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TEORIA DE APLICACIONES Llamamos aplicaciones al proceso de utilizar herramientas matemáticas para poder resolver problemas de la vida real. Los pasos para resolver un problema de la vida real por lo general son estos

1) Observar la realidad 2) Elaborar una versión simplificada de la

realidad 3) Trasladar esa versión simplificada de la

realidad a un modelo matemático 4) Resolver el modelo matemático 5) Interpretar los resultados del modelo

matemático EJEMPLO Resulta que Juan desea poner un negocio para vender relojes, cada reloj lo piensa vender a 600 lempiras, el los compra al proveedor por 350 lempiras, pero para tener trabajando su negocio, al mes gasta 2000 lempiras en celular, 1500 en gasolina para su moto, 500 en publicidad.

1) Simplificar esa realidad (determinar los datos)

Precio de venta = 600 lempiras

Costo unitario = 350 lempiras

Gastos mensuales o 2000 en celular o 1500 en gasolina para la moto o 500 en publicidad

2) Modelo de la realidad en términos matemáticos

q=numero de unidades

quantity = cantidad

MODELO MATEMATICO

Y= Mx +b

Total = Variable + Fija

INGRESO

Ingreso Total=

Ingreso Variable

+ Ingreso Fijo

I= 600(q) + 0

COSTO

Costo Total =

Costo Variable

+ Costo Fijo

C = 350 (q) + 2000 + 1500 + 500

UTILIDAD

HAY (600q)-(350q)

(0) –(2000+1500+500)

250q -4000

Ecuaciones

Ingreso: I = 600q +0

Costo: C= 350q+4000

Utilidad:U = 250q-4000 Otra opción de calculo es la siguiente U = I – C U = (600q+0) – (350q +4000) U = 600q+0 – 350q -4000 U = 250q -4000 Grafica de ingreso y costo

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EL PUNTO DE EQUILIBRIO En una gráfica de Unidades-Lempiras, el punto de equilibrio nos dice en que unidades “q” los ingresos son iguales a los costos, o, o cuando la utilidad es igual a 0 Formulas

I=C

U=0 GRAFICA DE UTILIDAD

3) Interpretaciones

Con cada reloj que vendo gano 250 lempiras por reloj

Para no tener pérdidas debo vender al menos 16 relojes

El volumen de ventas mínimo (cantidad en lempiras) que debo tener para no tener pérdidas es de 9600 lempiras

Si no vendo nada pierdo 4000 lempiras NOS PREGUNTAMOS ¿Cuanto debo vender para tener utilidades de 6000 lempiras? Recordamos que tenemos la ecuación

U= 250q -4000 Igualamos

6000 = 250q-4000 6000+4000 = 250q 10000/250 = q q=40

RESPUESTA APLICADA Debemos vender 40 relojes para lograr una utilidad de 6000 lempiras.

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EJEMPLO 2 Maria tiene un negocio de vender celulares en la casa en tiempos de covid, los ofrece a 900 lempiras, y los compra a 600 lempiras, su papa para estimularla solo por tener el negocio al mes le da 1000 lempiras como premio, y María es responsable de pagar su celular para hacer negocios y paga 800 lempiras, y también debe pagar el cable por el uso del internet y lo que aporta es de 400 lempiras, además gasta en gasolina para llevar el celular a los vecinos alrededor de 1200 lempiras al mes.

1) Los datos simplificados de la realidad

Precio de venta 900 lempiras por unidad

Costo unitario 600 lempiras por unidad

Ingreso fijo de 1000 lempiras

Costos fijos

800 lempiras de celular

400 lempiras internet

1200 lempiras de gasolina

2) Elaboramos la tabla del modelo

matemático MODELO MATEMATICO

Y= Mx +b

Total = Variable + Fija

INGRESO

Ingreso Total= Ingreso Variable + Ingreso Fijo

I= 900*q + 1000

COSTO

Costo Total = Costo Variable + Costo Fijo

C = 600*q +800+400+1200 =2400

UTILIDAD

U=I-C (900q)-(600q) = 300q

(1000)-(2400) =-1400

U = 300q -1400

ECUACIONES

Ingreso: I=900q+1000

Costo: C=600q+2400

Utilidad: U = 300q-1400

PUNTO DE EQUILIBRIO I=C U=0 U=300q-1400 = 0 Q=1400/300 = 4.6667 unidades GRAFICAR INGRESO Y COSTO

q Ingreso Costo Utilidad

0 900(0)+1000 =1000

600(0)+2400 =2400

1000-2400 =-1400

4.67

900(4.67)+1000 =5203

600(4.67)+2400 =5202

= 1

10 1000 8400 1600

GRAFICAMOS INGRESO Y COSTO

GRAFICAMOS LA UTILIDAD

UTILIDAD ESPERADA Tenemos U = 300q-1400 Y queremos saber cual es la cantidad de unidades requeridas para lograr un ingreso de 10000, por lo que igualamos 10000 = 300q-1400 10000+1400=300q

