Juan D. Godino 1

Teoría de los Significados Sistémicos

ENFOQUE ONTOLÓGICO-ENFOQUE ONTOLÓGICO-SEMIÓTICO DE LA SEMIÓTICO DE LA

COGNICIÓN E COGNICIÓN E INSTRUCCIÓN INSTRUCCIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICA

Juan D. GODINO

Juan D. Godino 2

ENFOQUE ONTOSEMIÓTICO de la Cognición e Instrucción

Matemática

ENFOQUE ONTO-SEMIÓTICO

(EOS)

TSSTeoría de los

Significados Sistémicos

TFSTeoría de las Funciones

Semióticas

TCDTeoría de las

Configuraciones Didácticas

Juan D. Godino 3

TSS: Nociones y fuentes

Nociones: Fuentes:

Campos de problemasPrácticas matemáticasSistemas de prácticasObjetos emergentesSignificados sistémicosDualidad personal e institucional

Godino y Batanero (1994)Godino y Batanero (1998)

Entidades primarias (elementos del significado)

Godino (2002)

Tipos de significados sistémicos 

Godino (2003)

Configuraciones epistémicas y cognitivasSignificado global (holo-significado)

Godino, Contreras y Font (2004)Wilhelmi, Lacasta y Godino (2004)

Juan D. Godino 4

ANTECEDENTES PRÓXIMOS Teorías pragmáticas y realistas del Teorías pragmáticas y realistas del

significado (Ullmann, Kutchera)significado (Ullmann, Kutchera)

Teoría de los campos conceptuales Teoría de los campos conceptuales (Vergnaud)(Vergnaud)

Teoría de Situaciones didácticas Teoría de Situaciones didácticas (Brousseau)(Brousseau)

Teoría antropológica (Chevallard)Teoría antropológica (Chevallard)

Interaccionismo simbólico (Cob, Interaccionismo simbólico (Cob, Bauersfeld)Bauersfeld)

HACIA UN MODELO PRAGMÁTICO-REALISTA DE LA COGNICIÓN MATEMÁTICA

Juan D. Godino 5

Un ejemplo: Estudio de la Mediana

La mediana

Entre las medidas de centralización, la media aritmética es generalmente la que mejor representa a un conjunto de datos, ya que en el cálculo de la media intervienen todos los datos. Sin embargo, hay casos en que la mediana representa mejor a un conjunto de datos, como ocurre en el siguiente ejemplo: En una oficina, los sueldos de las cinco personas que trabajan en ella son 60.000 pts, 70.000 pts, 80.000 pts, 90.000 pts y 380.000 pts ¿Qué cantidad puede representar mejor estos cinco sueldos?   Calculemos la media: X = (60.000 + 70.000 + 80.000 + 90.000 + 380.000) : 5 = 136.000 pts  Es evidente que esta media no representa bien a los sueldos de los trabajadores de la oficina, ya que los sueldos de cada una de las cinco personas están bastante alejados de las 136.000 pts. Esta falta de representatividad de la media es debida a la existencia de un sueldo muy elevado (380.000 pts) comparado con los demás, que influye en la media.   En este caso, la mediana resulta ser un número más representativo que la media aritmética. La mediana de un conjunto ordenado de datos de una variable es el valor que deja igual número de datos por encima de él que por debajo de él.  

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Elaboramos Elaboramos un nuevo constructo teórico, de un nuevo constructo teórico, de naturaleza pragmática, que proponemos como naturaleza pragmática, que proponemos como herramienta clave del análisis cognitivo en herramienta clave del análisis cognitivo en educación matemáticaeducación matemática

““SSistema de prácticas operativas y istema de prácticas operativas y discursivas de una persona ante un cierto discursivas de una persona ante un cierto tipo de situaciones-problemas". tipo de situaciones-problemas".

De De estos "sistemas de prácticas" postulamos la estos "sistemas de prácticas" postulamos la emergencia de objetos personales e emergencia de objetos personales e institucionales, objetivados por un léxico institucionales, objetivados por un léxico común. común.

3. OBJETOS MATEMÁTICOS Y SIGNIFICADOS

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PPapel esencial de la actividad matemática, las apel esencial de la actividad matemática, las acciones de las personas ante cierto tipo de acciones de las personas ante cierto tipo de tareas problemáticas, en la generación de las tareas problemáticas, en la generación de las entidades matemáticas, en su doble versión de entidades matemáticas, en su doble versión de entidades culturales y mentales. entidades culturales y mentales.

