TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS - CENIDET · 2014-03-10 · Figura 4.40. Parte real de la respuesta...

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Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Mecánica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Identificación de Parámetros Modales Estructurales usando Transformada Wavelet

Presentada por

JORGE MARIO ROCHIN MACHADO Ing. Mecánico por el I. T. de Hermosillo

como requisito para la obtención del grado de:

Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica

Director de tesis: Dr. Jorge Colín Ocampo

Co-Director de tesis:

Dr. Enrique Simón Gutiérrez Wing

Jurado: Dr. Dariusz Szwedowicz Wasik – Presidente Dr. Jorge Bedolla Hernández – Secretario

M.C. Eladio Martínez Rayón – Vocal Dr. Jorge Colín Ocampo – Vocal Suplente

Cuernavaca, Morelos, México. 11 de Julio de 2011.

AGRADECIMIENTOS.

Quisiera agradecer primeramente a Dios por darme todas las abundantes bendiciones que tengo y

por haber puesto en mi camino esta gran oportunidad que gracias a él he podido culminar

exitosamente…

A mis padres cuya guía ha sido un pilar invaluable para mi, su apoyo ha sido tan extenso e

incondicional no sólo en esta etapa de mi vida sino en toda ella, ha sido tan grande que estoy seguro

de que ni mil vidas me alcanzaría para pagarles todo lo que he recibido de ellos, gran parte de este

éxito es a causa de ellos y del trabajo que han hecho formándome mismo que me ha hecho lo que soy

hoy en día, muchas gracias padres míos, los amo…

A mis hermanos, porque he vivido gran parte de mi vida con ellos y también han contribuido cada uno

de manera individual en mi formación como persona, son una fuente de inspiración para mi debido a

que me han empujado a ser el ejemplo para ellos trabajando duro y alcanzando mis metas para tocar

el éxito, muchas gracias hermanitos los amo y extraño mucho…

A mi gran esposa cuya valentía y paciencia me las ha mostrado en esta aventura fuera de casa

(Sonora), ha sido una gran compañera, amiga y confidente en todo el recorrido que hemos caminado

hasta hoy no sólo como novios sino como marido y mujer, en los momentos más difíciles, cuando he

sentido a la voluntad flaquear ella siempre ha sido ese combustible que me impulsa a seguir a pesar

de todo el cansancio y agotamiento físico y mental, en pocas palabras es mi turbosina sin ella no

funciono, no sé qué haría sin ella, muchas gracias mi amor por realizar este sacrificio junto conmigo,

te amo…

A mis profesores formadores del CENIDET en especial al Dr. Jorge Colín Ocampo y al Dr. Enrique

Simón Gutiérrez Wing, muchas gracias por su amistad, asistencia , enseñanzas y sobre todo por lo

que aprendí de ustedes en verdad, muchas gracias.

A mis amigos de la maestría en ciencias de ingeniería mecánica del CENIDET en especial al Rafa,

Pancho, Enrique, De, Meño, Pedro Cruz, Rigo, Chicali y toda la bola, todos pasamos muy buenos

ratos no sólo ayudándonos mutuamente en lo profesional sino también como personas, muchas

gracias por todo lo que aprendí de cada uno de ustedes y por todo el apoyo en tiempos duros

especialmente en la escuela, en verdad muchas gracias.

Al CONACYT y al CENIDET por considerarme apto para cursar la maestría en ciencias en ingeniería

mecánica y por el financiamiento y apoyo recibido, en verdad, MUCHAS GRACIAS.

RESUMEN.

En el presente trabajo se presenta un método de extracción de parámetros modales

basado en la descomposición modal de una FRF mediante transformada wavelet. Así

mismo, se diseñó una wavelet madre que presenta características y comportamiento

similares a los de una FRF. Con el método propuesto se obtienen tanto amortiguamiento,

frecuencia natural así como formas modales.

El método propuesto se validó tanto numérica como experimentalmente. En la parte

numérica se consideraron 2 casos:

a) Sistemas con modos separados.

b) Sistemas con modos cercanos.

Mientras que en la parte experimental se consideró únicamente el caso para sistemas de

modos separados.

Los resultados muestran que con el método propuesto se pueden obtener los tres

parámetros modales de sistemas mecánicos vibratorios lineales con exactitud.

ABSTRACT.

In the present work a method of modal parameters extraction based on the modal

decomposition of a FRF with wavelet transform is presented. Likewise a mother wavelet

that presents similar characteristics and behavior compared to a FRF was designed. With

the proposed method damping, natural frequencies and mode shapes are obtained.

The proposed method was validated numerically and experimentally. In the numerical part

2 cases were considered:

a) Separately spaced modes systems.

b) Closely spaced modes systems.

While in the experimental part, only the separately spaced modes systems case was

considered.

The results show that with the proposed method the 3 modal parameters of linear

mechanical vibrating systems can be obtained accurately.

CONTENIDO

Contenido Página

Lista de figuras I

Lista de tablas VIII

INTRODUCCIÓN 1

CAPÍTULO I. ESTADO DEL ARTE 3

1.1. Introducción 3

1.2. Estado del arte 3

CAPÍTULO II. CONCEPTOS BÁSICOS 10


2.2. Análisis modal 10

2.3. Transformada de Fourier 11

2.4. Funciones de respuesta dinámica 12

2.4.1. Respuesta en el dominio del tiempo 12

2.4.2. Respuesta en el dominio de la frecuencia 13

2.5. Transformada wavelet 17

CAPÍTULO III. DISEÑO DE WAVELET MADRE PARA EL CÁLCULO DE PARÁMETROS MODALES DE VIBRACIÓN 22


3.2. Diseño de wavelet madre para el cálculo de parámetros modales 22

3.3. Transformada wavelet de una FRF 29

3.4. Extracción de parámetros “ωn” y “ζ” 30

3.5. Cálculo de constantes modales y formas modales de sistemas mecánicos vibratorios 31

CAPÍTULO IV. RESULTADOS NUMÉRICOS. 33

4.1 Introducción 33

4.2. Resultados numéricos de modos separados 33

4.3. Análisis de la respuesta 34

4.4. Cálculo de frecuencias naturales y amortiguamientos 36

4.4.1. Modo 1 36

4.4.2. Modo 2 36

4.5. Cálculo de constantes modales 37

4.5.1. Modo 1 37

4.5.2. Modo 2 39

4.6. Análisis de la respuesta 2 41


4.7.1. Modo 1 41

4.7.2. Modo 2 43

4.8. Cálculo de formas modales 46

4.9. Resultados numéricos de modos cercanos 49

4.10. Análisis del caso de modos cercanos 50


4.12. Cálculo de frecuencias y amortiguamientos 52

4.12.1. Modo 2 52


4.13.1. Modo 2 53


4.14.1. Modo 1 55


4.15.1. Modo 1 59



4.17.1. Modo 1 62

4.17.2. Modo 2 64


CAPÍTULO V. RESULTADOS EXPERIMENTALES. 68


5.2. Arreglo experimental 68

5.3. Análisis de la respuesta del acelerómetro 1 72


5.4.1. Modo 1 75

5.4.2. Modo 2 76

5.4.3. Modo 3 76


5.5.1. Modo 1 77

5.5.2. Modo 2 79

5.5.3. Modo 3 80



5.7.1. Modo 1 83

5.7.2. Modo 2 85

5.7.3. Modo 3 87



5.9.1. Modo 1 89

5.9.2. Modo 2 91

5.9.3. Modo 3 93


5.11 Discusión de resultados 106

CAPÍTULO VI. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS A FUTURO. 108

6.1. Conclusiones 108

6.2. Trabajos futuros 109

6.3 Referencias bibliográficas 110

APÉNDICE I. RELACIÓN DE SENSORES UTILIZADOS EN LA PRUEBA Y DIAGRAMA DE CONEXIONES REALIZADAS. 112

I

LISTA DE FIGURAS.

DESCRIPCIÓN PÁGINA

Figura 2.1. Representación gráfica de una función de respuesta al impulso 13

Figura 2.2. Módulo de una FRF 15

Figura 2.3. Parte real de una FRF 15

Figura 2.4. Parte imaginaria de una FRF 16

Figura 2.5. Diagrama de Nyquist, representación compleja de una FRF 16

Figura 2.6. Distintas wavelet madre 18

Figura 2.7a. Operación de escala de la wavelet madre mexican hat 19

Figura 2.7b. Operación de traslación de la wavelet madre mexican hat 19

Figura 3.8. FRF para distintos valores de ζ ωn 23

Figura 3.9. FRF para distintos valores de ωd 24

Figura 3.10a. Comportamiento de la wavelet madre propuesta para distintos valores de b 26

Figura 3.10b. Comportamiento de la wavelet madre propuesta para distintos valores de x 26

Figura 3.10c. Comportamiento de la wavelet madre propuesta para distintos valores de a 27

Figura 3.11. Variación de “b” y “x” con una escala a=1 28

II

Figura 3.12. Wavelet madre (verde) con escala a=1 y un factor de forma x= ζ ωn, FRF (rojo) 29

Figura 3.13. Escalograma de la transformada wavelet de la FRF mostrada en la figura 3.12. 30

Figura 4.14. Respuesta del sistema teórico de modos separados a analizar con transformada wavelet 34

Figura 4.15. Transformada continua de wavelet del sistema teórico analizado 35

Figura 4.16. Curvas de nivel de la transformada wavelet continua del caso analizado 35 Figura 4.17. Parte real de la respuesta 1 a las frecuencias calculadas mediante transformada wavelet 37

Figura 4.18. Parte imaginaria de la respuesta 1 a las frecuencias calculadas mediante transformada wavelet 38

Figura 4.19. FRF de la respuesta 1 regenerada 40

Figura 4.20. Modo 1 de la respuesta 1 regenerado a la frecuencia original y a la frecuencia calculada. 40


Figura 4.22. Parte real de la respuesta 2 a las frecuencias naturales calculadas mediante transformada wavelet 42

Figura 4.23. Parte Imaginaria de la respuesta 2 a las frecuencias naturales calculadas mediante transformada wavelet. 42

Figura 4.24. FRF de la respuesta 2 regenerada 44

III

4.25. Modo 1 de la respuesta 2 regenerado a la frecuencia original y a la frecuencia calculada. 45


Figura 4.27. Parte real de las respuestas 1 y 2 47

Figura 4.28. Parte imaginaria de las respuestas 1 y 2 47

Figura 4.29. Forma modal del modo 1 48


Figura 4.31. Respuesta de modos cercanos teórica a analizar. 51

Figura 4.32. Escalograma de la respuesta de modos cercanos. 51

Figura 4.33. Curvas de nivel de la transformada wavelet continua del caso analizado. 52

Figura 4.34. Parte real de la respuesta 2 con la frecuencia natural del modo 2 identificada. 53

Figura 4.35. Parte imaginaria de la respuesta 2 con la frecuencia natural del modo 2 identificada. 54

Figura 4.36. Regeneración del modo 2 en el problema de modos cercanos. 55

Figura 4.37. Modo 1 libre para el análisis luego de sustraer el modo 2 con eliminación modal iterativa. 56

Figura 4.38. Transformada de wavelet para el modo 1 del caso teórico de modos cercanos. 57

IV

Figura 4.39. Curvas de nivel de la transformada wavelet continua del caso Analizado 57 Figura 4.40. Parte real de la respuesta 2 con la frecuencia natural del modo 1 identificada. 59

Figura 4.41. Parte imaginaria de la respuesta 2 con la frecuencia natural del modo 1 identificada. 60

Figura 4.42. FRF del modo 1 en la respuesta 2 regenerada. 61

Figura 4.43. Parte real de la respuesta 1 a las frecuencias identificadas para ambos modos de vibración. 62

Figura 4.44. Parte imaginaria de la respuesta 1 a las frecuencias identificadas para ambos modos de vibración. 63

Figura 4.45. Regeneración del modo 1, respuesta 1. 64

Figura 4.46. Regeneración del modo 2 respuesta 1. 65

Figura 4.47. Parte real de las respuestas 1 y 2. 66

Figura 4.48. Parte imaginaria de las respuestas 1 y 2. 67

Figura 4.49. Forma modal del modo 1. 67


Figura 5.51. Vista frontal del montaje de viga en cantiléver. 68

Figura 5.52. Vista superior del montaje de viga en cantiléver. 69

Figura 5.53. Colocación de los sensores (dimensiones en centímetros) 69

V

Figura 5.54. FRF del primer modo de vibración para los 3 acelerómetros utilizados 70

Figura 5.55. FRF del segundo modo de vibración para los 3 acelerómetros utilizados 71 Figura 5.56. FRF del tercer modo de vibración para los 3 acelerómetros utilizados 71

Figura 5.57. Escalograma correspondiente al primer modo de vibración. 72

Figura 5.58. Curvas de nivel para el escalograma del primer modo de vibración. 73

Figura 5.59. Escalograma del segundo modo de vibración mostrando los factores x y b en el punto de correlación máximo. 73

Figura 5.60. Curvas de nivel para el escalograma del segundo modo de vibración. 74

Figura 5.61. Escalograma del tercer modo de vibración mostrando los factores x y b en el punto de correlación máximo. 74

Figura 5.62. Curvas de nivel para el escalograma del tercer modo de vibración. 75

Figura 5.63. Parte real de la respuesta del acelerómetro 1 mostrando el modo 1. 77

Figura 5.64. Parte imaginaria de la respuesta del acelerómetro 1 mostrando el modo 1. 78




VI














5.81a. Fase y desfase entre la respuesta de los acelerómetros (Modo 1) 96

VII

5.81b. Fase y desfase entre la respuesta de los acelerómetros (Modo 2) 97

5.81c. Fase y desfase entre la respuesta de los acelerómetros (Modo 3) 98

Figura 5.82a. Formas modales obtenidas para el sistema analizado (primera forma modal). 99

Figura 5.82b. Formas modales obtenidas para el sistema analizado (segunda forma modal). 99

Figura 5.82c. Formas modales obtenidas para el sistema analizado (tercera forma modal). 99

Figura 5.83a. Regeneración del primer modo de vibración del acelerómetro 1 100

Figura 5.83b. Regeneración del primer modo de vibración del acelerómetro 2 101

Figura 5.83c. Regeneración del primer modo de vibración del acelerómetro 3 101

Figura 5.84a. Regeneración del segundo modo de vibración del acelerómetro 1 102

Figura 5.84b. Regeneración del segundo modo de vibración del acelerómetro 2 103

Figura 5.84c. Regeneración del segundo modo de vibración del acelerómetro 3 103

Figura 5.85a. Regeneración del tercer modo de vibración del acelerómetro 1 104

Figura 5.85b. Regeneración del tercer modo de vibración del acelerómetro 2 105

Figura 5.85c. Regeneración del tercer modo de vibración del acelerómetro 3 105

Figura AI.86. Diagrama de conexiones de la instrumentación 112

VIII

LISTA DE TABLAS.

