Sobre la caracterización topológicade conjuntos ω-límite para flujos

analíticos sobre superficies

2o Congreso de Jóvenes Investigadores

Sesión especial en Sistemas Dinámicos

José Ginés Espín Buendía

Departamento de Matemáticas, Universidad de Murcia

17 de septiembre de 2013

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Resumen

1 Historia y motivación del problema

2 Conjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

3 La caracterización sobre abiertos del plano

4 Problemas abiertos

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Resumen

1 Historia y motivación del problema

2 Conjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

3 La caracterización sobre abiertos del plano

4 Problemas abiertos

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Poincaré (1854–1912)

Teorema (Poincaré, 1885)

Si f : R2 → R2 es una función analítica yz(t) = (x(t), y(t)) es una solución acotada delsistema z = f (z) que no «acaba» en un puntosingular, entonces o bien z(t) se aproxima a unasolución periódica cuando el tiempo tiende a infinito obien es ella misma una solución periódica.

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Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Poincaré (1854–1912)

Teorema (Poincaré, 1885)

Si f : R2 → R2 es una función analítica yz(t) = (x(t), y(t)) es una solución acotada delsistema z = f (z) que no «acaba» en un puntosingular, entonces o bien z(t) se aproxima a unasolución periódica cuando el tiempo tiende a infinito obien es ella misma una solución periódica.

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Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Bendixson (1861–1935)

Teorema (Bendixson, 1901)

Si f : R2 → R2 es una función analítica de clase C1 yz(t) = (x(t), y(t)) es una solución acotada delsistema z = f (z) que no «acaba» en un puntosingular, entonces o bien z(t) se aproxima a unasolución periódica cuando el tiempo tiende a infinito obien es ella misma una solución periódica.

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Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Flujos y sistemas de ecuaciones diferenciales

Sea f : Ω→ R2 una función suficientemente regular en un abierto Ω ⊂ R2;

Para cada p ∈ Ωz = f (z)

z(0) = p.

Solución maximal φp : Ip = (ap, bp)→ R2

⇓

(Si φ es derivablerespecto a t)f (z) = ∂

∂t φ(0, z)

φ : Λ ⊂ R× Ω → Ω(t , p) 7→ φ(t , p) := φp(t)

con Λ = (t , p) : t ∈ Ip abierto de R× Ω

φ(0, p) = p;

φ(s, φ(t , p)) = φ(s + t , p).

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Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Flujos y sistemas de ecuaciones diferenciales

Sea f : Ω→ R2 una función suficientemente regular en un abierto Ω ⊂ R2;

Para cada p ∈ Ωz = f (z)

z(0) = p.

Solución maximal φp : Ip = (ap, bp)→ R2

⇓

(Si φ es derivablerespecto a t)f (z) = ∂

∂t φ(0, z)

φ : Λ ⊂ R× Ω → Ω(t , p) 7→ φ(t , p) := φp(t)

con Λ = (t , p) : t ∈ Ip abierto de R× Ω

φ(0, p) = p;

φ(s, φ(t , p)) = φ(s + t , p).

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Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Flujos y sistemas de ecuaciones diferenciales

Sea f : Ω→ R2 una función suficientemente regular en un abierto Ω ⊂ R2;

Para cada p ∈ Ωz = f (z)

z(0) = p.

Solución maximal φp : Ip = (ap, bp)→ R2

⇓

(Si φ es derivablerespecto a t)f (z) = ∂

∂t φ(0, z)

φ : Λ ⊂ R× Ω → Ω(t , p) 7→ φ(t , p) := φp(t)

con Λ = (t , p) : t ∈ Ip abierto de R× Ω

φ(0, p) = p;

φ(s, φ(t , p)) = φ(s + t , p).

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Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Flujos y sistemas de ecuaciones diferenciales

Sea f : Ω→ R2 una función suficientemente regular en un abierto Ω ⊂ R2;

Para cada p ∈ Ωz = f (z)

z(0) = p.

