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TEXTO GUIA

MECANICA BAslCA

CLAUDIA ..lENNY DE LA CRUZ MORALES I.C., E. ESTRUCTURAS., M.Sc., Ph.D.

Profesora Titular

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLIN

FACULTAD DE MINAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL

2014

AGRADECIMIENTOS

La autora expresa sus agradecimientos a:

Mi Amado Esposo Juan y a mis adorados hijos, el Chiqui y el Seba, por su constante apoyo en todo 10 que me propongo.

La senora Ana Mercedes Valenzuela G6mez, mi amiga, durante todos estos anos en la Universidad Nacional.

Prof. Jorge Eduardo Polanco Fl6rez, por su constante colaboraci6n y apoyo en los inicios de este trabajo.

Doctor Juan Ramiro Sanchez Uribe, por sus observaciones durante la realizaci6n del trabajo.

Andres Felipe Alvarez Toro, mi Auxiliar de Docencia, quien ha tenido la suficiente paciencia para colaborarme, en la realizaci6n de este texto.

RESUMEN

EI siguiente texto consta de la uni6n de los conceptos basicos de las asignaturas Estatica y Mecanica de Materia/es, que se dictan en la carrera de Ingenieria Civil, de la Facultad de Minas; con algunos ejemplos y ejercicios desarrollados, para explicar conceptos, como otros propuestos, tomados en su mayo ria de las referencias utilizadas.

En su primera etapa se presentan generalidades de la Estatica, en cuanto al manejo de vectores, cuerpo rigido, equilibrio de cuerpo rfgido entre otros y algunos ejemplos.

EI tema de elementos prismaticos sometidos a fuerza axial, ya inicia un acercamiento a la Mecanica de Materiales; por 10 que se plantea el estado de tensiones en diferentes pianos, ensayo de fuerza axial, relaciones elasticas y tensi6n - deformaci6n.

Igualmente se presentan algunas generalidades, en 10 que se refiere a elementos prismaticos de secci6n circular y secci6n no circular, sometidos a un momenta torsor.

Finalmente, se plantea de manera genenca, 10 referente a los elementos, prismaticos sometidos a fuerza cortante y momento flector con algunos ejemplos; como tambilm conceptos basicos del momenta de inercia, con ejemplos sencillos.

INTRODUCCION

La recopilacion de los conceptos basicos de las asignaturas Estatica y Mecanica de Materia/es, a traves de un texto basico; tiene como principal objetivo, ofrecer a los estudiantes de Ingenierfa CivH de la Facultad de Minas, la oportunidad de acceder a un texto informal, donde se recopilan de la manera mas didactica y concisa los temas basi cos de la Estatica y la Mecanica de Materia/es, que se ofrecen en el pensum de la carrera; con algunos ejemplos y ejercicios desarrollados, para explicar conceptos.

En ningun momento este texto, ofrece un metodo nuevo de anal isis 0 una solucion especial a un problema especifico; solo es una forma de hacer que estas materias, IIeguen al estudiante de la manera practica y de facil comprension, basado en las Referencias Bib/iograficas utilizadas y en las Notas de C/ase de los profesores Gaviria y De La Cruz en su carrera docente.

iN DICE DE FIGURAS Y GRAFICAS

CAPiTULO I

Figura 1. Linea de acci6n de una Fuerza F Figura 2. Resultante de Fuerzas (R) Figura 3. Valor de una Resultante de Fuerzas Figura 4. Suma de vectores Py Q. Figura 5. Regia del Triimgulo Figura 6. Suma de. vectores iguales Figura 7. Resultante de fuerzas concurrentes Figura 8. Ley del Paralelogramo Figura 9. Regia del triangulo Figura 10. Ejemplo 1 Figura 11. Ejercicio 1 Figura 12. Componentes rectangulares de una fuerza Figura 13. Ejemplo 2 Figura 14. Ejemplo 3 Figura 15. Ejemplo 4 Figura 16. Ejemplo 5 Figura 17. Ejercicio 2 Figura 18. Momento de una fuerza respecto a un punto Figura 19. Reducci6n de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par Figura 20. Diagrama de Cuerpo Libre Figura 21. Diagrama de Fuerzas internas 0 solicitaciones Figura 22. Representaci6n de Fuerza axial (N) Positiva y Negativa Figura 23. Representaci6n de Fuerza Cortante (V) Negativa y Positiva Figura 24. Representaci6n de Momento Flector (M) Positiva y Negativa Figura 25. Cuerpo Elastico

CAPiTULO 2

Figura 26. Hip6tesis para el analisis de un elemento prismatico Figura 27. Ejemplo 6 Figura 28. Ejemplo 7 Figura 29. Estado de Tensiones en diferentes pianos Figura 30. Fuerzas internas en areas infinitesimales Figura 31. Variaci6n de las tensiones a y T en los diferentes pianos de corte Figura 32. Diagrama L vs F, Ley de Hooke Figura 33. Diagrama de Fuerza Axial Figura 34. Ejemplo 7 Figura 35. Esquema de montaje de Ensayo a tracci6n en Prensa Hidraulica Figura 36. Divisiones en la pro beta de ensayo Figura 37. Deformaci6n de la barra despues de la rotura Figura 38. Lugares de medida de Lf Figura 39. Alargamiento Axial de una barra prismatica Figura 40. Ejemplo 8 Figura 41. Ejercicio 3 Figura 42. Ejercicio 4 Figura 43. Ejercicio 5 Figura 44. Ejercicio 6 Figura 45. Ejemplo 9

MECANICA BAslCA

pag.

3 3 4 5 5 6 7 7 8 8 10 .. 11 11 12 13 15 16 17 18 21 23 23 23 24

26

28 29 30 31 32 32 33 33 35 36 37 38 38 44 45 47 48 49 50 50

MECANICA BAslCA

Figura 46. Ejemplo 10 52

CAPiTULO 3

Figura 47. Elemento prismatico sometido a un Momento Torsor 53 Figura 48. Secci6n Transversal de un elemento prismatico circular macizo 54 Figura 49. Secci6n Transversal de un tubo 56 Figura 50. Secci6n Hueca de espesor delgado t 56 Figura 51. Ejercicio 7 57 Figura 52. Deformaci6n arbol circular, con un extremo fijo 58 Figura 53. Deformaci6n arbor circular con un extremo fijo 59 Figura 54. Ejercicio 8 61 Figura 55. Elemento cubico sometido a Torsi6n 62 Figura 56. Elemento rectangular sometido a Torsi6n 63 Figura 57. Secciones de pared delgada, sometidas a Torsi6n 64 Figura 58. Ejercicio 9 77 Figura 59. Ejercicio 10 78 Figura 60. Ejercicio 11 79 Figura 61. Elemento ciHndrico hueco de secci6n no circular, sometido a carga torsional 79 Figura 62. Elemento extraido 80 Figura 63. Elemento extraido 80 Figura 64. Flujo de Corte q 81 Figura 65. Secci6n transversal de un arbol hueco de pared delgada 81 Figura 66. Linea central de la secci6n transversal de la pared 82 Figura 67. Ejercicio 12 83 Figura 68. Ejercicio 13 84 Figura 69. Ejercicio 14 85 Figura 70. Ejercicio 15 86