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(10000+1400)/300 =q 11400/300=q Q= 38 unidades Respuesta redactada: se requieren vender 38 unidades para lograr una utilidad de 10000 lempiras EJERCICIO 8: APLICACIÓN LINEAL SIMPLE 1) En el mercado de baleadas se sabe por investigaciones anteriores que si el precio de venta de cada unidad es de L15 la cantidad demandada será de 2500 unidades semanales; asimismo, se sabe que si el precio aumenta en 20% la cantidad demandada disminuirá en 20% unidades semanales. Calcule: a) La función de demanda que exprese esta relación entre el precio y la cantidad demandada. Solución: Vemos Que tenemos los datos de los dos puntos de una recta Armamos la tabla

Momento Unidades (x) Precio (y)

Momento 1 2500 15

Momento 2 2500-20%(2500)

15+20%(15)

Calculamos el momento 2 y nos queda

Momento 2 2500-500 = 2000

15+3 =18

Ahora podemos aplicar la fórmula de la pendiente

2 1

2 2

(18) (15) 3

(2000) (2500) 500

y ym

x x

Calculamos la ecuación

1 1( )y y m x x

3(15) [ (2500)]

500y x

3(15) 15

500y x

315 15

500y x

330

500y x

Verificamos con el punto 2

3(2000) 30 12 30 18

500y

Se cumple (2000,18) Expresando en variables económicas nos queda Respuesta: la ecuación del precio demandado es:

330

500p q

b) Si el precio de venta de cada baleada es de L 16, ¿Cuál es la cantidad demandada? Sustituimos en la ecuación

316 30

500q

500(30 16) 2333.33

3q

Respuesta: la cantidad demanda son 2333.33 unidades c) ¿Cuánto debe ser el precio de cada unidad si desea vender 1800 unidades semanales? Sustituimos en la ecuación

330

500p q

3(1800) 30 19.20

500p

Respuesta: el precio de 19.20 lempiras produce 1800 cantidades demandadas. Iy(0,?) x=0

3(0) 30 30

500y

(0,30) Ix(?,0) y=0

30 30500

x

3

30500

x

500

303

x

5000 x

Ix(5000,0) Grafique la función de Ingreso

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DEMANDA Se puede representar asi

La empresa establece una política de precio que permita que todos puedan comprar

Demanda y política de precio

A) Desde el punto de vista de descuento por volumen

Precio = 300 -1/100q

Donde 300 es el precio inicial -1/100 es el descuento por cada unidad adicional

B) Desde el punto de vista de la capacidad de compra

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EJERCICIO Resulta que la cafetería “buen cafe” hizo dos pruebas de precio y descubrió lo siguiente:

Si ponía el precio del café a 30 lempiras, vendía 2000 unidades al mes

Si ponía el precio del café a 35 lempiras, vendía 1500 unidades al mes

Determine la ecuación de demanda en base a estos datos

Momento Unidades (q) “x”

Precio (p) “Y”

1 2000 30

2 1500 35

Buscamos la siguiente ecuación P=m(q)+b O en términos matemáticos Y=mx+b Aplicamos la formula de pendiente

2 1 2 1

2 1 2 1

y y p pym

x x x q q

(35) (30) 5 1

(1500) (2000) 500 100m

Se interpreta que por cada 100 unidades el precio se reducirá en 1 lempira Calculamos el b

1 1 1 1b y mx p mq

130 (2000)

100b

30 20 50b La ecuación de demanda

150

100p q

Para verificar susituimos el punto 2

1(1500) 50 15 50 35

100p

Como el punto (1500, 35 ) pertenece a la gráfica esta correcta la ecuación Para graficar encontramos los intercepto Ix(?,0) Iq(?, 0)

10 50100

q

150

100q

10050

1q

5000 q

Iy(0,?) Ip(0,?) 1(0) 50

100p

50p

Graficamos

El dueño del negocio desea saber cuanto vendería si pone el precio de 40 lempiras por tasa p=40

150

100p q

150

100p q

140 50

100q

140 50

100q

7

100

40 501

q

100

101

q

1000 q

Respuesta: Si el precio se pone en 40 lempiras por unidad se venderán 1000 unidades El dueño del negocio desea saber a que precio debería vender para lograr 4000 unidades q=4000

150

100p q

14000 50

100p

40 50 10p

Respuesta: Para lograr 4000 unidades se deberán poner el precio de 10 lempiras por unidad.