DESCRIPCIÓN PÁGINA

Tabla 2.1. Distintas FRF existentes 14

Tabla 4.2. Parámetros teóricos propuestos 33

Tabla 4.3. Frecuencias y amortiguamientos calculados para el caso teórico analizado 37 Tabla 4.4. Constantes modales calculadas 46

Tabla 4.5. Parámetros teóricos propuestos 50

Tabla 4.6. Frecuencias y amortiguamientos calculados para el modo 2. 52

Tabla 4.7. Frecuencias y amortiguamientos calculados para el modo 1. 58

Tabla 4.8. Constantes modales calculadas 65

Tabla 5.9. Frecuencias y amortiguamientos calculados para el sistema experimental analizado 76

Tabla 5.10. Constantes modales calculadas 95

Tabla AI.11. Instrumentación utilizada en la prueba experimental 112

1

INTRODUCCIÓN.

En la ingeniería moderna la construcción y el análisis de modelos que describen el

comportamiento dinámico de sistemas mecánicos vibratorios se ha vuelto un asunto de

gran importancia, esto se debe a que es fundamental conocer el comportamiento de un

sistema real mediante modelos matemáticos o numéricos que permitan predecir la

respuesta de un sistema y así evitar efectos indeseables como fallas por fatiga,

resonancia, inestabilidad, contaminación por ruido, etc.

El análisis modal, es un área de la ingeniería, particularmente de la dinámica que se

ocupa de modelar el comportamiento de sistemas mecánicos vibratorios, mismo que toma

como base el cálculo de tres parámetros de caracterización dinámica los cuales son

conocidos bajo el nombre de parámetros modales, los cuáles son: Frecuencias naturales,

razones de amortiguamiento y formas modales de deformación.

La metodología de cálculo existente para extraer estos tres parámetros es muy variada y

existen distintas maneras de clasificarla, una manera común de clasificar estos métodos

es dependiendo del número de grados de libertad (modos) excitados en una prueba de

vibración, estos van desde métodos de descomposición modal de un grado de libertad (un

modo) hasta métodos de descomposición modal de múltiples grados de libertad (múltiples

modos). En cualquier caso, para poder describir el comportamiento dinámico es necesario

llevar a cabo la descomposición de todos los modos excitados en el sistema o bien,

descomponer los que sean de interés para el analista.

Un inconveniente de las metodologías existentes, es cuando se analizan casos en donde

se presentan frecuencias naturales próximas (modos cercanos), esto se debe a la

influencia que la componente modal de un modo ejerce sobre la componente modal del

modo vecino, obligando al analista en muchos casos a ignorar la influencia entre modos y

así separarlos de manera iterativa para llevar a cabo la extracción de parámetros modales

analizando los modos de una manera independiente.

Para el desarrollo de esta tesis se propone llevar a cabo la descomposición modal de una

función de respuesta en el dominio de la frecuencia (FRF) utilizando la transformada

wavelet. En el desarrollo del trabajo se presenta el diseño de una nueva wavelet madre

2

que utilizando la transformada wavelet permite relacionar los términos de escala y

traslación wavelet en función de parámetros modales de caracterización dinámica.

El producto de aplicar la transformada wavelet es una matriz de coeficientes llamados

“coeficientes wavelet” que son la medida de la correlación entre la wavelet madre

propuesta y la FRF analizada. Esta matriz se presenta en un gráfico tridimensional

llamado “escalograma” o “diagrama de escalas”, el cual presenta una combinación de

valores frecuencia-amortiguamiento de la FRF analizada, siendo la mejor combinación la

extraída de la mayor magnitud de la matriz de coeficientes en el escalograma obtenido

para cada caso en particular.

3

CAPÍTULO I.

ESTADO DEL ARTE.

1.1 INTRODUCCIÓN

En este capítulo se describen los antecedentes históricos de los estudios que dieron lugar

al conocimiento que hoy es la transformada wavelet y el análisis modal. Gracias a estas

investigaciones, se establecieron las bases para la comprensión de los procesos de

descomposición modal de respuestas de sistemas dinámicos así como del origen y las

aplicaciones de la transformada wavelet en el campo de identificación de parámetros

modales.

1.2 ESTADO DEL ARTE

El desarrollo de las metodologías de descomposición modal de las respuestas dinámicas

de sistemas mecánicos vibratorios para la construcción de modelos de comportamiento y

optimización dinámicos surge con las primeras teorías del análisis modal en los 40’s. En

el año de 1947 C.C. Kennedy y C.D. Pancu [1] desarrollaron trabajos de identificación de

parámetros modales en estructuras de aviones con un método que se considera fue el

primero del análisis modal experimental, mismo que fue olvidado y dejado de

desarrollarse hasta que la transformada rápida de Fourier fue desarrollada.

Más tarde el científico De Veubeke [2] continuó con trabajos orientados a la identificación

de parámetros modales, él se concentró específicamente en la solución del problema del

“flutter” que consiste en un movimiento periódico rápido que es causado por la interacción

entre masa, rigidez y fuerzas en las estructuras con propiedades aerodinámicas.

Tiempo después surge la transformada rápida de Fourier algoritmo desarrollado por J.W.

Cooly y J.W. Turkey [1], esta técnica junto con la llegada de las computadoras digitales

otorgó un gran énfasis al análisis modal experimental, cambiando por completo la manera

de realizar análisis experimentales de la dinámica de sistemas mecánicos vibratorios, con

este desarrollo las respuestas pudieron ser analizadas desde el punto de vista del dominio

de la frecuencia (dando pié al origen de la función de respuesta en el dominio de la

frecuencia ó FRF), y gracias a esto dichas respuestas pudieron ser computadas para

obtener datos importantes dentro del análisis modal, desde la medida de la fuerza de

excitación hasta las respuestas dinámicas resultantes.

4

Con estos cambios en el análisis modal experimental surgieron conceptos y métodos

novedosos, posteriormente de se desarrollaron algunos trabajos relacionados para llevar

a cabo la identificación de parámetros modales tomando como punto de partida las FRF.

Ken Shye y M. Richardson [3] por ejemplo, en su trabajo llevaron a cabo pruebas de

impacto para obtener las FRF de miembros estructurales y así, proceder a llevar a cabo la

descomposición de las mismas para calcular parámetros modales.

La investigación en el campo continuaba con Michael Lee y Richardson [4] ellos

aseguraron que el tipo más común de prueba modal usa un analizador de transformada

rápida de Fourier para medir un grupo de FRF’s de una estructura y usar un método de

ajuste de curvas para determinar las propiedades modales estructurales partiendo de la

información otorgada por las FRF. Sin embargo, estos autores mencionan en su trabajo

algunos problemas al utilizar esta técnica entre los que se encuentran los siguientes:

Resolución en la frecuencia insuficiente, distorsión en las mediciones, ruido en las

mediciones y la determinación errónea del tamaño del modelo o del número de modos a

analizar y demostraron la existencia de estos errores utilizando 12 FRF’s y utilizando el

ajuste de curvas para aproximarse a las mismas, los resultados obtenidos en este trabajo,

nos dan una guía acerca de qué tipo de problemas se han encontrado al extraer

información modal a partir de las FRF’s por lo que es importante recabar información del

mismo para tener presente los problemas que se han tenido a lo largo de este desarrollo.

Posteriormente, se continuó con la investigación en el área de identificación de

parámetros modales con Richardson y Formenti [5] ellos propusieron el método de

fracciones racionales polinomiales (RFP) en la obtención de parámetros modales a nivel

local en un sistema, el cual consiste en suponer que las FRF’s se pueden expresar como

polinomios en el dominio de la frecuencia. Los autores identifican en el desarrollo

matemático de las RFP’s al denominador el cual otorga las frecuencias naturales y los

amortiguamientos de la estructura utilizando toda la información posible de del sistema y

al numerador que otorga información de las formas modales, dicho método se utiliza para

la extracción de parámetros modales y estos científicos lo trabajaron directamente sobre

funciones de respuesta en el dominio de la frecuencia (FRF’s). Más tarde, Richardson

propuso una variación del método RFP al aplicarlo a escala global en un sistema

estructural el cual consiste en la construcción y solución de ecuaciones que otorgan los

5

parámetros modales a escala global (frecuencias globales, amortiguamientos globales,

etc). Inmediatamente después, S. Chauhan, R. Martell, D.L. Brown, R.J. Allemang [6] en

su publicación realizan algunas observaciones sobre las técnicas de identificación de

parámetros modales en particular de la técnica mencionada anteriormente (RFP),

mencionan que existen varias técnicas en el dominio del tiempo pero que existen muy

pocas en el dominio de la frecuencia, una de las razones por la que esto sucede

mencionan los autores, son las pobres características numéricas asociadas con

algoritmos de alto orden en el dominio de la frecuencia como el algoritmo (RFP). Estas

limitaciones mencionan, pueden ser mejoradas utilizando métodos como la normalización

de frecuencias y el uso de polinomios ortogonales en el análisis modal experimental. Sin

embargo, mencionan que el estimar parámetros modales en el dominio de la frecuencia

sigue siendo un reto en algunos casos, por lo que propone identificar parámetros modales

con algoritmos de bajo orden en el dominio de la frecuencia para compensar las

limitaciones de técnicas relacionadas con algoritmos de alto orden en el dominio de la

frecuencia.

Más tarde, Gloth y Sinapius [7] proponen un método más para la identificación de

parámetros modales, mencionan en su publicación que la respuesta de un sistema se

percibe muy claramente cuando se varía la frecuencia de excitación del sistema dentro de

la resonancia ya que es en este intervalo donde se pueden identificar los parámetros

modales. También hacen mención de que un método para provocar variaciones en esta

frecuencia es mediante la aplicación de una técnica de barrido sinusoidal de la excitación

en el intervalo de resonancia y recomiendan mantener un barrido corto (con una velocidad

de barrido sinusoidal baja) al trabajar en el rango de bajas frecuencias ya que de no

hacerlo así, se pueden presentar problemas para identificar el amortiguamiento modal que

consiste en una distorsión de la función de respuesta obtenida y por tanto, una mala

estimación del amortiguamiento modal en el intervalo de baja frecuencia.

Posteriormente, DJ Ewins [8] comienza con la identificación de parámetros modales de

sistemas estructurales no lineales en su trabajo, el autor cita algunas observaciones en

relación a trabajar con este tipo de sistemas, en su trabajo calcula los parámetros

modales de partiendo de las FRF’s y cita algunas limitantes con las que concluyó en su

análisis, entre las que menciona se tienen: Los efectos de no linealidad en las estructuras,

incluso el más pequeño, pueden provocar alteraciones en los resultados medidos y

6

analizados productos de una prueba modal, las funciones de respuesta (FRF) pueden ser

distorsionadas debido a la no linealidad de la estructura, las FRF’s de un sistema no lineal

no muestran las características de reciprocidad y repetibilidad que normalmente se

esperarían, el análisis modal basado en FRF’s distorsionadas concluyen en la incorrecta

estimación de los parámetros modales. Los resultados de este trabajo son muy

importantes ya que muestran las limitantes que se enfrentan al querer identificar

parámetros modales a partir de la respuesta en la frecuencia para estructuras no lineales

detalle que es muy importante conocer antes de pretender trabajar con un sistema

estructural de este tipo. En este mismo año, U. Farooq y B. F. Feeny [9] en su publicación

utilizan la descomposición ortogonal de las FRF’s para la identificación de parámetros

modales para un sistema estructural sin amortiguamiento, los autores concluyen que si el

valor del producto entre las variables de respuesta y excitación es cero entonces, la

descomposición ortogonal converge a una representación equivalente del problema de

eigenvalores de una estructura sin amortiguamiento y de ahí se pueden entonces estimar

las frecuencias y las formas modales.

Con el paso del tiempo nuevas metodologías fueron desarrollándose para la extracción de

parámetros modales en un sistema estructural es así como se dio origen a las

metodologías extracción de parámetros modales usando transformada wavelet. Entre los

trabajos que se han publicado se cuenta con el de Tegoeh Tjahjowidodo, Farid Al-Bender

y Hendrik Van Brussel [10] ellos procedieron a calcular los parámetros modales en una

estructura no lineal utilizando la transformada wavelet, los autores mencionan que el

método de FRF’s para la identificación de parámetros modales estructurales se encuentra

limitado a sistemas lineales y que en el caso de aplicar el mismo método a sistemas no

lineales se encuentran muchas limitantes, es por esto que aplican la transformada wavelet

para estudiar sistemas no lineales, también mencionan que en este caso la transformada

Hilbert es muy utilizada para obtener frecuencias y amplitudes sin embargo, mencionan

que dicha técnica matemática se ve muy limitada al encontrarse con amortiguamiento en

el sistema por lo que sustituyen la transformada Hilbert por la transformada wavelet para

el análisis.