CAPiTULO 4

Figura 71. Modelos Estructurales de tipos de vigas 89 Figura 72. Viga simplemente apoya sometida a cargas concentradas y distribuidas 90 Figura 73. Convenci6n positiva, para la fuerza cortante y el momento flector 91 Figura 74. Ejemplo 11 93

Figura 75. Ejercicio 16 96 Figura 76. Plano axial de simetria 101 Figura 77. Viga cagada transversal mente (Flexi6n Pura) 102 Figura 78. Distribuci6n de tensiones en la profundidad de la viga 103 Figura 79. Ubicaci6n del centoide en una secci6n transversal de un elemento 106 Figura 80. Ejercicio 17 107 Figura 81. Ejercicio 18 108 Figura 82. Ejercicio 19 109 Figura 83. Ejercicio 20 109 Figura 84. Ejemplo 12 112 Figura 85. Ejercicio 21 113 Figura 86. Elementos que tienen uno (1) 0 dos (2) pianos de simetria 116 Figura 87. Elementos con uno (1) 0 dos (2) pianos de simetria 117 Figura 88. Elemento asimetrico 118 Figura 89. Eje neutro entre el vector par Myel eje principal 119 Figura 90. Ejercicio 22 120 Figura 91. Ejercicio 23 121 Figura 92. Ejercicio 24 121 Figura 93. Elemento sometido a fuerzas excentricas j9uales y opuestas 122

Figura 94. Secci6n Compuesta Figura 95. Secci6n transformada del elemento Figura 96. Ejemplo 1? Figura 97. Ejercicio 25 Figura 98. Ejercicio 26 Figura 99. Ejercicio 27 Figura 100. Viga en Voladizo Figura 101. Cubo sometido a cortante Figura 102. Viga sometida a cargas Figura 103. Esfuerzos cortantes en tipos comunes de vigas Figura 104. Flujos de corte, en diferentes secciones transversales

GRAFICA

Grafica 1. Comportamiento a vs E de la barra

iNDICE DE TABLAS

Tabla 1. Resultados de Laboratorio Tabla 2. Deformaci6n Unitaria por esfuerzo unitario Tabla 3. Coeficientes para barras rectangulares bajo torsi6n Tabla 4. Factor de concentraci6n de tensi6n

MECANICA BAslCA

123 123 124 124 126 128 129 130 132 133 133

40

37 39 63 77

MECANICA BASICA

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

1. BEER, Ferdinand P. y E. Russell, JOHNSTON, Jr. "Mecanica Vectorial para Ingenieros". Estatica Tomo I. Tercera Edici6n. Editorial Mc Graw-Hill, Latinoamericana, S.A. Bogota, Colombia 1982.

2. BEER, Ferdinand P. y E. Russell, JOHNSTON, Jr. "Mecanica de Materiales". Editorial Mc Graw-Hill. Latinoamericana S.A. Bogota-Colombia, 1982.

3. POPOV, EGOR P. "lntroducci6n a la Mecanica de S6Iidos". Primera Edici6n. Editorial Limusa, S.A. de C.V., 1986.

4. TIMOSHENKO, S. y D.H. YOUNG. "Elementos de Resistencia de Materiales". Segunda Edici6n. Montaner y Simon, S.A., Barcelona, 1979.

5. STIOPIN, P.A. "Resisteneia de Materiales". Editorial MIR. Mosell, 1976.

Notas de clase del profesor Alvaro Gaviria Ortiz.

Notas de clase de la profesora Claudia Jenny De La Cruz Morales.

MECANICA BAslCA

TABLA DE CONTENIDO

RESUMEN

INTRODUCCION

CAPiTULO 1

1. ESTATICA......................................................................................................... 1 1.1 GENERAlIDADES...................................................................................... 1 1.2 lEYES FUNDAMENTAlES DE NEWTON ................................................. 2 1.3 FUERZA SOBRE UNA PARTicUlA........................................................... 3

1.3.1 Vectores ................................................................................................ 4 1.3.2 Tipos de vectores .................................................................................. 4 1.3.3 Suma de vectores .................................................................. ' ............... 5 1.3.4 Metodo para obtener la suma de dos (2) vectores ................................ 5 1.3.5 Sustracci6n de un vector ....................................................................... 5 1.3.6 Suma de tres (3) 0 mas vectores: P, Q Y S ........................................... 6 1.3.7 Producto de un escalar por un vector .................................................... 6 1.3.8 Resultante de varias fuerzas concurrentes ........................................... 6 1.3.9 Descomposici6n de una fuerza en componentes .................................. 7 1.3.10 Componentes rectangulares de una fuerza ....................................... 10 1.3.11 Suma de fuerzas por adici6n de componentes ................................. 12 1.3.12 Componentes rectangulares de una fuerza en el espacio ................. 13

1.4 CUERPOS RiGIDOS ................................................................................. 16 1.4.1 Fuerzas externas e internas ................................................................ 17

1.4.1.1 Fuerzas externas ............................................................................ 17 1.4.1.2 Fuerzas internas ............................................................................. 17

1.4.2 Momento de una fuerza respecto a un punto ...................................... 17 1.4.3 Momento de una fuerza respecto a un eje .......................................... 18 1.4.4 Reducci6n de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par ................ 18 1.4.5 Sistemas equivalentes de fuerzas ....................................................... 19

1.5 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RiGIDO ..................................................... 20 1.5.1 Solicitaciones 0 fuerzas internas ......................................................... 21

1.6 ESTADO GENERAL DE TENSIONES Y DEFORMACIONES EN UN SOLIDO DEFORMABLE ................................................................................... 22

1.6.1 Clasificaci6n de las estructuras ........................................................... 24

MECANICA BAslCA

1.7 CARACTERisTICAS DE LOS MATERIALES .......................................... 25 1.7.1 Principlos generales ............................................................................ 26

1.8 CARACTER ANALiTICO EXPERIMENTAL DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES ................................................................................................... 27

1.8.1 Fuerzas internas .................................................................................. 27 1.8.2 Fuerzas de contacto de otros cuerpos ................................................ 27

CAPiTULO 2

2. ELEMENTO PRISMATICO SOMETIDO A FUERZA AXIAL. .......................... 28 2.1 ELEM ENTO PRISMATICO SOMETIDO A FUERZA AXIAL. DIAGRAMA DE FUERZA AXIAL ........................................................................................... 28

2.1.1 Diagrama de fuerza axial .................................................................... 29 2.2 ESTADO DE TENSIONES EN DIFERENTES PLANOS ............................ 31

2.2.1 Variaciones de las tensiones normal y cortante segun el plano de corte .................................................................................................... 32

2.3 ENSAYO DE FUERZAAXIAL ................................................................... 33 2.3.1 Diagrama de tension y deformacion .................................................... 33 2.3.2 Caracteristicas del diagrama ................................................................ 34 2.3.3 Ensayo en ellaboratorio ...................................................................... 36

2.3.3.1 Objetivo..................................................................................' ......... 36 2.3.3.2 Materiales y equipo ......................................................................... 36 2.3.3.3 Procedimiento ................................................................................. 36 2.3.3.4 Datos obtenidos .............................................................................. 37 2.3.3.5 Analisis de resultados ..................................................................... 38 2.3.3~6 Causas de error .............................................................................. 42 ' 2.3.3.7 Conclusiones .................................................................................. 42

2.3.4 Factor de seguridad n ......................................................................... 43 2.4 RELACIONES ELAsTICAS TENSION - DEFORMACION ........................ 43

2.4.1 Constantes elasticas ........................................................................... 43 2.4.1.1 Modulo de cortante G ..................................................................... 43 2.4.1.2 Modulo de elasticidad E .................................................................. 44 2.4.1.3 Relacion de Poisson IJ .................................................................... 44

2.5 TENSIONES Y DEFORMACIONES TERMICAS ....................................... 46 2.6 DESPLAZAMIENTO DE ELEMENTOS ESTATICAMENTE DETERMINADOS SOMETIDOS A CARGA AXIAL........................................... 50

CAPITULO 3

3. ELEMENTOS PRISMATICOS SOMETIDOS A UN MOMENTO TORSOR ..... 53 3.1 GENERALIDADES.................................................................................... 53 3.2 DEFORMACIONES EN UN ARBOL CIRCULAR ...................................... 58 3.3 TORSION DE ELEMENTOS NO CIRCULARES ....................................... 62 3.4 SECCIONES HUECAS DE PARED DELGADA .:...................................... 79

MECANICA BAslCA

CAPiTULO 4

4 ELEMENTOS PRISMATICOS SOMETIDOS A FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FlECTOR.......................................................................................... 88

4.1 DEFINICIONES ......................................................................................... 88 4.2 METODO DE lAS SECCIONES ............................................................... 89

4.2.1 Ecuaciones diferenciales de equilibrio ................................................ 90 4.3 DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO FlECTOR ....... 93 4.4 FLEXiON .................... : ............................................................................ 101

4.4.1 Tensiones internas ............................................................................ 102 4.4.2 Calculo del Momento del momento deinercia .....................................105

4.5 FLEXION BIAXIAL .................................................................................. 116 4.6 FLEXION COMPUESTA ......................................................................... 122 4.7 FUERZA CORTANTE ............................................................................. 129

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

MECANICA BAslCA CAPiTULO I

CAPiTULO I

1 ESTATICA

1.1 GENERALIDADES

La mecanica de los cuerpos rigidos se subdivide en estatica y dimimica, las cuales tratan con cuerpos en reposo y con cuerpos en movimiento respectivamente; cuyos conceptos basicos empleados en mecanica, son: espacio, tiempo, masa y fuerza.

Es importante recordar que las estructuras, maquinas y solidos reales, nunca son absolutamente rigidas y se deforman bajo la accion de las cargas a que estan sometidas; pero estas deformaciones, son general mente tan pequenas que no afectan las condiciones de equilibrio 0 de movimiento de la estructura en consideracion; sin embargo, son importantes cuando se refieren a la perdida de la resistencia de la estructura.

La nocion de espacio se asocia con la nocion de la posicion de un punto P; la posicion de P puede ser definida por tres (3) direcciones dad as. Existen dos (2) sistemas referenciales en mecanica: coordenadas de Euler y Lagrange y las longitudes se conocen como las coordenadas de P. Vale la pena resaltar, que para definir un acontecimiento, no es suficiente con indicar su posicion en el espacio, debe conocerse el tiempo en que transcurre (1).

EI concepto de masa se utiliza para caracterizar y comparar los cuerpos sobre las bases de ciertos experimentos mecanicos fundamentales. A continua cion se presenta un ejemplo, que aclara dicho concepto: "Dos (2) cuerpos de igual masa, seran atraidas par la tierra de la misma manera y afreceran la misma resistencia al cambia en e/ mavimienta de tras/aci6n. Una fuerza representa /a acci6n de un cuerpa sabre atro y puede ser eiercida par cantacta directo a adistancia" (como en el caso de fuerzas gravitacionales y magneticas) (1).

1


Es asi como una fuerza se caracteriza por su punto de aplicaci6n, su magnitud, su direcci6n y se representa por un vector (1).

1.2 LEYES FUNDAMENTALES DE NEWTON (2)

Primera Ley: Si la fuerza resultante que actua sobre una particula es cero (0), la particula permanecera en reposo, si originalmente estaba en reposo; 0 se movers con rapidez constante en linea recta, si original mente estaba en movimiento.

Segunda Ley: Si la fuerza resultante que actua sobre una particula es diferente de cero (0), la particula adquirirs una aceleraci6n proporcional a la magnitud de la resultante y en direcci6n de esta fuerza resultante. Se puede escribir as!:

F= m.ii

F: Fuerza resultante que actUa sobre la particula 1kgf x 1 m/s2 = 1 N (Newton)

m: Masa kg a: Aceleraci6n de la particula 1 m/s2

Tercera Ley: Las fuerzas de acci6n y reacci6n entre cuerpos en contacto tienen la misma magnitud, la misma linea de acci6n y sentidos opuestos.

Ley de la gravitacion de Newton: Establece que dos (2) particulas de masas M y m se atraen mutuamente con fuerzas iguales y opuestas F y -F. La magnitud de la fuerza F dada por la f6rmula, es:

GMm F=-r2

r : Distancia entre las dos (2) particulas G : Constante universal. Constante de gravitaci6n F = -F: Acci6n y reacci6n son iguales y opuestas y tienen la misma linea de

acci6n.

- Peso W: La fuerza F ejercida por la tierra sobre la particula se define como W peso de la particula.

- M: masa de la tierra. - m: masa de la particula - r: como el radio R de la tierra e introduciendo la constante:

GM 9 = R2

La magnitud W del peso de una particula de masa m, se expresa como W =m g.

