Teoría de la Probabilidad

Conceptos básicos de Probabilidad

Una probabilidad es un valor numérico que representa la oportunidad o posibilidad de

que un evento en particular ocurra, tal como: El aumento en el precio de una acción, un

día lluvioso, una unidad de producción no conformada, o que caiga el cinco al lanzar un

dado. En estos casos, la probabilidad es una porción o fracción cuyo valor varía entre 0

y 1 inclusive. Un evento que no tiene oportunidad de ocurrir (por ejemplo, un evento

imposible) tiene una probabilidad de cero. Un evento que ocurrirá con toda seguridad

(es decir, un evento seguro) tiene una probabilidad de 1. Existen tres aproximaciones

sujetas a la probabilidad:

Probabilidad clásica a priori

Probabilidad clásica empírica

Probabilidad subjetiva

En una probabilidad clásica a priori, la probabilidad de éxito se basa en el

conocimiento previo del proceso implicado. En el caso más simple, en el que cada

resultado es igualmente probable, la oportunidad de ocurrencia de un evento se define

en la ecuación:

Ecuación 1:

PROBABILIDAD DE OCURRENCIA

Considere un mazo de cartas estándar con 26 cartas rojas y 26 cartas negras. La

probabilidad de seleccionar una carta negra es de 26/52= 0.50, puesto que hay X= 26

cartas negras y T= 52 cartas en total. ¿Que indica esta probabilidad? Si se reemplaza

cada carta después de haberla seleccionado, ¿significa que una de las dos siguientes

cartas será negra? No, porque usted no pueda decir con certeza lo que sucederá en las

selecciones posteriores. Sin embargo, puede decir que a la larga, si este proceso de

selección se repite continuamente, la proporción de cartas negras seleccionadas se

aproximará a 0.50. Este ejemplo utiliza el punto de vista de la probabilidad a priori

porque el número de formas en las que un evento puede ocurrir y el número de

resultados posibles se conocen por la composición del mazo de cartas.

En el punto de vista de la probabilidad clásica empírica, los resultados se basan en

datos observados, no en conocimiento previo del proceso. Ejemplos de este tipo de

probabilidad son: La proporción de votantes registrados que optan por un determinado

candidato político o la proporción de alumnos que tienen un empleo de medio tiempo.

Por ejemplo, si usted realiza una encuesta a los alumnos, y el 60% de ellos afirman que

tienen un trabajo de medio tiempo, entonces hay una probabilidad de 0.60 de que un

alumno en particular tenga un trabajo de medio tiempo.

La probabilidad subjetiva, se distingue de los otros dos en que la probabilidad

subjetiva difiere de una persona a otra. Por ejemplo, tal vez el equipo de desarrollo para

un nuevo producto asigne una probabilidad de 0.6 a la oportunidad de éxito para el

producto, mientras que el presidente de la empresa es menos optimista y asigna una

probabilidad de 0.3. La asignación de probabilidades subjetivas a diferentes resultados

generalmente se basa en una combinación de las experiencias pasadas de los individuos,

la opinión personal y el análisis de una situación particular. La probabilidad subjetiva es

particularmente útil al tomar decisiones en situaciones en las que no es posible usarla

probabilidad clásica a priori o la probabilidad clásica empírica.

Donde

Espacios Muestras y Eventos

Los elementos básicos de la teoría de probabilidad son los resultados individuales de

una variable que se somete a estudio. Para entender las probabilidades es necesario

comprender las siguientes definiciones.

Cada posible resultado de una variable es un evento.

Un evento simple se describe por sus características singulares.

Por ejemplo, cuando lanza una moneda al aire, los dos posibles resultados son cara o

cruz. Cada uno de estos representa un evento sencillo. Cuando tira un dado estándar de

seis lados, en las que las seis caras del dado contienen uno, dos, tres, cuatro, cinco o seis

puntos, hay seis eventos sencillos posibles. Por ejemplo, el evento de un número par de

puntos consiste en tres eventos sencillos (por ejemplo, dos, cuatro o seis puntos).

