sirve para mandar las senales (respuestas, por ejemplo)que se deseen de la simulacion al espacio de trabajo en una matriz, en donde cadacolumna corresponde a cada respuesta o salida, y las filas al ındice de cada instantede simulacion. Para enviar el vector que contiene los intantes de tiempo al MAT-LAB, se puede usar el bloque ”clock” del subsistema ”sources” conectado al bloque”to workspace”.

Signal Sinks Library

STOP

Stop Simulation

XY Graph

Graph

youtTo Workspace

untitled.mat

To File

Scope

Auto-ScaleGraph

Hit Crossing

Figura C.3 Librerıa de ”sinks”

En general, los bloques tienen entradas (en el bloque se representa con > apuntandohacia el mismo) y salidas (se presenta con > saliendo del bloque).Para conectar la salida de un bloque a la entrada de otro, se presiona el boton izquierdodel mouse en cualquiera de los terminales anteriores y se arrastra hacia el otro. Alconectarsen se dibuja una linea que los une, los > desaparecen y una flecha en lalinea indica la direccion del flujo de datos. Si se quiere borrar o editar una linea seselecciona con el mouse en cualquier lugar de ella. Todos los vertices son senalados conpequenos cuadrados solidos. Una vez que la lınea es seleccionada se puede eliminardel modelo presionando la tecla ”delete”.La simulacion de un sistema fısico en el SIMULINK depende del modelo matematicoque se tenga. Por ejemplo, un sistema lineal descrito mediante una funcion de trans-ferencia se puede simular usando el bloque ”transfer fcn” del subsistema ”linear”.Tambien se puede usar el bloque ”state−space” de la misma librerıa, cuando el mod-elo es dado mediante las ecuaciones de estado y de salida. O si se tiene un conjuntode ecuaciones que describe el comportamiento del sistema se pueden simular usandotodos los bloques disponibles tanto en al librerıa ”linear” (integradores, sumadores,ganancias, derivadores, etc.) como en la ”nonlinear” (saturacion, reles, productos,funciones de variables, valor absoluto, zona muerta, etc.).


Linear Library

.

InnerProduct

++

Sum

1/sIntegrator

du/dt

Derivative

1

s+1Transfer Fcn

(s-1)s(s+1)

Zero-Pole

1

Gain

K

MatrixGain

1.317

SliderGain

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

State-Space

Nonlinear Library

Rate Limiter

Saturation

Dead Zone

Backlash

CoulombicFriction

Quantizer

RelaySign

2-D Look-UpTable

Look-UpTable

Abs

Abs

*

Product

SwitchCombinatorial

Logic

AND

LogicalOperator

>=

RelationalOperator

system

S-Function

MATLABFunction

MATLAB Fcn

1/s

ResetIntegrator

f(u)

Fcn

VariableTransport Delay

TransportDelay

Memory

1/s

LimitedIntegrator

a) ”Linear” b) ”Nonlinear”

Figura C.4 Subsistemas ”linear” y ”nonlinear” del Simulink

Cuando se tienen varias senales que se quieren ver en una misma grafica por ejemplo,se puede usar un bloque ”mux” que esta en la librerıa ”connections” el cual sirve paramultiplexar sus entradas en un unico vector a la salida. Tambien esta en la mismalibrerıa el bloque ”demux” el cual separa un vector con varias senales en senalesescalares (demultiplexa).Otros dos bloques de esta librerıa son: ”inport”, el cual suministra un enlace a unaentrada externa y para linealizacion; tambien tiene el ”outport”, que suministra unenlace a una salida externa y sirve tambien para linealizacion.

Mux

Mux

Demux

Demux

1

Outport

1

Inport

LibraryConnections

Figura C.5 Librerıa de ”connections”

Si el sistema que se quiere simular es digital, se pueden usar los bloques de la librerıa”discrete”: ”unit delay” (retardo unitario), ”discrete transfer fcn” (funcion de

C.3 Inicio de una simulacion 349

tranferencia discreta), ”discrete state space” (ecuaciones estado y de salida discretas),etc.Cada uno de los bloques discretos tiene un muestrador interno a su entrada y unretenedor de orden cero en su salida. Cuando bloques discretos se mezclan con bloquesanalogos (continuos), la salida entre tiempos de muestreo de los bloques discretos esmantenida constante.Las entradas a los bloques discretos son actualizadas unicamente en los instantes demuestreo. El tiempo de muestreo se da en el campo del tiempo de muestreo de lacaja de dialogo del bloque.

Zero-OrderHold

(z-1)z(z-0.5)DiscreteZero-Pole

1/zUnit Delay

1

1+2z -1

Filter

1

z+0.5Discrete

Transfer Fcn

y(n)=Cx(n)+Du(n)x(n+1)=Ax(n)+Bu(n)

Discrete State-Space

Discrete-Time Library

1

z-1

Discrete-TimeIntegrator

First-OrderHold

Discrete-TimeLimited Integrator

Figura C.6 Librerıa de ”discrete”

C.3 Inicio de una simulacion

Una simulacion puede ser iniciada desde la lınea de comandos del MATLAB o delmenu del SIMULINK: ”simulation”. Todos los metodos usan los mismos argumentosy parametros.A. Simulacion desde el menu ”simulation”.La simulacion se puede arrancar seleccionando ”start” del menu ”simulation”.Los parametros de la simulacion se pueden ajustar seleccionando ”parameters” enel menu ”simulation”. En los campos que allı aparecen se pueden entrar numeroso expresiones legales del MATLAB, por ejemplo, las variables tini, tfin, pasomin,pasomax y tol las cuales se pueden definir en el espacio de trabajo del MATLAB.Vease Fig. C.7.