2

MECANICA BAsIC A CAPiTULO I

EI valor de R, depende de la altura del punto considerado. Tambien depende de la altitud; debido a que la tierra no es totalmente esferica. EI valor de g, por consiguiente, varia con la posicion del punto considerado; mientras que el punta considerado permanezca sobre la superficie terrestre, es suficientemente exacto en la mayoria de los casos suponer g igual a 9,76 m/s2 (Medellin= 9,81 m/s2).

1.3 FUERZA SOBRE UNA PARTicULA (2)

Una fuerza representa la accion de un cuerpo sobre otro y se caracteriza por su punto de aplicacion, su magnitud y su direccion. EI termino "particula" no se refiere a corpusculos pequerios; significa que el tamano y forma de los cuerpos en consideracion, no afecta la solucion de los problemas y se supone que todas las fuerzas que actUan sobre determinado cuerpo, tienen el mismo punto de aplicacion. As!, cada fuerza estar!a definida por su magnitud y direccion. De ahi que la direccion de una fuerza, se define por su linea de accion y su sentido. La linea de accion es una linea infinita a 10 largo de la cual actua la fuerza y se caracteriza por el cingulo que forma con cierto eje fijo. La fuerza se representa mediante un segmento de esta linea (Ver Fig. 1)

IFI = iON IFI = modulo de F

Figura 1. Linea de acci6n de una Fuerza F

Si F tiene igual magnitud pero diferente sentido y la misma linea de accion, tendrcin efectos distintos sobre la part!cula. Cuando dos (2) fuerzas Py Qactuan sobre una particula situada en el punta A, pueden reemplazarse por una sola fuerza H, que tiene el mismo efecto sobre la partfcula y se denomina Resultante de Fuerzas, como se presenta en la siguiente Figura 2.

A

~ 0

-_-~---,lIP

'" II 8

Figura 2. Resultante de Fuerzas (H)

3


La diagonal que pasa por A representa la resultante, conocida como la Lev del Paralelogramo, para la suma de dos (2) fuerzas.

1.3.1 Vectores (1), (2)

Las fuerzas no obedecen las leyes de la adici6n de la aritmetica y algebra, como se puede observar en la siguiente Figura 3.

3N V16+9=5

4N Figura 3. Valor de una Resultante de Fuerzas

Sumando las fuerzas de 3N y la de 4N dan SN. Los desplazamientos, las velocidades, las aceleraciones y los momentos son cantidades ffsicas que sumadas poseen magnitud y direcci6n y se suman segun la Ley del Parale/ogramo. Todas estas cantidades se pueden representar matematicamente por vectores, mientras que las cantidades que no tienen direcci6n, como el volumen, la masa y la energia se representan por numeros ordinarios 0 escalares.

En definitiva, los vectores se definen como expresiones matematicas que pose en magnitud y direcci6n, que se suman de acuerdo con la Ley del Parale/ogramo y se representan por f1echas.

1.3.2 Tipos de vectores (3)

Vector fijo: Si un vector representa una fuerza que actua sobre una particula dada, tiene un punto de aplicaci6n bien definido; esto es, la particula misma. Se dice que tal vector es fijo y no puede moverse sin modificar las condiciones del problema.

Vectores libres: Los pares de fuerzas se representan por vectores que pueden desplazarse Iibremente en el espacio y reciben el nombre de vectores Iibres.

Vectores deslizantes: Las fuerzas que actUan sobre un cuerpo rigido, se representan por vectores que pueden moverse 0 deslizarse a 10 largo de la linea de acci6n. Son los vectores deslizantes.

Se dice que dos vectores son iguales cundo tienen la misma direcci6n y la misma magnitud, tengan 0 no el mismo punto de aplicaci6n. Se pueden representar con la misma letra.

4


EI vector negativo de un vector P, se define como el vector que tiene la misma magnitud de P y djrecci6n opuesta a la de P y se representa por - P; asi: P+ (-p) = 0 1.3.3 Suma de vectores (4)

Por definici6n, los vectores se suman de acuerdo a la Ley del Paralelogramo, como se presenta en la siguiente Figura 4.

A

-+ p

C ..... ...... '" ~ ~

~ ~+

, Q

Figura 4. Suma de vectores Py Q

Se obtiene fijando los dos (2) vectores al punto A y construyendo un paralelogramo con Py Qcomo dos lados contiguos del paralelogramo. La diagonal que pasa por A representa la suma de los vectores Py Qy se representa por P+ Q. La suma de vectores es conmutativa: P+ Q= Q+ P y es asociativa tambiem.

1.3.4 Metodo para obtener la suma de dos (2) vectores

Si para sumar Py Q , se coloca el origen de Ren el origen deP, y luego se une el origen de Pcon el extremo de Q, se ha aplicado el metodo, que se conoce como la Regia del Tr;imgulo (Ver Fig. 5).

A

Figura 5. Regia del Triangulo

1.3.5 Sustracci6n de un vector (4)

Se define como la adici6n del correspondiente vector negativo. Ejemplo: P Q ; se obtiene sumando a Pel vector negativo - Q .

P-Q=P+(-Q)

5


Se observa, que se usa el mismo signo para representar la sustracci6n vectorial y escalar.

1.3.6 Suma de tres (3) 0 mas vectores: P, Q YS

Se suman primero Py Qy luego el vector Sal vector P+ Q

En forma similar la suma de cuatro (4) vectores, se obtiene sumando el cuarto vector a la suma de los tres (3) primeros.

Entonces se ha aplicado primero la RegIa del Triangulo para sumar Py Qy se aplica nuevamente la RegIa del Triangulo para obtener P+ Q+ S .

Otra manera de sumar los tres (3) vectores es, colocando sucesivamente el origen de uno (1) de los vectores en el extremo del otro y finalmente uniendo el origen del primero con el extremo del ultimo. Esta es la Regia del Poligono para la suma de vectores.

1.3.7 Producto de un escalar por un vector

La suma de P +P se expresa como 2P, de P +P +P como 3P. Por 10 que se puede representar la suma de n vectores iguales P por el producto nP (n: entero positiv~). R: vector que tiene la misma direcci6n de Pyla magnitud de nP. La resultante Ifdel producto KP; un escalar K y un vector P, es un vector que tiene la misma direcci6n de P(si K es positiv~), 0 direcci6n opuesta a la de P(si K es negativ~) y la magnitud igual al producto de Pcon el valor absoluto de K (Ver Figura 6).

1,5P

Figura 6. Suma de vectores iguales

1.3.8 Resultante de varias fuerzas concurrentes (1)

Considerando una particula sobre la cual actuan varias fuerzas coplanarias, es decir, varias fuerzas contenidas en el mismo plano y todas las fuerzas pasan por A, se dice que son concurrentes. Los vectores que representan las fuerzas que actuan sobre A, pueden sumarse por la RegIa del Poligono. EI vector If obtenido, representa la resultante de las fuerzas concurrentes (Ver Fig. 7), es decir, la fuerza unica que produce sobre la partlcula A, el mismo efecto que causan las fuerzas concurrentes dadas. No importa el orden en que se sumen los vectores.