Solución maximal φp : Ip = (ap, bp)→ R2

⇓

(Si φ es derivablerespecto a t)f (z) = ∂

∂t φ(0, z)

φ : Λ ⊂ R× Ω → Ω(t , p) 7→ φ(t , p) := φp(t)

con Λ = (t , p) : t ∈ Ip abierto de R× Ω

φ(0, p) = p;

φ(s, φ(t , p)) = φ(s + t , p).

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La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Flujos y sistemas de ecuaciones diferenciales

Sea f : Ω→ R2 una función suficientemente regular en un abierto Ω ⊂ R2;

Para cada p ∈ Ωz = f (z)

z(0) = p.

Solución maximal φp : Ip = (ap, bp)→ R2

⇓

(Si φ es derivablerespecto a t)f (z) = ∂

∂t φ(0, z)

φ : Λ ⊂ R× Ω → Ω(t , p) 7→ φ(t , p) := φp(t)

con Λ = (t , p) : t ∈ Ip abierto de R× Ω

φ(0, p) = p;

φ(s, φ(t , p)) = φ(s + t , p).

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Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Flujos y sistemas de ecuaciones diferenciales

Sea f : Ω→ R2 una función suficientemente regular en un abierto Ω ⊂ R2;

Para cada p ∈ Ωz = f (z)

z(0) = p.

Solución maximal φp : Ip = (ap, bp)→ R2

⇓

(Si φ es derivablerespecto a t)f (z) = ∂

∂t φ(0, z)

φ : Λ ⊂ R× Ω → Ω(t , p) 7→ φ(t , p) := φp(t)

con Λ = (t , p) : t ∈ Ip abierto de R× Ω

φ(0, p) = p;

φ(s, φ(t , p)) = φ(s + t , p).

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Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Flujos y sistemas de ecuaciones diferenciales

Sea f : Ω→ R2 una función suficientemente regular en un abierto Ω ⊂ R2;

Para cada p ∈ Ωz = f (z)

z(0) = p.

Solución maximal φp : Ip = (ap, bp)→ R2

⇓

(Si φ es derivablerespecto a t)f (z) = ∂

∂t φ(0, z)

φ : Λ ⊂ R× Ω → Ω(t , p) 7→ φ(t , p) := φp(t)

con Λ = (t , p) : t ∈ Ip abierto de R× Ω

φ(0, p) = p;

φ(s, φ(t , p)) = φ(s + t , p).

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Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Flujos y sistemas de ecuaciones diferenciales

Sea f : Ω→ R2 una función suficientemente regular en un abierto Ω ⊂ R2;

Para cada p ∈ Ωz = f (z)

z(0) = p.

Solución maximal φp : Ip = (ap, bp)→ R2

⇓

(Si φ es derivablerespecto a t)f (z) = ∂

∂t φ(0, z)

φ : Λ ⊂ R× Ω → Ω(t , p) 7→ φ(t , p) := φp(t)

con Λ = (t , p) : t ∈ Ip abierto de R× Ω

φ(0, p) = p;

φ(s, φ(t , p)) = φ(s + t , p).

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Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Flujos y sistemas de ecuaciones diferenciales

Sea f : Ω→ R2 una función suficientemente regular en un abierto Ω ⊂ R2;

Para cada p ∈ Ωz = f (z)

z(0) = p.

Solución maximal φp : Ip = (ap, bp)→ R2

⇓

(Si φ es derivablerespecto a t)f (z) = ∂

∂t φ(0, z)

φ : Λ ⊂ R× Ω → Ω(t , p) 7→ φ(t , p) := φp(t)

con Λ = (t , p) : t ∈ Ip abierto de R× Ω

φ(0, p) = p;

φ(s, φ(t , p)) = φ(s + t , p).

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Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Conjuntos límite

Definición (Conjuntos límite)

Sea φ un flujo sobre un espacio métrico X .

Dado un punto p ∈ X , la órbita del flujo que pasa por p es el conjuntoΓp := φp(Ip) = φ(t , p) : t ∈ Ip.

El conjunto ω-límite de esa órbita es

ωφ(p) := m ∈ X : existe una sucesión tn → bp tal que φ(tn, p)→ m.

Teorema de Poincaré-Bendixson clásico en R2

Si el ω-límite de una órbita acotada (i. e. contenida en un compacto K ⊂ R2)en un flujo de clase C1 en el plano no contiene puntos singulares, entoncesese ω-límite se reduce a una órbita periódica.

