Teorema de bayesEl teorema de Bayes parte de una situacin en la que es posible conocer las probabilidades de que ocurran una serie de sucesos Ai. A esta se aade un suceso B cuya ocurrencia proporciona cierta informacin, porque las probabilidades de ocurrencia de B son distintas segn el suceso Ai que haya ocurrido. Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la frmula del teorema de Bayes nos indica como modifica esta informacin las probabilidades de los sucesos Ai.El Teorema de Bayes describe cmo es posible revisar la probabilidad inicial de un evento o probabilidad a priori (P(Ai)) para reflejar la informacin adicional que nos provee la ocurrencia de un evento relacionado. La probabilidad revisada se denomina probabilidad a posteriori

AplicacionesEl teorema de Bayes es vlido en todas las aplicaciones de la teora de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadstica tradicional slo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmacin emprica mientras que los llamados estadsticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cmo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos informacin adicional de un experimento. La estadstica bayesiana est demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en funcin de la evidencia emprica es lo que est abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicacin de esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.

Como observacin, se tieneSi A1,

y su demostracin resulta trivial.

A

2

,... , An son:

Sucesos incompatibles 2 a 2.

Y cuya unin es el espacio muestral (A

1

A

2

...

A

n

= E).

Y B es otro suceso.

Resulta que:

Las probabilidades p(A1) se denominan probabilidades a priori .

Las

probabilidades

p(Ai/B)

se

denominan

probabilidades

a

posteriori.

Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes.

Ejemplos

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto

directivo y el 50% de los economistas tambin, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. Cul es la probabilidad de que un empleado directivo

elegido al azar sea ingeniero?

La probabilidad

de que

haya

un

accidente

en u na

fbrica

que

dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta s se ha producido algn incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningn incidente es 0.02.

En el supuesto de que haya funcionado la alarma, cul es la probabilidad de que no haya habido ningn incidente?

Sean los sucesos:

I = Producirse incidente.

A = Sonar la alarma.

1.

2.

3.

Ejemplo: Parte meteorolgico ha anunciado posibilidad para el fin de semana: Que llueva: probabilidad del 50%. Segn estos posibles estados meteorolgicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente: Si llueve: probabilidad de accidente del 10% Solucin: La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el da del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%. Ejemplo: Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3

4.

5. 6.

negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, cul es la probabilidad de haber sido extrada de la urna A? Solucin: Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de rbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas. La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos: Gracias

PROBABILIDAD CONDICIONALProbabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que tambin sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee la probabilidad de A dado B. No tiene por qu haber una relacin causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relacin causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al mbito de la probabilidad. Pueden desempear un papel o no dependiendo de la interpretacin que se le d a los eventos.

EjemploSe lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, cul es la probabilidad de que alguno de los dados haya salido un tres? Sean los sucesos

= "la suma de los puntos es siete" y

= "en alguno de los dados ha salido un tres"

El suceso es salir en algn dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situacin ocurre en las parejas y . Por tanto,

Interpretacinse puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fraccin en los que tambin se cumple A. Si el evento B es, por ejemplo, tener la gripe, y el evento A es tener dolor de cabeza, cabeza cuando se est enfermo de gripe. sera la probabilidad de tener dolor de

Grficamente, si se interpreta el espacio de la ilustracin como el espacio de todos los mundos posibles, A seran los mundos en los que se tiene dolor de cabeza y B el espacio en el que se tiene gripe. La zona verde de la interseccin representara los mundos en los que se tiene gripe y dolor de cabeza . En este caso , es decir, la probabilidad de que alguien tenga dolor de cabeza sabiendo que tiene gripe, sera la proporcin de mundos con gripe y dolor de cabeza (color verde) de todos los mundos con gripe: El rea verde dividida por el rea de B. Como el rea verde representa el rea de B representa a P(B), formalmente se tiene que: y

propiedades: Es importante diferenciar entre P(AB) y P(A/B) Una probabilidad conjunta P(AB) es siempre menor que las probabilidades simples P(A) y P(B). Una probabilidad condicionada P(A/B) puede ser mayor, menor o igual que P(A). El espacio muestral en la probabilidad condicional P(A/B) queda restringido a B.EJEMPLO

Ejemplo 27: Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. Cul es la probabilidad de que: a. La primera semilla sea roja? b. La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja? Solucin:

a. La probabilidad de que la primera semilla sea roja es , puesto que hay 10 semillas de flores rojas de un total de 15. Escrito con notacin de probabilidad tenemos: b. La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por lo que sali primero, es decir esta probabilidad est sujeta a una condicin, la de que la primera semilla sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por , y se lee: la probabilidad de B2 dado R1.

