Tex to Guia Variedades Diferencia Bles

7/24/2019 Tex to Guia Variedades Diferencia Bles

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Texto-Gua

Convocatoria IDU-98

Variedades Diferenciables y Topologa

Pascual Lucas Saorn

Murcia, 1999


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CONTENIDOS

Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Cap tulo 0. Breves notas historicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Cap tulo 1. Introduccion a las Variedades Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Cap tulo 2. Topologa de Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Captulo 3. Diferenciacion en Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Captulo 4. Inmersiones y Subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Captulo 5. Campos de Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Captulo 6. Curvas Integrales y Grupos Uniparametricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Captulo 7. Campos de Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Captulo 8. Derivaciones Tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Captulo 9. Conexiones Afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Captulo 10. Geodesicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163


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2 VARIEDADES DIFERENCIABLES Y TOPOLOGIA


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INTRODUCCION

1. PRESENTACION DE LA ASIGNATURA

La asignatura Variedades Diferenciables y Topologa es una materia obligatoria de los planes de

estudio de la Licenciatura en Matematicas, que consta de 9 creditos de los cuales seis son teoricos y tres

son practicos. Se imparte en el cuarto curso de dicha titulacion y el departamento encargado de impartir

la asignatura es el deMatematicas.

2. OBJETIVOS GENERALES

El objetivo central que se persigue con esta asignatura es que los alumnos aprendan Geometra Dife-

rencial y disfruten con ella. De esta forma, el aprendizaje ser a efectivo y duradero. No obstante, algunos

objetivos mas concretos que guan la ensenanza de esta asignatura son los siguientes:

Transmitir al alumno la belleza que encierra la estructura de variedad diferenciable, tanto por susorgenes como por sus contactos con otras ramas de las Matematicas y la Fsica.

Conseguir que el alumno se centre mas en los metodos que en los contenidos concretos, logrando

tal grado de madurez cientfica que le permita tanto enfrentarse al planteamiento y resolucion de

problemas como continuar el estudio de temas mas avanzados.

Despertar en el alumno la capacidad de aplicar teoras generales a situaciones concretas, sinteti-zando resultados parciales y deduciendo otros mas globales.

Motivar a los alumnos para que se interesen por algunas ideas generales sobre las investigacionesmas recientes, de manera que puedan comprobar que la Geometra Diferencial es un fertil campo

de investigacion y una fuente de actividad humana de gran riqueza.

Intentar que el alumno adopte el habito de la lectura cientfica y el manejo de la bibliografa, tantolibros como artculos de investigacion.


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3. PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

La asignatura consta de diez temas, dedicados a las siguientes materias: variedades diferenciables,funciones y aplicaciones diferenciables, inmersiones, subvariedades, campos de vectores, campos y

derivaciones tensoriales, conexiones y geodesicas. Los puntos fundamentales del programa se relacionan

a continuacion.

Captulo 1. Introduccion a las Variedades Diferenciables.

Introduccion. Cartas, entornos coordenados y funciones coordenadas. Atlas sobre un conjunto.

Estructuras diferenciables. Atlas equivalentes. Aplicaciones diferenciables. Difeomorfismos.

Captulo 2. Topologa de Variedades.

Topologa inducida por la estructura diferenciable. Estructura diferenciable sobre un espacio to-

pologico. Axiomas de separacion y de numerabilidad. Variedades paracompactas: Particiones de

la unidad. Extension de funciones.

Captulo 3. Diferenciacion en Variedades.

Vectores tangentes y derivaciones. El espacio tangente. Ecuaciones del cambio de base. La

diferencial de una aplicacion. Rango de una aplicacion. Regla de la cadena. Teorema de la

funcion inversa. Covectores y espacio cotangente. Los fibrados tangente y cotangente.

Captulo 4. Inmersiones y Subvariedades.

Inmersiones. Propiedades de las inmersiones. Embebimientos. Subvariedades. Subvariedades

regulares. Teorema de la funcion implcita. Consecuencias.

Captulo 5. Campos de Vectores.

Definicion de campo de vectores. Campos de vectores diferenciables. Derivaciones. El corchete

de Lie de dos campos. Propiedades. Campos relacionados mediante una aplicacion diferenciable.

Campos sobre una subvariedad.

Captulo 6. Curvas Integrales y Grupos Uniparametricos.

Definicion de curva integral. Existencia de curvas integrales de un campo dado. Ejemplos. Cam-

pos completos y puntos crticos. Curvas integrales maximales. El flujo de un campo. Grupos

uniparametricos de transformaciones. Existencia de sistemas de coordenadas para un campo de

vectores coordenado dado.

Captulo 7. Campos de Tensores.

Uno-formas. Propiedades de la diferencial. Definiciones basicas: tensores covariantes y contrava-

riantes. Operaciones con tensores. Tensores en un punto. Componentes tensoriales. Operaciones

con tensores.

Captulo 8. Derivaciones Tensoriales.

Derivacion tensorial. Caracter local de una derivacion. Construccion de una derivacion. La

derivada de Lie. Propiedades.

Captulo 9. Conexiones Afines.

Definicion de conexion afn y de conexion afn en un punto. Existencia de conexiones afines.

Derivada covariante. La diferencial covariante de un tensor. Paralelismo. Derivada covariante de

un campo de vectores a lo largo de una curva. El transporte paralelo.


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INTRODUCCION 5

Captulo 10. Geodesicas.

Definicion, ecuaciones y primeras propiedades. Ecuaciones locales de una geodesica. El campo

geodesico. El flujo geodesico. Existencia y unicidad local de geodesicas. Geodesicas maximales.

La aplicacion exponencial. Entornos normales y coordenadas normales.

4. ESTRUCTURA DEL TEXTO-GUIA

El Texto-Gua esta dividido en diez temas o captulos que coinciden con los que componen el progra-

ma de la asignatura. Cada uno de estos captulos esta dividido en las secciones siguientes: interrogantes

centrales del captulo, contenidos fundamentales del captulo, actividades de aplicacion de los conoci-

mientos, bibliografa del captulo, y preguntas de evaluacion.

En la seccion interrogantes centrales del captulo se plantean las preguntas fundamentales a las que

daremos respuesta mediante el estudio del captulo, o se enuncian los conceptos y resultados que el

alumno debe conocer despues de estudiar dicho captulo. En la seccion contenidos fundamentales del

captulohacemos un resumen de los conceptos, propiedades y metodos matematicos que explicaremos

mas detalladamente en clase. En el apartadoactividades de aplicacion de los conocimientosse proponen

los problemas que permitiran al alumno comprobar si ha asimilado correctamente la teora; algunos

de estos problemas seran resueltos en clase. En la seccion bibliografa del captulo se indican unos

pocos libros basicos para la comprension del captulo, con indicacion de los captulos o secciones mas

directamente relacionados con la teora expuesta. Porultimo, en el apartadopreguntas de evaluaci onse

incluyen cuestiones de examenes de otros anos.

Para proporcionar al alumno datos historicos que le permitan encuadrar y situar en la historia de las

matematicas el origen y desarrollo de la Geometra Diferencial (es decir, el estudio de las curvas, su-

perficies y variedades diferenciables), al finalizar cada captulo incluimos la biografa de un matematico

famoso que influyo, a traves de sus investigaciones y descubrimientos, en la consolidacion de la geome-

tra, analtica primero y diferencial despues. Las biografas aparecen por orden cronologico y no ha sido

facil seleccionar a los que finalmente aparecen, pues han sido muchos, a lo largo de la historia, los que

con su esfuerzo y dedicacion marcaron un hito en este fertil campo de la ciencia.

5. BIBLIOGRAFIA BASICA

R.L. BISHOP y S.L. GOLDBERG. Tensor Analysis on Manifolds. Dover, 1980.

W. BOOTHBY. An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry. Academic

Press, 1986.

R. BRICKELL y R. CLARK . Differentiable Manifolds. Van Nostrand, 1970.

M. DO CARMO. Riemannian Geometry. Birkhauser, 1992.

L. CONLON. Differentiable Manifolds. A First Course. Birkhauser, 1993.

W.D. CURTIS y F.R. MILLER. Differential Manifolds and Theoretical Physics. Academic Press, 1985.


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I. CHAVEL. Riemannian Geometry: A Modern Introduction. Cambridge University Press, 1993.

S. GALLOT, D. HULIN y J. LAFONTAINE. Riemannian Geometry. Springer-Verlag, 1987.

D. MARTIN. Manifold Theory. Ellis Horwood, 1991.

B. ONEILL. Semi-Riemannian Geometry. Academic Press, 1983.

F.W. WARNER. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Springer-Verlag, 1983.

6. EVALUACION

Para que se realice un seguimiento y participacion en la asignatura, a lo largo del curso el profesorde clases teoricas propondra a los alumnos algunos problemas para que sean resueltos en clase. La

realizacion de estos ejercicios por parte de los alumnos se tendra en cuenta en la evaluacion. La cali-

ficacion de la asignatura se completara con la realizacion de una prueba final escrita, que constara de

varios ejercicios donde el alumno demostrara que sabe aplicar correctamente los conocimientos teoricos

adquiridos.


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CAPITULO 0BREVES NOTAS HISTORICAS

La Geometra Diferencial, tal y como hoy la entendemos, debe su origen fundamentalmente a C.F.

Gauss (), que ya a principios del siglo XIX afirmaba quelas propiedades de una superficie,flexible y no extensible, dependen en parte de la forma a la cual la podemos suponer reducida, y en parte

son absolutas y permanecen invariantes sea cual fuere la forma en que la superficie este combada. A

estas ultimas propiedades, cuyo estudio abre a la Geometr a un nuevo y f ertil campo, pertenece la

medida de la curvatura y la curvatura integral, en el sentido que hemos dado a estas expresiones.

