Teoria Del Productor

MicroeconomaTema II: Teora del Productor

Dr. Martin ParedesDepartamento de EconomaUniversidad de Piura

XIII Curso de Extensin Universitaria de OSINERGMIN

Lima, 26 al 30 de Enero de 2015

Dr. Martin Paredes (UdeP) Teora del Productor Microeconoma Tema II 1 / 48

Introduccin

Denicion (Teora del Productor)La teora del productor estudia el proceso de decisin de una empresapara elaborar un bien a partir de la combinacin de varios insumos ofactores, dada la tecnologa disponible.

La empresa incurrir en costos para adquirir los factores necesariospara la produccin. Se asumir que los mercados de factores soncompetitivos.

La empresa obtendr ingresos a partir de la venta del bien producido.Se asumir que los mercados de bienes son competitivos.

La diferencia entre ingresos y costos determinan los benecios de laempresa. Se asumir que el objetivo de toda empresa es lamaximizacin de tales benecios.

La decisin puede ser intertemporal.


Conjunto (de Posibilidades) de Produccin

Denicion (Plan de Produccin)

Un plan de produccin y 2 RK para cada empresa es un vector tal que:Si yk > 0, entonces la empresa produce el bien k.

Si yk < 0, entonces la empresa utiliza el bien k como insumo.

Denicion (Conjunto de (Posibilidades de) Produccin)El conjunto de posibilidades de produccin Y incluye todos los planesde produccin factibles para una empresa. La factibilidad est limitada porrestricciones tecnolgicas.


Propiedades del Conjunto de Produccin (I)

Todo conjunto de posibilidades de produccin Y debe cumplir lassiguientes propiedades:

Denicion (Conjunto No Vaco)

El conjunto de produccin es no vaco si 9y 2 Y .

Denicion (Conjunto Cerrado)El conjunto de produccin es cerrado si para toda secuencia de planes deproduccin fyngn=1 2 Y tal que yn ! y cuando n ! , entoncesy 2 Y .


Propiedades del Conjunto de Produccin (II)

El conjunto de posibilidades de produccin Y debe cumplir las siguientespropiedades:

Denicion (Imposibilidad de Produccin Libre)El conjunto de produccin cumple la propiedad de imposibilidadde produccin libre si Y \RK+ = f0g .

Denicion (Libre Disponibilidad)El conjunto de produccin cumple la propiedad de libre disponibilidad sipara todo plan de produccin ya 2 Y , entonces todo plan yb ya implicayb 2 Y . Alternativamente Y RK+ Y .


Propiedades del Conjunto de Produccin (III)

Es conveniente que el conjunto de posibilidades de produccin Y satisfagalas siguientes propiedades:

Denicion (Posibilidad de Inaccin)El conjunto de produccin incluye la posibilidad de inaccin si 0 2 Y .

Denicion (Irreversibilidad Dbil)El conjunto de produccin cumple la propiedad de irreversibilidad dbil sipara todo plan de produccin y 2 Y tal que y 6= 0, entonces y /2 Y .

Denicion (Irreversibilidad Fuerte)El conjunto de produccin cumple la propiedad de irreversibilidad fuertesi Y \Y = f0g


Propiedades del Conjunto de Produccin (IV)

Es conveniente que el conjunto de posibilidades de produccin Y satisfagalas siguientes propiedades:

Denicion (Libre Entrada)El conjunto de produccin cumple la propiedad de libre entrada si paratodo par de planes de produccin ya, yb 2 Y , entonces ya+yb 2 Y .

Denicion (Convexidad)

El conjunto de produccin es convexo si para todo escalar t 2 [0, 1] ypara todo par de planes de produccin ya, yb 2 Y , entoncestya+ (1 t) yb 2 Y .

Denicion (Convexidad Estricta)El conjunto de produccin es estrictamente convexo si para todo escalart 2 (0, 1) y para todo par de planes de produccin ya, yb 2 Y , entoncestya+ (1 t) yb 2 int (Y) .


Propiedades del Conjunto de Produccin (V)

El conjunto de posibilidades de produccin Y debe satisfacer alguna de lassiguientes propiedades:

Denicion (Rendimientos Crecientes a Escala)

El conjunto de produccin muestra rendimientos crecientes a escala (ono decrecientes) si para todo t 1, y para todo plan de producciny 2 Y , entonces ty 2 Y .

Denicion (Rendimientos Decrecientes a Escala)El conjunto de produccin muestra rendimientos decrecientes a escala(o no crecientes) si para todo t 2 [0, 1], y para todo plan de producciny 2 Y , entonces ty 2 Y .

