Teorema de Bayes
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Alumno: Rodrigo Alonso Ledesma y Hernández Posgrado: MASPYC Materia: Control Estadístico del Proceso Profesor: Fernando Radillo Ruiz Tarea: Teorema de Bayes Teorema de Bayes El teorema de Bayes, enunciado por Thomas Bayes, en la teoría de la probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A. Sea {A 1 ,A 3 ,...,A i ,...,A n } un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | A i ). Entonces, la probabilidad P(A i | B) viene dada por la expresión: donde: P(A i ) son las probabilidades a priori. P(B | A i ) es la probabilidad de B en la hipótesis A i . P(A i | B) son las probabilidades a posteriori. Esto se cumple Además, unido a la definición de Probabilidad condicionada, obtenemos la Fórmula de Bayes, también conocida como la Regla de Bayes: Aplicaciones El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los
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Alumno: Rodrigo Alonso Ledesma y Hernández Posgrado: MASPYC Materia: Control Estadístico del Proceso Profesor: Fernando Radillo Ruiz Tarea: Teorema de Bayes
Teorema de Bayes
El teorema de Bayes, enunciado por Thomas Bayes, en la teoría de la probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
Sea {A1,A3,...,Ai,...,An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B) viene dada por la expresión:
donde: P(Ai) son las probabilidades a priori. P(B | Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai. P(Ai | B) son las probabilidades a posteriori.
Esto se cumple
Además, unido a la definición de Probabilidad condicionada, obtenemos la Fórmula de Bayes, también conocida como la Regla de Bayes:
AplicacionesEl teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.
Como observación, se tiene y su demostración resulta trivial.
EjemploEl 60% de los tornillos producidos por una fábrica proceden de la máquina A y el 40% de laMáquina B. La proporción de defectuosos en A es 0.1 y en B es 0.5. ¿Cuál es la probabilidad de que un tornillo de dicha fábrica sea defectuoso? ¿Cuál es la probabilidad de que, sabiendo que un tornillo es defectuoso, proceda de la máquina A? En este ejemplo, tenemos un experimento en dos etapas; en la primera, los sucesos son:A: tornillo fabricado por la máquina AB: tornillo fabricado por la máquina BLos valores de las probabilidades de estos sucesos son conocidos: p(A) = 0.6 y p(B) = 0.4.Los resultados de la segunda etapa son:D: tornillo defectuoso
: tornillo no defectuoso
Las probabilidades de estos sucesos dependen del resultado de la primera etapa:p(D/A) = 0.1 y p(D/B) = 0.5
A partir de estos valores podemos determinar también:
El suceso D se puede poner como: D = DA + DB, sucesos mutuamente excluyentes; luego utilizando el teorema de las probabilidades totales:p(D) = p(D/A)p(A) + p(D/B)p(B) = (0.1)(0.6) + (0.5)(0.4) = 0.26
La otra probabilidad es p(A/D), probabilidad de un resultado de la primera etapa condicionadaa un resultado de la segunda; podemos aplicar el teorema de Bayes para resolverlo:
