Teorema π de Buckingham

El Teorema de Buckingham establece que si en un problema físico dado, en donde una variable dependiente se puede expresar en función de n variable dependientes como:

X1 = f(x2,x3,x3 ,,...,xn) donde n representa el número de variables.

Entonces se pueden formar n – m grupos adimensionales de variables, llamados parámetros π, donde usualmente m es el número de mínimo de variables independientes, y estos grupos de variables se pueden relacionar como:

Π = F(π, π,………… πn-m ) Donde π

Donde incluye la π1 variable dependiente y los demás grupos solo incluyen variables independientes. Donde la relación F se debe determinar experimentalmente. El parámetro no es independiente si s e puede formar mediante el cociente o producto de otros parámetros π.

El procedimiento empleado para aplicar el teorema de buckingham se pude resumir en los siguientes pasos:

1. Escribir la relación funcional f de la variable dependiente en función de las variables independientes.

2. Escoger m variables repetitivas, que serán las variables que se combinaran con cada una de las restantes para formar los parámetros π. Estas deben incluir todas las dimensiones pero no deben formar un parámetro π por si solas.

3. Formar los parámetros π combinando las variables repetitivas con cada una de las restantes.

4. Escribir la relación funcional F entre el parámetro π1 que contiene la variable dependiente y los parámetros π independientes. Esta relación se determina experimentalmente.

PROCEDIMIENTO DETALLADO PARA EL EMPLEO DEL TEOREMA Π DE BUCKINGHAM

Paso 1. Listar todos los parámetros significativos (donde n es el número de parámetros). Estos se seleccionan de acuerdo a la experiencia de la persona. Si se sospecha que una variable influye esta se debe colocar, ya que si no se incluyen todos los parámetros se obtendrá una relación que no podrá ofrecer una imagen completa del fenómeno. Si este no afecta la variable dependiente aparecerá un número π adicional que los experimentos demostraran que se puede eliminar.

Paso 2. Seleccionar un conjunto fundamental (primario) de dimensiones. Por ejemplo MLtT o FLtT (donde r es el número de dimensiones primarias presentes en el problema). Obsérvese que en problemas de transferencia de calor se debe incluir la temperatura T, y en sistemas eléctricos la carga q.

Paso 3. Listar las dimensiones de todos los parámetros expresándolos en función de las dimensiones primarias. Según el sistema de dimensiones escogido.

Paso 4. De la lista de parámetros elaborada en el paso 1, seleccionar aquellos que se repetirán en los parámetros adimensionales π que se han de formar. Dichos parámetros repetitivos deberán

ser iguales en número a las dimensiones primarias r, y deberá buscarse no dejar fuera ninguna dimensión. Los parámetros repetitivos no deberán tener las mismas dimensiones netas, es decir no deberán ser diferentes solo por el exponente. Por ejemplo no deberá incluirse en los parámetros repetitivos a una longitud (L) y a un momento de inercia (L4). Los parámetros repetitivos podrán aparecer en todos los parámetros adimensionales que se obtengan; por lo tanto no deberá incluirse el parámetro considerado como dependiente en estos parámetros repetitivos.

Paso 5. Establecer ecuaciones dimensionales que combinen los parámetros repetitivos seleccionados en le paso 4 con cada uno de los parámetros restantes, buscando formar parámetros adimensionales, se obtendrán n – m ecuaciones dimensionales. Se resuelven estas ecuaciones dimensionales para obtener los n – m parámetros adimensionales.

Paso 6. Verificar que cada parámetro obtenido resulte efectivamente adimensional. Para ello si inicialmente se escogió el sistema LMT, se recomienda verificar la adimensionalidad utilizando el sistema FLtT y viceversa.

Comentarios sobre el procedimiento:

• Casi siempre se obtiene el número correcto de parámetros adimensionales usando m = r. Sin embargo en algunos casos existen dificultades ya que el número de parámetros resulta diferente cuando se usan sistemas diferentes de dimensiones primarias. En este caso el valor correcto de m se determina como el valor del rango de la matriz de dimensiones.

• Los n – m parámetros adimensionales que se obtienen no son únicos ya que dependen de la selección de los parámetros repetitivos. La práctica enseña que parámetros deben preferirse en función del problema estudiado.

