tesis

FACULTAD DE FSICA

INSTITUTO DE FSICA

AGUJEROS NEGROS COMO ACELERADORES DE

PARTCULAS MASIVAS CON ESPN

POR

JOS TAULIS TAULIS

Tesis presentada a la Facultad de Fsica de la

Ponticia Universidad Catlica de Chile, para

optar al grado acadmico de Licenciatura en Fsica.

Profesor Gua : Dr. Benjamin Koch (PUC Chile)

Profesores Informantes : Dr. Mximo Baados (PUC Chile)

: Dr. Andreas Reisenegger (PUC Chile)

Julio, 2014

Santiago, Chile

c2014, Jos Taulis TaulisSe autoriza la reproduccin total o parcial, con nes acadmicos, por cualquier medio o procedimiento,

incluyendo la cita bibliogrca del documento.

Resumen

En este trabajo se estudi el formalismo Lagrangiano para partculas masivas con espn y los

agujeros negros como aceleradores de estas mismas. Se encontr una expresin analtica para

la energa del centro de masa en una aproximacin a primer orden en torno a s=(mM) =

0, concluyendo que la contribucin del espn a sta es insignicante. Se mostr que para

agujeros negros primordiales la energa toma valores arbitrariamente grandes para un

radio especco fuera del horizonte de eventos, que permitira la observacin de la radiacin

emitida.

i

Indice general

1. Introduccin 1

1.1. Agujeros negros como aceleradores de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Energa del centro de masa de la colisin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2. ECM mxima en una colisin en la mtrica de Schwarzschild . . . . . . . . . . . 4

1.2. Formalismo Lagrangiano para la partcula masiva con espn y sus ecuaciones de mo-

vimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1. Formalismo en el espacio-tiempo plano de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2. Formalismo en un espacio-tiempo curvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Clculo analtico de ECM mxima para s

Indice de cuadros

2.1. El espn sobre la masa para diferentes partculas de prueba en unidades geometrizadas. 24

2.2. Energa para diferentes partculas de prueba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3. Cantidades fsicas en unidades geometrizadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

iv

Indice de guras

1.1. Muestra las dos trayectorias posibles de una partcula con momento angular crtico

(lc) en un agujero negro de Schwarzschild con masa M . La linea gris corresponde a

un partcula que retorna, mientras que la naranja cae al horizonte de eventos. . . . . 1

1.2. Muestra la variacin de velocidad radial _r con respecto al radio r, en Schwarzschild.

En analoga con la gura g. 1.1 la linea gris corresponde a una partcula que posee

un punto de retorno, mientras que la naranja cae al horizonte de eventos. . . . . . . 2

2.1. Muestra la energa del centro de momento en funcin del radio de dos neutrinos con

masa mn = 7; 34 1065 m, espin/masa s1n = 1;77 106 m y s2n = 1;77 106 m,y momentos angulares totales ji = 2sin con i = 1; 2, en un agujero negro con masa

M = 1010 m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Notaciones y convenciones

Estas convenciones se usan a lo largo de todo el trabajo

Los ndices griegos (, , etc.) van de 0 a 3.

Los ndices latinos entre parntesis ((a), (b), etc.) van de 0 a 3.

Los ndices latinos (i, k, etc.) van de 1 a 3.

La velocidad de la luz c = 1 y la constante de gravitacin universal G = 1 de manera que las

unidades son geometrizadas.

Se utiliza la convencin de Einstein para las sumatorias.

Captulo 1

Introduccin

1.1. Agujeros negros como aceleradores de partculas

Figura 1.1: Muestra las dos trayectorias posiblesde una partcula con momento angular crtico (lc)en un agujero negro de Schwarzschild con masaM . La linea gris corresponde a un partcula queretorna, mientras que la naranja cae al horizontede eventos.

En el ao 2009 Baados, Silk y M. West mues-

tran cmo un Agujero Negro puede actuar como

un acelerador de partculas (sin espn). Generan-

do, para el caso de un agujero negro con espn

(agujero negro de Kerr), energas del centro de

masa arbitrariamente grandes si se dan condi-

ciones iniciales especcas [1].

Por su parte, es sabido que las partculas

masivas con espn no siguen trayectorias geodsi-

cas, sto debido a que la curvatura del espacio-

tiempo interacta con el espn produciendo con-

tribuciones a su velocidad, y por lo tanto contri-

buciones a su energa. Considerando que el espn

del agujero negro en [1] es el responsable en la

divergencia de la energa, es interesante ver en

qu medida el espn de la partcula contribuye a la energa del centro de masa para un agujero negro

de Schwarzshild (sin espn), y si existen condiciones especcas para las cuales exista una divergencia

en sta que le permita tener valores arbitrariamente grandes.