El carácter inobservables de estas últimas nos El carácter inobservables de estas últimas nos lleva a proponer asignar como significado de un lleva a proponer asignar como significado de un término o expresión matemática el término o expresión matemática el correspondiente correspondiente sistema de prácticassistema de prácticas..

LLos objetos matemáticos son fruto de la os objetos matemáticos son fruto de la construcción humana, cambian a lo largo del construcción humana, cambian a lo largo del tiempo y pueden ser dotados de significados tiempo y pueden ser dotados de significados diversos por personas e instituciones diferentesdiversos por personas e instituciones diferentes..

ACTIVIDAD MATEMÁTICA

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Partimos de la noción de situación-problema Partimos de la noción de situación-problema como primitiva y de la idea que la variación como primitiva y de la idea que la variación sistemática de las variables que intervienen sistemática de las variables que intervienen en las situaciones-problema da lugar a en las situaciones-problema da lugar a diferentes tipos y campos de problemas. diferentes tipos y campos de problemas.

La génesis del conocimiento personal se La génesis del conocimiento personal se produce como consecuencia de la produce como consecuencia de la interacción del sujeto con tipos de interacción del sujeto con tipos de problemas, mediatizada por los contextos problemas, mediatizada por los contextos institucionales en que tiene lugar dicha institucionales en que tiene lugar dicha actividad.actividad.

PROBLEMAS MATEMÁTICOS

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PRÁCTICA MATEMÁTICA:

Toda actuación o expresión (verbal, gráfica, etc.) realizada por alguien para resolver problemas matemáticos, comunicar a otros la solución obtenida, validarla o generalizarla a otros contextos y problemas.

PRÁCTICAS SIGNIFICATIVAS:

Desempeña una función para la consecución del objetivo en los procesos de resolución de un problema, o bien para comunicar a otro la solución, validar la solución y generalizarla a otros contextos y problemas

SISTEMAS DE PRÁCTICAS operativas y discursivas puestas de manifiesto por las personas ante tipos de situaciones problemáticas.

SISTEMAS DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS

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NOCIÓN DE INSTITUCIÓN

Una institución (I) está constituida por las Una institución (I) está constituida por las personas involucradas en una misma clase personas involucradas en una misma clase de situaciones problemáticas.de situaciones problemáticas.

Puesto que se comparte la misma Puesto que se comparte la misma problemática, las prácticas sociales son problemática, las prácticas sociales son compartidas, y suelen tener rasgos compartidas, y suelen tener rasgos particulares, generalmente condicionadas particulares, generalmente condicionadas por los instrumentos disponibles en la por los instrumentos disponibles en la misma, sus reglas y modos de misma, sus reglas y modos de funcionamientofuncionamiento..

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Desde un punto de vista institucional el "objeto Desde un punto de vista institucional el "objeto emergente" emergente" eses una metáfora cómoda para hablar de una metáfora cómoda para hablar de la globalidad y estructura de los sistemas de la globalidad y estructura de los sistemas de prácticas que permiten resolver ciertos tipos de prácticas que permiten resolver ciertos tipos de problemas. problemas. (El todo es algo más que la suma de las (El todo es algo más que la suma de las partes).partes).

Se materializa en el léxico institucional y en Se materializa en el léxico institucional y en definiciones generales que permiten el definiciones generales que permiten el reconocimiento de las situaciones de uso de tales reconocimiento de las situaciones de uso de tales prácticas. prácticas.

En lEn la mente de los sujetos se construyen esquemas a mente de los sujetos se construyen esquemas cognitivos (objetos personales) responsables de que cognitivos (objetos personales) responsables de que los sujetos sean capaces de reconocer las nuevas los sujetos sean capaces de reconocer las nuevas situaciones como pertenecientes a un cierto tipo, y situaciones como pertenecientes a un cierto tipo, y aplicarles los procedimientos pertinentes para aplicarles los procedimientos pertinentes para resolverlasresolverlas..

OBJETOS EMERGENTES

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OBJETO INSTITUCIONAL:

• Documentos curriculares, libros de texto, explicaciones de un profesor ante su clase (tienen connotaciones normativas o convencionales, o sea, los objetos son usados como referencia en el proceso de enseñanza y aprendizaje).

• Las interacciones entre los miembros de un grupo de alumnos pueden dar lugar a acuerdos en el seno del grupo, produciendo “maneras de actuar y hablar” compartidas, que pueden recibir un cierto grado de regulación interna al grupo. (Microinstitución local).