7

Posteriormente los científicos Arunasis Chakraborty, Biswajit Basu, Mira Mitra [11]

propusieron una metodología para la identificación de frecuencias y formas modales de

una estructura de múltiples grados de libertad utilizando la versión armónica de la

transformada wavelet para un análisis tiempo-frecuencia. Mencionan que esta técnica es

específicamente utilizada para extraer los parámetros modales de un sistema lineal de

múltiples grados de libertad mediante la descomposición de la señal original en bandas de

frecuencia y, en un análisis con respecto al tiempo de cada banda usando las

propiedades básicas de los eigenvalores de los modos de vibración concluyendo que

comparando los resultados con otros métodos los parámetros se estiman con bastante

precisión.

Los trabajos de identificación de parámetros modales con transformada wavelet

continuaban en desarrollo sin embargo, la mayoría de las investigaciones realizadas se

concentraban en desarrollar la descomposición modal de la respuesta dinámica de

sistemas con transformada wavelet en el dominio del tiempo. Yin, Duhamel y Argoul [12]

en su trabajo titulado “Estimación de frecuencias naturales y amortiguamientos utilizando

la transformada wavelet de una FRF”, demostraron que también se podían descomponer

las funciones de respuesta en el dominio de a frecuencia (FRF) usando wavelets

simplemente aplicando la definición básica de transformada wavelet a una función en el

dominio de la frecuencia. En su trabajo, ellos relacionaron los factores de escala y

traslación de una wavelet madre propuesta por ellos con los parámetros de

amortiguamiento y frecuencia natural respectivamente. La wavelet madre que ellos

propusieron surgió directamente de la definición de la FRF en su modo de funciones

parciales fraccionadas logrando buenos resultados en la identificación de frecuencias

naturales y amortiguamientos de sistemas de múltiples grados de libertad.

El uso de transformada wavelet para distintas aplicaciones además de la solución de la

problemática con la extracción de parámetros modales a partir de las FRF’s ha llamado la

atención a los investigadores del CENIDET, en años pasados se desarrolló un trabajo que

obtuvo grandes resultados Juan Manuel Arzola [13] aplicó el algoritmo de transformada

wavelet de Gabor con una aplicación de diagnóstico aplicada a rodamientos, el objetivo

de su trabajo fue identificar agrietamientos en las pistas internas de rodamientos, por lo

que comparó la transformada wavelet de un rodamiento sin falla a uno con falla,

8

permitiendo así otorgar un panorama más amplio sobre la presencia de grietas en los

mismos.

Por otra parte, Guadalupe Vélez [14] en su trabajo propuso un método para encontrar

modos cercanos de vibración en un sistema de múltiples grados de libertad donde por

medio de un problema de eigenvectores y eigenvalores le fue posible obtener los

parámetros modales, de los eigenvectores obtuvo las formas modales y de los

eigenvalores obtuvo las frecuencias naturales y los amortiguamientos todo esto a partir de

las FRF’s, hizo un análisis en el programa comercial ICAT’S de las FRF’s y destacó las

diferencias y ventajas entre el método desarrollado analíticamente y el análisis por el

software ICAT’S concluyendo que el uso de el método propuesto por ella misma y, el

análisis con ICAT’S se complementan muy bien especialmente en estructuras con modos

cercanos por la dificultad que representa el identificarlos.

David Estrada [15] analizó la respuesta de un rotor fracturado para identificar las

características de vibración y permitir la posibilidad de monitorear posibles fracturas en

estado incipiente mediante la transformada wavelet de Gabor apoyando los resultados

con un modelo de elemento finito.

Recientemente, Enrique Simón Gutiérrez Wing, Jorge E. Aguirre Romano, Jorge Colín

Ocampo y Claudia Cortés García [16] presentaron un método para la corrección de

desbalance en sistemas rotor-soportes flexibles. El método se basa en la suposición de

que las frecuencias naturales, los factores de amortiguamiento y las formas modales del

sistema rotor-soportes pueden extraerse de la respuesta del rotor a la fuerza de

desbalance que se pretende corregir, tomada esta durante un arranque o un paro. La

novedad del método está en el hecho de que no se requiere realizar modelos numéricos

del sistema, ni medir su respuesta con fuerzas de desbalance conocidas para determinar

la magnitud y posición de las masas que corrijan el desbalance.

9

Por lo que, continuando con la meta de facilitar la extracción de parámetros modales a

partir de las funciones de respuesta en el dominio de la frecuencia, en este proyecto se

pretende utilizar dichas funciones de las cuales han partido algunos análisis de

identificación de parámetros modales mencionados en este documento y la transformada

wavelet la cual se ha comenzado a aprovechar para la extracción de parámetros modales,

se pretende desarrollar un método mediante el cual se pueda analizar en base a la

transformada wavelet las FRF’s de sistemas de uno o múltiples grados de libertad con

modos separados y modos cercanos para facilitar la extracción de parámetros modales a

partir de la función de respuesta en el dominio de la frecuencia.

10

CAPÍTULO II.

CONCEPTOS BÁSICOS.

2.1 INTRODUCCIÓN.

En el presente capítulo se presentan conocimientos básicos que se sugiere sean

entendidos por el lector antes de entrar al punto principal presentado en este trabajo que

es la descomposición modal de una FRF utilizando transformada wavelet.

Se presentan temas como el concepto de análisis modal, la definición de transformada de

Fourier, la definición de una respuesta dinámica tanto en el dominio del tiempo como en el

dominio de la frecuencia, el concepto de transformada wavelet, la definición de una

wavelet madre y, los métodos de normalización de una wavelet madre.

2.2 ANÁLISIS MODAL.

El análisis modal es el proceso de determinar las características inherentes de un sistema

en forma de frecuencias naturales, razones de amortiguamiento y formas modales, la

aplicación de estos parámetros es en la construcción de modelos matemáticos para

describir el comportamiento dinámico del sistema. Al modelo matemático formulado, se le

conoce como modelo modal y a la información contenida en el mismo, se le conoce como

datos modales [1].

El análisis modal maneja 2 aproximaciones, una teórica y otra experimental. El análisis

modal teórico se basa en un modelo físico de un sistema dinámico utilizando su masa,

rigidez y propiedades de amortiguamiento. El modelo físico más realístico que otorga el

análisis modal teórico describe a la masa, la rigidez y a las propiedades de

amortiguamiento del sistema en términos de sus distribuciones en el mismo resultando

esto en las matrices de masa, rigidez y amortiguamiento, estas matrices son introducidas

a un arreglo de ecuaciones diferenciales que describen el movimiento donde la solución

de dicha ecuación de movimientos provee los datos modales del sistema. [1]. Por otra

parte el rápido desenvolvimiento de la adquisición de datos dio origen al análisis modal

experimental, este último es una técnica experimental utilizada para obtener el modelo

modal de un sistema lineal vibratorio invariante en el dominio del tiempo. Las bases

teóricas de la técnica son desarrolladas estableciendo la relación entre la respuesta de

vibración en un punto del sistema y su excitación en el mismo punto o en otro como una

11

función de la frecuencia de excitación. Esta relación es una conocida como la FRF del

sistema (Función de respuesta en el dominio de la frecuencia). La práctica del análisis

modal experimental incluye medir las FRF’s o respuestas a impulso del sistema estudiado

para aplicar metodologías estándar o experimentales a fin de calcular los tres parámetros

modales y, describir el comportamiento dinámico de cualquier sistema que se analice.

Por ende se puede concluir que el análisis modal experimental moderno se resume en

tres fases:

Preparación de la prueba experimental.

Medición de la respuesta dinámica del sistema.

Identificación de parámetros modales.

2.3 TRANSFORMADA DE FOURIER.

La transformada de Fourier es una técnica matemática que revolucionó la manera de

realizar análisis modal de sistemas vibratorios, ya que junto con la llegada de la

computadora abrió la puerta a los métodos existentes en el dominio de la frecuencia y al

nacimiento de la función de respuesta en el dominio de la frecuencia.

La transformada de Fourier es una aproximación de una función mediante una suma de

senos y cosenos dada por una expresión conocida como la identidad de Euler, esto con el

objetivo de obtener la representación de una señal en el tiempo en el dominio de la

frecuencia. La transformada de Fourier se define de la siguiente manera.

Donde:

: Identidad de Euler misma que se define como cos (ωt)+i sen (ωt).

f(t): Función o señal en el dominio del tiempo.

La transformada de Fourier es una técnica de gran importancia ya que es capaz de

otorgar información al analista que en el dominio del tiempo puede no ser tan evidente.

Esto es porque al aplicar la transformada de Fourier en el tiempo se pueden observar

todos los cambios de frecuencia presentes en la misma, esta característica hace a la

12

transformada de Fourier tan importante en el análisis y el procesamiento de señales así

como en el análisis modal.

2.4 FUNCIONES DE RESPUESTA DINÁMICA.

Una función de respuesta dinámica se define como la relación entre la respuesta

vibratoria de un sistema en términos de desplazamiento, velocidad o aceleración y la

fuerza que la provoca. Existen dos maneras de identificar esta función una es en el

dominio del tiempo y la otra en el dominio de la frecuencia.

2.4.1 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO.

La respuesta dinámica en el dominio del tiempo se basa en el modelo de vibración libre

en decaimiento de acuerdo con la referencia [1]. En relación a lo anterior, el aspecto

gráfico de la respuesta es el de una combinación de ondas senoidales y cosenoidales que

decaen en amplitud a lo largo del tiempo dependiendo de la razón de amortiguamiento

presente en el sistema analizado es decir, entre mayor sea la razón del amortiguamiento

el sistema describirá menos oscilaciones y su amplitud decaerá más rápidamente

observándose un efecto contrario cuando la razón de amortiguamiento es pequeña.

Esta función puede ser escrita en términos de 3 parámetros de vibración importantes que

son desplazamiento, velocidad y aceleración, cada uno depende del sensor que se utilice

en la captura de respuesta.

Cuando en el desarrollo de una prueba de vibración se excitan varios modos, la onda

resultante en el dominio del tiempo, es producto de una combinación de todas las

frecuencias que se estén excitando con la excitación utilizada, esto es una desventaja

debido a que el hecho de que la excitación de varios modos provoca una sola onda con

variaciones de frecuencia dentro de la misma, torna al problema de identificación de

modos y de cálculo de parámetros un poco más complicada en comparación con el uso

de la representación en el dominio de la frecuencia.

Al excitar un sistema con un impulso y medir la respuesta dinámica en el dominio del

tiempo, se trabaja con una función de respuesta al impulso (FRI) y se define

matemáticamente por la siguiente ecuación.

13

La representación gráfica de una función de respuesta al impulso se muestra en la figura

2.1.

Figura 2.1. Representación gráfica de una función de respuesta al impulso (FRI).

En la figura 2.1., se presenta gráficamente una función de respuesta al impulso simulada,

en la cual se pueden apreciar las oscilaciones a causa de la vibración la cual muere a

través del tiempo dependiendo de la razón de amortiguamiento del sistema.

2.4.2 RESPUESTA EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.

Como se mencionó anteriormente la transformada de Fourier es una técnica matemática

que es capaz de representar el contenido de frecuencia de una señal partiendo del

dominio del tiempo, considerando que la función de respuesta dinámica en el dominio del

tiempo es la función de respuesta al impulso y esta puede contener desde “una”

frecuencia presente hasta “n” frecuencias dependiendo de los modos excitados en la

prueba realizada. Al obtener la transformada de Fourier de una función de respuesta al

14

impulso se obtiene la representación de la respuesta dinámica en el dominio de la

frecuencia dando origen a la función de respuesta en el dominio de la frecuencia (FRF).

Si la FRF obtenida es en términos del parámetro de desplazamiento se le conoce como

receptancia, si se obtiene en términos de la velocidad se le conoce como movilidad y si se

obtiene en términos de la aceleración, se le conoce como acelerancia.

En la tabla 2.1 se observan las distintas FRF en función de los parámetros de vibración.

Tabla 2.1. Distintas FRF existentes

Parámetro de respuesta. Nombre de la FRF

Desplazamiento/Fuerza

Receptancia

Admitancia

Compilancia

Flexibilidad dinámica

Velocidad/Fuerza Movilidad

Aceleración/Fuerza Inertancia

Acelerancia

Por otra parte, la función de respuesta en el dominio de la frecuencia en la forma de

función parcial fraccionada o forma de parámetros modales se define por:

Donde:

H( ): Respuesta en el dominio de la frecuencia.

d: Frecuencia natural amortiguada del sistema

: Factor de amortiguamiento del sistema.

Ar: Constante de participación modal.

n: número de modos.

CONJUGADO COMPLEJO

15

La ecuación (3), representa una FRF con sus 3 parámetros modales principales, “ωn” es

la frecuencia natural, “ζ” es la razón de amortiguamiento del sistema, el término “Ar”, este

término se le conoce con el nombre de constante de participación modal y está

directamente relacionado con la vibración en términos del desplazamiento del sistema y,

por ende con la forma modal del sistema, el símbolo de “Σ” representa el número de

modos obtenidos en la prueba de vibración que pueden ser desde 1 hasta n modos.

La ecuación (3), aplica para cada modo analizado es decir, cada modo es un número

complejo conjugado por lo que si se están analizando 2 o más modos, cada modo estará

representado por su parte fraccional compleja y conjugada dentro de la sumatoria que

describe la ecuación.

Al ser la FRF una expresión compleja, la respuesta dinámica tiene una parte real y una

parte imaginaria, a su vez también tiene una representación del módulo de la misma y una

representación puramente compleja, estas representaciones se presentan en las figuras

2.2 – 2.5

Figura 2.2. Módulo de una FRF [1].