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Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Conjuntos límite

Definición (Conjuntos límite)

Sea φ un flujo sobre un espacio métrico X .

Dado un punto p ∈ X , la órbita del flujo que pasa por p es el conjuntoΓp := φp(Ip) = φ(t , p) : t ∈ Ip.

El conjunto ω-límite de esa órbita es

ωφ(p) := m ∈ X : existe una sucesión tn → bp tal que φ(tn, p)→ m.

Teorema de Poincaré-Bendixson clásico en R2

Si el ω-límite de una órbita acotada (i. e. contenida en un compacto K ⊂ R2)en un flujo de clase C1 en el plano no contiene puntos singulares, entoncesese ω-límite se reduce a una órbita periódica.

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Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Conjuntos límite

Definición (Conjuntos límite)

Sea φ un flujo sobre un espacio métrico X .

Dado un punto p ∈ X , la órbita del flujo que pasa por p es el conjuntoΓp := φp(Ip) = φ(t , p) : t ∈ Ip.

El conjunto ω-límite de esa órbita es

ωφ(p) := m ∈ X : existe una sucesión tn → bp tal que φ(tn, p)→ m.

Teorema de Poincaré-Bendixson clásico en R2

Si el ω-límite de una órbita acotada (i. e. contenida en un compacto K ⊂ R2)en un flujo de clase C1 en el plano no contiene puntos singulares, entoncesese ω-límite se reduce a una órbita periódica.

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Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Conjuntos límite

Definición (Conjuntos límite)

Sea φ un flujo sobre un espacio métrico X .

Dado un punto p ∈ X , la órbita del flujo que pasa por p es el conjuntoΓp := φp(Ip) = φ(t , p) : t ∈ Ip.

El conjunto ω-límite de esa órbita es

ωφ(p) := m ∈ X : existe una sucesión tn → bp tal que φ(tn, p)→ m.

Teorema de Poincaré-Bendixson clásico en R2

Si el ω-límite de una órbita acotada (i. e. contenida en un compacto K ⊂ R2)en un flujo de clase C1 en el plano no contiene puntos singulares, entoncesese ω-límite se reduce a una órbita periódica.

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Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Generalizaciones de Poincaré-Bendixson

En los años sesenta O. Hájek extendió el teorema dePoincaré-Bendixson clásico a flujos continuos en el plano.

En 1986 C. Gutiérrez prueba que todo flujo continuo en el plano estopológicamente equivalente a uno de clase C∞.

En el plano, la teoría de flujos y la teoría de ecuaciones diferencialesson «esencialmente» los mismo.

En dimensiones mayores:

En dimensión 4, hay contraejemplos.

W. C. Chewning, A dynamical system on E4 neither isomorphic nor equivalentto a differentiable system, Bulletin of the American Mathematical Society 3(1974), 150–153.

En dimensión 3, problema abierto.

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La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Generalizaciones de Poincaré-Bendixson

En los años sesenta O. Hájek extendió el teorema dePoincaré-Bendixson clásico a flujos continuos en el plano.

En 1986 C. Gutiérrez prueba que todo flujo continuo en el plano estopológicamente equivalente a uno de clase C∞.

En el plano, la teoría de flujos y la teoría de ecuaciones diferencialesson «esencialmente» los mismo.

En dimensiones mayores:

En dimensión 4, hay contraejemplos.

W. C. Chewning, A dynamical system on E4 neither isomorphic nor equivalentto a differentiable system, Bulletin of the American Mathematical Society 3(1974), 150–153.

En dimensión 3, problema abierto.

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Generalizaciones de Poincaré-Bendixson

En los años sesenta O. Hájek extendió el teorema dePoincaré-Bendixson clásico a flujos continuos en el plano.

En 1986 C. Gutiérrez prueba que todo flujo continuo en el plano estopológicamente equivalente a uno de clase C∞.

En el plano, la teoría de flujos y la teoría de ecuaciones diferencialesson «esencialmente» los mismo.

En dimensiones mayores:

En dimensión 4, hay contraejemplos.