Esta probabilidad 14 restantes.

, puesto que todava hay 5 semillas blancas en un total de

Ejemplo 28: Una persona lanza una moneda 3 veces, Cul es la probabilidad de obtener 3 guilas dado que sali por lo menos un guila? Solucin: El espacio muestra del experimento de lanzar una moneda 3 veces es S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss} El evento A de que por lo menos hay un guila en los tres lanzamientos es: A = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa} El evento B de que obtenga 3 guilas es B = {aaa}

Por lo tanto, A B ={aaa} y

De donde

Ntese que es la probabilidad de una ocurrencia en las siete que son posibles en A; es decir, calcular la probabilidad condicional de B dado A es como calcular la probabilidad de B con relacin al conjunto A, como si ste fuera un nuevo espacio muestra S* = A.

Ejemplo 29: Consideremos dos cajas, la caja 1 contiene 3 esferitas blancas y 4 rojas y la caja 2 contiene 8 blancas y 4 rojas. Se selecciona una caja al azar y luego se extrae una esfera al azar. Hallar la probabilidad de que la esfera sea blanca. Solucin: Sea A el evento de seleccionar la caja 1 y AC el evento de seleccionar la caja 2, entonces P(A) = P(AC) = 1/2 ya que cualquiera de las dos cajas tiene la misma probabilidad de ser extrada. Sea B el evento de seleccionar una esfera blanca, entonces P(B/A) = 3/7 ya que en la caja 1 hay 3 esferas blancas en un total de 7 y P(B/AC) = 8/12 porque en la caja 2 hay 8 esferas blancas en un total de 12. Ahora bien, por la proposicin 3.5 tenemos:

PRINCIPIO DE MULTIPLICACION Definicin.- Si un suceso Pl ocurre de n1 maneras diferentes y otro suceso P2 ocurre de n2 maneras diferentes entonces el suceso Pl Y P2 ocurren de n1 por n2 maneras diferentes. Esto se conoce como principio de multiplicacin o principio fundamental de] anlisis combinatorio. Principio de multiplicacin. Para contar los elementos de un conjunto de forma que sus elementos estn formados por pares de elementos, en los que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto (producto cartesiano), se multiplica el nmero de elementos de cada conjunto.

Esta frmula tambin se puede generalizar a tres o ms conjuntos:

Este principio lo podemos aplicar en el caso de que un recuento se pueda descomponer en varios procedimientos independientes de forma que en el procedimiento global intervenga un elemento de cada uno de los procedimientos.

Ejemplo 1.5. En un lote de produccin hay 25 productos, 5 de los cuales tienen

defectos menores y 9 tienen defectos mayores. Si se toman de este lote tres productos uno tras otro, determina la probabilidad de que: a) El primer producto no tenga defectos y que el segundo y tercero tengan defectos mayores. b) El primer producto tenga defectos menores, el segundo tenga defectos mayores y que el tercero no tenga defectos. c) El primer producto y el tercero no tengan defectos. Solucin: a) Definiremos algunos eventos; B1 = evento de que el primer producto seleccionado no tenga defectos DM2 = evento de que el segundo producto seleccionado tenga defectos mayores DM3 = evento de que el tercer producto seleccionado tenga defectos mayores