Figura C.7 Panel de control del Simulink

Las variables de retorno [t, x, y] son usadas para poner el tiempo, las trayectorias delestado y de la salida en el espacio de trabajo del MATLAB.Los tiempos de inicio y de parada de la simulacion son ajustados en las variables tiniy tfin. Los parametros de integracion tol, pasomin y pasomax controlan el errorlocal relativo, el mınimo y maximo intervalos de integracion de la simulacion.Correr una simulacion desde el menu permite desarrollar ciertas operaciones interac-tivamente durante una simulacion:a) Cambiar los parametros de un bloque, siempre y cuando no cause un cambio en elnumero de estados, entradas o salidas para ese bloque.b) Cambiar cualquiera de los parametros de simulacion, excepto las variables de re-torno y el tiempo de inicio.c) Cambiar el algoritmo de simulacion.d) Cambiar el tiempo de muestreo para bloques discretos.e) Simular otro sistema al mismo tiempo.f) Seleccionar una lınea para ver su salida en un ”osciloscopio flotante”, el cual consistede un bloque ”scope” desconectado. Este muestra la salida de cualquier lınea que seseleccione.B. Simulacion desde la lınea de comandos del MATLAB.Cualquier simulacion que se corra desde el menu tambien se puede correr desde lalınea de comandos. Por ejemplo, para configurar una simulacion con parametrosidenticos a los descritos en el ejemplo anterior y mostrados en la Fig C.7, se debe usarel comando:

[t, x, y] = linsim(0modelo0, [tini, tfin] , ...


xo, [tol, pasomin, pasomax]);

en donde ”modelo” es el nombre del diagrama del sistema y linsim es una de lastecnicas de integracion.Las condiciones iniciales, que no se pueden ajustar desde el menu de ”simulation”,se definen en el vector xo. Estas condiciones iniciales prevalecen sobre las condicionesiniciales ajustadas en los bloques, a menos que xo sea una matriz vacıa.La simulacion desde la lınea de comandos tiene las siguientes ventajas:a) Se puede definir las condiciones iniciales, las cuales prevalecen sobre las definidasen los bloques.b) Si no se especifican los argumentos del lado izquierdo del comando de simulacion,automaticamente se grafican las salidas o, cuando no hay salidas, las trayectorias delestado.c) Entradas externas se pueden especificar usando una variable extra ut, la cual vaal final de los parametros del comando de simulacion. ut puede ser una cadena decaracteres o una tabla de valores. Por ejemplo ut = 0 sin0 o ut = 0ones (2, 1) ∗sin (3 ∗ t+ 2)0. Si es una tabla, la primer columna debe ser un vector con los tiemposen orden ascendente.d) Una simulacion se puede correr desde un archivo M permitiendo que parametrosen los bloques sean cambiados interactivamente.e) Para pequenos modelos, la simulacion se ejecuta mas rapido.Todos los algoritmos de integracion tienen identica sintaxis de modo que los diferentesmetodos se pueden seleccionar simplemente cambiando el nombre de la funcion: euler,rk23, rk45, linsim, adams y gear.La velocidad y precision con las cuales se pueden resolver las ecuaciones diferencialesno solo dependen de los parametros del intervalo de integracion y el error relativosi no tambien del algoritmo que se escoja. Estas rutinas se pueden usar para unavariedad de problemas:linsim usa un metodo que extrae la dinamica lineal de un sistema dejando unicamentela dinamica no lineal del sistema para ser simulado. Este metodo trabaja muy biencuando el sistema a ser simulado es relativamente lineal, y se pueden tomar inter-valos grandes de integracion. Por esto es necesario limitar el maximo intervalo deintegracion si se quieren puntos de salida razonablemente espaciados.El metodo de euler es un metodo de intervalo unico el cual simplemente multiplicalas derivadas por el tamano del intervalo para producir la actualizacion del estado. Seincluye por razones historicas. Se deben tomar intervalos de integracion mucho maspequenos que los de los otros metodos para lograr la misma precision y, por esto, nose recomienda para la mayorıa de problemas.Los metodos de Runge-Kutta, rk23 y rk45, son metodos buenos de proposito generalque trabajan bien para un buen rango de problemas. Aunque rk45 es generalmentemas rapido y preciso que rk23, produce menos puntos de salida; por eso rk23 podrıaser preferido para graficas ”suaves”. Son los mejores metodos cuando el sistema a sersimulado tiene discontinuidades.adams y gear son metodos predictores-correctores que trabajan bien con problemasen donde las trayectorias de estado son suaves.El metodo de gear es fundamentalmente para sistemas con mezcla de dinamicas rapida


y lenta. Estos metodos no trabajan bien cuando el sistema es discontinuo.Todos los metodos son de intervalo de integracion variable, el cual se ajusta conti-nuamente de modo que se mantenga el error relativo. Los metodos, excepto gear yadams, se pueden convertir a metodos de intervalo fijo haciendo que los intervalosmınimo y maximo sean iguales.linsim y euler son metodos de intervalo unico: un nuevo punto de salida se generaa cada intervalo de tiempo. rk23 y rk45 son metodos de Runge-Kutta que tomanintervalos intermedios entre los puntos generados por las trayectorias de salida.Las rutinas de adams y gear son metodos predictores-correctores los cuales tomanun numero variable de puntos para generar un punto de salida.Todos los algoritmos de integracion (excepto euler) podrıan tomar pasos hacia atrasen el tiempo cuando el error de predicion calculado es mayor que el error relativo. Eneste caso el intervalo de integracion es reducido pero nunca por debajo del intervalomınimo; por eso, es posible producir resultados imprecisos si cualquiera, el errorrelativo o el mınimo intervalo de integracion, son demasiado grandes.Sistemas puramente discretos se pueden simular usando cualquiera de los metodosde integracion; no hay diferencia en las soluciones. Para lograr puntos de salida quereflejen unicamente los instantes de muestreo, se debe ajustar el mınimo intervalo deintegracion a un valor mayor que el maximo tiempo de muestreo.

Ejemplo C.1 .