OBJETO PERSONAL:

• Manifestación de un sujeto individual, como la respuesta a una prueba de evaluación, la realización de una tarea escolar por un estudiante (son portadores, al menos potencialmente, de rasgos idiosincrásicos de sus conocimientos).

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SIGNIFICADOS SISTÉMICOS DE LOS OBJETOS MATEMÁTICOS

Los sistemas de prácticas COMO RESPUESTA DE LA CUESTIÓN “¿qué es el objeto matemático?” para una persona o para una institución, o, “¿qué significa ...?”

Relatividad de los significados respecto de las personas, las instituciones, los contextos y juegos de lenguaje.

La Teoría de las Funciones Semióticas introduce otros significados (elementales)

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El centro de atención de la investigación didáctica El centro de atención de la investigación didáctica nono debería ser las mentes de los estudiantes, sino debería ser las mentes de los estudiantes, sino los contextos culturales e institucionales en que los contextos culturales e institucionales en que tiene lugar la enseñanza (relaciones entre tiene lugar la enseñanza (relaciones entre significados institucionales y personales).significados institucionales y personales).

La naturaleza sistémica del constructo que hemos La naturaleza sistémica del constructo que hemos llamado llamado significado de un objeto significado de un objeto nos permite nos permite orientar el proceso de selección de las situaciones orientar el proceso de selección de las situaciones de enseñanza y evaluación, usando la analogía del de enseñanza y evaluación, usando la analogía del muestreo en estadística: muestreo en estadística:

Los significados institucionales juegan el papel de Los significados institucionales juegan el papel de universo de referencia del cual deben universo de referencia del cual deben seleccionarse muestras representativas para la seleccionarse muestras representativas para la enseñanza y evaluación.enseñanza y evaluación.

PRIMERAS CONSECUENCIAS

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Tipos de significados institucionales y personales

INSTITUCIONALES PERSONALES

Global/ Referencial

Pretendido

Implementado

Evaluado

Global

Declarado

Logrado

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SIGNIFICADOS INSTITUCIONALES

PRETENDIDO: Sistema de prácticas que se PRETENDIDO: Sistema de prácticas que se proyectan para un proceso de estudio particularproyectan para un proceso de estudio particular

REFERENCIAL: Sistema de prácticas más amplio REFERENCIAL: Sistema de prácticas más amplio de donde se selecciona el significado pretendidode donde se selecciona el significado pretendido

IMPLEMENTADO: Sistema de prácticas que IMPLEMENTADO: Sistema de prácticas que efectivamente se implementa durante la efectivamente se implementa durante la realización de la instrucción proyectada.realización de la instrucción proyectada.

EVALUADO: Sistema de prácticas seleccionadas EVALUADO: Sistema de prácticas seleccionadas para evaluar los aprendizajes.para evaluar los aprendizajes.

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SIGNIFICADOS PERSONALES

GLOBAL: TGLOBAL: Totalidad del sistema de prácticas otalidad del sistema de prácticas personales que es capaz de manifestar personales que es capaz de manifestar potencialmente el alumno.potencialmente el alumno.

DECLARADO: PDECLARADO: Prácticas efectivamente rácticas efectivamente expresadas a propósito de las pruebas de expresadas a propósito de las pruebas de evaluación propuestas, incluyendo tanto las evaluación propuestas, incluyendo tanto las correctas como las incorrectas desde el punto correctas como las incorrectas desde el punto de vista institucional.de vista institucional.

LOGRADO: PLOGRADO: Prácticas manifestadas que son rácticas manifestadas que son conformes con la pauta institucional establecida.conformes con la pauta institucional establecida.

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4. COMPONENTES DE LOS SIGNIFICADOS

Situaciones-problemas /tareas Situaciones-problemas /tareas matemáticasmatemáticas

Lenguaje matemáticoLenguaje matemático AccionesAcciones Conceptos /reglasConceptos /reglas PropiedadesPropiedades ArgumentosArgumentos

(Godino y Recio, 1998; Godino y Batanero, (Godino y Recio, 1998; Godino y Batanero, 1998; Godino, 2002)1998; Godino, 2002)

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ELEMENTOS DE SIGNIFICADO:TIPOS DE OBJETOS EMERGENTES

La noción de “sistema de prácticas” es útil para ciertos análisis de tipo macrodidáctico, particularmente cuando se trata de comparar la forma particular que adoptan los conocimientos matemáticos en distintos marcos institucionales, contextos de uso o juegos de lenguaje

Un análisis más fino de la actividad matemática ha llevado a introducir en diversos trabajos los “elementos del significado”, concretados en listados de objetos clasificados según los seis tipos de entidades primarias: situaciones, acciones, lenguaje, conceptos, propiedades y argumentos.