Figura 2.3. Parte real de una FRF [1].

16

Figura 2.4. Parte imaginaria de una FRF [1].

Figura 2.5. Diagrama de Nyquist, representación compleja de una FRF.

17

2.5 TRANSFORMADA WAVELET.

La transformada wavelet es una técnica matemática que permite analizar una señal en el

dominio del tiempo en un dominio mixto (tiempo-frecuencia) descomponiendo la

información de la señal en el tiempo y analizándola en ambos dominios a la vez.

La transformada wavelet se define matemáticamente por la siguiente ecuación [17].

Donde:

f(t): Señal en el dominio del tiempo.

: Wavelet madre trasladada y escalada en el dominio del tiempo.

a: Factor wavelet de escala.

b: Factor wavelet de traslación.

: Factor de normalización.

La transformada wavelet es una medida de la correlación entre una señal a analizar en el

dominio del tiempo y una función que se le conoce como wavelet madre. La wavelet

madre se utiliza para comparar rasgos de ella misma con alguna función de interés por lo

que se recomienda utilizar wavelet madre acordes al fenómeno a estudiar ya que de

utilizar una wavelet madre que no se relacione en lo más mínimo con el fenómeno de

estudio, el error en los resultados obtenidos será alto, mientras que de utilizarse una que

si se relacione al fenómeno de estudio se obtendrá un grado de error mucho más bajo en

los resultados obtenidos.

Existen muchas funciones que son wavelet madre mismas que se han desarrollado a

través de distintas investigaciones cada una para un uso en particular, un ejemplo de las

mismas son las siguientes.

18

Figura 2.6. Distintas wavelet madre.

Para que una función pueda ser wavelet madre, esta debe de cumplir las condiciones

siguientes [18].

Debe de tener duración finita.

Debe de tener área bajo la curva unitaria (ser normalizada).

Debe de cumplir el criterio de admisibilidad

El análisis wavelet como se mencionó, puede ser visto también como una comparación de

rasgos o características entre la wavelet madre y la señal analizada en forma de

traslación y cambio de forma. Por lo que entre mayor sea el parecido, más sencillo será

relacionar estos rasgos. El factor de escala “a” y el factor de traslación “b” son el punto

central del análisis wavelet ya que como se mencionó en el párrafo anterior son estos

factores los que se pueden relacionar con ciertas características de la señal estudiada

19

A continuación en la figura 2.7., se presenta el concepto de traslación y escala.

a) b)

Figura 2.7. a) Operación de escala de la wavelet madre Mexican Hat, b) Operación de

traslación de la wavelet madre Mexican Hat..

Los factores de escala “a” y traslación “b” son operaciones que se realizan sobre la

wavelet madre, la escala consiste en el cambio de forma y amplitud de la función mientras

que la traslación consiste en la localización sobre el eje del tiempo, esto se hace con el

objetivo de evaluar la correlación entre una wavelet madre y una señal a distintas

posiciones y a distintas formas sobre el eje del tiempo.

Aplicada a señales en el dominio del tiempo, el factor de escala de una wavelet madre se

relaciona directamente con la frecuencia de la señal analizada, mientras que el factor de

traslación se toma como una medida del tiempo que dura la señal.

Para algunas wavelet madre como la wavelet Morlet la cual se define a continuación.

cuando la frecuencia central “fo” es igual a “2π” se cumple que:

Sin embargo es necesario calcular la relación entre escala y frecuencia para wavelets

madres diferentes. Una vez calculadas las relaciones entre escala y frecuencia se

procede a aplicar la ecuación (4) y tomar la medida de la correlación entre la señal y la

20

wavelet madre, se grafica el escalograma y se extraen las escalas y traslaciones

correspondientes a los puntos con mayor magnitud en la matriz de coeficientes (puntos

máximos del escalograma).

Como se ha mostrado hasta este punto, la transformada wavelet es una técnica

matemática que originalmente fue desarrollada para ser utilizada sobre señales en el

dominio del tiempo, sin embargo también es posible aplicar la transformada wavelet en el

dominio de la frecuencia, tal y como se muestra en la ecuación siguiente [18].

Donde:

f( ): Función en el dominio de la frecuencia.

b: Factor de traslación.

a: Factor de escala.

: Wavelet madre trasladada y escalada en el dominio de la frecuencia.

: Factor de normalización en el dominio de la frecuencia.

El factor de normalización dentro de la transformada wavelet guarda que el área bajo la

curva de la wavelet madre sea siempre unitaria, independientemente de los cambios de

forma (escala) y posición (traslación) que se le aplique a esta.

Existen varias maneras de normalizar una wavelet madre, una manera sencilla de llevar a

cabo esto es utilizando la definición del espectro de energía de la wavelet madre utilizada

que no es más que el área bajo la curva de la misma, el espectro de energía está definido

por la ecuación (5), aplicado al dominio del tiempo se tiene.

La ecuación (10) entonces podrá utilizarse como factor de normalización de la siguiente

manera.

21

Con esto se asegurará que el área bajo la curva de la wavelet madre siempre será igual a

1, también aplica en el dominio de la frecuencia, tal y como se muestra a continuación.

De esta manera, se puede utilizar el espectro de la wavelet madre con área unitaria como

factor de normalización [18].

22

CAPÍTULO III.

DISEÑO DE WAVELET MADRE PARA EL CÁLCULO DE

PARÁMETROS MODALES DE VIBRACIÓN.

3.1 INTRODUCCIÓN.

En este capítulo se muestra el procedimiento realizado para diseñar la wavelet madre

para calcular parámetros modales de vibración a partir de una FRF, asimismo, se muestra

la relación entre el comportamiento de la wavelet madre y la FRF, esto en función de los

cambios de forma (escala) y de posición (traslación), encontrando una relación

matemática para determinar la frecuencia natural y amortiguamiento en términos del

factor de cambio de forma “x” y el de traslación “b”.

A su vez, se presenta un método para el cálculo de las constantes de participación modal

sin tomar en cuenta la contribución modal entre modos de vibración, esto para determinar

el vector de forma modal, cumpliendo de esta manera con el cálculo de los tres

parámetros modales, mediante la wavelet madre propuesta.

3.2 DISEÑO DE WAVELET MADRE PARA EL CÁLCULO DE PARÁMETROS

MODALES.

Para diseñar la wavelet madre, se consideró la forma y el comportamiento de una FRF,

esto con el objetivo final de que la wavelet madre propuesta tuviera características

similares a las de un FRF real y así extraer con exactitud los parámetros modales de

frecuencia natural, amortiguamiento y forma modal de una estructura ó sistema rotatorio

mediante transformada wavelet. Para esto, se tomo como base la FRF en la forma de

función fraccional.

A continuación, en la ecuación siguiente se muestra la FRF en su forma de función

fraccional, ver sección 2.4.2.

CONJUGADO COMPLEJO

23

Analizando cada uno de los términos de la ecuación (13) en su forma de funciones

parciales fraccionadas es posible relacionar cierto comportamiento de una FRF con los

factores escala y traslación de una wavelet madre como se muestra a continuación.

“Ar”: Es la constante modal del sistema analizado, afecta gráficamente a la FRF en la

magnitud resultante y es una constante que se puede relacionar directamente con la

magnitud de la respuesta en términos de desplazamiento.

“ζ ωn”: Controla el decaimiento (tasa de disipación de la energía de vibración fuera de un

sistema) de la FRF y también afecta en la magnitud resultante, al variarlo cambia la forma

de la función. A mayores valores decrece en amplitud y se vuelve más ancha sobre el eje

de la frecuencia teniendo un efecto inverso para valores pequeños de este producto, este

efecto se muestra en la figura 3.8.

Figura 3.8. FRF para distintos valores de ζ ωn

De la gráfica de la figura 3.8 se puede observar que la variación de “ζωn” es similar al

comportamiento de la wavelet madre cuando se varía la escala “a” en el dominio del

tiempo mostrada en la figura 2.7 a). Por lo tanto, en este trabajo el término “ζωn” se

propone como la escala para el dominio de la frecuencia.

n=0.5

n=0.9

n=2

24

d= n : Es la frecuencia natural amortiguada del sistema, esto matemáticamente,

define de la localización de la función en el eje de la frecuencia y este término es la

magnitud de la frecuencia tomando en cuenta el amortiguamiento del sistema que se

analice, en la figura 3.9 se muestra gráficamente el efecto de variar “ωd” en la FRF.

Figura 3.9. FRF para distintos valores de d

De la gráfica de la figura 3.9 se puede observar que la variación de “ωd” es similar en

comportamiento de la wavelet madre cuando se varía el factor de traslación “b” en el

dominio del tiempo, figura 2.7 b). Por lo tanto, para este trabajo el término “ωd” se

propone como el factor de traslación para el dominio de la frecuencia.

De acuerdo con lo anterior y con la definición de transformada wavelet, el término “ωd” de

la ecuación (13) cumple la misma función que el factor de traslación “b” en la wavelet

madre, por tanto es posible reescribir la ecuación (13) que es la definición de la FRF como

una ecuación simplificada que represente una wavelet madre de la siguiente forma:

Por otra parte, se analizó que el término “ζωn” de la ecuación (13) controla a la función en

forma y amplitud siendo este comportamiento similar al que provoca el factor de escala “a”.

Por lo tanto haciendo que x= n y Ar=1, la ecuación (14) se simplifica de la siguiente

forma:

d=7.98

d=9.98

d=11.98

25

La ecuación (15) representa la wavelet madre propuesta en este trabajo que se utilizará

para llevar a cabo la extracción de parámetros modales de sistemas vibratorios a partir de

la respuesta del sistema en el dominio de la frecuencia.

Por lo tanto, de acuerdo con la definición de la transformada wavelet en el dominio de la

frecuencia ecuación (9) y la definición de la FRF dada por la ecuación (13), la ecuación

(15) se puede reescribir como:

Como se explicó en la sección 2.5, para que una función pueda funcionar como wavelet

madre, debe cumplir ciertos requisitos, la ecuación (16) se verificó que cumple

perfectamente las condiciones necesarias (duración finita, admisibilidad y área unitaria).

Por lo que la ecuación (16) es la wavelet madre propuesta en el presente trabajo.

En la figura 3.10, se muestra el comportamiento de la wavelet madre propuesta en la

ecuación (16) para distintos valores de “b”, “x” y “a”.

26

a)

b)

b=3 x=1 a=1

b=5 x=1 a=1

b=5 x=0.1 a=1

b=5 x=0.8 a=1

b=8 x=1 a=1

b=5 x=0.6 a=1

27

c)

Figura 3.10. Comportamiento de la wavelet madre propuesta para distintos valores de “b”,

“x” y “a”

En la figura 3.10 se puede observar que la variación de los parámetros “x” (figura 3.10b) y

“a” (figura 3.10c) realizan la misma función, por lo que es necesario que alguno de los dos

se mantenga constante, en este trabajo se propone que la escala sea a=1 y trabajar

únicamente con la variación del parámetro “x” como se muestra en la figura 3.11.

b=5 x=1 a=0.1

b=5 x=1 a=0.8

b=5 x=1 a=0.6

28

Figura 3.11.- Variación de “b” y “x” con una escala a=1.

Como la wavelet madre propuesta en la ecuación (16), tiene como origen la definición de

una FRF dada por la ecuación (13), es fácil concluir que cuando se cumple que.

a (escala)= 1 (17)

x (factor de forma) ≈ n (18)

b (traslación) ≈ (19)

Se encuentra la máxima correlación entre la wavelet madre y la FRF analizada, esto se

muestra en la figura 3.12.

b=3 x=0.1 a=1

b=5 x=0.6 a=1

b=8 x=0.8 a=1

29

Figura 3.12. Wavelet madre (verde) con escala a=1 y un factor de forma x= n, FRF

(rojo)

Para generar la FRF de la figura 3.12 se propuso una ωn= 10 Hz y una razón de

amortiguamiento ζ=0.05. En esta figura se observa que tanto la FRF (línea punteada) y la

wavelet madre (línea continua) son similares.

3.3 TRANSFORMADA WAVELET DE UNA FRF.

Para obtener la transformada wavelet de una FRF, se realiza la convolución entre la

wavelet madre propuesta y la FRF a analizar.

Se varían los parámetros “x” y “b” de la ecuación (20) y se obtiene un escalograma de tres

dimensiones (x, b, coeficientes wavelet) como el que se muestra en la figura 3.13. En este

gráfico, los coeficientes wavelet representan la medida de correlación entre la wavelet

madre y la FRF analizada, por lo tanto entre mayor sea el coeficiente wavelet mayor será

la correlación.

30

De acuerdo con lo anterior, se procede a localizar los parámetros “x” y “b”

correspondientes al punto máximo en el escalograma, parámetros que nos representan la

máxima correlación entre la wavelet madre y la FRF.

Figura 3.13. Escalograma de la transformada wavelet de la FRF mostrada en la figura

3.12.

3.4 EXTRACCIÓN DE PARÁMETROS “ωn” y “ζ”.

Una vez obtenidos los parámetros “x” y “b” se relacionan con las ecuaciones (18) y (19)

respectivamente.

(21)

(22)

Despejando ζ de la ecuación (21) se tiene ζ=x/ωn y sustituyendo en la ecuación (22) se

tiene.

(23)

Igualando las ecuaciones (22) y (23) se tiene.

Similarmente resolviendo para ζ se tiene.

x=0.51 b=10 cwt=1.758

31

Una vez obtenidos los primeros dos parámetros modales (frecuencia y amortiguamiento),

es necesario calcular el tercer parámetro modal que es la forma modal del sistema

analizado.