Tambien a estas pertenece la teor a de las lneas mas cortas. . .

Gauss haba contribuido a las Matematicas, esencialmente, con el Algebra y con el Analisis. Sin

embargo, y aunque la Geometra no era su fuerte, todava llego a tiempo para dos cosas fundamentales:

(1) obtener, en , una importante conclusion, no publicada, sobre el postulado de las paralelas; y(2) publicar, en, un clasico tratado que generalmente es aceptado como el punto de partida de unanueva rama de la Geometra, y del cual hemos entresacado las palabras anteriores. Ya siendo Gauss

estudiante en Gotinga haba intentado probar el axioma de las paralelas, al igual que su amigo F. Bolyai

(). Sin embargo, llego a la conclusion de que no solo no haba prueba posible, sino que unageometra bien distinta a la eucldea podra ser desarrollada. Si Gauss hubiera pulido y publicado sus

ideas sobre el axioma de las paralelas, hoy se le considerara, sin duda, como el inventor de la geometra

no eucldea; pero su silencio en este tema hizo que el descubrimiento se lo adjudicasen otros.

La nueva rama de la Geometra que Gauss inicio en se conoce como Geometra Diferencial,y en un principio estuvo mas ligada al Analisis que al tradicional campo de la Geometra. No obstante,

I. Newton () y G.W. Leibnitz () ya haban aplicado el Calculo al estudio de curvasen el plano y, en este sentido, sus trabajos constituyen un prototipo de Geometra Diferencial. L. Euler

() y G. Monge () extendieron estas ideas al estudio analtico de superficies; dehecho, muchas veces han sido considerados los padres de la Geometra Diferencial. Sin embargo, no

fue hasta la aparicion del tratado de GaussInvestigaciones Generales sobre Superficies Curvadas,

con el que se dedicaba un volumen completo a esta materia, cuando puede decirse que inicio su andadura

la Geometra Diferencial.

Hablando a grosso modo, la Geometra ordinaria o clasica esta interesada en la totalidad de un

diagrama, figura u objeto geometrico, mientras que la Geometra Diferencial se concentra en las propie-

dades de una curva o superficie en el entorno de un punto de la misma. En esta lnea, Gauss extendio

el trabajo de C. Huygens () y A.C. Clairaut (), sobre la curvatura de una curvaplana, definiendo la curvatura de una superficie en un punto, que hoy se conoce como curvatura de

Gauss. Si sobre un puntoPde una superficieSse construye la lneaNnormal a S, los planos quecontienen a

Ncortaran a la superficie en una familia de curvas planas, cada una de las cuales tendr a un

radio de curvatura enP. Las direcciones de las curvas con mayor y menor radios de curvatura,Ryr, se


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denominan las direcciones principales deSenP, y ocurre que casi siempre son perpendiculares entres. Las cantidadesR y r se llaman los radios principales de curvatura, y la curvatura de Gauss de SenPse define comoK= 1/Rr. Gauss dio formulas paraKen terminos de las derivadas parciales de la

superficie con respecto a varios sistemas de coordenadas; tambien obtuvo numerosos resultados sobrecurvas en la superficie, como geodesicas, que denomino teoremas remarcables. Realizando estudios

de este tipo en Geometra Diferencial fue como los matematicos del siglo XIX pusieron las bases para

las teoras cientficas de nuestro siglo.

Es difcil presentar una vision general del desarrollo de la Geometra durante la primera mitad

del siglo XIX, debido fundamentalmente a las contracorrientes e interrelaciones de numerosos aspec-

tos. Sin embargo, hay un aspecto (el nacimiento y crecimiento de las geometras no eucldeas) que se

desarrollo ntidamente. No obstante, en este caso y al igual que en numerosas otras ocasiones, nos en-

contramos con un caso de simultaneidad en el descubrimiento. El origen de las geometras no eucldeas

es fruto del trabajo de tres hombres: un aleman (Gauss), un hungaro (J. Bolyai ()) y un ruso

(N.I. Lobachevsky ()). Lobachevsky es considerado como el Copernico de la Geometra,el hombre que revoluciono este campo con la introduccion de una nueva rama, la Geometra Lobache-

vskiana, demostrando que la Geometra Eucldea no era una ciencia exacta o una verdad absoluta, como

hasta entonces se haba tenido.

El nacimiento oficial de la geometra no eucldea data de, cuando Lobachevsky publica unartculo titulado Sobre los Principios de la Geometra. Ya con anterioridad estaba convencido de que

el quinto postulado no poda ser demostrado a partir de los otros cuatro, pero es en cuando da elrevolucionario paso de publicar una geometra especficamente construida sobre una hipotesis en directo

conflicto con el postulado de las paralelas: la existencia de mas de una lnea paralela. Con este nuevo

postulado, Lobachevsky deduce una estructura geometrica armoniosa que no posea contradicciones

logicas inherentes. A pesar de que era una geometra valida, se la denomino geometra imaginaria, yaque iba en contra del sentido comun (incluso para Lobachevsky). En, J. Bolyai publica un trabajoen el que desarrolla lo que el llama laCiencia Absoluta del Espacio, partiendo de la hipotesis de que

por un punto exterior a una lnea existen infinitas lneas paralelas a la dada.

Lobachevsky intuyo la gran importancia que tendra su geometra imaginaria, como se deduce

del hecho de que entre los anosypublicase tres tratados sobre esta nueva geometra: NuevosFundamentos de Geometra(),Investigaciones Geometricas sobre la Teora de lasParalelas(), y Pangeometra (). Gracias al segundo de los tres trabajos conocio Gauss lascontribuciones de Lobachevsky a las geometras no eucldeas, lo que le valio su recomendacion para

que ingresase en la Sociedad Cientfica de Gotinga. Gauss participaba privadamente de las ideas de

Lobachevsky, pero nunca le dio su apoyo publicamente, lo que fue uno de los motivos mas importantespara que la nueva geometra se diese a conocer muy lentamente.

Tan lenta fue su expansion que la geometra no eucldea continuo durante varias decadas siendo

un aspecto marginal de las Matematicas, hasta que fue integrada en una teora mas general por G.F.B.

Riemann (). En, Riemann ingresa en la Universidad de Gotinga y, de acuerdo con latradicion, deba pronunciar una conferencia ante los miembros de la Facultad de Ciencias. El resultado

fue la memoria mas celebrada en la historia de las Matematicas, pues presentaba una vision profunda y

amplia de todo el campo de la Geometra. En dicho trabajo sugera que el objetivo global de la Geometra

era el estudio de variedades de cualquier numero de dimensiones en cualquier clase de espacio. Sus

geometras son no eucldeas en un sentido mucho mas general que el de Lobachevsky, donde el problema

se reduca a determinar el numero de paralelas que se podan trazar pasando por un punto. Riemannintuyo que la Geometra no tena que tratar necesariamente con puntos, lneas o espacios en el sentido


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BREVES NOTAS HIST ORICAS 9

ordinario, sino con conjuntos ordenados den-uplas, que se combinaban de acuerdo con ciertas reglas.

Esta definicion local fue la comunmente admitida durante muchos anos. Por ejemplo, T. Levi-

Civita () afirma en su obra El Calculo Diferencial Absoluto () que punto de unavariedadn-dimensional abstracta es el conjunto de n variables, y variedadn-dimensional es el conjuntode valores que pueden asignarse a n variables. En esta misma direccion, L.P. Eisenhart dice en suobra Geometra Riemanniana () que n variables independientes pueden pensarse como lascoordenadas de un espacio n-dimensional, en el sentido de que cada conjunto de valores de las variablesdefine un punto de la variedad.

El tratamiento local era claramente insuficiente y, ya con anterioridad, H. Weyl ( ), ensu obraEspacio, Tiempo y Materia (), es el primero en llamar la atencion sobre la posibilidadde que un mismo sistema de coordenadas no valga para toda la variedad: la caracter stica de una

variedadn-dimensional es que cada uno de sus elementos puede ser especificado dando n cantidades,

las coordenadas, que son funciones continuas dentro de la variedad. Esto no debe significar que toda lavariedad, con todos sus elementos, pueda representarse de una sola y reversible manera por los valores

de sistemas de coordenadas: significa solamente que siPes un punto arbitrario de la variedad, siempreexiste un cierto dominio en un entorno dePque puede representarse de manera unvoca y reversible

por los valores de un sistema de coordenadas.

El aspecto global de la Geometra Diferencial tiene su origen en el mismo punto de partida de la

Topologa Algebraica con H. Poincare (), y su desarrollo inicial esta estrechamente ligado ala figura de E. Cartan (), quien al poner en escena la teora general de conexiones (metodo dela referencia movil) coloca el caracter global de la Geometra Diferencial en su punto algido, restando

al aspecto local el protagonismo propio de la epoca, y estableciendo las diferencias de ambos aspectos,

global y local, que aun admitiendo estudios por separado, de las interrelaciones entre ambos se extrae lagran riqueza de resultados propios de la Geometra Diferencial.

Fue este interes por el estudio de las propiedades globales sobre una variedad lo que obligo a pun-

tualizar adecuadamente las definiciones basicas. El primer intento serio fue el libro de O. Veblen ( ) y J.H.C. Whitehead () Los Fundamentos de la Geometra Diferencial (), cuyaidea esencial era la de definir rigurosamente las relaciones entre la variedad y los sistemas de coorde-

nadas que se introducen en ella para su estudio, haciendo una clara distincion entre ambos conceptos.