1

CAPITULO 1. INTRODUCCIN

El procedimiento seguido en [1], en resumen, es obtener la energa del centro de masa de la

colisin mediante las ecuaciones de movimiento de las partculas individuales utilizando ECM =

mp2p1 + u1u

2g , para luego hacer mxima esta energa al tender el punto de la colisin al hori-

zonte de eventos considerando momentos angulares iniciales crticos (ver gs. 1.1 y 1.2), los cuales

generan una colisin lo ms tangencial posible. A continuacin se explica lo necesario para visualizar

el escenario de la colisin, y comprender la idea de energa mxima del centro de masa.

Figura 1.2: Muestra la variacin de velocidad radial _r con respecto al radio r, en Schwarzschild.En analoga con la gura g. 1.1 la linea gris corresponde a una partcula que posee un punto deretorno, mientras que la naranja cae al horizonte de eventos.

2

1.1. AGUJEROS NEGROS COMO ACELERADORES DE PARTCULAS

1.1.1. Energa del centro de masa de la colisin

En una mtrica plana de Minkowski,

= diag(1;1;1;1) ; (1.1)

se sabe que la energa de una partcula libre con accin

S =

ZLd = m

Z puu d ; (1.2)

corresponde a la componente temporal del momento cannico del Lagrangiano,

E = P t = mutpuu

= m

1 u

iuiu2t

12=

mp1 ~v2 = m ; (1.3)

con vi dxi=dt = ui=ut velocidad medida en el laboratorio. (Para ver las ecuaciones de movimientopara partculas espn, hacer s = 0 en las ecuaciones (1.106) a la (1.108)).

Para un sistema de dos partculas con igual masa m y momentos cannicos P1 y P2, se puede

denir un momento total PT = P1 +P

2 . Se tiene la libertad de escoger un sistema en donde P

iT = 0

(sistema de referencia del centro de momento), en el cual la energa total del sistema estar en la

componente temporal del momento cannico,

P 0T = ET = ECM (1.4)

)E2CM = P 0TP 0T 00 = PT P T ; (1.5)

a la cual se nombra energa de centro de momento. En el punto de colisin esta energa corresponde a

la energa de Centro de Masa, ECM , por lo que a partir de ahora, se hablar indistintamente de stas.

Se puede generalizar esta ecuacin para espacios curvos utilizando el principio de equivalencia y

el formalismo de las ttradas, el cual dene un marco de referencia localmente plano (de Minkowski)

con cuatro 4-vectores ortogonales en cada punto del espacio, los cuales se llaman ttrada,

e(a) = e(a)@ a = 0; 1; 2; 3 : (1.6)

3


La ttrada cumple

(ab) = e(a)e

(b)g ; (1.7)

donde g es la mtrica del espacio-tiempo y (ab) = diag(1;1;1;1) una matriz que acta lo-calmente como la mtrica de Minkowski. Estos vectores actan proyectando las componentes de

los tensores hacia la base minkowskiana. Por ejemplo, para A = A@ un tensor de orden uno,

A(a) = e(a) A.

Como se sabe, por el principio de equivalencia, la ecuacin (1.5) es vlida en este sistema de

referencia localmente plano. Por lo tanto:

E2CM = P(a)T P

(b)T (ab) = P

(a)T e

(a)e

(b)gP

(b)T = P

T P

T g ; (1.8)

reemplazando PT = P1 + P

2

) ECM = mp2

r1 +

P1 P2 g

m2(1.9)

= mp2

s1 +

u1u2gp

u1u1g

pu2u

2g

:

Si se cumplepuug = 1 se obtiene la ecuacin utilizada en [1], ECM = m

p2p1 + u1u

2g .

Con la ecuacin (1.9) se puede calcular la energa del centro de masa para una colisin de dos

partculas en un espacio curvo conociendo solamente sus momentos cannicos respectivos.

1.1.2. ECM mxima en una colisin en la mtrica de Schwarzschild

Para obtener una ECM mxima en la colisin es necesario que las partculas choquen con una

velocidad tangencial mxima, la cual depende nicamente del momento angular inicial (li) de la

partcula. A este momento angular se le llama momento angular crtico (lc), ver gs. 1.1 y 1.2. Y ste

corresponde al momento angular que genera la ltima trayectoria la cual cae al agujero negro (o la

primera que tiene un punto de retorno).

