Tesis de Licenciatura Teorema de Cartan - K...

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Departamento de Matematica

Tesis de Licenciatura

Teorema de Cartan - Kahler

Manuel Puebla

Director: Fernando Cukierman

Fecha de Presentacion

Agradecimientos

Primeramente, quisiera agradecer a mi director, Fernando Cukierman. No solopor aceptarme como alumno sino tambien por todas esas largas charlas de Matemati-ca en el bar y los tantos cientos de tıtulos de libros que intercambiamos a lo largode estos anos. Por compartir su forma de ver la matematica conmigo y proponermeeste tema de Tesis.

Segundamente, a Jorge Devoto y Cesar Massri por aceptar ser jurados de estaTesis de Licenciatura.

Quiero agradecer al Seminario de Geometrıa Algebraica, espacio que me ha reci-bido y del cual he aprendido a sentirme parte con el correr de los anos: Fede, Ariel,Cesar, Manuel, Javi, Osvaldo, Martın, Juliana y Matıas. .

Quisiera tambien agradecer a mis companeros de mi extensa y discontinua cur-sada, por todos esos mates y tardes resolviendo guıas: Lau, Carito, Solange, Magalı,Mara Georgina, Hernan, Lucas, Rosi, Fran, Martina, Pablo, Guille, Manolo, Gabriel.A Fede, por esa cursada de Algebra III y el final de Diferencial que preparamos jun-tos. A La Logia: el Pollo, Zadu, Ariel, Marco.

En el plano personal, quiero agradecer a mi familia, por el apoyo incondicionalen este largo recorrido hasta la defensa de esta Tesis. A mi viejo Carlos y a mi viejaSusana, quienes con paciencia infinita, el dıa de hoy me ven recibirme. A mi hermanaPaula, que me banco en todas. A Lujan, por estar siempre ahı, desde que tengo usode razon.

A mis amigos de toda la vida: MMRY, N-Fede, Burger, Pocho, el Cabezon,Boli, Mati, Mauri, por todas esas canciones que supimos conseguir en los dıas deurgencia. A los chicos de Ranelagh: Tiabu, Tanque, Pais, Tobi, Kakune, TTK, elRuso, el Tano. A Paly, Nico y Frankie.

A Ceci, por todos estos anos de amistad, cafes y los infinitos ((¡recibite Manuel!))que finalmente dieron resultado: mil gracias, Ce.

A Charly Di Fiore, Nico Sirolli, y a Pancho Kordon, por esas charlas en Brasil yen todos lados.

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A Adrian Grassi, por el trabajo conjunto de todos estos anos, desde el medio delmar de regreso a la costa.

Por ultimo, quisiera agradecer tambien a todos los matematicos y profesores queme alentaron a estudiar matematica en esos tiempos de dudas, cuando era alumnotodavıa en Facultad de Ingenierıa: sin su consejo sincero y animo constante hoy noestarıa aca. In order of appearance: Ernesto Aljinovich, Adriana Cabanna, RafaelGarcıa, Sebastian Grynberg, Roberta Hansen, Graciela Gonzalez, Miguel Calzon,Nora Peralta, Isabel Pustilnik, Anıbal Amoreo, Daniel Prelat, Fernando Chorny,Alicia Scarfiello.

Nada de esto hubiera sido posible sin ustedes.

Gracias... maximales.

A mis viejos.

Indice general

Introduccion 1

1. Sistemas Diferenciales Exteriores 21.1. Sistemas Diferenciales Exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Fibrados de jets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Grassmanianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4. Metodo de los moving frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Elementos integrales 262.1. El Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2. Elementos integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3. El Test de Involutividad de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3. Teorema de Cartan-Kahler 503.1. Discusion preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2. Teorema de Cartan-Kahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4. Sistemas lineales Pfaffianos 674.1. Sistemas lineales Pfaffianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2. Tableau y sımbolo de un sistema lineal Pfaffiano . . . . . . . . . . . . 704.3. Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.4. Cartan-Kahler y sistemas lineales Pfaffianos . . . . . . . . . . . . . . 774.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.6. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

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Introduccion

Esta tesis da una demostracion detallada del Teorema de Cartan-Kahler, piezacentral de la Teorıa de Sistemas Diferenciales Exteriores en el contexto analıticoreal.

En el primer capıtulo de esta tesis, definimos el concepto de sistema diferencialexterior a partir del estudio de varios ejemplos. Definimos los conceptos de varie-dad integral de un sistema diferencial exterior, condicion de independencia. Damoslas definiciones locales para los fibrados de jets de aplicaciones entre variedades ytambien para grassmanniannas asociadas a una variedad suave. Comentamos unade las construcciones clasicas de Cartan en la aplicacion de la teorıa de EDS a lageometrıa de superficies en el espacio euclıdeo tridimensional: el fibrado de frames.

En el segundo capıtulo, estudiamos el concepto de elemento integral de un sis-tema diferencial exterior. Tales objetos pueden pensarse como variedades integralesinfinitesimales de un EDS. Estudiamos la geometrıa diferencial basica del espacio deelementos integrales para una dimension fija mediante la introduccion de nociones depuntos Kahler-ordinarios y puntos Kahler-regulares, para luego investigar las rela-ciones de incidencia entre elementos integrales de diferentes dimensiones. Definimostambien la involutividad de Cartan para un sistema diferencial exterior y proba-mos el llamado Test de Involutividad de Cartan, que permite detectar banderas deelementos integrales Kahler-regulares.

En el tercer capıtulo, damos una demostracion rigurosa del teorema de Cartan-Kahler, discutiendo previamente la necesidad de sus hipotesis y dando luego variosejemplos sencillos de aplicacion.

En el cuarto y ultimo capıtulo de esta tesis, definimos los sistemas lineales Pfaf-fianos y comentamos algunas de sus caracterısticas y construcciones relacionadas,para dar una version del teorema de Cartan-Kahler en este caso particular. Da-mos algunos ejemplos de aplicacion y concluımos el capıtulo con comentarios sobreprolongacion de sistemas diferenciales y el alcance del test de Cartan.

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Capıtulo 1

Sistemas Diferenciales Exteriores

En la actividad matematica, comoen cualquier otra actividadhumana, uno debe encontrar unbalance de valores: no hay dudaque es importante razonarcorrectamente, pero es aun masimportante saber formular losproblemas correctos.

Elie Cartan

1.1. Sistemas Diferenciales Exteriores

Nomenclatura. Antes de comenzar, fijemos algunas notaciones. Consideremosuna variedad diferenciable Σ de dimension n y su fibrado cotangente T ∗Σ, cuyasfibras en un punto x ∈ Σ son los espacios cotagentes T ∗x (Σ). A partir de T ∗Σ,construimos el fibrado ΛT ∗Σ, cuyas fibras son

ΛT ∗x =∑

ΛpT ∗x ,

y tienen una estructura de algebra graduada. Cada uno de estos sumandos directospuede pegarse, fibra a fibra, resultando en subfibrados ΛpT ∗Σ. Para cada p, unaseccion del fibrado

ΛpT ∗Σ→ Σ

es llamada una forma diferencial de grado p, o simplemente una p-forma. Tambien,llamaremos forma diferencial (a secas) a una seccion del fibrado ΛT ∗Σ; su com-ponente p-esima sera sencillamente una p-forma. Todas las secciones consideradasseran de tipo C∞, a menos que se indique explıcitamente lo contrario.

Al conjunto de secciones C∞ de ΛpT ∗Σ lo denotaremos Ωp(Σ), y escribiremos

Ω∗(Σ) =⊕

Ωp(Σ).

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CAPITULO 1. SISTEMAS DIFERENCIALES EXTERIORES 3

Ciertamente, Ω∗(Σ) es un anillo bajo ∧. Un ideal I ⊂ Ω∗(Σ) que satisface dα ∈ Ipara todo α ∈ I se dice un ideal diferencial de Ω∗(Σ). Diremos que un tal idealI esta generado (o tambien diferencialmente generado) por una coleccion finita deformas diferenciales G = α1, . . . , αk si toda forma θ ∈ I puede escribirse como

θ = γ1 ∧ α1 + · · ·+ γk ∧ αk + ν1 ∧ dα1 + · · ·+ νk ∧ dαk

para ciertas γi, νi ∈ Ω∗(Σ). Usaremos la notacion I = Gdiff. En cambio, si todaθ ∈ I puede escribirse como

θ = γ1 ∧ α1 + · · ·+ γk ∧ αk

para ciertas γi ∈ Ω∗(Σ), diremos que I esta algebraicamente generado por G yusaremos la notacion I = Galg. Evidentemente

α1, . . . , αkdiff = α1, . . . , αk, dα1, . . . , dαkalg

.Recordemos que la graduacion de formas produce una escritura

I =⊕Ip

donde Ip = I ∩Ωp(Σ) es un ideal homogeneo de p-formas, su componente de gradop. En lo siguiente, haremos uso de la notacion I := I1 y cuando sea conveniente,consideraremos a I como un subfibrado de T ∗Σ.

Estamos listos para dar la definicion del principal objeto de estudio de esta tesis.

Definicion 1.1.1. Un sistema diferencial exterior en una variedad suave Σ es unpar (Σ, I) donde I es un ideal diferencial de Ω∗(Σ). Una variedad integral de un talsistema es una subvariedad inmersa f : M → Σ tal que f ∗(α) = 0 para toda α ∈ I.

Usualmente, pensaremos a una variedad integral de (Σ, I) como una subvariedadf : M → Σ donde f es simplemente la inclusion yM verdaderamente un subconjuntode Σ que hereda estructura diferencial de manera bonita; ası la condicion ((f ∗(α) = 0para toda α ∈ I)) la nombraremos dicendo simplemente ((α = 0 para toda α ∈ I)).

El origen mismo de la teorıa de sistemas diferenciales exteriores se encuentra enel trabajo del matematico y astronomo aleman Johann Friedrich Pfaff (1765-1826).Alrededor de 1814, Pfaff considero el problema de hallar soluciones al sistemas deformas

α1 = 0, . . . , αr = 0 αi ∈ Ω1(Σ) 1 ≤ i ≤ r (1.1)

A raız de su trabajo en este problema, Carl Gustav Jacobi (1804-1851) acuno elnombre ((ecuaciones Pfaffianas)) para tales sistemas, y ((problema de Pfaff)) al proble-ma de integracion. Trabajos de Feodor Dehanna (1815-1841), August Leopold Cre-lle (1780-1855), Jacobi, Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917), Sophus Lie (1842-1899) y Gaston Darboux (1842-1917) estuvieron centrados alrededor del problema


de Pfaff. En su trabajo ((On certain differential expressions of the Pfaff problem))

(1899), Cartan probo que todo sistema de ecuaciones direfenciales en derivadas par-ciales podıa formularse en terminos de un sistema de ((ecuaciones Pfaffianas)) y a lolargo de una serie de trabajos (la mayorıa de ellos publicados entre 1899 y 1902)desarrollo una metodologıa nueva para la investigacion de esos sistemas, basada enel uso intensivo de algebra multilineal y calculo exterior.

En 1877 Frobenius consiguio una condicion necesaria y suficiente para que unsistema Pfaffiano admita variedades integrales de dimension maxima; tal resultadoes conocido hoy dıa como teorema de Frobenius y a los sistemas que cumplen esacondicion se los llamo ((completamente integrables)). Sin embargo, en sus trabajos((On integration of systems of exact equations))(1901) y ((On the structure of infinitegroups of transformations))(1904-1905), Cartan fue mas alla: se dedico a investigarsistemas Pfaffianos que no eran completamente integrables. Siguiendo la nomencla-tura de Lie, quien hablaba de ((sistemas de ecuaciones invotutivos)), Cartan definio alos ((sistemas Pfaffianos en involucion)) como los sistemas de formas de grado 1 queposeıan variedades integrales, no necesariamente de ((dimension maxima)). Resul-ta que el concepto de involutividad es uno de los mas importantes de la teorıa desistemas diferenciales y tambien uno de los mas difıciles de comprender.

Cartan baso su teorıa en un resultado clasico en la teorıa de ecuaciones diferen-ciales en derivadas parciales, el Teorema de Cauchy-Kowalevski, valido solo en lacategorıa analıtica. En este contexto, ademas de encontrar condiciones necesarias ysuficientes para la involucion de un sistema Pfaffiano, Cartan establecio un criterioaritmetico que medıa la existencia de variedades integrales de una dimension dada atraves de un entero, el ((genero)) de un sistema, tambien llamado ((entero de Cartan));el mismo criterio establece ademas ((el grado de arbitrariedad)) de tales variedades.

Cartan aplico esta teorıa en su trabajo ((The Pfaffian systems with five variablesand partial differential equations of second order))(1910). Aquı, estudio un siste-ma de dos ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, retomando un problemaplanteado por Edouard Goursat (1858-1936). Tambien aplico la teorıa de sistemasPfaffianos en involucion al estudio de las llamadas transformaciones de Backlund, ala Teorıa de la Relatividad y al estudio de la geometrıa de subvariedades de espacioshomogeneos.

Fue Erich Kahler (1906-2000) quien extendio y generalizo la teorıa de Cartande sistemas Pfaffianos en involucion a sistemas con formas diferenciales de gradoarbitrario, en su libro ((Introduction to the theory of systems of partial differentialequations))(1934); Cartan mismo celebro el trabajo de Kahler e incluso adopto lanotacion de este al publicar una exposicion sistematica y exhaustiva de su teorıa yla de Kahler en el libro ((Exterior differential systems and their geometric applica-tions))(1945).

Es ası como una de las principales fuentes de ejemplos para la teorıa de siste-mas diferenciales exteriores es el estudio de ecuaciones diferenciales con metodosgeometricos. Fue Elie Cartan quien vio la utilidad de las formas diferenciales paracodificar relaciones entre funciones y sus derivadas, desentendiendose de las corde-nadas utilizadas y empleando definiciones intrınsecas. Los proximos ejemplos permi-


tiran ilustrar naturalmente dos conceptos importantes: el fibrado de jets entre dosvariedades y la condicion de independencia de un sistema diferencial exterior.

Ecuaciones diferenciales ordinarias Veamos como los EDS permiten codifi-car situaciones bien conocidas en la teorıa de ecuaciones diferenciales. Comencemoscon un problema sencillo: encontrar, si es posible, la integral de una ecuacion diferen-cial ordinaria. Para atacar este problema, tenemos a nuestra disposicion el teoremade Picard:

Teorema de Picard. Consideremos R2 con coordenadas (x, y). Sea f : R2 → R unafuncion continua, con derivada continua respecto de y. Entonces dado (x0, y0) ∈ R2,existe un intervalo abierto J = (a, b) alrededor de x0 y una funcion y = y(x) definidaen J que verifica

dy

dx= f(x, y)

y(x0) = y0

(1.2)

Aun mas, toda otra solucion de este problema de valores iniciales debe coincidircon la funcion y en el intervalo J .

No es difıcil interpretar este resultado en terminos de variedades diferenciales:consideremos Σ = R2 con su estructura diferenciable estandar y coordenadas globa-les a las funciones x, y. Es claro que el grafico de la solucion del problema es tangenteen cada punto al campo vectorial

X =∂

∂x+ f(x, y)

∂

∂y

Este campo entonces captura entonces la ecuacion diferencial en un sentidogeometrico: toda solucion de (1.2) da lugar a una curva integral de X - una fun-cion c : J → R2 tal que c′(x) = Xc(x). Ahora bien, un calculo directo muestra quelas curvas integrales c de X son exactamente aquellas curvas que anulan a la formaθ = dy − f(x, y)dx bajo el pullback: c∗(θ) = 0. Definiendo I = θdiff, entonces elsistema diferencial exterior (Σ, I) caracteriza el problema de valores iniciales en elsiguiente sentido:

las soluciones de (1.2) estan en correspondencia uno a uno con las variedadesintegrales de (Σ, I) que verifican c∗(dx) 6= 0

Sistemas de ecuaciones en derivadas parciales Ataquemos ahora un pro-blema mas complejo: el problema de resolver un sistema de ecuaciones diferencialesen derivadas parciales. Sea U ⊂ R2 un conjunto abierto, conexo, no vacıo y sobreU , el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

ux = A(x, y, u)

uy = B(x, y, u)(1.3)


donde A y B son funciones suaves dadas, por simplicidad definidas en todo R3.Teniendo disponible el Teorema de Picard, uno podrıa pensar en resolver este

problema de a una variable a la vez: es decir, resolver este sistema de PDE re-solviendo una sucesion de problemas de valores iniciales ordinarios. En concreto: siquisieramos resolver el sistema alrededor del origen , pondrıamos y = 0, u(0, 0) = u0,con lo que aplicarıamos el Teorema de Picard al problema

du

dx= A(x, 0, u), u(0) = u0 (1.4)

para obtener una funcion u. Luego, para cada x, volverıamos a invocar el Teoremade Picard para resolver ahora el problema

du

dx= B(x, y, u), u(x, 0) = u(x) (1.5)

Esto determina una funcion u de variables x, y en algun entorno del origen.Ahora bien - ¿es esta u una solucion a nuestro problema (1.3)? A priori, esta solu-cion esta sujeta a una condicion de compatibilidad: sus derivadas parciales debenconmutar. Utilizando el sistema (1.3), esta condicion de compatibilidad resulta

Ay +BAu = Bx + ABu (1.6)

en cada punto donde u este definida. ¿Como se captura esta condicion en terminosgeometricos?

Para ver esto, R5 equipado con coordenadas (x, y, u, p, q). El sistema (1.3) defineuna subvariedad j : Σ → R5 dada por

Σ = (x, y, u, p, q) ∈ R5 : p = A(x, y, u), q = B(x, y, u)

.Equipemos ahora a R5 con las siguientes formas diferenciales,

θ := du− p dx− q dy, Ω := dx ∧ dy

definidas globalmente e investiguemos que nos dicen estas formas diferenciales sobrelas subvariedades de dimension dos de R5. Tomemos una superficie i : S → R5

tal que i∗Ω 6= 0 en cada punto de S. Como dx, dy son 1-formas linealmente inde-pendientes, podemos usar x, y como funciones coordenadas sobre S, de modo talque

S = (x, y, u, p, q) ∈ R5 : u = u(x, y), p = p(x, y), q = q(x, y)

para ciertas funciones u, p, q definidas en R2.¿Que sucede cuando i∗θ ≡ 0 sobre S? En ese caso, el pullback de θ a S resulta

eni∗du = p dx+ q dy.

Ademas, como sobre S u es funcion de x e y, tenemos que

du = uxdx+ uydy


La independencia lineal de dx, dy da como conclusion p = ux y q = uy en S.Como i∗θ se anula identicamente, resulta que d(i∗θ) ≡ 0 sobre S. Ahora bien,

la diferencial conmuta con el pullback, por lo cual obtenermos que i∗(dθ) ≡ 0 en S.¿Que significa esto? Recordemos que como estamos considerando subvariedades deR5, los pullbacks de formas diferenciales los entendemos como la restriccion de lasformas a las subvariedades. Ası, veamos que obtenemos con el pullback de la formadθ a S.

Primero, recordamos que dθ = −dp ∧ dx − dq ∧ dy. Cuando restringimos estaforma a Σ, obtenemos

j∗(dθ) = (Ay −Bx)dx ∧ dy − Audu ∧ dx−Budu ∧ dy

Ahora, restrigiendo esta forma a S y recordando que du = Adx + Bdy y que Ω =dx ∧ dy, tenemos que

i∗(dθ) = (Ay −B − x+ AuB − ABu)i∗(Ω)

Es decir, las condiciones i∗(dθ) ≡ 0, i∗(Ω) 6= 0 sobre S implican que se satisfacenlas condiciones de compatibilidad (1.6). Definiendo I := θdiff concluimos:

existe un correspondencia uno a uno entre las soluciones del sistema (1.3)y lasvariedades integrales f : S → Σ de (Σ, I) que verifican f ∗(Ω) 6= 0 en S

Estos dos ejemplos ilustran una estrategia general para tratar problemas de enla teorıa de ecuaciones diferenciales desde una perspectiva geometrica: buscamosprimero una variedad suave M lo suficientemente grande como para ((representar))al sistema de ecuaciones diferenciales como una subvariedad suave Σ; las solucionesdel sistema vendran dadas por subvariedades de Σ sobre las cuales ciertas formasdiferenciales distinguidas se anulan.

Observemos tambien que ademas de trabajar con el ideal diferencial I, traba-jamos con una forma diferencial cerrada descomponible - en el primer ejemplo, laforma era simplemente dx, mientras que en el segundo, era la forma Ω = dx ∧ dy.Tales formas se conocen como condiciones de independencia y nos proporcionanuna forma de pensar ((variables independientes)) con respecto a las cuales podemosparametrizar subvariedades integrales de (Σ, I). Formalmente, tenemos la siguiente

Definicion 1.1.2. Una condicion de independencia de grado k para sistema dife-rencial exterior (Σ, I) viene dada por una clase de equivalencia de k-formas definidapor

(i) Ω y Ω son equivalentes siΩ ≡ f Ω;mod I

donde f es una funcion no nula;

(ii) localmente, la clase [Ω] es representable por una forma descomponible

Ω = ω1 ∧ · · · ∧ ωk

donde las ωi son 1-formas; y


(iii) Ωx /∈ Ix para todo x ∈ Σ.

En terminos intrınsecos, bajo condiciones de rango constante sobre I (el sumandodirecto de grado uno de I) podemos pensar una condicion de independencia comodada por un subfibrado adicional de J ⊂ T ∗Σ tal que

I ⊂ J ⊂ T ∗Σ

rango(J/I) = k.(1.7)

Desde esta perspectiva, las ωi dadas antes son secciones locales de J que inducenuna base de J/I y entonces Ω representa una seccion nunca nula de Λk(J/I). Usual-mente trabajaremos de manera local y pondremos simplemente Ω = ω1 ∧ · · · ∧ ωk,sobreentendiendo que estamos hablando de una clase de equivalencia: usualmen-te quedara sobreentendida cual es la condicion de independencia utilizada en cadacontexto; de no ser ası, utilizaremos la notacion (Σ, I,Ω).

Definicion 1.1.3. Una variedad integral de un EDS (Σ, I) con condicion de inde-pendencia Ω sera una subvariedad inmersa f : M → Σ tal que

(i) f : M → Σ es una variedad integral de (Σ, I);

(ii) f ∗(Ω) es nunca nula en M .

En la siguiente seccion vamos a formalizar los argumentos presentados en losultimos dos ejemplos dando la definicion del fibrado de jets entre dos variedadessuaves, concepto fundamental para el estudio de la teorıa de EDS.

1.2. Fibrados de jets

En esta seccion vamos a definir el fibrado de jets de mapeos entre dos variedadessuaves M,N . De alguna manera, el fibrado de jets puede pensarse como ((el espaciode todas las derivadas parciales de mapas entre variedades)). Esta construccion sedebe a un notable alumno de Elie Cartan, Charles Ehresmann (1905-1979) quiendesarrollo esta idea como una formalizacion de las construcciones empleadas porCartan en sus trabajos sobre ecuaciones diferenciales a principios del siglo XX. Laintroduccion de los fibrados de jets fue clave en el desarrollo de una teorıa formal deecuaciones diferenciales, que florecio gracias a la irrupcion de metodos homologicosa mediados del siglo XX. La descripcion que daremos en esta seccion sera brevey apenas tocara la definicion elemental y apuntara hacia una descripcion local,que nos permitira hacer algunas cuentas luego en terminos de coordenadas. Paraun tratamiento en profundidad, recomendamos al lector consultar el libro de J.F.Pommaret Systems of partial differential equations and Lie Pseudogroups, [1].

Antes de dar la primera definicion de la seccion, fijemos algunas convencionespara alivianar la notacion. Consideraremos multi-ındices λ = (λ1, . . . , λn) ∈ Nn

0 conentradas no decrecientes, es decir λi ≤ λj ∀ i ≤ j y convenimos |λ| = λ1 + · · ·+ λn.


Ademas, dado x ∈ Rn, pondremos f(0,...,0)(x) = f(x) para λ = (0, . . . , 0) y en casocontrario

fλ(x) :=∂|λ|f

∂(x1)λ1 · · · ∂(xn)λn(x).

Estamos listos para comenzar.

Definicion 1.2.1. Consideremos Rn con coordenadas estandar x1, . . . , xn, un abier-to U alrededor de un punto p y sea r ∈ N0. Diremos que dos campos

f : U → R y g : U → R

tales que f(p) = g(p) tienen el mismo r-jet en p si

fλ(p) = gλ(p) ∀ λ tal que 1 ≤ |λ| ≤ r,

En otras palabras, dos campos f, g tendran el mismo r-jet si sus polinomios deTaylor de orden r alrededor de p coinciden.

Es inmediato ver que ((tener el mismo r-jet alrededor de un punto p)) es unarelacion de equivalencia. Para escribir que f y g son equivalentes bajo esta relacionusaremos la notacion f

r←→ g y para notar la clase de equivalencia de un campoescalar f usaremos

[f ]rp = (p, f(p), fλ(p)) para 1 ≤ |λ| ≤ r

.Por ejemplo, consideremos en R2 con coordenadas (x1, x2) la funcion definida

por f(x1, x2) = 3−x1−2x2 +(x1)2 +x1x2 +2(x2)2 alrededor del origen. Si queremoscodificar la informacion de primer orden de f , miraremos su 1-jet calculando susderivadas parciales en el origen:

f(0,0)(0, 0) = 3, f(1,0)(0, 0) = −1, f(0,1)(0, 0) = −2,

y ası su clase de equivalencia sera [f ]1(0,0) = (0, 0, 3,−1,−2) En cambio, si quere-mos distinguir informacion de segundo orden, tendremos que computar ademas susderivadas de segundo orden

f(1,1)(0, 0) = 2, f(1,2)(0, 0) = 1, f(2,2)(0, 0) = 4,

con lo que su 2-jet alrededor del origen sera [f ]2(0,0) = (0, 0, 3,−1,−2, 2, 1, 4).Esta definicion puede extenderse de manera evidente a campos de vectores f, g :

Rn → Rm si hacemos uso de sus componentes: f y g tienen el mismo r-jet alrededorde un punto p si y solo si sus componentes son campos escalares con el mismo r-jetalrededor de p. Formalmente, tenemos la siguiente


Definicion 1.2.2. Consideremos Rn con coordenadas estandar x1, . . . , xn, un abier-to U alrededor de un punto p y sea r ∈ N0. Diremos que dos campos de vectores

f : U → Rm y g : U → Rm

tienen el mismo r-jet alrededor de p si

f ir←→ gi para 1 ≤ i ≤ m,

donde f = (f 1, . . . , fm), g = (g1, . . . , gm).