W. C. Chewning, A dynamical system on E4 neither isomorphic nor equivalentto a differentiable system, Bulletin of the American Mathematical Society 3(1974), 150–153.

En dimensión 3, problema abierto.

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Generalizaciones de Poincaré-Bendixson

En los años sesenta O. Hájek extendió el teorema dePoincaré-Bendixson clásico a flujos continuos en el plano.

En 1986 C. Gutiérrez prueba que todo flujo continuo en el plano estopológicamente equivalente a uno de clase C∞.

En el plano, la teoría de flujos y la teoría de ecuaciones diferencialesson «esencialmente» los mismo.

En dimensiones mayores:

En dimensión 4, hay contraejemplos.

W. C. Chewning, A dynamical system on E4 neither isomorphic nor equivalentto a differentiable system, Bulletin of the American Mathematical Society 3(1974), 150–153.

En dimensión 3, problema abierto.

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Generalizaciones de Poincaré-Bendixson

En los años sesenta O. Hájek extendió el teorema dePoincaré-Bendixson clásico a flujos continuos en el plano.

En 1986 C. Gutiérrez prueba que todo flujo continuo en el plano estopológicamente equivalente a uno de clase C∞.

En el plano, la teoría de flujos y la teoría de ecuaciones diferencialesson «esencialmente» los mismo.

En dimensiones mayores:

En dimensión 4, hay contraejemplos.

W. C. Chewning, A dynamical system on E4 neither isomorphic nor equivalentto a differentiable system, Bulletin of the American Mathematical Society 3(1974), 150–153.

En dimensión 3, problema abierto.

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Generalizaciones de Poincaré-Bendixson

En los años sesenta O. Hájek extendió el teorema dePoincaré-Bendixson clásico a flujos continuos en el plano.

En 1986 C. Gutiérrez prueba que todo flujo continuo en el plano estopológicamente equivalente a uno de clase C∞.

En el plano, la teoría de flujos y la teoría de ecuaciones diferencialesson «esencialmente» los mismo.

En dimensiones mayores:En dimensión 4, hay contraejemplos.

W. C. Chewning, A dynamical system on E4 neither isomorphic nor equivalentto a differentiable system, Bulletin of the American Mathematical Society 3(1974), 150–153.

En dimensión 3, problema abierto.

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Generalizaciones de Poincaré-Bendixson

En los años sesenta O. Hájek extendió el teorema dePoincaré-Bendixson clásico a flujos continuos en el plano.

En 1986 C. Gutiérrez prueba que todo flujo continuo en el plano estopológicamente equivalente a uno de clase C∞.

En el plano, la teoría de flujos y la teoría de ecuaciones diferencialesson «esencialmente» los mismo.

En dimensiones mayores:En dimensión 4, hay contraejemplos.

W. C. Chewning, A dynamical system on E4 neither isomorphic nor equivalentto a differentiable system, Bulletin of the American Mathematical Society 3(1974), 150–153.

En dimensión 3, problema abierto.

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Generalizaciones de Poincaré-Bendixson

Teorema (Vinograd,1952)

Un conjunto A ⊂ R2 es el conjunto ω-límite de una órbita (acotada o no) enun cierto flujo continuo si, y sólo si, A es la frontera (en R2) de algún abiertoconexo con complementario conexo.

Los flujos continuos sobre abierto de R2 se pueden «extender» a flujosen todo R2 ⇒ Conjuntos ω-límite también caracterizados en los abiertosdel plano.

ω-límites caracterizados en todo el plano y en todos sus abiertos paratodos los flujos de clase Cm con 0 ≤ m ≤ ∞.

PROBLEMA NATURAL: Volver a trabajar, como Poincaré, con flujosanalíticos e investigar las propiedades de los ω-límite.

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Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Generalizaciones de Poincaré-Bendixson

Teorema (Vinograd,1952)

Un conjunto A ⊂ R2 es el conjunto ω-límite de una órbita (acotada o no) enun cierto flujo continuo si, y sólo si, A es la frontera (en R2) de algún abiertoconexo con complementario conexo.

Los flujos continuos sobre abierto de R2 se pueden «extender» a flujosen todo R2 ⇒ Conjuntos ω-límite también caracterizados en los abiertosdel plano.

