Teoría de Control PID

8/15/2019 Teoría de Control PID

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Teoría de Control

Estructura y algoritmos de control

Modos de acción.

Ajuste de controladores

Bibliografía:

Principles and Practice of Automatic

Process Control. Smith y Corripio.

Ingeniería de Control Moderna. K. Ogata


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Estructura y algoritmo del controlador PID

Una vez definidas la configuración y estrategia

de control a emplear, debe determinarse el

algoritmo del controlador, es decir la ley querige la creación de la acción de control.

Además, es necesario definir también la

estructura del controlador.


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Los requisitos de comportamiento del

sistema tienen que ver con la parte

transitoria de la respuesta (pico

máximo, frecuencia de oscilación,tiempo de establecimiento) y con la

parte estacionaria (error de estado

estacionario).


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Considere el siguiente sistema

A un estímulo paso escalón en R,

la respuesta, para diferentes

algoritmos de control será:


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Algoritmo de control PID

)0(}1

)({K u(t) c udt

deT edt

T t e

D

I

+++= ∫


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La siguiente Tabla resume el efecto de las

diferentes acciones de control.


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Los algoritmos de control utilizados para ilustrar

este epígrafe son los conocidos algoritmos ideales.

( )

++

+

+

sT sT

K PID

sT K PD

sT K PI

D

I

C

DC

I

C

11:

1:

11:


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1

1

11

11

+

+=

+

+

=sT

sT K

sT

sT K G

D

Dc

I

I cc

β β

β

El PI real es:

Que si β es suficientemente grande,puede aproximarse a la ideal.

Nótese que el PI real es una red de retardo.


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Similarmente, el PD real es:

1

1

1

1

+

+=

+

+=

sT

sT K

s

sT K G

D

DcT

Dcc

D α γ

Que si γ es suficientemente grande,puede aproximarse a la ideal.

Nótese que el PD real es una red de adelanto.


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Modos de acción:

Acción directa: a un aumento en la

variable controlada, el regulador

proporciona un aumento en la señal de

control.

En ese caso, la ganancia del regulador esnegativa.

Acción inversa: a un aumento en la

variable controlada, el reguladordisminuye la acción de control.

En ese caso, la ganancia del controlador

es positiva


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¿acción directa o inversa?


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La válvula de control, como se sabe, puede

ser normalmente abierta (fail open, air to

close) o normalmente cerrada (fail closed,

air to open).

La decisión respecto a que válvula emplear

está dada por consideraciones de

seguridad de operación.


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Por ejemplo, si el sistema de control está

controlando la temperatura en un reactor

nuclear manipulando el refrigerante del

mismo, ¿qué debería hacer la válvula

suponiendo que fallara la operación del

sistema de control?

Por supuesto que deberá quedar abierta,

por lo que la misma deberá ser

“normalmente abierta” (fail open, air toclose) FO.


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Una válvula normalmente abierta, o sea, de

“aire para cerrar”, tendrá ganancia negativa

(K V negativa), ya que al aumentar la acción de

control, la válvula cierra y el caudal disminuye.

)deón(disminucinegativo )de(aumento positivo q(t)qu(t)u

u

qK V

∆⇒∆

∆

∆=


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Una válvula normalmente cerrada, o sea, de

“aire para abrir”, tendrá ganancia positiva

(K V positiva), ya que al aumentar la acción

de control, la válvula abre y el caudal aumenta.

)de(aumento positivo )de(aumento positivo q(t)qu(t)u

u

qK V

∆⇒∆

∆

∆=


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El proceso también podrá tener una ganancia(K P ) positiva o negativa, en dependencia de

cómo varía la variable controlada al variar la

variable manipulada.

En nuestro ejemplo, a un aumento de lavariable manipulada (refrigerante) habrá una

disminución de la temperatura en el reactor

(variable controlada), por lo que K P será

negativa.


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¿Cómo determinar qué modode acción de control emplear?


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+⇒↓↓

↓

↓↑↑

e

u...disminuirquetieneluego

aumentar debe ... pero...

C K u

u

mebc

O sea, el controlador será de acción inversa.


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Por otra parte, existen varias maneras

de realizar el algoritmo PID , como se

verá a continuación.

Algoritmo PID (estándar).


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Algoritmo PID interactivo (serie).


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Algoritmo PID paralelo.

En el algoritmo paralelo, las tres acciones

de control son independientes


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Estructuras de control PID.

En muchos casos, el regulador PID está sometido

a cambios bruscos en la referencia.