3.5 CÁLCULO DE CONSTANTES MODALES Y FORMAS MODALES DE SISTEMAS

MECÁNICOS VIBRATORIOS.

Es posible expresar las formas modales utilizando las constantes modales “Ar” de

acuerdo con la ecuación (13), mismas que están relacionadas directamente con los

desplazamientos del sistema a causa de la vibración.

La forma modal de un sistema es un patrón de deflexión asociado a una frecuencia

natural, físicamente es una propiedad dinámica inherente del sistema que representa los

desplazamientos relativos de todas las partes de la estructura para una frecuencia en

particular con esto se entiende que cada frecuencia natural (cada modo presente en el

sistema) tendrá asociada una forma modal (patrón de deflexión).

Cuando se calcula la forma modal haciendo uso de las constantes modales, se dice que

la forma está “escalada” [19] ya que se obtiene directamente de las mediciones de la FRF,

entonces con los parámetros calculados con la transformada wavelet, es posible obtener

una expresión para calcular las formas modales.

Haciendo uso de los parámetros de frecuencia “ωn” y amortiguamiento “ζ”, la ecuación

(13) puede ser reescrita en términos de los factores “x” y “b” obtenidos con la

transformada wavelet como sigue:

Donde:

x ≈ n

b ≈

Nótese que la ecuación (26) es la ecuación de la FRF en términos de “x” y “b”, y es

además una función compleja, por lo que tiene parte real “x” y parte imaginaria “y i”.

32

Para llevar a cabo el cálculo de las formas modales se siguen los siguientes pasos:

1.- Se descompone la FRF a analizar en sus partes real e imaginaria, en ambos gráficos

se localiza la frecuencia natural calculada con la ecuación (24) y se localizan los valores

de las partes real (Xωn) e imaginaria (Yωni) correspondientes a la frecuencia natural

calculada de cada modo analizado.

2.- Identificadas las partes real e imaginaria correspondientes a la frecuencia natural, se

sustituyen en la ecuación (26) junto con los parámetros “x” y “b” como se muestra en la

ecuación (27) y se despeja la constante “Ar1” del primer modo de vibración.

3.- Si existe un segundo modo a analizar, se localizan las partes real (Zωn2) e imaginaria

(Tωn2i) correspondientes a la frecuencia natural del segundo modo y se sustituyen en la

ecuación (26) junto con los parámetros “x” y “b” correspondientes al segundo modo como

se indica en la ecuación (28) y se despeja la constante “Ar2” del segundo modo de

vibración.

4.- Si existen más de dos modos a analizar, el procedimiento anterior se sigue para los “n”

modos restantes.

Una vez calculadas las constantes modales es posible escribir la forma modal escalada

de la siguiente manera.

De esta manera se obtienen los 3 parámetros modales principales para un sistema

vibratorio a partir de la respuesta en el dominio de la frecuencia mediante transformada

wavelet.

33

CAPÍTULO IV.

RESULTADOS NUMÉRICOS.

4.1 INTRODUCCIÓN.

En este capítulo se muestra la solución de un caso puramente teórico de modos

separados y un caso de modos cercanos haciendo énfasis en los métodos de solución de

cada caso y en las limitantes observables para cada caso.

Las respuestas se computaron utilizando la definición de una FRF dada por la ecuación

(13) para dos grados de libertad en cada caso.

Cada FRF programada representa la lectura de un sensor de vibración sin embargo, no

se especifica ningún sistema en particular. Para el análisis se hace énfasis en la

descomposición modal de la FRF mediante transformada wavelet.

4.2 RESULTADOS NUMÉRICOS DE MODOS SEPARADOS.

Para evaluar la metodología propuesta en este trabajo, se propone una FRF teórica que

corresponde a un sistema de 2 grados de libertad. La FRF se generó mediante la

ecuación (13) y los datos teóricos propuestos se muestran en la tabla 4.2.

Tabla 4.2. Parámetros teóricos propuestos

Parámetros Modo 1 Modo 2

Frecuencia 5 30

Amortiguamiento 0.05 0.06

Constante modal respuesta 1 .20+20i -(.15+45i)

Constante modal respuesta 2 .18+45i .10+15i

La FRF generada se muestra en la figura 4.14 y se supone en términos de

desplazamiento (receptancia), en la gráfica se aprecia la generación de 2 FRF’s

(respuesta 1 y respuesta 2) que corresponden a 2 sensores de desplazamiento colocados

en distinta posición en el sistema vibratorio.

34

Figura 4.14. Respuesta del sistema teórico de modos separados a analizar con

transformada wavelet.

Para este caso en particular, es independiente analizar cualquiera de las dos respuestas

(1 ó 2) de la figura 4.14, ya que cada modo de vibración se define perfectamente en cada

una de las FRF’s generadas, por lo que para este ejercicio se propone resolver la

respuesta 1.

4.3 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA 1.

Como se explicó en la sección 3.3, se obtiene la transformada wavelet de la FRF

correspondiente a la respuesta 1, el escalograma correspondiente se muestra en la figura

4.15, en esta se puede apreciar que efectivamente los 2 modos de vibración se definen

perfectamente, esto se debe a que existe poca influencia del primer modo en el segundo y

viceversa, es decir se consideran modos separados.

Por lo tanto, en el escalograma de la figura 4.15, se localizan los parámetros “x” y “b”

correspondientes a los puntos máximos de cada uno de los modos de vibración, mientras

que la figura 4.16 muestra un gráfico de curvas de nivel mostrando estos mismos puntos

en el escalograma.

35

Figura 4.15. Transformada continua de wavelet del sistema teórico analizado.

Figura 4.16. Curvas de nivel de la transformada wavelet continua del caso analizado.

x=0.25 b=5 cwt=5.103

x=1.8 b=29.8 cwt=4.548

x=0.25 b=5 nivel=5.103

x=1.8 b=29.8 nivel=4.548

36

4.4 CÁLCULO DE FRECUENCIAS NATURALES Y AMORTIGUAMIENTOS

4.4.1. MODO 1.

Los parámetros “x” y “b” correspondientes al modo 1 de acuerdo con las figuras 4.15 y

4.16 son:

x=0.25 y b=5.

De la ecuación (24) se obtiene la frecuencia natural del modo 1.

De la ecuación (25) se calcula el amortiguamiento correspondiente al modo 1.

4.4.2. MODO 2.


4.16 son:

x=1.8 y b=29.8

De la ecuación (24) se obtiene la frecuencia natural del modo 2.

De la ecuación (25) se calcula el amortiguamiento correspondiente al modo 2.

En la tabla 4.3, se muestran los parámetros “x” y “b” para cada uno de los modos de

vibración, así como las frecuencias naturales y amortiguamientos obtenidos y su

comparación con los datos propuestos así como el porcentaje de error entre los

parámetros calculados y los propuestos, en esta se puede observar que el porcentaje

mayor de error es del 0.12%.

37

Tabla 4.3. Frecuencias y amortiguamientos calculados para el caso teórico analizado.

Parámetros Calculados Propuestos Porcentaje de error.

Modo 1 Modo 2

Modo 1 Modo 2 Modo 1 Modo 2 Factor x 0.25 1.8

Factor b 5 29.8

Frecuencias 5.006 29.85 5 30 0.12% 0.50%

Amortiguamientos 0.0499 0.0602 0.05 0.06 0.20% 0.33%

4.5 CÁLCULO DE CONSTANTES MODALES.

4.5.1. MODO 1.

Obtenidos los parámetros de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento “ζ” para cada uno

de los 2 modos de la respuesta 1, se proceden a obtener las constantes modales

correspondientes al modo 1. Para realizar lo anterior, se obtiene la parte real (figura 4.17)

y la parte imaginaria (figura 4.18) de la FRF para la respuesta 1 de la figura 4.14.

Figura 4.17. Parte real de la respuesta 1 a las frecuencias calculadas mediante


x=5.006 y=5.793

x=29.85 y=2.794

38

Figura 4.18. Parte imaginaria de la respuesta 1 a las frecuencias naturales calculadas

mediante transformada wavelet.

De las figuras 4.17 y 4.18, se localiza el valor de las respuestas real e imaginaria

correspondientes a la frecuencia natural del modo 1 “ωn=5.006 Hz”, los valores obtenidos

son:

H=(5.793+79.64i) (30)

Una vez obtenidos los valores de H para el modo 1, se sustituyen junto con los valores de

“x”, “b” y “ωn” en la ecuación (26), tal y como se muestra en la ecuación (31), y se despeja

la constante modal “Ar1”.

(31)

De la ecuación (31) se tiene.

Ar1= 1.448249970+20.00728447i

|Ar1|=20.05

Donde “Ar1” es la constante modal del modo 1 y “|Ar1|” es el módulo.

x=5.006 y=79.64

x=29.84 y=-29.87

39

4.5.2 MODO 2.

Obtenidos los parámetros modales de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento “ζ” para

cada uno de los modos de vibración, se procede a obtener las constantes modales

correspondientes al modo 2. Para lo anterior, se obtiene la respuesta real de la figura 4.17

y la parte imaginaria de la figura 4.18 de la FRF correspondiente a la respuesta 1 como se

muestra en la figura 4.14.

De las figuras (4.17 y 4.18), se localiza el valor de la respuesta real e imaginaria

correspondiente a la frecuencia natural “ n=29.85 Hz”, los valores son:

H=(2.794-29.87i) (32)

Una vez obtenidos los valores de H, se sustituyen en la ecuación (26) junto con los

valores de “x”, “b” y “ωn” tal y como se muestra en la ecuación (33), despejando la

constante modal “Ar2” se tiene.

(33)


Ar2= 5.029199963-53.6021574i

|Ar2|=53.79

Donde “Ar2” es la constante modal del modo 2 y “|Ar2|” es el módulo o magnitud de dicha

constante modal.

En la figura 4.19, se muestra la FRF regenerada con los parámetros obtenidos en este

ejercicio y se compara con la FRF original teórica propuesta de la respuesta 1, en la figura

4.19 se puede apreciar que la FRF regenerada se ajusta tanto en amplitud como en

ancho de banda a la FRF original.

Por otra parte, en las figuras 4.20 y 4.21 se hace un acercamiento del modo 1 y del modo

2 respectivamente, en estas se observan pequeñas diferencias en cuanto a amplitud y

ancho de banda.

40

Figura 4.19. FRF de la respuesta 1 regenerada.

Figura 4.20. Modo 1 de la respuesta 1 regenerado a la frecuencia original y a la frecuencia

calculada.

x=5.006 y=79.67

x=5 y=79.9

41


calculada.


Para el análisis de la respuesta 2, se tomaron como parámetros de entrada la frecuencia y

amortiguamiento de los modos 1 y 2 calculados de la respuesta 1, esto se debe a que

estos parámetros modales son iguales para las diferentes respuestas, ya que se tomaron

del mismo sistema vibratorio.

4.7 CÁLCULO DE LAS CONSTANTES MODALES.

4.7.1 MODO 1.



correspondientes a la respuesta 2. Para realizar lo anterior, se obtienen la parte real de la

figura 4.22., y la parte imaginaria de la figura 4.23., de la FRF para la respuesta 2

mostrada en la figura 4.14.

x=29.85 y=30.08

x=30 y=29.95

42

Figura 4.22. Parte real de la respuesta 2 a las frecuencias naturales calculadas mediante


Figura 4.23. Parte Imaginaria de la respuesta 2 a las frecuencias naturales calculadas

mediante transformada wavelet.

x=5.006 y=3.995

x=29.85 y= -0.1192

x=5.006 y=179.4

x=29.85 y=8.3

43

De las figuras 4.22 y 4.23, se localiza el valor de las respuestas real e imaginaria

correspondientes a la frecuencia natural del modo 1 “ n=5.006 Hz”, los valores obtenidos

son:

H=(3.996+179.4i) (34)

Una vez obtenidos los valores de H para el modo 1, se sustituyen junto con los valores de

“x”, “b” y “ n” en la ecuación (26) tal y como se muestra en la ecuación (35) y se despeja

la constante modal “Ar1”.

(35)


Ar1= .9989999328+44.95597751i

|Ar1|=44.96

Donde “Ar1” es la constante modal del modo 1 y “|Ar1|” es el módulo o magnitud de dicha

constante modal.

4.7.2 MODO 2.



correspondientes. Para lo anterior, se obtiene la respuesta real de la figura 4.22 y la parte

imaginaria de la figura 4.23, de la FRF correspondiente a la respuesta 2 mostrada en la

figura 4.14.

De las figuras 4.22 y 4.23 se localiza el valor de la respuesta real e imaginaria

correspondiente a la frecuencia natural “ n=29.85 Hz.", los valores son:

H=(-.1192+8.3i) (36)

Una vez obtenidos los valores de H, se sustituyen en la ecuación (26) junto con los

valores de “x”, “b”, “ωn” y la constante modal “Ar1” obtenida previamente en la ecuación

(35) tal y como se muestra en la ecuación (37).

44


Ar2= -.2145599915+14.95426936i

|Ar2|=14.95

Donde “Ar2” es la constante modal del modo 2 y “|Ar2|” es el módulo de la constante

modal.

En la figura 4.24., se muestra la FRF regenerada con los parámetros obtenidos, y se

compara con la FRF original teórica propuesta de la respuesta 1, en la figura 4.24, se

puede apreciar que la FRF regenerada se ajusta a la FRF original.

Por otra parte, en la figuras 4.25 y 4.26, se hace un acercamiento del modo 1 y del modo

2 respectivamente, en estas se observan pequeñas diferencias en cuanto a amplitud y

ancho de banda, sin embargo el ajuste de la FRF regenerada con respecto a la original se

considera bueno.