4

1.2. FORMALISMO LAGRANGIANO PARA LA PARTCULA MASIVA CON ESPN YSUS ECUACIONES DE MOVIMIENTO.

Por lo tanto se puede calcular lc imponiendo ur = 0 (usando las ecuaciones (1.106) a la (1.108)

con s = 0, y que mu = P) y luego resolviendo para r, se encuentran dos soluciones,

ur =1

r2

pr(2r2M + 2l2M rl2) = 0

)r = l4M

1

pl2 16M

: (1.10)

La partcula cae al agujero negro si no existe solucin real para r (o tendr un punto de retorno si

la solucin es real). Se quiere un l = lc para el cual ur = 0 tenga solucin nica, de modo que sea la

partcula con el momento ms grande que logra caer al agujero negro y de esta manera alcance al

horizonte de eventos. Considerando lo anterior,

lc = 4M : (1.11)

Por otra parte, la energa crece a medida que la colisin se aproxima al horizonte de eventos, por lo

que la energa ser mxima cuando r ! 2M

Emaxcm = lmr!2M

Ecmu1(l

+c ); u2(l

c )= 2p5m: (1.12)

1.2. Formalismo Lagrangiano para la partcula masiva con

espn y sus ecuaciones de movimiento.

1.2.1. Formalismo en el espacio-tiempo plano de Minkowski

A. J. Hanson y T. Regge en 1974 desarrollaron un formalismo lagrangiano para una partcula

masiva con espn en un espacio-tiempo plano (Minkowskiano). En su trabajo, The Relativistic Sp-

herical Top [2], se consideran a la partcula como un elemento del grupo de Poincar (x(); ())

donde x() representa la posicin en el espacio-tiempo de la partcula (siendo un parmetro arbi-

trario que indica la posicin en la linea de universo de la partcula) y la matriz de transformacin de

Lorentz, (), describe la rotacin de la partcula y su orientacin. Esta matriz satisface

=

= (1.13)

=

= : (1.14)

5


Las velocidades son denidas por

_x() dx()

d= u() (1.15)

y la velocidad angular, con seis componentes independientes

= _ = ; (1.16)

donde _() d()d .

Se construye el Lagrangiano L = L(a1; a2; a3; a4) como una funcin de las cuatro invariantes

a1 = uu (1.17)

a2 = (1.18)

a3 = uu

(1.19)

a4 = det =1

16(); (1.20)

donde =12

, con 0123 = 1. Tambin quieren que el Lagrangiano sea invariante bajo una

-reparametrizacin como en el caso sin espn, para lo cual exigen que ste sea homogneo de grado

uno en la velocidad u.

Variando la accin S =RLd

S =

ZL d =

Z@L

@uu +

1

2

@L

@ d (1.21)

(el factor 12 es debido a la antisimetra de ) y haciendo uso de u = _x y

= _ + ; (1.22)

donde

= = ; (1.23)

se encuentran las ecuaciones de movimiento como coecientes de las variaciones arbitrarias x y

6


, las cuales son, respectivamente

_P = 0 (1.24)

_S = S S= Pu uP ; (1.25)

donde

P = @L@u

(1.26)

S = @L@

= S; (1.27)

son los momentos cannicos conjugados.

Debido a que S tiene seis grados de libertad, lo restringen a los tres grados fsicos que debe

tener la partcula, en su sistema de referencia en reposo, imponiendo

SP = 0: (1.28)

Por otra parte demuestran que

m2 = PP (1.29)

s2 =1

2SS (1.30)

son constantes de movimientos, las cuales se interpretan como la masa (m) y el espn (s) de la

partcula respectivamente. Se muestra tambin que estas dos cantidades conservadas cumplen una

relacin,

m2 = f(s2); (1.31)

la cual se llama trayectoria de Regge. Y el conocimiento de f permite encontrar un Lagrangiano

explcito que cumple la relacin ecuacin (1.28).

Es bueno ver que de las ecuaciones (1.25), (1.28) y (1.29) se tiene que

u =uP

m2P ; (1.32)

de modo que ujjP:

7


La restriccin SP = 0 implica que la partcula tiene slo las tres componentes del momento

angular usuales en su sistema de referencia en reposo, por lo tanto es necesario buscar un gauge

el cual restrinja las seis componentes independientes de , de modo que slo aparezcan los tres

ngulos de Euler en el marco en reposo, y de este modo la partcula tenga las propiedades fsicas

correctas. Ellos eligen

0 =P

m(1.33)

como el gauge consistente con SP = 0.

Trayectoria de la partcula con espn en el espacio-tiempo de Minkowski

Se puede calcular la trayectoria de la partcula expandiendo la ecuacin de movimiento (ecua-

cin (1.25)) en coordenadas cartesianas, con z = 0 por simplicidad

P tux utP x = 0 (1.34)P xuy uxP y = 0 (1.35)P tuy utP y = 0 ; (1.36)

resolviendo para ux=ut = dxdt y ux=ut = dydt , stas quedan

dx

dt=

P x

P t

dy

dt=

P y

P t: (1.37)

Debido a la ecuacin (1.24), x = y = 0, por lo tanto la partcula se mueve en una linea recta.