Es una tipología de objetos emergentes (e intervinientes) de los sistemas de prácticas.

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Situaciones-problemas /tareas matemáticas Las situaciones-problemas matemáticos

promueven y contextualizan la actividad matemática.

Se interpretan en un sentido amplio, incluyendo tanto problemas simples como situaciones complejas y tanto problemas puramente matemáticos como extramatemáticos.

Los problemas "no vienen solos", sino que se agrupan en tipos, clases o campos de problemas, de modo que el paso de un tipo puntual a otro más amplio es el determinante del progreso o avance del conocimiento matemático, tanto individual como institucional.

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Lenguaje matemático Para resolver los problemas matemáticos, para Para resolver los problemas matemáticos, para

generalizar su solución o para describirlos a otra generalizar su solución o para describirlos a otra persona necesitamos usar elementos del lenguaje, tales persona necesitamos usar elementos del lenguaje, tales como términos, expresiones, notaciones, gráficos, etc.como términos, expresiones, notaciones, gráficos, etc.

Valencia representacional e instrumental del lenguaje:Valencia representacional e instrumental del lenguaje:

F(x)

x

1

1/2

M

Valores de la variable

Fre

cuencia

s acum

ula

das

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Acciones/ técnicas Para resolver los problemas propuestos se Para resolver los problemas propuestos se

pueden aplicar diversas operaciones, pueden aplicar diversas operaciones, algoritmos, técnicas de cálculo, algoritmos, técnicas de cálculo, procedimientos y estrategias que llegan a procedimientos y estrategias que llegan a automatizarse, se hacen específicos del tipo automatizarse, se hacen específicos del tipo de problema y se convierten en objeto de de problema y se convierten en objeto de enseñanza. enseñanza.

Cada una de las técnicas aporta elementos Cada una de las técnicas aporta elementos diferenciados en el significado del objeto, que diferenciados en el significado del objeto, que también dependerá de los instrumentos también dependerá de los instrumentos disponibles en la resolución. disponibles en la resolución.

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Conceptos /reglas/definiciones Los conceptos y propiedades son interpretados aquí Los conceptos y propiedades son interpretados aquí

como propone Wittgenstein, como "reglas gramaticales como propone Wittgenstein, como "reglas gramaticales sobre el uso de símbolos y expresiones" para describir sobre el uso de símbolos y expresiones" para describir las situaciones y las acciones que realizamos ante las situaciones y las acciones que realizamos ante dichas situaciones (Baker y Hacker, 1985, p. 285). dichas situaciones (Baker y Hacker, 1985, p. 285).

Tales reglas cambian según la fenomenología, los Tales reglas cambian según la fenomenología, los juegos de lenguaje, las formas de vida, las juegos de lenguaje, las formas de vida, las instituciones. instituciones.

Otro uso habitual de 'concepto' es como sistema Otro uso habitual de 'concepto' es como sistema heterogéneo de objetos (situaciones, invariantes heterogéneo de objetos (situaciones, invariantes operatorios, representaciones) que se puede sustituir operatorios, representaciones) que se puede sustituir con ventaja por la noción de "sistema de prácticas". con ventaja por la noción de "sistema de prácticas".

¿HAY UN ÚNICO CONCEPTO DE “MEDIANA”?¿HAY UN ÚNICO CONCEPTO DE “MEDIANA”? ¿INTERESA DEJAR DE HABLAR DE CONCEPTOS?¿INTERESA DEJAR DE HABLAR DE CONCEPTOS?

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Propiedades Una vez que un objeto matemático se define y Una vez que un objeto matemático se define y

entra a formar parte de las herramientas entra a formar parte de las herramientas matemáticas disponibles para la resolución de matemáticas disponibles para la resolución de problemas, se convierte en objeto de estudio en problemas, se convierte en objeto de estudio en sí mismo, para relacionarlo con otros objetossí mismo, para relacionarlo con otros objetos

Las propiedades o atributos se refieren a Las propiedades o atributos se refieren a condiciones de realización de las acciones, a condiciones de realización de las acciones, a características específicas de las situaciones y características específicas de las situaciones y relaciones entre objetos. relaciones entre objetos.

Cada propiedad de un objeto matemático lo Cada propiedad de un objeto matemático lo relaciona con otros diferentes y contribuye al relaciona con otros diferentes y contribuye al crecimiento del significado del objeto en crecimiento del significado del objeto en cuestión. cuestión.