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EJERCICIO DE DEMANDA Un negocio de Baleadas tiene el precio a 30 lempiras y vende 1000 baleadas a la semana, y luego puso el precio a 40 lempiras 700 baleadas. Decimos que las unidades son “x”, y los precios son “y” al graficar nos queda así:

Para calcular la ecuación de la demanda que se representa si

Precio= m*q+b

q=unidades

p=precio final

b=precio base En términos matematicos

y=m*x+b

x=unidades

y=precio utilizamos la ecuación de la pendiente{

2 1 2 1

2 1 2 1

y y p pym

x x x q q

(40) (30) 10 1

(700) (1000) 300 30m

Se interpreta que por cada 30 unidades se reduce el precio en un lempira. Calculamos el b

1 1 1 1b y mx p mq

130 (1000)

30b

1000 3 10030 30

30 3 3b

90 100 19063.33

3 3 3

Ecuacion de la demanda queda y mx b

p mq b

1 190

30 3p q

Para verificar usamos el punto 2 q=700, p=40

1 190 700 190(700)

30 3 30 3p

70 190 12040

3 3 3

Como logramos el mismo p=40 con q=700 la ecuación esta correcta. Ix(?,0) Iq(?,0)

1 190

30 3p q

1 1900

30 3q

190 1

3 30q

190 30

3 1q

5700

3q

1900 q

Iq(1900,0) Iy(0,?) Ip(0,?)

1 190

30 3p q

1 190 190(0) 63.33

30 3 3p

Ip(0, 190/3) Ip(0,63.33)

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Tabla de valores

Tipo Unidades(q) “x”(q) “x”(q)

“x”

Precio(p) “y”

Iy 0 63.33

Ix 1900 0

Graficamos

Cual sería el precio que se necesita poner si queremos vender 1500 unidades

q=1500 1 190 1500 190(1500)

30 3 30 3p

150 190 150 190 4013.33

3 3 3 3

Respuesta redactada: Para vender 1500 unidades se debería poner el precio de 13.33 lempiras por unidad de baleada Cuanto venderíamos si el precio es de 25 lempiras

p=25

1 190q

30 3p

1 19025 q

30 3

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APLICACIÓN CUADRATICA Un negocio vende q unidades, con la siguiente

ecuación de demanda 0 500 0.40 2q p

donde q es el número de unidades mensuales y p es el precio en lempiras. Determine: a) Encuentre la ecuación de ingreso mensual Primero calculamos la ecuación del precio despejando para p

2 500 0.40p q

250 0.20p q

Esto nos da el precio unitario, para obtener la ecuación de ingreso debemos calcular el ingreso variable = P*Q Ingreso variable = P*Q = (250 0.20q )(q+0)

Q= cantidad demandada = q+0, donde 0 representa si hay cantidades iniciales requeridas.

Ingreso variable = 2250 0.20q q

Ingreso fijo =0 Por tanto la ecuación de ingreso es

2( ) 250 0.20 0I q q q

b) Determine la cantidad de unidades que debe vender para obtener el ingreso máximo. Como la ecuación del ingreso es una ecuación cuadrática podemos aplicar el cálculo del vértice de la formula cuadrática pare encontrar le punto máximo, (nota: es máximo porque la constante que

va con 2x es negativa) 2( ) 0.20 250 0I q q q

a=-0.20; b=250; c=0

(250)625

2 2( 0.20)v

bx h

a

Respuesta: para vender el valor máximo se deben vencer 625 unidades. b) ¿Cuál es el ingreso máximo? Simplemente calculamos el valor de ingreso máximo utilizando las unidades calculadas antes

20.20(625) 250(625)vy

78125vy

Respuesta: el ingreso máximo esperado con la venta de 625 unidades es de 78125 lempiras d) Haga la gráfica de la función de ingreso

Para la gráfica ya tenemos el vértice

(625,78125)

El intercepto en y seria 20.20(0) 250(0) 0y

Iy(0, 0)

El intercepto en x seria 20 0.20( ) 250( )x x

Por factor común

0 ( 0.20 250)x x

Nos da las dos respuestas X=0 -0.20x+250=0 De lo cual nos da que X= 1250 Siendo los interceptos Ix1(0, 0) Ix2(1250, 0) Con esto podemos graficar:

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APLICACIONES CUADRATICAS La diferencia entre ecuaciones lineales y cuadráticas en el caso de problemas de ingreso, costo y utilidad es la siguiente:

En el caso lineal los precios son constantes

En el caso cuadrático, los precios tienen descuento por volumen, o castigo por volumen