Cuando existe acción derivativa, si se provoca

una variación súbita en la referencia, la derivada

produce una respuesta de tipo impulsiva, puesderiva el error y como la señal medida aún no ha

cambiado, el error tiene el cambio súbito; y esto

puede dañar al elemento final de control.


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dt

dy

dt

dr

dt

de

yr e

+=

−=

dr/dt será de tipo impulsivo

Para evitar esto se han desarrollado otras

estructuras para los PID, la estructura PI-D y la

estructura I-PD.


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Como se ve, no se deriva la señal de error, sino

solo la señal medida, por lo que el cambio brusco

en la referencia no provocará un pico elevado

en la señal de error.

Estructura PI-D.

[ ] )()()()( ssY K sY s Rs

K K sU d

i p +−

+=


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[ ] ( ) )()()()( sY sK K sY s Rs

K sU d p

i ++−=

Estructura I-PD.


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Estas dos estructuras no introducen ningún

cambio en cuanto a la estabilidad del sistema,

toda vez que la ecuación característica sigue

siendo la misma. De igual forma, la actuacióndel regulador ante cambios en la carga

permanece.


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La estructura PI-D ante cambios en la

referencia elimina el pico del valor inicial de la

acción derivativa, pero suele dar respuestas

con mayor pico máximo, mayor tiempo desubida y mayor tiempo de establecimiento. Esto

implica que generalmente no ofrece una mejora

en el comportamiento dinámico del sistema.


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La estructura I-PD da lugar a

respuestas con menor pico máximo,

mayor tiempo de subida y

prácticamente el mismo tiempo deestablecimiento que en el PID. Por

estas razones, la estructura I-PD es

muy recomendable en sistemas

sometidos a cambios grandes y/ofrecuentes en el valor de la referencia.


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Survey sobre el estado actual del ajuste

de los controladores PID en diferentes

industrias (Cheng-Ching Yu-Autotuning ofPID controllers)


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1. Pulp and paper industry over 2000 loops [9]

Only 20% of loops worked well (i.e. less

variability in the automatic modeover the manual mode).

30% gave poor performance due to poor

controller tuning.

30% gave poor performance due to control

valve problems (e.g. control valve stick-slip,

dead band, backlash).

20% gave poor performance due to process

and/or control system design problems.


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2. Process industries [10]

30% of loops operated on manual mode.

20% of controllers used factory tuning.

30% gave poor performance due to sensorand control valve problems.

3. Chemical process industry [11]

Half of the control valves needed to befixed (results of the Fisher diagnostic

valve package).

Most poor tuning was due to control valve

problems.

4. Manufacturing and process industries [12]

Engineers and managers cited PID controller

tuning as a difficult problem.


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5. Refining, chemicals, and pulp and paper industries

over 26,000 controllers [7]

Only 32% of loops were classified as “excellent” or

“acceptable”.

32% of controllers were classified as “fair” or “poor”,

which indicates unacceptably sluggish or oscillatory

responses.

36% of controllers were on open- loop, which implies

that the controllers were either in manual or virtually

saturated.

PID algorithms are used in vast majority ofapplications (97%). For the rare cases of complex

dynamics or significant dead time, other algorithms are

used. MPC acts less as a multivariable regulatory

controller and more like a dynamic optimizer.


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Ajuste de los controladores PID.

Una vez resuelto el problema de la selección

del algoritmo y la estructura de control, la

siguiente tarea es el ajuste o sintonía del

regulador (“tuning”). Existen diferentes

métodos para la sintonía de los

controladores, siendo históricamente el

primero el método de “prueba y error”.En época tan temprana como 1942, Ziegler y

Nichols desarrollaron un método empírico

para el ajuste de los reguladores PID. Estas

técnicas, de gran aceptación desde susurgimiento, han servido además de base

para métodos más recientes.


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Método de las oscilaciones permanentes.

Ziegler y Nichols (1942)

Con el sistema operando en lazo cerrado, se pone

el Controlador con acción proporcional solamente

(TI=∞

; Td=0) y con un valor pequeño de Kc seestimula con un paso escalón en R.

Se aumenta Kc hasta que se tengan oscilaciones

de amplitud constante en C. A este valor de Kc se

le llama Kcrítica.


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Respuesta para Kc = Kcrit


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Tabla de Ziegler y Nichols


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Deficiencias del método:

Inexactitud en los valores de TD = 0 y TI = ∞.

La calibración de Kc es inexacta.

Se pone a trabajar al sistema en el límite deestabilidad.

Solo se puede aplicar en sistemas que

oscilen.