Se formula por primera vez de manera explcita que las variedades que estudia la Geometra Diferencial

son un conjunto de dos elementos: primero, la variedad como conjunto de puntos, para cuya definicion

y tratamiento la Topologa suministra los utiles y los medios necesarios; y segundo, un cierto conjunto

de sistemas de coordenadas admisibles que permiten el estudio diferencial de la variedad y entre loscuales deberan existir ciertas formulas de transformacion, o ciertas relaciones de equivalencia, que los

vinculen entre s y permitan pasar de unos sistemas a otros.

Esta idea se fue puliendo y simplificando hasta llegar a la definicion actual de variedad diferen-

ciable, la cual es el resultado de sucesivos perfeccionamientos debidos principalmente a H. Whitney

(Variedades Diferenciables, Ann. of Math., 37 (), 645480), C. Chevalley (Teora de Gruposde Lie, Princeton,), S.S. Chern (Topicos en Geometra Diferencial, Princeton,) y G. DeRham (Variedades Diferenciables, Hermann, Paris, ). A partir de esa fecha la definicion devariedad diferenciable es ya usual en todos los textos de Geometra Diferencial.


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CAPITULO 1INTRODUCCION A LAS VARIEDADES DIFERENCIABLES

1. INTERROGANTES CENTRALES DEL CAPITULO

Se pretende que el alumno sepa definir, establecer o determinar lo siguiente:

Curvas y superficies en n. Superficiesk-dimensionales en n. Carta. Coordenadas de un punto.

Atlas diferenciable sobre un conjunto.

Atlas maximal.

Variedad diferenciable. Atlas (estructuras diferenciables) equivalen-

tes.

Funcion diferenciable.

Aplicacion diferenciable.

Difeomorfismo.

2. CONTENIDOS FUNDAMENTALES DEL CAPITULO

En el estudio de las curvas y superficies en el espacio eucldeo tridimensional 3 se observa que

existen ciertos subconjuntos de 3 que poseen determinadas propiedades o cualidades, algunas de ellas

muy intuitivas, por las cuales merecera la pena estudiarlos con detenimiento. Entre estas propiedades

destacan las siguientes: (1) existencia de cierto grado de diferenciabilidad, que se asocia con la au-

sencia de picos, vertices o aristas; y (2) existencia de recta o plano tangente, cualidad que nos obliga a

exigir que dichos subconjuntos no tengan autointersecciones.

Las diferencias entre curvas y superficies se empiezan a notar ya desde el mismo momento de

su definicion. Intuitivamente, una curva en 3 se construye a partir de una lnea recta doblandola en

un plano que la contenga, lo que le proporciona su curvatura, y retorciendola para sacarla de dicho

plano, lo que nos permite asignarle una segunda curvatura, la torsion. Por el contrario, la definicion de

superficie se hace de forma local, considerando trozos que se solapan adecuadamente. No obstante,

tanto unas como otras pueden extenderse en varias direcciones: aumentando la dimension, aumentando

la codimension y generalizando el espacio ambiente.


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2.1. Superficiesk-dimensionales en n

Una superficie regular en 3 puede construirse considerando trozos de plano y deformandolos.

Posteriormente estos trozos se van entrelazando de tal forma que no aparezcan vertices, bordes o aris-

tas, esto es, que exista una cierta suavidad en las uniones. Si recordamos la definicion de superficie

notaremos que nada impide considerar que el espacio ambiente sea n en lugar de 3, o que nuestras

superficies sean localmente homeomorfas a abiertos de k en lugar de 2.

Antes de esto conviene introducir los conceptos de curvas y superficies en el espacio eucldeo

n-dimensional n, para liberar a estos conceptos del lastre que supone considerarlos siempre en 3.

Definicion 1.1 (Curva parametrizada regular en n)

SeaI un intervalo. Unacurva parametrizadaen n es una aplicacion :I n diferenciablede clase

C. La curvase dice que esregularsi (t)

= 0 para todot

I.

Observacion 1.2

Una definicion mas general de curva parametrizada en n exige solo quesea continua, mientras quepara curvas regulares se impone unicamente que sea de clase C1. Sin embargo, para nuestros propositos(y salvo mencion expresa de lo contrario) solo seran consideradas curvas de clase C.

Figura 1.1: Circunferencia y helice

Ejemplos.

1.3. Lnea recta. Sea p, v n. La recta que pasa por p en la direccion de v se expresa como(t) =p+tv,t . La curva es regular si, y solo si,v= 0.

1.4. Circunferencia. Seap = (a, b) 2 yr ,r= 0. La circunferencia de radior centrada en elpuntop se parametriza como(t) = (a+r cos t, b+r sen t).es una curva regular en todos lospuntos.

1.5. H elice. Sear, h

dos numeros reales no nulos. La helice de radio r y altura (paso) h puedeparametrizarse mediante(t) = (r cos t, r sen t,ht). Como antes,es una curva regular en todoslos puntos.


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INTRODUCCION A LAS VARIEDADES DIFERENCIABLES 13

1.6. Parametrizacion generica de una recta. Seaf : una funcion diferenciable. Entonces larecta determinada por(p, v),v= 0, puede expresarse como(t) =p +f(t)v. En consecuencia,es regular en los puntostdondef(t)= 0.

Definicion 1.7 (Superficie regular en n)

Una superficie (diferenciable) regularen n es un subconjuntoS n tal que para todo punto deSexiste un entornoVdel punto enS(con la topologa relativa) y una aplicacionX :U 2 V,Uabierto, satisfaciendo las siguientes propiedades:

(1)Xes un homeomorfismo.(2)X :U n es diferenciable.(3)dXtiene rango 2 en todos los puntos de U.

Como vemos por la definicion dada, que formalmente es identica a la correspondiente para super-

ficies del espacio eucldeo tridimensional, la unica diferencia estriba en la ampliacion del espacio donde

vive la superficie. Esto pone de manifiesto que la restriccion sobre ladimensiondel espacio ambiente

era mas bien una consecuencia historica que cientfica. En este sentido, cuando digamos que Ses unasuperficie de n debe entenderse queSno es un subconjunto de ningun espacio m,m < n.

Figura 1.2: Toro

Ejemplos.

1.8. Toro. Seana, b

, a y b positivos. Entonces el producto de dos crculos de radios a y b,

1(a) 1(b), es una superficie en 4.1.9. Producto de curvas. En general, sean1(t)y2(s)curvas regulares en

n y m, respectivamente.

Entonces el producto1 2 es una superficie en n+m.

No es difcil encontrar subconjuntos de n que gozan de propiedades similares a las curvas y

superficies pero que, sin embargo, no son ni lo uno ni lo otro. Esto lleva necesariamente a la introduccion

de un nuevo concepto.

Definicion 1.10 (Superficiek-dimensional parametrizada en n)SeaA

k un subconjunto abierto. Unasuperficiek-dimensional parametrizada en n es una aplica-cionX :A n diferenciable de clase C. Diremos que la superficie es regular sidXtiene rangoken todos los puntos deA.


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Sin embargo, y tal como ocurra con las curvas y superficies 2-dimensionales, el nuevo concepto

es insuficiente ya que no permite obtener subconjuntos de n que a todas luces gozan de buenas pro-

piedades, como son, por ejemplo, las esferas. Por ello conviene introducir una nocion que generalice

adecuadamente la de superficie.

Definicion 1.11

Un subconjuntoS n es una superficiek-dimensional (diferenciable y regular) si para todo puntopde Sexiste un abierto U k, un entorno V S dep (con la topologa relativa) y una aplicacionX :UVsatisfaciendo las siguientes tres propiedades:(1)Xes un homeomorfismo.(2)X= (x1, . . . , xn) :U n es una aplicacion diferenciable.(3) La diferencialdXq :

k n es inyectiva para todoqU.

Un mismo punto deSpuede pertenecer a distintos entornos coordenadasVy puesto que la geo-

metra deSdepende de la aplicacionX, sera adecuado y conveniente que las propiedades geometricasenpfuesen independientes de la parametrizacion. Este problema se soluciona con el siguiente resultado,cuya demostracion es totalmente analoga al caso de superficies en 3.

Proposicion 1.12

Seap un punto de una superficiek-dimensional (diferenciable y regular) en n, y seanX : U SeY : V Sdos parametrizaciones deS tales quep X(U) Y(V) = W. Entonces la aplicaci onh = X1 Y : Y1(W) X1(W)es un difeomorfismo. hse denomina la aplicacion cambio de

parametros o cambio de coordenadas.

La propiedad que acabamos de enunciar nos dice que cuando dos parametrizaciones se intersecan

lo hacen de manera diferenciable, de tal suerte que si nos moviesemos por la superficie no nos daramos

cuenta del paso de una a otra. Esta propiedad sera fundamental para comprender la definicion del

concepto de variedad diferenciable.

No es difcil probar que el grafo de una funcion diferenciablef : k nk es una superficiek-dimensional. Por otra parte, puede probarse que toda superficie k-dimensional diferenciable S es,localmente, el grafo de una funcion diferenciablef : k nk. Esta propiedad nos permite disenarun metodo practico y sencillo para obtener ejemplos de superficiesk-dimensionales.

Proposicion 1.13

Seaf : n nk una aplicaci on diferenciable y seaa nk un valor regular def, es decir, dfqtiene rangon k para todo puntoqf

1(a)(o bienf

1(a)es vaco). EntoncesS=f

1(a)es unasuperficiek-dimensional de n.

Ejemplos.