Un evento conjunto es un evento que tiene dos o más características.

Sacar dos caras al lanzar al aire de monedas es un ejemplo de un evento conjunto, pues

consiste en obtener cara al lanzar al aire la primera moneda y cara al lanzar la segunda

moneda.

El complemento del evento A (al que se le asigna el símbolo A´) incluye todos

los eventos que no son parte de A.

El complemento de una cara es una cruz, puesto que es el único evento que no es una

cara. El complemento de una cara de cinco puntos es no tener una cara de cinco puntos.

No obtener un lado de cinco puntos consiste en obtener un lado uno, dos, tres, cuatro o

seis.

La colección de todos los eventos posibles se llama espacio muestral.

El espacio muestral de lanzar una moneda al aire consiste en cara y cruz. El espacio

muestral cuando tiramos un dado consiste en uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis puntos.

Probabilidad simple

Probabilidad simple se refiere a la probabilidad de ocurrencia de un evento simple, P

(A).

Tabla1

REALMENTE LO COMPRÓ

PLANEA COMPRARLO Sí No Total

Si 200 50 250

No 100 650 750

Total 300 700 1,000

Una probabilidad simple es la probabilidad de planear la compra de un equipo de

televisión de pantalla grande. ¿Cómo se determina la probabilidad de seleccionar un

hogar en el que se planee comprar un equipo de televisión de pantalla grande? Al

utilizar la ecuación 1:

PROBABILIDAD DE OCURRENCIA

P (planear comprar) =

= 0.25

Por lo tanto, hay un 0.25 (o un 25%) de probabilidad de que en un hogar se planee

comprar un equipo de televisión de pantalla grande.

A la probabilidad simple también se le llama probabilidad marginal, porque es posible

calcular el número total de los éxitos (el número total de quienes planearon comprar) a

partir del margen apropiado de la tabla de contingencia.

Probabilidad conjunta

La probabilidad simple se refiere a la probabilidad de ocurrencia de eventos simples.

La probabilidad conjunta se refiere a la probabilidad de ocurrencia que implica a dos o

más eventos. Un ejemplo de probabilidad conjunta es la probabilidad de que se

obtenga cara al lanzar la primera vez la moneda al aire y cara al lanzar por segunda vez

la moneda.

En relación con la tabla 1, aquellos individuos que planearon comprar y realmente

compraron el televisor de pantalla grande se identifican con los resultados de una celda

singular “si-planearon comprar y si- realmente lo compraron”. Como el grupo está

formado por 200 hogares, la probabilidad de elegir un hogar que planee comprar y

realmente lo compre es:

P (planea comprar y realmente lo compra) =

Donde

= 0.20

Regla de la adición

La regla general de la adición nos permite encontrar la probabilidad del evento “A o

B”. Esta regla considera la ocurrencia de cualquiera de los eventos, evento A o evento B

o ambos A y B. ¿Cómo se determina la probabilidad de que en un hogar se planee

comprar o se compre realmente un equipo de televisión de pantalla grande? El evento

“planear la compra o comprar realmente” incluye a todos los hogares en los que se

planea comprar y todos los hogares en los que realmente se compró el equipo de

televisión de pantalla grande. Revise cada celda de la tabla de contingencia (tabla 1)

para determinar si es o no parte del evento. De la tabla 1 la celda “planea comprar y no lo

compro” es parte del evento porque incluye a los encuestados que planean comprar. La

celda “no planeó comprar y realmente compró” está incluida porque contiene a los

encuestados que de verdad compraron. Por último la celda “planearon comprar y

realmente compraron” tienen ambas características de interés. Por lo tanto, la

probabilidad de planear comprar o realmente comprar es:

P (planear comprar o realmente compró) = P (planeó comprar y no compró realmente)

+ (no planeó comprar y realmente compró)

+ (planeó comprar y realmente compró)

= + + + = 0.35

A menudo encontrará más fácil determinar P(A o B), la probabilidad del evento A o B,

mediante la regla general de la adición definida en la siguiente ecuación:

Regla General de la Adición

La probabilidad de A o B es igual a la probabilidad de A más la probabilidad de B

menos la probabilidad de A y B.