• Si n – m = 1, entonces hay un solo parámetro π = constante.

Ejercicios Ejercicio 1 La fuerza de arrastre F, que actúa sobre una esfera liza colocada en una corriente uniforme de fluido, depende de la velocidad relativa V, del diámetro de la esfera D, de la densidad del fluido ρ, de la viscosidad del fluido μ . Obtener el conjunto de parámetros adimensionales que se puedan utilizar para correlacionar los resultados experimentales.

Ejercicio 2 La caída de presión ΔP, para un flujo viscoso incompresible y estacionario a través de una tubería horizontal rectilínea depende de la longitud del tubo l, de la velocidad media V, de la viscosidad μ , del diámetro del tubo D, de la densidad ρ, y de la variación promedio e del radio interno (es decir la altura promedio aproximadamente) Determinar un conjunto de parámetros adimensionales que se puedan emplear para la correlación de datos experimentales

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INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE MODELOS HIDRÁULICOS. APLICACIONES BÁSICAS. CAPITULO IGENERALIDADES.

Los modelos hidráulicos basan su importancia en la complejidad que representa el tratar temas que abarquen a los fluidos reales. Dicha complejidad se presenta en la aplicación de problemas de hidromecánica, de los cuales para llegar a una solución se han tenido que introducir hipótesis simplificadoras, lo que conlleva a un grado de incertidumbre en el diseño, es aún más evidente la necesidad de los modelos hidráulicos cuando se hace uso indiscriminado de pseudocoeficientes, constantes y manuales de diseño sin siquiera tener el respaldo teórico de dichas fórmulas. Pero al aplicación de los modelos hidráulicos no se queda ahí, son también una herramienta de investigación, a la cual si se la brindara todos los recursos y el apoyo que necesita, podría llevar a las universidades y por ende al país un desarrollo tecnológico propio. Es evidente el gran campo de aplicación de los modelos hidráulicos, pues este trabajo introductorio a su estudio, presentado a mi persona durante mis estudios de pregrado me muestra un amplio panorama de aplicación y las posibilidades de un estudio de postgrado. OBJETIVOS DE LOS MODELOS HIDRÁULICOS. Los modelos hidráulicos por su amplia aplicabilidad integran todas las áreas de conocimientos de la Ingeniería Civil-Hidráulica, son una herramienta que nos permiten desarrollar un trabajo multidisciplinario, es decir llevar a cabo investigaciones. Pero a su vez forma al estudiante con un carácter crítico y analítico, fomentando también el espíritu investigativo, que a lo largo de su vida leva permitir llenar vacíos de su formación y poder desarrollarse como profesional con toda plenitud. Entonces se puede decir que los modelos hidráulicos llevan consigo fines de integración y formación tanto profesional como crítica. CONCEPTO DE LA INVESTIGACIÓN. El trabajo del cual este escrito es un resumen menciona que se debe dejar de pensar que la investigación es tarea de unos pocos elegidos, todo lo contrario toda actividad profesional debe estar relacionada con la investigación, que no es otra cosa que recolección de información, su proceso, análisis de resultados, y registro de conclusiones como de recomendaciones. El método investigativo adoptado se desarrolló en base a la “Teoría de semejanza de similitud mecánica”, es decir a partir de observaciones del comportamiento de los fenómenos en el modelo se podía inferir el comportamiento de los fenómenos en las estructuras reales, que seanmecánicamente semejantes.Dada la facilidad de comprobación de resultados que presenta la técnica de análisis dimensional seadoptó esta como la base del escrito al que me refiero.

2. Modelos de simulación numérica (o modelos matemáticos propiamente dichos): Conocidos también como modelos de simulación analítica, se basan en la aplicación de ecuaciones diferenciales, cuya solución se da con técnicas de análisis numérico. Modelos determinísticos: Se los considera como los modelos causa y efecto. Los procesos físicos involucrados en el fenómeno a modelar se los puede expresar como una relación funcional y reunirse dentro del marco de referencia general del modelo. Modelos estocásticos: Se basan en conceptos estadísticos de análisis, donde el fenómeno puede ser una variable. Modelos de planificación y manejo: Se los usa para la optimización del uso del recurso hídrico, en el cumplimiento de uno o más objetivos, siempre con costos mínimos, esta técnica emplea los principios de análisis de sistemas e investigación de operaciones. CAPITULO II.ANALISIS DIMENSIONAL. Magnitudes Físicas. En el campo de la hidráulica se observa que todos los fenómenos dependen de tres magnitudes físicas fundamentales como son la masa (M), longitud (L), tiempo (T). Son fundamentales porque se definen por sí mismas y constituyen una propiedad de los cuerpos, es decir definen su existencia.

