TEORÍA DE CONJUNTOS

1

TEORÍA DE CONJUNTOS

La teoría de Conjunto es una rama de las matemáticas a las que Georg Cantor, dio un tratamiento formal en 1870 y mejorado por el mismo Cantor en 1874. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos.

1. DefinicionesSabemos que la palabra conjunto implica la idea de una colección de objetos que se caracterizan en algo común.En matemática tiene el mismo significado, sólo que a estos objetos se les llama elementos o miembros del conjunto.La noción simple de una colección o conjunto de objetos es fundamental en la estructura básica de las matemáticas y fue Georg Cantor, en los años 1870 quien manifestó que no puede darse una definición satisfactoria de un conjunto en términos de conceptos simples, por lo tanto la palabra "CONJUNTO" debe aceptarse lógicamente como un término no definido.Un conjunto es una colección bien definida de objetos de cualquier clase.

2. Relación de pertenencia.

Cuando un elemento se encuentra formando parte de un conjunto se indica que existe una pertenencia y se representa por (), de lo contrario se indica que ()no pertenece al conjunto.

3. Determinación de conjuntos

a) Por Extensión.- Cuando se identifica a cada uno de los elementos que forman parte del conjunto.

b) Por Comprensión.- Cuando se determina una característica o propiedad que permite identificar a los elementos.

4. Conjuntos Numéricos

a) Naturales(N) N = {1,2,...}b) Enteros (Z) Z = { ... –3,-2,-1, 0, 1,2,3,...}c) Racionales (Q) permite dar solución a las ecuaciones de la forma ax + b = 0; donde a,b, Z , a 0

Q = { x/x a /b a,b, Z b o }

d) Irracionales (Q’) son aquellos números no racionales, es decir, aquellos números que no pueden expresarse como fracciones.

Q’ = { ...-, -√5 ,√3 , e, }

e) Reales (R) es el conjunto formado por los racionales y los irracionales

2

R = {N U Z U Q U Q’ }

f) Complejos (C) están formado por una parte entera y otra imaginaria

C = { x/x = a + bi ; a,b R i =√−1 }

DIAGRAMA DE VENN – EULER DE LOS CONJUNTOS NUMERICOS

5. Conjuntos especiales:

a. conjunto nulo o vacíob. conjunto unitarioc. conjunto universald. conjunto finitoe. conjunto infinito

6. Relaciones de conjuntos

a. conjuntos igualesb. conjuntos equivalentes: cuando poseen la misma cantidad de elementosc. inclusión de conjuntos cuando todo elemento de a se encuentra en bd. conjuntos disjuntos no poseen elemento algún elemento en comúne. conjuntos comparables si uno de ellos es sub. conjunto del otrof. conjunto potencia esta formado por todos los sub. conjuntos de A

7. Operaciones entre conjuntos unión, intersección, diferencia, complemento de un conjunto, diferencia simétrica.

UNION:

a∈ A⇒a∈ A∪Bb∈ A∧b∈B⇒b∈ A∪Bc∈B⇒ c∈ A∪B

3

INTERSECCIÓN: Está formado por aquellos elementos que pertenecen a ambos conjuntos a la vez.

Cuando tienen elementos comunes

Cuando no tienen elementos comunes

Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen a otro conjunto

DIFERENCIA DE CONJUNTOS: La diferencia esta formado por los elementos que pertenecen solamente al conjunto A.Donde:a∈ A⇒a∈ A−Bb∈ A∧b∈B⇒b∉ A−Bc∈B⇒ c∉ A∪B

Cuando no tienen elementos comunes

Cuando tienen elementos comunes

Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen a otro conjunto

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO donde A U se denota por A´ se indica como: A’ = U – A = { x/x U y x ∉ A }

a) Sean U = { m, a, r, t, e } y A = { t, e } Su complemento de A es: A' = { m, a, r }

En forma gráfica:

b) Sean U = { letras de la palabra aritmética} y B = { vocales de la palabra vida } Determinado por extensión tenemos

U = { a, r, i, t, m, e, c } B = { i, a } Su complemento de B es: B' = { r, t, m, e, c}En forma gráfica:

4

DIFERENCIA SIMÉTRICA

Es la unión de: (A-B) y (B-A) se denota como:

EJERCICIOS DE APLICACION

1.- Determinar por comprensión los siguientes conjuntos:

A= { -5, 0, 5, 10, 15 } B = { 1, 4/3, 9/5, 16/7, 25/9}

2 .- Exprese los siguientes conjuntos por extensión:

a) { x/x N; x < 10 } b) { y/y Z; -3 < y < 2 }

3.- Si: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } R = { 3, 5, 6, 8 } Z = { 1, 2, 3, 8 }

Obtenga:

a) S R b) S Z c) S R Z d) S R e) S Z

f) R Z g) S R Z h) ( S Z ) R

4 .- Si: U = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 }

A = { 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13 }

B = { 1, 2, 5, 7, 9, 13 }

Encuentre:

a) B’ = b) A’ B’ = c) ( A B )’ = d) (A’ B)’ =

5 .- ¿Cuales de las siguientes igualdades son verdaderas ?

a. ( A A’) = U b. (A A’) = c. (A’)’ = A

d. ’ = U e. U’ = f. (A B ) = A’ B’

6.- Si : A = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 } B = { 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13 }

5

C = { 1, 2, 5, 7, 9, 13 }

Encuentre: a) A - B = b) B - A = c) B - C = d) C - A =

7.- Sean los conjuntos:

A = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 } B = { 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13 }

C = { 1, 2, 5, 7, 9, 13 }

Represente en diagrama de Venn:

a) A’ b) A B c) A B C d) (A B C)’

8.- Juan come huevos o tocino en el desayuno de cada mañana durante el mes de enero. Si come tocino durante 25 mañanas y huevos durante 28 mañanas. ¿Cuántas mañanas come solamente huevos?

Nota: Use diagramas de Venn para solucionar este problema.

9.- Sombrea en cada uno de los diagramas la solución que satisfagan a la operación de conjuntos pedida.

10.- Encuentre 9 palabras ocultas en la siguiente sopa de letras relacionada con conjuntos. 

R A I C N E N E T R E P

N F U A T U C I S I A N

O O N M O S O S V O A O

N L I I N M M T A I I I

O D V N P R P U C O M C

T U E N U T L N I N A C

N A R N A S E I O N S E

U T S E L R M R A U V S

J N O V E A E M P A L R

N E V F M N N O C C E E

O P I R L I T I A N O T

6

C D L A A Q O P N I V N

A F B C D A N O M I T I

7

Ejercicios Variados de Teoría de Conjuntos

Problema 1De un grupo de 65 alumnos:30 prefieren lenguaje40 prefieren matemática5 prefieren otros cursos¿Cuántos prefieren Matemática y Lenguaje?

Problema 2 De 50 estudiantes encuestados:20 practican sólo fútbol12 practican fútbol y natación10 no practican ninguno de estos deportes¿Cuántos practican natación y cuántos sólo natación?

Problema 3En un salón de 100 alumnos:65 aprobaron Razonamiento Matemático25 aprobaron Razonamiento matemático y Razonamiento Verbal15 aprobaron solamente Razonamiento Verbal¿Cuántos no aprobaron ninguno de los cursos mencionados?

Problema 4Entre 97 personas que consumen hamburguesas se observaron las siguientes preferencias en cuanto al consumo de mayonesa y Ketchup; 57 consumen mayonesa; 45 consumen Ketchup; 10 no consumen ninguna de estas salsas. ¿Cuántos consumen mayonesa pero no Ketchup?

Problema 5De 300 alumnas que salieron al recreo: 90 bebieron Inca Kola; 60 bebieron Coca Cola; 10 bebieron ambas bebidas. ¿Cuántas alumnas bebieron sólo una de estas bebidas?

Problema 6En una reunión de profesores de ciencias; 47

eran de matemática; 40 eran sólo de Física; 4 no enseñaban ninguno de estos cursos. ¿Cuántos profesores integraban la reunión?

Problema 7En una encuesta realizada a un grupo de deportistas: 115 practican básquet, 35 practican básquet y ajedrez; 90 practican sólo ajedrez; 105 no practican básquet. ¿A cuántos deportistas se encuestó?