Del constraint SP = 0 y las constantes de movimiento, ecuaciones (1.29) y (1.30), en coor-

denadas cartesianas (con z = 0 por simplicidad), se pueden obtener las componentes explicitas del

tensor de espn. Se tiene

StxP x + StyP y = 0 (1.38)

StxP t + SxyP y = 0 (1.39)

SxyP x StyP y = 0 (1.40)P t2 (P x)2 (P y)2 = m2 (1.41)

(Sxy)2 Sty2 Stx2 = s2 ; (1.42)

8


resolviendo se encuentra

Sxy = smP t (1.43)

Sty = smP x (1.44)

Stx = smP y : (1.45)

Con el motivo de visualizar el efecto del gauge ecuacin (1.33), se observa el momento en reposo

P0= P

0 = m

0

0 = m

000 ; (1.46)

donde la comilla hace referencia al sistema de referencia en reposo (recordar que como ujjP , ~P =0! ~u = 0), y corresponde a la delta de Kronecker. Por lo que

St0x0 = St

0y0 = 0 (1.47)

Sx0y0 = s; (1.48)

como debera ser en dos dimensiones espaciales.

1.2.2. Formalismo en un espacio-tiempo curvo

Un ao ms adelante, en su tesis doctoral [3], S. Hojman generaliza el formalismo de Hanson y

Regge a espacios curvos. En este trabajo se describe a la partcula en un espacio-tiempo por su

posicin x(), donde es un parmetro arbitrario que denota la posicin en la linea de universo. Pero

a diferencia de Hanson y Regge, en ves de las transformaciones de Lorentz, se considera una ttrada

de vectores ortonormales ligados a la partcula,

e(a)() ; (1.49)

donde (a) = 0; 1; 2; 3 denota cul vector se est considerando y no tiene un carcter tensorial, mien-

tras que indica la componente del vector considerado. Estos cuatro vectores crean un marco de

referencia ligado a la partcula, contienen la informacin de su rotacin y satisfacen

(ab) = e(a)e

(b)g

g = e(a) e

(b) (ab) ; (1.50)

9


donde (ab) = (ab) = diag(1;1;1;1) y g es una mtrica del espacio-tiempo curvo, como por

ejemplo la mtrica de Schwarzschild

g =

0BBBBBB@

12M

r

0 0 0

0 12Mr 1 0 00 0 r2 00 0 0 r2 sin2

1CCCCCCA ; (1.51)

donde M es la masa del agujero negro mientras (r; ; ) corresponden a coordenadas esfricas.

Debido a la ecuacin (1.50) slo seis componentes de la ttrada son independientes, lo cual es

consistente con el nmero de parmetros del grupo de Lorentz.

Se generaliza la denicin de velocidades de [2] como

u dx

d(1.52)

De(a)

De(a)

D=

de(a)

d+ e

(a)u

; (1.53)

donde =12g

(g; + g; + g;) son los smbolos de Christoel (donde A; @A@x ).

La velocidad angular ahora se dene como

(ab)e(a)De(b)

D= ; (1.54)

y usando las ecuaciones (1.50) y (1.54) se puede escribir como

De(a)

D= e(a) : (1.55)

De la misma manera que antes, se construye el Lagrangiano L = L(a1; a2; a3; a4) como una

funcin de las cuatro invariantes

a1 = uu (1.56)

a2 = (1.57)

a3 = uu

(1.58)

a4 = det ; (1.59)

10


y hace a la accin S =RLd -reparametrizable, imponiendo que

L(a1; a2; a3; a4) = (a1)12L1

a2=a1; a3=(a1)

2; a4=(a1)2: (1.60)

Para variar la accin dene de forma conveniente

= (ab)e(a)De(b) =

(ab)e(a)

e(b) +

e

(b)x

= : (1.61)

Tambin de forma anloga al espacio plano (ecuacin (1.63)), se puede probar que

D = + x +

x (1.62)

=D

D() + gR ux : (1.63)

Y deniendo los momentos cannicos conjugados como

P = @L@u

(1.64)

S = @L@

= S ; (1.65)

se obtienen las ecuaciones de movimiento, como coecientes de las variaciones arbitrarias x y

, al variar la accin (o Lagrangiano)

DL =@L

@uDu +

1

2

@L

@D (1.66)

(el factor 12 es debido a la antisimetra de ) y utilizando Du = u + u

x y D

(ecuacin (1.63)) las ecuaciones de movimiento quedan

DP

D= 1

2Ru

S (1.67)

DS

D= S S = Pu uP : (1.68)

Se puede demostrar que

m2 = PP (1.69)

s2 =1

2SS (1.70)

siguen siendo constantes de movimiento [3, 4].