Este ejemplo sirve para simular el control por realimentacion de variables de estadode la planta constituida por el pendulo invertido considerado en el Capıtulo 1, cuyadescripcion matematica es dada por las ecuaciones (1.16) y (1.17). Referirse tambienal artıculo de los autores ”Frecuencias escondidas en sistemas lineales”, en la revistaScientia et Technica, No. 5 de Abril de 1997.Si se definen las variables de estado como:

x1 = φ, x2 = φ, x3 = y, x4 = y

entonces el modelo matematico mediante variables de estado es:x1x2x3x4

=

0 1 0 0a21 0 0 00 0 0 1a41 0 0 0

x1x2x3x4

+0b20b4

uen donde:

a21 =(m+M)mgL

d, a41 =

(mL)2g

d,

b2 = −mLd, b4 =

I +mL2

d, d = (m+M)I +mML2

La Fig. C.8 muestra el diagrama del Simulink para el control del pendulo invertido,el cual es archivado con el nombre ”sipend”.


tiTiempoReloj

KGanancias de

Realimentación

uSeñal de Control

xVector de Estado


PénduloInvertido

Figura C.8 Diagrama del Simulink para el control del pendulo invertido

Notese de la Fig. C.8 que:1) La planta se simula con el bloque ”state − space”, ya que su modelo matematicoes dado mediante ecuaciones de estado y de salida.2) La realimentacion de las variables de estado se hace a traves del bloque ”matrix gain”de la librerıa ”linear”.3) Las variables que se quieren observar (control y estado) se envıan al espacio detrabajo en un bloque ”to workspace” ( Vector de Estado) para ser graficados con unarchivo tipo m o un programa que usa comandos del MATLAB que se muestra masadelante. Los instantes de simulacion, contenidos en el bloque ”clock”, tambien sonenviados al espacio de trabajo para ser usados en las graficas de los resultados.El programa que maneja la simulacion, pide las ganancias por las cuales se debenmultiplicar las variables de estado, calcula las matrices A y B y grafica los resultadoses el siguiente:% PENDULO INVERTIDO% Se piden las ganancias de realimentacionk1=input(’Ganancia de realimentacion para x1, k1 = ’)k2=input(’Ganancia de realimentacion para x2, k2 = ’)k3=input(’Ganancia de realimentacion para x3, k3 = ’)k4=input(’Ganancia de realimentacion para x4, k4 = ’)% Parametros del pendulo invertidom=0.05;M=0.5;g=9.8;L=1;I=m*Lˆ2/3;delta=(m+M)*I+m*M*Lˆ2;% Se calculan las matrices A y B


A=[0 1 0 0;(m+M)*m*g*L/delta 0 0 0;0 0 0 1;-(m*L) ˆ2*g/delta 0 0 0];B=[0;-m*L/delta;0;(I+m*L ˆ2)/delta];% Vector de ganancias del controladork=[-k1 -k2 -k3 -k4];% Se simula el sistema en lazo cerrado.% Todas las condiciones iniciales son nulas, excepto el angulo inicial% del pendulo que es 10 gradoslinsim(’sipend’,[0,10],[pi/18;0;0;0],[0.001,0.01,0.01])% Se grafica la posicion angular del pendulofigure(1)plot(ti,x(:,1)*180/pi,’w-’)ylabel(’pos. angular del pendulo, grados’);xlabel(’segs.’)grid on% Se grafica el desplazamiento del carrofigure(2)plot(ti,x(:,3),’w-’)ylabel(’desplazamiento del carro, metros’);xlabel(’segs.’)grid on% Se grafica la fuerza de controlfigure(3)plot(ti,u,’w-’)ylabel(’fuerza de control, Newtons’);xlabel(’segs.’)grid onLos resultados del control con k1 = 65, k2 = 24, k3 = k4 = 0, es decir sin realimentary y y se muestran en las Figuras C.9 y C.10. Notese que aunque la posicion angulares controlada, el desplazamiento del carro es inestable.

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

pos.

ang

ular

del

pén

dulo

, gr

ados

segs.

Figura C.9 Posicion angular del pendulo


0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

desp

laza

mie

nto

del c

arro

, m

etro

s

segs.

Figura C.10 Desplazamiento del carro

Los resultados del control realimentando todas las variables de estado con k1 =65, k2 = 24, k3 = 8, k4 = 11, se muestran en las Figuras C.11 y C.12. Noteseque ahora la posicion angular y el desplazamiento del carro estan completamentecontrolados.

0 2 4 6 8 10-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

pos.

ang

ular

del

pén

dulo

, gr

ados

segs.

Figura C.11 Posicion angular del pendulo


0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

desp

laza

mie

nto

del c

arro

, m

etro

s

segs.

Figura C.12 Desplazamiento del carro

Ejemplo C.2 .

Este ejemplo sirve para simular el control optimo usando realimentacion de las va-riables de estado estimadas de una planta (motor DC y su ”drive”) por medio de unobservador asintotico (Vease Capıtulo 9). Referirse al artıculo de los autores ”Disenode un controlador optimo que utiliza un observador asintotico para realimentar lasvariables de estado estimadas”, en la revista Scientia et Technica, No. 4 de Octubrede 1996.El criterio de optimizacion consiste en minimizar el ındice cuadratico:

J =

Z ∞0

[xtQx+ utRu]dt

para lo cual se utiliza la funcion ”lqr” (”linear quadratic regulator”) de la herramienta”Control” del MATLAB. Las matrices ponderantes Q y R que restringen respectiva-mente, las variables de estado y de control, se escogen como:

Q =

1 0 .01 00 .1 .01 0.01 .01 .01 .010 0 .01 100

R = .01

Puesto que se introduce un integrador con el fin de eliminar el error de estado esta-cionario, la planta es de cuarto orden y su modelo matematico mediante ecuacionesde estado es descrito por las matrices:


A2 =

−.1653 .2879 0 0−11.55 −3.414 .9177 00 0 −12.3 0−1 0 0 0

B2 =

00

147.50

, C2 = £ 1 0 0 0¤

Puesto que el observador es reducido, ya que no es necesario estimar la salida delintegrador porque se tiene acceso a ella, en la determinacion de las ganancias delobservador se utilizan: la traspuesta de la matriz A1 que se obtiene eliminando enA2 la cuarta fila y la cuarta columna, y la traspuesta de [1 0 0] que se obtiene de C2eliminando la cuarta columna.