Problema 8Durante el mes de febrero del 2000, Santiago sólo desayuno jugo de naranja y/o jugo de papaya. Si: 12 días desayunó solamente jugo

de naranja; 3 días desayunó jugo de naranja y jugo de papaya. ¿Cuántos días desayunó solamente jugo de papaya?

Problema 9Al estudiar la calidad de un producto se consideran dos tipos de defectos: A y B. Se analizaron 350 artículos con los resultados siguientes: 50 no tienen ninguno de estos defectos; 150 no tienen el defecto A; 230 no tienen el defecto B; ¿Cuántos artículos tienen exactamente un defecto?

Problema 10De un grupo de 110 personas: 70 hablan inglés, 20 no hablan ni inglés ni francés; el número de los que hablan francés es el doble de los que hablan solamente inglés. ¿Cuántos hablan inglés y francés?

Problema 11En una reunión de 58 caballeros se observó que los que usan corbata y anteojos representan la tercera parte de los que usan corbata; los que usan anteojos son el doble de los que usan corbata y anteojos; si 10 personas no usan ni corbata ni anteojos. ¿Cuántos usan corbata pero no anteojos?

Problema 12De 75 alumnos de un aula, los 3/5 usan reloj. 1/3 de los alumnos sólo usa anteojos; los 2/5 usa anteojos y reloj. ¿Cuántos no usan anteojos ni reloj?

Problema 13Un conjunto A tiene 42 elementos y otro conjunto B tiene 24 elementos; si AB tienen 52 elementos. ¿Cuántos elementos tiene AB?

Problema 14Si 20 personas usan anteojos solamente; 90 personas no usan anteojos; 70 no usan sombrero; los que usan sombrero y anteojos son los ¾ del total. ¿Cuántas personas usan sombreros y anteojos?

Problema 15A una reunión asistieron 80 personas de las cuales de las cuales 32 no cantan pero si bailan, y 24 no bailan pero si cantan; si el número de personas que no cantan ni bailan es el doble del número de personas que cantan y bailan. ¿Cuántas personas no cantan ni bailan?

Problema 16En una ciudad de 120 personas: a ¼ de la población no les gusta la carne ni el pescado; a ½ de la población les gusta la carne y a los 5/12 les

8

gusta el pescado. ¿A cuántas personas no les gusta el pescado?Problema 17De un grupo de 90 personas: 20 estudian y trabajan; el número de los que solamente trabajan es el doble de los que solamente estudian. El número de los que no estudian ni trabajan es la mitad de los que trabajan. ¿Cuántas personas no estudian?

Problema 18En una encuesta realizada a un grupo de lectores de revistas: 40 personas leen la revista A: 60 personas leen la revista B; los que no leen ninguna de estas revistas son el triple de los que leen ambas revistas; si 80 personas no leen la revista A. ¿Cuántas personas leen ambas revistas?

Problema 19De 120 personas: 30 conocen sólo Argentina; 40 no conocen Brasil; el número de personas que conocen Brasil es el cuádruple del número de personas que conocen Brasil y Argentina. ¿Cuántas personas conocen sólo Brasil?

Problema 20En el Colegio “San Miguel” de Piura se ha evaluado a 1000 alumnos en las asignaturas de lenguaje, matemática y biología, obteniéndose los siguientes resultados: 680 alumnos aprobaron lenguaje 320 alumnos aprobaron Biología 400 alumnos aprobaron sólo lenguaje 50 alumnos aprobaron lenguaje y biología pero no matemática 170 alumnos aprobaron biología y matemática pero no lenguaje 40 alumnos aprobaron biología, lenguaje y matemáticaSi todos los alumnos aprobaron por lo menos uno de estos cursos:¿Cuántos aprobaron biología?¿Cuántos aprobaron sólo lenguaje y matemática?¿Cuántos aprobaron sólo matemática?