Vamos a usar la notacion fr⇐⇒ g a campos equivalentes en este sentido y ahora

la clase de f la escribiremos [[f ]]rp, siendo,

[[f ]]rp = (p, f(p), f 1λ(p), . . . , fm(p)λ)

Con 1 ≤ |λ| ≤ r. Estamos ahora en condiciones de definir el r-jet de mapassuaves entre variedades diferenciales N y M a traves de sus formas locales.

Definicion 1.2.3. Sean N,M variedades suaves y sea p ∈ N . Dadas dos aplicacionessuaves f, g : N →M , diremos que tienen el mismo r-jet en un punto p si

Ψ f Φ−1 r⇐⇒ Ψ g Φ−1

para todo par de cartas (U,Φ), (V,Ψ) alrededor de p ∈ N y q ∈M respectivamente.

Es facil ver que esta relacion es una relacion de equivalencia bien definida: nodepende de las cartas utilizadas. Notaremos a la clase de una f : N → M con elsımbolo

jrp(f)

.Conjuntısticamente, ya podemos definir el espacio de r-jets de N a M . Sean

p ∈ N, q ∈M . Definamos

Jrp,q(N,M) = jrp(f) | f(p) = q, f diferenciable

y pongamos ahora

Jr(N,M) =⋃

p∈N,q∈M

Jrp,q(N,M)

.De alguna manera, construimos una variedad diferencial que codifica a las fun-

ciones diferenciables entre N y M y las distingue segun su informacion analıtica a((traves de su polinomio de Taylor)). El espacio de jets se entiende ası como el espaciode ((las aplicaciones suaves y sus derivadas parciales)).

Introduzcamos ahora las proyecciones

αr : Jr(N,M)→ N y βr : Jr(N,M)→M


definidas porαr(jrp(f)) = p y βr(jrp(f)) = f(p).

Daremos una topologıa sobre Jr(N,M) especificando una base de abiertos utilizandoestas proyecciones y abiertos de N y M . Para esto, sea U un cubrimiento abierto deN y V un cubrimiento abierto de M . La base de abiertos para Jr(N,M) vendra dadapor la coleccion

W : W = (αr)−1(U) ∩ (βr)−1(V ) | U ∈ U , V ∈ V

Para definir coordenadas locales y dar una estructura diferenciable sobre Jr(N,M),emplearemos la estructura suave de las variedades subyacentes: siendo que los puntosen el espacio de jets se distinguen por su contenido analıtico, esta misma caracteri-zacion de las clases de equivalencia daran las coordenadas locales buscadas. Para veresto, sean (U,Φ), (V,Ψ) cartas de N y M alrededor de p y q = f(p) respectivamentey consideremos el abierto basico W = (αr)−1(U)∩ (βr)−1(V ). En W queda definidaentonces una aplicacion

h : W → Rn+m(n+rr )

dada porh(jrp(f)) = [[f ]]rp.

En la practica, trabajaremos directamente en coordenadas sobre el espacio der-jets, omitiendo por completo su definicion en terminos de clases de equivalencia.

Varias construcciones estandar de geometrıa diferencial son expresables en termi-nos de los espacios de jets. Por ejemplo, el espacio cotangente T ∗p para p ∈ N esta de-finido por

J1p,0(N,R)

y el diferencial de una funcion a valores reales definida en un entorno de p vienedado por

df |p = j1p(f − f(p)).

Ciertamente, la estructura vectorial viene inducida desde la recta real, dado que

aj1p(f) + bj1

p(g) = j1p(af + bg).

De manera analoga, tenemos la siguiente identificacion para el espacio tangente enun punto

Tp(N) = J10,p(R, N)

En particular, tomando uniones sobre los puntos base, tenemos los fibrados tangentey cotangente, que podemos identificar con subconjuntos de los fibrados de jets:

T ∗(N) =⋃p∈N

T ∗p (N) ⊂ J1(N,R), T (N) =⋃p∈N

Tp(N) ⊂ J1(R, N).

Sistema de contacto en el espacio de jets y teorıa formal de ecuacio-nes diferenciales Hasta ahora, hemos apenas descripto el espacio de r-jets entre


dos variedades suaves, y definido su estructura suave. Definamos ahora un sistemadiferencial exterior sobre Jr(N,M), llamado comunmente sistema de contacto.

Lo haremos dando generadores para el ideal diferencial sobre Jr(N,M). Consi-derando un ligero cambio de notacion para los puntos de un r-jet, tomemos coor-denadas xi, ua, paλ para ındices 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ a ≤ s y multiındices λ de longitudmenor o igual a r, donde

paλ = faλ(x)

Los generadores vendran dados por la siguiente la coleccion de 1-formas

θa = dua − pai dxi

θai = dpai − paijdxj

...

θai1,...,ik−1= dpai1,...,ik−1

− pai1,...,ikdxik

y si utilizamos una notacion de multiındices λ, el sistema diferencial exteriorquedara definido por

Ωr(N,M) = θaλ = dpaλ − paλ,jdxj | 1 ≤ |λ| ≤ r − 1, 1 ≤ j ≤ n, 1 ≤ a ≤ sdiff.

Las formas de este ideal se llaman formas de contacto, y aparecen naturalmenteen el estudio de ecuaciones diferenciales. Veamos algunos casos concretos para fijarideas.

Ejemplo 1.2.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer ordenConsideremos una ecuacion diferencial ordinaria de primer orden para funciones

de una variable y = y(x),

F (x, y,dy

dx) = 0 (1.8)

Esta ecuacion puede modelarse como una subvariedad del espacio de 1-jetsJ1(R,R): tomando coordenadas x, y, p para el espacio de jets y definiendo

Σ = (x, y, p) ∈ J1(R,R) | F (x, y, p) = 0.

La forma diferencial θ = dy − pdx define el sistema contacto canonico Ω1(R,R) =θdiff. El pullback de este ideal a Σ define un sistema diferencial exterior cuyasvariedades integrales codifican las soluciones de la ecuacion (1.8).

Dado que dim(J1(R,R)) = 3, muchos de los resultados geometricos son directa-mente visualizables; de hecho, las relaciones entre la geometrıa de Σ y las propiedadesde las soluciones de (1.8) fueron estudiadas por muchos matematicos, notablementepor Euler. En gran parte, el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias puedeenmarcarse en este lenguaje: por ejemplo es posible castear conceptos clasicos como


el de ((solucion singular)) en terminos del estudio de las singularidades del morfismode proyeccion π : J1(R,R) → R2 que envıa un punto (x, y, p) ∈ Σ al punto delgrafico de y dado por (x, y). Una referencia en ese sentido es el libro de V.I. Arnold,((Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations)), [10].

Ejemplo 1.2.2. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primerorden. Supongamos que tenemos una ecuacion diferencial parcial de primer ordenpara una funcion u = u(x1, . . . , xn) dada por

F (x1, . . . , xn, u,∂u

∂x1, . . . ,

∂u

∂xn) = 0 (1.9)

Una tal ecuacion la podemos modelar como una subvariedad del espacio de 1-jetsJ1(R,R); tomando coordenadas xi, u, pj, codificamos la ecuacion (1.9) a traves dela subvariedad

Σ = (xi, u, pj) ∈ J1(Rn,R) | F (xi, u, pj) = 0

El sistema de contacto vendra generado por la 1-forma θ = du − pjdxj Ası,

el pullback de Ω1(Rn,R) = θdiff a Σ permite cofidicar soluciones de (1.9) comosubvariedades de este sistema diferencial exterior.

Este caso volvera a aparecer a lo largo de esta tesis: dara la pauta de la estrategiaa seguir en el problema de encontrar variedades integrales para sistemas diferencialesen general. Es uno de los modelos sobre los cuales podremos entender los diferentesconceptos que surjen en la teorıa de Cartan y de hecho, gran parte de los sistemasdiferenciales exteriores de interes pueden reducirse a un sistema de contacto comoel recien descripto.

Este caso es tratado con todo detalle, en un lenguaje elemental, en el tercervolumen de la obra ((Analisis Matematico)) de Don Julio Rey Pastor, Pedro Pi Callejay Cesar Trejo, [11]. Allı hacen un recorrido pormenorizado no solo de las ideas queconducen a la necesidad de la introduccion de espacios de jets, sino que tambien,en la tradicion clasica, se exponen con toda rigurosidad metodos de integracion deecuaciones diferenciales, sus teorıas de singularidades y una breve clasificacion desus soluciones.

Ejemplo 1.2.3. Ecuacion de Burger Para tener un caso concreto del ejemplo an-terior, tomemos la ecuacion de Burger: una ecuacion diferencial muy importante enmatematica aplicada y fundamentalmente en Fısica, dado que aparece en el estudiode mecanica de fluidos, acustica no lineal, dinamica de gases y flujo de trafico. Laecuacion inviscida de Burger es uno de los modelos de ((ecuaciones de conservacion));

ut = uux (1.10)

Consideremos J1(R2,R) con coordenadas x, t, u, p, q. La ecuacion de Burger de-fine entonces la subvariedad

Σ = (x, t, u, p, q) ∈ J1(R2,R) | q − pu = 0


La forma de contacto θ = du−pdx− qdt que genera Ω1(R2,R), al ser restringidaa Σ resulta (omitimos notacion de pullback y mantenemos el mismo nombre para laforma)

θ = du− pdx− qdt = du− pdx− pudt

Definiendo sobre Σ al ideal I = θdiff y la condicion de independencia Λ =dx ∧ dt, tenemos que las soluciones de (1.10) seran las variedades integrales de(Σ, I,Λ).

Ejemplo 1.2.4. Ecuacion de Laplace Un ejemplo de una ecuacion de ordensuperior viene dado en R2 con coordenadas x, y por la ecuacion de Laplace

uxx + uyy = 0 (1.11)

En este caso como la ecuacion es de segundo orden, podemos modelarla comouna subvariedad de J2(R2,R): tomando coordenadas (x, y, u, p, q, r, s, t) tendremos

Σ = (x, y, u, p, q, r, s, t) ∈ J2(R2,R) | r + t = 0

y el sistema de contacto para J2(R2,R) vendra dado por

Ω2(R2,R) = du− pdx− qdy, dp− rdx− sdy, dq − sdx− tdydiff

Este ideal dice basicamente que sobre variedades integrales, interpretamos r =uxx, s = uxy, t = uyy. La condicion de independencia la notaremos Λ = dx ∧ dy.Cuando restringimos el sistema de contacto a Σ tenemos el ideal diferencial

I = du− pdx− qdy, dp− rdx− sdy, dq − sdx+ rdydiff

Luego, las soluciones de (1.11) seran las variedades integrales de (Σ, I,Λ).

Ahora bien, este no es el unico modo de codificar esta ecuacion diferencial. Esposible modelarla en una variedad mas pequena a costa de incluir en el ideal di-ferencial formas de grado superior. Para ver esto, observemos que si tenemos unavariedad integral N de I, entonces

dp = rdx+ sdy, dq = sdx− rdy

con lo cual tomando wedge con dy, dx a izquierda obtenemosdp ∧ dy = rdx ∧ dydq ∧ dx = rdx ∧ dy

Ası, resulta que Ψ = dp ∧ dy − dq ∧ dx se anula identicamente sobre N , yrecıprocamente, es facil mostrar si se anulan las formas du− pdx− qdy,Ψ sobre N ,entonces todas las formas de I se anulan.


Logramos de este modo codificar la misma ecuacion diferencial en J1(R2,R), unavariedad de dimension 5 a costo de considerar un ideal diferencial que contenga ungenerador de grado dos: el ideal diferencial que empleamos esta dado por

J = du− pdx− qdy,Ψdiff.

Esta situacion es tıpica de las llamadas ecuaciones de Monge-Ampere, tipo deecuaciones del cual la ecuacion de Laplace es un caso particular. Las ecuaciones deMonge-Ampere son ecuaciones de la forma

Auxx + 2Buxy + Cuyy +D + E(uxxuyy − u2xy) = 0

donde A,B,C,D,E con funciones de x, y, u, ux, uy y las derivadas del lado iz-quierdo de esta ecuacion respecto de uxx, uxy, uyy no son simultaneamente cero.

Ejemplo 1.2.5. Sistemas de ecuaciones diferenciales y curvas complejas.Consideremos Σ = C2 con coordenadas z = x + iy, w = u + iv. Pongamos I =ϕ1, ϕ2diff, donde ϕ1 y ϕ2 denotan respectivamente la parte real y la parte imagi-naria de

dz ∧ dw = dx ∧ du− dy ∧ dv + i(dx ∧ dv + dy ∧ du).

Como I no contiene formas de grado uno, cualquier curva real en C2 es una curvaintegral de I. Veremos que una superficie real N ⊂ C2 es una variedad integral de Isi y solo si es una curva compleja. Si dx, dy son linealmente independientes sobre N ,entonces x, y funcionan como coordenadas sobre N y podremos describir (al menoslocalmente) esta superficie como un grafico

N = (x, y, u(x, y), v(x, y))Ahora bien, esto implica que sobre N valen las igualdades

du = uxdx+ uydy, dv = vxdx+ vydy,

con lo cual se tiene que

dx ∧ du− dy ∧ dv = dx ∧ (uxdx+ uydy)− dy ∧ (vxdx+ vydy) = (uy + vx)dx ∧ dy

y analogamente

dx ∧ dv + dy ∧ du = dx ∧ (vxdx+ vydy) + dy ∧ (uxdx+ uydy) = (vy − ux)dx ∧ dy

Estas formas no son ni mas ni menos que los generadores de I; en otras palabras

ϕ1 = (uy + vx)dx ∧ dy, ϕ2 = (vy − ux)dx ∧ dy.Como N es una variedad integral, el pullback de las 2-formas ϕ1, ϕ2 se anula

identicamente sobre esta superficie y como dx ∧ dy es no nulo, se sigue que


uy + vx = 0

vy − ux = 0

Esto dice basicamente que podemos modelar el sistema de ecuaciones de Cauchy-Riemann mediante el sistema diferencial (C2, I); las funciones holomorfas f : C→ Cvendran dadas por curvas complejas en C2 variedades integrales de este sistema.

Estos ejemplos dan una idea de la utilidad del concepto de fibrado de jets y lasformas de contacto. En este contexto, mucho se ha trabajado para lograr una teorıaformal de ecuaciones diferenciales, independiente de coordenadas. Brevemente, po-demos mencionar que una ecuacion diferencial para aplicaciones

f : N →M

puede ser descripta como una subvariedad inmersa

i : Σ→ Jr(N,M)

. Una solucion a la ecuacion diferencial sera una funcion f : N → M tal que paratodo p ∈ N satisfaga

jrp(f) ∈ i(Σ)

Introducimos el r-grafico de una aplicacion f

jr(f) : N → Jr(N,M)

por la definicionjr(f)(p) = jrp(f)

Notemos que esta aplicacion no es mas que una seccion de la proyeccion αr :Jr(N,M)→ N . Entonces el problema de encontrar soluciones a ecuaciones diferen-ciales en variedades se reduce a encontrar funciones cuyos r-graficos caigan dentrode i(Σ); el principal resultado en este sentido viene condensado en el siguiente

Teorema. Una seccion σ : N → Jr(N,M) es un r-grafico, es decir, σ(p) = jrp(f)si y solo si

σ∗(Ωr(N,M)) = 0.

La demostracion directa de este resultado y un estudio detallado del fibradode jets en lenguaje intrınseco y la teorıa formal de ecuaciones diferenciales puedeencontrarse en varias fuentes. De hecho, la teorıa de ecuaciones diferenciales en de-rivadas parciales que a principios del siglo XX fue desarrollada en varias direccionespor Vessiot y Cartan, encontro nuevo vigor a partir de mediados del siglo XX conel advenimiento de metodos homologicos en sıntesis con las ideas de Cartan, Liey Vessiot; principalmente, una serie de trabajos de H.L. Goldschmidt: ((Existencetheorems for analytic partial differential equations)) (1962), ((Prolongations of linearpartial differential equations)) (1965), ((Integrability criteria for systems of non-linear


partial differential equations)) (1969), ((On the structure of the Lie equations)) (1972),la tesis de Daniel Quillen ((Formal properties of over-determined systems of partialdifferential equations)) (1964) y el paper de Donald Spencer ((Over-determined sys-tems of linear partial differential equations)) (1965). Spencer junto a A.K. Kumberadesarrollaron tecnicas especiales para la investigacion de sistemas de ecuaciones di-ferenciales en derivadas parciales en los trabajos ((Deformation of structures of ma-nifolds defined by transitive continuous pseudogroups)) (1962-1965) y ((Lie equations:general theory)) (1972).

1.3. Grassmanianas

Otra construccion importante en la teorıa de sistemas diferenciales exteriores es elfibrado de Grassmann asociado a una variedad suave. A modo general, puede decirseque ((las Grassmannianas)) son una construccion importante para la Matematica perse: se han empleado tanto en geometrıa algebraica como en geometrıa diferencialy fısica-matematica; pueden entenderse como variedades algebraicas afines, comoespacios homogeneos, o incluso como esquemas.

El concepto general de Grassmannianas fue introducido por uno de los pionerosdel algebra lineal, el matematico y linguista aleman Hermann Gunther Grassmann(1809-1877). En el siglo XIX, Julius Plucker (1801-1868) fue uno de los adelantadosen el empleo de Grassmannianas en geometrıa proyectiva y ya en el siglo XX, tambienen un programa generalizador del trabajo de Cartan, Charles Ehresmann estudio lasGrassmannianas como espacios homogeneos.

Nuevamente, en esta exposicion nos vamos a limitar a una descripcion localde la idea de fibrado de Grassmann, que nos servira para formular el Teorema deCartan-Kahler. Dada una variedad suave Σ de dimension n + s y un punto x ∈ Σ,definamos

Gn(TxΣ) = E ⊂ TxΣ | E es un subespacio vectorial y dimE = n

Vamos a dar primeramente una topologıa a Gn(TxΣ); para esto, tomemos unacarta (U,ϕ) centrada alrededor de x y consideremos en TxΣ la topologıa inducidade Rn+s a traves del morfismo de coordenadas asociado a ϕ, Cϕ : TxΣ→ Rn+s. Seaahora la siguiente subvariedad del espacio producto

Sn(TxΣ) = (v1, . . . , vn) ∈ TxΣ× · · · × TxΣ | det(v1, . . . , vn) 6= 0Claramente, Sn(TxΣ) es un subconjunto abierto del espacio producto. Tenemos

entonces la aplicacion sobreyectiva

ρ : Sn(TxΣ)→ Gn(TxΣ)

dada por

ρ((v1, . . . , vn)) = genv1, . . . , vn.


Vamos a darle a Gn(TxΣ) la topologıa cociente inducida por esta suryeccion, conlo cual

U ⊂ Gn(TxΣ) es abierto si y solo si ρ−1(U) ⊂ Sn(TxΣ) es abierto.

Veamos como construir una estructura suave para este conjunto a partir dela estructura suave de Σ. Tomemos un E ∈ Gn(TxΣ) y supongamos que tene-mos una carta (U,ϕ) de Σ centrada alrededor de x, donde consideraremos ϕ =(x1, . . . , xn, u1, . . . , us). Sin perdida de generalidad, la carta la podemos elegir demodo tal que

E = gen ∂

∂x1, . . . ,

∂

∂xn

Por continuidad, podemos elegir un abierto V ⊂ Gn(TΣ) alrededor de E demanera tal que Ω = x1 ∧ · · · ∧ xn no se anule sobre V .

¿Como describimos entonces un E ∈ V ? Tomemos un tal subespacio y conside-remos D = v1, . . . , vn una base de E. Notemos

B = ∂

∂x1, . . . ,

∂

∂xn,∂

∂u1, . . . ,

∂

∂us

a la base de TxΣ inducida por la carta (U,Φ). Si llamamos Cϕ al morfismo de

coordenadas Cϕ : TxΣ→ Rn+s e identificamos a (E) con Cϕ(E) ⊂ Rn+s, vemos quelas imagenes de D permiten construir una matriz cuyo espacio fila es precisamenteCϕ(E) poniendo

M =

CTϕ (v1)

...

CTϕ (vn)

El rango de esta matriz es exactamente n; a traves de eliminacion Gausseana

podemos llevar M a una matriz equivalente M de la forma

M =[I

...P

]que tiene el mismo espacio fila que M . Esto significa que es posible encontrar

una base D = v1, . . . , vn para E de modo tal que para 1 ≤ i ≤ n tenemos

vi =∂

∂xi+ pai

∂

∂ua. (1.12)

De este modo, queda definida una aplicacion p : V → Rns vıa

p(E) = (pai )

Estamos listos ahora para dar una estructura suave en el fibrado de Grassmann.Definiendo


Gn(TΣ) = (x,E) | E ∈ Gn(TxΣ),

decimos que una carta adaptada a Gn(TΣ) alrededor de (x,E) vendra dada porel abierto U × V y la aplicacion

ϕ : U × V → Rn+s+ns

definida como

ϕ(x,E) = (ϕ(x), p(E));

usualmente diremos que las coordenadas locales de un E ∈ TxΣ vendran dadassimplemente por la coleccion xi, ua, paj para 1 ≤ i, j ≤ n, 1 ≤ a ≤ s.

Observacion. Las funciones pai que aparecen en (1.12) poseen una propiedadmuy importante - dan una relacion lineal entre las formas dua y las formas dxi

cuando son restringidas a un E ∈ V . Cuando v ∈ E, lo expresamos en base D

v =n∑k=1

αk(∂

∂xk+

s∑b=1

pbk∂

∂ub) (1.13)

Ahora bien, aplicando dxi a ambos lados de (1.13) tenemos que dxi(v) = αi.Esto permite escribir las dua en terminos de las dxk, pues aplicando dua a amboslados de (1.13) y usando la observacion recien hecha, concluimos que

dua(v) =n∑k=1

αkpak =

n∑k=1

pakdxk(v)

con lo cual, como v ∈ E era arbitrario, concluimos que

dua = pakdxk (1.14)

sobre todo punto de V . Tanto esta igualdad como la dada en (1.12) sirven paradefinir coordenadas en Gn(TΣ).

Sistema tautologico en Gn(TΣ). Vamos a definir ahora un sistema diferencialexterior sobre la Grassmanniana de orden n que sera de utilidad mas adelante.Para esto, consideremos una variedad suave Σ de dimension n + s y el fibrado deGrassmann

π : Gn(TΣ)→ Σ

cuya fibra Gn(TxΣ) sobre un punto x ∈ Σ es la variedad de Grassmann detodos los n-planos E ⊂ TxΣ. Dada una variedad N de dimension n y una inmersionf : N → Σ, tenemos un ((levantado canonico))


Gn(TΣ)

π

N

f∗::

f// Σ

donde f∗(y) = f∗(TyN) ⊂ Tf(y)Σ. Vamos a definir ahora un sistema diferencialexterior con condicion de independencia (L,Φ) sobre Gn(TΣ) cuyas variedades in-tegrales son localmente los levantados f∗ definidos arriba, a traves de subfibradosdel tangente

I ⊂ J ⊂ TΣ

.Sabemos que los puntos de Gn(TΣ) pueden escribirse como (x,E), donde E ⊂

TxΣ tiene dimension n. Definamos los subfibrados vıa sus secciones:

I(x,E) = π∗(E⊥)

J(x,E) = π∗(T ∗xΣ).

Como vimos en la seccion anterior, en coordenadas locales de Gn(TΣ), los espa-cios tangentes de dimension n en un x ∈ Σ verifican

dua − pai dxi = 0 para 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ a ≤ s,

dx1 ∧ · · · dxn 6= 0

Entonces el sistema (L,Φ) estara localmente generado por las 1-formas tautologi-cas

θa = dya − pai dxi

y tomaremos como condicion de independencia a la forma

Φ = dx1 ∧ · · · ∧ dxn.

Dada entonces una variedad integral

g : Y → Gn(TΣ)

definimos f = π g, con lo cual se tiene f ∗(Φ) 6= 0 y entonces podemos tomar ax1, . . . , xn como coordenadas locales en Y . En terminos de estas variables, g resultadada por la asignacion

xi → (xi, ya(x), pai (x)).

Como Y es una variedad integral, se sigue de (1.3) que

pai (x) =∂ya(x)

∂xi

como se afirmo.


1.4. Metodo de los moving frames

En esta seccion presentaremos el primer ejemplo de sistema diferencial exteriorrealmente jugoso en terminos geometricos. Vamos a construir un sistema diferencialexterior para superficies en el espacio euclıdeo que va a permitir distinguir y especifi-car diferentes condiciones geometricas de las superficies a partir del ideal diferencialdel sistema.

Esta es una de las ideas basicas del trabajo de Cartan, quien no solo estudio cur-vas y superficies del espacio euclıdeo sino que generalizo largamente estas ideas avariedades Riemannianas y espacios homogeneos, dando lugar a una coleccion deideas llamada usualmente ((metodo de los moving frames)).

Supongamos que queremos decidir cuando dos superficies en R3 son localmenteequivalentes por la accion de un movimiento euclıdeo: mas precisamente, dadas dosinmersiones f, f : U → R3, nos preguntamos:

¿cuando existen un difeomorfismo φ : U → U y una transformacion euclıdea (unaroto-traslacion) A ∈ ASO(3) de modo tal que f φ = A f?

Una manera de responder a esta pregunta es lanzarse al estudio de invarian-tes diferenciales, en este caso, dos cantidades clasicas bien conocidas: la curvaturade Gauss y la curvatura media. Para el estudio de equivalencia de subvariedadesen dimensiones mayores los invariantes a valores escalares resultan insuficientes, yusualmente se precisaran invariantes a valores en fibrados vectoriales. En esta secciondiscutiremos apenas el caso basico.

Supongamos que queremos estudiar una superficie M = f(U) ∈ R3 dada por unainmersion f : U → R2. Pongamos, para simplificar la notacion, x = f(p). Dar unframe en cada punto x ∈M es en cada punto, dar una base de R3. Evidentemente,quisieramos hacer eso de modo tal que la eleccion de frames refleje la geometrıa deM de un modo interesante: debe ser compatible con nuestra idea de equivalencia desuperficies.

En un punto x ∈ M tenemos dos espacios vectoriales distinguidos: el espaciotangente TxM y su cumplemento ortogonal. Nos va a interesar entonces dar, paracada x ∈M , tres vectores e1, e2, e3 ∈ R3 de modo tal que

(i) e1, e2, e3 es un conjunto ortonormal,

(ii) e1, e2 genera el espacio tangente TxM ,

Naturalmente, la segunda condicion es equivalente a

e3 ⊥ TxM.

Vamos a mostrar que podemos caracterizar tales frames como las variedadesintegrales de un cierto sistema diferencial exterior con condicion de independenciasobre cierta variedad, y de ese modo, entender diferentes aspectos de la geometrıade M a traves de ideales diferenciales.