1.6.39Probabilidad Conjunta

p(B1/DM2/DM3) = p(B1)p(DM2/B1)p(DM3/B1/DM2) = (11/25)*(9/24)*(8/23) = 0.44*0.375*0.347826 = 0.05739 b) Dm1= evento de que el primer producto seleccionado tenga defectos menores DM2 = evento de que el segundo producto seleccionado tenga defectos mayores B3 = evento de que el tercer producto seleccionado no tenga defectos P(Dm1/DM2/B3) = p(Dm1)p(DM2/Dm1)p(B3/Dm1/DM2) = (5/25)*(9/24)*(11/23)= = 0.2*0.375*0.4782608= 0.03587 c) B1 = evento de que el primer producto seleccionado no tenga defectos B2 = evento de que el segundo producto seleccionado no tenga defectos Dm2 = evento de que el segundo producto seleccionado tenga defectos menores DM2 = evento de que el segundo producto seleccionado tenga defectos mayores B3 = evento de que el tercer producto seleccionado no tenga defectos En este caso como no se especifica de qu tipo debe ser el segundo producto, se considera que ste puede ser no defectuoso, con defectos menores o con defectos mayores; por lo tanto; p(B1/B2/B3) + p(B1/Dm2/B3) + p(B1/DM2/B3) = p(B1)p(B2/B1)p(B3/B1/B2) + P(B1)p(Dm2/B1)p(B3/B1/Dm2) + p(B1)p(DM2/B1)p(B3/B1/DM2) =(11/25)*(10/24)*(9/23) + (11/25)*(5/24)*(10/23) + (11/25)*(9/24)*(10/23) =(0.44)(0.41666)(0.39130) + (0.44)(0.20833)(0.43478) + (0.44)(0.375)(0.43478) = 0.07173 + 0.03985 + 0.07174 = 0.18332

Problema 1.- Juan el alumno ms inteligente del saln se saca un premio al final del ao, el premio consiste en vacaciones todo pagado a cualquiera de 3 posibles lugares que le gustaria ir, usando cualquiera de los 2 medios de transporte disponibles, y acompaado de uno de los 3 familiares que lo pueden acompaar, cuantas posibilidades diferentes se le presentan a Juan ? LUGARES MEDIOS FAMILIARES Cancun Avin hermano Acapulco Auto mam P.M.=> 3*2*3 = 18 Vallarta papa n= 3 n= 2 n= 3 DIAGRAMA DE ARBOLmam avin cancn pap (cancn, avin, mam) (cancn, avin, pap)

hermano (cancn, avin, hermano) mama auto pap (cancn, auto, mam) (cancn, auto, pap )

hermano (cancn, auto, hermano)

---mam avin acapulco pap (acapulco, avin, mam) (acapulco, avin, pap)

hermano (acapulco, avin, hermano) mam (acapulco, auto, mam) (acapulco, auto, pap )

auto

papa

hermano (acapulco, auto, hermano)

---mam (vallarta, avin, mam)

principio de la adiccionSi un suceso Pl ocurre de n1 maneras diferentes y un suceso P2 ocurre de n2 maneras diferentes entonces el suceso Pl Y P2 ocurren de n1 + n2 maneras diferentes. Principio de adicin. Para contar los elementos de dos o ms conjuntos que no tengan elementos comunes, basta con sumar el nmero de elementos de cada uno de los conjuntos:

En caso de que los conjuntos tengan elementos comunes, para contar el nmero total de elementos habr que sumar los elementos de ambos conjuntos y restar el nmero de elementos repetidos.

Esta frmula se puede generalizar para tres o ms conjuntos de la siguiente forma

NOTA: RECORDAR QUE SE SUMA SI LOS CONJUNTOS SON EXCLUYENTES Ejemplo.- Una pareja que se tiene que casar junta dinero para el enganche de su casa, en el fraccionamiento Lomas de la Presa le ofrecen un modelo econmico o un condominio; en el fraccionamiento Playas le ofrecen como modelos un Residencial, un Californiano y un Provensal; en el fraccionamiento Chapultepec le ofrecen un modelo mediterraneo o uno de Super Lujo; cuantas alternativas diferentes de vivienda se le ofrecen a la pareja.Presa econmico condominio n= 2 Playas residencial californiano provensal n= 3 n= 2 Chapultepec mediterraneo super lujo