A la vez existen también magnitudes derivadas o dependientes cuyo origen se rige por una ley física y parte de las magnitudes fundamentales, tal es el caso de la aceleración, fuerza, velocidad, etc. cuyas magnitudes ya son bien conocidas.DIMENSIONES.Las dimensiones que se ocuparon en esa investigación fueron las del sistema absoluto (C.G.S) y lasdel sistema gravitacional (M.K.S). Principio de Homogeneidad Dimensional. Dice que: “Cualquier ecuación deducida analíticamente, que represente un fenómeno físico y por ende una magnitud, debe dicha ecuación satisfacer cualquier sistema de unidades”. Es decir los fenómenos fisicos y las magnitudes son independientes del sistema de unidades utilizado. Aplicaciones Físicas. Una magnitud derivada puede ser expresada en función de un parámetro adimensional, en función de magnitudes fundamentales, siempre y cuando su dependencia sea monomia. Método de Rayleygh. La dependencia física viene expresada por un monomio de potencias iguales a una constante adimensional, pudiendo cualquier de estos exponentes ser nulo. En el escrito se presenta la aplicación mediante un problema de física básica, la determinación del período de un péndulo en función de la gravedad y la longitud, otra

3. aplicación mediante la determinación de la ecuación de un orificio y por último mediante ladeterminación de la celeridad de una onda superficial.En todos los casos el proceso de solución fue el mismo, se creó el monomio adimensionalfunción de las magnitudes, luego todo se expresó en función de las magnitudesfundamentales, obteniéndose un sistema de ecuaciones de los exponentes, pero como elmonomio es adimensional el sistema es igual a cero, resolviendo el sistema y reemplazandolos valores se tiene la solución al problema.TEOREMA PI O DE BUCKINGHAM.El teorema pi o de Buckingham permite el arreglo de “m” magnitudes fundamentales, con“r” parámetros o magnitudes “Q” que intervienen en un fenómeno físico, en una matrizcuadrada, por lo general.Este teorema nos permite expresar las funciones así: =0Pero Qi es una magnitud derivada que se puede expresar en función de las magnitudesfundamentales, las cuales en la hidráulica son: L, M, T.Entonces:Por las propiedades de este teorema se puede expresar la primera función así:Donde las funciones π son monomios adimensionales, que no pueden relacionarsealgebraicamente entre sí, únicamente de la siguiente manera:Este teorema es muy útil, una aplicación sencilla se presenta en el estudio del período deun péndulo teniendo en cuenta la longitud (l), la masa (m), la elongación (x), y la gravedad(g).Donde se tiene 5 magnitudes (l, m, g, x, t), 3 magnitudes fundamentales L, M, T. por lotanto 2 números π.Mediante la operación de exponentes y cumpliendo las condiciones del teorema se pudoresolver el problema, haciendo uso de la siguiente matriz: L M T mα 0 1 0 gβ 1 0 -2 lγ 1 0 0 t 0 0 1 x 1 0 0Y se obtuvo como respuesta:

4. ECUACIÓN GENERAL DE LA HIDRÁULICA.Si se desea tener una ecuación general se debe considerar todas las condiciones dinámicasdel movimiento, por lo que se definen todas las magnitudes que intervienen así: Magnitudes geométricas: Se definieron 3 magnitudes genéricas: a, b, c, y el radio hidráulico d, por ser una longitud característica, todas con dimensional [L]. Magnitudes cinemáticas: La velocidad con dimensiones [L*M-1]. Magnitudes dinámicas: Las fuerzas que condicionan el movimiento y definen su estado inercial. (i) Fuerzas Internas. La diferencia de presiones entre dos puntos. Δp : [F*L-2]. (ii) Fuerzas externas. El campo externo o gravitacional que actúa sobre las partículas del fluido. Fg = M*g [F]. (iii) Fuerzas elásticas. Definen la compresibilidad del fluido. (iv) Fuerza de tensión superficial. Define la interacción entre el fluido y las fronteras que lo confinan. (v) Fuerzas viscosas. Son las fuerzas resistivas que se oponen al