El grupo ASO(3) y su forma de Maurer-Cartan. El grupo ASO(3) es elconjunto de transformaciones de R3 de la forma

x→ t+Rx

donde R es una matriz de rotacion, es decir, R ∈ SO(3). Este grupo puedepensarse como un grupo de Lie matricial, poniendo

ASO(3) = M ∈ GL(4,R) |M =

(1 0t R

), t ∈ R3, R ∈ SO(3) (1.15)

Si consideramos la proyeccion π : ASO(3)→ R3 dada por la asignacion(1 0t R

)→ t

vemos que es una aplicacion suave y que las fibras vendran dadas por

π−1(t) = (

1 0t R

).

Este morfismo es compatible por multiplicacion por matrices de la forma

(1 0

0 R

),

con R ∈ SO(3); ası tenemos que con la nocion de equivalencia bajo movimientoseuclıdeos, podemos considerar a R3 como el espacio homogeneo R3 = ASO(3)/SO(3).

Con esta nomenclatura, un frame para una inmersion f : U → R3 sera unaaplicacion suave F : U → ASO(3) tal que

ASO(3)

π

U

F;;

f// R3

conmute, es decir, π F = f .

Vamos entonces a identificar la imagen de F con el espacio de frames ortonor-males orientados de R3: a cada elemento g ∈ Im(F ) lo identificamos con la base deTxR3 compuesta por las columnas de R. Lo que resta saber es como caracterizar losframes a partir de la informacion diferencial disponible en este grupo de Lie.

Es ahora donde entra a jugar un papel especial la estructura de Lie: si uno tieneun grupo de Lie G con algebra g, tomando una base B = X1, . . . , Xn de g y subase dual B∗ = ω1, . . . , ωn de 1-formas invariantes a izquierda, se define la formade Maurer-Cartan


ωx : TxG→ g

como la 1-forma a valores en g dada por

ω = ωiXi

Veamos como se ve la forma ω en terminos de coordenadas. Un elemento genericodel algebra de de Lie de este grupo, aso(3) puede escribirse como

0 0 0 0x1 0 −x2

1 −x31

x2 x21 0 −x3

2

x3 x31 x3

2 0

donde las entradas de esta matriz son numeros reales. Si la base de 1-formas

invariantes a izquierda viene dada por ωi, ωij ⊂ Ω1(ASO(3)), entonces la formade Maurer-Cartan para ASO(3) resulta

ω =

0 0 0 0ω1 0 −ω2

1 −ω31

ω2 ω21 0 −ω3

2

ω3 ω31 ω3

2 0

(1.16)

Dos cosas para destacar: primeramente, si identificamos un elemento g ∈ G con eldifeomorfismo ((multiplicar por g a izquierda)) y hacemos las identificaciones usuales,resulta que es posible dar la diferencial dg en terminos de g y ω; en concreto,

gω = dg. (1.17)

Segundamente, es posible calcular la derivada exterior de cada 1-forma basicainvariante a izquierda algebraicamente vıa la ecuacion de Maurer-Cartan

dω = −ω ∧ ω (1.18)

En nuestro caso del grupo ASO(3), con nuestras observaciones e identificaciones,la ecuacion (1.17) resulta en

dx = ωiei

dek = ωjkej para j 6= k(1.19)

donde 1 ≤ i ≤ 3 y R =[e1 e2 e3

]. Interpretamos estas igualdades en el sentido

clasico de la geometrıa diferencial:

cuando multiplicamos por g, las ωi miden el movimiento infinitesimal del punto xen la direccion de ei y las ωij miden el movimiento infinitesimal de ej hacia ei


Esto ya nos permite definir el fibrado de frames que estamos buscando paranuestra superficie M . Tomemos un x ∈M . Por la observacion anterior,

ω3 ≡ 0←→ e3 ⊥ TxM

con los cual, los frames FON → ASO(3) adaptados a la geometrıa de M son losque verifican

i∗(ω3) = 0

i∗(ω1 ∧ ω2) 6= 0

donde la primera ecuacion da la perpendicularidad de e3 y la segunda da unaidea de la independencia de movimiento de las direcciones e1, e2 en el tangente TxM .

Podemos encontrar invariantes diferenciales para nuestra superficie si indagamosla estructura diferencial del frame, utilizando la ecuacion de Maurer-Cartan dω =−ω ∧ ω. Esta nos permitira obtener la derivada exterior de las 1-formas invariantesde manera algebraica; usando nuestras identificaciones tenemos

dwi =∑k 6=i

ωki ∧ ωk

dωji = ωki ∧ ωjk para k 6= i, j

(1.20)

donde 1 ≤ i, j, k ≤ 3.

Veamos como estas formas nos dan informacion geometrica sobre una superficie.Sobre FON tenemos que i∗(ω3) = 0, con lo cual se sigue que i3(dw3) = 0. Utilizandolas ecuaciones (1.20), vemos que

i∗(w13 ∧ ω1 + ω2

3 ∧ ω2) = 0.

Ahora bien, la independencia de ω1, ω2 y el lema de Cartan garantizan la exis-tencia de funciones hij de modo tal que hij = hji y satisfaciendo

ω13 = h11ω

1 + h12ω2

ω23 = h21ω

1 + h22ω2

Poniendo entonces θ3

1 = ω13 − h11ω

1 − h12ω2

θ32 = ω2

3 − h21ω1 − h22ω

2

se tiene que el ideal diferencial que define a nuestros frames vendra dado por

I = ω3, θ31, θ

32diff

con condicion de independencia Ω = ω1 ∧ ω2. Para tener en cuenta las funcioneshij que aparecen en la descripcion de las θ3

j , vamos a definir el sistema sobre lavariedad ASO(3)× R3

hij.


Estas funciones hij seran las que daran nuestros invariantes y estaran definidaspara todo frame en FON. Puede probarse facilmente que dos frames en un mismo xdifieren en la multiplicacion por una matriz ortogonal P ∈ SO(3); la linealidad delpullback garantiza que la matriz hF = (hij) asociada a un frame F difiere entoncesde una hF en la conjugacion por P :

hF = P−1hFP.

Luego las cantidades

H =1

2tr(h) y K = det(H)

son invariantes para nuestros frames. Tales escalares son la curvatura media(de Sophie Germain) y la curvatura de Gauss (de Gauss) respectivamente, y estandefinidas en cada punto de FON.

Es ası como las caracterısticas geometricas de las superficies en el espacio euclıdeotridimensional se plasman en ideales diferenciales definidos en espacios de frames.Veremos mas adelante que podremos describir superficies especiales describiendo lasvariedades integrales de ideales diferenciales particulares.

Comentario. Para una resena historica detallada, que rastrea el inicio de lasideas del empleo de frames y las generalizaciones de Cartan, es una referencia inelu-dible la biografıa ((Elie Cartan (1869-1951))), por M.A. Akivis y B.A. Rosenberg,[2].Los trabajos originales de Cartan sobre estas ideas pueden encontrarse en ((LesSystemes Exterieurs et leurs Applications Geometriques)),[3]. Para leer una sıntesisde las tecnicas de moving frames y geometrıa algebraica en el espacio proyectivo,es de seminal importancia el paper de P. Griffiths y J. Harris ((Algebraic geometryand local differential geometry)),[4]. En el espıritu de la escuela de geometras rusos,el libro ((Differential Geometry of Varieties with Degenerate Gauss Maps)) de M.A.Akivis y V. Goldberg,[5] da un panorama historico de estas ideas y presenta muchosresultados muy interesantes.

Capıtulo 2

Elementos integrales

Si he logrado ver mas lejos queotros, es porque me he apoyado enlos hombros de gigantes.

Isaac Newton

Ya hemos definido y dado varios ejemplos de varios sistemas diferenciales exte-riores. Ahora bien, dado un (Σ, I), ¿como hacemos para encontrar sus variedadesintegrales?

Aun para sistemas diferenciales relativamente simples, no es sencillo decidir siefectivamente el sistema posee variedades integrales. En caso de poseer, la descrip-cion de las mismas suele ser difıcil. Por eso, es de extrema utilidad contar no solocon criterios de integrabilidad, sino con formas normales que permitan presentar losideales de modo conveniente y describir sus variedades integrales con facilidad.

Como bien comentamos al en el primer capıtulo de esta tesis, son de radicalimportancia los sistemas Pfaffianos: sistemas diferenciales exteriores generados poruna coleccion finita de 1-formas. En 1877, Frobenius pudo dar una condicion deintegrabilidad necesaria y suficiente en un resultado actualmente conocido comoTeorema de Frobenius; descubrio que entre todos los sistemas (Σ, I), quizas losmas sencillos son aquellos cuyo ideal diferencial esta algebraicamente generado por1-formas.

Definicion. Diremos que el ideal I satisface la condicion de Frobenius (o simple-mente, es Frobenius) cuando esta generado algebraicamente por su sumando directode grado 1; es decir, cuando se verifica la condicion

Ialg = I

.

Si tenemos un ideal I que viene generado por un conjunto α1, . . . αn−r ⊂ Ω1(Σ)con las αj linealmente intependientes, la condicion de Frobenius se lee

dαi ≡ 0 mod I 1 ≤ i ≤ n− r

26

CAPITULO 2. ELEMENTOS INTEGRALES 27

. Geometricamente, las αi generan en cada punto x ∈ Σ un subespacio Wx ⊂ T ∗x (Σ)de dimension n − r; dualmente, un subespacio W⊥

x ⊂ Tx(Σ) de dimension r. (Daruna tal familia de subespacios del espacio tangente que varıan suavemente con xes dar lo que Chevalley llamo una distribucion C∞ sobre Σ). Es de notar que lacondicion de Frobenius es intrınseca: no depende de las coordenadas utilizadas y esinvariante por cambios lineales en las α’s con coeficientes C∞.

Un sistema diferencial exterior (Σ, I) con I Frobenius se llama completamenteintegrable, y la razon por la cual esto es ası es que luego de escribirse (localmente) deforma amigable bajo un cambio adecuado de coordenadas, sus variedades integralesposeen la ((dimension maxima posible)). Los detalles de este procedimiento, vienendados en el siguiente

Teorema de Frobenius. Sea (Σ, I) un sistema completamente integrable y seax ∈ Σ. Supongamos que I, el sumando directo de grado 1 de I, esta localmentegenerado por n− r 1-formas linealmente independientes. Entonces existe una carta(V,Φ = (y1, . . . , yn)) de Σ tal que

I = dyr+1, . . . , dynalgEsta forma normal permite describir las variedades integrales de (Σ, I) que pasan

por un punto x ∈ Σ de manera sencilla: las variedades integrales son de la forma

yr+1 = c1, . . . , yn = cn

donde las ci son constantes reales, y por lo tanto, las variedades integrales sonsubvariedades inmersas de dimension r, la maxima dimension posible (de ahı elnombre ((completamente integrable))). Usualmente, se dice que el sistema define unafoliacion de dimension r y que sus variedades integrales son las hojas de la foliacion.

Volvamos entonces al problema elemental que dio origen a la teorıa, el problemade Pfaff, y veamos como emplear el teorema de Frobenius. Para fijar ideas, conside-remos una variedad suave Σ de dimension n y un iedal diferencial dado por apenasuna forma diferencial de grado uno:

I = θdiff ⊂ Ω1(Σ)

.Es facil ver que existe un entero r que satisface

(dθ)r ∧ θ 6= 0, (dθ)r+1 ∧ θ = 0 (2.1)

Este entero lo llamaremos el rango del sistema: depende naturalmente de x ∈ Σy es invariante bajo cambio de escala. El teorema de Frobenius permite demostrarel siguiente resultado, conocido como Teorema de Pfaff

Teorema de Pfaff. Consideremos un sistema diferencial exterior (Σ, I) con Σ y Icomo antes, y tomemos un x ∈ Σ. Supongamos ademas que el rango del sistema esconstante en algun abierto alrededor de x. Entonces existe un sistema de coordenadas(U, y1, . . . , yn) alrededor de x tal que

θ = dy1 + y2dy3 + · · ·+ y2rdy2r+1


Una demostarcion de este resultado puede encontrarse en el libro que es la re-ferencia estandar para todo aquel interesado en la teorıa de sistemas diferencialesexteriores, el libro de Bryant, Chern, Gardner, Griffiths y Goldschmidt, ((ExteriorDifferential Systems)), [6]. Veamos como emplear estos resultados para aproximarnosal problema general.

2.1. El Problema de Cauchy

Ataquemos el problema general de encontrar variedades integrales de un (Σ, I)estudiando un caso particular. Supongamos que trabajamos en Rn con coordenadasx1, . . . , xn y queremos resolver una ecuacion diferencial en derivadas parciales parauna funcion u = u(x)

F (xi, u,∂u

∂xj) = 0 (2.2)

donde 1 ≤ i, j ≤ n. Como vimos en la seccion anterior, podemos modelar estaecuacion mediante una subvariedad de J1(Rn,R) tomando coordenadas estandarxi, u, pj y definiendo

Σ = (xi, u, pj) ∈ J1(Rn,R) | F (xi, u, pj) = 0

Llamemos θ al pullback a Σ de la forma de contacto canonica du − pjdxj y

Λ = dx1 ∧ · · · ∧ dxn a la condicion de independencia.Como dim J1(R2,R) = 2n + 1 y Σ es una hipersuperficie, dimΣ = 2n. Resulta

ası que por una cuestion de grados θ ∧ (dθ)n = 0. Diferenciando (2.2) obtenemos

0 = dF = Fxidxi + Fudu+ Fpjdpj

y como cuando nos restringimos a Σ tenemos du = pjdxj, resulta que

(Fxi + Fupi)dxi + Fpjdpj ≡ 0 mod θ

Esta es la unica relacion entre los diferenciales de las coordenadas en el espaciode jets en Σ, con lo que θ ∧ (dθ)n−1 6= 0 en cada punto. Por el teorema de Pfaffdiscutido al principio de este capıtulo, existen coordenadas locales en Σ tal que θ esun multiplo no nulo de

dy1 + y2dy3 + · · ·+ y2n−2dy2n−1.

Ası, resulta que esta forma anula al campo v = ∂∂y2n

: este tipo de campos esde vital importancia en el estudio de ecuaciones diferenciales, y se llaman camposcaracterısticos de Cauchy. En terminos generales, tenemos la siguiente definicion.

Definicion 2.1.1. Sea (Σ, I) un sistema diferencial exterior. Consideremos un cam-po X ∈ Γ(TΣ). Diremos que X es un campo caracterıstico de Cauchy si

Xy α ∈ I ∀ α ∈ I


La coleccion de campos de Cauchy para un (Σ, I) la notaremos A(I). Como ladefinicion de campos de Cauchy es C∞ en X, vemos que es una distribucion suavebien definida en Σ, al menos en el los abiertos donde la dimension es localmenteconstante. Aun mas: puede probarse que A(I) es cerrada bajo el corchete de Lie,lo que implica que la distribucion es involutiva en el sentido de Frobenius (ver, porejemplo, [6]). El teorema de Frobenius garantiza la existencia de una variedad suaveΣ tangente a la distribucion A(I).

La importancia de los campos caracterısticos de Cauchy para una ecuacion di-ferencial en derivadas parciales reside en que permiten reducir nuestra PDE a unsistema ODEs : para hacer esto, comenzamos tomando un variedad n−1 dimensionalL del (Σ, I) que sea transversal a v (lo que en la literatura clasica esta subvariedadse conoce como datos iniciales o datos no caracterısticos) y luego usamos el flujo alo largo de v para construir una variedad integral n dimensional.

El remarcable hecho que para una ecuacion en derivadas parciales de primer or-den tengamos dimA(I) = 1 era ya bien conocido por matematicos del siglo XIX,como Lagrage y Charpit. En terminos de las coordenadas originales de nuestro pro-blema, resulta que el campo v debe ser un multiplo de

w = Fpi∂

∂xi+ piFpi

∂

∂u− (Fxi + piFu)

∂

∂pi

Las curvas caracterısticas en J1(Rn,R), o en terminologıa clasica, las franjascaracterısticas, son las curvas integrales del sistema diferencial

dxi

Fpi= − dpi

Fxi + piFu=

du∑piFpi

. (2.3)

Estas ecuaciones se conocen historicamente como las ecuaciones de Lagrange-Charpit. Los puntos en el espacio de coordenadas xi, pi se pueden pensar comohiperplanos pidx

i = 0 en los espacios tangentes TxRn, y ası una curva en J1(Rn,R)se proyecta a una curva en el espacio de coordenadas xi, pi dando una familia uni-parametrica de hiperplanos tangentes; ese es el significado tradicional de la termi-nologıa ((franjas)).

El caso general. Si bien el ejemplo parece alentador, la situacion general esbastante mas complicada: dado un (Σ, I), puede probarse que no hay campos carac-terısticos de Cauchy, al menos genericamente. Con esto, resulta que las tecnicas deecuaciones diferenciales en derivadas ordinarias resultan insuficientes para encontrarvariedades integrales de un EDS general. Sin embargo, al menos localmemente, esposible expresar el problema en terminos de ecuaciones diferenciales en derivadasparciales. Veamos si podemos hacernos una idea de como proceder.

Sea M ⊂ Ω∗(Σ) un subconjunto arbitrario de formas diferenciales en Σ, unavariedad de dimension n+ s. Supongamos que estamos interesados en encontrar lasvariedades integrales de dimension n de M. Para simplificar la notacion pongamosındices

1 ≤ i, j, k ≤ n, 1 ≤ a, b, c ≤ s.


Elijamos coordenadas locales x1, . . . , xn, y1 . . . , ys centradas alrededor de z ∈U ⊂ Σ y usemos la condicion de independencia Ω = dx1 ∧ · · · ∧ dxn. Emplearemoscartas adaptadas sobre el abierto Gn(TU,Ω) = P ⊂ TzU | Ω|P 6= 0.

Ahora, para cada q-forma ϕ en U con q ≤ n y cada multi-ındice creciente

J = (j1, . . . , jq) con 1 ≤ j1 < j2 < · · · < jq ≤ n

definimos las funciones

Fϕ,J(P ) = ϕ(Xj1(P ), . . . , Xjq(P )). (2.4)

en Gn(TU,Ω). Vale observar que cuando expresamos las Fϕ,J en terminos de lascoordenadas xi, ya, pai , resultan funciones lineales en los menores de orden k de lamatriz p = (pai ) con k ≤ q. Ahora bien, cualquier subvariedad V ⊂ U de dimensionn que pasa por z y satisface Ω|V 6= 0 puede ser descripta en un entorno de z comoun grafico: ya = ua(x) para ciertas s funciones ua de n variables. Entonces paracada punto w = (x, u(x)) ∈ V , las coordenadas del tangente TwV ∈ Gn(TU,Ω) sonsimplemente las derivadas parciales: pai = ∂ua

∂xievaluadas en x.

Ası, llegamos a una importante conclusion: V es una variedad integral de M siy solo si la funcion u satisface el sistema el sistema de PDEs de primer orden dadopor

Fϕ,J(x, u, ∂u/∂x) = 0 (2.5)

para todo ϕ ∈M y para todo J tal que |J | = deg(ϕ) ≤ n.Es natural entonces preguntarse cuales son las herramientas disponibles para

resolver un sistema de la forma (2.5). Raramente un tal sistema puede ponerseen forma que podamos aplicar directamente los teoremas usuales de existencia deecuaciones diferenciales; aun mas, incluso en dimensiones bajas y para conjuntos deformasM relativamente simples, los sistemas de ecuaciones resultantes suelen estarsobredeterminados: hay mas ecuaciones independientes que incognitas.

No obstante, ciertos sistemas de ecuaciones de esta forma han sido tratados conexito, al menos en la categorıa analıtica durante el siglo XIX mediante metodos quegeneralizan los problemas de valores iniciales de la teorıa de ecuaciones diferencialesordinarias. Estos sistemas son los que pueden escribirse en la ((forma de Cauchy-Kowalevski)), es decir, sistemas de s ecuaciones y s incognitas ua : Rn × R → R dela forma

∂ua

∂t=∑b,i

Aabi(x, t, ub)∂ub

∂xi+Ba(x, t, ub) (2.6)

donde 1 ≤ a, b ≤ s y 1 ≤ i ≤ n.El teorema de Cauchy-Kowalevski afirma que bajo condiciones iniciales

ua(x, 0) = ga(x)

el sistema tendra solucion unica siempre y cuando tanto los coeficientes Aabi, Ba y

las condiciones iniciales ga sean funciones analıticas reales. Este tipo de problemas


son los llamados ((problemas de Cauchy)). Veamos un ejemplo para entender enque consiste la tecnica de Cartan.

Ejemplo. Un sistema de primer orden de tres incognitas y tres variables.Para tener una idea de como es la estrategia para resolver un sistema de PDE’s

en la categorıa analıtica usando una sucesion de problemas de Cauchy, consideremosel siguiente ejemplo. Consideremos R3 munido de coordenadas x, y, z; en lo siguiente,para las derivadas usemos la notacion fx = ∂f

∂x, etc.

Problema: hallar funciones analıticas u1, u2, u3 que verifiquenu3y − u2

z = u1 + v1

u1z − u3

x = u2 + v2

u2x − u1

y = u3 + v3

(2.7)

alrededor del origen, donde las vj son funciones analıticas dadas. La estrategia((Cauchy-Kovalesvkaya)) para resolver este problema es la siguiente:

(i) Seleccionamos s0 = 0 funciones de 0 variables, s1 = 1 funcion de 1 variable,s2 = 1 funcion de 2 variables y s3 = 1 funcion de 3 variables:

f 1 = f 1(x), f 2 = f 2(x, y), f 3 = f 3(x, y, z)

(ii) Hallamos una w definida en un entorno del origen de R2, solucion de la ecuaciondiferencial

wy(x, y) = −f 2x(x, y)−f 3(x, y, 0)−v3(x, y, 0), sujeta a w(x, 0) = f 1(x). (2.8)

Obsevamos que este es en efecto un problema de Cauchy: los datos inicialesvienen dados sobre la hipersuperficie (x, y) ∈ R2|y = 0 y la derivada en unadireccion trasversal a esta superficie es especificada por la ecuacion diferencial.

(iii) Hallamos la solucion del siguiente problema de Cauchy, para funciones de tresvariables

u1z = f 3

x + u2 + v2

u2z − f 3

y − y1 − v1 (2.9)

sujeto a las condiciones

u1(x, y, 0) = w(x, y), u2(x, y, 0) = f 2(x, y)

Observemos que en este caso los datos iniciales vienen dados en la hipersuper-ficie (x, y, z) ∈ R3|z = 0.

(iv) Pongamosu3 = f 3 (2.10)


Las funciones ui ası construidas efectivamente verifican las primeras dos ecua-ciones de (2.7): derivando (2.10) respecto de x y restandosela a la primera ecuacionde (2.9), vemos que se verifica la primera ecuacion del problema; derivando (2.10)respecto de z y restandole la segunda ecuacion de (2.9), tenemos la segunda. Aho-ra bien, no queda claro que las funciones construıdas verifiquen la tercera de lasecuaciones de (2.7), pues poniendo

T ≡ u2x − u1

y − u3 − v3

vemos que sobre la hipersuperficie z = 0 se verifica

T (x, y, 0) = f 2x(x, y)− wy(x, y)− f 3(x, y, z)− v3(x, y, 0) = 0

pues vale (2.8). Ahora para que T sea identicamente nula, debe sudecer entoncesque dT ≡ 0: un calculo directo muestra que una condicion equivalente es

(u1 + v1)x + (u2 + v2)y + (u3 + v3)z ≡ 0 (2.11)

Esto sugiere que para resolver el problema planteado podrıamos bien incorporarestas ((condiciones de compatibilidad)) al sistema original. Intentemos ahora eligiendouna funcion de una variable y dos funciones de dos variables:

(i*) Elegimos g1(x), g2(x, y), g3(x, y)

(ii*) Resolvemos la ecuacion diferencial

wy(x, y) = −g2(x, y)− g3(x, y)− v3(x, y, 0)

sujeta a la condicion inicial w(x, 0) = g1(x).

(iii*) Resolvemos el sistemau1z = u3

x + u2 + v2

u2z = u3

y − u1 − v1

u3z = −(u1 + v1)x − (u2 + v2)y − v3

z

(2.12)

sujeto a las condiciones iniciales

u1(x, y, 0) = w(x, y), u2(x, y, 0) = g2(x, y), u3(x, y, 0) = g3(x, y).

No es dificil ver que la terna de funciones ui ası construida efectivamente verifica(2.7).

En este ejemplo, la ((condicion de compatibilidad)) tomo la forma de una ((ecuacionextra)) que las soluciones construidas de esta manera debıan verificar. Ciertamen-te, hay muchos casos mas complicados de modelar, y en este sentido, hacia el finaldel siglo XIX se conocıan varios ejemplos de sistemas de PDE que podıan ser tra-tados con esta estrategia, siempre y cuando uno pudiera encontrar ((una cantidadsuficiente)) de condiciones de compatibilidad.


A finales del siglo XIX y principios del XX, Riquier (en 1910) y Cartan (en1899) comenzaron un estudio sistematico de este problema de compatibilidad. Elenfoque de Riquier era el de trabajar directamente con las ecuaciones del sistema dePDE planetado, mientras que Cartan, motivado por su investigacion en geometrıadiferencial y grupos de transformaciones de Lie (hoy llamados pseudogrupos de Lie)se basaba en un enfoque libre de coordenadas.

El primero de los momentos de claridad de Cartan fue efectivamente ese: ladiferenciacion parcial - que depende a priori de una eleccion de coordenadas - podıaser reemplazada por un operador de diferenciacion exterior - que no depende decoordenadas. Su metodo consistio en considerar que una coleccion de s funciones ua

de n variables xi define, a traves de su grafico, una subvariedad de Rn+s. La condicionde que estas ua sean solucion de un sistema de primer orden de PDE’s lineal enlos menores de la matriz jacobiana ∂u

∂xlo considero equivalente a que el grafico en

cuestion sea una variedad integral a una cierta coleccion M de formas diferencialesen Rn+s. Cartan propuso enconces tomar a I al ideal diferencial generado por My ası, resolver un sistma de PDE’s como los considerados a traves de una seriede problemas de Cauchy, era equivalente al de ((extender)) una variedad integralp-dimensional de (Rn+s, I) a una variedad integral de dimension p+ 1.

El segundo insight de Cartan fue darse cuenta que la condicion de que unasubvariedad M ⊂ Σ sea integral de un (Σ, I), es una condicion sobre los espaciostangentes a M . Esto lo llevo a definir el concepto de ((elemento integral)) de unsistema diferencial exterior, a saber: los elementos integrales de dimension p de(Σ, I) en un punto x son los planos E ⊂ TxΣ tales que todas las formas de I seanulan identicamente. Estos planos forman un subespacio cerrado Vp(I) de Gp(TΣ).Cartan estudio la estructura de estos subespacios y sus interrelaciones a medidaque su dimension varıa e incluso pudo encontrar una condicion que aseguraba laexistencia de variedades integrales de la dimension deseada, basado exclusivamenteen el algebra lineal de estos subespacios - en este aspecto, el teorema de Cartan-Kahler sigue la filosofıa clasica de uno de los grandes teoremas de la matematica, elTeorema de la Funcion Implıcta: si localmente el algebra lineal funciona bien, todofunciona bien.