x4

x' = Ax+Bu y = Cx+DuModelo del

motor


Ganancias derealimentación

Error decontrol

x' = Ax+Buy = Cx+Du

Observador asintótico

Mux

Mux2

estadore Al espacio de

trabajo3Salida y

DemuxDemux2

Referencia1/sI1

-+S2

Error del observador

Vector de estado estimado

Señal de control u

Relojti

Al espacio detrabajo2

+-S1

estado Al espacio de

trabajo1

MuxMux

DemuxDemux1

MuxMux1

Saturación

Figura C.13 Diagrama de simulacion del ejemplo C.2

La Fig. C.13 muestra el diagrama de simulacion del sistema total. Notese queel bloque ”state − space” es usado 3 veces para: simular la planta, el observadorasintotico y las ganancias de realimentacion.Se usan multiplexores para reunir varias senales en un solo vector, y demultiplexorespara separar las senales de vectores.Se usan los bloques ”to workspace” para enviar varias senales y el tiempo al espaciode trabajo con el fin de graficar algunas variables.


Otros bloques utilizados son: ”saturation” de la librerıa ”nonlinear”, un sumador yun integrador de la librerıa ”linear” y el bloque ”step” de la librerıa ”sources” paragenerar la senal de referencia: un escalon de amplitud 8.15 voltios.El siguiente es el programa que carga las matrices Q, R, A2, B2 y C2, utiliza dela herramienta ”Control” las funciones ”lqr” que se usa para optimizar y ”ac ker ”que sirve para hallar tanto las ganancias de realimentacion de las variables de estadocomo las ganancias del observador asintotico cuando los polos respectivos son dados.Usa el metodo de integracion ”rk45” y grafica los resultados.% CALCULO OPTIMO DE LAS GANANCIAS DE REALIMENTACION% POR VARIABLES DE ESTADO PARA EL MODELO DEL MOTOR% SE CARGAN Q Y R OPTIMOSload qroptim% SE CARGA PRIMERO EL MODELO DEL MOTORload modmotor% SE CALCULAN LAS GANANCIAS DE REALIMENTACION K1,% USANDO EL REGULADOR LINEAL CUADRATICO[K1,S,E]=lqr(A2,B2,Q,R);K1% SE CALCULAN LAS GANANCIAS DEL OBSERVADOR ASINTOTICO L% UTILIZANDO LA FORMULA DE ACKERMAN.% SUS POLOS ESTAN EN EL VECTOR Po.Po=[-10;-20;-30];L1=acker(A1’,[1;0;0],Po);L=L1’% SE SIMULA EL SISTEMA EN LAZO CERRADO CON EL SIMULINK.% EL PROGRAMA SE LLAMA lqrnue33.rk45(’lqrnue33’,[0,4],[],[0.001,0.01,0.01])% SE GRAFICAN LAS VARIABLES DE ESTADO ESTIMADAS, LAS REALES,% LA SENAL DE CONTROL Y EL ERROR DEL OBSERVADOR.for j=1:3

figure(j)plot(ti,estado(:,j),’w-’)hold onplot(ti,estadore(:,j),’w-’)grid onhold offxlabel(’segs.’)pause

endfor j=4:5

figure(j)plot(ti,estado(:,j),’w-’)grid onxlabel(’segs.’)pause

end


0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

segs.

Figura C.14 Variables de estado x1 y xo1

0 1 2 3 4-20

0

20

40

60

80

segs.


0 1 2 3 4-100

-50

0

50

100

150

segs.



0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

segs.

Figura C.17 Senal de control u

0 1 2 3 4-1

0

1

2

3

4

5

segs.

Figura C.18 Error del observador

En las Figuras C.14 a la C.18 se muestran las variables de estado estimadas compara-das con las reales, la senal de control y el error del observador. Notese como a pesarde que el estado energetico inicial de la planta [4.075 2.5 60] es totalmente diferentedel estado inicial del observador [0 0 0], en menos de medio segundo las variables deestado estimadas convergen asintoticamente a las reales y la salida del sistema, x1, al-canza el estado estacionario en aproximadamente 3.5 segundos, haciendo seguimientoperfecto de la senal de referencia, que en este caso es de 8.15 voltios.

APENDICE D

EJERCICIOS PROPUESTOS

D.1 Del capıtulo 1

D.1.1 Considerese el mismo sistema (planta) del ejemplo introductorio (el pendulo in-vertido) y supongase que se desea controlar no solo la posicion angular sino laposicion horizontal tambien, utilizando una estrategia de control en donde lafuerza (senal) de control u es proporcional a φ y y, es decir, u = K1φ + K2y.Plantear el conjunto de ecuaciones linealmente independiente que describe el com-portamiento de este sistema de control, suponiendo que el transductor respondeinstantaneamente.

D.1.2 Trabajarıa el sistema del ejemplo introductorio si en lugar del control proporcional-derivativo se usara control derivativo puro?.

D.1.3 Sobre un carro de masa M hay dos pendulos invertidos de longitudes l1 y l2 ycon masas en sus extremos del mismo valor e igual a m, como se muestra en laFig. D.1. Para valores pequenos de Θ1 y Θ2, demostrar que las ecuaciones demovimiento son:

M•v = mgΘ1 +mgΘ2 + u

m(•v −li

••Θi) = −mgΘi, i = 1, 2

en donde v es la velocidad del carro y u es una fuerza externa aplicada al mismo.

361

362 EJERCICIOS PROPUESTOS

Figura D.1 Sistema del problema D.1.3.

D.2 Del capıtulo 2

Figura D.2 Sistema del ejercicio D.2.1.

D.2 Del capıtulo 2 363

D.2.1 Un analogo simple del cuerpo humano para estudios de vibracion se consideracomo una interconexion de masas, resortes y amortiguadores como se muestraen la Figura D.2. Plantear un conjunto de ecuaciones linealmente independienteque lo describa completamente.


D.2.2 Para el sistema mecanico traslacional de la Figura D.3 plantear las ecuaciones deestado y de salida.

Figura D.4 Sistema mecanico rotacional del problema D.2.3.


D.2.3 Plantear un modelo matematico que describa completamente el comportamientodel sistema mecanico rotacional de la Figura D.4.