Problema 21Se encuestaron a 180 amas de casa sobre sus preferencias por los canales de televisión A, B, C obteniendo los siguientes resultados110 ven el canal A120 ven el canal B130 ven el canal C66 ven los canales A y C78 ven los canales A y B90 ven los canales B y C52 ven los tres canalesResponde a las siguientes preguntas:

¿Cuántas amas de casa no ven ninguno de estos canales?¿Cuántas amas de casa ven solamente el canal A?¿Cuántas amas de casa ven solamente el canas B?¿Cuántas amas de casa ven solamente el canas C?¿Cuántas amas de casa ven solamente uno de estos canales?¿Cuántas amas de casa ven el canal A pero no el canal B?¿Cuántas amas de casa ven el canal B pero no el canal C?¿Cuántas amas de casa ven solamente dos canales?¿Cuántas amas de casa ven por lo menos dos canales?¿Cuántas amas de casa ven el canal A o el canal B pero no el canal C?

Problema 22En una Batalla donde intervinieron 100, hombres 42 fueron heridos en la cabeza, 43 en el brazo, 32 en la pierna, 5 en la cabeza y brazo, 8 en el brazo y la pierna, 6 en la pierna y la cabeza. ¿Cuántos fueron heridos en la cabeza, pierna y brazo a la vez?

Problema 23De 60 deportistas se observa que 24 de ellos practican fútbol, 26 practican básquet y 25 practican vóley; 13 practican fútbol y básquet; 10 practican básquet y vóley; 9 practican fútbol y vóley. Si 6 practican los tres deportes, ¿Cuántos no practican ninguno de estos deportes?

Problema 24En una encuesta realizada a un grupo de estudiantes de un instituto de idiomas se obtuvo el siguiente resultado:28 estudian español30 estudian alemán42 estudian francés8 estudian español y alemán10 estudian español y francés5 estudian alemán y francés3 estudian los tres idiomas¿Cuántos estudiantes toman el francés como único idioma de estudio?

Problema 25

De un grupo de 59 personas se observa los siguientes:8 personas leen sólo el “Comercio”16 personas leen sólo la “República”20 personas leen sólo el “Expreso”7 personas leen el “Comercio” y la “República”

9

8 personas leen el “Comercio” y “Expreso”3 personas leen la “República”, “Expreso” y el comercio.2 personas no leen ninguno de estos diarios¿Cuántas personas leen expreso?

Problema 25De un grupo de estudiantes que llevan por lo menos uno de los tres cursos que se indican se sabe que:70 estudian inglés40 estudian química40 estudian matemática15 estudian matemática y química20 estudian matemática e inglés25 estudian inglés y química5 estudian los tres cursos.¿Cuántos son los alumnos en total?

Problema 26Una encuesta realizada entre 82 madres de familia arrojó el siguiente resultado:43 saben costura47 saben repostería58 saben tejido19 saben costura y repostería28 saben costura y tejido30 saben repostería y tejido11 saben las tres ocupaciones¿Cuántas amas de casa saben sólo una de las tres especialidades?

Problema 27De 185 lectores de revistas:47 leen la revista A53 leen la revista B65 leen la revista C15 leen la revista A y B13 leen la revista B y C5 leen las revistas A, B y C17 leen las revistas A y C¿Cuántos leen la revista A pero no la revista B?

Problema 28Dados los conjuntos A={x / 7<x<9; “x” es número natural}, B={x/x+5=11; “x” es número natural}. De ellos cuál o cuáles son unitarios.

Problema 29Sean los conjuntos A={a, b, c, g}; B={b, c, e, f} y C={a, b, d, e, h} halla:a) ABb) BCc) ACd) ABC

Problema 30Dados los conjuntos: P={xIN / 12<x<25 x es múltiplo de 3}, Q={xIN / 20<x<32 x es

múltiplo de 6}, halla PQ y representa la unión con los diagramas de Venn.

Problema 31Dados los conjuntos A={xIN / x<7}; B={xIN / 3<x<9} y C={xIN / 5x=20}, halla ABC y representa gráficamente el resultado.