6


p

~ A .. a

Figura 7. Resultante de fuerzas concurrentes

1.3.9 Descomposicion de una fuerza en componentes (1)

Dos (2) 0 mas fuerzas que actuan sobre una particula, pueden reemplazarse por una fuerza unica que produce el mismo efecto sobre la partlcula. Estas fuerzas que se lIaman componentes de una fuerza original F que pueden serdos (2) 0 mas, que en conjunto produzcan el mismo etecto sobre la particula, se denominan componentes de F y ese proceso de reemplazar F por ella, se llama descomposici6n de la fuerza F en sus componentes. Para cada fuerza F existe un numero infinito de conjuntos posibles de componentes, el numero de formas en que una fuerza F puede descomponerse en dos (2) componentes, es ilimitado.

Considerando:

1. Se conoce la linea de acclon de cada componente: la magnitud y direcci6n de las componentes, se obtiene aplicando la Ley del Paralelogramo y trazando por el extremo de F , lineas paralelas a las lineas de acci6n. Esto conduce ados (2) componentes P y Q bien definidas, que pueden determinarse graficamente 0 mediante la Ley de los Senos (Ver Fig. 8).

p

Figura 8. Ley del Paralelogramo

2. Se conoce una (1) de las dos (2) componentes( P): la segunda componente se obtiene aplicando la Regia del Triangulo, al unir el extremo de P con el extremo F. La magnitud y la direcci6n de la segunda componente se determina graficamente 0 por trigonometria. Cuando se determinan ambas componentes P y Qdeben aplicarse en A (Ver Fig. 9).

7

MECANICA aASICA CAPITULO I

Q

A Figura 9. Regia del triimgulo

Ejemplo 1:

Se arrastra una roca par media de dos (2) cables, como se aprecia en la Figura 10. Si la resultante de las dos (2) fuerzas ejercidas por los cables es de 300 Ib, paralela al eje de la roca calcular:

a. La tension en cada cable, sabiendo que 0::= 30 b. EI valor de 0:: para que la tension en el cable 2 sea minima.

Figura 10. Ejemplo 1 Soluci6n:

T2

T1

a. Utilizando la Ley del Prale/ogramo se sabe que la diagonal (resultante) es de 300 Ib y es hacia la derecha.

Se trazan los dos (2) lados paralelos a los cables. Si es a escala se puede medir:

Tl = 1961b T2 = 134lb

8

MECANICA SASICA CAPITULO I

Soluci6n trigonometrica: Utilizando la RegIa del Triangulo. Se observa que el triangulo. representa la mitad del paralelogramo dibujado anteriormente. Utilizando la Ley de Senos:

T2 300lb = =--

sin 300 sin 200 sin 1300

Asi: Tl = 195,8lb y T2 =133,91b

2 2

I / 2 I , /," I / /I, /'

300 Lb 1/

1 ' ........ J. 209 ~ - / II ...... _ "1 I

.,.'" I I ,. ""':-.J. ,. / 1 ",," / ..................

I I 12 / I

I 1 2 2

b. Valor de C( para que T2 sea minimo. Para determinar el valor de C( con el cualla tensi6n del cable 2 sea minima, se utiliza una vez mas la RegIa del Triangulo. En el diagrama a continuaci6n, la linea 1-1 tiene la direcci6n de Ti . Por las lineas 2-2 se indican varias direcciones posibles de T2 Vemos que el valor minimo de T2 se obtiene cuando Tl YT2 son laterales. EI valor minima de T2 es:

T2 =(300 lb) sen 200 = 102,6lb

300Lb

9

MECANICA SASICA CAPiTULO I

Los valores correspondientes de Tl y ex son:

Tl = (300 Ib) cos 20 = 282 Ib ex =90 - 20 ex = 70

Ejercicio 1:

Dos (2) elementos estructurales Bye estan remachados al soporte A. Si la tension en el elemento B es 6 KN Y la tension en C es 10 KN, determinar graficamente la magnitud y direccion de la fuerza resultante que actua sobre el soporte.

Figura 11. EJercicio 1

1.3.10 Componentes rectangulares de una fuerza

Una fuerza se puede descomponer en dos (2) componentes perpendiculares entre si. Fx en direccion x y Fy en direccion y; se lIaman componentes rectangulares.

Generalmente se hace que los ejes X, y, tengan respectivamente la direccion horizontal y vertical; sin embargo, pueden tomarse en dos (2) direcciones perpendiculares cualesquiera.

Tomando vectores de magnitud 1, orientados respectivamente en la direccion positiva de los ejes x y y. Estos vectores se lIaman vectores unitarios y se representan por i y por j. Recordando que el producto de un escalar p~r un vector, se observa que las componentes rectangulares Fx y Fy de una fuerza F , pueden obtenerse multiplicando los vectores unitarios i y j respectivamente por los escalares apropiados. Entonces ejemplo:

As!:

F =Fxi+Fyj

Mientras que los escalares Fx y Fy pueden ser positiv~s 0 negativos segun el sentido de Fx y de Fy. Sus valores absolutos son iguales, respectivamente a las magnitudes de las fuerzas componentes Fx y Fy.

10

MECANICA aASICA CAPiTULO I

Los escalares Fx y Fy, se lIaman las componentes escalares de la fuerza 7, en tanto que los vectores componentes 7 x y y se lIaman las componentes vectores de la fuerZa 7. La componente escalar Fx es positiva cuando el vector componente Fx tiene la misma direcci6n del vector unitario i (es decir, el mismo sentido del eje positiv~ x) y negativo cuando Fx tiene direcci6n opuesta. Se ruede concluir la misma para la componente escalar Fy.

En la siguiente Figura 12, se representa por F la magnitud de la fuerza 7 y por 8 el angulo entre 7 y el eje x, medido a partir del eje x positiv~ y en sentido contrario al movimiento de las agujas del relaj.

Fy = Fyj F

Fl( Fxi

Figura 12. Componentes rectangulares de una fuerza

Ejemplo 2: Un hombre tira con una fuerza de 300 N una cuerda sujeta a un edificio. l.Cuales son las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por la cuerda sobre el punta A?

Figura 13. Ejemplo 2

Soluci6n:

k--l-...-~~--~. x :

En la Figura b, Fx =300 N cos 0( =Fy =-(300 N) sen 0(. Observando AS =10m, entonces:

8m 8m 4 cos 0( = = - =

AB 10m 5

6m 6m 3 sinO(=- =--=

AB 10m 5

11


4Asi: Fx = 300 N - = 240 N

5

3 Fy =-300 NS =-180 N

Donde F = (240 N) i - (180 N) j Fy r::.---=-~~

tan 8 = - F = .jFx2+ Fy2Fx

Sin embargo, una vez que se ha encontrado 8, es mas facil, generalmente, determinar la magnitud de la fUerza F.