Figura D.5 Pendulo del problema D.2.4.

D.2.4 Plantear un conjunto de ecuaciones de estado que describa el comportamientodel sistema del pendulo da la Figura D.5. Supongase que cuando el pendulo estavertical, no hay fuerza del resorte; tambien, que θ es pequeno. El momento deinercia de m con respecto al punto A es ml2.

Figura D.6 Sistema mecanico del problema D.2.5.


D.2.5 Para el sistema mecanico de la Figura D.6, hallar la ecuacion diferencial querelaciona la posicion de la masa M1, y(t), con la entrada u(t).

Figura D.7 Circuito electrico del problema D.2.6.

D.2.6 Describir el comportamiento del circuito electrico de la Figura D.7 mediantevariables de estado. Hallar las matrices A, B, C y D y la matriz de transferencia.

Figura D.8 Circuito electrico del ejercicio D.2.7.

D.2.7 Para el circuito electrico de la Figura D.8: R = 2Ω, C1 = 1f , C2 =12f , L1 =


M = 1h y L2 = 2h.

a. Plantear las ecuaciones de estado y de salida.b. Obtener la funcion de transferencia a partir de las matrices A, B, C y D delresultado anterior.

Figura D.9 Motor del problema D.2.8.

ea = Ka φω

τ = Ka φ ia

φ =K1 if1 + b if

D.2.8 El sistema de la Fig. D.9 esta trabajando en un punto de operacion Po conocido.Una pequena desviacion ∆vf del voltaje vf ocurre en un instante determinadoy como consecuencia el punto de operacion se afecta. Considerando como salidadel sistema el cambio ∆ω de la velocidad angular ω, obtener:

a. El diagrama de bloques.b. La funcion de transferencia ∆ω(s)

∆vf (s), por reduccion de diagrama de bloques.



D.2.9 La Figura D.10 muestra el diagrama esquematico del sistema de control de unabola en suspension. La bola de acero se suspende en el aire por la fuerza elec-tromagnetica generada por el electroiman, la cual es directamente proporcionalal cuadrado de la relacion i

y con constante de proporcionalidad K. El objetivode control es mantener la bola de metal suspendida en la posicion nominal deequilibrio controlando la corriente en el iman con el voltaje e(t). La resistenciade la bobina es R y la inductancia es L(y) = L

y(t) , en donde L es una constante.

a. Sea E el valor nominal de e(t). Encontrar los valores nominales de y(t), i(t) y dy(t)dt

en equilibrio (punto de operacion).

b. Definir las variables de estado como x1 = i, x2 = y, x3 =dy(t)dt y encontrar las

ecuaciones de estado no lineales.c. Linealizar las ecuaciones de estado anteriores alrededor del punto de equilibrio.

Figura D.11 Sistema de nivel de lıquido del ejercicio D.2.10.


D.2.10 En el sistema de nivel de lıquido de la Figura D.11, A = 15m, B = 10m,H = 25my q =

√h2 en el sistema MKS.

a. Hallar la ecuacion diferencial no lineal que relaciona a h con u(t).b. Linealizar la anterior alrededor del punto de operacion, suponiendo que en este,u(t) |Po= Uo = 2m

3

seg y h(t) |Po= Ho = 16m.


q: caudal en Kg/seg., A: area del piston (m2), ζ: densidad del aceite (Kg/m3), R:resistencia al flujo en la restriccion ( N.segm2.Kg ), K: constante del resorte (N/m)

D.2.11 Para el sistema de la Figura D.12 hallar la funcion de transferencia Y (s)U(s) .

D.3 Del capıtulo 3

D.3.1 Hacer un diagrama de computo analogo para generar la funcion 20 t e−t. Sedebe tener en cuenta que: i.no haya saturacion en ninguno de los amplificadoresoperacionales; ii. solo de dispone de voltajes D.C.; iii. el voltaje de polarizacionde los amplificadores operacionales es±15 voltios; iv. el numero de amplificadores


operacionales sea mınimo.


u(t): variable de control, n(t): perturbacion, R1 = R3 = 3, R2 = 1, C1 =23 , C2 =

13 .

D.3.2 Para el sistema de nivel de lıquido de la Figura D.13:

a. Obtener un circuito electrico analogo y plantear las ecuaciones de estado.b. Hacer un diagrama de computo analogo para simular las ecuaciones anteriores sinusar mas de 3 amplificadores operacionales.

D.3.3 Las ecuaciones de estado y de salida de un sistema son, respectivamente:

•x =

−1 −2 −20 −1 11 0 −1

x+ 201

u

y =£1 1 0

¤x

Hacer el diagrama de computo analogo para una realizacion tipo ”observer” sin usarmas de 5 amplificadores operacionales.

D.4 Del capıtulo 4


D.4.1 La funcion de transferencia de una planta es:

C(s)

U(s)=

100

s2 + 10s+ 100

Disenar un controlador proporcional-integral (PI) de modo que cuando la referenciasea una rampa unitaria, el error de estado estacionario sea 0.01. Justificar el valorseleccionado para cada ganancia del PI.

Figura D.14 Sistema termico del ejercicio D.4.2.

D.4.2 La temperatura x(t) en el horno electrico de la Figura D.14 es descrita por laecuacion diferencial:

dx(t)

dt= −2x(t) + u(t) +w2(t)

en donde u(t) es la senal de control y w2(t) es una perturbacion debido a las perdidaspor calor. Se desea que la temperatura x(t) siga la senal de referenciaw1(t). Encontrarlas ganancias proporcional Kp e integral Ki de un controlador proporcional-integral(PI) de modo que todas las raıces de la ecuacion caracterıstica en lazo cerrado estenen -10. Hallar las respuestas de x(t) para t ≥ 0 cuando w1(t) = us(t) y w2(t) = −us(t)con condiciones iniciales nulas, en donde us(t) es el escalon unitario. Bosquejar lasrespuestas.



R1 = R2 = R3 = 1, C1 = C2 = 1.y: salida (nivel), u: variable de control (caudal), n: perturbacion (nivel).