ω-límites caracterizados en todo el plano y en todos sus abiertos paratodos los flujos de clase Cm con 0 ≤ m ≤ ∞.

PROBLEMA NATURAL: Volver a trabajar, como Poincaré, con flujosanalíticos e investigar las propiedades de los ω-límite.

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Generalizaciones de Poincaré-Bendixson

Teorema (Vinograd,1952)

Un conjunto A ⊂ R2 es el conjunto ω-límite de una órbita (acotada o no) enun cierto flujo continuo si, y sólo si, A es la frontera (en R2) de algún abiertoconexo con complementario conexo.

Los flujos continuos sobre abierto de R2 se pueden «extender» a flujosen todo R2 ⇒ Conjuntos ω-límite también caracterizados en los abiertosdel plano.

ω-límites caracterizados en todo el plano y en todos sus abiertos paratodos los flujos de clase Cm con 0 ≤ m ≤ ∞.

PROBLEMA NATURAL: Volver a trabajar, como Poincaré, con flujosanalíticos e investigar las propiedades de los ω-límite.

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Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Generalizaciones de Poincaré-Bendixson

Teorema (Vinograd,1952)

Un conjunto A ⊂ R2 es el conjunto ω-límite de una órbita (acotada o no) enun cierto flujo continuo si, y sólo si, A es la frontera (en R2) de algún abiertoconexo con complementario conexo.

Los flujos continuos sobre abierto de R2 se pueden «extender» a flujosen todo R2 ⇒ Conjuntos ω-límite también caracterizados en los abiertosdel plano.

ω-límites caracterizados en todo el plano y en todos sus abiertos paratodos los flujos de clase Cm con 0 ≤ m ≤ ∞.

PROBLEMA NATURAL: Volver a trabajar, como Poincaré, con flujosanalíticos e investigar las propiedades de los ω-límite.

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Generalizaciones de Poincaré-Bendixson

Teorema (Vinograd,1952)

Un conjunto A ⊂ R2 es el conjunto ω-límite de una órbita (acotada o no) enun cierto flujo continuo si, y sólo si, A es la frontera (en R2) de algún abiertoconexo con complementario conexo.

Los flujos continuos sobre abierto de R2 se pueden «extender» a flujosen todo R2 ⇒ Conjuntos ω-límite también caracterizados en los abiertosdel plano.

ω-límites caracterizados en todo el plano y en todos sus abiertos paratodos los flujos de clase Cm con 0 ≤ m ≤ ∞.

PROBLEMA NATURAL: Volver a trabajar, como Poincaré, con flujosanalíticos e investigar las propiedades de los ω-límite.

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Resumen

1 Historia y motivación del problema

2 Conjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

3 La caracterización sobre abiertos del plano

4 Problemas abiertos

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

DIFERENCIAS ENTRE FLUJOS C∞ y Cω:

1 Los flujos analíticos no son en general topológicamente equivalentes alos continuos.

2 Los flujos analíticos sobre abiertos del plano no se extienden a todo elplano.

SURGEN DOS PREGUNTAS NATURALES

1 Dado un flujo analítico en el plano (o en un abierto), ¿podemos dar unacaracterización intrínseca de los ω-límite?

2 ¿Obtenemos una caracterización diferente en los abiertos del plano?

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

DIFERENCIAS ENTRE FLUJOS C∞ y Cω:

1 Los flujos analíticos no son en general topológicamente equivalentes alos continuos.

2 Los flujos analíticos sobre abiertos del plano no se extienden a todo elplano.

SURGEN DOS PREGUNTAS NATURALES

1 Dado un flujo analítico en el plano (o en un abierto), ¿podemos dar unacaracterización intrínseca de los ω-límite?

2 ¿Obtenemos una caracterización diferente en los abiertos del plano?

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

DIFERENCIAS ENTRE FLUJOS C∞ y Cω:

1 Los flujos analíticos no son en general topológicamente equivalentes alos continuos.

2 Los flujos analíticos sobre abiertos del plano no se extienden a todo elplano.

SURGEN DOS PREGUNTAS NATURALES

1 Dado un flujo analítico en el plano (o en un abierto), ¿podemos dar unacaracterización intrínseca de los ω-límite?

2 ¿Obtenemos una caracterización diferente en los abiertos del plano?

