Teora de errores

Un error es una incertidumbre en el resultado de una medida. Se define como la diferencia entre el valor real Vr y una aproximacin a este valor Va:e = Vr VaExisten diferentes tipos errores, cada uno se puede expresar en forma absoluta o en forma relativa.Tipos de erroresError de redondeo:Se originan al realizar los clculos que todo mtodo numrico o analtico requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones aritmticas como los productos y los cocientes, teniendo que retener en cada operacin el nmero de cifras que permita el instrumento de clculo que se est utilizando.Existen dos tipos de errores de redondeo: Error de redondeo inferior: se desprecian los dgitos que no se pueden conservar dentro de la memoria correspondiente.

Error de redondeo superior: este caso tiene dos alternativas segn el signo del nmero en particular:

Para nmeros positivos, el ltimo dgito que se puede conservar en la localizacin de memoria incrementa en una unidad si el primer dgito despreciado es mayor o igual a 5.Para nmeros negativos, el ltimo dgito que se puede conservar en la localizacin de la memoria se reduce en una unidad si el primer dgito despreciado es mayor o igual a 5.Error por truncamiento: Al error producido por la finalizacin prematura de un proceso se le denomina error de truncamiento. Un ejemplo del error generado por este tipo de acciones es el desarrollo en serie de Taylor. Este es independiente de la manera de realizar los clculos. Solo depende del mtodo numrico empleado.Error numrico total:Se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el clculo. Mientras ms clculos se tengan que realizar para obtener un resultado, el error de redondeo se ir incrementando.Errores humanos:Son los errores por negligencia o equivocacin. Las computadoras pueden dar nmeros errneos po r su funcionamiento. Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los hombres. Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesin de mtodos y el diseo de la solucin del problema. Los errores humanos por negligencia son prcticamente inevitables pero se pueden minimizar.Error inherente:En muchas ocasiones, los datos con que se inician los clculos contienen un cierto error debido a que se han obtenido mediante la medida experimental de una determinada magnitud fsica. As por ejemplo, el dimetro de la seccin de una varilla de acero presentar un error segn se haya medido con una cinta mtrica o con un pie de rey. A este tipo de error se le denomina error inherente.Error absoluto:Es la diferencia entre el valor exacto (un nmero determinado, por ejemplo) y su valor calculado o redondeado:Error absoluto = [exacto - calculado]Debido a que la definicin se dio en trminos del valor absoluto, el error absoluto no es negativo. As pues, una coleccin (suma) de errores siempre se incrementan juntos, sin reducirse. Este es un hecho muy pesimista, dado que el redondeo y otros errores rara vez estn en la misma direccin, es posible que una suma ("algebraica") de errores sea cero, con aproximadamente la mitad de los errores positiva y la otra mitad negativa. Pero tambin es demasiado optimista esperar que errores con signo sumen cero a menudo. Un enfoque realista es suponer que los errores, en especial el redondeo, estn estadsticamente distribuidos.Error relativo:Es el error absoluto dividido entre un nmero positivo adecuado. Generalmente, el divisor es una de tres elecciones: la magnitud del valor exacto, la magnitud del valor calculado (o redondeado) o el promedio de estas dos cantidades. La mayor parte de las veces utilizaremosError relativo= [exacto - calculado]/[exacto]El error relativo es una mejor medida del error que el error absoluto, en especial cuando se utilizan sistemas numricos de punto flotante. Puesto que los elementos de un sistema de punto flotante no estn distribuidos de manera uniforme, la cantidad de redondeos posibles depende de la magnitud de los nmeros que se redondean. El denominador de la ecuacin de arriba compensa este efecto.Propagacin del errorLas consecuencias de la existencia de un error en los datos de un problema son ms importantes de lo que aparentemente puede parecer. Desafortunadamente, esto errores se propagan y amplifican al realizar operaciones con dichos datos, hasta el punto de que puede suceder que el resultado carezca de significado. Con el propsito de ilustrar esta situacin, seguidamente se calcula la diferencia entre los nmeros:

a = 0.276435 b = 0.2756

Si los clculos se realizan en base diez, coma flotante, redondeando por aproximacin y trabajando con tres dgitos de mantisa, los valores aproximados a dichos nmeros y el error relativo cometido es:a = 0.276 error relativo= 1.57x10-3

b = 0:276 error relativo= 1.45x10-3

Si ahora se calcula la diferencia entre los valores exactos y la diferencia entre los aproximados se obtiene:a - b = 0:000835a'- b'= 0.0Debe observarse que el error relativo de la diferencia aproximada es del 100%. Este ejemplo, extraordinariamente sencillo, pone de manifiesto como el error de redondeo de los datos se ha amplificado al realizar una nica operacin, hasta generar un resultado carente de significado.