11


Se imponen las mismas restricciones y gauges que usa Hanson y Regge

SP = 0 (1.71)

e(0) =P

m(1.72)

x0 = : (1.73)

Se puede encontrar la relacin que tiene el momento cannico y la velocidad derivando la restriccin

ecuacin (1.71) y usando las ecuaciones de movimiento (ecuaciones (1.67) y (1.68)),

DS

DP + S

DPD

= 0

PuP u P P| {z }m2

12SRu

S = 0 ; (1.74)

por lo tanto

u = AP B ; (1.75)

donde A 1m2uP y B 12m2SRuS = gB.

Recordando que la eleccin ecuacin (1.72) es tomada para restringir los tres grados de libertad

de la partcula de modo que sean los ngulos de Euler en su sistema de referencia en reposo, y de

este modo tenga las propiedades fsicas correctas. Es decir

S(ab) = e(a) Se(b) = e

(0)

=0z }| {SP=m+ S

(ij) = S(ij) (1.76)

S(0b) = 0 : (1.77)

Pero ahora en el caso curvo el marco de referencia ligado a la ttrada no implica un sistema donde

la partcula est en reposo, debido a que el momento cannico P ya no es paralelo a la velocidad u

(ver ecuacin (1.75)). Tambin vale notar que la energa medida en este sistema de laboratorio est

dada por E = P (t) = m, lo cual resulta un poco extrao ya que se esperara que E > m, debido a

que las velocidades son distintas de cero (ver ecuacin (1.75)). Pero ahora se considera a la partcula

en reposo cuando P = 0.

12


Vectores de Killing

La variacin de un tensor bajo una traslacin innitesimal a lo largo de un vector se conoce

como la Derivada de Lie. La cual se dene para un tensor02

como

LT = T; + T

; + T

; ; (1.78)

o especcamente para el tensor mtrico

Lg = g; + g

; + g

;

= ; + ; : (1.79)

Por lo tanto, si la derivada de Lie de g es nula,

; + ; = 0 ; (1.80)

quiere decir que existe una simetra en el espacio-tiempo a lo largo del vector . A este vector de

le llama Vector de Killing, y a la ecuacin (1.80), ecuacin de Killing. Tambin gracias al teorema de

Noether se sabe que debe existir una cantidad conservada ligada a esta simetra.

Como ejemplo, a continuacin se deducen las cantidades conservadas asociadas a los vectores de

Killing en el caso sin espn;

Variando la accin bajo

x = (1.81)u = ;u = ;u + u = ;u ux ; (1.82)

se intenta formar una derivada total para demostrar que esta variacin es una simetra. Entonces al

variar la accin,

S =

Zds = m

Z puu d =

ZLd ; (1.83)

13


se obtiene

L(u) =@L

@uDu

= mupu2

u + u

x

= mup

u2

;u ux +ux

=

mpu2

uu; (1.84)

por antisimetra de ; (ecuacin (1.80)), y la simetra de uu

L = 0 =dK

d: (1.85)

De esta manera, si satisface la ecuacin de Killing, x es simetra. Por su parte, variando el

Lagrangiano on shell,

L =

*

0D

D

@L

@u

x +

d

d

@L

@ux

= d

d

@L

@u: (1.86)

Ahora restando las ecuaciones (1.85) y (1.86) (S S = 0)

0 = LK Lonshell = dd

@L

@ux

(1.87)

=) C = P ; (1.88)

se obtiene la cantidad conservada asociada a los vectores de Killing.

Considerando lo anterior, el Lagrangiano para la partcula con espn tambin tiene cantidades

conservadas asociadas a las simetras del espacio, dadas por los vectores de Killing n (n representa

un vector en especco). Estas cantidades fueron encontradas por Hojman en [3], y pueden deducirse

a partir del teorema de Noether (C. Armaza y N. Zalaquett). Estn dadas por

C n Pn 1

2Sn; ; (1.89)

donde C n es la constante asociada al n-simo vector de Killing, y ; D

Dx .

14


Trayectorias en el plano ecuatorial de un agujero negro de Schwarzschild para

la partcula con espn

Se necesita imponer el movimiento en el plano ecuatorial, para esto se hace = 2 ) P =0; sin = 1; cos = 0. Y tambin esta eleccin implica que el momento angular intrnseco sea perpen-

dicular al plano ecuatorial, S = 0 [3].