Denicion (Rendimientos Constantes a Escala)El conjunto de produccin muestra rendimientos constantes a escala sipara todo t 0, y para todo plan de produccin y 2 Y , entonces ty 2 Y .


Propiedades del Conjunto de Produccin (VI)

Para la solucin del problema de optimizacin de la empresa, esrecomendable que el conjunto de posibilidades de produccin Y est"bien denido", esto es:

1 Incluya la posibilidad de inaccin

Garantiza que el mnimo benecio de una empresa sea cero.

2 Sea un conjunto cerrado

Garantiza que la frontera de transformacin sea continua.

3 Cumpla las propiedades de irreversibilidad y de imposibilidad deproduccin libre.

Garantiza que el conjunto de produccin sea acotado en trminos de laproduccin de nuevos bienes.

4 Cumpla la propiedad de convexidad estricta

Elimina la posibilidad de rendimientos a escala constantes o crecientes.


Frontera de Posibilidades de Produccin (I)

La siguiente denicin permite denir los planes de produccin queson tecnolgicamente factibles para toda empresa multi-producto:

Denicion (Funcin de Transformacin)

La funcin de transformacin F (y) es un mapa F : RK+ ! R+ quedescribe el conjunto de posibilidades de produccin tal que:

Y =ny 2 RK : F (y) 0

oSe asume que la funcin F () es continua y creciente, tal queF (0) = 0.


Frontera de Posibilidades de Produccin (II)

Denicion (Frontera de Posibilidades de Produccin)La frontera de posibilidades de produccin es el conjunto de planes deproduccin y 2 Y tal que F (y) = 0. Es llamada tambin frontera detransformacin.

Denicion (Eciencia Tecnolgica)Un plan de produccin y 2 Y es tecnolgicamente eciente si seencuentra en la frontera de posibilidades de produccin, i.e., si F (y) = 0.


Frontera de Posibilidades de Produccin (III)

Suponga que F () es continuamente diferenciable.Denicion (Tasa Marginal de Transformacin)

Sea un vector de produccin y que satisface F (y) = 0. Entonces, paracualquier par de bienes yi , yj , la tasa marginal de transformacin de yipor yj es la tasa a la cual la empresa debe reducir marginalmente laproduccin (neta) del bien yj a n de aumentar la produccin (neta) delbien yi . Si F () es continuamente diferenciable:

TMgTyii ,yj = yjyi

F () constante

=

F (y)yi

F (y)yj


Funcin de Produccin (I)

Si cada empresa produce un solo producto, entonces todo plan deproduccin puede expresarse como y = (q,x) , donde:

q 2 R es el nmero de unidades del bien de consumox 2 RK1+ representa el vector de factores.

Denicion (Funcin de Produccin)

La funcin de produccin es un mapa f : RK1+ ! R que asocia lamxima cantidad producida de un bien dado un vector de factores x.

A diferencia de la funcin de utilidad, que es ordinal, la funcin deproduccin es cardinal.


Funcin de Produccin (II)

Denicion (Conjunto de Cantidades Necesarias de Factores)El conjunto de cantidades necesarias de factores es el conjunto de vectoresde factores que producen al menos q unidades del bien producido.

V (q) =nx 2 RK1+ : (q,x) 2 Y

oDenicion (Isocuanta)La isocuanta es el conjunto de vectores de factores que producenexactamente q unidades del bien producido:

Q (q) =nx 2 RK1+ : x 2 V (q) and x /2 V

q0para todo q0 > q

o


Funcin de Produccin (III)

Suponga que f : RK1+ ! R es continuamente diferenciable.Denicion (Tasa Marginal de Sustitucin Tcnica)La tasa marginal de sustitucin tcnica del factor xi por el factor xj esla tasa a la cual la empresa debe aumentar el uso del factor xi al reducir eluso del factor xj , a n de que la cantidad producida no cambie. Si f () escontinuamente diferenciable:

TMgSTxi ,xj = xjxi

f () constante

=PMgxiPMgxj

donde PMgxk es el producto marginal con respecto al bien xk , i.e. lavariacin en la produccin ante un cambio en el uso del factor xk .