1.14. Cilindro circular recto.A ={(x,y ,z) 3 :x2 +y2 =r2},r >0.1.15. Paraboloide.B ={(x,y ,z) 3 :z = x2 +y2}.1.16. Hiperboloide de una hoja.C={(x,y ,z) 3 :x2 +y2 z2 1 = 0}.1.17. Hiperboloide de dos hojas.D ={(x,y ,z) 3 :x2 y2 z2 1 = 0}.1.18. Cilindrok-dimensional.E=

{(x1, . . . , xk+1)

k+1 :x21+

+x2k = r

2

},r >0.

1.19. Esferak-dimensional.F ={(x1, . . . , xk+1) k+1 :x21+ +x2k+1= r2},r >0.


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Figura 1.3: Cilindro y paraboloide

2.2. Variedades diferenciables

Cuando trabajamos con subvariedades del espacio eucldeo estamos disfrutando de la ventaja de la

simplicidad conceptual; en general, estamos ma s comodos tratando con subespacios de n que con espa-

cios metricos o topologicos arbitrarios. Sin embargo, esta aproximacion a las variedades diferenciables

tiene la desventaja de que importantes ideas estan algunas veces ocultas por el familiar ambiente de n.

Por esta razon, y tras haber motivado las variedades diferenciables con las superficiesk-dimensionalesde n, conviene que nos introduzcamos ya en el estudio general de este concepto.

Existen diversas formas de introducir la nocion de variedad diferenciable, muchas de las cuales

parten de la idea de espacio topologico o variedad topologica. Nosotros preferimos introducir las estruc-

turas diferenciables sobre un conjunto sin ninguna otra estructura adicional, tal y como se hace en los

textos de R. Brickell y R.S. Clark y M. Do Carmo.

Definicion 1.20

SeaMun conjunto. Unacartan-dimensional sobreMes una aplicacion biyectiva : U M ncuya imagenV =(U)es un conjunto abierto del espacio eucldeo.

El conjunto U, dominio de la carta , se denomina entorno coordenado, ya que todos los puntos deUtienen asignadas, via , unas coordenadas. En efecto, sipi:

n denota la funcion proyeccion enlai-esima coordenada, entonces se definen las funciones coordenadas asociadas a la carta(U, )comoxi= pi . Las coordenadas de un puntopen la carta son (x1(p), . . . , xn(p)).

Al igual que ocurre con las superficies, hay conjuntos que no sera posible cubrir mediante una

sola carta, de modo que necesitaremos colecciones de cartas entre las que exista compatibilidad, en un


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sentido que pasamos a precisar.

Definicion 1.21

Dos cartasn-dimensionales(U, )y (V, )sobre un conjuntoMsoncompatiblessi U V = o bienU V=, los conjuntos(U V)y(U V)son abiertos en n y las aplicaciones 1, 1son difeomorfismos.

Ahora estamos en condiciones de definir uno de los conceptos fundamentales de este tema.

Definicion 1.22

Un atlas diferenciable n-dimensionalsobre un conjunto Mes una familia de cartas A={(U, )}Asatisfaciendo las siguientes condiciones:

(1) AU= M.(2) Para todo par dendicesy , las cartas(U, )y(U, )son compatibles.Diremos que el atlasAdetermina una estructura diferenciable sobreMsi es maximal para las condi-ciones anteriores.

Observacion 1.23

Aunque en un principio pueden considerarse atlas de claseCk, es decir, de manera que los cambios decartas sean diferenciables de claseCk, para nuestros propositos es suficiente trabajar con atlas de claseC.

La condicion de maximalidad que aparece en la definicion anterior es puramente tecnica y podra

eliminarse, ya que es facil demostrar que cualquier atlas se puede completar a un atlas maximal de

manera unica, es decir, todo atlas diferenciable sobre un conjunto esta contenido en exactamente unatlas maximal. As pues, para definir una estructura diferenciable no necesitamos especificar un atlas

maximal sobreM, sino simplemente un atlas diferenciable.

Como sobre un mismo conjunto es posible definir diferentes atlas, como saber si determinan la

misma estructura diferenciable (atlas maximal)?

Definicion 1.24

Dos atlas A1y A2 sobre un conjuntoMse dice que sonequivalentessi determinan la misma estructuradiferenciable sobreM.

Utilizando la compatibilidad de las cartas es facil probar que los atlasA1 yA2 son equivalentessi, y solo si, A1 A2constituye un atlas. Llegamos ahora al concepto central del tema.

Definicion 1.25

Unavariedad diferenciablede dimensionnes un par(M, A)formado por un conjuntoMy una estruc-tura diferenciablen-dimensional A sobreM.

Para indicar la dimensionn, en algunas ocasiones escribiremosMn en lugar deM, y cuando laestructura diferenciable A sea conocida omitiremos cualquier referencia a ella.

Ejemplos.


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1.26. En el espacio eucldeo n podemos definir una estructura diferenciable considerando como carta

global la aplicacion identidad. Nos referiremos a ella como la estructura diferenciable estandar

de n.

1.27. Consideremos la aplicacion diferenciable : definida por(s) = s3. Entoncesproporciona una estructura diferenciable sobre distinta de la estructura estandar. Ello es debido

a que la aplicacion1(s) = 3

sno es diferenciable en todo .

1.28. Sea el conjunto de puntos de 2 definido porM={(s, 0) :1< s < 1}{(s, s) : 0< s


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Entonces las aplicaciones y: V ={(sen(2s), sen(s)) :s(0, 2)} y x: U ={(sen(2s), sen(s)) :s(, )} , que a cada punto le asignan el valor del parametros, definen atlas sobre la figuraocho. Son equivalentes?

Soluci on:Comprobemos que(V, y)es un atlas sobreE(la comprobacion de que(U, x)es tambien unatlas puede hacerse de forma totalmente analoga). En primer lugar, el dominioV dey es toda la figuraocho, y su imageny(V)es el abierto(0, 2). Solo resta probar la inyectividad dey, pero esto es obvio.Para probar que ambas cartas definen la misma estructura diferenciable s olo debemos estudiar el cambio

de cartasy x1, que esta definido como sigue:

y x1(s) =

s+ 2 sis(, 0) sis = 0

s sis(0, )

Como puede comprobarse, dicha aplicacion no es diferenciable en s = 0 por lo que las estructuras

diferenciables son distintas y, por tanto, los atlas no son equivalentes.

Ejercicio 1.32. El lazo

El subconjuntoN={(x, y) 2 :x2 +y2 = 1}{(0, y) 2 : 1< y


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(w1, w2) se encuentran en{(x, y) 2 : x2 +y2 = 1}. Utilizando la periodicidad de las funcionessen2s y cos 2s se obtiene que(z1, z2) = (w1, w2). Esto prueba quex es una carta. Paray se razonaexactamente igual.

Para ver six e y determinan la misma estructura diferenciable sobreN, debemos estudiar la aplicaciony x1 :x(N) = (1, 1)y(N) = (1, 1)que esta definida como sigue:

y x1(s) =

s si 1< s


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La razon de que la definicion anterior sea correcta puede encontrarse en el siguiente razonamiento.

Sean(U, )y(V, )dos cartas en Mcuyos dominios contienen al puntop, y consideremos F =f1yG= f1 las representantes locales respectivas. Entonces, utilizando el cambio de cartas, podemoscomprobar queF =G (

1

), por lo queFes diferenciable en(p)si, y solo si,Ges diferenciableen(p). El conjunto de todas las funciones (reales) diferenciables definidas en M sera denotado porC(M)y es facil ver que admite estructura de anillo conmutativo.

Introduzcamos ahora el caso general. Seaf : Mm1 Mn2 una aplicacion, seap un punto de sudominio y consideremos(U, x) una carta en M1 cuyo dominio contiene a p y (V, y) una carta en M2cuyo dominio contiene a f(p). Entonces la aplicacionF = y f x1 : m n se denomina larepresentante localo representante en coordenadasde f.

Definicion 1.35

Una aplicacionf : M1 M2 se dice que es diferenciable en un punto p de su dominio si una repre-sentante local F = yfx1 (y, por tanto, todas) es diferenciable en x(p). La aplicacion se dicediferenciable si lo es en todos los puntos de M.

Merece la pena que nos detengamos un momento analizando la definicion que acabamos de pre-

sentar. Observemos que las cartas sobre una variedad son siempre aplicaciones diferenciables y que

esta definicion generaliza el concepto analogo para aplicaciones entre conjuntos abiertos de espacios

eucldeos.

Ejercicio 1.36.

SeaM(n, ) el conjunto de las matrices cuadradas reales de orden n con su estructura de variedaddiferenciable y consideremos la aplicacion determinantedet :

M(n, )

. Probar quedet es una

aplicacion diferenciable.

Soluci on:Sea :M(n, ) n2 la carta estandar sobre las matrices cuadradas (ver Ejemplo 1.33)


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y consideremosF : n2 la representante local de la aplicacion determinantedet, es decir,

F(x11, x12, . . . , x1n, . . . , xn1, xn2, . . . , xnn) =detx11 x12 x1nx21 x22 x2n... ... . . . ...xn1 xn2 xnn

Por definicion de determinante,

F(x11, x12, . . . , x1n, . . . , xn1, xn2, . . . , xnn) =Sn

x1(1) xn(n)

dondeSn es el grupo de las permutaciones den letras y denota la signatura de la permutacion. AlserFun polinomio de grado n en n2 variables, es diferenciable (de claseC) y, en consecuencia, laaplicaciondetes tambien diferenciable.

En ocasiones, y por simplificar la escritura, consideraremos aplicaciones diferenciables f :MN. En estos casos, y aunque no se mencione explcitamente, estaremos suponiendo que tantoM comoNson aplicaciones diferenciables.