Por ejemplo En el caso lineal Tenemos una pizza con precio constante de 200 lempiras por unidad que se expresa así: p=200 En el caso cuadrático: Tenemos una pizza con precio inicial de 200 lempiras por unidad y un descuento de 1 lempira por cada 50 unidades que se expresa así: p=200-(1/50)*q Entonces si queremos saber los ingresos o la ecuación de ingresos, suponiendo un ingreso fijo de 3000 lempiras por apoyo del gobierno En caso lineal la ecuación seria I.Total = I.Variable+I.Fijo Ingresos = P*Q+IF = (200)(q+0) +3000 P=p=200 Q=q+0 I= 200q+3000 En el caso cuadrático la ecuación seria Ingresos = P*Q +I.Fijo Ingreso= (200-1/50q)(q+0)+3000

200 1/ 50 0 3000I q q

200 1/ 5 3 000 0q qI 2200 1/ 50 3000I q q

21/ 50 200 3000I q q

Porque ponemos (q+0) Porque en algunos casos existe la obligación de comprar cantidad minima de productos. Por ejemplo al alquilar equipo de construcción se exigen 4 horas mínimas de alquiler Si el precio de alquiler por hora es 500

horas Pagadas valores

0 4 500*4=0

1 4 500*4=2000

2 4 500*4=2000

3 4 500*4=2000

4 4 500*4=2000

5 5 500*(4+1)=2500

6 6 500*(4+2)=3000

Resumiendo

Caso Lineal Caso Cuadrático

Ingreso = 200q+3000

Ingreso = P*Q Ingreso = (200-1/50q) (q+0) +3000

2200 1/ 50 3000I q q

En el caso cuadrático hay un descuento se calcula según el número de unidades y este vale

1/ 50q

Se lee o interpreta que por cada 50 unidades se da un descuento de 1 lempiras.

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EJEMPLO DE LINEAL Y CUADRATICA EN DOS ETAPAS CASO LINEAL Resulta que Juan desea poner un negocio para vender relojes, cada reloj lo piensa vender a 600 lempiras, el los compra al proveedor por 350 lempiras, pero para tener trabajando su negocio, al mes gasta 2000 lempiras en celular, 1500 en gasolina para su moto, 500 en publicidad. PARTE LINEAL

MODELO MATEMATICO

Y= Mx +b

Total = Variable + Fijo

INGRESO

Total = Variable + Fijo

I= P*Q =(600+0q)(q+0) =(600)(q)

+ 0

COSTO

Total = Variable + Fijo

C = 350 (q) + 2000 + 1500 + 500

UTILIDAD

U= (600q)-(350q) (0) –(2000+1500+500)

U= 250q -4000

Graficamos Ingreso y costo

Graficamos la utilidad

CASO CUADRATICO Resulta que el dueño del negocio quiere poner un descuento por volumen en el precio de

venta de 140

que se interpreta un lempira

cada 40 unidades el modelo nos queda asi

MODELO MATEMATICO

Y= Mx +b

Total = Variable + Fijo

INGRESO

Total = Variable + Fijo

I= P*Q =(600-1/40q)*(q+0)

2160040

q q

+ 0

COSTO

Total = Variable + Fijo

C = 350 (q) + 2000 + 1500 + 500

UTILIDAD

HAY 2160040

q q -

350q

(0) –(2000+1500+500)

2125040

q q -4000

DETALLE DEL CALCULO DE UTILIDAD VARIABLE

21600 35040

q q q

21600 35040

q q q

21600 35040

q q q

21(600 350)40

q q

2125040

q q

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La utilidad quedaría 21250 4000

40U q q

METODO ABREVIADO UTILIDAD=INGRESO-COSTO U=[Pv*Q+IF]-[Pc*Q+CF] U=[(600-1/40q)(q+0)+0]-[350*q+4000]

600 1/ 40 0 0 350* 4000U q q q

2600 1/ 40 0 350 4000U q q q

2600 1/ 40 350 4000q q qU 2600 350 1/ 40 4000q q qU

21 / 42 0 05 0 4 00q qU

Graficamos Ingreso y Costo y utilidad

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EJEMPLO DE EJERCICIO LINEAL CONVERTIDO EN CUADRATICO El ejercicio lineal es Maria tiene un negocio de vender celulares en la casa en tiempos de covid, los ofrece a 900 lempiras, y los compra a 600 lempiras, su papa para estimularla solo por tener el negocio al mes le da 1000 lempiras como premio, y María es responsable de pagar su celular para hacer negocios y paga 800 lempiras, y también debe pagar el cable por el uso del internet y lo que aporta es de 400 lempiras, además gasta en gasolina para llevar el celular a los vecinos alrededor de 1200 lempiras al mes.