PMgxk =f (x)xk


Funcin de Produccin (IV)

La TMgST es una medida local del grado de sustitucin entre factores,pero tambin se puede utilizar el siguiente concepto:

Denicion (Elasticidad de Sustitucin)La elasticidad de sustitucin entre los factores i , j mide el cambioporcentual en la proporcin de uso de ambos factores ante un cambio en latasa marginal de sustitucin tcnica:

ij =

xjxi

PMgxiPMgxj

PMgxiPMgxj

xjxi


Funcin de Produccin (V)

Los rendimientos a escala denidas mediante funciones de produccin:

Denicion (Rendimientos Crecientes a Escala)La funcin de produccin presenta rendimientos crecientes a escala sipara todo t > 1, y para todo vector de factores x 2 RK1+ tal quef (x) 6= 0, entonces f (tx) > tf (x) .

Denicion (Rendimientos Decrecientes a Escala)La funcin de produccin presenta rendimientos decrecientes a escalasi para todo t > 1, y para todo vector de factores x 2 RK1+ tal quef (x) 6= 0, entonces f (tx) < tf (x) .

Denicion (Rendimientos Constantes a Escala)La funcin de produccin presenta rendimientos constantes a escala sipara todo t 0, y para todo vector de factores x 2 RK1+ , entoncesf (tx) = tf (x) .


Funcin de Produccin (VI)

Entonces, una funcin de produccin que exhibe retornos constantesa escala es homognea de grado uno.

Una de las caractersticas de las funciones de produccin homogneasde grado t > 0 es que, para todo ratio de utilizacin de factores

xjxi, el

valor de la tasa marginal de sustitucin tcnica TMgSTij se mantieneconstante para todo nivel de produccin.

Esta propiedad tambin est presente para las funciones deproduccin homotticas, i.e. una funcin que es una transformacinmontona creciente de una funcin homognea.

En otras palabras, para funciones homogneas y homotticas, dada unaproporcin de uso de factores, la relacin tcnica de sustitucin esindependiente de la escala de produccin.


El Costo de Produccin

El costo de produccin de una empresa es el gasto que debe efectuarpara adquirir los factores necesarios para producir bienes.

Para determinar la cantidad de factores a demandar, la empresa debedecidir el plan de produccin y 2 Y a ejecutar.Si el objetivo de la empresa es maximizar benecios, entoncesnecesariamente la empresa escoger el plan de produccin menoscostoso para cada posible nivel de produccin.


El Problema de la Minimizacin del Costo (I)

Suponga que la empresa produce slo un bien.

La empresa debe decidir la combinacin de factores que le permitaincurrir el menor costo posible, para cualquier nivel de produccin quedecida producir.

Se asume que la empresa toma como dados:

El vector de precios de factores, w 2 RK1++ .La tecnologa, denida en el conjunto de produccin Y .

Entonces:

mnx2RK1+

w x sujeto a (q,x) 2 Y


El Problema de la Minimizacin del Costo (II)

El problema de la empresa consiste en hallar los vectores de factoresque minimicen su gasto, sujeto a un nivel de produccin que se quierealcanzar.

mnx2RK1+

w x sujeto a f (x) q (MinC)

La desigualdad en la restriccin tecnolgica surge porque la funcinde produccin es la cantidad mxima que se puede producir del bien.

Si f () es estrictamente creciente, entonces la restriccin estsiempre activa.


El Problema de la Minimizacin del Costo (III)

Recuerde (MinG):

mnx2RK+

p x sujeto a u (x) u (MinG)

Por tanto muchos de los resultados y propiedades obtenidos para(MinG) tambin aplican para (MinC)

Teorema (Solucin de (MinC))Para todo vector de precios de precios w >> 0 :

Si la funcin de produccin es continua, entonces la solucin a(MinC) existe.Si adems la funcin de produccin es estrictamente cuasicncava,entonces la solucin a (MinC) es nica.


El Problema de la Minimizacin del Costo (IV)

Si f () es continuamente diferenciable, entonces (MinC) es unaoptimizacin con una restriccin de desigualdad, con un Lagrangiano

L (x,) = w x+ (q f (x)) (L-MinC)En una solucin interior, y dada la convexidad de Y , las condicionesnecesarias de Kuhn-Tucker indican que, si x resuelve (MinC),entonces existe un multiplicador de Lagrange 0 tal que, paratodo bien k 2 K :

wk f (x)

xk= 0

Ademsq f (x) = 0


El Problema de la Minimizacin del Costo (V)

En una solucin interior, x >> 0, y como w >> 0, entonces:

=wkPMgk

> 0

Alternativamente para todo par de bienes i , j 2 K se obtiene:

TMgSTi ,j =PMgiPMgj

=wiwj

Si la funcin de produccin es cuasicncava (i.e., si Y es convexo),entonces las condiciones de primer orden son sucientes paradeterminar que el ptimo es global.