Definicion 1.37

Una aplicacionf :MNse dice que es un difeomorfismosi es biyectiva, diferenciable y con inversadiferenciable. En tal caso, las variedadesMyNse dice que son difeomorfas.

El objetivo de la Geometra Diferencial es la clasificacion de las variedades diferenciables, tenien-

do en cuenta que dos variedades difeomorfas se consideran la misma desde el punto de vista de la teor a

de variedades diferenciables.

Ejercicio 1.38.

Las variedades diferenciables ( , 1) (ver Ejemplo 1.26) y ( , ) (ver Ejemplo 1.27) son variedadesdiferenciables difeomorfas.

Soluci on:Definimos las aplicacionf : ( , 1)( , )por f(s) = 3s. Trivialmente,fes biyectivay tanto ella como su inversaf1 son diferenciable ya que sus representantes locales son la aplicacionidentidad.

Ejercicio 1.39.

(a) Construir un difeomorfismo entre: (i)]a, b[y] 1, 1[; (ii)]0, 1[y .(b) Probar que no existe ningun difeomorfismo entre el crculo unidad y un intervalo de la recta real.

Soluci on:Resolvamos el apartado (b). Supongamos, por reduccion al absurdo, que existe una intervalo

Iy un difeomorfismo f : I S1. EntoncesIdebe ser compacto y, por tanto, cerrado; supongamosI = [c, d]. Pero entoncesf((c, d))es la circunferencia menos dos puntos, que no es conexo, cuando elintervalo abierto(c, d)s que lo es.

Ejercicio 1.40.


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Sea la funcionf : 3 3 definida por

f(x,y ,z) = (x cos z y sen z, x sen z+y cos z, z).

Probar:

(a)f|

2 toma valores en 2.

(b)La aplicacion inducida de 2 en s misma es un difeomorfismo.

Soluci on: a) Denotemos por f1, f2, y f3 a las tres componentes de la aplicacion f. Entoncesf(x,y ,z) 2 si, y solo si,|f(x,y ,z)|2 = f1(x,y ,z)2 +f2(x,y ,z)2 +f3(x,y ,z)2 = 1. Consi-deremos un punto(x,y ,z) 2:

|f(x,y ,z)|2 = (x cos z y sen z)2 + (x sen z+y cos z)2 +z2= x2 cos2 z+y2 sen2 z 2xy sen z cos z

+x2 sen2 z+y2 cos2 z+ 2xy sen z cos z+z2

= x2 +y2 +z2 = 1

b)Veamos, en primer lugar, que fes biyectiva. Supongamos quef(x,y ,z) = f(x, y, z). Entoncesz= z y

x cos z y sen z = x cos z y sen zx sen z+y cos z = x sen z+y cos z

Reorganizando las ecuaciones anteriores podemos escribir

(x

x)cos z

(y

y)sen z = 0

(x x)sen z+ (y y)cos z = 0

que representa un sistema de ecuaciones lineales homogeneo en las incognitas(x x)e(y y), cuyamatriz de coeficientes tiene determinante 1. En consecuencia, la unica solucion es la solucion trivial y,

as,x= x ey = y . Para comprobar la sobreyectividad, sea(a,b,c) 2; debemos resolver el sistemade ecuaciones

x cos z y sen z = ax sen x+y cos z = b

z = c

Sustituyendo el valor de z = c en las dos primeras ecuaciones obtenemos un sistema de ecuacioneslineales cuya solucion esta dada porx= a cos c b sen ce y = b cos c a sen c.Comprobemos, finalmente, que fes una aplicacion diferenciable (la demostracion para f1 es totalmen-te analoga). Seap0 2, entonces la aplicacionfes diferenciable enp0 si f 1 es diferenciableen(p0), donde y son cartas en la esfera

2 alrededor de los puntos p0 yf(p0), respectivamente.Supongamos, por ejemplo, quep0 = (x,y ,z)con z >0. Podemos considerar la carta de los hemisferios(U30, 30)tanto para el puntop0como para el puntof(p0)(ver ejercicio??). Entonces la representantelocal defrespecto de30esta dada por

30 f 1(x, y) = (x cos

1 x2 y2 y sen

1 x2 y2,

x sen1 x2 y2 +y cos1 x2 y2)que es, claramente, diferenciable en su dominio. En consecuencia,fes un difeomorfismo.


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3. ACTIVIDADES DE APLICACION DE LOS CONOCIMIENTOS

A.1.1. Consideremos el subconjuntoMde 2 descrito por la siguiente figura:

(0, 0) (1, 0)

(0, 1) (1, 1)

AdmiteMuna estructura de variedad diferenciable?

A.1.2. SeaVun espacio vectorial real de dimension finitan.

(a) Fijada una base {e1, . . . , en, la aplicacion

x: V n, x ni=1

iei

= (1, . . . , n)

determina una estructura de variedad diferenciable sobreV.

(b) Ademas, cualquier otra base da origen a la misma estructura diferenciable sobre el espacio

vectorial.

A.1.3. Sea 1 la circunferencia de radio 1 y centrada en el origen de 2.

(0, 0) (1, 0)(1, 0)

(0, 1)

(0,1)

Consideremos los siguientes subconjuntos de 1:

U1 = {(z1, z2) 1; z1> 0}U2 =

{(z1, z2)

1; z2> 0

}U3 = {(z1, z2) 1; z1< 0}U4 = {(z1, z2) 1; z2< 0}


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y definamos las siguientes funciones:

x1: U1 , x1(z1, z2) =z2

x2: U2

, x2(z1, z2) =z1x3: U3 , x3(z1, z2) =z2x4: U4 , x4(z1, z2) =z1

(a) Prueba que {x1, x2, x3, x4} forma un atlas para 1.(b) Prueba que el atlas definido en (a) es equivalente al formado por las dos cartas siguientes:

y:{(sen2s, cos2s) : 0< s 0.B ={(x,y ,z) 3 :z = x2 +y2}.C={(x,y ,z) 3 :x2 +y2 z2 1 = 0}.D={(x,y ,z) 3 :x2 y2 z2 1 = 0}.E={(x,y ,z ,w) 4 :x2 +y2 =a2, z2 +w2 =b2},a, b >0.Prueba que los conjuntos anteriores pueden dotarse de un atlas de forma que se convierten en

variedades diferenciables. Cual es su dimension?

A.1.5. SeanM yM dos variedades diferenciables de dimensionesn yn, respectivamente. Dota alconjuntoM M de una estructura de variedad diferenciable.


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A.1.6. Sea M una variedad diferenciable n-dimensional y sea A un conjunto arbitrario. Admite elproducto cartesianoM Aestructura de variedad diferenciable?

A.1.7. SeaMel conjunto de los pares de vectores ortonormales de n. EsM una variedad diferen-ciable? En caso afirmativo, esMdifeomorfa al fibrado unitario de la esfera unidad n?

A.1.8. SeaMuna variedad diferenciable yr >0 un numero real positivo. Probar que todo puntop deMadmite un entorno coordenado(U, ) tal que (p) = (0, . . . , 0) y (U) = Br(0) ={x

n :x < r}. Por tanto, todo punto admite una carta centrada en dicho punto y cuyo abiertocoordenado es n.

A.1.9. En este ejercicio se trata de construir un atlas para la esfera n-dimensional n equivalente alformado por 2(n+ 1) hemisferios, pero constituido solo por dos cartas. Sean los puntosN =(0, . . . , 0, 1)y S= (0, . . . , 0, 1) y consideremosU = n N yV = n S. Definamos lasaplicaciones

: U

n

, : V

n

por

i(z1, . . . , zn+1) = zi

1 zn+1 , i(z1, . . . , zn+1) = zi

1 +zn+1.

N= (1, 0)

p

q

(p)

(q)

Prueba que{(U, ), (V, )} constituye un atlas para n equivalente al de los hemisferios. Lollamaremos elatlas estereografico.

A.1.10. En el espacio eucldeo n+1\{0} se define la siguiente relacion de equivalencia:xy si y solo six ey son colineales.

El conjunto de las clases de equivalencia es un espacio topologico conocido como Espacio Pro-

yectivo Realy que se denota porPn

(

). Dota aPn

(

)de estructura de variedad diferenciable.

A.1.11. Definimos la siguiente relacion de equivalencia en :

xy si, y solo si,y = x+n, n Prueba que el conjunto cociente / admite estructura de variedad diferenciable de dimension1.

A.1.12. En el plano 2 con coordenadas(x, y), definimos las aplicaciones (traslaciones) Tm,n : 2

2 mediante Tm,n(x, y) = (x+ m, y+ n), donde m y n son enteros. Definimos la siguienterelacion de equivalencia en 2:

(x, y)(a, b)si, y solo si,x= a+m, y= b+nPrueba que el conjunto cociente Tadmite estructura de variedad diferenciable 2-dimensional.


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A.1.13. En n definimos la siguiente relacion de equivalencia. Sean x= (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn).Entonces

xy si, y solo, siyi= xi+mi, mi prueba que el conjunto cociente n/ n admite estructura de variedad diferenciable n-dimensional.

A.1.14. (a) Demuestra que una aplicacion : M N es diferenciable si, y solo si, para unacoleccion de sistemas coordenados= (y1, . . . , yn)suficientes para cubrirN, las funcionesyj son diferenciables.

(b) Prueba que si f : M M yg : N N son aplicaciones diferenciables, entonces laaplicacion productof g : M NM N es tambien diferenciable.

(c) Sif : M N yg : M N son funciones diferenciables, entonces (f, g) : MN N es una funcion diferenciable. Como consecuencia la aplicacion diagonald: MM

Mdefinida pord(m) = (m, m)es diferenciable.