1.3.11 Suma de fuerzas por adicion de componentes

Ejemplo 3:

Cuatro (4) fuerzas actuan sobre un perno A, como esta en la Figura 14. Determinar la resultante de fuerzas sobre el perno.

Solucion:

Las componentes X y Y de cada fuerza se determinan trigonometricamente. Los numeros escalares que representan la componente de una fuerza seran positiv~s sila componente tiene el mismo sentido del eje coordenado correspondiente.

x: Positivo a la derecha y: Positivo hacia arriba

JJ~ -(F:U~2CP)'1 ~Co.I''')1

- ( F4 Sen.,)J

- F, I Figura 14. Ejemplo 3

y

Fuerza Magnitud (N) Componente x (N) Componente y (M) F1 150 +129,0 +75,0 F2 80 -27,4 +75,2 F3 110 . 00 -110,0 F4 100 +966 -25,9

Rx-+199,1 Ry = +14,3

12


La resultante R de las cuatro fuerzas es:

R == Rxi + Ryj R =(199,1 N)i + (13,2 N)j

Ry = R(14:;:) ;L,-===J~3:====:: Rx = (199.1 N) i

La magnitud y direccion de la resultante pueden determinarse en el triangulo mostrado,

Ry 14,3 N tan a = Rx = 199,1 N

14,3N R =-.-= 199,6N

sma

R = 199,6N que forma con el plano xy (Ver Fig. 15).

y y y

B

I'"y

D x

c z

Figura 15. Ejemplo 4

La direccion de , sobre el plano, esta definida por el angulo By que forma F con el eje y. La fuerza puede descomponerse en una (1) componente vertical Fy y la componente horizontal Fh; esta operacion se realiza dentro del plano OBAC.

13

x


Las componentes escalares son: Fy = F cos By Fh = sin By. Pero Fh puede descomponerse en dos (2) componentes rectangulares Fx y Fz a 10 largo de los ejeS' x y z, respectivamente. Esto se realiza en el plano zx. Se obtienen las siguientes expresiones para las componentes escalares:

Fx =Fhcos = FsinBy cos Fz =Fhsin = FsinBy sin

La fuerza dada F se ha descompuesto asi en tres (3) componentes vectoriales rectangulares F x, F y, F z , a 10 largo de los tres (3) ejes de coordenadas. Y para conocer el valor de F, bastara con aplicar la siguiente con la siguiente ecuacion:

IFI = ../(Fx2 + Fy2 + FZ2)

Introduciendo los vectores unitarios i, j Y k orientados en las direcciones de los ejes x, y y z, se puede expresar F : F = FXi + FYJ + """"iiZk

y

k

z

Ejemplo 5: Una fuerza de SOON forma angulo de 60, 45 Y 120 en los ejes x, y y z respectivamente. Hallar las componentes Fx, Fy y Fz de esta fuerza.

Soluci6n: F = SOON Bx = 60, By =4So, Bz = 120

En las formulas: Fx = (SOON) cos 60 = 250 N, Fy = (SOON) cos 45 = 3S4 N, Fz = (SOON) cos 120 = -250 N

Asi:

F = (250N)i + (354N)j - (2S0N)k

Como en el caso de las dimensiones, el signo mas (+) indica que el componente tiene el mismo sentido del eje correspondiente y el signo menos (-) que tiene sentido opuesto.

14


Ejemplo 6: EL 13ngulo entre el tirante AS yel m13stil es de 20 (Ver Fig. 16). Si se sabe que la tensi6n AS es de 300 Ib, determinar

(a) Las componentes x, y y z de la fuerza ejercida sobre eJ bote en S. (b) Los 13ngulos 8x, 8y y 8z que definen la direcci6n de la fuerza ejercida en S.


Fy = F cos 200 = 281,91lb

Fx = -F sin 200 cos 400 = -78,60 lb

Fz = -F sin 20 sin 400 = -65,95 lb

78,60 cos Ox = - 300 .... 8x = cos-1 (-0,262)

281,91 cos 8y = 300 .... 8y = cos-1 ( -0,94)

15


Ejercicio 2:

1. Una placa circular horizontal se sostiene mediante tres (3) alambres que forman angulos de 300 respecto de la vertical y se encuentran unidos a un soporte en D. Si se sabe que la componente X de la fuerza ejercida por el alambre AD sobre la placa es de 110,3 N, determine.

a) La tension en el alambre AD b) Los angulos 9x, 9y y 9z que forma la fuerza ejercida en A con los ejes

coordenados

x Figura 17. Ejercicio 2

Ejercicio3:

Demuestre que el Momento Flector (M) es igual a F.d

1.4 CUERPOS RIGIDOS (4)

Cuerpo rfgido se define como aquel que no se deforma. Las estructuras y maquinas reales no se pueden considerar absolutamente rfgidas y se deforman cuando se les aplica cargas. Estas deformaciones pueden ser gran des y pequenas, aunque general mente son pequef\as y no afectan apreciablemente las condiciones de equilibrio 0 de movimiento de la estructura considerada.

Las deformaciones son importantes en cuanto concierne a la resistencia y a la rotura y se considera, en el estudio de la Resistencia de Materia/es.

16


1.4.1 Fuerzas externas e internas

1.4.1.1 Fuerzas extern as

Representan la acci6n de otros cuerpos sobre el cuerpo rfgido en consideraci6n. Son las responsables del comportamiento del cuerpo rfgido. Haran que el cuerpo se mueva 0 que permanezca en reposo. Pueden originar traslaci6n 0 rotaci6n.

1.4.1.2 Fuerzas internas

Fuerzas que mantienen unidas las partfculas que forman el cuerpo. Si el cuerpo rfgido es estructuralmente compuesto de partes, las fuerzas que mantienen unidas las partes componentes, se denominan internas.

1.4.2 Momento de una fuerza respecto a un punto

Consideremos una fuerza F sobre un cuerpo rfgido. EI efecto de F sobre el cuerpo rfgido, depende del punto de aplicaci6n A. La posici6n de A se define convenientemente por el vector r , que une el punto de referencia fijo 0, con el punto A. Este vector se conoce como vector de posici6n A (Ver Figura 18).

Mo

Figura 18. Momento de una fuerza respecto a un punto

EI vector r y la fuerza D definen el plano mostrado.

Definiendo el momento de F con respectos a 0, como el producto vectorial de r y F. Mo = r x ft, el Mo debe ser perpendicular al plano que contiene a 0 ya F. EI sentido del momento Mo caracteriza el sentido de la rotaci6n que F tiende a imprimir al cuerpo rfgido.