La Demanda Condicionada de Factores (I)

DenicionLa demanda condicionada de factores, x(w, q), es el conjunto devectores de factores que resuelve (MinC), dado el vector de preciosw >> 0 y el nivel de produccin q > 0. Esto es:

x (w, q) = argmnx2RK1+

w x sujeto a f (x) q

Se le denomina condicionada porque depende del nivel de produccinque se desea alcanzar.

Tambin se le denomina demanda derivada.


La Demanda Condicionada de Factores (II)

Proposicion (Propiedades de la Demanda Condicionada)Suponga que Y es un conjunto cerrado que satisface libre disponibilidad.Entonces x(w, q) posee las siguientes propiedades:

1 Es homognea de grado cero en w, i.e., x(tw, q) =x(w, q) para todot > 0.

2 No causa exceso de produccin, i.e., f (x) = q para todox 2 x (w, q) .

3 Es un conjunto convexo si V (q) es convexo.4 Contiene un slo elemento (i.e, es una funcin) si V (q) esestrictamente convexo.

Las demostraciones se omiten al ser anlogas a las presentadas para laspropiedades de h (p, u) .


La Funcin de Costos (I)

DenicionLa funcin de costos, c (w, q), es el valor mnimo posible de gasto queincurrir la empresa para alcanzar el nivel de produccin q, dado el vectorde precios de factores w >> 0 y el nivel de produccin q > 0. Esto es,

c (w, q) = mnx2RK+

w x sujeto a f (x) q

Alternativamente, es el valor del gasto de la empresa cuando escogex 2 x (w, q) :

c (w, q) = w x (w, q)En la siguiente pgina se presentan las propiedades de c (w, q) . Lasdemostraciones se omiten al ser anlogas a las presentadas para laspropiedades de e (p, u) .


La Funcin de Costos (II)

Proposicion (Propiedades de la Funcin de Costos)

Suponga que f () es continua y estrictamente creciente. Entoncesc (w, q) posee las siguientes propiedades:

1 Es homognea de grado uno en w, i.e., c (tw,q) = tc (w,q) paratodo t > 0.

2 Es continua en w y en q.3 Es creciente en w, i.e., si wa wb , entonces c (wa, q) c wb , q .4 Es estrictamente creciente y no acotada en q, i.e., si qa qb ,entonces c (w, qa) > c

w, qb

5 Es cncava en w, i.e., si wt = twa + (1 t)wb , entoncesc (wt , q) tc (wa, q) + (1 t) c wb , q para todo t 2 [0, 1] .


La Funcin de Costos (III)

Proposicion (Lema de Shephard)

Suponga que f () es continua y estrictamente creciente. Si c (w, q) esdiferenciable, entonces

c (w, q)wk

= xk (w, q)

Las demostraciones se omiten al ser anlogas a las presentadas enanteriores demostraciones. En particular, para el Lema de Shephard, seutiliza nuevamente el Teorema de la Envolvente.


La Funcin de Costos (IV)

Como la funcin de produccin es cardinal, existen algunas propiedadesadicionales para la funcin de costos:

Proposicion (Convexidad de la Funcin de Costos)

Si f (x) es cncava, entonces c (w, q) es una funcin convexa en q (enparticular, el costo marginal es no decreciente en q).

Proposicion (Funcin de Costos y Retornos Constantes a Escala)

Si f (x) es homognea de grado uno, (i.e., exhibe retornos constantes aescala), entonces c (w, q) y x (w, q) son homogneas de grado uno en q.


La Funcin de Costos (V)

Las consecuencias de la anterior proposicin se pueden extender para elcaso de retornos crecientes y decrecientes a escala.

Corolario (Funcin de Costos y Retornos Crecientes a Escala)

Si f (x) exhibe retornos crecientes a escala, entonces c (w, q) es unafuncin decreciente en q.

Corolario (Funcin de Costos y Retornos Decrecientes a Escala)

Si f (x) exhibe retornos decrecientes a escala, entonces c (w, q) es unafuncin creciente en q.


La Funcin de Costos en el Corto Plazo (I)

Hasta ahora, se ha asumido que la empresa puede escoger librementela cantidad de cada factor que usa. Ello ocurre usualmente en el largoplazo.

Entonces, c (w, q) es una funcin de costos de largo plazo.

En el corto plazo, es posible que la empresa no pueda variarfcilmente el uso de uno o ms factores.