(d) Seaf : M M ym M. Prueba quefes diferenciable en m si y solo si f esdiferenciable enmpara toda funcion : M diferenciable enf(m).

(e) La composiciong fde dos aplicaciones diferenciables f : MM yg : M Mes tambien diferenciable. Sifyg son difeomorfismos entonces tambien lo esg f.

A.1.15. Sean M1 y M2 dos variedades diferenciables y consideremos M = M1 M2 la variedaddiferenciable producto. Sea(p, q)M. Definimosjp: M2M eiq :M1Mpor

jp(y) = (p, y), iq(x) = (x, q).

Prueba quejpe iq son aplicaciones diferenciables.

A.1.16. (a) SeaM(n, ) el conjunto de las matrices cuadradas reales de orden n con su estructurade variedad diferenciable y consideremos la aplicacion determinantedet : M(n, ) .Prueba quedetes una funcion diferenciable.

(b) SeaGL(n, )el conjunto de las matrices cuadradas regulares de orden n. Dota aGL(n, )de estructura de variedad diferenciable.

(c) SeaS(n, )el conjunto de las matrices simetricas de ordenn. Prueba queS(n, )admiteestructura de variedad diferenciable.

(d) Sea A(n, ) el conjunto de las matrices antisimetricas de orden n. Prueba queA(n, )admite estructura de variedad diferenciable.

A.1.17. Demuestra que para todo par de numeros realesa, b ,a < b, se puede construir una funciondiferenciableh: , con0

h(t)

1, tal que

(a) h(t)1 si t ayh(t)0 si t b.(b) h(t)0 si t ayh(t)1 si t b.

a b


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A.1.18. Demuestra que para toda cuaterna de numeros realesa < a1 < b1 < b, se puede construir unafuncion diferenciableh : , con0

h(t)

1, tal que

(a) h(t)

0 si t

aot

byh(t)

1 si a1 t b1.

(b) h(t)1 si t aot byh(t)0 si a1 t b1.

a a1 b1 b

A.1.19. Prueba que la recta proyectiva real P1( )es difeomorfa a 1.

A.1.20. Prueba que la esfera 2 y la recta proyectiva complejaP 1 son variedades difeomorfas.

A.1.21. Sea

T(, ) ={x +1 :i

x2i =i>

x2i }.

Prueba queT(, )y 1 1 son variedades difeomorfas.

4. BIBLIOGRAFIA DEL CAPITULO


Press, 1986.




5. PREGUNTAS DE EVALUACION

E.1.1. En n+1 {0} definimos la siguiente relacion de equivalencia:

pqs, y solo si, |q|p |p|q= 0

a) Probar que el conjunto cociente M = n+1 {0}/ admite estructura de variedad dife-renciable.

b) A que conocida variedad esMdifeomorfa? Dar explcitamente el difeomorfismo y probarque, efectivamente, lo es.


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E.1.2. Consideremos en el subconjunto A ={(x, y) 2 : x2 +y2 1} la siguiente relacion deequivalencia:

pqp = q o p, q A,dondeA={(x, y)A : x2 +y2 = 1}.

a) Dota al conjunto cocienteA/ de una estructura de variedad diferenciable.b) A que conocida variedad es difeomorfa? Proporciona explcitamente un difeomorfismo.

E.1.3. Ungrupo de LieG es una variedad diferenciable que al mismo tiempo admite un estructura degrupo tal que las operaciones del grupo son diferenciables; es decir, las aplicaciones

: G G G(a, b) ab

: G Ga a1

son ambas diferenciables.Consideramos la variedad de los numeros reales con las coordenadas usuales y se define : ,(x, y) = (x3 +y3)1/3. Estudia si( , )es un grupo de Lie.

E.1.4. En el espacio n+1 \ {0} se considera que dos elementos x e y estan relacionados si, y solosi, son colineales. El conjunto de las clases de equivalencia es un espacio topologico conocido

como Espacio Proyectivo Complejo y denotado porP n. Dota aP n de estructura de variedaddiferenciable de dimension2n.

E.1.5. En el espacio n+1 \ {0}, donde es el espacio vectorial de los cuaterniones, se considera quedos elementos x e y estan relacionados si, y solo si, son colineales. El conjunto de las clasesde equivalencia es un espacio topologico conocido como Espacio Proyectivo Cuaternionico y

denotado porP n. Dota aP

n de estructura de variedad diferenciable de dimension4n.

E.1.6. Consideremos en 2 la siguiente relacion de equivalencia:

(x1, y1)(x2, y2) n | x1 x2= n e y1= (1)ny2.

SeaM =X/ el espacio cociente y : XMla proyeccion canonica. Definamos

U1={(x, y) :1/2< x


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ANOTACIONES

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6. BIOGRAFIA: ALEXIS CLAIRAUT (-)

Alexis Claude Clairaut (-) nacio en Pars, hijo de Jean-Baptiste, maestro de matematicasde Pars y miembro de la Academia de Matematicas de Berln. Fue uno de los matematicos mas pre-

coces, superando incluso a Blaise Pascal (-), y a la edad de diez anos ya lea los libros deGuillaume Francois Antoine lHospital (-) sobre conicas y calculo infinitesimal. Con solodoce anos, Clairaut presenta una memoria sobre cuatro curvas de cuarto grado a la Academia, la cual,

y tras haberse asegurado que era el autor verdadero, se deshace en grandes elogios. Posteriormente, y

con solo dieciocho anos, publica la obraRecherches sur les courbesa double courbure (Investigaciones

sobre las curvas con doble curvatura, )gracias a la cual fue admitido en la Academia de Ciencias,aunque hubo de hacerse una excepcion conel, ya que el reglamento exiga una edad mnima de veinte

anos.

Posteriormente, y a proposito de la figura de la Tierra, estudia las geodesicas de las superficiesde revolucion, y da la solucion de algunos problemas de maximos y mnimos. Enpublica su obraSobre la integracion o la construccion de las ecuaciones diferenciales de primer orden, donde introduce,

independientemente deLeonhard Euler (-), el uso del factor integrante. Enpublico sutratadoTh eorie de la figure de la Terre (Teor a de la figura de la Tierra).

Previamente haba publicado su obraElements de geometrie (Elementos de geometr a,), di-rigida especialmente para principiantes y escrito con un estilo muy simple y didactico. Sus cualidades de

autor-pedagogo se veran despues confirmadas con su obra Elements d algebre (Elementos dealgebra,

), que tuvo una influencia notable en la ensenanza superior francesa. Su estilo huye de las demos-traciones rigurosas y busca despertar la intuicion y la curiosidad del lector, de forma que sea el mismo

quien vaya descubriendo y explorando este nuevo mundo. Desgraciadamente parece que, segun el abateBossut, su excesiva aficion a los placeres terrenales y a la compana de las mujeres le hizo perder el

reposo y la salud, provocandole la muerte de.

Figura 1.4: Grabado de Alexis Clairaut

Con solo quince anos de edad, su hermano menor, del que se desconoce el nombre, publico la obra

Trat e de quadratures circulaires et hyperboliques (Tratado de cuadraturas circulares e hiperb olicas,

). El historiador Montucla opina que posea todo el talento necesario para seguir las huellas de suhermano Alexis, pero este genio precoz murio prematuramente de viruela en.


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En su tratado de, Alexis Clairaut desarrollo las ideas queRene Descartes(-) habasugerido casi un siglo antes en el estudio de las curvas del espacio mediante la consideraci on de las pro-

yecciones sobre dos planos coordenados. Clairaut las llamo curvas de doble curvatura porque la curva-

tura de estas curvas esta determinada por las curvaturas de las dos curvas que se obtienen por proyecci onde la curva original en dos planos perpendiculares. Determino as numerosas curvas del espacio median-

te intersecciones de superficies variadas, dio las ecuaciones de algunas superficies y demostro que dos

de estas ecuaciones son necesarias para describir una curva en el espacio. Se encuentran tambi en en este

tratado las formulas de la distancia para dos y tres dimensiones, ecuaciones de superficies cu adricas, y

las tangentes de curvas del espacio. Clairaut demostro tambien que una ecuacion homogenea enx,y, yz(todos los terminos del mismo grado) representa un cono cuyo vertice esta situado en el origen.

Isaac Newton (-) determino de manera teorica que el radio ecuatorial de la Tierra era1/230 mas largo que el radio polar. Un metodo consista en medir la longitud de arco de 1o de latitud

cerca del ecuador y cerca del polo. Jean-Dominique Cassini (-) y su hijo Jacques Cassini

(-) efectuaron una medicion en y su resultado revelo que el diametro que una los dospolos era 1/95 mas largo que el diametro ecuatorial, lo que contradeca el resultado teorico de Newton.

La Academia de Ciencias organizo dos expediciones, una a Laponia (-), bajo la direccion de

Pierre Louis Moreau de Maupertuis (-), y otra a Peru (-). Clairaut acompano aMaupertuis a Laponia y las mediciones efectuadas en las dos expediciones confirmaron que la Tierra

estaba achatada en los polos. De esta forma la teora de Newton triunfo y el debate entre newtonianos y

cassinianos quedo, temporalmente, zanjado. Sin embargo, no sera hasta el siglo X Xcuando se conocera

la respuesta definitiva a la forma de la Tierra.

A la vuelta de la expedicion de Laponia, Clairaut escribio su Theorie de la figure de la Terre

(Teora de la figura de la Tierra,), y en publico su Th eorie de la Lune (Teora de la Luna).

