Teorema de Poincaré-Bendixson

Teorema 1

Sean abierto, y la semi-orbita positiva del campo que pasa por el punto p. Si existe un compacto tal que entonces:i) .ii) es compacto.iii) es invariante por (es decir si entonces ).iv) es conexo.

Lema 1

Sean abierto, y punto regular de tal que existe un compacto con Sea una orbita de tal que contiene por lo menos un punto regular de entonces es una orbita periódica y = .

Teorema de Poincaré-Bendixson

Sean abierto, tal que Ses finito, punto regular de y suponga que existe un compacto tal que . Tenemos entonces las siguientes posibilidades:

i) Si entonces es una orbita periódica de .

ii) Si entonces le conjunto es una unión de orbitas regulares de , tales que y , donde .

iii) Si entonces es un punto singular.

Demostración

(i) Si entonces y como es compacto, entonces por el teorema 1-(i) se tiene que

Afirmación: . En efecto, si , entonces existe una sucesión tal que y , luego , lo cual prueba la afirmación.

Como por hipótesis , de la afirmación concluimos que sólo contiene puntos regulares de . Del Lema (1) se sigue que es una orbita periódica de y , luego es una orbita periódica de .

ii) Si entonces y no tiene puntos singulares, además, por la afirmación anterior .

Suponiendo por el absurdo que contiene algún punto regular de , del lema 1 se sigue que luego , lo cual contradice la hipótesis. Así y desde que es conexo, se tiene , para algún

iii) Como es conexo y es finito, entonces donde .

Aplicación del teorema de Poincaré-BendixsonA continuación mostramos algunos ejemplos donde es posible usar el teorema de Poincaré-Bendixson, en ellos cabe destacar que encontrar la región positivamente invariante es relativamente sencillo, pero mostrar que el flujo del sistema dinámico entra en cada punto de la región es complicado en general.