La rotaci6n del cuerpo en el sentido contra rio a las manecillas del reloj se considera Momento Positivo. Y la rotaci6n en el sentido de las manecillas del reloj, Momento Negativo (Segun la regia de la mane derecha). EI angulo e es el angulo comprendido entre las IIneas de acci6n del vector de posici6n r y la fuerza F. EI momento de F con respecto a 0 es: M 0 = r F sin (} = Fd ; Y d representa la distancia perpendicular desde 0 a la linea de acci6n F.

17


La tendencia de la fuerza 7, a hacer rotar un cuerpo rigido alrededor de un eje perpendicular a la fuerza, depende de la distancia de F al eje como tambiEm de la magnitud. La magnitud de Mo, mide la tendencia de la fuerza a impartir un movimiento de rotaci6n al cuerpo rigido alrededor de un eje fijo dirigido segun Mo.

Aunque el momento Mo de una fuerza respecto a un punto depende de la magnitud de la linea de acci6n y del sentido de la fuerza, no depende de la posici6n del punto de aplicaci6n de la fuerza a 10 largo de su linea de acci6n. EI momento Mo de una fuerza no caracteriza el punto de aplicaci6n de la fuerza.

EI momenta Mo de una fuerza 7 de magnitud y direcci6n conocidas define completamente la linea de acci6n de 7. Su linea de acci6n debe encontrarse en un plano que pase por 0 perpendicular a Mo.

1.4.3 Momento de una fuerza respecto a un eje

Las componentes 7 x, 7 y y 7 z de una fuerza, que actua sobre un cuerpo rigido miden, respectivamente, la tendencia de 7 a desplazar el cuerpo rigido en las direcciones x, y y z. Los momentos Mx, My y Mz de 7 con respecto a los ejes coordenados miden la tendencia de 7 a impartir al cuerpo rigido un movimiento de rotaci6n con relaci6n a los ejes x, y y z respectivamente.

EI momento de una fuerza con respecto a un eje coordenado, es igual a la componente de Mo con respecto a dicho eje.

1.4.4 Reducci6n de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par

Se tiene actuando sobre un cuerpo rigido en los puntos A 1, A2 Y A3, las fuerzas F1, F2 Y F3 definidas por los vectores de posici6n r1, r2 y r3, como se presenta en la Figura 19.

Fz Fz

Figura 19. Reducci6n de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par

18


Como se presenta en la Figura 19, F1 puede trasladarse de un punto A1 a un punto dado cero (0), si se agrega al sistema original de fuerzas un par de momento M1 igual a r1 x F1 de F1 con respecto a O. Repitiendo este procedimiento con F2, F3, se obtiene el sistema formado por fuerzas y pares que actUan en 0 (b. Fig. 19). Como las fuerzas son concurrentes, pueden sumarse vectorial mente y reemplazarse por el vector del par resultante If. Del mismo modo los vectores del par M1, M2 Y M3, etc., pueden sumarse vectorialmente y reemplazarse por el vector del par resultante MOR.

Cualquier sistema de fuerzas por complejo que sea, puede reducirse a un sistema eguiva/ente fuerza~par! que actUe en un punto dado O. Observar que, mientras cada uno de los vectores del par M1, M2 Y M3, etc., en (b) es perpendicular a la fuerza correspondiente, el vector del par resultante MOR y If en (c) no son en general, perpendiculares entre si.

EI sistema fuerza par equivalente se defina por las ecuaciones:

If =LMO =L(rxF) =

n = l,2, ....... m

Las cuales expresan que la fuerza resultante If se obtiene sumando todas las fuerzas del sistema, mientras que el momento MoR, del par, lIamado momento resultante del sistema, se obtiene sumando los momentos con respecto a 0 de todas las fuerzas del sistema.

1.4.5 Sistemas equivalentes de fuerzas

Cualquier sistema de fuerzas que actue sobre un cuerpo rigido puede ser reducido a un sistema Fuerza-Par en un Punto dado O. Este sistema Fuerza-Par equivalente, caracteriza completamente el efecto del sistema dado sobre el cuerpo rigido.

Dos (2) sistemas de fuerzas son equivalentes si pueden ser reducidos al mismo sistema Fuerza-Par en un punto dado O. Los sistemas de fuerzas F1 , F2 ,F3,,, Y F1', F2', F 3', .. , son equivalentes, si y solamente si, las sumas de las fuerzas y las sumas de los momentos de las fuerzas con respecto a un punto dado 0 de los dos (2) sistemas, son respectivamente iguales.

19

MECANICA BAslCA CAPITULO I

En la secci6n que se investiga, se determina el sistema de fuerzas internas necesarias para mantener en equilibrio la parte aislada del elemento.

En general, tal sistema de fuerzas consta de una fuerza axial, una fuerza eortante 0 eizalla, un momento flexionante 0 fleetor y un momento de torsion, que es la clasificaci6n de las solicitaciones 0 fuerzas internas, como se presenta en la siguiente Figura 21.

,/,.it' '"

P, N: Fuerza axial T: Momento torsor Vy: Cortante 0 eizalla My: Momento fleetor Vz: Cortante de eizalla Mz: Momento nector

Fuerza axial (N): Estira 0 acorta (segun tracci6n 0 compresi6n) (Ver Fig. 22).

I I ! I'

a) N-Tracci6n b) N-Compresi6n I;

b) Figura 22. Representacion de Fuerza axial (N) Positiva y Negativa I

Su linea de acci6n coincide con el eje centroidal del elemento.

Fuerza eortante 0 eizalla (V): Corta el cuerpo 0 barra. actUa en el plano perpendicular al eje (Ver Fig. 23).

Derecha Abajo Derecha Arriba

1 1D 1 1

Figura 23. Representacion de Fuerza Cortante (V) Negativa y Positiva

23

Figura 21. Diagrama de Cuerpo Libre

MECANICA BAslCA cAPlrULO I

Momento torsor (T): Hace girar el cuerpo en su mismo eje.

Momento fleetor (M): Dobla el cuerpo.

Figura 24. Representaeion de Momento Fleetor (M) Positiva y Negativa

La seccion del cuerpo positiva es la que tiene la direccion del eje y la otra es la contraria (Ver Fig. 24).

Una vez resuelto en forma apropiada el sistema de fUerzas que actuan en la seccion, las formulas permitiran determinar los esfuerzos en la seccion considerada.

Si se sabe la magnitud del esfuerzo maximo en una seccion, se podra especificar el material apropiado para ella; 0 reciprocamente, si se conocen las propiedades fisicas de un material, es posible seleccionar un elemento del tamaiio apropiado.