En esta dos obras, Clairaut aplica las matematicas al problema de la atraccion gravitacional y a la confi-guracion de la Tierra, lo que le situa en los orgenes de la teora del potencial. Su obraTeor a de la Luna

le valio un premio de la Academia de Ciencias de San Petesburgo, y es la primera vez que el calculo

infinitesimal es aplicado al estudio del movimiento lunar, que tambien fue estudiado por la misma epoca

por L. Euler yJean-le-Rond DAlembert (-). Clairaut predijo que el cometa Halley llegaraal punto mas cercano al sol el 13 de abril de, aunque realmente el cometa llego un mes antes.

Otros campos de interes fueron las ecuaciones diferenciales, las ecuaciones en derivadas parciales,

la teora de superficies, el calculo en varias variables y las series trigonometricas. Por lo que respecta

a las ecuaciones diferenciales, en, Clairaut se intereso por una ecuacion que actualmente lleva sunombre:

y= xy

+f(y

),cuya solucion general consiste en una familia de l neas rectas. La ecuacion de Clairaut posee tambien

una solucion singular, siendo una de las primeras veces en la historia que este tipo de solucion se pone

de relieve.

BIBLIOGRAFIA

Carl B. Boyer. A History of Mathematics. Princeton University Press, 1985. pp. 494495.

Florian Cajori. A History of Mathematics. Chelsea Publising Company, 1995. pp. 244245.

Jean-Paul Collete. Historia de las matem aticas, vol. II. Siglo veintiuno de Espana Editores, S.A., 1985.

pp. 216220.


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Internet. URL de la pagina:

www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Clairaut.html

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA

Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).

Libros:

P. Brunet La vie et loeuvre de Clairaut (1713-1765) (Paris, 1952).

J.L. Greenberg The problem of the Earths shape from Newton to Clairaut : the rise of mathematical

science in eighteenth-century Paris and the fall of normal science (Cambridge, 1995).

T.L. Hankins Jean dAlembert : science and the englightenment(New York, 1990).

Artculos:

J. Bertrand Clairaut, sa vie et ses travaux, Eloges academiques (1902), 231-261.

C.B. Boyer Clairaut and the origin of the distance formula, Amer. Math. Monthly 55 (1948), 556-557.

P. Brunet La vie et loeuvre de Clairaut, Rev. Hist. Sci. Appl. 4 (1951), 13-40, 109-153.

P. Brunet La vie et loeuvre de Clairaut, Rev. Hist. Sci. Appl. 5 (1952), 334-349.

P. Brunet La vie et loeuvre de Clairaut, Rev. Hist. Sci. Appl. 6 (1953), 1-17.

P. Chandler Clairauts critique of Newtonian attraction : some insights into his philosophy of science,Ann. of Sci. 32 (4) (1975), 369-378.

J.L. Greenberg Breaking a vicious circle : unscrambling A-C Clairauts iterative method of 1743,

Historia Math. 15 (3) (1988), 228-239.

V.J. Katz The history of differential forms from Clairaut to Poincar e, Historia Math. 8 (2) (1981), 161-

188.

S. Mills Un theoreme de Clairaut, C. R. Acad. Sci. Paris Vie Academique 290 (1980), Suppl. 20-24,

175-177.

P. Speziali Une correspondance inedite entre Clairaut et Cramer, Rev. Hist. Sci. Appl. 8 (1955),

193-237.

R. Taton Clairaut et le retour de la comete de Halley en 1759, LAstronomie 100 (1986), 397-408.

R. Taton Sur la diffusion des theories newtoniennes en France : Clairaut et le probleme de la figure de

la terre, Vistas Astronom. 22 (4) (1978), 485-509.

R. Taton Inventaire chronologique de loeuvre dAlexis-Claude Clairaut (1713-1765), Rev. Histoire

Sci. Appl. 29 (2) (1976), 97-122.

E. Ulivi The teaching of elementary algebra : Clairaut (Italian), Archimede 32 (3) (1980), 130-135.

C. Wilson Clairauts calculations of the eighteenth-century return of Halleys comet, J. Hist. Astronom.24 (1-2) (1993), 1-15.


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CAPITULO 2TOPOLOGIA DE VARIEDADES

1. INTERROGANTES CENTRALES DEL CAPITULO

Se pretende que el alumno sepa definir, establecer o determinar lo siguiente:

Cartas compatibles. Carta admisible. La topologa inducida. Subvariedad abierta. Relacion entre diferenciabilidad y continui-

dad.

Relacion entre la topologa inducida y la da-da.

Estructura diferenciable sobre un espacio to-pologico.

Axiomas de separacionT1 y T2.

Primer y segundo axiomas de numerabili-dad.

Variedades localmente conexas y localmentecompactas.

Variedades compactas.

Soporte de una funcion diferenciable. Familia de abiertos localmente finita. Particion diferenciable de la unidad. Variedades paracompactas. Funciones salto. Extension de funciones.

2. CONTENIDOS FUNDAMENTALES DEL CAPITULO

En el captulo anterior hemos introducido dos conceptos fundamentales como son, logicamente,

las variedades diferenciables y las aplicaciones diferenciables entre variedades. Sin embargo, si que-

remos generalizar a variedades diferenciables los metodos del calculo diferencial parece conveniente

introducir nuevos conceptos, sobre todo en lo relativo a la continuidad de funciones (recordemos la

conocida propiedad del calculo elemental de que toda funcion derivable es continua). Por ello es im-

prescindible que dotemos a una variedad diferenciable de una topologa, y sera conveniente que dicha

topologa fuese lo mas natural posible.


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2.1. La topologa inducida

Definicion 2.1 (Cartas compatibles)

Dos cartas (U, ) y (V, ) se dice que son compatibles si o bien U V = o bien 1 :(U V)(U V)es un difeomorfismo entre abiertos.

Definicion 2.2 (Carta admisible)

Sea(M, A)una variedad diferenciable. Una carta (U, )se dice que es admisiblesi es compatible contodas las cartas del atlas A.

Proposicion 2.3

SeaMuna variedad diferenciablen-dimensional y consideremos(U, )una carta admisible. SiW Ues tal que(W)es un abierto en n, entonces(W, z), siendoz = |W, es tambien una carta admisible.

Tras establecer el concepto de carta admisible, es facil ver que la coleccion de entornos coordena-

dos de una variedad diferenciableMconstituye una base para una topologa sobreM, que denomina-remostopologa inducida(por la estructura diferenciable) y que denotaremos por 0. En esta topologa,un subconjuntoA Mes abierto si, y solo si, A Ues un entorno coordenado para cualquier carta(U, ). No es difcil probar que es suficiente con demostrarlo para los sistemas de coordenadas de unatlas diferenciable.

Una vez introducida dicha topologa, ya es posible hablar de continuidad de funciones y, en par-

ticular, de homeomorfismos. En este sentido, puede probarse la siguiente propiedad importante.

Proposicion 2.4

Las cartas que definen la estructura diferenciable son homeomorfismos en la topologa inducida.

Tambien se satisfacen las siguientes propiedades, que generalizan las analogas del calculo dife-

rencial sobre el espacio eucldeo n.

Proposicion 2.5

(a) Si una aplicaci on f : M M es diferenciable en un puntop M entonces, usando lastopolog as inducidas enMyM,fes continua enp.

(b) Sif : M

M es una aplicacion diferenciable yU es un subconjunto abierto deM que

interseca el dominio def, entoncesf|Ues tambien diferenciable. En particular, sifes un difeo-morfismo, entoncesf|Ues tambi en un difeomorfismo.

2.2. Estructura diferenciable sobre un espacio topologico

En este punto conviene indicar que podra suceder, como de hecho as ocurre en la mayora de los

ejemplos que se han presentado, que el conjunto base sobre el que construimos la variedad diferenciable

tenga ya una topologa propia. Es logico entonces plantearse cuando esta topologa coincidira con la

topologa inducida. En esta misma lnea, es natural preguntarse como podemos dotar de una estructura

diferenciable a un espacio topologico de manera que sea compatible con su estructura topologica.


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TOPOLOGIA DE VARIEDADES 35

Proposicion 2.6

Sea(M, )un espacio topol ogico y consideremos A una estructura diferenciable sobreM. Entonces latopologa inducida coincide consi, y solo si, las cartas deA son homeomorfismos en.

Este resultado motiva la siguiente definicion.

Definicion 2.7

SeaMun espacio topologico. Unatlas diferenciablen-dimensional sobreMes una familia de cartasA={(U, )}Asatisfaciendo las siguientes condiciones:(1) AU= M.(2) Las cartasson homeomorfismos deUen abiertos de

n.

(3) Para todo par de ndices y, las cartas(U, )y(U, )son compatibles.Diremos que el atlasAdetermina una estructura diferenciable sobreMsi es maximal para las condi-ciones anteriores.

2.3. Propiedades de la topologa inducida

A continuacion estudiamos las propiedades mas importantes de la topologa inducida, sobre todo

en lo referente a la separabilidad y numerabilidad de la variedad.

Proposicion 2.8

La topolog a inducida sobre una variedad esT1 y localmente Hausdorff.

El resultado anterior no puede mejorarse, ya que es posible encontrar variedades diferenciables

que no son Hausdorff. Un ejemplo sencillo se muestra a continuacion.

Ejemplo 2.9

SeaMel subconjunto de 2 siguiente:

M={(t, 0) 2; t } {(0, 1)}y consideremos las siguientes aplicaciones:

x: U =

{(t, 0)

2; t

} , x(t, 0) =t,

y: V ={(t, 0) 2; t= 0}{(0, 1)} , y(t, 0) =t, y(0, 1) = 0Es facil ver que {(U, x), (V, y)} es un atlas sobreMy que los puntos(0, 0)y(0, 1)no pueden separarse.