Dena x como un vector de factores variables, mientras x es unvector de factores jos, tal que (q, x,x) 2 Y .

Sean w y w los vectores de precios de ambos tipos de factores.


La Funcin de Costos en el Corto Plazo (II)

DenicionLa funcin de costos de corto plazo, ccp (w,w, q; x), es el valor mnimoposible de gasto que incurrir la empresa para alcanzar el nivel deproduccin q, dado que no puede modicar el uso de los factores josdenidos en x. Esto es,

ccp (w,w, q; x) = mnx w x+w x sujeto a f (x,x) q

Alternativamente, si x (w,w, q; x) resuelve este problema de minimizacin:

ccp (w,w, q; x) = w x (w,w, q; x) +w x

Al costo de los factores jos, w x, se le denomina costo jo.Al costo (optimizado) de los factores variables, w x (w,w, q; x) , sele denomina costo variable.


El Problema de la Maximizacin del Benecio (I)Empresa Multi-Producto (I)

Suponga que la empresa toma el vector de precios como dado.

Suponga una empresa multi-producto, i.e., produce dos o mas bienes

El objetivo de cada empresa es la maximizacin de sus benecios,sujeto a su restriccin tecnolgica:

maxyp y sujeto a y 2 Y

La optimizacin de la empresa puede reexpresarse utilizando lafuncin de transformacin:

maxyp y sujeto a F (y) 0 (MaxB)


El Problema de la Maximizacin del Benecio (II)Empresa Multi-Producto (II)

Teorema (Solucin de (MaxB))Para todo vector de precios p >> 0 :

Si Y es convexo y exhibe retornos a escala decrecientes, entonces lasolucin a (MaxB) existe.Si Y es estrictamente convexo, entonces la solucin a (MaxB) esnica.

Es posible que no exista solucin a (MaxB) cuando el conjunto Y noes convexo y no exhiba retornos a escala decrecientes.


El Problema de la Maximizacin del Benecio (III)Empresa Multi-Producto (III)

Si F (y) es continuamente diferenciable, entonces (MaxU) es unaoptimizacin con una restriccin de desigualdad, con un Lagrangiano:

L (y,) = p y F (y) (L-MaxB)En una solucin interior, y dada la convexidad de Y , las condicionesnecesarias de Kuhn-Tucker indican que, si y resuelve (MaxB),entonces existe un multiplicador de Lagrange 0 tal que, paratodo bien k 2 K :

pk F (y)

yk= 0

AdemsF (y) = 0


El Problema de la Maximizacin del Benecio (IV)Empresa Multi-Producto (IV)

En una solucin interior, y >> 0, y como p >> 0, entonces:

=pk

F (y)yk

> 0

Alternativamente para todo par de bienes i , j 2 K se obtiene:

TMgTi ,j =pipj

Si la funcin de produccin es cuasicncava (i.e., si Y es convexo),entonces las condiciones de primer orden son sucientes paradeterminar que el ptimo es global.


El Problema de la Maximizacin del Benecio (V)Empresa Mono-Producto (I)

Suponga que la empresa slo produce un bien, tal que q es el nivel aproducir del bien, y x el vector de factores.Entonces (MaxB) puede reescribirse como:

max(q,x)2RK

pq w x sujeto a f (x) q

Si f () es estrictamente creciente, entonces la restriccin est activa:maxx2RK1

pf (x)w x


El Problema de la Maximizacin del Benecio (VI)Empresa Mono-Producto (II)

La condicin de primer orden para la reformulacin de (MaxB), paratodo bien k 2 K implica que:

pf (x)x

= wk

Entonces, para todo par de factores i , j 2 K se obtiene:

TMgSTi ,j =PMgiPMgj

=wiwj

la cual es anloga a la ecuacin hallada para (MinC).


El Problema de la Maximizacin del Benecio (VII)Empresa Mono-Producto (III)

Por tanto, la solucin a (MaxB) implica que, adems, se resuleve(MinC). Por ello, la solucin a (MaxB) tambin se puede hallar apartir de:

maxq2R

pq c (w, q)

La condicin (nica) de primer orden para la reformulacin de(MaxB):

p =c (w, q)

q

Esto es, toda empresa que toma los precios como dados escoje sunivel de produccin tal que el precio del bien sea igual a su costomarginal.