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

DIFERENCIAS ENTRE FLUJOS C∞ y Cω:

1 Los flujos analíticos no son en general topológicamente equivalentes alos continuos.

2 Los flujos analíticos sobre abiertos del plano no se extienden a todo elplano.

SURGEN DOS PREGUNTAS NATURALES

1 Dado un flujo analítico en el plano (o en un abierto), ¿podemos dar unacaracterización intrínseca de los ω-límite?

2 ¿Obtenemos una caracterización diferente en los abiertos del plano?

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

DIFERENCIAS ENTRE FLUJOS C∞ y Cω:

1 Los flujos analíticos no son en general topológicamente equivalentes alos continuos.

2 Los flujos analíticos sobre abiertos del plano no se extienden a todo elplano.

SURGEN DOS PREGUNTAS NATURALES

1 Dado un flujo analítico en el plano (o en un abierto), ¿podemos dar unacaracterización intrínseca de los ω-límite?

2 ¿Obtenemos una caracterización diferente en los abiertos del plano?

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

DIFERENCIAS ENTRE FLUJOS C∞ y Cω:

1 Los flujos analíticos no son en general topológicamente equivalentes alos continuos.

2 Los flujos analíticos sobre abiertos del plano no se extienden a todo elplano.

SURGEN DOS PREGUNTAS NATURALES

1 Dado un flujo analítico en el plano (o en un abierto), ¿podemos dar unacaracterización intrínseca de los ω-límite?

2 ¿Obtenemos una caracterización diferente en los abiertos del plano?

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

La caracterización en R2

En

V. Jiménez López y J. Llibre, A topological characterization of theω-limit sets for analytic flows on the plane, the sphere and theprojective plane, Advances in Mathematics 216 (2007), 667–710.

se consigue caracterizar intrínsecamente los ω-límite en el plano.

«Esencialmente», los ω-límites son uniones de circunferencias.

Figura : Ejemplos de posibles ω-límites

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

La caracterización en R2

En

V. Jiménez López y J. Llibre, A topological characterization of theω-limit sets for analytic flows on the plane, the sphere and theprojective plane, Advances in Mathematics 216 (2007), 667–710.

se consigue caracterizar intrínsecamente los ω-límite en el plano.

«Esencialmente», los ω-límites son uniones de circunferencias.

Figura : Ejemplos de posibles ω-límites

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

La caracterización en R2

En

V. Jiménez López y J. Llibre, A topological characterization of theω-limit sets for analytic flows on the plane, the sphere and theprojective plane, Advances in Mathematics 216 (2007), 667–710.

se consigue caracterizar intrínsecamente los ω-límite en el plano.

«Esencialmente», los ω-límites son uniones de circunferencias.

Figura : Ejemplos de posibles ω-límites

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

La caracterización en R2

En

V. Jiménez López y J. Llibre, A topological characterization of theω-limit sets for analytic flows on the plane, the sphere and theprojective plane, Advances in Mathematics 216 (2007), 667–710.

se consigue caracterizar intrínsecamente los ω-límite en el plano.

«Esencialmente», los ω-límites son uniones de circunferencias.

Figura : Ejemplos de conjuntos que no son ω-límites

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Resumen

1 Historia y motivación del problema

2 Conjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

3 La caracterización sobre abiertos del plano

4 Problemas abiertos

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Un lema técnico falso

En el artículo de Llibre y Jiménez también se enuncia unacaracterización de los conjuntos ω-límite en abiertos propios del plano(o equivalentemente de la esfera).

La prueba que allí se da se basa en un lema técnico que hemosdemostrado que es falso.

Figura : Lema técnico

Ese lema técnico también se usa en la caracterización de los ω-límite entodo R2, S2 y P2. Pero aquí el lema y las caracterizaciones sí soncorrectas.

Sin embargo, hemos encontrado contraejemplos tanto a ese lema comoal enunciado de la caracterización sobre abiertos.