S d li ét d líti h i d


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crit

crit Pω π 2=

Se pueden aplicar métodos analíticos, haciendo

uso de:

• Criterio de Routh – Hurwitz

• Diagrama de Bode

Utilizando el criterio de Routh – Hurwitz:

•Se halla la ecuación característica del sistema

considerando un controlador proporcional de

ganancia K.

•Se determina el valor de K crítica en el arreglode Routh.

•Se determina el valor de ω crítica en la filasuperior, y se calcula

Se determinan los parámetros del controlador

según la Tabla de Ziegler – Nichols.


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crit crit P ω

π 2=

crit K MG log20=

Utilizando el Diagrama de Bode:

•Se traza el Diagrama de Bode de lazo abierto

con el Controlador proporcional de ganancia

Kc = 1.•Se determina la ωcrit = ωcp (cruce por –180

o) y

se halla

Se determina el Margen de Ganancia y se halla

Kcrit

•Se determinan los parámetros del controlador

según la Tabla de Ziegler – Nichols.


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Método de las oscilaciones amortiguadas:

Es una modificación del método anterior,que evita llevar el sistema a trabajar en el

límite de estabilidad.

Se procede de la siguiente manera:

1-Con el controlador con ganancia

proporcional solamente, se aumenta la

ganancia hasta que la respuesta al paso

escalón oscile con una atenuación de ¼.


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2. Se determina el período de oscilación P

y con este valor se calculan TI y TD.

3. Se ajustan TI y TD a estos valores y sereajusta la Kc para que la respuesta tenga

nuevamente una atenuación de ¼.

6T

5.1D

PPT I

==


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El método de la curva de reacción.

En el método de la Curva de Reacción se abreel lazo y se aplica el estímulo a la válvula

directamente.


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)()()()()( s M sGsGsGs B m pv=

1)(

)(

+=

−

s

Ke

s M

s B Ls

τ

Se aplica un paso escalón de amplitud conocida

M a la entrada de la válvula y se grafica la señal

b(t).

En general se comprueba que la respuesta a un

paso escalón de estos elementos en cascada

tiene una forma sigmoidal que puede ser

aproximada por un modelo de primer orden con

retardo.


46/53

Se traza una tangente por el punto de


47/53

inflexión de la respuesta en lazo abierto,

y se aproxima la sigmoide a la respuesta

típica del modelo de primer orden con

retardo, y se obtiene el valor de L(retardo) ypor el punto donde la respuesta llega al 63.2%,

se proyecta en el eje del tiempo, para obtener

la constante de tiempo equivalente, a partir del

valor de retardo L.


48/53

Los valores de los parámetros del controladorse calculan según Ziegler - Nichols)

Los valores de los parámetros del controlador


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Los valores de los parámetros del controlador

se pueden calcular también como (Cohen y Coon,

1953):


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Para trazar la recta por el punto de inflexión

se utilizará el siguiente procedimiento:

1-Se buscará el polinomio que mejor ajuste larespuesta al paso, para ello se utilizará el

comando p = polyfit(k’,y,n), donde k es el

vector que representa los instantes en que se

obtiene la respuesta.y es la respuesta del sistema

n es el orden del polinomio de ajuste.

Pruebe varios valores de n hasta lograr el

mejor ajuste, inicie con orden 3.

Trace la gráfica del polinomio, utilice elcomando

y1 = polyval(p,k)


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2-Obtenido el polinomio de mejor ajuste,

busque el punto de inflexión, el punto de

inflexión se halla cuando la segunda

derivada del polinomio se anule. Para ello se

aplicará el comando p1=polyder(p) dos

veces, o sea, p2=polyder(p1) =0.

La solución de esta ecuación se logra con elcomando: roots(p2), de estas raíces

seleccione la que mas se aproxime al punto

inflexión, este es el valor de la abscisa. Para

obtener el valor de y en el punto deinflexión, use el comando

y1 = polyval(p,raíz obtenida)


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3-Para obtener la recta que es tangente enel punto de inflexión, establezca la

ecuación de la recta como y = mx +b, m se

obtiene de evaluar el polinomio p1 para el

valor de la abscisa en el punto de inflexión.Como ya se tiene el valor de y en el punto

de inflexión, se halla b.

Trace la ecuación de la recta utilizando el

siguiente comando:

y2 = polyval([m b],k);


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Conclusiones:

En la actividad se mostraron diferentes

estructuras del controlador PID.

Se explicaron las dos modos de acción

de los controladores y cuando se utilizan.

Finalmente se explicaron diferentes

métodos de ajuste de controladores

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