Figura 4.24. FRF de la respuesta 2 regenerada

45


calculada.


calculada.

x=5.006 y=179.1

x=5 y=179.8

x=30 y=8.331

x=29.85 y=8.257

46

En la tabla 4.4, se presentan las constantes modales para cada modo calculado para

ambas respuestas, así como los módulos de las mismas.

Tabla 4.4. Constantes modales calculadas

Respuestas Constantes calculadas Módulos

Modo 1 Modo 2 Modo 1 Modo 2

Respuesta 1 1.448249970+20.00728447i 5.029199963-53.56021574i 20.0596 53.7958

Respuesta 2 .9989999328+44.95597751i -.2145599915+14.95426936i 44.9670 14.9558

4.8 CÁLCULO DE FORMAS MODALES.

Calculadas las constantes de participación modal, se procede a calcular la magnitud y se

escribe el vector correspondiente a la forma modal para cada modo de vibración.

Para poder determinar la orientación y forma del modo de vibración, es necesario tener al

menos 2 respuestas, donde cada una corresponde a 2 sensores de vibración colocados

de tal manera que ambos estén separados por el antinodo del segundo modo. Para lo

anterior, se analizan tanto la parte real así como la parte imaginaria de las respuestas

correspondientes a la figura 4.14.

En las figuras 4.27 y 4.28, se muestran las partes real e imaginaria respectivamente de

las respuestas 1 y 2. Aquí se observa que en el primer modo de vibración los

desplazamientos están en fase y caso contrario sucede con los desplazamientos del

segundo modo, donde se aprecia que los desplazamientos se encuentran en antifase

para las dos respuestas del sistema.

47

Figura 4.27. Parte real de las respuestas 1 y 2

Figura 4.28. Parte imaginaria de las respuestas 1 y 2

Respuestas en fase Respuestas en antifase

Respuestas en fase

Respuestas en antifase

48

Por lo tanto, de acuerdo con lo anterior, el vector correspondiente a la forma modal tanto

del modo 1 y modo 2 de vibración se puede escribir como:

Modo 1 Modo 2

(38)

Las formas modales en forma gráfica, podrían representarse de la siguiente manera:

Figura 4.29. Forma modal del modo 1.


49

4.9 RESULTADOS NUMÉRICOS DE MODOS CERCANOS.

Como se mencionó en la introducción del presente trabajo, los métodos de

descomposición modal tienen limitantes en el análisis de modos cercanos que radican en

la visualización de los mismos, esto se debe a la influencia que la componente modal que

un modo ejerce sobre el modo vecino, el problema es tal que en muchas ocasiones es

preferible ignorar la influencia de uno sobre otro y separar iterativamente dicha influencia

para analizar los modos de manera separada y extraer parámetros modales de una

manera más sencilla.

La metodología wavelet no es una excepción en cuanto a limitantes presentes al analizar

modos cercanos de vibración. En la descomposición de FRF’s de modos cercanos, lo que

sucede al aplicar transformada wavelet, es que en el escalograma resultante siempre es

más apreciable el modo con mayor influencia y esto hace que el modo con menos

influencia se plasme de una manera muy abstracta haciendo el problema de identificación

de este muy complicado.

Por tanto, para llevar a cabo la descomposición modal usando transformada wavelet del

caso de modos cercanos, se propone utilizar el método de eliminación modal iterativo.

Este método consiste en calcular los parámetros del modo con mayor influencia, una vez

calculados los parámetros de frecuencia y amortiguamiento, se procede a regenerar el

modo y se resta de la FRF de modos cercanos original, el resultado de llevar esto a cabo

es la eliminación propia del modo identificado, dejando al modo con menor influencia libre

para llevar a cabo su análisis de manera independiente.

50

4.10 ANÁLISIS DEL CASO DE MODOS CERCANOS.

Para evaluar la metodología propuesta, se propone una FRF teórica que corresponde a

un sistema de dos grados de libertad como se muestra en la figura 4.31. La FRF se

generó mediante la ecuación (13) y los datos teóricos propuestos se muestran en la tabla

4.5.

Tabla 4.5. Parámetros teóricos propuestos.

Parámetros Modo 1 Modo 2

Frecuencia 7.5 10

Amortiguamiento 0.1 0.015



A diferencia del caso para modos separados (sección 4.2) donde los modos de vibración

están perfectamente definidos, en el caso de modos cercanos los modos de vibración

tienen influencia de uno con otro lo que dificulta el analizar la respuesta completa.

En la figura 4.31., se observa que el modo de vibración que está mejor definido

corresponde al modo 2 de la respuesta 2, por lo que el análisis se inicia considerando la

respuesta 2.



correspondiente a la respuesta 2, el escalograma correspondiente se muestra en la figura

4.32, aquí se observa que los parámetros de “x” y “b” para el punto máximo del modo 2

están perfectamente definidos, cosa que no sucede con el modo 1, esto se debe a que es

tanta la influencia que tiene el modo 2 sobre el modo 1 que prácticamente el modo 1

desaparece. En la figura 4.33 se muestra un gráfico de curvas de nivel mostrando estos

mismos puntos en el escalograma.

De acuerdo con lo anterior, se localizan los parámetros “x” y “b” correspondientes al punto

máximo del modo 2.

51

Figura 4.31. Respuesta de modos cercanos teórica a analizar.

Figura 4.32. Escalograma de la respuesta de modos cercanos.

Modo 2

Modo 1

x=0.16 b=10 cwt=1.281

52


4.12 CÁLCULO DE FRECUENCIAS Y AMORTIGUAMIENTOS.

4.12.1 Modo 2.

Los parámetros “x” y “b” del modo 2 de acuerdo con las figuras 4.32 y 4.33 son:

x= 0.16, b=10

Por lo que, calculando las frecuencias y amortiguamientos como se muestra en la sección

4.4 se tiene la tabla 4.6, donde se muestran los parámetros “x” y “b” para el modo 2, así

como las frecuencias naturales y los amortiguamientos calculados, su comparación con

los propuestos y el porcentaje de error en los cálculos siendo el más alto de 6% en los

cálculos.

Tabla 4.6. Frecuencias y amortiguamientos calculados para el modo 2.

Parámetros Calculados Propuestos Porcentaje

de error

Frecuencia natural 10.001 10 .01%

Amortiguamiento 0.0159 0.015 6%

Factor de forma y traslación obtenidos

Factor x 0.16

Factor b 10

x=0.16 b=10 nivel=1.281

53


4.13.1 Modo 2.

Obtenidos los parámetros de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento “ζ” para el modo

2 de la respuesta 2, se procede a obtener la constante modal correspondiente. Para lo

anterior, se obtiene la parte real mostrada en la figura 4.34 e imaginaria mostrada en la

figura 4.35 de la FRF para la respuesta 2 de la figura 4.31.

Figura 4.34. Parte real de la respuesta 2 con la frecuencia natural del modo 2 identificada.

x=10.001 y=1.882

54

Figura 4.35. Parte imaginaria de la respuesta 2 con la frecuencia natural del modo 2

identificada.

De las figuras 4.34 y 4.35, respectivamente, se localizan los valores de las respuestas real

e imaginaria correspondientes a la frecuencia natural del modo 2 calculada “ n=10.001

Hz”, los valores obtenidos son:

H=1.882+26.74i (39)

Obtenidos los valores de H, se sigue el procedimiento para calcular la constante modal tal

y como se muestra en las secciones 4.5 y 4.7, obteniéndose así para este caso la

constante modal del modo 2 “Ar2”, con lo que se tiene que.

Ar2=.3009618959+4.281513337i

|Ar2 |=4.2920


modal.

x=10.001 y=26.74

55

En la figura 4.36, se muestra la regeneración de la FRF correspondiente a la respuesta 2

con los parámetros obtenidos y se compara con la FRF teórica original, en la figura se

puede observar que tanto la FRF regenerada y la FRF original son similares en ancho de

banda y amplitud.

Figura 4.36. Regeneración del modo 2 en el problema de modos cercanos.

4.14 CÁLCULO DE FRECUENCIAS NATURALES Y AMORTIGUAMIENTOS.

4.14.1 Modo 1.

Para analizar el modo 1, es necesario sustraer la FRF regenerada correspondiente al

modo 2 de la FRF original, al realizar este proceso se elimina el modo 2 y queda

únicamente el modo 1.

En la figura 4.37, se muestra el modo 1 como resultado del proceso de sustracción modal

del modo 2.

56

Figura 4.37. Modo 1 libre para el análisis luego de sustraer el modo 2 con eliminación

modal iterativa.

De la figura 4.37 se obtiene la transformada wavelet donde el escalograma

correspondiente se muestra en la figura 4.38, aquí se observa que como resultado del

proceso de sustracción modal, los parámetros “x” y “b” correspondientes al punto máximo

del modo 1 están ahora perfectamente definidos. Así mismo, en la figura 4.39 se muestra

un gráfico de curvas de nivel del modo 1 para la mejor apreciación de los puntos máximos.

57

Figura 4.38. Transformada de wavelet para el modo 1 del caso teórico de modos cercanos.


x=0.73 b=7.4 cwt=0.4069

x=0.73 b=7.4 nivel=0.4069

58

De acuerdo con las figuras 4.38 y 4.39, los parámetros “x” y “b” del modo 1 son:

x=0.73, b=7.4

Por lo que, calculando las frecuencias naturales y amortiguamientos como se muestra en

la sección 4.4 se tiene la tabla 4.7, donde se muestran los parámetros “x” y “b” para el

modo 1, las frecuencias naturales y los amortiguamientos obtenidos, así mismo se

muestra su comparación con los datos propuestos y el porcentaje de error entre los

mismos siendo el más alto de 1.83%.

Tabla 4.7. Frecuencias y amortiguamientos calculados para el modo 1.

Parámetros Calculados Propuestos Porcentaje de

error

Frecuencia natural 7.43 7.5 .93%

Amortiguamiento .09817 0.1 1.83%

Factor de forma y traslación obtenidos

Factor x 0.73

Factor b 7.4

59


4.15.1 Modo 1.

Obtenidos los parámetros de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento “ζ” para el modo

1 de la respuesta 2, se procede a obtener la constante modal correspondiente. Para llevar

a cabo lo anterior, se obtienen la parte real de la figura 4.40 y la parte imaginaria de la

figura 4.41 de la FRF de la respuesta 2 de la figura 4.31.

Figura 4.40. Parte real de la respuesta 2 con la frecuencia natural del modo 1 identificada.

x=7.43 y= -1.485

60

Figura 4.41. Parte imaginaria de la respuesta 2 con la frecuencia natural del modo 1

identificada.

De las figuras 4.40 y 4.41 respectivamente, se localizan los valores de las respuestas real

e imaginaria correspondiente a la frecuencia natural del modo 1 n=7.43 Hz., los valores

obtenidos son:

H=(-1.485+4.103i) (40)




Ar1= -1.083163603+2.900416749i

|Ar1|=3.0960 Donde “Ar1” es la constante modal del modo 1 y “|Ar1|” es el módulo.

x=7.43 y= 4.103

61

En la figura 4.42 se muestra la FRF del modo 1 correspondiente a la respuesta 2 con los

parámetros obtenidos y su comparación con la FRF original teórica. En la figura se puede

apreciar el ajuste de la FRF regenerada con la original.

Figura 4.42. FRF del modo 1 en la respuesta 2 regenerada.


Para el análisis de la respuesta 1, los parámetros de frecuencia y amortiguamiento para

cada modo extraídos de la respuesta 2, se tomarán como parámetros de entrada ya que

los de la respuesta 1 son iguales a los de la respuesta 2 por tratarse de dos respuestas

tomadas de un mismo sistema.

De acuerdo con esto, para la respuesta 1 se calculan las constantes modales

correspondientes a los parámetros de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento “ζ”

calculados utilizando la respuesta 2.

62


4.17.1 Modo 1.



correspondientes a la respuesta 1. Para realizar lo anterior, se obtienen la parte real,

mostrada en la figura 4.43., y la parte imaginaria, mostrada en la la figura 4.44., de la FRF

para la respuesta 1 mostrada en la figura 4.31.

Figura 4.43. Parte real de la respuesta 1 a las frecuencias identificadas para ambos

modos de vibración.

x=7.43 y= -3.275

x=10.001 y= 0.7758

63

Figura 4.44. Parte imaginaria de la respuesta 1 a las frecuencias identificadas para ambos

modos de vibración.


correspondiente a la frecuencia natural “ n=7.43 Hz”., los valores son:

H=(-3.275+2.859i) (41)




Ar1= -2.388795152+1.859839100i

|Ar1|=3.0274 Donde “Ar1” es la constante modal del modo 1 y “|Ar1|” es el módulo.


parámetros obtenidos y su comparación con la FRF original teórica. En la figura se

observan los efectos luego de aplicar sustracción modal, la frecuencia del modo 1

regenerado se movió un poco en comparación con la original, a su vez el ancho de banda

también se modificó luego de aplicar esta operación, además la influencia entre modos

para esta respuesta en particular es muy alta por lo que el modo 1 no está muy definido

debido a la influencia del modo 2.

x=7.43 y= 2.859

x=10.001 y= 9.82

64

Figura 4.45. Regeneración del modo 1, respuesta 1.

4.17.2 Modo 2.



correspondientes.


correspondiente a la frecuencia natural “ n=10.001 Hz”., los valores son:

H=(.7758+9.824i) (42)




Ar2= .1233645383+1.564331449i

|Ar2|= 1.4790


modal del modo 2.

65


parámetros obtenidos y su comparación con la FRF original teórica. En la figura se puede

apreciar que no ajusta en forma la FRF regenerada esto no significa que el cálculo de los

parámetros modales sea incorrecto. Esto se debe a la influencia entre modos ya que la

componente modal se calculó ignorando totalmente la contribución modal y como en este

caso la contribución es muy alta es por eso que parecen que no ajustan pero los cálculos

hechos de esta manera es una aproximación al valor real por lo que en amplitud coinciden

y pueden ser utilizadas para expresar la forma modal.