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Argumentos

Las acciones y objetos se ligan entre sí mediante Las acciones y objetos se ligan entre sí mediante argumentos o razonamientos que se usan para argumentos o razonamientos que se usan para comprobar las soluciones de los problemas, comprobar las soluciones de los problemas, explicar y justificar la solución, justificaciones que explicar y justificar la solución, justificaciones que pueden ser deductivas, o de otro tipo (Recio y pueden ser deductivas, o de otro tipo (Recio y Godino, 2001). Godino, 2001).

La forma más característica de validación en La forma más característica de validación en matemáticas es de tipo deductivo y esta es la más matemáticas es de tipo deductivo y esta es la más extendida en los libros de nivel universitario. extendida en los libros de nivel universitario.

Las argumentaciones se completan o sustituyen, Las argumentaciones se completan o sustituyen, dependiendo del nivel educativo, por la búsqueda dependiendo del nivel educativo, por la búsqueda de contraejemplos, generalización, simulaciones de contraejemplos, generalización, simulaciones con ordenador, demostraciones informales, etc. con ordenador, demostraciones informales, etc.

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Objetos matemáticos

C o nc e p tua le s Pro p o sic io na le s

PRÁC TIC ASO PERATIVAS

PRÁC TIC ASDISC URSIVAS

Situa c io ne s Ac c io ne s Re g la s Arg um e nto s

Le ng ua je

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DESARROLLOS RECIENTES DE LA TSS

Configuracines epistémicas Configuracines epistémicas globales y parciales. Ejemplos:globales y parciales. Ejemplos: Igualdad de números realesIgualdad de números reales FunciónFunción Número PINúmero PI IntegralIntegral ......

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CONFIGURACIONES EPISTÉMICAS Y COGNITIVAS

Los objetos estarán relacionados entre sí formando “configuraciones epistémicas” (si se refieren a significados institucionales) o “configuraciones cognitivas” (significados personales), definidas como las redes de objetos emergentes (e intervinientes) de los sistemas de prácticas y las relaciones que se establecen entre los mismos.

Juan D. Godino 29

Configuraciones epistémicas de la noción de función

TABULAR

G RÁFIC A

AN ALÍTIC A

C O N J UN TISTA

GRÁ FICO

SIM B ÓL ICOL IT ERAL

N OTAC ION ESCON J U NT ISTAS

P RE DIC CIÓN DEC AN T IDADE SES T U DIO

DE C UR VA S

TABU L ACIÓN DEDAT OSG

RA

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UN

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S

ESTUDIOANALÍTICO DEPENCENCIAENTREVARIABLESDESCRIPCIÓN

GENERAL DECUALQUIERTIPO DE RELACIÓN

IN T ER P.E XT R AP.

NU

MÉ

RI C

O

MAGNITUDESCANTIDADES

INDUCCIÓNEMPÍRICA

V A R IA C IÓN

R E GU LA R IDA D

DE DU CT IVOS

INDU CC IÓNM AT E M Á T IC A

V I S U A L E SOS T E N S I VO S

IN Y EC T IVA

BIY ECT IVA ,...

CONT INU IDA DS UAV IDA DC ON E XI ÓN

DERIVABILIDAD

DOM INIO, R AN GO,T IP OS DE F UN C ION ES , ...

COOR D. C ART.CU RVA S

VAR IAB LESF ÓRM UL A S

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Configuraciones epistémicas de número PI:La cuadratura del círculo en Egipto

representarepresenta

resuelve

justifica justifica

se atribuyen

LENGUAJE:

- redondo-diámetro- medir

SITUACIÓN-PROBLEMA:

¿Cuántos setat mide un campo redondo cuyo diámetro es de 9 khet?

ACCIONES:

- Aproximación del círculo por una superficie octogonal.- Operaciones aritméticas- Aproximar raíz de 63 por 64

ARGUMENTOS:

- comprobación visual de que el octógono construido aproxima al círculo.- deducción del área del octógono a partir del cuadrado y el triángulo.