EI conocimiento de la deformacion en una seccion arbitraria de un elemento, originada por las fuerzas internas, permitira predecir la deformacion de la estructura en conjunto, y por tanto, si fuera necesario, diseiiar elementos que no se flexionen 0 cambien excesivamente.

1.6.1 Clasifieaei6n de las estructuras

Las estructuras pueden clasificarse segun su geometria, en tres (3) grupos, aunque fisicamente son tridimensionales:

Elementos tridimensionales: Tres dimensiones del mismo orden de magnitud. Ejemplo: represa, piezas de maquinaria. Se estudia con ecuaciones de derivadas parciales, y la teoda que Ie da orientacion es la teoria de la elasticidad.

Elementos bidimensionales 0 laminares: EI espesor es despreciable en comparacion con las otras dimensiones. Ejemplo: tuberias, calderas. placas. Se siguen utilizando ecuaciones de derivadas parciales.

Elementos lineales: 0 esqueletales, solo interesa una dimension, se utilizan ecuaciones algebraicas. Ejemplo: vigas, columnas.

24

!


Clasificacion:

Vigas

Columnas I P6rticos R Cercha Th-IV~

Entramado 157;7;57'

1.7 CARACTERisTICAS DE LOS MATERIALES (2)

Las caracteristicas de los materiales a considera son:

Homogeneidad: Cuando en todos los puntos del material las propiedades son las mismas. Ejemplo: los metales. Heterogeneidad: Cuando en todos los puntos del material las propiedades son distintas. Ejemplo: concreto. Isotropico: Cuando un punto tiene las mismas propiedades en todas las direcciones. Ejemplo: acero

- Anisotropico: Lo contrario a isotr6pico. Ejemplo: caucho, madera. Linealidad: Cuando la relaci6n entre causa y efecto es lineal 0 de primer orden.

~ Causa

Elasticidad: Si se tiene una barra a tracci6n simple, cuando aumenta gradualmente la carga de tracci6n P.

En la Figura 25 a continuaci6n, se puede observar que para el valor de P, el alargamiento 0 de la barra; si se disminuye gradualmente la carga hasta cero, la barra tiende a recobrar su longitud inicial L.

25


p

Figura 25. Cuerpa Elastica

La propiedad que posee un material de volver parcial 0 completamente a su forma inicial una vez desaparece la carga, es 10 que se llama elasticidad. Si e[ material recupera completamente su longitud inicial se dice que el material es perfectamente elastico, de 10 contra rio se dice que es solo parcialmente elastico.

En la Figura 23, se puede admitir que por efecto de la traccion, todas las fibras longitudinales de la barra estan estiradas uniformemente; y se define el alargamiento por unidad de longitud de la barra, asi:

E = Z' donde 8, es el alargamiento unitario (Ia deformacion por traccion es positiva; la reduccion por unidad de longitud se denomina deformacion de compresion, y es negativa).

Plasticidad: Es la propiedad que tiene un cuerpo de que al retirar la carga que produce una deformacion en el, no recupera su estado inicial. La deformacion originada por la carga permanece. Ejemplo: plastilina, el acero (despues del limite elastico).

1.7.1 Principios generales

Pequefias deformaciones: Materiales que se deforman poco. La deformacion lineal es del orden de la milesima y las deformaciones angulares son a 10 sumo de segundos 0 minutos. Depende de la escala del material, y de la estructura.

1E=- Y Y=l'

1000

Principio de superposicion: Cuando la relacion causa y efecto es lineal, la causa total y el efecto global son la suma respectiva.

Causa total = C1 + C2 + C3 + ...... + Cn Efecto global = e1 + e2 + e3+ ....... en No lineal causa= K e2

rC1 e -> lineal

Donde: C1 = K e12 y C2 = K e12

26


Si se aplican ambas ecuaciones, el efecto total sera:

. C1 + C2 =K er. donde [(K-1) (C1 + C2)]2 1

= eT y

_J(C1 + C2 )eT - K *

Principio de SAINT-VENANT: Las soluciones y conclusiones sacadas en modelos ideales son validas para los modelos reales, siempre y cuando estemos alejados de los puntos de aplicaci6n de las fuerzas 0 perturbaciones.

"La distribucion de tensiones depende del punta de aplicacion y magnitud de la fuerza resultante, lejos de las fuerzas concentradas y de las perturbaciones" (2).

1.8 CARAcTER ANALiTICO EXPERIMENTAL DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES

1.8.1 Fuerzas internas

Aparecen al hacer al cuerpo cargado un corte ideal, estan por todas partes y se transmiten punto a punto.

1.8.2 Fuerzas de contacto de otros cuerpos

- Activas: Obedecen a causas (propio peso) pueden ser fuerzas 0 momentos concentrados 0 distribuidos.

Reactivas: Fuerzas en los apoyos:

Se definen como: o.

a- Primera clase: R6tula

b- Segunda clase: Articulaci6n

c. c- Tercera clase: Empotramiento

27

MECANICA BAslCA CAPITULO 2

CAPiTULO 2

2 ElEMENTO PRISMATICO SOMETIDO A FUERZA AXIAL

2.1 ElEMENTO PRISMATICO SOMETIDO A FUERZA AXIAL. DIAGRAMA DE FUERZA AXIAL (4)

La atencion se fijara en estructuras planas 0 de dos (2) dimensiones, principal mente en vigas. Para ello, se deben considerar las siguientes hipotesis (Ver Fig. 26) (3):

Barras infinitas: todas las secciones reales son simetricas. - Barras prismaticas cilindricas: (linea poligonal, linea curva) Superficie

caracterizada por pianos con secciones rectas uniformes. Carga axial uniforme

- Material lineal, homogeneo, isotropico yelastico.

o ..0 P+-t f-..P Infinitos

~ III S 2 ) ( \ Simetrica Simetria y continuidad

2 ) 2 S Continuidad Secciones planas siguen siendo planas

Figura 26. Hip6tesis para el anal isis de un elemento prismatico

28

MECANICA BAslCA CAPiTULO 2

2.1.1 Diagrama de fuerza axial

Se vera con unos ejemplos:

Ejemplo 5: Se tiene una columna de secci6n uniforme y sometida a su propio peso W y especifico T (Ver Fig. 27). Dibujar el diagrama de carga axial con Po aplicada, en el centroide inferior.

I o


Obteniendo las reacciones: R

I~ En el externo superior: + i E Fy =0 , D6nde: R - Po - W =0 :. R =Po + W

,

W PesoSe sa be que: Y =-v-V-I- Despejando, W =Y * V Y V = A * L A: Area

o umen

Reemplazando W en R :. R = Po + Y * A * L

Haciendo un corte a la distancia x del extremo superior: 0 ::;; x ::;; 1

--~>P(x)

L

Wx

29

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