Elizabeth Ledezma De La Peña

ESTADISTICA

Lic. Gerardo Edgar Mata Ortiz

TEOREMA DE BAYES PROBABILIDAD

CONDICIONAL Y PROBABILIDAD TOTAL

NADA

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TEOREMA DE BAYES

PROBABILIDAD

CONDICIONAL Y

PROBABILIDAD TOTAL

La interpretación más aceptada del teorema de Bayes, es que su

estructura permite el cálculo de probabilidades después de haber

sido realizado un experimento (probabilidades aposteriori),

basándose en el conocimiento de la ocurrencia de ciertos eventos

que dependan del evento estudiado, o sea, se parte de

probabilidades conocidas antes de efectuar el experimento

(probabilidades apriori), las cuales son afectadas por las

probabilidades propias del experimento (las que aparecen durante la

ocurrencia del evento).

Comúnmente se inicia un análisis de probabilidades con una

asignación inicial, probabilidad a priori. Cuando se tiene alguna

información adicional se procede a calcular las probabilidades

revisadas o a posteriori. El teorema de Bayes permite calcular las

probabilidades a posteriori y es:

THOMAS BAYES

Estudió el problema de la

determinación de la probabilidad

de las causas a través de los

efectos observados. El teorema

que lleva su nombre se refiere a la

probabilidad de un suceso

condicionado por la ocurrencia de

otro suceso. Más específicamente,

con su teorema se resuelve el

problema conocido como "de la

probabilidad inversa". Esto es,

valorar probabilísticamente las

posibles condiciones que rigen

supuesto que se ha observado

cierto suceso. Se trata de

probabilidad "inversa" en el sentido

de que la "directa" sería la

probabilidad de observar algo

supuesto que rigen ciertas

condiciones. Los cultores de la

inferencia bayesiana (basada en

dicho teorema) afirman que la

trascendencia de la probabilidad

inversa reside en que es ella la que

realmente interesa a la ciencia,

dado que procura sacar

conclusiones generales (enunciar

leyes) a partir de lo objetivamente

observado, y no viceversa.

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EJEMPLOS DEL TEOREMA DE BAYES

1.- Una compañía de transporte público tiene tres líneas en una ciudad, de forma que el 45% de

los autobuses cubre el servicio de la línea 1, el 25% cubre la línea 2 y el 30% cubre el servicio de la

línea 3. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 3% y 1%

respectivamente, para cada línea.

a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería

b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una avería

c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería?

SOLUCIÓN:

A) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería

Empleando la fórmula de probabilidad total se obtiene:

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B) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una avería

Empleando la fórmula de probabilidad total se obtiene:

C) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería?

Se debe calcular las tres probabilidades aposteriori empleando el Teorema de Bayes.

La probabilidad de que sea de la línea 1, sabiendo que sufre una avería es:

La probabilidad de que sea de la línea 2, sabiendo que sufre una avería es:

La probabilidad de que sea de la línea 3, sabiendo que sufre una avería es:

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Entonces, sabiendo que el autobús sufre una avería, lo más probable es que sea de la línea 1, ya

que esta probabilidad, es la mayor.

Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:

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2) Una empresa dedicada a la comercialización de televisores está considerando comercializar un

nuevo televisor. En el pasado el 90% de los televisores que comercializó tuvieron éxito y el 10% no

fueron exitosos. Se sabe que la probabilidad que habría recibido un reporte favorable de investigación

fue del 85% y 35%, respectivamente.

SOLUCIÓN:

A) Escribir la simbología del problema

A1 = Televisores exitosos

A2 = Televisores no exitosos

B1 = Reporte favorable de investigación

B2 = Reporte desfavorable de investigación

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La solución del problema en Excel se muestra en la siguiente figura:

3) La probabilidad de que una persona tenga una determinada enfermedad es de 0,02. Existen

pruebas de diagnóstico médico disponibles para determinar si una persona tiene realmente la

enfermedad. Si la enfermedad realmente está presente, la probabilidad de que la prueba de

diagnóstico indique la presencia de la enfermedad es de 0,95.

SOLUCIÓN:

La solución del problema en Excel se muestra en la siguiente figura:

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PROBABILIDAD TOTAL

El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de

probabilidades condicionadas.

Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo.

La fórmula para calcular esta probabilidad es:

Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente)

es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con

los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo)

por la probabilidad de cada suceso A.

Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:

Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las

posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).

EJEMPLO: al tirar una moneda, el suceso "salir cara" y el suceso "salir cruz" forman un

sistema completo, no hay más alternativas: la suma de sus probabilidades es el 100%

EJEMPLO: al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un sistema

completo, ya que no contempla todas las opciones (podría salir el 5 o el 6). En este caso no se

podría aplicar el teorema de la probabilidad total.

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EJEMPLOS DE PROBABILIDAD TOTAL

En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades de ser elegidas:

A) Amarilla: probabilidad del 50%.

B) Verde: probabilidad del 30%

C) Roja: probabilidad del 20%.

Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos. Así, si la papeleta

elegida es:

a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%.

b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60%

c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del 80%.

Con esta información, ¿qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que participes?:

1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades suman 100%

2.- Aplicamos la fórmula:

Luego:

P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54

Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%.

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PROBABILIDAD CONDICIONAL

Un espacio muestral contiene todos los resultados posibles de un experimento. A veces se obtiene

algo de información adicional acerca de un experimento que indica que los resultados

provienen de cierta parte del espacio muestral. En este caso, la probabilidad de un evento está

basada en los resultados de esa parte del espacio muestral. Una probabilidad que se basa en

una parte de un espacio muestral se llama probabilidad condicional.

Cuando se está calculando la probabilidad de un evento A en particular, y se tiene información

sobre la ocurrencia de otro evento B, esta probabilidad se conoce como probabilidad condicional, la

cual

se denota por P(A/B) se lee "probabilidad de A dado B" y se define como:

Las probabilidades condicionales satisfacen los axiomas de probabilidad

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EJEMPLOS DE PROABILIDAD CONDICIONAL

1) La probabilidad de que un vuelo de programación regular despegue a tiempo es

la que llegue a tiempo es P(A) = 0,82 y la que despegue y llegue a tiempo es

Encuentre la probabilidad de que el avión:

A) llegue a tiempo dado que despegó a tiempo.

B) despegue a tiempo dado que llegó a tiempo

SOLUCIÓN

La probabilidad de que el avión llegue a tiempo dado que despegó a tiempo es de 0, 94.

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2) En una oficina hay 100 máquinas calculadoras, algunas de ellas son eléctricas E mientras que

otras son manuales M. De ellas unas son nuevas N y otras usadas U. El número de máquinas por

categoría está dada en la siguiente tabla:

Una persona entra a la oficina y escoge una máquina al azar, descubre que es nueva. ¿Cuál es la

probabilidad que sea eléctrica?

La probabilidad es de 0,57

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3) Un grupo de 500 ejecutivos es clasificado de acuerdo a las características del peso y a la

incidencia del peso en la hipertensión. Se da la siguiente tabla:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea hipertensa?

b) Una persona elegida al azar tiene sobrepeso. ¿Cuál es la probabilidad que también sea

hipertensa?

c) Una persona elegida al azar no es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga peso

normal?

La probabilidad de que una persona sea hipertensa es de 0,20

La probabilidad de que una persona con sobrepeso sea también hipertensa es de 0,40