D.4.3 a. Obtener las ecuaciones de estado y de salida del sistema de la Figura D.15 ysu matriz de transferencia.

b. Determinar valores y/o condiciones en las ganancias de un controlador tipo PI, demodo que el error de estado estacionario para una senal de referencia rampa unitariasea 0.01. Hacer un diagrama de bloques del sistema en lazo cerrado.



Ra = 10Ω, La ≈ 0, Ki = constante de torque = 10 oz-in/A, Ka = 50, n = N1

N2= 1

100 ,Kb = constante de fem inducida = 0.0706 v/rad/seg, Ks = 1 v/ft, JL = inercia de lacarga = 10 oz-in-seg2, Jm = inercia del rotor = 0.005 oz-in-seg

2, A = area del tanque= 50 ft2, R = 0.02 seg/ft2. Friccion del motor y la carga despreciables.

D.4.4 En el sistema de la Figura D.16, el numero de valvulas conectadas al tanquede reserva es N = 8. Todas las valvulas tienen las mismas caracterısticas y soncontroladas simultaneamente por θc. Ası, el caudal de entrada qi(t) esKi.N.θc(t),donde Ki = 10 ft

3/(seg-rad).

a. Definir las variables de estado de la planta como x1 = h, x2 = θm, x3 =dθmdt .

Siendo la variable de control ei(t), plantear las ecuaciones de estado de la planta (sinel controlador).b. Hallar la funcion de transferencia de la planta y del sistema en lazo cerrado (in-cluyendo el controlador), suponiendo un controlador tipo proporcional con gananciaKp. Hacer un diagrama de bloques.c. Determinar la estabilidad del sistema y el error de estado estacionario para unareferencia rampa unitaria si Kp es: i. 1.0, ii. 2.0.

D.4.5 El modelo matematico de una planta que se quiere controlar es el siguiente:

•x1 = −2x2(t)•x2 = −2u(t)

donde u(t) es la senal de control y la salida es y(t) = x1(t).Las siguientes son las consideraciones para el diseno del control:a. No se admiten oscilaciones (ni siquiera amortiguadas) en la salida cuando la refer-encia es un escalon.b. El error de estado estacionario para una referencia escalon debe ser nulo.c. La magnitud de todos los polos en lazo cerrado debe ser 2.Para cada uno de los siguientes controladores justificar porque si o porque no loselecciona y haga el diseno respectivo:i. Proporcionalii. Proporcional-derivativo.iii. Proporcional-integral.

D.5 Del capıtulo 5


Figura D.17 Modelo del ejercicio D.5.1.

D.5.1 Un modelo muy simple del sistema de realimentacion que un estudiante utilizapara controlar sus notas se muestra en la Figura D.17, en donde:

Td es el tiempo disponible, Te es el tiempo para estudiar, Tx es el tiempo para activi-dades extracurriculares, N representa las notas y K1 es un efecto proporcional en lasnotas.Algunos valores tıpicos de los parametros serıan K1 = 1, τ1 = 1 mes, y τ2 =

12 mes.

El esfuerzo en eliminar actividades extracurriculares se refleja en la gananciaK2, paralo cual determinado estudiante podrıa tener K2 =

12 .

a. Calcular la respuesta del sistema a un incremento en escalon en el tiempo disponible.Cuantos meses transcurren antes de que el incremento en tiempo disponible resulteen notas mejores. Usar el tiempo pico para esta estimacion.b. Una perturbacion en escalon, D(s) = D

s , ocurre debido a examenes mas difıciles.Usando el tiempo de establecimiento, determinar el tiempo necesario para alcanzarel estado estacionario. Determinar el efecto en estado estacionario sobre las notasdebido a la perturbacion escalon de magnitud D.c. Repetir a. y b. para un estudiante cuya dedicacion a actividades extracurricularesse refleja con K2 = 2.



D.5.2 En determinadas misiones espaciales los astronautas deben abandonar la nave yoperar en el espacio. Para permitir que las extremidades del astronauta estenlibres es necesario proveer un sistema de control que no las utilice. Por esta razonse propone un controlador por voz cuyo diagrama simplificado se muestra en laFigura D.18, en donde:

R es la posicion deseada, E es un comando por voz, T es el torque, V es velocidad yy es la posicion en metros.El controlador (Jet a gas) opera por comando de voz y puede ser representado aprox-imadamente por una ganancia proporcional K2. La inercia del hombre y el equipo esJ = 25 Kg-m2.a. Determinar la ganancia necesaria K3 para que el error en estado estacionario sea1 cm. con una senal de entrada rampa unitaria.b. Con esa ganancia K3, determinar lımites en la ganancia K1K2 para restringir elmaximo sobreimpulso al 10%.

D.5.3 La funcion de transferencia de un sistema es:

C(s)

R(s)=


Con r(t) = δ(t), la funcion impulso, hallar c(t) para cuando: ζ = 0, ζ < 1, ζ = 1 yζ > 1. Hacer graficos y comparar.


D.5.4 Para el sistema de la Figura D.19, hallar el error en estado estacionario ess cuandor(t) = t u(t) en funcion de ζ y ωn.

D.5.5 Resolver el ejemplo 5.1 con un sobrepaso del 3%, con un tiempo de solucion de1 segundo. Calcular K, Kr, tr y tp.


D.6 Del capıtulo 6

D.6.1 Para cada uno de los sistemas de las Figuras 6.3 y 6.5, determinar, en caso deser posible, las ganancias de un controlador que utiliza realimentacion de lasvariables de estado, de modo que todas las frecuencias naturales del sistema enlazo cerrado esten ubicadas en -10.

Figura D.20 Circuito del ejercicio D.6.2.

D.6.2 a. Existira alguna funcion u(t) tal que las corrientes en todas las inductancias ylos voltajes en todos los condesadores de la Figura D.20 puedan ser llevados desdeciertos valores iniciales (arbitrarios) a otros tambien arbitrarios? Justificar.

b. Determinar la estabilidad interna del sistema de la Figura D.20.

Figura D.21 Circuito del ejercicio D.6.3.