Se necesitar los siguientes componentes independientes de los smbolos de Christoel y del tensor

de Riemann:

rrr = M

r(r 2M)rtt =

M(r 2M)r3

ttr =M

r(r 2M)r = (r 2M)

r =1

r(1.90)

Rtrtr =2M

r3

Rtt = M(r 2M)r2

Rrr =M

r 2M (1.91)

Haciendo uso de la mtrica (ecuacin (1.51)) para expandir las cantidades conservadas (ecuacio-

nes (1.29), (1.30) y (1.89)), y la ecuacin (1.71), se obtienen las siguientes ecuaciones que permiten:

E =

1 2M

r

P t M

r2Str (1.92)

j = r2P + rSr (1.93)

m2 =

1 2M

r

(P t)2

1 2M

r

1(P r)2 r2(P)2 (1.94)

s2 = (Str)2 r21 2M

r

(St)2 + r2

1 2M

r

1(Sr)2 (1.95)

0 =

1 2M

r

1P rStr + r2PSt (1.96)

0 =

1 2M

r

P tStr + r2PSr ; (1.97)

15


donde E y j son la energa y el momento angular total de la partcula respectivamente.

De las ecuaciones (1.96) y (1.97) se obtiene

Str = r (r 2M) P

P rSt (1.98)

Sr =(r 2M)2

r2P t

P rSt ; (1.99)

y ahora reemplazando Str y Sr en la ecuacin (1.95), factorizando y comparando con la ecua-

cin (1.94) s2 queda

s2 =

St

2(r 2M)2(P r)

2

r 2M

r

P t2 r

r 2M(P r)

2 r2 P2| {z }m2

=) St = Pr

(r 2M)s

m: (1.100)

Reemplazando St (ecuacin (1.101)) en las ecuaciones ecuacin (1.98) y ecuacin (1.99) se obtienen

las componentes del tensor de espn en funcin de los momentos cannicos

St = Pr

(r 2M)s

m(1.101)

Str = r smP (1.102)

Sr = (r 2M)r2

s

mP t : (1.103)

Ahora reemplazando Str y Sr en las ecuaciones (1.92) y (1.93), quedan respectivamente

E =(r 2M)

rP t Ms

rmP (1.104)

j = r2P (r 2M) srm

P t : (1.105)

Finalmente de las ecuaciones (1.94), (1.104) y (1.105) se obtienen los momentos cannicos para

una partcula con masa m, spin s, energa inicial E y momento angular total j, en la mtrica de

16


Schwarzschild con masa M .

P t =mr

r3mE sMj

(r3m2 Ms2)(r 2M) (1.106)

P =mr (mj sE)(r3m2 Ms2) (1.107)

P r = 1r

q(r 2M) [m2 r + (r 2M) (P t)2 r3 (P)2] : (1.108)

Por conveniencia para el prximo captulo, se pueden reescribir estas ecuaciones considerando a

la partcula en reposo en el innito y considerando los momentos angulares por su unidad de masa.

En r ! 1 se tiene que P = 0, P t = E y P r 6= 0. Ahora imponiendo el reposo (P r = 0),se obtiene E = m. Tambin es conveniente considerar s y j, en unidades de m. Esto es haciendo el

cambio sm ! s y jm ! j. Con estas consideraciones las ecuaciones quedan

P t =mr

r3 sMj

(r3 Ms2)(r 2M) (1.109)

P =mr (j s)(r3 Ms2) (1.110)

P r = mr

vuut(r 2M)"r + (r 2M)P tm

2 r3

P

m

2#(1.111)

= mr

vuut(r 2M)"r + r2 (r3 sMj)2(r3 Ms2)2 (r 2M)

r5 (j s)2(r3 Ms2)2

#(1.112)

Hay que tener en cuenta que slo hay dos casos de ecuaciones. Los signos en P t y P, no sonindependientes, si en uno es + en el otro igual. Notar tambin que la ambigedad en los signos est

siempre junto al espn. Esto quiere decir que los dos casos de soluciones son equivalentes dependiendo

cmo interpretemos el signo que se escoja para s.

Ahora para calcular las velocidades se vale de las ecuaciones de movimiento (ecuaciones (1.67)

y (1.68)), los smbolos de Christoel (ecuacin (1.90)) y las componentes del tensor de Riemann

(ecuacin (1.91)).

17


Deniendo g r2Mr y g0 @g@r 2Mr2 , para = 2 , las ecuaciones para el momento quedan

_P t +g0

2gP r _t+

g0

2gP t _r g

0r2St _ g

00

2gStr _r = 0 (1.113)

_P r +gg0

2P t _t grP _ rg

0

2Sr _ gg

00

2Str _t g

0

2gP r _r = 0 (1.114)

_P +1

rP r _+

1

rP _r +

g0

2rgSr _r gg

0

2rSt _t = 0 ; (1.115)

y el tensor de espn

_Str + P r _t P t _r grSr _ = 0 (1.116)_St + P _t P t _+ 1

rStr _+

1

rSt _r +

g0

2Sr _t = 0 (1.117)