PREVIOS:

- circulo; cuadrado; octógono; diámetro- área ; medida de áreas- números racionales

EMERGENTES:

- precisión de medida- La constante PI

EMERGENTES:

PREVIAS:

- linealidad de la medida: m(a+b)=m(a)+m(b)- aditividad del área; áreas del cuadrado y del triángulo

Generalización

Concreción

=3.1605

CONCEPTOS

PROPIEDADES

Juan D. Godino 31

Configuraciones epistémicas de la integral definida

PRIMITIVA  

Relación inversa entre integración y derivación 

Desarrollo binomial

Fluentes, fluxionesnotación

Fluentes,fluxiones

Teorema fundamental del cálculo

Deductivo

INFINITA  

Situaciones expresadas con tipos de funciones algebraicas y transcendentes

Integración numérica

Indivisibles

InfinitésimoSerie;Triángulo característico

Teorema de Cavallieri

Exhausción sin doble reducción 

INTUITIVA  

Estudio del cambio y del movimiento 

Tendencia a procesos numéricos

Geométrico y aritmético

Tasa de cambio  

Ley de Bradwardine y de Swineshead

Argumentaciones intuitivas para mejora del método de la exhausción

FINITA 

CuadraturaCubatura

Método de exhausción

GeométricoOrdinario 

Área, volumenMedida

Axioma de Arquímedes;Fórmulas áreas y volúmenes 

Doble reducción al absurdo

   SITUACIONES

 ACCIONES

 LENGUAJE

 CONCEPTOS

 PROPIEDADES

 ARGUMENTOS

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EL PROBLEMA DEL RELATIVISMO El relativismo socio-epistémico y pragmático contrasta con

la visión tradicional de los objetos matemáticos como entidades universales y atemporales.

La introducción de la noción de “significado global, que abarcaría el sistema de prácticas operativas y discursivas asociadas al objeto en los diversos contextos de uso (o una muestra representativa de los mismos), es un intento de resolver el problema del relativismo.

Desde un punto de vista formalista es posible identificar una misma estructura en la variedad del sistema de prácticas operatorias y discursivas puestas en juego en los diversos contextos de uso del objeto.

Esa estructura formal es "el objeto matemático" - universal y atemporal- con el que trabaja el matemático profesional y al que se refiere Wittgenstein, según nuestra interpretación, cuando define la matemática como la "gramática del lenguaje que usamos para describir determinados aspectos de nuestros mundos".

Juan D. Godino 33

Configuraciones epistémicas asociadas a la noción de igualdad de números reales

Juan D. Godino 34

SUBCONFIGURACIONES Y SENTIDOS

Cada contexto de uso da lugar a una red de objetos y relaciones que designamos como configuración epistémica local.

En cierto modo, cada configuración epistémica local "modeliza" un aspecto parcial del significado de la noción correspondiente: la configuración es el sistema modelizador y la noción el objeto modelizado.

La relación entre una configuración parcial y la configuración global no es simplemente de composición (de parte a todo). En cierto modo cada subconfiguración incorpora aspectos del todo, y desempeña el papel de modelo del todo.

Considerar como "modelos" a las configuraciones parciales puede ayudar a tomar conciencia de la metonimia que se pone en juego cuando se confunde el significado de un objeto con alguno de sus sentidos o significados parciales.

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5. COMPRENSIÓN Y COMPETENCIA MATEMÁTICA

La comprensión en Didáctica de las La comprensión en Didáctica de las MatemáticasMatemáticas

Elementos para un modelo de la Elementos para un modelo de la comprensióncomprensión Dimensión personal e institucionalDimensión personal e institucional Carácter sistémico y dinámicoCarácter sistémico y dinámico

Comprensión y competenciaComprensión y competencia Evaluación de la comprensiónEvaluación de la comprensión

(Godino, 1996; Godino, 2000; Godino, 2002; (Godino, 1996; Godino, 2000; Godino, 2002; Godino 2003)Godino 2003)

Juan D. Godino 36

EL COMPLEJO: Conocimiento, Comprensión, Competencia

Los términos y expresiones matemáticas Los términos y expresiones matemáticas denotan denotan “entidades abstractas”“entidades abstractas”, cuya naturaleza , cuya naturaleza y origen tenemos que explicitar para poder y origen tenemos que explicitar para poder elaborar una teoría útil y efectiva sobre qué elaborar una teoría útil y efectiva sobre qué entendemos por saber/conocer/ comprender entendemos por saber/conocer/ comprender tales objetostales objetos..

LA COMPETENCIA para resolver problemas LA COMPETENCIA para resolver problemas incluye (en las orientaciones curriculares): saber-incluye (en las orientaciones curriculares): saber-hacer, saber-qué, saber-por qué, saber-ser. hacer, saber-qué, saber-por qué, saber-ser.

Incluye conocer y comprender, además de ser Incluye conocer y comprender, además de ser capaz de hacer.capaz de hacer.