P.A. = 2+3+2 = 7**

NOTA SE SUMO PORQUE LOS MODELOS SON PROPIOS DE CADA CONJUNTO, ES DECIR NO SE PUEDE SELECCIONAR UN MODELO DE SUPERLUJO EN LA PRESA. 2.- A Juan alumno distinguido de preparatoria la universidad le ofrece en la Facultad de Contadura las carreras de L.A.E. , C.P., L.I. y L.N.I., la Facultad de Ciencias Quimicas ofrece Ing. Quimico, Ing. Industrial, Ing. Electronica e Ing. Computacin y Humanidades ofrece Comunicaciones, Historia, Filosofia y Literatura; cuantas alternativas de estudio diferentes se le ofrecen a Juan ?Contadura L.A.E C.P., L.I. L.N.I. n= 4 C. Quimicas Ing.Quim. Ing.Ind., Elect Ing.Comp n= 4 Humanidades Comunicaciones Hist., Filosofia Literatura n= 4

P.A.= 4+4+4 = 12**

NOTA: SE SUMO POR QUE SON EXCLUYENTES NO SE PUEDE ESTUDIAR QUIMICA EN HUMANIDADES 3.- Juan ex-estudiante de la U.A.B.C. le ofrecen en Calimax 3 puestos diferentes, en Comercial Mexicana 2 puestos diferentes y en Soriana 4 puestos de trabajo diferentes; cuantas alternativas de trabajo diferentes tiene Juan ?

P.A.= 3+2+4 = 9**

4.- Juan decide comprar un carro para trasladarse a su nuevo empleo en Ford le ofrecen 3 modelos diferentes y 2 formas de pago, en Volkswagen le ofrecen 4 modelos y 3 formas de pago y en Nissan le ofrecen 3 modelos y 3 formas de pago; cuantas alternativas diferentes tiene Juan ?FORD mod. m1 m2, m3 p1,p2 f.pago mod. mI m4 P.M.= 3*2 = 6 P.M.= 4*3 = 12 P.M.= 3*3 = 9 VW F.pago pl mod. mI m2, m3 NISSAN f.pago pl p2, p3

m2, m3 p2,p3

P.A.= 6+12+9 = 27

Tipos de probabilidad o Probabilidad Marginal (P[A]) o Probabilidad Conjunta (P[A B]) o Probabilidad Condicional (P[A/B]) o Regla de la adicin P(A U B) = P(A)+P(B)P(AB) o Regla de la multiplicacin P(A B)= P(A) . P(B) Independencia estadstica P[A/B] = P[A] P[A y B] = P[A]. P[B]

NOTA INTERESANTE: Si se quiere saber CUANTOS = usar el Principio de Multiplicacin Si se quiere saber CUALES = construir el Diagrama de Arbol Recordar que para simbolizar conjuntos, si el conjunto esta dado por extensin ejemplo vocales {a,e,i,o,u} se usan sus elementos, pero si el conjunto esta dado por comprensin puedes usar subindices y primera letra,

Principio de la Adicin Dados los conjuntos A1, A2,...Ak, disjuntos dos a dos, se cumple que

Card(A1 A2...Ak) =Card(A1) + Card(A2) + ... + Card(Ak)Es decir, que para contar los elementos de la unin de varios conjuntos disjuntos, deberemos sumar.

Consecuencias de este principio (que se puede demostrar rigurosamente) son: Si A est incluido en B, el cardinal de A ser menor o igual que el de B Si A y B no son disjuntos, el principio de adicin se deber corregir as:

Card(AB) =Card(A) + Card(B) - Card(AB)Es decir, en la suma se deben restar los elementos repetidos Esta frmula se generaliza fcilmente a varios conjuntos, con la particularidad de que las intersecciones aparecern con signos ms o menos segn el nmero de conjuntos que abarquen.

El principio general es: Si dos operaciones son mutuamente excluyentes (es decir, si solo una de ellas puede ocurrir) y si la primera se puede hacer de n maneras diferentes y la segunda operacin se puede hacer de m maneras diferentes, entonces hay n + m maneras de realizar la primera o la segunda operacin.

Ejercicios (Regla de la Adicin) Cul es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 cuando se lanza un par de dados? s(7)={ (1,6),(2,5),(3,4),(6,1),(5,2),(4,3) } s(11)={ (5,6),(6,5) }

P(7)= 6/36 = 1/6 P(11)= 2/36