2.2. Elementos integrales

Comenzaremos esta seccion describiendo uno de los conceptos fundamentales dela teorıa de EDS: los elementos integrales. Estos pueden pensarse como variedadesintegrales infinitesimales en un punto de la variedad.

Nomenclatura Dada Σ una variedad suave y F ⊂ C∞ es cualquier coleccion defunciones suaves en Σ, denominaremos Z(F) ⊂ Σ al conjunto de ceros comunes detodas las funciones en dicha familia. Diremos que un x ∈ Z(F) es un cero ordinariode F si existe un abierto V de x y un conjunto de funciones f 1, . . . , f q ∈ F condiferenciales linealmente independientes en V tal que

Z(F)⋂

V = y ∈ V | f 1(y) = · · · = f q(y) = 0.


Por el teorema de la funcion implıcita, Z(F)⋂V resulta ası una subvariedad

suave de codimension q en V . Observemos que el conjunto de ceros ordinarios de Fes un abierto de Z(F) en la topologıa relativa; usemos para estos ceros la notacionZ0(F). Resulta que Z0(F) es por lo general una union disjunta de subvariedadesconexas embebidas en Σ. Las componentes de Z0(F) no tienen todas la mismadimension, y la codimension de Z0(F) sobre x se define como la codimension en Σde la componente de Z0(F) que contiene a x.

En general, si A ⊂ Σ es cualquier subconjunto y x ∈ A, diremos que A tienecodimension a lo sumo q (resp. al menos q) en x si existe un abierto V alrededor dex tal que A∩ V contiene (resp. esta contenido en) una subvariedad suave embebidade V de codimension q que pasa por x. Ciertamente A tiene codimension por lomenos q y a lo sumo q en x sı y solo sı A tiene estructura de subvariedad suave decodimension q alrededor de x.

Una ultima observacion sobre la notacion: dado E ⊂ TxΣ y α ∈ I, usaremos lanotacion αE para significar a la restriccion de αx al subespacio E ⊂ TxΣ.

Definicion 2.2.1. Sea un sistema diferencial exterior (Σ, I) y un punto x ∈ Σ. Unsubespacio E ⊂ TxΣ se dice un elemento integral de I si ϕE = 0 para toda ϕ ∈ I.El conjunto de elementos integrales de dimension p lo notaremos Vp(I).

Proposicion 2.2.1. Si E es un elemento integral de dimension n de I, entoncestodo subespacio de E tambien es un elemento integral de IDemostracion. Supongamos que W ⊂ E es un subespacio de E. Si W no fuera unelemento integral, entonces existirıa una forma ϕ ∈ I tal que ϕW 6= 0. Pero entoncesϕE 6= 0, contradiciendo la hipotesis de que E es un elemento inetgral de I.

Proposicion 2.2.2.

Vp(I) = E ∈ Gn(TΣ) | αE = 0 para todo α ∈ In

Demostracion. La contencion ((⊂)) es clara. Veamos como probamos la inclusion enel sentido contrario. Debemos mostrar que si αE = 0 para todo α ∈ In, entoncesϕE = 0 para todo ϕ ∈ I. Supongamos que ϕE 6= 0 para alguna ϕ ∈ I de gradop < n. Entonces existe una η0 ∈ Λn−p(E∗) tal que ϕ ∧ η0 es una forma no nula enΛn(E∗). Sea η una forma suave de grado n− p en Σ tal que ηE = η0. Entonces ϕ∧ ηes una forma de grado n con ϕ ∧ η)E 6= 0.

Lo que nos dice esta ultima proposicion es que para cada x ∈ Σ, el conjuntoVn(I) ∩Gn(TxΣ) es una subvariedad algebraica de Gn(TxΣ). La estructura de estasubvariedad puede ser muy complicada, pero ciertamente estas indagaciones no estanen el rumbo en el que ha ido la teorıa. En la practica, los espacios Vp(I) se estudianinductivamente para deducir informacion sobre Vp+1(I).

Definicion 2.2.2. Sea E ⊂ TxΣ de dimension p. Definimos el espacio polar de Ecomo

H(E) = v ∈ TxΣ | (vyϕ)E = 0 para todoϕ ∈ Ip+1Notemos que E ⊂ H(E). El anulador de H(E) lo notaremos E ⊂ T ∗xΣ y lo llamare-mos espacio de las ecuaciones polares de E.


La relevancia de el espacio polar queda clarificada por la siguiente de proposicion.

Proposicion 2.2.3. Sea E un elemento integral de I de dimension p. Sea E+ unsubespacio de dimension p+ 1 que contiene a E. Entonces

E+es un elemento integral de I si y solo si E+ ⊂ H(E)

.

Demostracion. Supongamos que E+ = E+genv para cierto v ∈ TxΣ. Por laproposicion anterior, E+ es un elemento integral de I si y solo si ϕE+ = 0 paratoda (p+ 1)-forma ϕ ∈ I; por definicion, esta ultima condicion es equivalente a que(vyϕ)E = 0 o sea, a que v ∈ H(E), y de esto se sigue la proposicion.

Veamos algunos ejemplos sencillos en dimensiones bajas para familiarizarnoscon las definiciones.

Ejemplo 2.2.1. Consideremos en Σ = R3 coordenadas x, y, z y el ideal diferencialI = dx, dx ∧ dydiff. Dado que los generadores son formas cerradas, vemos quedx, dx∧dy sirven como generadores algebraicos del sistema. Comencemos calculandolos elementos integrales de dimension uno. Es ası que

E ∈ V1(I)⇐⇒ (dx)E = 0⇐⇒ E ⊂ gen ∂∂y,∂

∂z

Supongamos que E = genb ∂∂y

+ c ∂∂z con b, c no ambos nulos, procedamos a

calcular su espacio polar. Para eso, recordamos que el espacio polar queda definidopor la anulacion de todos los generadores algebraicos de grado k ≤ (dimE + 1):

H(E) = v ∈ TpR3 | (vyϕ)E = 0, ϕ ∈ Ik, k ≤ (dimE + 1)Supongamos que

v = α1∂

∂x+ α2

∂

∂y+ α3

∂

∂z.

Luego, H(E) quedara definido por las ecuaciones(vy dx)E = 0

(vy dx ∧ dy)E = 0

lo cual en terminos de las coordenadas resulta en el sistema lineal de ecuacionesα1 = 0

bα1 = 0

Vemos que este sistema tiene rango uno, independientemente de E ∈ V1(I), yde hecho, todo elemento integral de dimension uno posee el mismo espacio polar, asaber


H(E) = gen ∂∂y,∂

∂z.

Observando bien el ideal diferencial, vemos que de hecho, I = dxalg y que esun ideal que verifica la condicion de Frobenius; de hecho, las variedades integrales deeste sistema estan contenidas en planos definidos por x = constante; las variedadesintegrales de dimension dos seran justamente planos x = k con k ∈ R, mientrasque las variedades integrales de dimension uno seran curvas planas con primeracoordenada constante.

Ejemplo 2.2.2. Consideremos en Σ = R3 el ideal diferencial I = dx ∧ dy, dy ∧dzdiff. Como no tenemos formas de grado uno, se sigue que todo subespacio dedimension uno de TpR3 es un elemento integral; es decir,

V1(I) = G1(TR3).

Calculemos el espacio polar para un subespacio E = gena ∂∂x

+ b ∂∂y

+ c ∂∂z

generico. Planteando la definicion, tenemos

H(E) = v ∈ TpR3 | (vyϕ)E = 0, ϕ ∈ Ik, k ≤ 2.

Como antes, pongamos v = α1∂∂x

+ α2∂∂y

+ α3∂∂z

, con lo cual explıcitamente, elespacio polar queda definido por

(vy dx ∧ dy)E = 0

(vy dy ∧ dz)E = 0

que cual en terminos de las coordenadas resulta en el sistema lineal de ecuacionesbα1 − aα2 = 0

cα2 − bα3 = 0(2.13)

El rango de este sistema evidentemente depende del elemento integral E quehayamos considerado. Vemos que tenemos dos casos posibles:

(i) Si se tiene b 6= 0, con lo cual el sistema de ecuaciones (2.13) tiene rango dos,y por ende, dimH(E) = 1. Como siempre se tiene E ⊂ H(E), resulta queE = H(E) y luego un tal E no esta contenido en ningun elemento integral dedimension dos.

(ii) Por otro lado, si b = 0 resulta que el rango de (2.13) es uno, con lo cualdimH(E) = 2. Independientemente de a, c tendremos

H(E) = gen ∂∂x,∂

∂z.

Observemos que H(E) es un elemento integral de dimension dos de I. Estu-diemos ahora los demas elementos integrales de dimension dos del sistema. Sea


entonces F ∈ V2(I). Entonces resulta que F no puede contener ningun vectorde la forma

w = a∂

∂x+

∂

∂y+ c

∂

∂z,

pues de contenerlo, resultarıa que por la Proposicion 2.2.3 tendrıamos F ⊂H(genw) lo cual es una contradiccion pues para tal w, se tiene dimH(E) =1. Ası, necesariamente se tiene

F = gen ∂∂x,∂

∂z,

con lo cual I tiene solo un elemento integral de dimension dos.

Volvamos ahora a la discusion general. Por lo que muestra la Proposicion 2.2.2,aun cuando el espacio Vp+1(I) ∩ Gp+1(TxΣ) tiene una estructura complicada, paraun E ∈ Vp(I) fijo, el espacio de aquellos E+ ∈ Vp+1(I) que contienen a E esun espacio proyectivo real isomorfo a P(H(E)/E). Esto motiva definir la funcionr : Vp(I)→ (Z) vıa la formula

r(E) = dim(H(E))− (p+ 1).

Esta funcion es importante pues observemos que r(E) ≥ −1 con igualdad exacta-mente cuando E no esta contenido en ningun elemento integral de dimension p+1 deI. Ademas, cuando r(E) ≥ 0, el conjunto de elementos integrales p+1 dimensionalesde I que contienen a E es un espacio proyectivo de dimension r(E).

En lo que sigue, daremos dos definiciones de base, sobre las cuales podremosdesarrollar mınimamente la teorıa de incidencia de los espacios Vp(I). Primero, unpoco de terminologıa. Si Ω es una n-forma en Σ, pongamos Gn(TΣ,Ω) el abiertoque contiene a todos los E’s tales que ΩE 6= 0. Si ϕ es cualquier otra n-forma en Σ,podemos definir una funcion ϕΩ : Gn(TΣ,Ω)→ R vıa la igualdad

ϕE = ϕΩ(E)ΩE,

para todo E ∈ Gn(TΣ,Ω) (como Λn(E∗) tiene dimension 1, y ΩE funciona comobase, esta definicion tiene sentido). Por la segunda proposicion, el conjunto

Vn(I,Ω) = Vn(I) ∩Gn(TΣ,Ω)

es simplemente el conjunto de ceros comunes de la coleccion

FΩ(I) = ϕΩ | ϕ ∈ In.

Definicion 2.2.3 (Elementos Kahler-ordinarios y Kahler-regulares). Un ele-mento integral E ∈ Vn(I) se llamara Kahler-ordinario si existe una n-form Ω en Σtal que


(I) ΩE 6= 0,

(II) E es un cero ordinario del conjunto FΩ(I)

Usaremos la notacion Von(I) ⊂ Vn(I) para denotar al conjunto de todos los puntosKahler ordinarios. En otras palabras, un elemento integral E ∈ Vn(I) sera Kahler-ordinario si es posible dar a Vn(I) una estructura de subvariedad suave de Gn(TΣ)alrededor de E. Un elemento Kahler-ordinario E ∈ Von(I) se dira Kahler-regular sila funcion

r(E) = dim(H(E))− (n+ 1)

es localmente constante en un abierto alrededor de E contenido en Von(I). Usa-remos la notacion Vrn(I) para notar a los elementos Kahler-regulares.

Notemos que el rol de la forma Ω no es crucial; dado que si Ψ es otra m-formatal que ΨE 6= 0, entonces E ∈ Gn(TΣ,Ω) ∩ Gn(TΣ,Ψ) y la identidad ϕΩ = ϕΨΨΩ

vale sobre esta interseccion. Como ΨΩ nunca se anula sobre ese conjunto, se sigueque E es un cero ordinario de la coleccion de funciones FΩ(I) si y solo si es un ceroordinario de la coleccion FΨ(I). Ademas, resulta que siendo Von(I) una subvariedadembebida de Gn(TΣ) y un abierto de Vn(I) en la topologıa relativa, como r essemicontinua superiormente sobre Von(I) (la dimension solo puede aumentar en unentorno de E), resulta que Vrn(I) es un abierto denso de Von(I)

Antes de dar mas definiciones, demos algunos ejemplos para eslcarecer estasdefiniciones.

Ejemplo 2.2.3. Sea Σ = R5 con coordenadas x1, . . . , x5 y sea I = θ1, θ2diff, donde

θ1 = dx1 + (x3 − x4x5)dx4 θ2 = dx2 + (x3 + x4x5)dx5.

Si ponemos θ3 = dx3 +x5dx4−x4dx5, se comprueba directamente que dθ1 = θ3∧dx4

y dθ2 = θ3 ∧ dx5. Para cada x ∈ R5, pongamos

Hx = v ∈ TxR5 | θ1(v) = θ2(v) = 0 ⊂ TxR5

Ciertamente, H ⊂ TR5 define una distribucion de rango tres, y un subespacio Ede dimension 1 de TxR5 es un elemento integral de I sı y solo si E ⊂ Hx. Ası,V(I) ∼= P(H) y es una variedad suave de dimension 7.

Pongamos ahora

Kx = v ∈ TxR5 | θ1(v) = θ2(v) = θ3(v) = 0.

Entonces K ⊂ H es una distribucion de rango 2 en R5. Es facil ver que para cadax, Kx es el unico elemento integral de dimension dos de I - y conluımos ademas queeste sistema no posee elementos integrales de dimension mayor a dos.

Por otro lado, veamos una sutileza importante que emerge en este ejemplo: cual-quier variedad integral de dimension dos de (Σ, I) debe ser una variedad integral de(Σ, I+), donde I+ = θ1, θ2, θ3diff. Como dθ3 = −2dx4 ∧ dx5, vemos que

I+ = θ1, θ2, θ3, dx4 ∧ dx5alg


Esto implica que I+ no tiene elementos integrales de dimension dos y a fortiori, notiene variedades integrales de dimension dos. Luego, I no tiene variedades integralesde dimension dos tampoco. Esta observacion muestra que no todo elemento integralde un sistema (Σ, I) proviene de una variedad integral.

Mostraremos a contiunuacion que todos los elementos integrales de dimension2 de (Σ, I) son Kahler-regulares. Para eso, fijemos Ω = dx4 ∧ dx5. Todo E ∈G2(TR5,Ω) tiene una unica base de la forma

X4 =∂

∂x4+ p1

4

∂

∂x1+ p2

4

∂

∂x2+ p3

4

∂

∂x3

X5 =∂

∂x5+ p1

5

∂

∂x1+ p2

5

∂

∂x2+ p3

5

∂

∂x3

y las funciones x1, . . . , x5, p14, . . . , p

35 forman un sistema de coordenadas enG2(TR5,Ω),

y un computo simple muestra que

(θ1 ∧ dx4)Ω = −p15

(θ1 ∧ dx5)Ω = p14 − (x3 − x4x5)

(θ2 ∧ dx4)Ω = −p25 − (x3 + x4x5)

(θ2 ∧ dx5)Ω = p24

(θ3 ∧ dx4)Ω = −p35 + x4

(θ3 ∧ dx5)Ω = −p34 − x5.

Estas seis funciones son claramente independientes en G2(TR5,Ω) y el conjuntode sus ceros comunes es exactamente V2(I). Por lo tanto, cada punto en V2(I) esKahler-ordinario. Como ninguno de estos elementos integrales tiene una extension aun elemento integral de dimension 3, se sigue que r(E) ≡ −1 para todo E ∈ V2(I),con lo que todo elemento integral de dimension dos es tambien Kahler-regular.

Similarmente, es sencillo ver que cada E ∈ V1(I) es Kahler-ordinario; sin em-bargo, resulta que no todos estos puntos son Kahler regulares. Veamos por que:cualquier E ∈ V1(I) para el cual θ3 no se anule, no puede ser subespacio de ningunelemento integral de dimension dos. Luego, r(E) = −1 para todo E ∈ V1(I, θ3). Porotra parte, todo F ∈ V2(I) que anule a θ3 esta contenido en un F ∈ V2(I) y por lotanto r(F ) = 0. Como V1(I, θ3) es denso en V1(I), se sigue que Vr1(I) = V1(I, θ3).

2.3. El Test de Involutividad de Cartan

En esta seccion daremos la demostracion de uno de los resultados mas pode-rosos de la teorıa de sistemas diferenciales exteriores: el Test de Involutividad deCartan. Este test nos indicara cuando un elemento integral es elemento terminalde una bandera de elementos Kahler-regulares: como veremos mas adelante, este esun resultado de extrema utilidad a la hora de aplicar el teorema de Cartan-Kahler


en la practica; como dirıa Paul Gordan, ((Oh, it is very useful indeed; one can writemany theses about it)). Para enunciarlo, debemos primero investigar las relaciones deincidencia entre elementos integrales de diferente dimension. Es de interes estudiarestas relaciones pues resulta que la condicion de Kahler-regularidad implicara quepodremos resolver el problema de Cauchy para variedades integrales de un siste-ma diferencial exterior (Σ, I) si es que podemos resolver un ((problema de Cauchyinfinitesimal)): extender un elemento integral de dimension p a uno de dimensionp+ 1.

Concretamente, consideraremos las siguientes construcciones

Vp,p+1(I) = (E,E+) ∈ Vp(I)× Vp+1(I) | E ⊂ E+Vrp,p+1(I) = (E,E+) ∈ Vrp(I)× Vp+1(I) | E ⊂ E+

Sea πp : Vp,p+1(I)→ Vp(I) la proyeccion en el primer factor. Es facil describir lafibra de esta proyeccion: si E ∈ Vp(I) es tal que r(E) ≥ 0, entonces

π−1p (E) ∼= P(H(E)/E) ∼= RPr(E)

Por otro lado, denotando πp+1 : Vp,p+1(I) → Vp+1(I) a la proyeccion en el segundofactor, la fibra sobre un E+ ∈ Vp+1(I) viene dada por

π−1p+1(E+) ∼= P(E)∗,

es decir, el espacio de hiperplanos en E+. En el diagrama:

Vp,p+1(I)

πpyy

πp+1

&&Vp(I) Vp+1(I)

resulta que rara vez esta fibracion doble es suryectiva o submersiva en alguna delas bases. Sin embargo, cuando nos restringimos a puntos donde el primer factor esKahler-regular, la situacion es notablemente mas sencilla. En este respecto, tenemosla siguiente importante proposicion.

Proposicion 2.3.1. Si Vrp,p+1(I) es no vacıo, entonces es una variedad suave.Ademas, su imagen a traves de πp+1 es un abierto denso de Vop+1(I) y ademas lasproyecciones πp : Vrp,p+1(I) → Vrp(I) y πp+1 : Vrp,p+1(I) → Vrp+1(I) resultan submer-siones.

Una demostracion de esta proposicion puede encontrarse en [6]. Si bien su de-mostracion no es difıcil, es extensa. Notemos cE(Vn(I), Gn(TΣ)) a la codimensionen el punto E de Vn(I) como subvariedad de Gn(TΣ). De la demostracion de laProposicion 2.3.1 se tiene el siguiente importante

Corolario 2.3.1. Sea (Σ, I) un sistema diferencial exterior, z ∈ Σ, E ⊂ E+ ⊂ TzΣelementos integrales de dimensiones p y p+1 respectivamente, tales que E es Kahler-regular. Entonces se verifica la igualdad


cE+(Vp+1(I), Gp+1(TΣ)) = cE(Vp(I), Gp(TΣ)) + (codimH(E) en TzΣ) (2.14)

En el resto del presente capıtulo usaremos tanto la Proposicion 2.3.1 como sucorolario para trabajar los conceptos de elementos ordinarios y elementos regularesde un sistema diferencial exterior. Comencemos con una definicion.

Definicion 2.3.1. Sea (Σ, I) un sistema diferencial exterior y z ∈ Σ. Una sucesionde subespacios anidados

(0)z ⊂ E1 ⊂ E2 ⊂ · · · ⊂ En

donde dimEk = k y En es un elemento integral de I se dira una bandera integralde I de longitud n basada en z.

Observemos que si z es un punto ordinario de I0 y la funcion r es localmenteconstante alrededor de Ek ∈ Vk(I) para todo k ≤ n − 1, entonces la Proposicion2.3.1 se aplica inductivamente para mostrar que cada Ek es Kahler-regular parak ≤ n− 1 y que En es Kahler-ordinario.

Definicion 2.3.2. Sea (Σ, I) un sistema diferencial exterior. Un elemento integralE ∈ Vn(I) se dice ordinario si

(i) su punto base z es un cero ordinario de I0;

(ii) existe una bandera integral (0)z ⊂ E1 ⊂ · · · ⊂ En ⊂ TzΣ tal que En = E ycada Ek es Kahler-regular para k ≤ n− 1

Si ademas E es Kahler-regular, diremos que E es un elemento integral regular.

En una bandera integral (0)z ⊂ E1 ⊂ · · · ⊂ En ⊂ TzΣ donde cada Ek es Kahler-regular para k ≤ n−1, notemos que cada tal Ek es de hecho, regular. Estas banderasse llamaran banderas ordinarias. Si ademas, En es regular, diremos que tenemos unabandera regular.

En lo sucesivo, para simplificar algunas demostraciones, asumiremos que el idealdiferencial I no posee formas de grado cero. Esta restriccion no es demasiado se-vera, pues dado un sistema diferencial exterior (Σ, I), podemos ponernos en estascondiciones restringiendo nuestro analisis a

Σ0 = x ∈ Σ | θx = 0 ∀ θ ∈ I0.

Proposicion 2.3.2. Sea (Σ, I) un sistema diferencial exterior sin formas de gradocero. Sea (0)z ⊂ E1 ⊂ · · · ⊂ En ⊂ TzΣ una bandera integral de I Consideremose1, . . . , en una base de En adaptada a la filtracion; es decir una base tal que

e1, . . . , ek es base deEk ∀ k ≤ n

Para cada k ≤ n definamos ck = codim(H(Ek)) en TzΣ, y para cada entero a entre 1y cn−1 definimos el nivel de a, denotado λ(a), como el menor entero tal que a ≤ cλ(a)

Entonces


(i) la coleccion ck es creciente,

(ii) cuando cn−1 > 0, existe una conjunto de formas diferenciales ϕ1, . . . , ϕcn−1 ⊂I de modo tal que ϕa tiene grado λ(a) + 1 y para todo 1 ≤ k ≤ n− 1 se tiene

H(Ek) = v ∈ TxΣ | ϕa(v, e1, . . . , eλ(a)) = 0, a ≤ ck. (2.15)

Demostracion. De la propia definicion de espacio polar, es facil deducir queH(Ek+1) ⊂H(Ek) con lo que tenemos la primera parte de a proposicion: ck+1 ≥ ck. Para probarla segunda afirmacion, tenemos que construir la secuencia de formas ϕ1, . . . , ϕcn−1 ,y lo haremos por induccion sobre el nivel k.

Por la definicion de H(E0), existen 1-formas ϕ1, . . . , ϕc0 ⊂ I tal que se verifica(2.15) para k = 0. Supongamos ahora que ya hemos construıdo un conjunto deformas ϕ1, . . . , ϕcp−1 ⊂ I que verifica (2.15) para todo k < p. Sea ω1, . . . , ωn ⊂Ω1(Σ) tales que restringidas a E son la base dual de e1, . . . , en y definamos ϕa ∈ Ia traves de

ϕa = ϕa ∧ ωλ(a)+1 ∧ ωλ(a)+1 ∧ · · · ∧ ωp.

Entonces resulta que ϕa es un forma de grado p+ 1 en I y como ϕa se anula sobreE, tenemos que para todo v ∈ TxΣ vale la igualdad

ϕa(v, e1, . . . , ep) = ϕ(v, e1, . . . , eλ(a)). (2.16)

Si cp = cp−1, entonces H(Ep) = H(Ep−1) y la igualdad (2.16) muestra que (2.15)ya se cumple para k = p. Si en cambio cp > cp−1, entonces por la misma definicionde espacio polar, podemos elegir p+ 1 formas en ϕa | cp−1 < a ≤ cp ⊂ I de modotal que H(Ep) es precisamente el conjunto de vectores v ∈ TxΣ que satisfacen

ϕa(v, e1, . . . , ep) = 0 para a ≤ cp−1,

y ademasϕa(v, e1, . . . , ep) = 0 para cp−1 < a ≤ cp,

con lo cual concluımos el paso inductivo.

A una secuencia como la recien mostrada se la suele llamar secuencia polar aso-ciada a la bandera integral (0)z ⊂ E1 ⊂ · · · ⊂ En ⊂ TzΣ. Estamos listos ahora parademostrar el test de involutividad de Cartan. El test de Cartan nos permitira decidircuando una bandera es en efecto una bandera ordinaria: equivalentemente, es un testque nos permitira decidir cuando un elemento ordinario es el elemento terminal deuna bandera de elementos Kahler-regulares.

Teorema 2.3.2 (Test de Cartan). Sea (Σ, I) un sistema diferencial exterior sinformas de grado 0, x ∈ Σ. Consideremos la bandera integral (0)x ⊂ E1 ⊂ · · · ⊂ En ⊂TxΣ y pongamos para cada k < n, ck la codimension de H(Ek) en TxΣ. Entonces

(I) codimEn(Vn(I), Gn(TΣ)) ≥ c0 + c1 + · · ·+ cn−1


(II) Cada Ek con k < n es regular (o sea: En es ordinario) si y solo si En poseeun entorno en Gn(TΣ) de modo tal que Vn(I) ∩ U es una variedad suave decodimension precisamente c0 + c1 + · · ·+ cn−1 en U .

Demostracion. Pongamos s = dim Σ− n. Consideremos un sistema de coordenadasde Σ centrado alrededor de x, (x1, . . . , xn, u1, . . . , us) de manera tal que para todok ≤ n, Ek esta generado por ∂/∂xii≤k y tal que para todo k < n se tiene

H(Ek) = v ∈ TxΣ | dua(v) = 0 para todo a ≤ ck.