MODELO MATEMATICO

Y= Mx +b

Total = Variable + Fija

INGRESO

Ingreso Total= Ingreso Variable + Ingreso Fijo

I= (900)*(q+0) 900q

+ 1000

COSTO

Costo Total = Costo Variable + Costo Fijo

C = 600*q +800+400+1200 =2400

UTILIDAD

U=I-C (900q)-(600q) = 300q

(1000)-(2400) =-1400

U = 300q -1400

Graficamos ingreso y costo

Graficamos Utilidad

CASO CUADRATICO Resulta que el dueño del negocio quiere poner un descuento por volumen en el precio de

venta de 120

que se interpreta un lempira

cada 20 unidades, entonces el modelo nos queda asi

MODELO MATEMATICO

Y= Mx +b

Total = Variable + Fija

INGRESO

Ingreso Total=

Ingreso Variable + Ingreso Fijo

I= P*Q= (900-1/20q)*(q+0)

190020q q

2190020

q q

+ 1000

COSTO

Costo Total =

Costo Variable + Costo Fijo

C = 600*(q+0) +800+400+1200 =2400

UTILIDAD

U=I-C ( 2190020

q q )

-(600q)

(1000)-(2400) =-1400

U 21900 60020

q q q

2130020

q q

-1400

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ECUACION DE UTILIDAD 21300 1400

20U q q

Graficamos Ingreso, costo y utilidad

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TAREA A: DE ECUACION LINEAL DE DEMANDA Una negocio de venta de baleas ha tenido la siguiente experiencia Al tener el precio a 40 lempiras por baleada vendía 500 unidades y al poner el precio de 30 lempiras vendió 1500 unidades.

a) Complete la siguiente tabla

Momento Unidades Precio

1

2

b) Determine la ecuación de la demanda

(valores de m y b) Demanda = m*q+b

c) Determine el intercepto en x

d) Determine el intercepto en y

e) Grafique la demanda (recuerde no puede tener unidades negativas, ni precios negativos)

f) Para vender 2000 unidades determine

que precio requiere

g) Cuanto venderá si el precio es de 45 lempiras

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TAREA B: APLICACIONES LINEALES Juan vende Tablet tipo Android a 2400 lempiras y las compra a 1500 lempiras cada una, su padre le ayuda con 1000 lempiras de subsidio, y el debe pagar 2000 de electricidad, 3000 lempiras de alquiler y 500 lempiras de cuenta de celular.

a) Determine los siguientes elementos del problema

Precio unitario de venta

Costo Unitario de venta

Ingreso fijo por subsidio o ayuda

Costo fijo

b) Complete la siguiente tabla según corresponda el modelo lineal del problema

TOTAL VARIABLE FIJO

Y= mx +b

Ingreso =

Costo =

Utilidad =

c) Liste las ecuaciones de ingreso, costo y utilidad

d) Determine el punto de equilibrio cuando

Ingreso =Costo Utilidad =0

e) Determine cual seria la utilidad (perdida) si se venden 50 unidades

f) Determine cual es la cantidad de unidades que debería vender para obtener una utilidad de 10,000 lempiras

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TAREA C: APLICACIÓN CUADRATICA A PARTIR DEL CASO LINEAL En el negocio del caso lineal, resulta que Juan desea establecer un descuento de 10 lempiras cada 50 unidades, y ya no tiene la ayuda o subsidio de su papa

a) Determine los siguientes elementos del problema

Precio unitario de venta

Descuento por cantidad de unidades

Costo Unitario de venta

Ingreso fijo por subsidio o ayuda

Costo fijo

b) Complete la siguiente tabla según corresponda el modelo lineal del problema

TOTAL VARIABLE FIJO

Y= mx +b

Ingreso =

Costo =

Utilidad =

c) Liste las ecuaciones de ingreso, costo y utilidad

d) Determine el punto de equilibrio cuando

Ingreso =Costo (como es cuadrática esto ocurre en dos punto) Utilidad =0

e) Determine cual seria la utilidad (perdida) si se venden 50 unidades

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f) Determine cual es la cantidad de

unidades que debería vender para obtener una utilidad de 10,000 lempiras

Nota: Como es cuadrática habrán dos respuestas, si en una de ellas la respuesta es negativa, no se tomara porque no existen

g) Determine cuál es el número de unidades que produce la utilidad máxima (vértice de la ecuación cuadrática)

h) Elabore la grafica de la utilidad utilizando los valores de unidades que hacen una utilidad igual a cero, y la utilidad maxima