D.6.3 Suponer que y(t) y u(t) son dadas para el sistema de la Figura D.21. Seraposible determinar las corrientes en todos lss inductancias y los voltajes en todoslos condensadores en cualquier instante t? Justificar.

D.6.4 Utilizando el criterio de Routh y Hurwitz, determinar la estabilidad de un sistemacon ecuacion caracterıstica:

A(s) = s5 + 4s4 + 8s3 + 8s2 + 7s+ 4


D.6.5 Para el sistema mostrado en la Figura D.22, demostrar, utilizando el criterio deRouth y Hurwitz, que para estabilidad en lazo cerrado:

K < (1

T3+1

T2+1

T1)(T1 + T2 + T3)− 1

D.6.6 Una planta tiene como funcion de transferencia:

Gp(s) =1

(2s+ 1)(s− 1)

Encontrar condiciones en las ganancias proporcional, Kp > 0, y derivativa, Kd > 0,de un controlador PD de modo que el sistema sea estable en lazo cerrado. Utilizar elcriterio de estabilidad de Nyquist.



D.6.7 Para el sistema de la Figura D.23:

GC(s) = 1 + TD(s)

GP (s) =K

s2(1 + T1s)

donde K, T1, TD > 0.Utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist, establecer condiciones sobre K, T1 yTD para que el sistema sea estable.

D.6.8 Por el metodo de las transiciones determinar la estabilidad de Wl−c(s), paraWl−a(s) =

K(1+T1s)s(T2s−1) , con K, T1, T2 > 0. Establecer condiciones.

D.6.9 Se tiene una planta cuyo funcion de transferencia es:

Gp(s) =1

s2(1 + T1s)(1 + T2s)

donde T1, T2 > 0. Utilizar el criterio de estabilidad de Nyquist para hallar todas lascondiciones, si las hay, de modo que el sistema en lazo cerrado sea estable cuando elcontrolador es de tipo:a. Proporcional con ganancia K > 0.b. Proporcional-derivativo con funcion de transferencia K(1 + Tds); K, Td > 0.



D.6.10 En el sistema de la Figura D.23:

GC(s) = 1 + Tds

GP (s) =K

s2(1 + T1s)

donde K, T1, Td > 0.Usando el criterio de estabilidad de Nyquist, establecer condiciones sobreK, T1, y Tdpara que el sistema sea estable.


D.6.11 En el sistema de la Figura D.24:

G1(s) = K(s+ 3)

G2(s) =1

(s2 + 4)(s− 2)H(s) = s+ 2


Utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist, establecer condiciones en la gananciaK > 0, para que el sistema sea estable.

D.6.12 La funcion de transferencia en lazo abierto de un sistema es:

Wl−a(s) =K(s− 1)s(s+ 1)

Utilizar el criterio de estabilidad de Nyquist para encontrar condiciones en K demodo que el sistema sea estable en lazo cerrado. Mostrar todos los posibles lugaresgeometricos o de Nyquist.

D.6.13 Bosquejar el lugar de Nyquist de Wl−a(s) =K(s−1)(s+1)2 , K > 0, y determinar los

lımites de K para que el sistema en lazo cerrado sea estable. Usar el criterio deNyquist.

D.6.14 Las ecuaciones de estado y de salida de un sistema son, respectivamente:

•x =

−1 −2 −20 −1 11 0 −1

x+ 201

u

y =£1 1 0

¤x

Utilizar realimentacion de las variables de estado para transferir los modos del sistemaa -1, -2 y -2. Dibujar un diagrama de bloques para las anteriores ecuaciones y luegoadicionar la realimentacion requerida.

D.6.15 Un sistema es descrito por la siguiente ecuacion matricial de estado y de salida:

•x =

1 0 0−1 0 40 −1 −2

x+ 100

u

y =£1 2 1

¤x

a. En caso de ser posible, determinar las ganancias en la realimentacion de las vari-ables de estado de modo que la funcion de transferencia del sistema en lazo cerradomuestre un solo polo en -4.


b. Es mınimo el sistema en lazo cerrado?. Justificar.


D.6.16 La Figura D.25 muestra un sistema de nivel de lıquido que se quiere controlar,en donde:

n es una perturbacion incontrolable, u es la variable de control y C1 = C2 = 1, R1 =R2 = R3 =

12 . La tecnica a utilizar es por realimentacion de las variables de estado

(h1 y h2) mas realimentacion de la integral del error a traves de una ganancia, ya quese desea que la salida (h2) siga, en el estado estacionario, a la referencia que es unasenal tipo escalon.Disenar el controlador de modo que las frecuencias naturales del sistema en lazocerrado esten ubicadas en −10± j y −10.Hacer un diagrama de bloques donde se muestren explıcitamente la planta y la es-tructura completa del controlador. Solo deben aparecer ganancias, sumadores e inte-gradores.

D.7 Del capıtulo 7

D.7.1 La configuracion de polos y ceros de una funcion de transferencia en lazo cerradoWl−c (s) viene dada en la Fig D.26a.


a) b)

Figura D.26 Polos y ceros del ejercicio D.7.1.

a. Calcular la banda pasante del sistema, o ancho de banda, AB.b. Se anade un cero como indica la Fig D.26b. ¿ Como queda modificado el AB ?c. Se anade a la configuracion de la Fig D.26b un polo sobre el eje real negativo, peroa una distancia del origen 10 veces mayor que la del cero.¿ Como queda afectado elAB?

D.7.2 La especificacion dada para un servosistema de segundo orden es que el sobrepasomaximo de la respuesta a un escalon unitario no exceda del 25%. Determinar losvalores lımites correspondientes del coeficiente de amortiguamiento ζ y del factorde resonancia Mv.

D.7.3 La funcion de transferencia en lazo cerrado de un servosistema es:

Wl−c (s) =C (s)

R (s)=

1

(1 + 0.01s) (1 + 0.05s+ 0.01s2)

a. Trazar la curva de respuesta en frecuencia del sistema en lazo cerrado.b. Determinar el factor de resonanciaMv y la frecuencia de resonancia ωv del sistema.c. Determinar el coeficiente de amortiguamiento ζ y la frecuencia propia no amor-tiguada ωn del sistema de segundo orden que produce el mismo Mv y la misma ωvque el sistema original.