Problema 32Halla la reunión de los siguientes conjuntos: A={xIN / x<5}; B={xIN / x2=16} y C={xIN / x –3 =2}

Problema 33Si A={1, 2, 3, 4} y B={2, 3}, indicar cuántas de las siguientes proposiciones son falsas:i. {2, 3}Aii. {3}Aiii. Aiv. Av. 3A

Problema 34Si A={1, 2, 3, 4} y B={2, 3}, indicar, con V si es verdad y con F si es falsa, cada una de las siguientes proposiciones:

i. Aii. BAiii. 3Aiv. 2Av. Avi. {3}B

Problema 35Diga cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera:i. {}=ii. {0}={ }iii. {0}=iv. { }=

Problema 36Sean los conjuntos A={1, 2, 3}, B={3, 4, 5}, C={2, 3, 5} y U={1, 2, 3, 4, 5}. Halla: (A’-B’)C’

Problema 37De un grupo de personas se sabe los siguiente, 7 practican el deporte A, practican el deporte B, 2 no practican ninguno de estos dos deportes, entonces, el número de personas que practican el deporte A y el deporte B es:

Problema 38Cuántos conjuntos se formarán en el conjunto E={xIN/ x no es primo, es par y menor que 14}.

Problema 39

10

Hallar m+n si el conjunto M={(4m-3), 25, (3n+13)} es unitario

Problema 40Dados M={xIN/ 6<x2+1<40} y N={x+1/xIN 2<x<6}. El número de subconjuntos propios no vacíos de MN es:(A es subconjunto propio de B si A es subconjunto de B y existe un elemento de B que no pertenece a “A”)

Problema 41Hallar el número de elementos de P(A), sí A={,{},a}

Problema 42Sean:A = {2x / xN x<6} x+4B = { ------ / xA} 2

2y+1C = { ------ / yB} 3¿Cuál es el valor de n(C)?

Si A={1, 2, 3, 4} y B={2, 3}, indica con “V” si es verdad y “F” si es falsa cada una de las siguientes proposiciones.a. b. c. d. e. f. {3}

Problema 43Sean los conjuntos: A={1, 2, 3} B={3, 4, 5} y C={2, 3, 5}. Halla:a. (A – B) Cb. (A – C) (C – A)c. (B)

Problema 44De un grupo de 14 personas se sabe lo siguiente: 7 practican el deporte A, 8 practican el deporte B, 2 no practican ninguno de estos dos deportes, entonces, el número de personas que practican el deporte A o el deporte B es:

Problema 45En una ciudad, al 65% de la población le gusta el jugo de papaya, al 60% le gusta el jugo de manzana, ¿A qué porcentaje de la población le gusta el jugo de papaya y el jugo de manzana?

Problema 46

¿Cuántos de los siguientes conjuntos son unitarios?I. {x / xZ x2 = 25} 2II. {} 1III. {x / xN x2 + 7 = 0}IV. {x / xZ 2 x2+5x+2=0}

A) 2 B) 3 C) 5D) E) 8 F) 11

Problema 47¿Qué alternativa presenta un conjunto vacío?A) {}B) {x / xN x<0}C) {x / xZ D) {x / xQ 2x-1=4}E) N.A.

Problema 48Dado el conjunto E={9, 99, 999, 9999, 99999}Determinado por comprensión es:A) {(10x-1) / xN x<6}B) {(10x+9) / xN x5}C) {(10x - 1) / xN x<6}D) {(10x - 1) / xZ+ x<6}E) N.A.

Problema 49Dados los siguientes conjuntosA={2x / xN x < 6}B={(y + 4) + 2 / y A (y+4)/2 N}C={(2m+1)+3 / mB (2m+1)/3N}¿Cuántos elementos tiene C?

A) 1 B) 2 C) 3D) E) 4 F) 5

Problema 50Si A={x2+4 / xZ -4 < x < 6}. Halla n(A)

A) 4 B) 5 C) 6D) E) 7 F) 8

Problema 51Determina por extensión el siguiente conjunto:A={3x-3 / xN x<4}

A) {0, 1, 2, 3}B) {-3, 0, 3, 6}C) {0, 3, 6}D) {1, 2, 3}E) No es posible

Problema 52Si A tiene el doble de elementos que B, y posee 992 subconjuntos más, hallar cuántos elementos tiene AB, sabiendo además que A y B comparten sólo 3 elementos.