Sea ϕ1, . . . , ϕcn−1 una secuencia polar para la bandera dada, de modo tal que

dua(v) = ϕa(v,∂

∂x1, . . . ,

∂

∂xλ(a)),

para todo v ∈ TxΣ. De estas elecciones se sigue que

ϕa = dua ∧ dx1 ∧ dx2 · · · ∧ dxλ(a) + ψa,

donde ψa es una forma de grado λ(a) + 1 que puede escribirse como suma de trestipos distintos de formas:

(i) dub ∧ dxJ donde J es un multiındice de grado λ(a) que contiene al menos unındice j que es mayo que λ(a),

(ii) formas que se anulan en x

(iii) formas que son de grado por lo menos 2 en las diferenciales dub.

Vamos ahora a mostrar que las formas ϕa | a ≤ cn−1 son suficientes paragenerar un conjunto de al menos c0 + c1 + · · · + cn−1 funciones definidas en unentorno de En con diferenciales linealmente independientes en Ek y tales que suconjunto comun de ceros contiene efectivamente a Vn(I).

Sea Ω = dx1 ∧ dx2 · · · ∧ dxn y consideremos Gn(TU ,Ω) ⊂ Gn(TΣ) el conjuntode subespacios E de dimension n con punto base en un abierto U ⊂ Σ para loscuales ΩE 6= 0. Tomemos una carta adaptada de Gn(TU ,Ω) alrededor de En, concoordenadas xi, ua, paj . Por conveniencia, fijemos λ(a) = n para todo a > cn−1.

Diremos que un par de enteros (j, a) es principal si satisface j ≤ λ(a); en casocontrario diremos que es no-principal. Dado que para j ≥ 1 hay exactamente cj−cj−1

valores de a en el rango 1 ≤ a ≤ s que satisfacen λ(a) = j, un argumento de conteoelemental da que el numero de pares principales es ns− (c0 + c1 + · · ·+ cn−1). Luego,el numero de pares no principales es c0 + c1 + · · ·+ cn−1.

Sea (j, a) un par no-principal. Definamos la funcion F aj : Gn(TU ,Ω) → R a

traves de la formula

F aj (E) = ϕa(Xj(E), X1(E), X2(E), . . . , Xλ(a)(E))

Es sencillo ver, que esta funcion puede expandirse como una suma de tres tipos defunciones, a saber:


F aj = paj + P a

j +Qaj ,

donde las P aj son una combinacion lineal con coeficientes constantes de las variables

xa, ua y pai | (j, a) par principal y las Qaj se anulan en segundo orden en En. De

esto se sigue que la coleccion de funciones

F aj | (j, a) es un par no principal

tiene diferenciales linealmente independientes en En, y por continuidad, podemostomar un abierto U ⊂ Gn(TU ,Ω) alrededor de En en el que estas funciones tengandiferenciales linealmente independientes. Entonces tenemos que

Vn(I) ∩ U ⊂ E ∈ U | F aj (E) = 0 para todo par no principal (j, a).

Luego, Vn(I) tiene codimension por lo menos c0 + c1 + · · · + cn−1 alrededor deEn, como querıamos mostrar. Esto prueba la primera afirmacion del teorema.

Para probar la segunda afirmacion, comencemos suponiendo que cada Ek esKahler-regular para 1 ≤ k < n. Entonces por definicion En es un elemento ordinario.El corolario de la Proposicion 2.3.1 muestra que tenemos la siguiente formula derecursion para 1 ≤ k ≤ n:

codimEk(Vk(I), Gk(TΣ)) = ck−1 + codimEk−1(Vk−1(I), Gk−1(TΣ))

Por hipotesis, I no contiene 0-formas, con lo cual V0(I) = G0(TΣ) = Σ y porinduccion, la codimension de Vn(I) en Gn(TΣ) alrededor de En es en efecto c0 +c1 + · · ·+ cn−1.

Para probar la afirmacion recıproca, supongamos que tenemos un entorno U ⊂Gn(TΣ) para En de manera tal que Vn(I)∩U es una variedad suave de codimensionc0 + c1 + · · ·+ cn−1 en U . Reduciendo U si es necesario, podemos suponer que

Vn(I) ∩ U = E ∈ U | F aj (E) = 0 para todo par no principal (j, a)

y que las funciones F = F aj | (j, a) es no prinicipal tienen diferenciales linealmente

independientes en todo U . Si ponemos ϕaj = ϕa ∧ dxK(a,j) donde K(a, j) es unmultiındice de grado n− (λ(a) + 1) definido por la propiedad

dxj ∧ d1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxλ(a) ∧ dxK(a,j) = Ω,

entonces F aj (E) = ϕaj (X1(E), X2(E), . . . , Xn(E)) para todo E ∈ U . Se sigue de

esto que En es Kahler-ordinario. Aplicando el teorema de la funcion implıcita a laexpansion de F a

j se sigue que reduciendo U si es necesario, la subvariedad Vn(I)puede ser descripta por ecuaciones del tipo

pai = P ai ∀ (a, i) no principal.


donde las funciones P aj dependen de las variables pai | (i, a) es un par principal)

y de las xi, ua. Estas funciones determinan entonces un sistema de coordenadascentrado en En en Vn(I) ∩ U .

Por la primera parte de la demostracion, sabemos que Vn−1(I) tiene codimensionpor lo menos c0+c1+· · ·+cn−2 en Gn−1(TΣ) sobre En−1. Mostraremos que de hecho,Vn−1(I) contiene una subvariedad de codimension exactamente c0 + c1 + · · ·+ cn−2

que pasa por En−1 ∈ Gn−1(TΣ): esto probara que En−1 es Kahler-ordinario y queVn−1(I) alcanza su codimension mınima.

Para ver esto, pongamos v = (v1, . . . , vn−1) ∈ Rn−1 y definamos la aplicacionΦ : Rn−1 × Vn(I) ∩ U → Vn−1(I) mediante la formula

Φ(v, E) = Ev

donde Ev es el subespacio de E generado por los n− 1 vectores

Xi(Ev) = Xi(E) + viXn(E) para todo 1 ≤ i ≤ n− 1

= ∂/∂xi + vi∂/∂xn + (P a

i (E) + viPan (E)∂/∂ua.

Afirmamos que Φ tiene rango ρ = n+s+(n−1)(s+1)−(c0 +c1 + · · ·+cn−2) en elpunto (0, En). Para ver esto, notamos que como c0+c1+· · ·+cn−2 es una cota inferiorpara la codimension de Vn−1(I), la imagen de Φ debe caer en una subvariedad deGn−1(TΣ) de codimension por lo menos c0+c1+· · ·+cn−2 y por lo tanto el rango de Φno puede ser mayor que ρ en ningun punto cerca de (0, En). Por otra parte, el rangode esta aplicacion en (0, En) es efectivamente ρ pues es claro que las ρ funcionesxi, ua, vi | 1 ≤ i ≤ n − 1, y P a

i (E) + viPai (E) | (i, a) es principal yi ≤ n − 1

tienen diferenciales linealmente independientes en un entorno del punto estudiado.Luego, el rango de Φ es exactamente ρ en un entorno de (0, En).

Mas aun, existe un entorno O de (0, En) en Rn−1 × Vn−1(I) ∩ U y un entornoU− de En−1 en Gn−1(TΣ) tal que Vn−1(I)∩U− es una subvariedad suave de U− decodimension c0 + c1 + · · · + cn−2 de modo tal que Φ : O → Vn−1(I) ∩ U− es unasubmersion suryectiva. Esto implica que En−1 es en efecto, Kahler-ordinario.

Ademas, para todo E ∈ U− el conjunto

E ∈ Vn(I) ∩ U | Φ(v, E) = E para cierto v

es un abierto de P(H(E)/E). La dimension de este conjunto es ası r(E). Peropor otro lado, siendo Φ una submersion, este conjunto tiene claramente la dimensionde las fibras de Φ, que es igual a la dimension de la fibra Φ−1(En−1); luego r eslocalmente constante en un entorno de En−1 contenido en Vn−1(I) y ası En−1 es unelemento integral Kahler-regular.

Por induccion, obtenermos que cada Ek es Kahler-regular para 1 ≤ k ≤ n − 1.Como I no contiene formas de grado 0, se sigue inmediatamente que cada Ek eregular para 1 ≤ k ≤ n− 1 y esto concluye la demostracion.


Ejemplo 2.3.1. Veamos si podemos aplicar el Test de Cartan a la bandera (0) ⊂E ⊂ H(E) del Ejemplo 2.2.1. Recordemos que tenıamos

E = genb ∂∂y

+ c∂

∂z, H(E) = gen ∂

∂y,∂

∂z.

Pongamos (0) = E0, E = E1, H(E) = E2 para homogeneizar notacion con elTest de Cartan. Vemos que

H(E0) = v ∈ TpR3 | (vyϕ) = 0, ϕ ∈ I1 = E2,

con lo cual c0 = 3−dimH(E0) = 3−dimE2 = 1. Del mismo modo, H(E1) = E2,con lo cual c1 = 3− dimE2 = 1. Se sigue ası que

codimE2(V2(I), G2(TR3)) ≥ 1 + 1 = 2

.por la primera parte del Test de Cartan. Si ahora mostramos que en E2 la codi-

mension es exactamente dos, entonces la bandera resultara una bandera ordinaria.Para esto, debemos mirar la estructura diferencial de la Grassmanniana. Considere-mos la 2-forma Λ = dy ∧ dz. Entonces tenemos que alrededor de E2 podemos tenerun sistema de coordenadas x, y, z, p1, p2 de modo tal que todo F cercano a E2 tengauna base dada por

v1 =∂

∂y+ p1 ∂

∂x

v2 =∂

∂z+ p2 ∂

∂x

Vemos ası que V2(I) queda realmente definido por

p1 = p2 = 0,

y como estas dos funciones tienen diferenciales independientes por ser parte deun sistema de coordenadas, verdaderamente V2(I) tiene codimension dos. El Testde Cartan asegura que la bandera es en efecto ordinaria.

Ejemplo 2.3.2. Formas autoduales en R4. Veamos este ejemplo esde la teorıa deHodge. El operador ((estrella de Hodge)) es un operador lineal ∗ : Ωp(Rn)→ Ωn−p(Rn)que es invariante bajo movimientos rıgidos y satisface

∗ ∗ α = (−1)p(n−p)α.

En particular, cuando n = p = 2, este operador es un endomorfismo que permiteescribir

Ω2(R4) = Ω2+(R4)⊕ Ω2

−(R4)

donde


Ω2+(R4) = α ∈ Ω2(R4) | ∗ α = α, Ω2

−(R4) = α ∈ Ω2(R4) | ∗ α = −α.

Puede mostrarse que toda α ∈ Ω2+(R4) es de la forma

ϕ = u1(dx2 ∧ dx3 + dx1 ∧ dx4)+u2(dx3 ∧ dx1 + dx2 ∧ dx4)+

+ u3(dx1 ∧ dx2 + dx3 ∧ dx4)

donde las ui son funciones definidas en R4. Entonces, cabe preguntarse cualesson las 2-formas cerradas de Ω2

+(R4); tales formas son las que cumplen

dϕ = 0

y esta condicion la podemos codificar mediante un sistema diferencial exterioren Σ = R4 × R3. Si definimos

Φ = du1 ∧ (dx2 ∧ dx3+dx1 ∧ dx4) + du2(dx3 ∧ dx1 + dx2 ∧ dx4)+

+ du3(dx1 ∧ dx2 + dx3 ∧ dx4)

Si seteamos Ω = dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4, las variedades integrales de dimensioncuatro de (Σ, I,Ω) seran precisamente las 2-formas autoduales de R4. Estudiemosentonces que pasa con los elementos integrales de dimension cuatro que no anulana Ω. Como bien vimos en la discusion sobre las grassmannianas, cualquier E ∈V4(I) ∩G4(TΣ,Ω) esta definido por las relaciones

πa = dua − pai (E)dxi = 0.

Por otro lado, un poco de paciencia muestra que la anulacion de Φ sobre E esequivalente a las siguientes cuatro ecuaciones en terminos de coordenadas:

p11 + p2

2 + p33 = 0

p14 − p2

3 + p32 = 0

p24 − p3

1 + p13 = 0

p34 − p1

2 + p21 = 0

(2.17)

Ciertamente, estas cuatro ecuaciones son independientes, con lo que V4(I) tienecodimension 4 en G4(TΣ). Dado E ∈ V4(I)∩G4(TΣ,Ω), consideremos los subespa-cios:

Ek = v ∈ E | dxk+1 = dxk+2 = · · · = dx4 = 0,para 0 ≤ k ≤ 3, y la bandera (0) ⊂ E1 ⊂ · · · ⊂ E3 ⊂ E. Computos directos dan

H(E0) = H(E1) = TpΣ

H(E2) = v ∈ TpΣ | π3(v) = 0H(E3) = v ∈ TpΣ | π1(v) = π2(v) = π3(v) = 0

(2.18)


con lo cual tenemos c0 = c1 = 0, c2 = 1,c3 = 3. Luego, el Test de Cartan aseguraque

codimE(V4(I), G4(TΣ)) ≥ 0 + 0 + 1 + 3 = 4

que coincide extactamente con la codimension mostrada arriba: el Cartan Testasegura que la bandera asociada a un tal E ∈ V4(I) es ordinaria.

Damos ahora una importante definicion.

Definicion 2.3.3. Sea (Σ, I) un sistema diferencial exterior, z ∈ Σ y un elementointegral E munido de una bandera integral ordinaria basada en z. Si existe unentorno de E que consta solo de elementos integrales ordinarios, diremos que elsistema es involutivo en E.

El proximo resultado establece la unicidad de los caracteres de Cartan sobre cadacomponente conexa del espacio de elementos integrales.

Proposicion 2.3.3. Sea (Σ, I) un sistema diferencial exterior que no contiene for-mas de grado cero. Sea Z ⊂ Vn(I) una componente conexa del espacio de elementosintegrales ordinarios.Entonces existe una unica sucesion c0, c1, . . . , cn−1 de enteros tal que ck es la co-dimension de H(Ek) en TzΣ para cualquier bandera ordinaria (0)z ⊂ E1 ⊂ · · · ⊂En ⊂ TzΣ con En ∈ Z.

Demostracion. Consideremos Z ⊂ V0(I) × V1(I) × · · · × Vn−1(I) como el espaciode todas las banderas integrales ordinarias F = (E0, E1, . . . , En) con En ∈ Z. Ledamos a Z la topologıa y estructura suave que hereda como subespacio del producto.Definamos en Z las funciones ck : Z → Z por la formula

ck(F ) = dim Σ− dimH(Ek), para k < n.

Estas funciones resultan evidentemente localmente constantes. Debemos mostrarque son constantes en todo Z.

Para esto, supongamos que para algun p < n, tengamos que cp no fuera constanteen Z; esto implicarıa que existen dos abiertos, digamos Z1, Z2 tales que cp ≡ p enZ1 y cp 6= p en Z2. Las imagenes de estos dos abiertos a traves de la submersionZ → Z serıa un cubrimiento abierto de Z. Por la conexion de Z, deben intersecarsetrivialmente; en particular, debe existir un E ∈ Z y dos subespacios de dimensionp, llamemoslos E1, E2 ∈ Vp(I) ∩Gp(E) para los que r(E1) = p 6= r(E2).

Mostraremos que esto no es posible: como E ⊂ TzΣ es un elemento integral,se tiene que todo subespacio de E tambien lo es, por lo tanto Gp(E) ⊂ Vp(I) yası Vrp(I) ∩Gp(E) es un abierto de Gp(E). Ademas, como la funcion r es localmen-te constante en Vrp(I), se sigue que Vrp(I) ∩ Gp(E) es un subconjunto del abiertoG∗p(E) ⊂ Gp(E) sobre el cual r es localmente constante. Por lo tanto, basta probarque r es constante en G∗p(E).


Sea entonces la coleccion de q formas de grado p+ 1, digamos ϕ1, . . . ϕq ∈ I conla propiedad que

Ep+1 ⊂ TzΣ es un elemento integral de I si y solo si ϕjEp+1= 0∀ j

Tal coleccion de formas existe por razones de algebra lineal: estamos considerandoun punto base z fijo y todos nuestros espacios vectoriales son subespacios de TzΣ.Entonces, para cualquier Ep ∈ Gp(E) tenemos que

H(Ep) = v ∈ TzΣ | ϕaE(v) = 0, 1 ≤ a ≤ q.

Un argumento elemental de algebra lineal asegura que dimH(Ep) es localmenteconstante en Gp(E) cuando alcanza su mınimo; luego r es constante en G∗p(E) y estofinaliza la demostracion.

-Este resultado entre otras cosas implica que si uno tiene una secuencia polar

ϕ1, . . . , ϕcn−1 para una bandera oridnaria (0)z ⊂ E0 ⊂ E1 ⊂ · · · ⊂ En ⊂ TzΣ yel ideal diferencial no contiene formas de grado cero, entonces esa misma secuenciapolar es una secuencia polar para toda bandera lo suficientemente cercana.

Estamos listos ahora para discutir y probar el teorema de Cartan-Kahler.

Capıtulo 3

Teorema de Cartan-Kahler

En todo el tiempo que el algebra yla geometrıa estuvieron separados,su avance fue lento y sus usos,limitados; pero finalmente cuandoestas dos ciencias se reunieron, seprestaron mutuamente sus fuerzasy comenzaron juntas su marchainexorable hacia la perfeccion.

Joseph-Lois Lagrange

En este capıtulo discutimos en detalle el Teorema de Cartan-Kahler, que es elresultado fundamental de existencia de variedades integrales de sistemas diferencialesexteriores en el contexto analıtico real. Este teorema es una generalizacion directadel Teorema de Cauchy-Kowalevski, y da condiciones suficientes para la existenciade soluciones analıticas para un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadasparciales, con coeficientes y datos analıticos que satisfacen un problema de Cauchy.

3.1. Discusion preliminar

Primeramente, presentaremos aquı la version del teorema de Cauchy-Kowalevskique emplearemos en esta tesis. Ciertamente, este teorema es uno de los resultadosmas generales de toda la teorıa de sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadasparciales. Usualmente, suele demostrarse una version de este teorema para sistemasprimer orden cuasi-lineales, es decir, sistemas que son lineales en las derivadas delas funciones incognitas. Es sencillo ver, utilizando tecnicas estandar del toolkitde ecuaciones diferenciales que esta restriccion de cuasilinealidad no es para nadasevera: el teorema vale incluso para sistemas de ecuaciones fully-nonlinear con datosy funciones analıticos. Para ver demostraciones de este teorema, pueden consultarse[7], [8], [9].

50

CAPITULO 3. TEOREMA DE CARTAN-KAHLER 51

Teorema 3.1.1. Cauchy-Kowalevski Sea y una coordenada en R, x1, . . . , xn

coordenadas en Rn y z1, . . . , zs coordenadas en Rs. Supongamos ademas que D ⊂Rn × R × Rs × Rns es un abierto conexo no vacıo, y sea G : D → Rs un mapeoanalıtico real. Sea D0 ⊂ Rn un abierto conexo no vacıo y f : D0 → Rs una funcionanalıtica tal que

Γf = (x, y0, f(x), Df(x)) | x ∈ D0 (3.1)

esta incluıdo en D para algun y0 (Aquı Df(x) denota la matriz jacobiana de fen x).

Entonces existe un entorno abierto D1 ⊂ D0 × R de D0 × y0 y una funcionanalıtica real F : D1 → Rs que satisface el siguiente sistema de ecuaciones diferen-ciales en derivadas parciales con condiciones iniciales

∂F

∂y= G(x, y, F,

∂F

∂x) (3.2)

F (x, y0) = f(x) para todo x ∈ D0. (3.3)

Aun mas, f es unica en el sentido que toda otra solucion analıtico-real de (3.2)debe coincidir con F en algun entorno de D0 × y0.

Vayamos ahora al enunciado del Teorema de Cartan-Kahler. Antes de proceder,un ultimo bit de terminologıa. Dado un sistema diferencial exterior (Σ, I) sobre unavariedad suave Σ de dimension n + s, diremos que una variedad integral N ⊂ Σ esuna variedad integral Kahler-regular si cada uno de sus planos tangentes TzN es unelemento integral Kahler-regular de I. Si N es una variedad integral Kahler-regularconexa de I, entonces definimos r(N) = r(TzN), donde z es cualquier punto de N .

Teorema 3.1.2. Cartan-Kahler Sea (Σ, I) un sistema diferencial exterior analıti-co real sobre una variedad Σ de dimension n+ s y supongamos que

i P ⊂ Σ es una variedad integral analıtica, Kahler-regular, y conexa de dimensionk con r(P ) ≥ 0;

ii R ⊂ Σ es una subvariedad analıtica de codimension r(P ) que contiene a P talque

dimTpR ∩H(TpP ) = k + 1 ∀ p ∈ P.

Entonces existe una unica variedad integral analıtica real, conexa de dimension k+1X tal que P ⊂ X ⊂ R.

Antes de dar la demostracion discutiremos brevemente las hipotesis del teorema.

Necesidad de la Kahler-regularidad, I. La hipotesis de Kahler-regularidadsobre la variedad P es realmente necesaria para garantizar la existencia de la varie-dad integral X del enunciado. Mostremos por que a traves de un ejemplo sencillo.


Consideremos en Σ = R3 el sistema diferencial exterior dado por el ideal

I = dy, dy ∧ dzdiff

Es inmediato chequear que una variedad integral 1-dimensional para este idealdiferencial vendra dada por la recta

L = (x, y, z) ∈ R3 | y = z = 0,

y que el espacio tangente en cada p ∈ L vendra dado por TpL = gen ∂∂x.

Veamos si podemos encontrar un sistema de ecuaciones que defina al espaciopolar de un elemento integral de dimension uno G = genw = a ∂

∂x+ b ∂

∂y+ c ∂

∂z.

Consideremos un vector v = e ∂∂x

+ f ∂∂y

+ g ∂∂z

; entonces por definicion

H(G) = v ∈ TpR3 | (vyϕ)G = 0, ϕ ∈ I2.

Trabajando un poco esta definicion para nuestro ideal diferencial, tenemos

dy ∧ dz(v, w) = fc− gb = 0. (3.4)

Vemos que para G = TpL, esta ecuacion es trivial, con lo que tenemos H(TpL) =TpR3, y esto implica que

r(TpL) = 3− 1− 1 = 1,

con lo cual, tenemos extensiones integrales de TpL. Consideremos ahora un E ∈V1(I, dz); un tal elemento integral es tal que c 6= 0; para estos elementos integralesvemos que la ecuacion (3.4) es no trivial, con cual dimH(E) = 2 y ası r(E) =2− 1− 1 = 0. Como V1(I, dz) es denso en V1(I), resulta que en ningun entorno deTpL la funcion r es localmente constante, con lo cual, TpL no es Kahler-regular paraningun p.

Mostremos ahora que nuestro sistema diferencial exterior no posee variedadesintegrales de dimension dos que contengan a L. Si existiese tal variedad integral S,su espacio tangente en un punto p ∈ L serıa un elemento integral de dimension dosde I, de la forma

Tp(S) = gen ∂∂x, w,

para algun w = e ∂∂x

+ f ∂∂y

+ g ∂∂z

. Ahora bien, esto implica que G = genw esen sı mismo un elemento integral de dimension uno, y por lo tanto debe anular alsumando directo I1; es decir debe tener f = 0.

Por otro lado, Tp(S) ⊂ H(genw); esto dice que ∂∂x∈ H(G), con lo cual yendo

a las ecuaciones (3.4), resulta

g = 0,

lo cual implica que w es un multiplo de ∂∂x

con lo cual dimTpS = 1 y esto es unacontradiccion.


Resulta ası que la Kahler-regularidad es en efecto necesaria para poder garantizarla existencia de variedades integrales que extiendan (en el sentido de la dimension)a variedades integrales dadas.

El significado de R, II. La variedad R que aparece en el teorema de Cartan-Kahler a veces es llamada ((variedad de restricciones)). Se la necesita cuando r(P ) >0, pues entonces el problema de extension de una variedad integral esta subdetermi-nado. Veamos un ejemplo de este fenomeno.

Consideremos en Σ = R3 el ideal diferencial I = dy ∧ dzdiff. Un computodirecto muestra que la recta

L = (x, y, z) ∈ R3 | y = z = 0

es una variedad integral de (Σ, I); en cada punto de p ∈ L, tendremos TpL =gen ∂

∂x.

Por otro lado, vemos que I no posee formas de grado uno, con lo cual todoE ∈ G1(TΣ) resulta un elemento integral Kahler-ordinario. Estudiemos ahora loselementos Kahler regulares de este sistema.

Para eso, sea e1 = a ∂∂x

+ b ∂∂y

+ c ∂∂z

y E = gene1 un elemento integral. Usando

la definicion de espacio polar, tenemos que un v = e ∂∂x

+f ∂∂y

+g ∂∂z

pertenece a H(E)sı y solo si

(e1y dy ∧ dz)(v) = dy ∧ dz(e1, v) = 0, (3.5)

lo cual en terminos de las coordenadas, resulta

bg − cf = 0. (3.6)

Vemos directamente que H(TpL) = TΣ, y que lo mismo es cierto en todo elabierto V1(I, dx) alrededor de TpL. Luego, esto dice que TpL es un elemento integralKahler-regular de dimension uno para I.

En particular, tenemos que para todo punto p ∈ L, se verifica r(TpL) = dimH(TpL)−1− 1 = 1 > 0, con lo cual es posible encontrar extensiones de TpL a elementos inte-grales de dimension dos. Aun mas, un computo directo muestra que las superficies

S1 = (x, y, z) ∈ R3 | z = 0 S2 = (x, y, z) ∈ R3 | y = 0

son variedades integrales de I de dimension dos que contienen a L y no hayunicidad en el problema de extension.

Necesidad de la analiticidad, III. Consideremos en R4 ideal diferencial dadopor

I = dx1 ∧ dx2 + dx3 ∧ dx4, dx1 ∧ dx4 − dx3 ∧ dx2diff

Los generadores de este ideal pueden pensarse como la parte real y la parteimaginaria de la 2-forma compleja


(dx1 − idx3) ∧ (dx2 + idx4).

Es ası como las variedades integrales de dimension dos son curvas complejas enC2. Como no tenemos 1-formas en el ideal, se sigue queG1(TΣ) = V1(I); un computodirecto muestra que cada elemento integral E de dimension uno es regular y tiener(E) = 0, con lo que cada uno de ellos es extendible a un unico elemento integral dedimension dos. El teorema de Cartan-Kahler dice entonces que cada curva analıticareal esta contenida en una unica superficie integral analıtica real conexa; es decir, enuna curva compleja. Como las curvas complejas son necesariamente analıticas realescuando las consideramos superficies de R4.

Supongamos ahora que tenemos una curva descripta por

x2 = f(x1), x3 = 0, x4 = g(x1)

donde f, g son suaves pero no analıticas. Entonces no puede haber una curvacompleja que contenga a esta curva, pues si la hubiera, podrıa ser descripta por unafuncion holomorfa de una variable

x2 + ix4 = F (x1 − ix3).