D.7.4 La funcion de transferencia en lazo abierto de un servosistema con realimentacionunitaria es:

Wl−a (s) =K (1 + Ts)

s (1 + s) (1 + 0.01s)

Determinar el menor valor posible de T para que el sistema tenga un margen deamplitud infinito.


D.7.5 La funcion de transferencia en lazo abierto de un servosistema con realimentacionunitaria es:

Wl−a (s) =K

s (1 + 0.1s) (1 + s)

a. Determinar el valor de K para que el factor de resonanciaMv del sistema sea iguala 1.4.b. Determinar el valor de K para que el margen de amplitud del sistema sea de 20dB.c. Determinar el valor de K para que el margen de fase del sistema sea de 60.

D.7.6 Usar el criterio de estabilidad de Nyquist para determinar si los sistemas con lassiguientes funciones de transferencia de lazo abierto son estables:

a. Wl−a (s) =10

(1 + s) (1 + 2s) (1 + 3s)

b. Wl−a (s) =10

s (1 + s) (1 + 10s)

c. Wl−a (s) =10

s2 (1 + 0.1s) (1 + 0.2s)

d. Wl−a (s) =2

s2 (1 + 0.1s) (1 + 10s)

D.7.7 Para un sistema de segundo orden:

Wl−a (s) =16

s (2 + s)

a. Graficar el diagrama de Bode.b. Determinar Mv y ωv.

D.7.8 Repetir el problema D.7.7 cuando:

a. Wl−a (s) =60 (1 + 0.5s)

s (1 + 5s)


b. Wl−a (s) =60 (1 + s)

s2 (1 + 0.1s)

D.7.9 Dado:

Wl−a (s) =as+ 1

s2

hallar a tal que el margen de fase sea 45.


Gp(s) =10

s(s+ 4)

Disenar un compensador en atraso tal que el coeficiente de error estatico de velocidadKv sea 50 seg

−1, margen de fase 40 y margen de ganancia de por lo menos 10 db.


Gp(s) =K

s(0.1s+ 1)(s+ 1)

Disenar un compensador en adelanto tal que el margen de fase sea 45, el margen deganancia no sea menor a 8 db y el coeficiente de error estatico de velocidad Kv sea 4seg−1.

D.8 Del capıtulo 8

D.8.1 La funcion de transferencia de un sistema es:

G(s) =(s− 1)(s+ 2)

(s+ 1)(s− 2)(s+ 3)¿Sera posible cambiarla a:

Gn(s) =(s− 1)

(s+ 2)(s+ 3)


utilizando realimentacion de las variables de estado?. Si la respuesta es afirmativa,explicar como.

D.8.2 Las matrices A, B, C de un sistema en lazo abierto son:

A =

1 0 0−1 0 40 −1 4

, B = 100

, C = £ 1 4 3¤

Disenar un controlador, que utiliza realimentacion de las variables de estado, de modoque la funcion de transferencia del sistema en lazo cerrado muestre solo dos polos enel eje imaginario con ω = 1 rad/seg. y con un comando de referencia para la salida.

D.8.3 Las matrices A, B, C de un sistema en lazo abierto son:

A =

1 0 0−1 0 40 −1 4

, B = 100

, C = £ 1 1 2¤

Disenar un controlador, con realimentacion de las variables de estado y con comandode referencia, de modo que la salida del sistema responda como uno de primer ordeny que alcance practicamente el estado estacionario en 1 segundo.

D.9 Del capıtulo 9

D.9.1 Las ecuaciones aproximadas del movimiento de un globo son:

•θ = − 1

τ1θ + u

•v = − 1

τ2v + σθ +

1

τ2ω

•h = v

donde θ es la desviacion (variacion) en la temperatura del aire del globo con relaciona la temperatura de equilibrio, u es proporcional a la variacion en calor adicionadoal aire del globo (control), v es la velocidad vertical, h es la variacion en la altura


desde la altura de equilibrio y ω es la velocidad vertical del viento supuesta constante(perturbacion).a. ¿Pueden θ, v, h y ω ser observadas por una medida continua de h?. Suponer queu es la entrada.b. Es el sistema completamente controlable por u?. Es el sistema completamentecontrolable por ω?.

D.9.2 Las ecuaciones de estado y de salida de una planta son:

•z =

·0 11 0

¸z +

·0−1

¸u

y =£1 0

¤z

a. Obtener las frecuencias naturales del sistema.b. Suponer que se tiene acceso a las variables de estado z y disenar un controladorpor realimentacion de ellas (u = −Kz), de modo que los polos del sistema en lazocerrado queden ubicados en −0.5±j0.5. Con el estado inicial z(0) = £ −0.6 0.35

¤ty con referencia cero, graficar z1 = y, z2 y la senal de control u = −Kz.c. Disenar un observador cuyos modos esten ubicados en −1 ± j1. (Notar que sonmas rapidos que los polos deseados en lazo cerrado, pero suficientemente lentos paraver claramente su efecto en la respuesta del sistema).d. Hacer el diagrama de bloques donde se muestre todo el sistema: la planta yel compensador completo (observador mas realimentacion de las variables de estadoestimadas).e. Con el estado inicial dado anteriormente y con el estado inicial de las variables

estimadas∧z (0) =

£0 0

¤ty con referencia cero, graficar

∧z1,

∧z2 y u = −K ∧

z,preferiblemente sobre las curvas del punto b. (z1, z2 y u = −Kz, respectivamente).

D.9.3 Las ecuaciones de estado de un oscilador armonico no amortiguado son:

•x1 (t) = x2(t)•x2 (t) = −ω2o x1(t) + u(t)

Utilizando una observacion de la velocidad, y = x2, disenar un compensador conobservador y realimentacion del estado para controlar la posicion x1. Colocar lospolos del controlador por realimentacion del estado en s = −ωo ± jωo y ambos polosdel observador en s = −ωo.

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