11

A) 10 B) 11 C) 12D) E) 14 F) 9

Problema 53Si A-B={(a-b) / aA bB}A={8, 10, 13}; B={2, 3, 7}¿Cuántas alternativas son correctas?I. n(A-B)=8II. El menor elemento de (A-B) es 6III. n(B-A)=9IV. El menor elemento de (B-B) es 0

A) 0 B) 1 C) 2D) E) 3 F) 4

Problema 54Calcula el cardinal de A si:A={3x / 3x N; x < 5}

A) 6 B) 14 C) 13D) E) 15 F) 16

Problema 55Si:U={Enteros positivos menores que 20}V={Números primos menores que 20W={Números impares menores que 20}Marca la alternativa correcta.

A) W VB) V WC) U WD) VW={3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19}E) U(WV)

Problema 56¿Qué afirmaciones son correctas?I. x(AB) x(AB)II.x(AB) x(AB)III. xAxA'IV. xA x (A-B)

A) I y IIB) I, II y IIIC) II y IVD) TodasE) I y III

Problema 57Si el conjunto k tiene 127 subconjuntos propios, ¿Cuál de los siguientes puede ser el conjunto k?I. {xQ / -3< x 4}II. {xN / x<8}III. {0, 1, 13, 2, 23, 4, 43, 8, 83}

A) Sólo I y IIB) Sólo I y III

C) Sólo II y IIID) Sólo IIIE) N.A.

Problema 58¿Qué alternativa presenta un conjunto unitario?A) { }B) {x / xN x<2}C) {x / xZ x2=9}D) {x / xQ x3=-1}E) {x / xR x2+1=0}

Problema 59¿Qué alternativa presenta un conjunto unitario?A) { }B) {x / xN x<2}C) {x / xZ x2=9}D) {x / xQ x3=-1}E) {x / xR x2+1=0}

12

Universidad Alas Peruanas

MATEMÁTICA I Prof. Manuel Campos Tesen

Problemas de conjuntos

1. En un restauran habían 20 personas, 16 tomaron té, 12 café y 2 no tomaron ninguna de las bebidas ¿Cuántos tomaron té y café?

2. Una persona come mantequilla o mermelada o ambos, en su desayuno cada mañana durante una semana. Si come mantequilla 5 mañanas y mermelada 6 mañanas .¿Cuántas mañanas come mantequilla y mermelada.

3. Si el 61 % de una población consume carne de ave y el 77% carne de pescado. ¿Cuál es el porcentaje de la población que consume ambas carnes?

4. De un grupo de 50 estudiantes, 28 saben matemáticas, 32 saben ingles y 15 saben ambos cursos. ¿Cuántos alumnos :

a. Saben un solo curso.b. No conocen ninguno de estos.

5. De un grupo de estudiantes que rindieron exámenes , los resultados fueron: 10 aprobaron matemática y física, 7 aprobaron química y matemática , 9 química y física , 17 matemática , 19 física 18 química y 4 aprobaron los tres cursos . ¿Cuántos alumnos :

a. Rindieron examen.b. Aprobaron matemática o física pero no química.c. Aprobaron sólo un curso.d. Aprobaron al menos dos cursos e. Aprobaron física y química pero no matemática.f. Aprobaron sólo matemática o sólo física.

6. En cierta universidad la clase de primer año está formada por 100 alumnos, de estos 40 son mujeres, 73 estudian Historia y 12 son mujeres que no estudian historia. ¿Cuántos hombres no estudian historia?

7. En un grupo de 200 alumnos, 105 están inscritos en historia, 115 en matemáticas y 75 en física, 55 están en historia y matemática, 35 en física e historia, 30 en matemática y física y 20 están inscritos en los tres cursos . Hallar el número de alumnos que están inscritos en :

a. Historia pero no físicab. Exactamente en 2 de los 3 cursos c. Sólo en uno de los tres cursos.d. En ninguno de los 3 cursos e. En matemática o física pero no historia.f. Por lo menos 2 cursos g. En física o historia pero no en matemática. h. En historia y física pero no en matemática.