movimiento. Densidad o masa específica – Fuerza de Inercia. Es una magnitud propia del fluido que define su masa específica. ρ= [F*L-4*T2].Para la aplicación del teorema se tienen entonces:11 magnitudes, 3 magnitudes fundamentales y 8 números π.Pero en el trabajo se decidió trabajar con una matriz compuesta de los términos d, V, y ρ,es así que se obtiene el siguiente resultado.Pero:Número de Froude:Número de Reynolds:

5. Número de Weber:Número de Cauchy o Mach:Número de Euler:A partir de la ecuación anterior se puede establecer una proporcionalidad para lavelocidad así: oQue constituye la estructura fundamental de la hidráulica.Pero a su vez si el fluido es perfecto se tiene:

6. CAPÍTULO III. TEORÍA DE SEMEJANZA MECÁNICA.El trabajo objeto de estudio adoptó a los medios continuos y al campo de la hidráulicacomo su nicho de aplicación, sin embargo sus conceptos son aplicables a otras áreas de laingeniería.Similitud mecánica.Los sistemas deben ser semejantes geométricamente, y tener magnitudes físicasreferentes a puntos homólogos relacionadas fijas y acordes, para que sean mecánicamentesemejantes.Para el estudio en modelos se emplean las escalas que son la relación de las magnitudesentre el prototipo y el modelo, existiendo escalas de: longitudes, velocidad, tiempo,aceleración y fuerzas.Pero la semejanza mecánica exige la identidad de los valores de los números de Fr, Re, W,Ma, entre el modelo y el prototipo, algo imposible de conseguir ya que el modelo deberíaser el mismo prototipo.Es por eso que se adopta como concepto de modelo como el sistema que más se aproximaa la representación del fenómeno hidráulico que ocurre en el prototipo, y lo que se tratahacer es que el modelo tenga las menores desviaciones posibles del prototipo, por lo quese podrían presentar “efectos de escala”.Dependiendo de la fuerza predominante en el prototipo se llevará a construcción elmodelo basado en esa fuerza por lo que los modelos pueden ser: froudiano, viscoso,elástico, grávico-viscoso.Condiciones de Bertrand.Establecen que tanto el modelo como el prototipo deben observar la condición de ladinámica de NewtonAdemás permite darle a la escala de tiempo un tratamiento de variable dependiente,cuando se trabaja con una escala de longitudes y una escala de fuerzas.Similitud de Froude.Se lo aplica cuando las fuerzas gravitacionales son preponderantes. Para este caso Fr = Frm.Para este tipo de modelación si se cumple la condición dinámica de Newton por lo quehace posible su ejecución.Similitud de Froude/Reynolds.Surgen de la necesidad de analizar fenómenos físicos sin despreciar las fuerzasgravitatorias y viscosas.Pero al tratar de cumplir con las condiciones

7. Se llega a la conclusión que se debe realizar la modelación con otro líquido, un líquido quedebe tener una viscosidad cinemática mucho menor que el agua, imposible de obtenerlo,además de que las escalas de longitudes serían poco prácticas.La conclusión que se presenta en el escrito menciona que es imposible la modelaciónFroude/Reynolds, por lo que es imprescindible definir una única fuerza predominante.Clasificación de los fenómenos hidráulicos en orden a la elección de una similitud aadoptarse. Influencia de las fuerzas elásticas. Cuando el fluido deja de ser incompresible, un ejemplo es en el fenómeno del golpe de ariete. Un fluido es incompresible si el número de Cauchy-Mach es < 0.4 Influencia de las fuerzas de tensión superficial. La influencia en los prototipos es reducida, mientras que en los modelos es grande y depende de la escala de geometría. Se recomienda cumplir las normas de construcción de modelos. Los modelos hidráulicos concebidos bajo la similitud de Weber no se practican. Influencia de las fuerzas internas o de presión. Son de mayor influencia cuando se trata de un fluido ideal o cuasi ideal. Estos modelos son usados cuando el efecto de las fuerzas viscosas crea una disipación de energía