_Sr + P _r P r _+ 1rSt _r +

gg0

2St _t g

0

2gSr _r = 0 : (1.118)

Ahora derivando ecuaciones (1.101) a la (1.103) stas quedan

_Str = sm

P _r + r _P

_St =

sP r

mrg

g0

g+

1

r

_r s

mgr_P r

_Sr = sP t

mr

g

r g

0

r

_r sg

r_P t; (1.119)

luego reemplazando las ecuacin (1.119) en las ecuaciones (1.114), (1.115), (1.117) y (1.118). Tambin

tomando _t = 1) dt = d, quedan cuatro ecuaciones y cuatro incgnitas: _P r, _P, _r y _. Eliminando_P r y _P se obtienen las velocidades de la partcula,

dr

dt=

P r

P t(1.120)

d

dt=

2rm2 s2rg00(2rm2 s2g0)

P

P t

=

r3m2 + 2Ms2

(r3m2 s2M)

P

P t: (1.121)

18

Captulo 2

Clculo analtico de ECM mxima

para s 0

0; = Pt =

m2ut

uP =

m2ut

utP t ~u ~P : (2.1)

19

CAPITULO 2. CLCULO ANALTICO DE ECM MXIMA PARA S

2.2. MOMENTO ANGULAR CRTICO TOTAL

Ahora invocando el principio de equivalencia y reemplazando (a)(b) = e(a)e

(b)g se obtiene la

energa como

) ECM =qPT P

T g = m

p2

r1 +

P1 P2 g

m2: (2.7)

La ecuacin (2.7) permite calcular la energa del centro de masa en la colisin conociendo las trayec-

torias independientes de ambas partculas, pero cuidando de imponer las condiciones iniciales tales

que las partculas se encuentren en un punto del espacio.

2.2. Momento angular crtico total

Al igual que en el captulo 1.1.2, para que la energa sea mxima, es necesario determinar un

momento angular crtico para el cual las partculas colisionan lo ms horizontal posible.

Para el caso con espn se puede realizar el mismo procedimiento usado para obtener la ecua-

cin (1.11), pero ahora calculando un momento angular total crtico jc y aproximando a primer orden

en torno a sM = 0. Por otra parte, al ser la velocidad radial proporcional al momento cannico (ver

ecuacin (1.120)), es equivalente imponer P r = 0 a ur = 0.

Realizando una expansin en Taylor a primer orden alrededor de s=M en la ecuacin (1.112) (caso

+, y recordar que s es el espn por unidad de masa),

(P r)2 r

2

m2(r 2M) r2

r 2M j2

r r +

2jM2

(r 2M)r 2jM

r

s

M(2.8)

P r = 0

=) r 14M

2sj + j2

pjp4js2 4sj2 + j3 16M2j + 48sM2

1

4M

2sj + j2

pjp4sj2 + j3 16M2j + 48sM2

: (2.9)

Para una solucin nica es necesario que 4sj2+j316M2j+48sM2 = 0. Con esta condicin se obtieneuna expresin para el momento angular crtico,

j1c = 4M +1

2s+O

s2

M2

j2c = 4M +

1

2s+O

s2

M2

j3c = 3s+O

s2

M2

; (2.10)

21

CAPITULO 2. CLCULO ANALTICO DE ECM MXIMA PARA S

2.3. ENERGA MXIMA DEL CENTRO DE MASA

o ambas con la misma trayectoria (j1 = j2 = j). Respectivamente:

ECM (L1 = 0; L2 = 0) = 2m (2.16)

ECM (j1 = j; j2 = j) = 2m: (2.17)

Para el clculo analtico, se aproxima ECM (ecuacin (2.15)) mediante una expansin en Taylor a

primer orden alrededor de s1=M y s2=M (s1 y s2 espines para P1 y P2 respectivamente) y luego

calculando el lmite en el horizonte de eventos, se obtiene

lmr!2M

ECM m32M2

(j1 j2)p16M2 + (j1 j2)2

16M(j1 j2) 16M2(s1 s2) + (s1j1 s2j2)(j1 + j2) + 256M

3

(j1 j2): (2.18)

Por supuesto para s1 = s2 = 0 se obtiene el caso sin espn ([1]):

lmr!2M

ECM =m

2

r16M2 + (j1 j2)2

M2: (2.19)

Ahora para obtener la energa mxima se considera j1 = j1c (= 4M+

12s1) y j2 = j

2c (= 4M+ 12s2)

en ecuacin (2.18) y se conservan los trminos de primer orden en s1 y s2

EmaxCM 2p5m+

p5

10

m

M(s2 s1) (2.20)

= Emax

CM + Emax

CM

(s2 s1)20M

(2.21)

= Emax

CM

1 +

(s2 s1)20M

; (2.22)

donde Emax

CM = 2p5m es la energa mxima para una colisin sin espn en Schwarzschild (ecua-

cin (1.12)). Tambin notar que Emax

CM no depende de la masa del agujero negro, y recordar que

s es el espn sobre la masa en reposo de la partcula (ver el cuadro 2.1 para tener una idea de los

rdenes de magnitud).