Competencias operatorias, discursivas, afectivas.Competencias operatorias, discursivas, afectivas.

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PROBLEMÁTICA DE LA COMPRENSIÓN/CONOCMIENTO

¿Cuál es la estructura del objeto a ¿Cuál es la estructura del objeto a comprender? comprender?

¿Qué formas o modos posibles de comprensión ¿Qué formas o modos posibles de comprensión existen para cada objeto? existen para cada objeto?

¿Qué aspectos o componentes de los objetos ¿Qué aspectos o componentes de los objetos matemáticos es posible y deseable que matemáticos es posible y deseable que aprendan los estudiantes en un momento y aprendan los estudiantes en un momento y circunstancias dadas? circunstancias dadas?

¿Cómo se desarrollan estos componentes?¿Cómo se desarrollan estos componentes?

Juan D. Godino 38

ENFOQUE PRAGMÁTICO DE LA COMPRENSIÓN

"¡No pienses ni una sola vez en la comprensión "¡No pienses ni una sola vez en la comprensión como 'proceso mental'! -Pues ésa es la manera como 'proceso mental'! -Pues ésa es la manera de hablar que te confunde... En el sentido en de hablar que te confunde... En el sentido en el que hay procesos (incluso procesos el que hay procesos (incluso procesos mentales) característicos de la comprensión, la mentales) característicos de la comprensión, la comprensión no es un proceso mental." comprensión no es un proceso mental." (Wittgenstein, 1953, Investigaciones (Wittgenstein, 1953, Investigaciones filosóficas, p. 155).filosóficas, p. 155).

SABER, CONOCER, COMPRENDER se SABER, CONOCER, COMPRENDER se interpretan en términos de COMPETENCIA para interpretan en términos de COMPETENCIA para resolver problemas y acoplamiento progresivo resolver problemas y acoplamiento progresivo entre significados personales e institucionales.entre significados personales e institucionales.

Juan D. Godino 39

Dimensión personal e institucional de la comprensión La definición de comprensión de Sierpinska La definición de comprensión de Sierpinska

como la 'experiencia mental de un sujeto por como la 'experiencia mental de un sujeto por medio de la cual relaciona un objeto (signo) con medio de la cual relaciona un objeto (signo) con otro objeto (significado)' enfatiza uno de los otro objeto (significado)' enfatiza uno de los sentidos en que es usado el término sentidos en que es usado el término 'comprensión‘.'comprensión‘.

Pero en los procesos de evaluación del Pero en los procesos de evaluación del aprendizaje el término 'comprensión' debe tener aprendizaje el término 'comprensión' debe tener en cuenta la institución escolar, en la que el en cuenta la institución escolar, en la que el significado de los objetos se fija culturalmente. significado de los objetos se fija culturalmente.

La noción de comprensión personal de un objeto La noción de comprensión personal de un objeto que se deriva de nuestro modelo teórico es la de que se deriva de nuestro modelo teórico es la de "construcción o "construcción o apropiación progresiva apropiación progresiva del del significado institucional de dicho objeto". significado institucional de dicho objeto".

Juan D. Godino 40

CARÁCTER SISTÉMICO Y DINÁMICO Puesto que concebimos el "significado sistémico Puesto que concebimos el "significado sistémico

de un objeto" como una entidad compuesta de de un objeto" como una entidad compuesta de elementos y relativa a los contextos elementos y relativa a los contextos institucionales, la comprensión de un concepto por institucionales, la comprensión de un concepto por un sujeto, en un momento y circunstancias dadas, un sujeto, en un momento y circunstancias dadas, implicará la apropiación de los distintos elementos implicará la apropiación de los distintos elementos que componen los significados institucionales que componen los significados institucionales correspondientes. correspondientes.

El reconocimiento de la complejidad sistémica del El reconocimiento de la complejidad sistémica del significado del objeto implica, además, que su significado del objeto implica, además, que su apropiación por el sujeto será un proceso apropiación por el sujeto será un proceso dinámico, progresivo, y no lineal, como dinámico, progresivo, y no lineal, como consecuencia de los distintos dominios de consecuencia de los distintos dominios de experiencia y contextos institucionales en que experiencia y contextos institucionales en que participa. participa.

Juan D. Godino 41

ACCIÓN HUMANA E INTENCIONALIDAD

El enfoque ontosemiótico de la cognición parte El enfoque ontosemiótico de la cognición parte de la noción de práctica significativa, definida de la noción de práctica significativa, definida como la actuación que la persona realiza en su como la actuación que la persona realiza en su intento de resolver una clase de situaciones-intento de resolver una clase de situaciones-problemas y a la que reconoce o atribuye una problemas y a la que reconoce o atribuye una finalidad (un para qué). finalidad (un para qué).