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Un lema técnico falso

En el artículo de Llibre y Jiménez también se enuncia unacaracterización de los conjuntos ω-límite en abiertos propios del plano(o equivalentemente de la esfera).

La prueba que allí se da se basa en un lema técnico que hemosdemostrado que es falso.

Figura : Lema técnico

Ese lema técnico también se usa en la caracterización de los ω-límite entodo R2, S2 y P2. Pero aquí el lema y las caracterizaciones sí soncorrectas.

Sin embargo, hemos encontrado contraejemplos tanto a ese lema comoal enunciado de la caracterización sobre abiertos.

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Un lema técnico falso

En el artículo de Llibre y Jiménez también se enuncia unacaracterización de los conjuntos ω-límite en abiertos propios del plano(o equivalentemente de la esfera).

La prueba que allí se da se basa en un lema técnico que hemosdemostrado que es falso.

Figura : Lema técnico

Ese lema técnico también se usa en la caracterización de los ω-límite entodo R2, S2 y P2. Pero aquí el lema y las caracterizaciones sí soncorrectas.

Sin embargo, hemos encontrado contraejemplos tanto a ese lema comoal enunciado de la caracterización sobre abiertos.

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Un lema técnico falso

En el artículo de Llibre y Jiménez también se enuncia unacaracterización de los conjuntos ω-límite en abiertos propios del plano(o equivalentemente de la esfera).

La prueba que allí se da se basa en un lema técnico que hemosdemostrado que es falso.

Figura : Lema técnico

Ese lema técnico también se usa en la caracterización de los ω-límite entodo R2, S2 y P2. Pero aquí el lema y las caracterizaciones sí soncorrectas.

Sin embargo, hemos encontrado contraejemplos tanto a ese lema comoal enunciado de la caracterización sobre abiertos.

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Un lema técnico falso

En el artículo de Llibre y Jiménez también se enuncia unacaracterización de los conjuntos ω-límite en abiertos propios del plano(o equivalentemente de la esfera).

La prueba que allí se da se basa en un lema técnico que hemosdemostrado que es falso.

Figura : Lema técnico

Ese lema técnico también se usa en la caracterización de los ω-límite entodo R2, S2 y P2. Pero aquí el lema y las caracterizaciones sí soncorrectas.

Sin embargo, hemos encontrado contraejemplos tanto a ese lema comoal enunciado de la caracterización sobre abiertos.

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Contraejemplos

Figura : Contraejemplo en el plano menos dos puntos.

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Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Contraejemplos

Figura : Contraejemplo no acotado en el plano menos un punto.

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Contraejemplos

Figura : Contraejemplo en el toro.

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Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Resumen

1 Historia y motivación del problema

2 Conjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

3 La caracterización sobre abiertos del plano

4 Problemas abiertos

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Quedan por tanto abiertos los siguientes problemas

Problema abierto

Corregir la caracterización topológica de los conjuntos ω-límite en abiertosde la esfera y el plano proyectivo.

Problema abierto

Caracterizar los ω-limites en superficies en general, y en particular el toro, labotella de Klein y sus abiertos.

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Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Quedan por tanto abiertos los siguientes problemas

Problema abierto

Corregir la caracterización topológica de los conjuntos ω-límite en abiertosde la esfera y el plano proyectivo.

Problema abierto

Caracterizar los ω-limites en superficies en general, y en particular el toro, labotella de Klein y sus abiertos.

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

Quedan por tanto abiertos los siguientes problemas

Problema abierto

Corregir la caracterización topológica de los conjuntos ω-límite en abiertosde la esfera y el plano proyectivo.

Problema abierto

Caracterizar los ω-limites en superficies en general, y en particular el toro, labotella de Klein y sus abiertos.

José Ginés Espín Buendía Sobre la caracterización topológica de conjuntos ω-límite para flujos analíticos sobre superficies

Historia y motivación del problemaConjuntos ω-límite en flujos analíticos del plano

La caracterización sobre abiertos del planoProblemas abiertos

En R2: C∞ Cω

En R2 \ p: C∞ Cω

p

En R2: C∞ Cω

En R2 \ p: Cωp

En R2: C∞ Cω

En R2 \ p, q: Cωp q

Figura : Ejemplos ilustrativos

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