Poniendo x3 = 0 esta ecuacion muestra que la curva original puede describirseentonces como

x2 + ix4 = F (x1)

lo cual es absurdo pues la parte real y la parte imaginaria de F son funcionesanalıticas reales, y es ası como las hipotesis del Teorema de Cartan-Kahler sonrealmente necesarias. Estamos listos ahora para demostrar el teorema.

3.2. Teorema de Cartan-Kahler

Fijemos ındices 1 ≤ i, j ≤ n y 1 ≤ a, b ≤ s.

Teorema 3.2.1. Cartan-Kahler Sea (Σ, I) un sistema diferencial exterior analıti-co real sobre una variedad Σ de dimension n+ s y supongamos que

i P ⊂ Σ es una variedad integral analıtica Kahler-regular conexa de dimension kcon r(P ) ≥ 0;

ii R ⊂ Σ es una subvariedad analıtica de codimension r(P ) que contiene a P talque

dimTpR ∩H(TpP ) = k + 1 ∀ p ∈ P.

Entonces existe una unica variedad integral conexa analıtica real de dimension k+ 1X tal que P ⊂ X ⊂ R.


Demostracion. Como el teorema es local, basta probar la unicidad y existencia enla vecindad de un unico punto x0 ∈ P . Sea s = dim Σ − (r + p + 1) - para loscasos en los que r, p o s sean cero, valen las simplificaciones obvias de esta demostra-cion; asumiremos aquı que son todos estrictamente positivos. Tomemos coordenadasx1, . . . , xp, y, u1, . . . , us, v1, . . . , vr centradas alrededor de x0 de modo tal que en estascoordenadas

(i) P se corresponde a las ecuaciones y = u = v = 0,

(ii) R se corresponde a las ecuaciones v = 0,

(iii) para todo x ∈ P tenemos

H(TxP ) = gen ∂

∂xj,∂

∂y,∂

∂vρ1≤j≤p,1≤ρ≤r.

Ahora bien, tomemos un entorno abierto U ⊂ Gp(TΣ) alrededor de Tx0P demanera tal que cada E ∈ U con punto base z tiene una base de la forma

Xi(E) =∂

∂xi+ qi(E)

∂

∂y+ pσi (E)

∂

∂uσ+ wρi (E)

∂

∂vρ

Las funciones x, y, u, v, q, p, w forman un sistema de coordenadas en U centradoen Tx0P Por la definicion misma de H(Tx0P ), existen s formas analıticas de gradop+ 1, digamos κ1, . . . , κs ∈ I tales que

H(Tx0P ) = v ∈ Tx0Σ | κσTx0P (v) = 0 para 1 ≤ σ ≤ s.

Aun mas, sin perdida de generalidad podemos asumir que κσTx0P (v) = duσ(v)para toda σ y para todo v ∈ Tx0Σ. Por la Kahler-regularidad de Tx0P , podemosasumir reduciendo U si es necesario, que para todo E ∈ Vp(I) ∩ U con punto basez, el espacio polar H(E) vendra dado por la anulacion de las mismas formas κσ, esdecir

H(E) = v ∈ TzΣ | κσE(v) = 0 para 1 ≤ σ ≤ s.

Tomemos la base de Xi y miremos estas s ecuaciones de la forma

κσ(v,X1(E), . . . , Xp(E)) = 0.

Ahora bien, un v ∈ H(E) se escibe de la forma

v = a∂

∂y+ bσ

∂

∂uσ+ cρ

∂

∂vρ

Luego, empleando la multilinealidad de las κσ obtenemos un sistema de s ecua-ciones lineales para v en terminos de sus coeficientes a, b, c de la forma

Aσ(E)a+Bστ (E)bτ + Cσ

ρ (E)cρ = 0.


Por hipotesis, cuando E = Tx0P estas s ecuaciones son linealmente indepen-dientes y se reducen a bσ = 0. Ası, reduciendo U si es necesario, podemos asumirque la matriz de s × s, B(E) := (Bσ

τ (E)) es inversible para todo E ∈ U . Se sigueası que existen unicas funciones reales analıticas Gσ definidas en U tales que paracada E ∈ U con punto base en z ∈ Σ el vector Y (E) = ∂

∂y+Gσ(E) ∂

∂uσsatisface

κσ(Y (E), X1(E), . . . , Xp(E)) = 0

Como las funciones x, y, u, v, q, p, w forman un sistema de coordenadas en Ualrededor de Tx0P , podemos considerar a las funciones Gσ como funciones de esasvariables.

Mostremos ahora que existe una subvariedad real analıtica de R de la forma

v = 0, u = F (x, y)

sobre la cual las formas κσ se anulan. Para una tal subvariedad, vemos que elespacio tangente esta generado por

Xi(x, y) =∂

∂xi+ ∂iF

σ(x, y)∂

∂uσ

Y (x, y) =∂

∂y+ ∂yF

σ(x, y)∂

∂uσ

en un punto z(x, y) = (x, y, F (x, y), 0). Se sigue luego que la funcion F debe seruna solucion del sistema de ecuaciones diferenciales dado por

∂yFσ = Gσ(x, y, F, 0, 0, ∂xF, 0). (3.7)

Ademas, como la subvariedad buscada debe contener a P , es necesario que lafuncion F satisfaga la condicion inicial

F (x, 0) = 0. (3.8)

Recıprocamente, si una F satisface (3.7) y (3.8), entonces la subvariedad R dadapor

v = 0, u = F (x, y)

contendrıa a P y anularıa a las formas κσ. Por el teorema de Cauchy-Kowalevski,existe una unica solucion analıtica real F de (3.7) verificando (3.8). Llamemos X ala unica subvariedad de dimension p+ 1 construıda con este metodo. Sin perdida degeneralidad, podemos suponer que X vendra dada por las ecuaciones u = v = 0.

Ahora debemos mostrar que efectivamente, X es una variedad integral de I. Porconstruccion, sabemos que X es variedad integral de las formas κσ. Tenemos queprobar que todas las formas de grado p de I se anulan cuando las restringimos a X.

Usando la hipotesis de Kahler-regularidad de Tx0P , sean β1, . . . , βa ∈ I formasanalıticas de grado p tales que las funciones


f c(E) = βc(X1(E), . . . , Xp(E)), 1 ≤ c ≤ a

tienen diferenciales linealmente independientes en U y su conjunto de ceros co-munes es Vp(I)∩U . Como por construccion Tx0X esta en Vp+1(I), la proposicion deincidencia muestra que en efecto, Tx0X es Kahler-ordinario. Aun mas: la demostra-cion de esa misma proposicion prueba que las coleccion βc ∧ dy1≤c≤a ∪ κσ1≤σ≤sde formas de grado p + 1 tienen a Vp+1 ∩ U+ como su conjunto de ceros comunes,donde U+ es algun entorno abierto de Tx0X en Gp+1(TΣ).

Ası, para mostrar que X es una variedad integral de I, es suficiente mostrar quelas formas βc ∧ dy1≤c≤a se anulan cuando las restringimos a X.

Para ver esto, la estrategia sera la siguiente: definiremos una coleccion de fun-ciones usando las formas βc ∧ dy y mostraremos que estas funciones satisfacenuna cierta ecuacion diferencial del tipo Cauchy-Kowalevski, ecuacion que tambienes satisfecha por las funciones nulas. Luego, la unicidad del teorema de Cauchy-Kowalevski probara entonces que las funciones son identicamente nulas y ası mos-tramos que las formas βc∧dy se anulan cuando son restringidas a X. Comencemos.

Achicando U+ si fuese necesario, podemos suponer sin perdida de generalidadque cada E+ ∈ U+ tiene una base de la forma X1(E+), . . . , Xp(E

+), Y (E) que esdual a la base de 1-formas dx1, . . . , dxp, dy. Definiendo las funciones

Bc(E+) = βc ∧ dy(X1(E+), . . . , Xp(E+), Y (E+))

Kσ(E+) = κσ(X1(E+), . . . , Xp(E+), Y (E+))

tendremos que

Vp+1(I) ∩ U+ = E+ ∈ U+ | Bc(E+) = Kσ(E+) = 0.Como I es un ideal, las formas βc ∧ dxi tambien estan en I y por lo tanto se

anulan en Vp+1 ∩ U+. Por lo tanto, poniendo

Bci(E+) = βc ∧ dxi(X1(E+), . . . , Xp(E+), Y (E+))

resulta que estas funciones estan en el ideal generado por Bc y las Kσ. Se sigueentonces que existen funciones analıticas reales A y L definidas en U+ tales que

Bci = Acib Bb + LciσK

σ.

Como Kσ(TzX) = 0 por construccion, se tiene entonces que cuando evaluamosen un TzX resulta

Bci(TzX) = Acib (TzX)Bb(TzX) ≡ Bci(x, y) (3.9)

para todo z ∈ X. Ahora bien, I es cerrado bajo diferenciacion, con lo cual lasformas dβc estan en el ideal. Entonces si ponemos


Dc(E+) = dβc(X1(E+), . . . , Xp(E+), Y (E+)),

deben existir funciones G y H en U+ tales que

Dc = GcbB

b +HcσK

σ.

Nuevamente, como Kσ(TzX) = 0 por construccion, debemos tener para todoz ∈ X la igualdad

Dc(TzX) = Gcb(TzX)Bb(TzX) ≡ Dc(x, y). (3.10)

Ahora bien, al restringir las formas βc a X, tenemos la siguiente expansion

βc|X = Bc(x, y)dx1 ∧ · · · ∧ dxp+

+∑i

(−1)p−i+1Bci(x, y)dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxp ∧ dy,

Diferenciando, tenemos la formula

dβc|X = (−1)p(∂yB

c(x, y) +∑i

∂iBci(x, y)

)dx1 ∧ · · · ∧ dxp ∧ dy

= Dc(x, y) dx1 ∧ · · · ∧ dxp ∧ dy.

Utilizando las ecuaciones (3.9) y (3.10), vemos que las Bc satisfacen un sistemade ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de la forma

∂yBc(x, y) = Acib (x, y)∂iB

b(x, y) + Gcb(x, y)Bc(x, y)

para ciertas funciones A, G definidas en X. Ademas, como Tx0X es un elementointegral de I cuando y = 0, tenemos que las Bc satisfacen la condicion inicialBc(x, 0) = 0. Este es un sistema de ecuaciones en forma de Cauchy-Kovalevskaya condatos y coeficientes analıticos, por lo tanto tiene solucion unica. Como Bc(x, y) ≡ 0es una solucion, resulta que es la unica.

Ası, las funciones Bc se anulan identicamente en X y esto implica que las formasβc se anulan identicamente cuando las restingimos a X. Por lo tanto, X es unavariedad integral de I y esto termina la demostracion.

El teorema de Cartan-Kahler ofrece el siguiente corolario, de extrema utilidaden las aplicaciones, que muchas veces es llamado ((Teorema de Cartan-Kahler)). Dehecho, bajo este nombre se conoce una familia de resultados relacionados con elteorema recien demostrado, todos y cada uno de ellos sirviendo al proposito degarantizar integrabilidad y existencia de variedades o aplicaciones suaves.

Corolario 3.2.2. Sea (Σ, I) un sistema diferencial exterior analıtico sin formas degrado cero y consideremos x ∈ Σ. Sea E ∈ TxΣ un elemento integral ordinario de I.Entonces existe una variedad integral de I que pasa por x y cuyo espacio tangenteen x es justamente E.


Demostracion. Asumamos que dimE = n y tomemos una bandera integral ordinaria(0)x ⊂ E0 ⊂ E1 ⊂ · · · ⊂ En = E ⊂ TxΣ. Supongamos que para algun p < nencontramos una variedad integral, regular, analıtica real Xp de dimension p quepasa por x y tal que TxXp = Ep.

En terminos de coordenadas locales es posible encontrar una variedad analıtiareal Rp ⊂ Σ que contiene a Xp de codimension r(Ep) que satisface TxRp ∩H(Ep) =Ep+1. Sin perdida de generalidad, podemos considerar que TzRp y H(TzXp) sontransversales para todo z ∈ Xp. Aplicando el teorema de Cartan-Kahler, vemos queexiste una variedad integral analıtica real de I de dimension p+ 1, con la propiedadque TxXp+1 = Ep+1.

Si p+ 1 < n entonces Ep+1 es un elemento integral Kahler-regular y por lo tantoreduciendo Xp+1 si es necesario, podemos asegurar que Xp+1 es una variedad integralKahler-regular, analıtica real de dimension p+ 1. Si en cambio p+ 1 = n, entoncesXp es la variedad integral buscada.

Observacion. Antes de dar paso a los ejemplos, vamos a discutir brevementealgo de la terminologıa clasica sobre el ((grado de generalidad)) de el espacio devariedades integrales ordinarias de un sistema diferencial exterior analıtico (Σ, I),tambien presente en la teorıa clasica de ecuaciones diferenciales; por ejemplo, como lavemos en la clasica exposicion en el tercer volumen de la obra ((Analisis Matematico))de Don Julio Rey Pastor, Pedro Pi Calleja y Cesar Trejo, [11]. Para eso, volvemos aasumir que I no posee formas de grado cero y que (0)z ⊂ E0 ⊂ E1 ⊂ · · · ⊂ En ⊂ TzΣes una bandera integral ordinaria. Como antes, definimos para 1 ≤ k ≤ n − 1 lasconstantes

ck = codimension de H(Ek) en TzΣ

Por convencion, ponemos c−1 = 0 y cn = s = dim Σ− n. Elijamos un sistema decoordenadas centrado alrededor de un z ∈ Σ con funciones x1, . . . , xn, u1, . . . , us demodo tal que

Ek = gen ∂

∂x1, . . . ,

∂

∂xk

con lo cual, para k < n tenemos que

H(Ek) = v ∈ TzΣ | dua(v) = 0 para todo a ≤ ck.

Para cualquier entero a entre 1 y s, llamemos λ(a) al ((nivel de a)), es decir, elentero k entre 0 y n que satisface ck−1 < a ≤ ck. Evidentemente, el numero deenteros de nivel k es claramente ck − ck−1. El numero no negativo sk = ck − ck−1 sellama el k-esimo caracter de Cartan asociado a la bandera dada.

Pongamos Λ = dx1∧· · ·∧dxn y consideremos Vn(I,Λ) el subespacio de elementosintegrales de I de dimension n sobre los cuales Λ no se restringe a cero. Para cadaE ∈ Vn(I,Λ) definamos

Ek = v ∈ E | dxj(v) = 0 para todo j > k.


Entonces para cada k, la aplicacion E → Ek es una aplicacion continua deVn(I,Λ) a Vk(I). Se sigue que existe un entorno conexo U de En ∈ Vn(I,Λ) con lapropiedad que Ek es Kahler-regular para todo k < n y todo E ∈ U . Sin perdida de ge-neralidad, podemos asumir tambien que la coleccion de 1-formas dxj, dua1≤j≤n,a>ckson linealmente independientes sobre H(Ek) para todo k < n y para todo E ∈ U.

Queremos dar una descripcion de la coleccion C de variedades integrales V de Ide dimension n que contienen a x0 tales que sus espacios tangentes TzV estan en Upara todo z cercano a x0. Por el corolario del teorema de Cartan-Kahler, sabemosque la coleccion C es no vacıa; ademas, si X ∈ C entonces podemos describirlalocalmente por ecuaciones de la forma ua = F a

V (x1, . . . , xn). Pongamos para cadaentero a con nivel k, fa(x1, . . . , xk) = F a

V (x1, . . . , xk, 0, . . . , 0). Por convencion, parael nivel cero, decimos que tenemos ((funciones cero variables)) y nos referiremos aellas meramente como constantes. La coleccion fa1≤a≤s consta de s0 constantes,s1 funciones de 1 variable, s2 funciones de 2 variables y en general sk funciones dek variables, para 0 ≤ k ≤ n.

Afirmamos que la coleccion fa1≤a≤s caracteriza a V en el siguiente modo:toda V ∈ C que da lugar a la misma secuencia de funciones fa, coincide con Ven un entorno del punto x0. Aun mas, la coleccion de funciones analıticas realesfa es arbitraria; el unico requerimiento es que satisfagan apenas un criterio detransversalidad que permita trabajar en el contexto de Cauchy-Kowalevski.

Para demostrar nuestra afirmacion, sea fa una coleccion de funciones analıticasreales que consta de sk funciones de k variables, donde fa depende de las variablesx1, . . . xλ(a). Para todo 1 ≤ k ≤ n, definimos la variedad Rk como la subvariedad quealrededor del punto x0 se describe por las ecuaciones

xk+1 = xk+2 = · · · = xn = 0, ua = fa(x1, . . . , xk, 0, . . . , 0)

donde a recorre todos los ındices de nivel mayor o igual que k. La codimensionde Rk es entonces n − k + (s − ck−1) = r(Ek−1) y mediante la repetida aplicaciondel teorema de Cartan-Kahler podemos construir una unica secuencia Xk0≤k≤n devariedades integrales que satisfacen

x0 ∈ X1, Xk ⊂ Xk+1, Xk ⊂ Rk

lo cual prueba lo afirmado.Del mismo teorema de Cartan-Kahler, se sigue la siguiente proposicion sencilla

Proposicion 3.2.1. Sea (Σ, I) un sistema diferencial exterior analıtico que no con-tiene formas de grado cero. Sea Z ⊂ Vn(I) una componente del espacio de elementosintegrales ordinarios. Entonces la sucesion de caracteres de Cartan s0, s1, . . . , sn esla misma para todas las banderas integrales ordinarias (0)z ⊂ E1 ⊂ · · · ⊂ En conEn ∈ Z.


3.3. Ejemplos

Ejemplo 3.3.1. Comencemos con un ejemplo donde ya sepamos la respuesta sim-plemente para constatar que el Teorema de Cartan-Kahler predice lo que tiene quepredecir. Volvamos al ejemplo 2.2.1. En tal ejemplo, sobre Σ = R3 con coordenadasx, y, z tenıamos un ideal de tipo Frobenius dado por

I = dx, dx ∧ dydiff.

Para este caso, consideramos la bandera (0) ⊂ E ⊂ H(E) y en el ejemplo2.3.1 probamos que tal bandera era una bandera ordinaria, y computamos ademasc0 = 1, c1 = 1. Computemos los caracteres de Cartan:

s0 = c0 = 1, s1 = c1 − c0 = 1− 1 = 0

Como la bandera es ordinaria, el teorema de Cartan-Kahler asegura que nuestrosistema (Σ, I,Ω) posee variedades integrales de dimension dos pasando por cualquierpunto p ∈ Σ de modo tal que su espacio tangente en p es exactamente H(E). Talesvariedades integrales dependen genericamente de 1 funcion de cero variables (o seade una constante): esto es lo que discutimos exactamente en 2.2.1: las variedadesintegrales de dimension dos vendran dadas por planos x = k con k ∈ R arbitrario.

Veamos ahora un ejemplo geometrico.

Ejemplo 3.3.2. Frames adaptados de primer orden. En este ejemplo, estudia-remos los frames adaptados de primer orden para una superficie en R3.

Consideremos en ASO(3) × R3hij

el sistema diferencial exterior para frames deprimer orden dado por

I = ω3, θ1, θ2diff.

donde θ31 = ω1

3 − h11ω1 − h12ω

2, θ32 = ω2

3 − h21ω1 − h22ω

2. Busquemos genera-dores algebraicos para I: para esto, computamos las derivadas de cada uno de losgeneradores. Un poco de paciencia, obtenemos, modulo ω3, θ1, θ2

dω3 ≡ 0

dθ31 ≡ (2h12ω

21 − dh11) ∧ ω1 + ((h22 − h11)ω2

1 − (αdh11 + βdh22)) ∧ ω2

dθ32 ≡ ((h22 − h11)ω2

1 − (αdh11 + βdh22)) ∧ ω1 − (2h21ω21 − dh22) ∧ ω2

Para simplificar la notacion, pongamosπ1

1 = 2h12ω21 − dh11

π22 = 2h21ω

21 − dh22

π12 = (h22 − h11)ω2

1 − (αdh11 + βdh22)

(3.11)


No es difıcil ver que la identidad h12 = h21 implica que π12 = π2

1, con lo cual, unconjunto de generadores algebraicos para I viene dado por

G = ω3, θ31, θ

32, π

11 ∧ ω1 + π1

2 ∧ ω2, π12 ∧ ω1 + π2

2 ∧ ω2

Ya que tenemos un sistema de generadores algebraicos para nuestro sistema,construyamos una bandera de elementos integrales y veamos si resulta una banderaordinaria.

Construyamos la bandera: (0) = E0 ⊂ E1 ⊂ E2 con los subespacios

E0 = ω3, θ31, θ

32, π

11, π

12, π

22, ω

1, ω2⊥ = (0)

E1 = ω3, θ31, θ

32, π

11, π

12, π

22, ω

2⊥

E2 = ω3, θ31, θ

32, π

11, π

12, π

22⊥

Evidentemente, todos son elementos integrales de I pues anulan a todos losgeneradores algebraicos. Calculemos detalladamente sus espacios polares.

(I) Para H(E0): por definicion, tenemos que

H(E0) = v ∈ TΣ | ϕ(v) = 0, ϕ ∈ I1 = ω3, θ31, θ

32⊥.

Esto da que el espacio polar tiene codimension tres en TΣ pues viene definidopor tres fromas independientes; o sea c0 = 3.

(II) Para H(E1): planteando nuevamente la definicion,

H(E1) = v ∈ TΣ | (vyϕ)E1 = 0, ϕ ∈ Ik, k ≤ 2

Veamos en terminos de los generadores algebraicos que ecuaciones realmentedefinen a este espacio polar. Miremos en detalle la definicion: se tiene

ω3(v) = 0

θ31(v) = 0

θ32(v) = 0

(vy [π11 ∧ ω1 + π1

2 ∧ ω2])E1 = 0

(vy [π12 ∧ ω1 + π2

2 ∧ ω2])E1 = 0

Si miramos con cuidado las ultimas dos ecuaciones, vemos que para todow ∈ E1 fijo se tiene el sistema

(π11 ∧ ω1 + π1

2 ∧ ω2)(v, w) = 0

(π12 ∧ ω1 + π2

2 ∧ ω2)(v, w) = 0


Ahora bien, por la definicion misma de E1 y las propiedades del wedge, estesistema se reduce a

π11(v)ω1(w) = 0

π12(v)ω1(w) = 0

de donde vemos que

H(E1) = v ∈ TΣ | ω3(v) = θ31(v) = θ3

2(v) = π11(v) = π1

2(v) = 0

y por lo tanto c1 = 5.

(III) Para H(E2): es sencillo ver, repitiendo un analisis analogo al anterior, que

H(E2) = E2,

y ası, c2 = 6.

Ası, por la primera parte del Cartan Test tenemos que la codimension de V2(I)en G2(TΣ) alrededor de E2 es por lo menos c0 +c1 = 3+5 = 8. La segunda parte delCartan Test nos dice que esta bandera sera una bandera ordinaria si efectivamentepodemos mostrar que la codimension es exactamente 8. Veamos como mostrar esto.

Para mostrarlo, consideremos un ligero cambio de notacion que facilitara variascuentas. Tomemos en Σ un sistema de coordenadas y1, . . . , y8 de modo tal que sinotamos

∂

∂yi= vi, dy

i = vi

tengamos

vi = ωi, v4 = θ31, v

5 = θ32, v

6 = π11, v

7 = π12, v

8 = π22.

Sabemos que para todo elemento integral E ∈ V2(I) que satisface la condicionde independencia podemos encontrar una base w1, w2 de la forma

wj = vj + pkjvk, para 3 ≤ k ≤ 8.

Ahora bien, este elemento integral debe anular a todos los generadores algebraicosde l ideal, con lo cual se tiene para las 1-formas,

v3(wj) = v4(wj) = v5(wj) = 0 j = 1, 2

lo cual en terminos de las coordenadas akj se lee


a31 = 0 a3

2 = 0

a41 = 0 a4

2 = 0

a51 = 0 a5

2 = 0.

Para las 2-formas, basta evaluarlas en los elementos de la base de E para obtener

a71 + a6

2 = 0, a81 + a7

2 = 0.

Esto muestra que en efecto, V2(I, ω1 ∧ω2) esta definido por por ocho ecuacionesindependientes; luego se tiene

codimE2(V2(I), G2(TΣ, ω1 ∧ ω2)) = 8,

y ası la segunda parte del Cartan test da que la bandera (0) ⊂ E1 ⊂ E2 es unabandera ordinaria. El corolario del teorema de Cartan-Kahler asegura entonces laexistencia de una variedad integral de I con espacio tangente E2. Tales variedadesintegrales dependen de s2 = c2−c1 = 6−5 = 1 funciones de 2 variables. Esto coincidecon la idea de que localmente, solemos parametrizar superficies con funciones z =f(x, y).

Ejemplo 3.3.3. Teorema de Frobenius. Naturalmente, una vez que tenemosdisponible el teorema de Cartan-Kahler, es sensible tratar de recuperar el resultadodel teorema de Frobenius para la categorıa de variedades analıticas.

Sea Σ una variedad analıtica de dimension m = n+ s y sea I el ideal diferencialgenerado algebraicamente por su sumando directo de grado uno, I = I1 ⊂ T ∗Σ.Asumamos por un instante que el rango de I es localmente constante, igual a s.Entonces, para cada x ∈ Σ hay un unico elemento integral de dimension n, a saberI⊥x ⊂ TxΣ; aun mas, todo elemento integral de I con punto base x debe ser unsubespacio vectorial de I⊥x , dado que la condicion de Frobenius implica H((0)x) = Ix.

Ası, si tomamos una bandera integral (0)x ⊂ E1 ⊂ · · · ⊂ En = I⊥x , tendremosque H(Ep) = I⊥x para todo 0 ≤ p ≤ n. Luego, se sigue que cp = s para todo p.El test de Cartan entonces garantiza que Vn(I) tiene codimension al menos ns enGn(TΣ). Por otro lado, como tenemos un unico elemento integral de I de dimensionn en cada punto de Σ, se sigue que Vn(I) es una variedad suave de dimension n+ smientras que Gn(TΣ) tiene dimension n + s + ns. Deducimos entonces que Vn(I)tiene entonces codimension exactamente ns en la Grassmaniana.

El test de Cartan entonces asegura que todos los puntos de Vn(I) son elementosintegrales ordinarios, y el teorema de Cartan-Kahler (en concreto, su corolario),afirma que existe una variedad integral de I de dimension n por cada punto x ∈ Σ.Observemos que los caracteres de Cartan son

s0 = s, sp = 0∀ p > 0

y esto puede enunciarse como ((localmente, las variedades integrales de dimension nde I dependen de exactamente s constantes)), lo cual esta en concordancia con lateorıa usual de foliaciones.


Veamos ahora un ejemplo con complejos.