Aplicar esta ecuación en el ejemplo anterior produce el siguiente resultado:

Probabilidad Condicional

La probabilidad condicional se refiere a la probabilidad del evento A, dada información acerca

de la ocurrencia de otro evento B.

Probabilidad Condiciona

La probabilidad de A dado B es igual a la probabilidad de A y B dividida por la probabilidad de

B.

La probabilidad de B dado A es igual a la probabilidad de A y B dividida por la probabilidad de

A.

En relación con el escenario de “Uso de la Estadística” que se refiere a la compra de un

equipo de televisión de pantalla grande, suponga que en cierto lugar se planea comprar

un equipo de televisión de pantalla grande. Ahora ¿cuál es la probabilidad que en ese

hogar se compre realmente el equipo de televisión? En este ejemplo el objetivo es

encontrar P (compra real/ planea comprar). Aquí se le proporciona la información de

que el hogar planea comprar el equipo de televisión de pantalla grande. Por lo tanto, el

espacio muestral no consiste en todos los 1,000 hogares de la encuesta. Consiste solo en

aquellos que realmente el equipo de televisión de pantalla grande. De 250 de esos

hogares, 200 compraron realmente el equipo de televisión de pantalla grande. Por lo

tanto (vea la tabla 1), la probabilidad de que en un hogar realmente se compre un equipo

de televisión de pantalla grande dado que lo planeó comprar es

P( realmente compró planeó comprar) =

= = 0.80

También es posible usar esta ecuación para calcular este resultado.

P (B A) =

Dónde:

Evento A= planeó comprar

Evento B= realmente compró

Entonces:

P (realmente compró planeó comprar) =

= 0.80

Reglas de multiplicación

Al manipular la fórmula de la probabilidad condicional, es posible determinar la

probabilidad condicional conjunta P(A y B) de la probabilidad condicional de un

evento. La regla general de la multiplicación se obtiene con la ayuda de la siguiente

ecuación:

P (A B) =

y se resuelve la probabilidad conjunta P ( A y B)

REGLA GENERAL DE LA MULTIPLICACIÓN

La probabilidad de A y B es igual a la probabilidad de A dado B por la probabilidad de

B.

P (A y B) = P (A B) P (B)

Ejemplo:

Considere los 80 hogares en los que se compró un HDTV. En la siguiente tabla se

observa que 64 hogares están satisfechos con su compra y en 16 hogares no están

satisfechos. Suponga que se selecciona al azar dos hogares de los 80 que realizaron la

compra. Encuentre la probabilidad de que ambos hogares estén satisfechos con su

adquisición.

¿Satisfecho con la compra?

Tipo de televisión Si No Total

HDTV 64 16 80

No HDTV 176 44 220

Total 240 60 300

SOLUCIÓN: Aquí se emplea la regla de la siguiente manera. Si:

A= segundo hogar seleccionado está satisfecho

B= primero hogar seleccionado está satisfecho

Entonces, mediante la ecuación:

P(A y B) = P (A B) P (B)

La probabilidad de que el primer hogar esté satisfecho con la compra es de 64/80. Sin

embargo, la probabilidad que el segundo hogar también este satisfecho con la compra

depende del resultado de la primera elección. Si el primer hogar no se devuelve a la

muestra después de determinar el nivel de satisfacción (muestreo sin situación),

entonces el número restante hogares será de 79. Si el primero hogar está satisfecho, la

probabilidad de que el segundo hogar también este satisfecho es 63/79, porque en la

muestra permanecen 63 hogares satisfecho. Por lo tanto,

P (A y B) = = 0.6380

Hay 63.80% de posibilidades de que ambos hogares muestreados estén satisfechos con

sus compras.