como un mecanismo secundario, tal es el caso de turbulencia totalmente desarrollada. Influencia de las fuerzas gravitacionales o de peso. Abarca a los movimientos con superficie libre, originados por la gravedad en los que las pérdidas de energía no son apreciables. En estos modelos el mecanismo turbulento rige las pérdidas de energía. Influencia de las fuerzas viscosas. Aquí se encuentran los fenómenos en los que la viscosidad impone el comportamiento del líquido en sí y su interacción con la estructura, tal es el caso del flujo laminar en tuberías, movimiento de estructuras sumergidas, aviones, álabes, etc. Este tipo de semejanza mecánica exige la igualdad del número de Reynolds, que en la práctica es muy difícil de conseguir por lo que se recurre a artificios experimentales y correcciones analíticas.

8. REGLAS Y NORMAS PARA MODELOS HIDRÁULICOS CON SUPERFICIE LIBRE.La mayoría de los fenómenos en Hidráulica son afectados primordialmente por la fuerzagravitatoria por lo que los modelos se los realizan bajo las condiciones que ocurren en lasimilitud de Froude.Modelos no distorsionados sin rozamiento.Se caracterizan porque todas las escalas de las magnitudes físicas son funciones de laescala geométrica.En estos el efecto de la viscosidad puede ser despreciado si se compara con efectos defuerzas gravitacionales o inerciales. Se los conoce como estructuras cortas y su fuerzapredominante es la gravitatoria, por lo que son modelos de similitud de Froude. Es decir elnúmero de Froude debe ser igual en el modelo y en el prototipo por lo menos en elvolumen de control.Modelos no distorsionados con rugosidad propia o involucrada.A menudo a más de existir fuerzas gravitatorias predominantes, actúan también fuerzasviscosas, por lo que es necesario desarrollar un modelo de similitud de Froude, pero queincorpore los efectos de la viscosidad.Para lograr esto debe cumplir con las siguientes condiciones: 1. La pendiente del modelo debe ser igual a la pendiente del prototipo. 2. 3.Modelos no distorsionados fondo fijo con rugosidad cualesquiera.En este tipo de modelos se escoge como escalas base las escalas de geometría eL y develocidad eV, sirven para superar las dificultades que se pueden presentar en laconstrucción del modelo respecto a las limitaciones que pueden darnos los materiales.Son aplicables únicamente cuando el movimiento del fluido esta en turbulenciacompletamente desarrollada.Modelos de superficie libre, distorsionados, fondo fijo y sin rozamiento.Aparecen debido al cambio de régimen que se puede presentar cuando se realizan pruebasen el modelo con caudales muy pequeños, es decir para evitar el flujo laminar en elmodelo.Para lo que se definen la escala longitudinal eL, y escala vertical eh, aparece la medida dedistorsión D que se define como la razón de eL y eh su valor debe ser ≤ 3 a 4.Este tipo de modelos distorsiona el campo cinemático, por lo que es necesario sermanejado por personal experimentado.

9. Modelos de superficie libre, distorsionados, fondo fijo y con rozamiento. Para este caso las pendientes del modelo y del prototipo ya no son iguales sino: Por lo que es necesario asegurar la similitud dinámica definiendo que la escala de velocidades sin influencia del rozamiento debe ser igual a la correspondiente escala con influencia del rozamiento. Se usan especialmente cuando en el prototipo se tiene causes muy largos, que inducen problemas al recrear calados pequeños en el modelo. La base de este tipo de modelo es la ecuación de Manning-Strickler CALIBRACIÓN DEL MODELO. Se tienen los siguientes casos: a) Velocidad < Velocidad modelo media prototipo EL MODELO ES calculada MÁS RUGOSO Calados modelos > Calados QUE EL medidos prototipo PROTOTIPO calculado b) Velocidad > Velocidad modelo media prototipo EL MODELO ES calculada MÁS LISO QUE Calados modelos < Calados EL PROTOTIPO medidos prototipo calculado