Ejemplo 3.3.4. Subvariedades Lagrangianas Especiales de Cn. Consideremosen Cn las coordenadas complejas usuales z1, . . . , zn, y pongamos zk = xk + iyk.Consideremos el ideal generado por la 2-forma ω y la n-forma Φ dadas por

ω = dx1 ∧ dy1 + · · ·+ dxn ∧ dyn)

Φ = Im(dz1 ∧ · · · ∧ dzn)

= dy1 ∧ · · · ∧ dxn + dx1 ∧ dy2 · · · ∧ dxn + · · ·+ dx1 ∧ · · · ∧ dyn + ϕ

Donde ϕ es una forma de grado mayor o igual a dos en las dyk. Las variedades in-tegrales de dimension n de I = ω,Φ se llaman Lagrangianas especiales. Ellas y susgeneralizaciones a variedades de Einstein-Kahler son de interes en fısica-matematica.

Consideremos el elemento integral E ∈ Vn(I) basado en el origen definido porlas relaciones

E = v ∈ T0Cn | dyl(v) = 0, 1 ≤ l ≤ n.y sea la bandera 0 ⊂ E1 ⊂ E2 ⊂ · · · ⊂ En ⊂ E, donde cada Ek viene definido

por

Ek = v ∈ T0Cn | dyl(v) = 0, 1 ≤ l ≤ n, dxj(v) = 0, j > k.Entonces no es difıcil ver que para k < n− 1,

H(Ek) = v ∈ T0Cn | dyj(v) = 0, j ≤ kcon lo cual se sigue que ck = k. En cambio, para k = n− 1, al forma Φ entra en

juego a la hora de computar las ecuaciones polares, y muestra que H(En−1) = En;consecuentemente cn−1 = n. Se sigue entonces que Vn(I) debe tener codimensionpor lo menos

0 + 1 + 2 + · · ·+ (n− 2) + n =1

2(n2 − n+ 2)

alrededor de E. Por otro lado, para todo otro E cercano a E, las 1-formas dxi

son linealmente independientes, con lo cual tales E tienen ecuaciones de la forma

dya = pai dxi

Entonces, estudiemos las condiciones para que E sea un elemento integral denuestro sistema: la anulacion de ω implica que debemos tener pai − pia = Fia = 0; encambio, la anulacion de Ψ, implica que debemos tener

0 = G = p11 + p2

2 + · · ·+ pnn + polinomios de grado superior en las pai


donde G resulta polinomial en las pai . Estas funciones tienen diferenciales lineal-mente independientes en pai = 0 (o, sea, en E). Consecuentemente, Vn(I) es suavecerca de E y tiene codimension 1

2(n2 − n + 2) en Gn(TCn). El test de Cartan ase-

gura entonces la existencia de una bandera ordinaria con elemento terminal E, y elteorema de Cartan-Kahler asegura la existencia de una variedad integral de I dedimension n pasando por el origen, con espacio tangente E.

Capıtulo 4

Sistemas lineales Pfaffianos

La teorıa atrae a la practica comoun magneto atrae al hierro.

Carl Friedrich Gauss

En este capıtulo, exploraremos los llamados sistemas lineales Pfaffianos. Estossistemas no solo tienen importancia historica, sino que tambien son de tremendaimportancia practica (con ellos se pueden hacer muchısimas cuentas concretas) yteorica (dado un ideal diferencial, es posible reducirse al caso de ideales diferencialesgenerados por formas de grado uno, del mismo modo que tenemos el truco de reduc-cion de orden para ecuaciones de grado superior). Daremos una version del teoremade Cartan-Kahler para estos sistemas y computaremos algunos ejemplos.

4.1. Sistemas lineales Pfaffianos

Definicion 4.1.1. Diremos que un sistema diferencial exterior con condicion deindependencia (Σ, I,Ω) es Pfaffiano si I esta generado diferencialmente por unacantidad finita de formas de grado menos o igual a uno.

Como hipotesis de trabajo en este capıtulo, asumiremos simplemente que I nocontiene formas de grado cero, con lo cual

I estara generado por las secciones de un subfibrado I ⊂ T ∗Σ.

Como explicamos en el primer capıtulo de esta tesis, asumiremos que la condicionde independencia viene dada por un subfibrado adicional J ⊂ T ∗Σ tal que I ⊂ J .

Definicion 4.1.2. Un sistema Pfaffiano (Σ, I,Ω) se dice lineal si verifica

dI ≡ 0 mod Jalg

67

CAPITULO 4. SISTEMAS LINEALES PFAFFIANOS 68

Saquemosle el jugo a esta definicion en terminos de una eleccion de formas paraI, J . Consideremos que localmente tenemos una base de T ∗Σ

θ1, . . . θs, ω1, . . . , ωn, π1, . . . , πt

adaptada a la filtracion I ⊂ J ⊂ T ∗Σ, y para el resto del capıtulo, fijemos ındices

1 ≤ a, b ≤ s, 1 ≤ i, j ≤ n, 1 ≤ ε, δ ≤ t.

Cuando consideremos cambios de bases, estos estaran restringidos a respetar lafiltracion; es decir, ´consideraremos solo cambios de base de la forma

θa = Aabθb,

ωi = Bijω

j +Biaθa,

πε = Cεδπ

δ + Cεiω

i + Cεaθa

(4.1)

Estudiemos primero el comportamiento de los generadores algebraicos dθa denuestro sistema. Estos pueden escribirse

dθa ≡ Aaεiπε ∧ ωi +

1

2caijω

i ∧ ωj +1

2eaεδπ

ε ∧ πδ mod Ialg (4.2)

para ciertas funciones A, c, e, donde podemos suponer

caij + caji = eaεδ + eaδε = 0.

A estas ecuaciones suele llamarselas ((ecuaciones estructurales del sistema)). Aho-ra bien, para nuestro sistema diferencial exterior con condicion de independencia(Σ, I,Ω), los elementos integrales vienen definidos por las ecuaciones

θa = 0

πε − pεiωi = 0,

con lo cual si de la segunda ecuacion despejamos πε y lo reemplazamos en (4.2) yutilizamos la independencia de las ωi, luego de un poco de distributivas obtenemos

(Aaεipεj − Aaεjpεi) + caij + eaεδ(p

εipδj − pεjpδa) = 0. (4.3)

Lo que observamos es que estas ((ecuaciones de compatibilidad)) son lineales enlos pεi sı y solo si todos los coeficientes eaεδ son nulos. Es decir, un sistema diferencialexterior Pfaffiano se dira lineal si sus ecuaciones de compatibilidad (4.3) son linealesen los pai .

Por supuesto, en terminos de la eleccion de la base para el fibrado cotangente,esto es equivalente a simplemente


1

2caijω

i ∧ ωj mod Ialg. (4.4)


Observemos que estas ecuaciones pueden escribirse de manera compacta recor-dando como

dθa ≡ πai ∧ ωi mod Ialg (4.5)

donde las πai son 1-formas bien definidas bajo el cambio de base en la filtracion,y pueden escribirse como

πai ≡ Aaiεπε modJ (4.6)

Es decir, las ecuaciones estructurales muestran que el operador de diferenciacionexterior d define un mapa de fibrados

δ : I → (T ∗Σ/J)⊗ J/I (4.7)

dado localmente por

δ(θa) = Aaεiπε ⊗ ωi (4.8)

Veremos en la proxima seccion que esta aplicacion, juega un papel muy impor-tante a la hora de decidir si un sistema lineal Pfaffiano posee variedades integraleso no. Mencionesmos algunos ejemplos de sistemas lineales Pfaffianos.

Ejemplo 4.1.1. Sistemas de contacto en espacios de jets El ejemplo masimportante de este tipo de sistemas es verdaderamente el sistema de contacto en unespacio de jets.

Sobre Jr(N,M) tomemos coordenadas xi, ua, paλ para ındices 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ a ≤s y multiındices λ de longitud menor o igual a r, donde

paλ = faλ(x)

Los generadores vendran dados por la siguiente la coleccion de 1-formas

θa = dua − pai dxi

θai = dpai − paijdxj

...

θai1,...,ik−1= dpai1,...,ik−1

− pai1,...,ikdxik

y si utilizamos una notacion de multiındices λ, el sistema diferencial exteriorquedara definido por

Ωr(N,M) = θaλ = dpaλ − paλ,jdxj | 1 ≤ |λ| ≤ r − 1, 1 ≤ j ≤ n, 1 ≤ a ≤ sdiff.

la condicicion de independencia sera la usual, Ω = dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn.


Ejemplo 4.1.2. Sistema canonico en Gn(TΣ) Otro ejemplo relevante de siste-ma lineal Pfaffiano vendra dado por el sistema lineal exterior (L,Λ) definido sobreG(TΣ) como en la seccion 3 del capıtulo 1.

Ejemplo 4.1.3. Sistemas diferenciales para frames adaptados El sistemadiferencial que definimos en ASO(3)

I = ω3, θ31, θ

32diff

cuyas variedades integrales son frames adaptados, tambien es un sistema linealPfaffiano.

4.2. Tableau y sımbolo de un sistema lineal Pfaf-

fiano

En esta seccion daremos uso a un concepto puramente algebraico: el tablau. Conellos, empleando las condiciones de rango localmente constante de I construiremosun fibrado sobre Σ, el fibrado de tablaux asociado a (Σ, I,Ω) que nos permitira ob-tener una version poderosa del teorema de Cartan-Kahler para sistemas linealesPfaffianos, pues como veremos, el estudio del tableau es en el fondo el estudio debanderas para el sistema diferencial exterior. Comencemos.

Definicion 4.2.1. Dados dos espacios vectoriales V,W sobre un mismo cuerpo k,un tableau sera simplemente un subespacio vectorial

A ⊂ Hom(V,W )

Utilizando el lenguaje del algebra tensorial, pondremos sin mas Hom(V,W ) =W ⊗ V ∗. En terminos de bases, consideremos v1, . . . , vn y w1, . . . , ws bases deV,W respectivamente, y elijamos una base para A con elementos

Aε = Aaεiwa ⊗ v∗i .

(Aquı utilizamos la notacion v∗i para notar al covector asociado a vi; naturalmenteasumiremos la suma sobre el ındice en este caso) Un elemento generico de un tableauA sera una combinacion lineal de los Aε y en terminos de coordenadas, podemos verque el estudio de un tableau es el estudio de matrices cuyas entradas son funcioneslineales. Por dualidad, tenemos tambien la siguiente definicion, que sera de utilidaden varias ocasiones.

Definicion 4.2.2. dado un tableau A ⊂ Hom(V,W ) = W⊗V ∗, su sımbolo asociadoviene dado por el anulador

B = A⊥ ⊂ W ∗ ⊗ V,

en terminos de una eleccion de bases para V y W , el sımbolo tendra una basecon elementos de la forma


Bλ = Bλia w

∗a ⊗ vi

Vamos a definir ahora la familia de prolongaciones de un tableau. Consideremosel (q + 1)-esimo producto simetrico S(q+1)V ∗ e identifiquemoslo como el espacio depolinomios homogeneos de grado q + 1 en V , y los operadores de diferenciacionusuales

∂

∂xi: S(q+1)V ∗ → SqV ∗.

Extendemos los operadores ∂/∂xi a todo W ⊗ S(q+1)V ∗ por linealidad, conside-rando a los elementos de W como constantes, con lo cual, de la definicion vemosque

∂

∂xi(wa ⊗ P a(x)) = wa ⊗

∂P a

∂xi(x).

Definicion 4.2.3. Dado un tableau A ⊂ W ⊗ V ∗, su definimos su q-esima prolon-gacion de manera inductiva, poniendo

A(0) = A, y para q ≥ 1

A(q) = P | ∂P∂xi∈ A(q−1).

Es claro que de la misma definicion que A(q) ⊂ W ⊗ S(q+1)V ∗ es un subespaciovectorial que consta exactamente de los polinomios P ∈ W ⊗ S(q+1)V ∗ tales que

∂qP (x)

∂xi1 · · · ∂xiq∈ A

para toda eleccion de i1, . . . , iq.

Vamos a definir una la condicion de involutividad de un tableau; para nosotros,tener un tableau involutivo es tener una bandera ordinaria. Luego e definir esteconcepto, podemos formular una version de Cartan-Kahler para sistemas Pfaffianoslineales.

Comencemos dando dos definiciones. Primeramente, si tenemos un subespaciovectorial U ⊂ W ⊗ SqV ∗, definamos

Uk = P ∈ U | ∂P∂x1

= · · · = ∂P

∂xk= 0 (4.9)

Notemos que tenemos

(A(1))k = (Ak)(1) = P ∈ W ⊗ S2V ∗ | ∂P

∂xi∈ A, ∂2P

∂xi∂xj= 0, para todo 1 ≤ j ≤ k

Llamaremos a este subespacio simplemente A(1)k . Claramente, tenemos que


∂

∂xk: A

(1)k−1 → Ak−1. (4.10)

Observemos tambien que los subespacios Ak dan lugar a una filtracion

0 = An ⊂ An−1 ⊂ · · · ⊂ A1 ⊂ A0 = A, (4.11)

Definicion 4.2.4. Sea A ⊂ W ⊗ V ∗ un tableau. Definimos inductivamente loscaracteres s1, . . . , sn del tableau A por la formula

s1 + · · ·+ sk = dimA− dimAk. (4.12)

Puede demostrarse que los caracteres del tableau satisfacen

s1 ≥ s2 ≥ · · · ≥ sn

y aun mas, se tiene la siguiente importante proposicion.

Proposicion 4.2.1. Sea A ⊂ W⊗V ∗ un tableau y sea A(1) su primera prolongacion.Entonces se tiene la desigualdad

dimA(1) ≤ s1 + 2s2 + · · ·+ nsn (4.13)

con igualdad si y solo si los mapas de derivacion (4.10) son suryectivos para todok.

Demostracion. Para comenzar, notemos quedimA = s1 + · · ·+ sn

dimAk = sk+1 + · · ·+ sn.(4.14)

Si consideramos la sucesion exacta corta

0→ A(1)k → A

(1)k−1

∂/∂xk−→ Ak−1

tomando dimensiones, obtenemos

dimA(1)k−1 − dimA

(1)k ≤ dimAk−1.

Usando que A(1)0 = A(1) y sumando sobre k, obtenemos

dimA(1) ≤ dimA+ dimA1 + · · ·+ dimAn−1.

Utilizando la obstervacion (4.14) en esta ultima desigualdad, obtenemos

dimA(1) ≤ s1 + 2s2 + · · ·+ nsn,

que es la desigualdad buscada.


Definicion 4.2.5. Un tableau A ⊂ W ⊗V ∗ se dira involutivo si se tiene la igualdad

dimA(1) = s1 + 2s2 + · · ·+ nsn,

Estamos ahora listos para definir el tableau asociado a un sistema lineal Pfaf-fiano (Σ, I,Ω) bajo condiciones de rango localmente constante sobre nuestro ideal.Como antes es usual, definiremos el fibrado dando cada una de sus fibras sobre Σ.Supongamos que el ideal viene dado por I = θa, J = θa, ωi y que escribimos lasecuaciones estructurales como


1

2caijω

i ∧ ωj mod Ialg,

donde las formas πε completan J a una base de T ∗Σ. Pongamos V ∗ = (J/I)x,W∗ =

Ix, y notemos a las respectivas bases inducidas por nuestro sistema del modo vi =ωix, w

a = θax. Definimos entonces el tableau de (Σ, I,Ω) en x al subespacio de W⊗V ∗dado por

Ax = genAaεiwa ⊗ vi. (4.15)

Observemos que si escribimos las ecuaciones estructurales de manera compacta,podemos definir el tableau a traves de las formas πai que discutimos al final de laprimera seccion de este capıtulo. Veamos como hacer esto. Dado x ∈ Σ, consideremosJ⊥x ⊂ TxΣ dado por

J⊥x = v ∈ TxΣ | ν(v) = 0, ν ∈ J = v ∈ TxΣ | θa(v) = ωi(v) = 0,

y si recordamos las ecuaciones estructurales, vemos que estan bien definidas lascantidades

πai (v) ∈ I∗x ⊗ Jx/Ix, v ∈ J⊥xy con lo cual podemos definir el tableau en el punto x ∈ Σ como el subespacio

dado por

Ax = πai (v) | v ∈ J⊥x ⊂ I∗x ⊗ Jx/Ix. (4.16)

Es decir, si consideramos la aplicacion

J⊥x → I∗x ⊗ Jx/Ixdada por

v → πai (v)wa ⊗ vi

bajo condiciones de rango constante puede pensarse como una aplicacion entrefibrados


π : J⊥ → I∗ ⊗ J/Ientonces el fibrado de tableau es sencillamente la imagen de esta aplicacion.

Definicion 4.2.6. Asumiendo que dimAx es localmente constante en Σ, definimosel fibrado de tableaux A ⊂ I∗ ⊗ J/I a traves de las fibras (4.16)

De algun modo, podemos decir que el fibrado de tableau codifica lo que llamamosla ((parte principal)) del comportamiento de los generadores algebraicos de grado dosde nuestro sistema.

Para cada x ∈ Σ, quedan definidos los caracteres reducidos del sistema linealPfaffiano como los caracteres sk(x) del tableau Ax. En la discusion de ejemplos,usualmente omitiremos la mencion al punto x y pondremos

W = I∗x,

V ∗ = Jx/Ix,

A = Ax,

sk = sk(x)

y hablaremos simplemente de A ⊂ W ⊗ V ∗ como el tableau de (Σ, I,Ω) sinreferencia al punto particular x ∈ Σ.

Cuando definimos sistema lineal Pfaffiano, mencionamos que la condicion delinealidad venıa dada por una cierta condicion de linealidad que debıan cumplir lasfunciones coordenadas pεi de los elementos integrales. Veremos que esta condicionpuede hacerse mas precisa con la siguiente proposicion.

Proposicion 4.2.2. Supongamos que (Σ, I,Ω) es un sistema lineal Pfaffiano y queel conjunto de elementos integrales Gx(I,Ω) sobre un punto x ∈ Σ es no vacıo.Entonces Gx(I,Ω) tiene estructura de espacio afın y puede identificarse con la pro-

longacion A(1)x de Ax.

Demostracion. Trabajaremos sobre un punto prefijado x ∈ Σ con lo cual no haremosreferencia a el en lo que sigue de la demostracion. Elijamos una base adaptada anuestra filtracion I ⊂ J ⊂ TΣ, digamos θa, ωi, πε. Sabemos que los elementosintegrales verifican

θa = 0

πε − pεiωi = 0

donde

(Aaεipεj − Aaεjpεi) + caij = 0.

Estas ecuaciones definen un espacio lineal afın; asumiendo que es no vacıo, elesapcio vectorial asociado a este espacio afın viene dado por las ecuaciones


Aaεipεj = Aaεjp

εi . (4.17)

Dada una solucion pεja estas ecuaciones, pongamos P aij = Aaεip

εj = P a

ji es sencillover que

P = P aijwa ⊗ xixj ∈ W ⊗ S2V ∗

satisface las ecuaciones que definen a A:

Bλia P

aij = 0.

Luego, se sigue que P ∈ A(1). Recıprocamente, si

P = P aijwa ⊗ xixj ∈ A(1),

entonces cada ∂P∂xj∈ A, y por lo tanto es una combinacion lineal

∂P

∂xj= Aaεip

εjwa ⊗ xi

de las matrices que generan A. Vemos que la condicion

∂2P

∂xi∂xj=

∂2P

∂xj∂xi

es equivalente a la ecuacion (4.17) que define el espacio vectorial asociado alespacio afın de elementos integrales.

Habiendo definido el tableau para un (Σ, I,Ω) lineal Pfaffiano, tenemos natural-mente una definicion para el espacio de sımbolos.

Definicion 4.2.7. Sea (Σ, I,Ω) un sistema lineal Pfaffiano con fibrado de tableauA ⊂ I∗ ⊗ J/I. Definimos su fibrado de sımbolos como

B = A⊥ ⊂ I ⊗ (J/I)∗.

Pronto daremos algunos ejemplos para ver como se calculan estos objetos.

4.3. Torsion

Como bien vimos en la discusion de varios ejemplos de esta tesis y en la discusional comienzo del segundo capıtulo, un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadasparciales esta sujeto a condiciones de compatibilidad, provenientes de la conmutacionde las derivadas parciales sucesivas. Veamos como se reflejan estas condiciones decompatibilidad en un sistema lineal Pfaffiano. Especıfcamente, vamos a considerarlas condiciones de compatibilidad

(Aaεi(x)pεj − Aaεj(x)pεi) + caij(x) = 0 (4.18)


cuyas soluciones garantizan la existencia de elementos integrales Gx(I,Ω) sobreun punto x ∈ Σ. El estudio de las condiciones de compatibilidad desembocara enrelaciones entre las Aεεi(x) y las caij(x); estas se llamaran condiciones de integrabilidad.

Escribamos las ecuaciones de nuestro sistema diferencial exterior agregando explıci-tamente las ecuaciones estructurales

θa = 0


1

2caijω

i ∧ ωj mod Ialg

Ω = ω1 ∧ · · · ∧ ωn 6= 0

(4.19)

Observemos que si tomamos un cambio de complemento de J vıa

πε = πε + Cεiω

i,

entonces pacientemente uno chequea que el cambio que se produce en las ecua-ciones estructurales es

caij = caij + (AaεjCεi − AaεiCε

j). (4.20)

Definamos funciones Eaij = AaεjC

εi − AaεiCε

j y el subespacio

E = genEaijwa ⊗ vi ⊗ vj ⊂ W ⊗ Λ2V ∗.

Si miramos ahora el mapeo de anti-simetrizacion

τ : W ⊗ V ∗ ⊗ V ∗ → W ⊗ Λ2V ∗

Vemos que evidentemente. E ∈ Im(τ). Tenemos ası la importante

Definicion 4.3.1. Sea (Σ, I,Ω) un sistema lineal Pfaffiano y sea x ∈ Σ. Definimosa la torsion del sistema en el punto x como

[c] = [caijwa ⊗ vi ∧ vj] ∈ W ⊗ Λ2V ∗/τ(A⊗ V ∗)

De la discusion precedente, tenemos entonces la siguiente proposicion.

Proposicion 4.3.1. Sea (Σ, I,Ω) un sistema lineal Pfaffiano y sea x ∈ Σ. Entonceshay elementos integrales sobre x si y solo si [c](x) = 0

De algun modo, vemos que la torsion refleja las obstrucciones a la integrabilidadde primer orden de un sistema lineal Pfaffiano; cuando la torsion es efectivamentenula, decimos simplemente que las condiciones de integrabilidad ((se satisfacen)). Laanulacion de la torsion depende de nuestra habilidad de encontrar un cambio debase lo suficientemente suave en nuestra filtracion, de modo que bajo ese cambio,tengamos caij = 0 alrededor de x. Por esta razon, muchas veces diremos que la torsionpuede absorberse.

Tenemos una manera alternativa de expresar las ecuaciones de nuestro sistemalineal Pfaffiano (4.19), llamada la forma dual. Pongamos


πai = Aaεiπε + caijω

j (4.21)

de manera tal que la segunda ecuacion de (4.19) se lee

dθa ≡ πai ∧ ωi mod Ialg. (4.22)

Las 1-formas πai no son linealmente independientes modulo J , y estan sujetas arelaciones de la forma

Bλia π

ai ≡ Cλ

j ωj mod Ialg, (4.23)

donde por (4.21) se tiene que

Cλj ≡ Bλi

a caji (4.24)

Si trabajamos en un abierto U alrededor de un punto x ∈ Σ y asumimos rangoslocalmente constantes, las Bλi

a dan las coordenadas una base del fibrado de sımbolossobre U . La forma dual de las ecuaciones estructurales (4.19) es sencillamente

θa = 0

dθa ≡ πai ∧ ωi mod Ialg

Bλia π

ai ≡ Cλ

j ωj mod Ialg

Ω = ω1 ∧ · · ·ωn 6= 0

(4.25)

Una meditacion breve sobre esta discusion recien presentada deberıa convenceral lector de la validez de la siguiente porposicion.

Proposicion 4.3.2. Asuminedo que la aplicacion π en tiene rango constante, sonequivalentes

i el espacio de elementos integrales G(I,Ω) se suryecta sobre Σ

ii localmente podemos escoger las πε de modo tal que caij = 0 en (4.19)

iii localmente podemos elegir las πai de modo tal que Cλj = 0 en (4.25)

4.4. Cartan-Kahler y sistemas lineales Pfaffianos

Probaremos ahora una version del Teorema de Cartan-Kahler para sistemas li-neales Pfaffianos: en lo que sigue consideraremos un abierto U alrededor de x ∈ Σ, yconsideraremos que las cantidades dimAx, si(x), dimA

(1)x y rango(π) son constantes

en U .

Teorema 4.4.1. Cartan-Kahler para sistemas lineales Pfaffianos Sea (Σ, I,Ω) unsistema lineal Pfaffiano, x ∈ Σ. Entonces el sistema es involutivo en x si y solo si

(i) la torsion se anula en U


(ii) el tableau Ax es involutivo.

Demostracion. Sin perdida de generalidad, podemos reemplazar U por Σ, y ası porla Proposicion 4.3.1 la anulacion de la torsion es equivalente a la suryectividad delmapeo G(I,Ω)→ Σ. Por la Proposicion 4.2.2, tenemos entonces que

dimG(I,Ω) = dim Σ + dimA(1)x .

Por otra parte, usando las ecuaciones estructurales en forma dual, vemos que lasecuaciones

θa(x) = 0

πai (x) = 0

definen un elemento integral E ⊂ TxΣ con base ei donde los ei satisfacen< wj(x), ei >= δij. Puede mostrarse que el rango de las ecuaciones polares de Ek =gene1, . . . , ek viene dado por

s0 + s1 + · · · sk.

Por otro lado, los caracteres de Cartan rk y sk asociados a E en terminos de lasdimensiones de los espacios polares vienen dadas por las relaciones

dimH(Ek) = rk+1 + k + 1

sk = rk − rk+1 − 1 ≥ 0.(4.26)

Pongamos r0 = dim Σ reflejando el hecho que hay elementos integrales sobrecada punto. Entonces tenemos r0− r1− 1 = rangoIx = s0. De (4.26) deducimos quepara 1 ≤ k ≤ n− 1, vale

rk+1 + k + 1 = n+ t− (s0 + s1 + · · ·+ sk). (4.27)

Restando estas ecuaciones para k y k−1 y usando la segunda ecuacion de (4.26),vemos que

sk = sk (4.28)

para 1 ≤ k ≤ n − 1. Esto prueba que para cualquier elemento integral E, loscaracteres sk = sk(E) son iguales a los caracteres reducidos sk. En particular, lossk son los mismos para todos los elementos integrales E sobre el mismo punto basex ∈ Σ. La desigualdad en el Test de Cartan es entonces

dimA(1)x ≤ s1 + 2s2 + · · ·+ nsn, (4.29)

y vale la igualdad sı y solo sı el tableau Ax es involutivo.


Observacion Veamos como se compara este teorema recien demostrado con elCartan-Test del capıtulo dos.