La variedadM tambien puede ser obtenida de una copia doble de mediante una relacion deequivalencia. Para ser mas precisos, consideremos la variedad diferenciable N ={(t, s) 2; s =0, 1} y definamos la siguiente relacion de equivalencia:

(s, t)(a, b)s = a= 0Es facil ver que el conjunto cocienteN/ admite estructura de variedad diferenciable difeomorfa aM.Proposicion 2.10

La topolog a inducida sobre una variedad satisface el primer axioma de numerabilidad1A .


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Como ocurra con la propiedad anterior, este resultado no puede mejorarse, ya que existen ejem-

plos de variedades diferenciables que no satisfacen el segundo axioma de numerabilidad.

En general, y puesto que una variedad diferenciable es localmente homeomorfa a un espacioeucldeo, todas las propiedades locales de n que involucren a conjuntos abiertos tambien se verificaran

en variedades. Por ejemplo, toda variedad es localmente conexa y localmente conexa por arcos.

2.4. Variedades Hausdorff y2A

Ya hemos visto que una variedad diferenciable no tiene que ser necesariamente Hausdorff ni2A ;sin embargo, para poder desarrollar un calculo diferencial sobre variedades necesitamos introducir el

concepto de lmite, y el axioma de Hausdorff es precisamente el que nos asegura la unicidad de dicholmite. Por esta razon, en muchas ocasiones se parte de un espacio topologico Hausdorff para dotarlo

de una estructura diferenciable. Exigir esta propiedad es bastante natural, ya que n la satisface y, en

consecuencia, cualquier variedadM n, que este dotada de la topologa relativa, tambien la satisface.Otra propiedad interesante es la siguiente.

Proposicion 2.11

La topologa de una variedad Hausdorff es localmente compacta.

Otra propiedad topologica importante es el segundo axioma de numerabilidad, propiedad heredi-

taria que se conserva para los productos. La importancia de este axioma quedara puesta de manifiesto

en la siguiente seccion. Una condicion necesaria para que una variedad satisfaga este axioma se recoge

en el siguiente resultado.

Proposicion 2.12

Toda variedad diferenciable con un atlas numerable satisface el segundo axioma de numerabilidad.

Como consecuencia inmediata, toda variedad compacta satisface2A .

Observacion 2.13

En relacion con las propiedades topologicas de una variedad diferenciable, debemos tener la precaucion

necesaria para evitar errores facilmente evitables. Por ejemplo, si consideramos la figura ochoE

2,

entonces es facil pensar queEes una variedad compacta, ya que con la topologa relativa de 2 es as.


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Sin embargo, E admite un atlas de una sola carta, por lo que es homeomorfo a un abierto de y,consecuentemente, nunca podra ser compacta. La razon hay que buscarla en que las cartas deEno sonhomeomorfismos en la topologa relativa.

2.5. Variedades paracompactas

En esta seccion justificaremos la conveniencia de imponer ciertas restricciones topologicas a la

variedad, mas concretamente el axioma de separacionT2 (Hausdorff) y el segundo axioma de numera-bilidad. Entre las razones para aceptar estas restricciones, una fundamental es garantizar la existencia

de familias especiales de funciones diferenciables definidas en My con valores en , denominadasparticiones diferenciables de la unidad, que resulta ser una herramienta extraordinariamente util para

construir objetos globales a partir de otros definidos localmente.

Definicion 2.14

Elsoportede una funcion diferenciablef :M es el siguiente conjunto:

sop(f) ={pM :f(p)= 0}

Definicion 2.15

Una familia A de abiertos deM eslocalmente finitasi todo punto deM tiene un entorno que intersecaa un numero finito de elementos de A.

Introducimos ahora el concepto de particion diferenciable de la unidad.

Definicion 2.16

Una coleccion{f : M [0, 1] } de funciones diferenciables se dice que es una particion(diferenciable) de la unidadsi satisface las siguientes condiciones:

(1) El soporte defes compacto y esta contenido en un entorno coordenado.(2) La coleccion de los soportes {sop(f)} es localmente finita.(3) Para todo puntopde M,

f(p) = 1.

En este caso, diremos queMes una variedad paracompacta.

Se dice que una particion de la unidad{f} esta subordinada a un cubrimiento{Ui}i si paracadaexiste unital que {sop(f)} Ui.

Muchos de los problemas que se presentan en Geometra Diferencial tienen una facil solucion en

un entorno coordenado de un punto. Las particiones de la unidad se utilizan para construir soluciones

globales a los problemas a partir de las soluciones locales.

Proposicion 2.17

SiMes una variedad diferenciable paracompacta entoncesMes Hausdorff.

Teorema 2.18

Una variedad diferenciableMes paracompacta s,i y s olo si,Mes Hausdorff y cada componente conexadeMsatisface el segundo axioma de numerabilidad.


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Finalizamos el captulo probando un teorema de extension de funciones diferenciables definidas

en un entorno de un punto, el cual puede considerarse como la primera aplicaci on de las particiones

diferenciables de la unidad. Antes enunciaremos otra aplicacion mas sencilla.

Proposicion 2.19

SeaMuna variedad paracompacta,U Mun subconjunto abierto yC U un subconjunto cerrado.Entonces existe una funci onf C(M)tal quef1 enCyf0 enM\U.Corolario 2.20

SeaMuna variedad paracompacta yUun entorno de un puntop. Entonces existe una funci on saltofenpsubordinada aU, es decir:(1)0

f

1enM.(2)f= 1 en alg un entorno dep.(3)sop(f)U.

Este corolario puede demostrarse directamente, sin hacer uso de la existencia de particiones dife-

renciables de la unidad y suponiendo solamente que la variedad es Hausdorff.

Proposicion 2.21

SeaMuna variedad diferenciable Hausdorff y consideremos un puntop en el dominio de una funciondiferenciablef. Entonces existe una funci on diferenciable globalFque coincide confen un entornodep.

3. ACTIVIDADES DE APLICACION DE LOS CONOCIMIENTOS

A.2.1. SeaKel subconjunto de 2 definido como sigue:

K={(s, 0); s } {(0, n); n }

SeaUn={(s, 0); s= 0}{(0, n); n }. Definimos las funcionesxn: Un mediante

xn(s, 0) =s= 0 xn(0, n) = 0.

(s, 0)

(0, 1)

(0, 2)

(0, 3)

..

.

(0, n)

Prueba:

(a){(Un, xn)} constituye un atlas sobreK.(b) La topologa inducida no es Hausdorff.


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(c) La topologa inducida no es localmente compacta.

A.2.2. Una variedadMse diceconexasi, con la topologa inducida, es un espacio topologico conexo.Prueba que una variedad HausdorffMes conexa si, y solo si, es conexa por arcos, es decir, paratodo par de puntosp,qde Mexiste una aplicacionf : [0, 1]Mcontinua tal quef(0) =p yf(1) =q.

A.2.3. Sea Muna variedad diferenciable no necesariamente paracompacta. Si pMy Ues un entornodep entonces existe una funcionf : M diferenciable, llamada unafuncion saltoen p, talque

(1) 0

f

1.

(2) f1 en un entorno dep.(3) sop(f)U.

A.2.4. Prueba que las funciones {fn: }n definidas porfn(x) =

h(x n)

m=

h(x m)

donde

h(x) =

exp( 1

1x2) |x|< 1

0 |x|

1

constituyen una particion diferenciable de la unidad subordinada al cubrimiento abierto de

definido por

{(n

2, n+ 2)

}n .

Grafica de la funcionh(x)

A.2.5. (a) Prueba que la esfera n admite una particion diferenciable de la unidad consistente en solo

dos funciones.

(b) Si M yM son dos variedades paracompactas, entonces la variedad productoM M esparacompacta.

4. BIBLIOGRAFIA DEL CAPITULO


Press, 1986.


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5. PREGUNTAS DE EVALUACION

E.2.1. SeaA el subconjunto de 2 definido como sigue:

A={(s, 0); s } {(0, ); +}

SeaU={(s, 0); s= 0} {(0, )}. Definimos las funcionesx: U

mediante

x(s, 0) =s= 0 x(0, ) = 0.

Prueba:

(a){(U, x)} constituye un atlas sobreA.(b) La topologa inducida no es Hausdorff ni localmente compacta.

(c) La topologa inducida no satisface el segundo axioma de numerabilidad.

E.2.2. SeaE= 3 y denotemos por 2aal planoz = a, con su topologa usual. ConsideremosEcomola union disjunta de 2a, cona

, y dotemosle de la topologa natural: un subconjunto de Ees

abierto si, y solo si, su interseccion con cada 2a es abierto. Consideremos la siguiente relacion:

(x, y)a(x, y)b(x, y)a= (x, y)b o

y = y >0

xy+a= xy+b

donde(x, y)a denota el punto(x,y ,a) 2a.(a) Comprueba que es una relacion de equivalencia. SeaP = E/ , y consideremos

: E Pla aplicacion canonica.(b) Prueba quePes Hausdorff y que, para todo a , la restriccion de al plano 2a es un

homeomorfismo en su imagen.

(c) Seafa: ( 2a) 2 tal quefa([(x, y)a]) = (x, y). Entonces {(( 2a), fa)}a es un atlas

sobre P.Pse denomina lasuperficie de Prufer.(d) Prueba que Pno satisface el segundo axioma de numerabilidad.

E.2.3. Sean M y N dos variedades diferenciables de la misma dimension. Son localmente difeo-morfas? Son globalmente difeomorfas? Que ocurre en el caso concreto de M = n yN =Pn( )?


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ANOTACIONES

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