De la ecuacin (2.22) se ve que para s1 = s2 el espn no contribuye a la energa del centro de

masa a primer orden, mientras que para s1 = s = s2 hay una contribucin positiva o negativadependiendo del signo de s,

EmaxCM Emax

CM

1 +

s

10M

: (2.23)

23

CAPITULO 2. CLCULO ANALTICO DE ECM MXIMA PARA S 7;34 1065 m > 1;77 106 mNeutrino 1;24 1070 m2 < 9;2 1063 m < 1;41 108 mElectrn 1;24 1070 m2 6;764 1058 m 1;92 1013 mLa Tierra 1;45 102 m2 4;434 103 m 3;27 mFotn masivo 2;47 1070 m2 < 1;33 1074 m 9;259 103 m

Notas: El espn de la Tierra se considera como s = I w, donde w es la velocidad angularterrestre y I su tensor de inercia [5]. Las cotas para la masa del neutrino estn dadas en [6].

Este aumento en la energa es debido a un incremento en la velocidad angular de las partculas

producido por la interaccin espacio-espn. En la ecuacin (2.14) se puede ver que jL1c j aumenta cuandos1 < 0 y jL2c j aumenta cuando s2 > 0, y como se argument en la seccin anterior (captulo 2.2), unaumento en L incrementa la velocidad angular de la partcula.

En el cuadro 2.2 se puede observar que la contribucin porcentual que otorga el espn a la energa

es insignicante, llegando como mximo a un nano por ciento de Emax

CM para el caso de un neutrino

lo menos masivo posible.

En los clculos del cuadro 2.2 se consider la masa del agujero negro del orden de diez veces la

masa solar, pero tericamente se sabe que un agujero negro puede existir teniendo una masa mayor

o igual a la masa de Planck mh (ver cuadro 2.3). En este caso el clculo anterior carece de sentido,

debido a la aproximacin considerada.

Cuadro 2.2: Energa para diferentes partculas de prueba.

Tipo de Partcula Energa en eV Energa en U.G. % de EmaxCM

Neutrino > 2;46 101 > 3;28 1064 m 100 + 1;77 109Neutrino < 3;09 10 < 3;28 1064 m 100 + 1;41 1011Electrn 2;27 106 3;03 1057 m 100 + 1;92 1016La Tierra 1;10 1064 1;46 10 m 100 + 3;27 103Fotn masivo 8;73 107 < 1;16 1069 m 100 + 1;95 108

Notas: Las energas son calculadas con la ecuacin (2.23), para un agujero negro de masa 10M (vercuadro 2.3). Los dos neutrinos corresponden a las cotas inferiores y superiores de su masa.

24

2.3. ENERGA MXIMA DEL CENTRO DE MASA

Cuadro 2.3: Cantidades fsicas en unidades geometrizadas.

Cantidad Valor en SI Valor geometrizado

c 2;998 108 m s1 1G 6;674 1011 m3kg1s2 1~ 1;055 1034 kg m2 s1 2;47 1070 m2me 9;109 1031 kg 6;764 1058 mmp 1;673 1027 kg 1;242 1054 mm~ 2;177 108 kg 1;613 1035 m

Mluna 7;34 1022 kg 5;45 105 mM 5;972 1024 kg 4;434 103 mM 1;988 1030 kg 1;476 103 mM 10M 1010 M 104 m 1013 m

Mprim m~ Mluna 1;613 1035 m 5;45 105 meV 1;602 1019 J 1;334 1063 m

Notas: En la tabla, c es la velocidad de la luz en el vaco, G la constante de gravitacin universal y~ la constante de Planck reducida. mey mp denotan las masas del electrn y protn respectivamente,por su parte m~ es la masa de Planck. Mientras que M, M y M se reeren a las masas de laTierra, el Sol y un agujero negro respectivamente. ([7], p. 187).

La energa para agujeros negros primordiales.

Si se observa P t, P y P r (ecuaciones (1.109), (1.110) y (1.112)), se ve que existe una divergencia

diferente al horizonte de eventos dada por

Ms2 r3 = 0 : (2.24)

De la ecuacin (2.15) es fcil ver que esta divergencia tambin estar reejada en la energa del centro

de masa. Pero para que la singularidad contribuya a nuestro problema es necesario que est fuera

del horizonte de eventos, de modo que se debe cumplir

M

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