Consideremos un sistema lineal Pfaffiano (Σ, I,Ω) sin torsion con ecuacionesestructurales

dθa ≡ πai ∧ ωi mod θ1, . . . , θs.

Escribamos estas ecuaciones en formato matricial:

d

θ1

...θs

=

π11 . . . π1

n...

...πs1 . . . πsn

∧ω

1

...ωn

.

Supongamos que tenemos sk formas independientes en la k-esima columna; aunmas, sin perdida de generalidad podemos suponer que las primeras sk formas de lak-esima columna son linealmente independientes (esto lo podemos hacer cambiandoadecuadamente las formas θa de nuestro sistema). De ese modo, tendremos que lamatriz polar es de la forma

π11 . . . . . . π1

n...

...... πsnn

... πs22 ∗ ∗πs11 ∗ · · · ∗∗ · · · · · · ∗∗ · · · · · · ∗

donde se cumple que:

para b > sk se tiene que πbk es combinacion lineal de las formas πai con i < k, a ≤ si.

Tomemos un elemento integral En del sistema satisfaciendo la condicion de in-dependencia:

En = θa, πbi⊥.

Vamos a considerar la bandera (0) = E0 ⊂ E1 ⊂ E2 ⊂ · · · ⊂ En definiendo lossubespacios Ek vıa

Ek = θa, πbi , ωj⊥, para j > k

.Para esta bandera, vemos luego de un poco de trabajo (y recordando la eleccion

de independencia en las formas de la matriz polar) que los espacios polares resultan


H(E0) = θb⊥

H(E1) = θb, πa1⊥, a ≤ s1

H(E2) = θb, πa1 , πb2⊥, a ≤ s1, b ≤ s2

...

H(En) = θb, πai ⊥ a ≤ si.

Vemos sencillamente que ası resultan los caracteres de Cartan

si = si,

Es ası que los caracteres sk asociados a la bandera coinciden con los caracteresreducidos del tableau: sk es el numero de formas en la k-esima columna del tableauque son independientes de las formas en las columnas anteriores.

4.5. Ejemplos

Veamos algunos ejemplos de sistemas lineales Pfaffianos.

Ejemplo 4.5.1. Sistemas de ecuaciones en derivadas parciales de primerorden a coeficientes constantes. Un ejemplo interesante y sencillo para tratarde entender las definiciones dadas en este capıtulo son los sistemas de PDE’s deprimer orden homogeneos a coeficientes constantes. Consideremos un caso muy par-ticular pero importante, las ecuaciones de Cauchy-Riemann. En R2 consideramoscoordenadas globales x, y; las ecuaciones de Cauchy-Riemann son

ux = vy

uy = −vx.(4.30)

Veamos el significado de las definiciones de tableau, sımbolo y torsion en es-te caso especial. Como es usual, vamos a trabajar en J1(R2,R2) con coordenadasx, y, u, v, p, q, r, s. Poniendo

θ1 = du− pdx− qdy, θ2 = dv − rdx− sdy

tenemos que el sistema de contacto queda definido por I = θ1, θ2diff y tomare-mos la condicion de independencia estandar Ω = dx∧dy; en terminos de la filtarcion,resulta

J := θ1, θ2, dx, dy.

Estudiemos las ecuaciones estructurales de este sistema. Calculamos ası las de-rivadas exteriores


dθ1 = −dp ∧ dx− dq ∧ dydθ2 = −dr ∧ dx− ds ∧ dy

(4.31)

Ahora bien, nuestro sistema (4.30) define una subvariedad Σ ⊂ J1(R2,R2) dedimension seis vıa

p = s

q = −r(4.32)

Cuando pullbackeamos el sistema de contacto a Σ, esto resulta en relacionesentre las formas; tomando diferencial exterior en las ecuaciones de (4.32) obtenemos

dp = ds

dq = −dr(4.33)

Reemplazando (4.33) en las ecuaciones (4.31), tenemos las ecuaciones estructu-rales

dθ1 = −ds ∧ dx+ dr ∧ dydθ2 = −dr ∧ dx− ds ∧ dy

(4.34)

Ahora bien, sabemos que el tableau queda definido por la imagen de π : J⊥ →I∗ ⊗ J/I, donde I∗ tiene una base inducida por θ1, θ2, digamos w1, w2 y J/I tieneuna base v1, v2. Vemos que sobre Σ tenemos

J⊥ = ∂∂r,∂

∂s

Calculamos entonces un sistema de generadores para la imagen de π calculando

π(∂

∂r) = −ds( ∂

∂r)w1 ⊗ v1 + dr(

∂

∂r)w1 ⊗ v2 − dr( ∂

∂r)w2 ⊗ v1 − ds( ∂

∂r)w2 ⊗ v2

O sea, el primer generador del tableau sera π( ∂∂r

) = w1⊗ v2−w2⊗ v1. Analoga-mente,

π(∂

∂s) = −ds( ∂

∂s)w1 ⊗ v1 + dr(

∂

∂s)w1 ⊗ v2 − dr( ∂

∂s)w2 ⊗ v1 − ds( ∂

∂s)w2 ⊗ v2

Es decir, π( ∂∂s

) = −w1 ⊗ v1 − w2 ⊗ v2. Estos seran los generadores del tableaudel sistema; tenemos ası

A = genw1 ⊗ v2 − w2 ⊗ v1, w1 ⊗ v1 + w2 ⊗ v2 (4.35)

Empleando la identificacion estandar W ⊗ V ∗ = Hom(V,W ) y coordenadas enlas bases respectivas, tendremos una representacion de A como un subespacio deR2×2:


A = gen[0 −11 0

],

[1 00 1

] (4.36)

Sabemos que el sımbolo viene definido por B = A⊥ ⊂ V ⊗W ∗ vıa el pairingestandar; algunas cuentas de algebra lineal muestran que

B = genv1 ⊗ w1 − v2 ⊗ w2, v1 ⊗ w2 + v2 ⊗ w1 (4.37)

Observamos que los generadores del espacio de sımbolos tienen en efecto comoentradas a los coeficientes de las ecuaciones de nuestro sistema. Ası, usualmentepensamos a B como el ((espacio de ecuaciones)); por otra parte, interpretamos altableau como el espacio de ((soluciones de primer orden admisible)).

Estudiemos la involutividad del tableau A. Para eso, calcularemos explıcitamentesu prolongacion A(1) ⊂ W ⊗ S2V ∗. Para encontrar generadores simplemente aplica-mos la definicion:

Caijwa ⊗ vi ⊗ vj ∈ A(1) ⇐⇒ (vkyC

aijwa ⊗ vi ⊗ vj) ∈ A, para k = 1, 2.

y para decidir la pertenencia al tableau A utilizamos al espacio de sımbolos;llegamos ası al sistema de ecuaciones

C111 = 0

C211 + C1

12 + C212 = 0

C112 + C2

12 − C222 = 0

C122 = 0

Este sistema de ecuaciones tiene rango cuatro; como dimW ⊗S2V ∗ tiene dimen-sion seis, se sigue que dimA(1) = 6 − 4 = 2. Por otro lado, podemos computar loscaracteres de Cartan sk de nuestro sistema de PDE’s; recordando que

s1 + · · ·+ sk = dimA− dimAk, donde Ak = P ∈ A | v1yP = · · · = vkyP = 0

Una cuenta sencilla muestra que A1 = A2 = 0, con lo cual tenemos s1 = dimA−dimA1 = 2 y s1 + s2 = dimA− dimA2, con lo que s2 = 0. Esto muestra que

dimA(1) = 1s1 + 2s2 = 2 + 0 = 2,

con lo que el tableau es involutivo. Del mismo modo, las ecuaciones estructurales(4.34) muestran a simple vista que no hay torsion, con lo cual el Teorema de Cartan-Kahler para sistemas linales Pfaffianos dice que tendremos variedades integralesdependiendo de dos funciones de una variable (Una funcion holomorfa en un abiertoU ⊂ C queda totalmente determinada por los valores que toma sobre una curvaanalıtica contenida en U).


A modo general, es posible ver que para sistemas lineales Pfaffianos los caracteresde Cartan pueden determinarse a simple vista viendo la cantidad de parametrosindependientes que aparecen en un elemento generico α del tableau, una vez fijadaslas bases inducidas por la filtracion; es decir

s1 + · · ·+ sk = # de parametros independientes en las primeras k columnas de α

para los detalles, puede consultarse el capıtulo 4 de [3], donde tambien se hablaen extenso sobre diferentes formas normales para estudiar tableau tıpicos.

Este analisis que hicimos para las ecuaciones de Cauchy-Riemann es extensibleal estudio de cualquier sistema de pde’s de primer orden homogeneo con coeficientesconstantes: el espacio de sımbolos lo pensamos como ((el espacio de las ecuaciones));el tableau sera nuestro espacio de ((polinomios de primer grado con derivadas ad-misibles)) y las sucesivas prolongaciones del tableau, A(l) las podemos pensar como((todos los posibles polinomios homogeneos de grado l+1 que son solucion de nuestraecuacion diferencial)). De esta manera, la ((prolongacion total))

A(∞) =⋃

A(l)

la entendemos como el espacio de series formales que son solucion de nuestrosistema de ecuaciones.

Ejemplo 4.5.2. Ecuacion de onda bidimensional. Este es otro ejemplo de lateorıa de ecuaciones dierenciales en derivadas parciales, un ejemplo clasico. En estecaso, en R2 ponemos coordenadas globales x1, x2 y tenemos la ecuacion de onda parauna funcion u : R2 → R

utt − k2uxx = 0 (4.38)

Naturalmente, vamos a modelar esta ecuacion de segundo orden en el espacio dejets J2(R2,R) con coordenadas x1, x2, u, p1, p2, p11, p12, p22. Si ponemos

θ1 = du− p1dx1 − p2dx

2

θ2 = dp1 − p11dx1 − p12dx

2

θ3 = dp2 − p12dx1 − p22dx

2

(4.39)

entonces el sistema de contacto vendra dado por el ideal I = θ1, θ2, θ3diff yla condicion de independencia Ω = dx1 ∧ dx2. La ecuacion diferencial define unasubvariedad Σ ⊂ J2(R2,R) a traves de la ecuacion

p22 − k2p11 = 0 (4.40)

Derivemos ahora las ecuaciones estructurales para nuestro sistema sobre Σ. To-mando derivadas exteriores a (4.39),


dθ1 = −dp1 ∧ dx1 − dp2 ∧ dx2

dθ2 = −dp11 ∧ dx1 − dp12 ∧ dx2

dθ3 = −dp12 ∧ dx1 − dp22 ∧ dx2

(4.41)

Trabajemos primero con dθ1. Utilizando las ultimas dos ecuaciones de (4.39) enla primera ecuacion de (4.41), tenemos

dθ1 = −(θ2 + p11dx1 + p12dx

2) ∧ dx1 − (θ3 + p12dx1 + p22dx

2) ∧ dx2 =

= −θ2 ∧ dx1 + p12dx2 ∧ dx1 − θ3 ∧ dx2 + p12dx

1 ∧ dx2 =

= −θ2 ∧ dx1 − θ3 ∧ dx2

Ahora, aplicando derivada exterior a (4.40) obtenemos

dp22 = k2dp11,

y esto en las ultimas dos ecuaciones de (4.41) dadθ2 = −dp11 ∧ dx1 − dp12 ∧ dx2

dθ3 = −dp12 ∧ dx1 − k2dp11 ∧ dx2.

Utilizando notacion matricial y tomando congruencias modulo I, arribamos a lasecuaciones estructurales sobre Σ,

d

θ1

θ2

θ3

≡ 0 0−dp11 −dp12

−dp12 −k2dp11

∧ (dx1

dx2

)mod I (4.42)

Evidentemente, se satisfacen las condiciones de integrabilidad, es decir, no haytorsion. Ademas, podemos calcular a simple vista los caracteres de Cartan si recor-damos la observacion hecha antes de este ejemplo: miramos la cantidad de 1-formasindependientes en las columnas de la matriz que aparece en (4.42): s1 = 2 pues haydos formas independientes en la primera columna, y s1 + s2 = 2 pues en las dosprimeras columnas hay solo dos formas independientes, con lo cual tenemos s2 = 0.

Calculemos ahora la prolongacion del tableau para decidir si el sistema esta eninvolucion. Tenemos en Σ una base adaptada de la filtracion I ⊂ J ⊂ T ∗Σ dadapor θ1, θ2, θ3, dx1, dx2, dp11, dp12. Si tomamos un x ∈ Σ y definimos V ∗ = (J/I)x,W ∗ = Ix, con bases v1 = dx1, v2 = dx2 y wa = θax respectivamente, podemosarmar el tableau simplemente mirando las ecuaciones estructurales (y estando muyconcentrados en la notacion).

Veamos como hacerlo de manera sencilla: el tableau tendra tantos generadorescomo formas independientes en el complemento de J ; como en este caso tenemosdp11, dp12, A tendra dos generadores. El generador correspondiente a dpαβ tendra co-mo coeficiente de wa⊗ vi al coeficiente de dpαβ ∧ dxi en la ecuacion correspondientea dθa; ası, resulta


A = Ax = genw2 ⊗ v1 + k2w3 ⊗ v2, w2 ⊗ v2 + w3 ⊗ v1

Para calcular la prolongacion, hacemos uso del espacio de sımbolos B = A⊥ ⊂V ⊗ W ∗. Planteando apenas la definicion y algunas cuentas sencillas de algebralineal, obtenemos que el espacio de sımbolos sera

B = genv1 ⊗ w1, v2 ⊗ w3 − k2v1 ⊗ w3, v2 ⊗ w2 − v1 ⊗ w3, v2 ⊗ w1.

Estamos listos para calcular la prolongacion A(1) ⊂ W ⊗ S2V ∗. Recordemos que

A(1) = g ∈ W ⊗ S2V ∗ | (v1y g) ∈ A, (v2y g) ∈ A

Un elemento generico de W ⊗ S2V ∗ es de la forma g = Caijwa ⊗ vi ⊗ vj; plan-

teando las ecuciones para las contracciones y las condiciones de anulacion utilizandolos generadores de B, la prolongacion queda definida por el siguiente sistema deecuaciones:

C111 = 0

C312 − k2C2

11 = 0

C212 − C3

11 = 0

C112 = 0

C112 = 0

C322 − k2C2

12 = 0

C222 − C3

12 = 0

C122 = 0

Facilmente puede chequearse que este sistema de 8 ecuaciones lineales tiene rango7 (la quinta ecuacion es una ecuacion repetida); como dimW ⊗ S2V ∗ = 9 resultaque dimA(1) = 2. Ası, vemos que se tiene

2 = dimA(1) = s1 + s2 = 2

con lo cual el sistema resulta involutivo, y la solucion depende de 2 = s1 funcionesde 1 variable, como bien ya lo sabıa Jean D´Alembert en 1747, cuando propuso comosolucion

u(x, t) = f(x+ kt) + g(x− kt).

donde f, g son dos funciones arbitrarias de una variable de tipo C2.

Ejemplo 4.5.3. Superficies de Weingarten lineales. Las superficies de Wein-garten lineales son superficies en R3 para las cuales su curvatura de Gauss K y sucurvatura media H satisfacen una cierta ecuacion lineal del tipo

AK + 2BH + C = 0


.Esta clase de superficie es ciertamente amplia, incluye por ejemplo

(I) Superficies minimales: aquellas cuya curvatura media es nula, es decir H = 0.Por ejemplo, los planos, los catenoides (superficie de revolucion generada poruna catenaria) y los helicoides son superficies minimales sencillas de visualizar.Otros ejemplos mas sofisticados de superficies minimales vienen dados por lassuperficies de Schwarz (superficies minimales generadas a partir de solucionesdel problema de Plateau), las superficies de Enneper en geometrıa algebraica.

(II) Superficies desarrollables: tienen curvatura de Gauss nula; algunos ejemplossencillos son los cilindros y los conos.

(III) Superficies pseudoesfericas: son superficies tienen curvatura de Gauss cons-tante -1. Ejemplos incluyen la pseudoesfera, los hiperboloides de una hoja ysuperficies de revolucion generadas por conicas.

Vamos a estudiar la geometrıa de estas superficies a travges de frames adaptadosde primer orden. Consideremos en ASO(3)×R3

hijel sistema diferencial exterior para

frames de primer orden dado por

I = ω3, θ1, θ2.

La condicion de Weingarten AK + 2BH + C = 0 define una subvariedad Σ ⊂ASO(3)× R3

hijde codimension uno a traves de la ecuacion

A(h11h22 − h212) +B(h11 + h22) + C = 0.

Tomando diferencial exterior a esta ecuacion y trabajando un poco con las ex-presiones, llegamos a que sobre Σ se tiene

dh12 = αdh11 + βdh22 (4.43)

para ciertas funciones α, β y luego podremos emplear esta relacion y las ecua-ciones de Maurer-Cartan para dar las ecuaciones estructurales de nuestro sistema.Con un poco de paciencia, obtenemos

dω3 ≡ 0

dθ31 ≡ (2h12ω

21 − dh11) ∧ ω1 + ((h22 − h11)ω2

1 − (αdh11 + βdh22)) ∧ ω2

dθ32 ≡ ((h22 − h11)ω2

1 − (αdh11 + βdh22)) ∧ ω1 − (2h21ω21 − dh22) ∧ ω2

Para simplificar la notacion, pongamosπ1

1 = 2h12ω21 − dh11

π22 = 2h21ω

21 − dh22

π12 = (h22 − h11)ω2

1 − (αdh11 + βdh22)

(4.44)


Un estudio detallado de (4.43) y (4.44) revela que se tiene

π12 = απ1

1 + βπ22

,con lo cual, podemos escribir las ecuaciones estructurales en terminos matriciales

y resultan

d

ω3

θ31

θ32

≡ 0 0

π11 απ1

1 + βπ22

απ11 + βπ2

2 π22

∧ (ω1

ω2

)mod I. (4.45)

Mirando la matriz de estructura, vemos que s1 = 2, s2 = 0. Es sencillo ver queun el tableau asociado a este sistema diferencial exterior es involutivo: de hecho elcomputo se hace exactamente del mismo modo que en el ejemplo anterior.

Resulta ası que las variedades integrales de este sistema dependeran localmentede dos funciones de una variable; esto puede interpretarse como que las superficies deWeingarten quedaran determinadas a partir de la curvatura y la torsion de una curvaespacial contenida en ellas. De hecho, el mismo Cartan lleva a cabo esta construccionen [3].

4.6. Comentarios finales

En los ejemplos de la seccion anterior y del capıtulo tres, mostramos la metodo-logıa tıpica del empleo del teorema de Cartan-Kahler, vıa el Test de Involutividadde Cartan. En vez de verificar directamente las hipotesis del teorema, buscamosbanderas ordinarias y calculamos sus caracteres. Luego, calculamos la codimensiondel espacio de elementos integrales dentro de la grassmanniana. Si estos numeroscoinciden, el teorema de Cartan-Kahler (o mejor dicho, su corolario) garantiza laexistencia de variedades integrales por el punto x ∈ Σ.

Ahora bien, puede pasar que ninguna bandera basada en un punto x ∈ Σ paseel test de involutividad de Cartan y aun ası el sistema posea variedades integralespasando por x. Veamos un ejemplo.

Ejemplo 4.6.1. Consideremos en Σ = R3 coordenadas globales x, y, z y el sistemadiferencial exterior

I = dx ∧ dz, dy ∧ dzdiff.

Ciertamente, las variedades integrales de dimension dos de este sistema son losplanos de ecuacion z = c con c una constante arbitraria. Pero lo que sucede es queningun elemento integral de dimension dos es de hecho elemento terminal de unabandera ordinaria. De alguna manera, podemos decir que el test de Cartan no puededetectar las variedades integrales de dimension dos solo con esta informacion.

Una forma de obtener informacion mas fina que permita decidir la existencia devariedades integrales vıa computos de algebra lineal es prolongar el sistema. Descri-bamos brevemente como proceder. Supongamos que estamos buscando variedades


integrales de dimension n de un EDS (Σ, I); supongamos ademas que los planostangentes a estas variedades integrales caen en alguna componente conexa

Z ⊂ Vn(I) ⊂ Gn(TΣ).

Como comentamos en el primer capıtulo de esta tesis, una variedad integral f :N → Σ tiene asociada un levantado canonico f : N → Gn(TΣ) definido simplementepor

f(p) = f∗(TpN) ⊂ Tf(p)Σ.

Ahora bien, f es una variedad integral del sistema tautologico en Gn(TΣ). En-tonces, si restringimos el sistema de contacto canonico de Gn(TΣ) a Vn(I) y deno-tamos tal sistema como (Σ(1), I(1)), las variedades integrales de este sistema estaranen correspondencia uno a uno con las variedades integrales de (Σ, I).

En cierto modo, pasar a este nuevo sistema diferencial exterior en esta nuevavariedad implica considerar ((los coeficientes de los planos tangentes)) como ((nuevasvariables)), sujetas a relaciones de diferenciabilidad y compatibilidad. De algunamanera, estamos mirando condiciones de compatibilidad de orden superior. Veamoscomo se plasma esta discusion en el ejemplo.

Consideremos el abierto G2(TΣ, dx ∧ dy) ⊂ G2(TΣ). Esta es una variedad dedimension cinco con coordenadas adaptadas x, y, z, p, q, de modo tal que un E ∈G2(Σ, dx ∧ dy) esta generado por

∂∂x

+ p∂

∂z,∂

∂y+ q

∂

∂z.

En estas coordenadas, el sistema tautologico sobre la Grassmanniana esta gene-rado por la 1-forma

θ = dz − pdx− qdy.

Ahora bien, Z = V2(I) ⊂ G2(Σ, dx ∧ dy) viene definido por ecuaciones

p = q = 0

con lo cual, la restriccion de θ a Z resulta I(1) = dzdiff que es verdaderamenteun ideal de Frobenius, y el sistema diferencial exterior (Σ(1), I(1)) claramente tienepor variedades integrales a los planos z = c donde c es una constante real arbitraria.

Tıpicamente, en los sistemas diferenciales lineales de Pfaff, el ideal diferencialviene dado localmente por una base de T ∗Σ:

θ1, . . . θs, ω1, . . . , ωn, π1, . . . , πt

donde las formas θ1, . . . θs generan el ideal diferencial y las formas ω1 . . . ωn defi-nen la condicion de independencia. En estos sistemas, buscamos variedades integralesque puedan ser ((parametrizadas en terminos de las formas ω)), es decir, variedades


integrales sobre las cuales Ω = ω1 ∧ . . .∧ ωn no se anule. El procedimiento estandarpara describir

Vn(I,Ω) = Vn(I) ∩Gn(TΣ,Ω)

es recordar que tal conjunto viene descripto por las ecuaciones

θa − paiωi = 0

con lo cual, definiendo ηa = θa − paiωi, resulta que el ideal prolongado I(1) essimplemente

I(1) = η1, . . . , ηsdiff.

En el contexto de la teorıa de ecuaciones diferenciales, este proceso de prolonga-cion esta naturalmente asociado a derivar la ecuacion diferencial y considerar a lasderivadas de la funcion incognita como nuevas variables en un espacio mas grande.Es ası que tenemos una interpretacion de los sistemas prolongados (Σ(1), I(1)) comoespacios de 1-jets de variedades.

Enunciaremos aquı dos teoremas, sin demostracion, para tener una idea de comola teorıa de Cartan-Kahler en el contexto de variedades analıticas es capaz de lidiar,no sin restricciones, con el probelma de la involutividad de sistemas diferencialesexteriores. Si bien la formulacion en terminos de formas diferenciales logro inde-pendizarse de las ((derivadas)) a la hora de formular un problema de ecuacionesdiferenciales, cualquier implementacion del Test de Involutuvidad de Cartan requie-re una eleccion de cartas para la variedad y las consiguientes cartas adaptadas parala grassmanniana; en ese sentido, es debatible su condicion intrınseca.

De hecho, la naturaleza misma del Cartan Test es homologica; el pionero delapproach homologico al estudio de la involucion fue Donald Spencer, a partir de sutrabajo ((Overdetermined Systems of Linear Partial Differenbtial Equations)) (1969).Notable es que estas herramientas surgieron de su trabajo en teorıa de deformaciones.

La demostracion rigurosa de los resultados a continuacion, asimismo una discu-sion extendida del problema de prolongacion puede encontrarse en el capıtulo VI de[6].

Definicion 4.6.1. Sea (Σ, I,Ω) un sistema diferencial exterior con condicion de in-dependencia, sin formas de grado cero, y sea Z ⊂ Von(I). Diremos que Z es involutivosi cada E ∈ Z es el elemento terminal de una bandera ordinaria.

Teorema 4.6.1 (Persistencia de la Involutividad). Sea (Σ, I,Ω) un EDS con con-dicion de independencia, sin formas de grado cero y sea Σ(1) ⊂ Von(I) un abiertoconexo de Von(I) que es ademas involutivo. Entonces toda bandera ordinaria con ele-mento terminal E ∈ Σ(1) tiene la misma secuencia de caracteres de Cartan. Aunmas: el sistema (Σ(1), I(1)) es involutivo en el conjunto Σ(2) ⊂ Vn(I(1)) de elementosintegrales transversales a la proyeccion π : Σ(1) → Σ.


Definicion 4.6.2. Dado un EDS (Σ, I,Ω) y un entero n, una secuencia de prolon-gacion para el sistema (Σ, I,Ω) es una coleccion de variedades Σk; |; k ≥ 0 dondeΣ0 = Σ, junto con inmersiones ιk : Σk → Gn(TΣk−1) para k > 0 con las siguientespropiedades:

i la aplicaicion ιk : Σk → Σk−1 es una submersionpara todo k > 0. Aquı ιk es lacomposicion Σk → Gn(TΣk−1)→ Σk−1.

ii ιi(Σ1) ⊂ Gn(I,Ω), y para todo k ≥ 1,

ιk+1(Σk+1) ⊂ Gn(I(k),Ω(k))

donde (I(k),Ω(k)) es el pullback a Σk del sistema diferencial canonico con con-dicion de independencia de Gn(TΣk−1).

El principal resultado de la teorıa de prolongaciones de sistemas diferencialesexteriores viene dado por el teorema siguiente.

Teorema 4.6.2. Si S = (Σk, ιk); |; k > 0 es una secuencia de prolongacion paraun EDS (Σ, I), entonces existe un entero k0 tal que para todo k ≥ k0, cada sistema(I(k),Ω(k)) es involutivo y ademas ιk+1(Σk+1) es un abierto de Gn(I(k),Ω(k)).

La principal dificultad que se encuentra al comenzar el proceso de prolongacionpara un EDS concreto es que los espacios Vn(I) se vuelven rapidamente inmaneja-bles a nivel computacional, y son difıciles de describir. Para mas sobre la teorıa deprolongacion, recomendamos consultar [1].

Fin.

Bibliografıa

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