La Oferta Neta de Produccin (I)

DenicionLa oferta neta de produccin, y (p), es el conjunto de planes deproduccin que resuelve (MaxB), dado el vector de precios p >> 0 y lafuncin de transformacin F (y) Esto es:

y (p) = argmaxy

p y sujeto a F (y) 0

Se le denomina oferta neta porque:

Si yk (p) < 0, entonces la empresa demanda dicho bien como factor.Si yk (p) > 0, entonces la empresa produce el bien.

En el caso de un empresa que produce un slo bien, dado el vector deprecios (p,w) >> 0, entonces q (p,w) es la oferta de produccin yx (p,w) es la demanda por factores.


La Oferta Neta de Produccin (II)

Proposicion (Propiedades de la Oferta Neta de Produccin)

Suponga que Y es un conjunto cerrado que satisface libre disponibilidad.Entonces y(p) posee las siguientes propiedades:

1 Es homognea de grado cero, i.e., y(tp) = y (p) para todo t > 0.2 Es un conjunto convexo si Y es un conjunto convexo.3 Contiene un slo elemento (i.e, es una funcin) si Y es un conjuntoestrictamente convexo.

Las demostraciones se omiten al ser anlogas a las presentadas enanteriores demostraciones.


La Funcin de Benecios (I)

DenicionLa funcin de benecios, (p), es el valor mximo posible del benecioneto que obtendr la empresa dado el vector de precios p >> 0 y lafuncin de transformacin F (y). Esto es,

(p) = maxyp y sujeto a F (y) 0

Alternativamente, es el benecio neto de la empresa cuando escogey 2 y (p) :

(p) = p y (p)


La Funcin de Benecios (II)

(p) representa el benecio neto porque:

Si yk (p) < 0, entonces la empresa demanda dicho bien como factor, eincurre un costo para adquirirlo.Si yk (p) > 0, entonces la empresa produce el bien y obtiene ingresospor su venta.

En el caso de un empresa que produce un slo bien, dado el vector deprecios (p,w) >> 0, entonces:

(p) = pq (p,w)w x (p,w)


La Funcin de Benecios (III)

Proposicion (Propiedades de la Funcin de Benecios)

Suponga que Y es un conjunto cerrado que satisface libre disponibilidad.Entonces (p) posee las siguientes propiedades:

1 Es homognea de grado uno en p, i.e., (tp) = t (p) para todot > 0.

2 Es continua en p.3 Es creciente en pk si yk (p) > 0, i.e., si pak pbk , entonces (pa) pb .

4 Es decreciente en pk si yk (p) < 0, i.e., si pak pbk , entonces (pa) pb .

5 Es convexa en p, i.e., si pt = tpa + (1 t) pb , entonces (pt ) t (pa) + (1 t) pb para todo t 2 [0, 1] .

Las demostraciones se omiten al ser anlogas a las presentadas enanteriores demostraciones.


Relacin entre la Funcin de Benecios y la Oferta Neta deProduccin (I)

La siguiente identidad permite obtener la funcin de la oferta neta deproduccin a partir de la funcin de benecios.

Proposicion (Lema de Hotelling)Suponga que Y es un conjunto cerrado que satisface libre disponibilidad.Si (p) es una funcin diferenciable, entonces para todo bien k 2 K,

(p)pk

= yk (p)


Relacin entre la Funcin de Benecios y la Oferta Neta deProduccin (II)

Al igual que para el Lema de Shephard, la demostracin hace uso delTeorema de la Envolvente.

En el caso de una empresa que slo produce un bien, entonces elLema de Hotelling implica

(p)p

= q (p,w)

(p)wk

= xk (p,w)

donde xk (p,w) es la demanda del factor k.


Produccin Agregada

Denicion (Conjunto Agregado de Produccin)Sea J el conjunto de empresas en la economa. Entonces el conjuntoagregado de posibilidades de produccin se dene como:

Y =(y : y =

j2Jyj , tal que yj 2 Yj

)

Se asume que no hay externalidades (ni positivas ni negativas) entreempresas.

El conjunto agregado de produccin hereda la mayor parte de laspropiedades de los conjuntos de produccin individuales. Slo hay quetener cuidado con la propiedad de conjunto cerrado y acotado.


IntroduccinProduccin y TecnologaConjunto de ProduccinFuncin de Transformacin y Frontera de Posibilidades de ProduccinFuncin de Produccin

Los Costos de la EmpresaEl Problema de la Minimizacin del CostoLa Demanda Condicionada de FactoresLa Funcin de Costos

Los Beneficios de la EmpresaEl Problema de la Maximizacin del BeneficioLa Oferta Neta de ProduccinLa Funcin de Beneficios

Teoria Del Productor

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