Figura 4.46. Regeneración del modo 2 respuesta 1.

En la tabla 4.8, se presentan las constantes modales para cada modo calculado para

ambas respuestas así como los módulos correspondientes de cada una.

Tabla 4.8. Constantes modales calculadas

Respuestas Constantes calculadas Módulos.

Modo 1 Modo 2 Modo 1 Modo 2

Respuesta 1 -2.388795152+1.859839100i .1233645383+1.564331449i 3.0274 1.5691

Respuesta 2 -1.083163603+2.900416749i .3009618959+4.281513337i 3.0960 4.2920

66


Calculadas las constantes de participación modal, se procede a calcular la magnitud y se

escribe el vector correspondiente a la forma modal para cada modo de vibración.

Para poder determinar la orientación y forma del modo de vibración, es necesario tener al

menos 2 respuestas, donde cada una corresponde a 2 sensores de vibración colocados

de tal manera que ambos estén separados por el antinodo del segundo modo. Para lo

anterior, se analizan tanto la parte real así como la parte imaginaria de las respuestas

correspondientes a la figura 4.31.

En las figuras 4.47 y 4.48, se muestran las partes real e imaginaria respectivamente de

las respuestas 1 y 2. Aquí se observa que en primer modo de vibración los

desplazamientos están en fase al igual que en el segundo modo de vibración en el que los

desplazamientos están en fase.

Figura 4.47. Parte real de las respuestas 1 y 2.

Respuestas en fase

Respuestas en fase

67

Figura 4.48. Parte imaginaria de las respuestas 1 y 2.

Por lo tanto, de acuerdo con lo anterior, el vector correspondiente a la forma modal tanto

del modo 1 y modo 2 de vibración se puede escribir como:

Modo 1 Modo 2

(43)

Las formas modales en forma gráfica, podrían representarse de la siguiente manera:



Respuestas en fase

Respuestas en fase

68

CAPÍTULO V.

RESULTADOS EXPERIMENTALES.

5.1 INTRODUCCIÓN.

En el presente capítulo se muestran los resultados experimentales del análisis de las

FRF’s de una viga en cantiléver. La experimentación consistió en adquirir señales de

vibración en términos de aceleración en un intervalo de 3 modos de vibración y, aplicar el

método propuesto mediante transformada wavelet para obtener los parámetros modales

(frecuencia, amortiguamientos y formas modales) del sistema.

Las señales analizadas se obtuvieron de 3 sensores de aceleración (acelerómetros)

colocados en distintas posiciones a lo largo de la viga en cantiléver, de tal forma que fuera

posible obtener las 3 formas modales de los 3 modos de vibración analizados.

5.2 ARREGLO EXPERIMENTAL

En las figuras 5.51 y 5.52 se muestra un esquema del arreglo experimental utilizado.

Básicamente consiste en una viga de longitud l=57 cms sujeta en un extremo por 2

ángulos y tornillos, tal y como se muestra en las figuras 5.51. y 5.52.

Figura 5.51. Vista frontal del montaje de viga en cantiléver.

69

Figura 5.52. Vista superior del montaje de viga en cantiléver.

La colocación de los sensores en la viga se realizó de tal manera que se observaran los

desfasamientos entre las respuestas, con el objetivo final de poder obtener las formas

modales del sistema, para ello se identificaron los nodos y antinodos de la viga es decir,

los puntos que presentan máxima o nula respuesta.

En la figura 5.53, se muestra un esquema de las posiciones donde se colocaron cada uno

de los sensores a lo largo de la viga, tomando como referencia el extremo libre de la viga.

En el apéndice I se presentan las características de cada acelerómetro así como del

martillo de impacto utilizado para excitar la estructura.

Figura 5.53. Colocación de los sensores (dimensiones en centímetros)

70

Una vez realizado el arreglo experimental, se procedió a llevar a cabo la adquisición de

señales, estas se obtuvieron excitando la viga con un martillo de impacto sensando al

mismo tiempo la fuerza del impacto y la respuesta de los 3 acelerómetros.

Para la obtención de la FRF primeramente se tomó la división de la respuesta en el

tiempo entre la fuerza de excitación y después se obtuvo la transformada de Fourier de la

respuesta obteniendo así la FRF en términos de aceleración (acelerancia). Para obtener

los desplazamientos del sistema se integró 2 veces (división entre –iω2) y así se calculó la

FRF en términos de desplazamiento (receptancia).

En las figuras 5.54 – 5.56 se presentan las FRF para el primer modo, segundo modo y

tercer modo respectivamente, en cada uno de los gráficos se observan 3 respuestas

distintas que corresponden a los 3 acelerómetros utilizados y se puede apreciar que la

frecuencia natural experimental es la misma para las 3 señales para cada uno de los

modos de vibración, además de que el caso analizado es considerado del tipo de modos

separados.

Figura 5.54. FRF del primer modo de vibración para los 3 acelerómetros utilizados.

71

Figura 5.55. FRF del segundo modo de vibración para los 3 acelerómetros utilizados.

Figura 5.56. FRF del tercer modo de vibración para los 3 acelerómetros utilizados.

72

De acuerdo con lo anterior, para la obtención de los parámetros modales de frecuencia

natural y amortiguamiento, es indiferente utilizar cualquiera de las respuestas

correspondientes a los acelerómetros 1, 2 y 3. Para el análisis se selecciona la respuesta

del acelerómetro 1.

5.3 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA DEL ACELERÓMETRO 1.


correspondiente a la respuesta del acelerómetro 1, los escalogramas de los modos 1, 2 y

3 se muestran en las figuras 5.57, 5.59 y 5.61 respectivamente así como las curvas de

nivel en las figuras 5.58, 5.60 y 5.62 respectivamente.

En los gráficos anteriores, se observa que cada uno de los modos están perfectamente

bien definidos, esto se debe a que los modos están separados y no existe influencia

significativa entre ellos.

Por tanto, en las figuras 5.57 – 5.62, se localizan los parámetros “x” y “b”

correspondientes a los puntos máximos de cada uno de los modos de vibración.

Figura 5.57. Escalograma correspondiente al primer modo de vibración.

x=0.06 b=6.82 cwt=0.0003907

73

Figura 5.58. Curvas de nivel para el escalograma del primer modo de vibración.

Figura 5.59. Escalograma del segundo modo de vibración mostrando los factores x y b en

el punto de correlación máximo.

x=0.06 b=6.82 nivel=0.0003907

x=0.2 b=41.76 cwt=5.1e-006

74

Figura 5.60. Curvas de nivel para el escalograma del segundo modo de vibración.

Figura 5.61. Escalograma del tercer modo de vibración mostrando los factores x y b en el

punto de correlación máximo.

x=0.2 b=41.76 nivel=5.1e-006

x=0.27 b=119.3 cwt=2.283e-006

75

Figura 5.62. Curvas de nivel para el escalograma del tercer modo de vibración.

5.4 CÁLCULO DE FRECUENCIAS Y AMORTIGUAMIENTOS.

5.4.1 Modo 1.


5.58 son:

x=0.06, b=6.82

Utilizando el procedimiento descrito en la sección 4.4 se calcula la frecuencia y

amortiguamiento del modo 1, mismos que se muestran a continuación.

x=0.27 b=119.3 cwt=2.283e-006

76

5.4.2 Modo 2.


5.60 son:

x=.2, b=41.76

Utilizando el procedimiento descrito en la sección 4.4 se calcula la frecuencia y


5.4.3 Modo 3.


5.62 son:

x=0.27, b=119.3

Utilizando el mismo procedimiento descrito en la sección 4.4 se calcula la frecuencia y


En la tabla 5.9, se muestran los parámetros “x” y “b” para cada uno de los modos de

vibración, así como las frecuencias naturales y amortiguamientos obtenidos.

Tabla 5.9, Frecuencias y amortiguamientos calculados para el sistema experimental

analizado.

Parámetros Modo 1 Modo 2 Modo 3

Frecuencia 6.82 41.76 119.30

Amortiguamiento 0.0087 0.0047 0.0022

Factor x 0.06 0.2 0.27

Factor b 6.82 41.76 119.3

77


5.5.1 Modo 1.


de los modos de vibración de la respuesta del acelerómetro 1, se obtienen las constantes

modales correspondientes al modo 1.

Para realizar lo anterior, se obtiene la parte real mostrada en la figura 5.63 y la parte

imaginaria mostrada en la figura 5.64 de la FRF del modo 1 para el acelerómetro 1 de la

figura 5.54.

Figura 5.63. Parte real de la respuesta del acelerómetro 1 mostrando el modo 1.

x=6.82 y=1.357

78

Figura 5.64. Parte imaginaria de la respuesta del acelerómetro 1 mostrando el modo 1.

De las figuras 5.63 y 5.64, se localizan los valores de la respuesta real e imaginaria


son:

H=(1.357+15.52i) (44)



constante modal del modo 1 “Ar1” correspondiente al acelerómetro 1, con lo que se tiene

que.

Ar1=.08051623467+.9215990504i

|Ar1|=.9251 Donde “Ar1” es la constante modal del modo 1 correspondiente a la respuesta del

acelerómetro 1 y “|Ar1|” es el módulo de la constante modal.

x=6.82 y=15.52

79

5.5.2 Modo 2.






figura 5.55.



x=41.76 y=0.07209

x=41.76 y=0.1032

80



son:

H=(.07209+.1032i) (45)




que.

Ar2= .01414924866+.02032199620i

|Ar2|=.02476

Donde “Ar2” es la constante modal del modo 2 correspondiente a la respuesta del


5.5.3 Modo 3.






figura 5.56.

81



x=119.3 y=0.02312

x=119.3 y=0.03426

82



son:

H=(.02312+.03426i) (46)




que.

Ar3=.006068075417+.009005251011i




Para el análisis de la respuesta del acelerómetro 2, los parámetros de frecuencia y

amortiguamiento para cada modo extraídos de la respuesta del acelerómetro 1, se

tomarán como parámetros de entrada ya que los de la respuesta de los acelerómetros 2 y

3 son iguales a los de la respuesta del acelerómetro 1 por tratarse de tres respuestas


De acuerdo con esto, para la respuesta del acelerómetro 2 se calcularán las constantes

modales correspondientes a los parámetros de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento

“ζ” calculados utilizando la respuesta del acelerómetro 1.

83


5.7.1 Modo 1.



modales correspondientes al modo 1 de la respuesta del acelerómetro 2.



figura 5.54.


x=6.82 y=0.4453

84




son:

H=(.4453+5.977i) (47)




que.

Ar1=.02642142892+.3548826154i

|Ar1|=.355864

Donde “Ar1” es la constante modal del modo 1 correspondiente a la respuesta del


x=6.82 y=5.977

85

5.7.2 Modo 2.






figura 5.55.


x=41.76 y=-0.06413

86




son:

H=(-.06413 + -0.09533i) (48)




que.

Ar2= -.01248692353-.01876997550i

|Ar2|= .02259961558

Donde “Ar2“es la constante del modo 2 correspondiente a la respuesta del acelerómetro 2

y “|Ar2|” es el módulo de la constante modal.

x=41.76 y=-0.09533

87

5.7.3 Modo 3.






figura 5.56.


x=119.3 y= -0.00121

88




son:

H=(-.00121 + -.001293i) (49)




que.

Ar3= -.0003175766008-.00003463482265i

|Ar3|=.0003194596505 Donde “Ar3” es la constante del modo 3 correspondiente a la respuesta del acelerómetro

2 y “|Ar3|” es el módulo de la constante modal.

x=119.3 y= -0.001293

89


Para el análisis de la respuesta del acelerómetro 3, los parámetros de frecuencia y

amortiguamiento para cada modo extraídos de la respuesta del acelerómetro 1, se

tomarán como parámetros de entrada ya que los de la respuesta de los acelerómetros 2 y

3 son iguales a los de la respuesta del acelerómetro 1 por tratarse de tres respuestas


De acuerdo con esto, para la respuesta del acelerómetro 3 se calcularán las constantes

modales correspondientes a los parámetros de frecuencia natural “ωn” y amortiguamiento

“ζ” calculados utilizando la respuesta del acelerómetro 1.


5.9.1 Modo 1.






figura 5.54.


x=6.82 y= 0.01413

90




son:

H=(.01413 + 2.384i) (50)




que.

Ar1= .0008383889057+.1414649039i



x=6.82 y= 2.834

91

5.9.2 Modo 2.






figura 5.55.


x=41.76 y= -0.04105

92




son:

H=(-.04105-.06174i) (51)




que.

Ar2= -.008056965709-.01215583521i



x=41.76 y= -0.06174

93

5.9.3 Modo 3.






figura 5.56.


x=119.3 y= 0.02378

94




son:

H=(.02378+.03907i) (52)




que.

Ar3=.006241299048+.01026806775i



x=119.3 y= 0.03907

95

En la tabla 5.10 se muestran las constantes modales calculadas en su forma compleja.

Tabla 5.10 Constantes modales calculadas.

Constantes calculadas Sensor 1 Sensor 2 Sensor 3

Modo 1 .0805+.9215 i .0264+.3548 i .00083+.14146 i

Modo 2 .0141+.0203 i -.01248-.0187 i -.00805-.0121i

Modo 3 .0060+.0090 i -.00031-.0000346 i .00624+.0102i


Calculadas las constantes modales, se calcula la magnitud de las constantes mostradas

en la tabla 5.10, y se escribe el vector correspondiente a la forma modal para cada modo

de vibración.