8. Una empresa tiene cierto número de vacantes para la que se han presentado 70 postulantes. Se realizaron tres pruebas: conocimientos, aptitud y entrevista personal. El resultado fue:

o 35 aprobaron la prueba de conocimientos

12

Universidad Alas Peruanas

MATEMÁTICA I Prof. Manuel Campos Tesen

o 30 la entrevista personal.o 30 la de aptitud.o 10 de aptitud y de conocimientoo 13 conocimiento y entrevista o 12 de aptitud y entrevista.o 8 las tres pruebas

a. ¿Cuántos aprobaron sólo un examen?b. ¿Cuántos aprobaron sólo dos pruebas?c. ¿Cuantos no aprobaron ningún examen?d. ¿Cuántos entran a trabajar si el requisito es aprobar por lo menos dos

de los exámenes.e. ¿Cuántos han aprobado conocimiento y aptitud pero no la entrevista?

9. En una clase de 75 alumnos, 60 juegan fútbol, 50 básquet y 10 ninguno de los 2 deportes. ¿Cuántos alumnos practican ambos deportes?

10. 300 estudiantes están inscritos en el curso A, B y C .155 en el curso A,170 en el curso B y 110 en el curso C, 85 en A y B , 70 en B y C . 50 en A y C , 35 en los tres cursos. ¿Cuántos alumnos:

a. Están inscritos en A pero no en C.b. No están inscritos en ninguno de los tres cursos c. Están inscritos al menos en dos cursos d. Están inscritos en sólo un curso.

11. Un alumno estudio matemática o historia cada día durante el mes de octubre. Si estudió 23 días matemática y 17 días estudió historia ¿Cuántos días estudió:

a. Matemática e historiab. Matemática pero no Historia.c. Historia pero no matemática.

12. En un grupo de 80 estudiantes se halla que el total que estudian los diversos idiomas era de 72 , distribuidos de la siguiente manera:

o Sólo alemán 25o 12 sólo españolo Francés pero no alemán ni español 15o Alemán y francés 10 o Alemán y español 8o Además los que estudian español y francés eran tantos como los que

estudian alemán y español.Hallar cuantos estudian:

a. Los tres idiomas.b. Dos idiomas solamente.|c. Ninguna lengua.d. Español o francés pero no alemán.e. Francés o alemán.f. Sólo español y francés.

13

Universidad Alas Peruanas

MATEMÁTICA I Prof. Manuel Campos Tesen

13.- Sea el conjunto Universal:

U=¿¿ y los sub. conjuntos: A={x∈U/ x es primo }B= {x∈U/ x escuadrado perfecto }C={ x∈U/ x es impar } Calcular:

a) ( A∪B )'−C

b) ( A- C)'∩B

c) ( AΔB )−C

d)( A∩ C)'− (B∪C )

14.- Dados los conjuntos:

A=¿¿B=¿¿C=¿¿

Calcular: ( Β∩C ) Δ ( A∩B )

15.- Sean los conjuntos

A=¿¿B={x∈N/ 5-x¿2 ∧

6x-25

≥2}C={ x∈N/ x escuadrado perfecto ∧x≤10 }Calcular:

a) ( A∪B )∩(C-A )

b) ( A−B )∪( B∩C )

c) ( A∩B )−( A-C)

d) ( AΔB )∩ (B∩C )

16.- Indicar que clase de conjunto especial se trata (unitario, vacío, universal, potencia, finito, infinito)

A={x∈N / ( x+1 ) (2 x−1 )=0 } …….…………………..

B= {x∈R /x2−4=0 } …….…………………..C={ x∈Z / x≥5 } …….…………………..D= {1,3,6 ,10 , 15 , 21, . .. } …….…………………..

14

Universidad Alas Peruanas

MATEMÁTICA I Prof. Manuel Campos Tesen

17.- Sabiendo que: U={a+b ; a+2b-3; 12 }

es un conjunto unitario.

Calcular a2+b2

a) 100 b) 90 c) 12 d) 50 e) 40

18.- Dados los siguientes conjuntos:

A= { x ∈ N / 1 ¿ x < 9}

B= {5, 6, 7, 9, 10}

C= {6, 7, 8, 10, 11, 12}

Calcula:

n(A ¿ B) + n(A ¿ C) + n(B ¿ C)

a) 3 b) 9 c) 7 d) 6 e) 5

15