El conocimiento, la comprensión de los objetos El conocimiento, la comprensión de los objetos emergentes de los sistemas de prácticas emergentes de los sistemas de prácticas implican COMPETENCIA del sujeto para implican COMPETENCIA del sujeto para resolver los problemas correspondientes.resolver los problemas correspondientes.

Juan D. Godino 42

EVALUACIÓN DEL CONOCIMIENTO, COMPRENSIÓN Y COMPETENCIA

Una de las finalidades de la TSS es Una de las finalidades de la TSS es proporcionar criterios para la elaboración de proporcionar criterios para la elaboración de una teoría de la evaluación del mismo. una teoría de la evaluación del mismo.

La evaluación se interpreta como la La evaluación se interpreta como la determinación del significado de un objeto Odeterminación del significado de un objeto OII

para un sujeto p desde el punto de vista de la para un sujeto p desde el punto de vista de la institución I: institución I: Subsistema de prácticas Subsistema de prácticas personales asociadas a un campo de personales asociadas a un campo de problemas que son consideradas en I como problemas que son consideradas en I como adecuadas y características para resolver adecuadas y características para resolver dichos problemasdichos problemas. .

Juan D. Godino 43

INTERSECCIÓN DE PRÁCTICAS

Para un mismo campo de problemas C, que en Para un mismo campo de problemas C, que en una institución I ha dado lugar a un objeto Ouna institución I ha dado lugar a un objeto OII con con

significado S(Osignificado S(OII), en una persona puede dar lugar ), en una persona puede dar lugar

a un objeto Oa un objeto Opp con significado personal S(O con significado personal S(Opp). ). La intersección de estos dos sistemas de prácticas La intersección de estos dos sistemas de prácticas

es lo que desde el punto de vista de la institución es lo que desde el punto de vista de la institución se considera prácticas correctas, esto es, lo que la se considera prácticas correctas, esto es, lo que la persona "conoce" o "comprende" del objeto O persona "conoce" o "comprende" del objeto O desde el punto de vista de I. desde el punto de vista de I.

El resto de prácticas personales serían El resto de prácticas personales serían consideradas "erróneas", desde el punto de vista consideradas "erróneas", desde el punto de vista de la institución. de la institución.

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APROPIACIÓN DE SIGNIFICADOS

En una situación ideal, y en una institución dada, En una situación ideal, y en una institución dada, diremos que un sujeto “conoce”, "comprende" el diremos que un sujeto “conoce”, "comprende" el significado del objeto Osignificado del objeto OII -o que se “ha apropiado -o que se “ha apropiado

del significado" de un concepto, - si es capaz de del significado" de un concepto, - si es capaz de reconocer los problemas, procedimientos, reconocer los problemas, procedimientos, argumentaciones, propiedades y representaciones argumentaciones, propiedades y representaciones características, relacionarlo con los restantes características, relacionarlo con los restantes objetos matemáticos en la variedad de situaciones objetos matemáticos en la variedad de situaciones planteadas por la institución correspondiente. planteadas por la institución correspondiente.

También se diré que el sujeto es COMPETENTE También se diré que el sujeto es COMPETENTE para resolver el tipo de problemas para resolver el tipo de problemas correspondiente.correspondiente.

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EVALUACIÓN Y SIGNIFICADOS DE REFERENCIA La “comprensión”, “el conocimiento”, “la La “comprensión”, “el conocimiento”, “la

competencia” alcanzada por un sujeto en un competencia” alcanzada por un sujeto en un momento dado difícilmente será total o nula, momento dado difícilmente será total o nula, sino que abarcará aspectos parciales de los sino que abarcará aspectos parciales de los diversos componentes y niveles de dominio diversos componentes y niveles de dominio posibles. posibles.

Debido a la diversidad de posibles tareas de Debido a la diversidad de posibles tareas de evaluación para cada objeto matemático, será evaluación para cada objeto matemático, será fundamental el análisis de los significados fundamental el análisis de los significados implementados/pretendidos en los procesos de implementados/pretendidos en los procesos de estudio correspondientes.estudio correspondientes.

Este análisis proporcionará criterios en la Este análisis proporcionará criterios en la selección de los ítems para la construcción de selección de los ítems para la construcción de los instrumentos de evaluación. los instrumentos de evaluación.