Para poder determinar la orientación y forma de los 3 modos de vibración, es necesario

tener al menos la señal correspondiente a 3 respuestas de vibración, donde cada señal

corresponde a cada uno de los acelerómetros colocados de tal manera que cada uno de

ellos esté separado por un antinodo del tercer modo. Para lo anterior, se analizan tanto la

parte real y parte imaginaria de las señales correspondientes a los acelerómetros 1, 2, y 3

de las figuras 5.63 – 5.80.

En la figura 5.81 se muestran las partes real e imaginaria para cada una de las respuestas

y separadas por modo de vibración.

En la figura 5.81a que corresponde al primer modo se observa que todas las respuestas

se encuentran en fase, mientras que la figura 5.81b que corresponde al segundo modo,

únicamente las respuestas de los acelerómetros 2 y 3 están en fase, mientras que la

respuesta del acelerómetro 3 trabaja en antifase. Así mismo, en la figura 5.81c que

corresponde al tercer modo, las respuestas de los acelerómetros 1 y 3 están en fase,

mientras que la respuesta del acelerómetro 2 trabaja en antifase.

96

a)

Las respuestas trabajan en fase en el

modo 1.

97

b)

Respuesta acelerómetro 1 trabaja a desfase en el modo 2,

mientras que las respuestas de los acelerómetros 2 y 3

trabajan en fase en el modo 2.

98

c)

Figura 5.81. Fase y desfase entre la respuesta de los acelerómetros, a) modo 1, b) modo

2, c) modo 3.

Respuesta del acelerómetro 2 trabaja en

desfase en el modo 3, mientras que las

respuestas 1 y 3 trabajan en fase.

99

Por tanto, de acuerdo con lo anterior, el vector correspondiente a la forma modal tanto del

modo 1, modo 2 y modo 3 de vibración se puede escribir como se muestra en la ecuación

(53).

Modo 1 Modo 2 Modo 3

(53)

Las formas modales en forma gráfica se muestran en la figura 5.82.

a)

b)

c)

Figura 5.82. Formas modales obtenidas para el sistema analizado (sin escala), a) Primera

forma modal, b) segunda forma modal, c) tercera forma modal.

100

En la figura 5.83., se muestran las FRF’s regeneradas correspondientes al modo 1 con los

parámetros modales obtenidos mediante transformada wavelet y se comparan con la FRF

original experimentales de la respuesta de los acelerómetros 1, 2 y 3. Se observa que las

FRF regeneradas ajustan tanto en ancho de banda como en amplitud a las FRF’s

experimentales de cada uno de los acelerómetros.

a)

101

b)

c)

Figura 5.83. Regeneración del primer modo de vibración a) Acelerómetro 1, b)

Acelerómetro 2, c) Acelerómetro 3.

102


parámetros modales obtenidos mediante transformada wavelet y se compara con la FRF

original experimentales de la respuestas de los acelerómetros 1, 2 y 3. Se observa que las



a)

103

b)

c)

Figura 5.84. Regeneración del segundo modo de vibración a) Acelerómetro 1, b)


104


parámetros modales obtenidos mediante transformada wavelet y se compara con la FRF

original experimentales de la respuestas de los acelerómetros 1, 2 y 3. Se observa que las



a)

105

b)

c)

Figura 5.85. Regeneración del tercer modo de vibración a) Acelerómetro 1, b)


106

5.11 DISCUSIÓN DE RESULTADOS.

Se presentan resultados de dos ejercicios numéricos y de un caso experimental. El ajuste

del cálculo en todos los casos resultó ser bueno, el indicador utilizado para comprobar

este punto es la regeneración de las FRF utilizando los datos calculados con

transformada wavelet y comparándolas con las originales, es ahí donde se puede ver la

relación de ancho de banda, amplitud y localización entre las FRF originales y las

regeneradas y así evaluar el ajuste logrado con este método.

Para conocer las constantes modales, el sentido de la vibración en cada punto sensado

en el sistema y el desfase de las respuesta para cada modo analizado, fue necesario

evaluar las partes real e imaginaria del sistema experimental para conocer la relación de

trabajo entre los sensores y, escribir el vector de forma modal con los signos

correspondientes a dichos desfases. Es importante mencionar que las constantes

modales se calculan con un cierto grado de error, esto se debe a que en cada cálculo se

supone la participación modal de un solo modo en cada resonancia, este efecto no se

aprecia tanto en casos de modos separados por que la participación modal entre modos

es mínima sin embargo, el efecto se va haciendo más grave al calcular constantes

modales para casos de modos cercanos y se hace evidente al regenerar las FRF. El

calcular las constantes modales de esta manera sirve para expresar el vector de forma

modal escalado [19] porque en todos los casos, este guarda la forma modal sin

problemas aunque no se considere la contribución de un modo sobre otro.

Las discrepancias entre las FRF’s regeneradas y las originales dependen de muchos

factores como los siguientes:

Eficiencia del método de integración.

Wavelet madre utilizada.

Libre presencia de ruido en las mediciones.

Trabajo con modos cercanos (sustracción modal).

Método de cálculo de las constantes modales.

La transformada wavelet otorga una buena aproximación a los resultados reales, en el

capítulo de resultados numéricos de modos separados, hecha la regeneración de las

FRF’s presentadas se ven diferencias pequeñas por ejemplo posición en el eje de la

frecuencia eso es porque la magnitud en frecuencia varía por decimales en comparación

107

a la original, también en el capítulo de resultados experimentales no existen grandes

diferencias entre las FRF originales y las regeneradas debido a que las frecuencias

naturales están muy separadas y la influencia de la participación modal es mínima entre

cada modo.

108

CAPÍTULO VI.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES PARA

TRABAJOS A FUTURO.

6.1 CONCLUSIONES.

En el presente trabajo se presenta una metodología de descomposición de una FRF

usando la transformada wavelet, este trabajo incluye el diseño de una wavelet madre

especialmente diseñada para llevar a cabo el cálculo de parámetros modales obteniendo

resultados favorables en el cálculo de los 3 parámetros. La wavelet madre propuesta da la

posibilidad al analista de construir una representación frecuencia – amortiguamiento

tomando como punto de partida la FRF y finalizando en un gráfico sencillo de identificar lo

que hace muy simple la extracción de datos del mismo para calcular los parámetros

correspondientes.

A continuación se muestran algunas características que tiene el método presentado en

este trabajo.

La metodología propuesta en este trabajo funciona tanto para el análisis de un

sistema de un grado de libertad como sistemas de múltiples grados de libertad sin

ignorar la contribución de todos los modos presentes en el sistema salvo al

calcular las constantes de participación modal.

La representación gráfica que se desarrolló en este trabajo de tesis es un

escalograma sencillo y un gráfico de curvas de niveles de los cuales en el punto

máximo de cada FRF transformada se pueden obtener los parámetros óptimos (en

el punto de máxima correlación entre la FRF y la wavelet madre propuesta)

necesarios para calcular los parámetros modales correspondientes al sistema

analizado.

Un indicador visual para conocer el correcto ajuste de la wavelet madre sobre las

FRF analizadas es regenerando las FRF y graficándolas con las originales para

comparar los resultados obtenidos es decir, compararlas en localización sobre el

eje de la frecuencia, en amplitud y en ancho de banda.

La forma modal obtenida por esta metodología es una forma modal escalada (ya

que se obtiene directamente de las mediciones del sistema) y está relacionada

directamente con los desplazamientos en los puntos donde hay sensores

colocados, esta se obtiene directamente de la medición de respuesta y los signos

109

del sentido de la vibración se colocan de acuerdo a las partes real e imaginaria del

sistema analizado, esto se debe a que estas representaciones de la FRF son

capaces de otorgar información de la orientación de la respuesta dando al analista

la capacidad de conocer perfectamente el desfase entre los sensores para cada

modo.

La metodología descrita en el presente trabajo puede combinarse con la

eliminación iterativa de modos en caso de tratar con casos en donde haya

presentes 2 ó más modos con frecuencias próximas como se muestra en la

sección 4.10.

6.2. TRABAJOS FUTUROS

Se sugiere la profunda investigación de los siguientes puntos en trabajos a futuro

relacionados con la identificación de parámetros modales utilizando transformada wavelet.

El factor de normalización conserva el área bajo de la curva de la wavelet madre

como unitaria a pesar de cada cambio de escala o traslación de la misma, para

este trabajo se consideró utilizar la normalización utilizando el espectro de área

unitaria bajo la curva de la wavelet madre (ecuación 10) sin embargo, esta

normalización sólo mide la correlación en forma, para trabajos futuros se propone

buscar un factor de normalización que busque medir la correlación no sólo de la

forma de la FRF y una wavelet madre propuesta sino también en amplitud

(constantes modales).

En caso de desarrollar la normalización propuesta en el punto anterior, se puede

evaluar para la wavelet madre propuesta en este trabajo el numerador en lugar de

quedar fijo a 1 se puede sustituir por Ar que es la constante modal e intentar llevar

a cabo la optimización de la wavelet madre con algún criterio como la entropía de

Shannon para encontrar bajo este criterio los parámetros “x” y “Ar” y así calcular

las constantes modales tomando en consideración la influencia entre modos,

especialmente al resolver casos de modos cercanos.

Para trabajos futuros se propone realizar una experimentación con modos

cercanos e intentar desarrollar una nueva metodología que involucre la medición

de periodicidad en la transformada wavelet de la FRF utilizando SVD (Singular

Value Decomposition), para lograr la correcta descomposición de FRF’s con

modos cercanos y no recurrir a los efectos que provoca el método de eliminación

iterativa como son cambio de posición en frecuencia y cambio de ancho de banda.

110

6.3 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.

1.- Jimin He&Fu, Modal analysis, Butterworth Heinemann publishing, Ltd., Oxford, 2001.

2.- De Veubeke. “A Variational Approach to Pure Mode Excitation Based on Characteristic

Phase Lag Theory”. Report #39. 1956.

3. - Ken Shye and Mark Richardson. “Mass, stiffnes and damping matrix estimation from

structural measurements”. San José C.A., U.S.A., 1987

4. - Michael Lee and Mark Richardson. “Determining the accuracy of modal parameters

estimation method”. Milpitas, C.A., U.S.A.,1992.

5. – Richardson, Formenti. “The choice of orthogonal polynomials in the rational fraction

polynomial method”. The international journal of analytical and experimental modal

analysis. Julio 1993

6. - S. Chauhan, R. Martell, D.L. Brown, R.J. Allemang. “A Low Order Frequency Domain

Algorithm for Operational Modal Analysis”. Cincinnati, U.S.A. 2006.

7. - Gloth G. and Sinapius M. “Analysis of swept-sine runs during modal identification”.

8. - D.J. Ewins, Modal Testing: Theory, Practice and Application, Research Studies Press,

Ltd., Taunton, 1984.

9. - U. Farooq and B. F. Feeny. “Smooth orthogonal decomposition for modal analysis of

randomly excited systems”. Michigan, U.S.A., 2008.

10.- Tegoeh Tjahjowidodo, Farid Al-Bender, Hendrik Van Brussel. “Identification of non

linear modal parameters using wavelets transform”. 24th Benelux Meeting on Systems and

Control. 2005.

11. - Arunasis Chakraborty, Biswajit Basu, Mira Mitra. “Identification of modal parameters

of a mdof system by modified wavelet packets”. Journal of sound and vibration. 2006.

111

12. - H.P. Yin, D. Duhamel, P. Argoul, Natural frequencies and damping estimation using

the wavelet transform of a frequency response function, Journal of Sound and Vibration

271 (2004) 999–1014, La Vallee, Cedex, France.

13.- Juan Manuel Arzola Castro. “Análisis de vibraciones en chumaceras mecánicas

mediante transformada wavelet”. Cuernavaca, Morelos, México. 2007

14.- Guadalupe Velez Castán. “Optimización de la resolución espacial y de frecuencia de

pruebas de caracterización dinámica”. Cuernavaca, Morelos, México. 2007

15. – David Alonso Estrada Rodas. “Caracterización Dinámica de Rotores Fracturados

mediante Transformada Wavelet”. Cuernavaca, Morelos, México. 2009.

16. – Enrique Simón Gutiérrez Wing, Jorge E. Aguirre Romano, Jorge Colín Ocampo,

Claudia Cortés García. “Balanceo de rotores rígidos sin emplear rodados de prueba”.

Revista SOMIM 15-01-2011. Vol 3 No. 6.

17.- Julio Martínez Malo, “Análisis de la teoría de ondículas orientada a las aplicaciones

en ingeniería eléctrica”, Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de la

Universidad politécnica de Madrid, Madrid España, 2002.

18.- Paul S. Addison. “The illustrated wavelet transform Handbook: Introductory theory and

applications in science, engineering, medicine and finance”. Napier University, Edinburgh,

UK, Taylor & Francis Group.

19. Brett A. Brinkman & David J Macioce. “Understanding modal parameter technology

and modal shape scaling”.

112

APÉNDICE I.

RELACIÓN DE SENSORES UTILIZADOS EN LA PRUEBA

EXPERIMENTAL Y DIAGRAMA DE CONEXIONES

REALIZADAS.

A continuación se muestra una relación de los sensores utilizados en la prueba de

vibración.

Tabla AI.11. Instrumentación utilizada en la prueba experimental.

Sensor Colocación Marca Número serial Sensibilidad

Acelerómetro 1 En extremo libre de la viga Klister SN 2035331 101.5 mV/g

Acelerómetro 2 Cerca del punto medio de la viga Klister SN 2035332 99.8 mV/g

Acelerómetro 3 Cerca de empotramiento de la viga Klister SN 2035333 101.5 mV/g

Martillo excitador Sensor de Fuerza de excitación Klister SN C113460 2 mV/N

En la figura se muestra el diagrama de conexiones utilizado.

Figura AI.86. Diagrama de conexiones de la instrumentación.

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS - CENIDET · 2014-03-10 · Figura 4.40. Parte real de la respuesta...

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