Estadística Computacional I Maestría en Estadística Aplicada.
Topología aplicada y computacional · Topología aplicada y computacional Author: Héctor Barge...
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Topolog´ ıa aplicada y computacional H´ ector Barge Departamento de Matem´ atica Aplicada a las TIC Primer Semestre H´ ector Barge Topolog´ ıa aplicada y computacional
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Topologıa aplicada y computacional
Hector Barge
Departamento de Matematica Aplicada a las TIC
Primer Semestre
Hector Barge Topologıa aplicada y computacional
Motivacion
La topologıa algebraica ha encontrado recientemente algunasaplicaciones interesantes en el campo del big data. Algunosejemplos:
El clustering no es mas que contar “componentes conexas” delos datos.
Los comportamientos periodicos de los datos se correspondencon los “tuneles” de los datos.
Tambien se pueden medir otras caracterısticas de dimensionsuperior de los datos.
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Caracterısticas principales del analisis topologico de datos
Permite unificar informacion medida a distintas escalas.
Es robusto, en el sentido de que pequenas perturbaciones delos datos inducen pequenas perturbaciones en los resultados.
Permite extraer informacion global sobre los datos.
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Contenidos: Complejos
Complejos simpliciales.
CW complejos.
Complejos cubicos.
Nervios de un recubrimiento y complejos asociados.
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Contenidos: Complejos
Los complejos son las estructuras topologicas que utilizaremos paraanalizar los datos. En la siguiente imagen se muestra un ejemplode complejo simplicial.
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Contenidos: Homologıa y cohomologıa
Homologıa simplicial.
Homologıa celular.
Homologıa cubica.
Homologıa singular.
Algoritmos para el calculo de la homologıa.
Cohomologıa y dualidad de Poincare.
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Contenidos: Homologıa y cohomologıa
La homologıa es la herramienta algebraica que nos permite extraerinformacion topologica de los complejos simpliciales. Informacioncomo el numero de componentes conexas, el numero de tuneles,cavidades y otros analogos de dimension superior.
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Contenidos: Teorıa de Morse discreta
Teorıa de Morse clasica. Desigualdades de Morse.
Funciones de Morse discretas.
Desigualdades de Morse discretas.
Campos de vectores gradiente discretos.
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Contenidos: Teorıa de Morse discreta
La teorıa de Morse discreta es una version discreta de la teorıa deMorse clasica que relacionada la topologıa de una variedaddiferenciable con los puntos crıticos de funciones suaves definidasen ella. Esta version discreta nos permite reducir el tamano de uncomplejo simplicial sin cambiar sus propiedades homotopicas.
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Contenidos: Homologıa Persistente
Grupos de homologıa persistente.
Diagramas de persistencia y codigos de barras.
Estabilidad de la persistencia.
Aplicaciones.
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Contenidos: Homologıa Persistente
La homologıa persistente es la principal herramienta para extraerinformacion topologica de los datos. Consiste en estudiar lahomologıa a de los complejos asociados a los datos a diferentesescalas y ver cuales son las propiedades que se mantienen en la“mayorıa” de ellas.
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Desarrollo del curso
El enfoque del curso sera teorico-practico.
Clases teoricas por parte del profesor en las que se presentaranlos contenidos teoricos y principales algoritmos.
Clases practicas en las que se programaran los algoritmospresentados en las sesiones de teorıa.
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Evaluacion
La evaluacion se basara en el trabajo del alumno.
1 Entrega de practicas.
2 Presentacion y/o exposicion de trabajos.
La opcion de examen solamente se plantea en caso de que no sehaya seguido la evaluacion continua o se quiera subir la nota.
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Bibliografıa
G. Carlsson, Topology and data, Bull. Amer. Math. Soc. 46(2009), 255-308.
H. Edelsbrunner, J.L. Harer, Computational Topology. Anintroduction, American Mathematical Society, Providence, RI,2010.
R. Forman, A user’s guide to discrete Morse theory, Sem.Lothar. Combi. 48 (2002), 5063-5085.
R. Ghrist, Elementary applied topology, 2014(url:https://www.math.upenn.edu/ ghrist/notes.html).
A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press,Cambridge, 2002.
T. Kaczynski, K. Mischaikow, M. Mrozek, ComputationalHomology, Applied Mathematical Sciences, 157.Springer-Verlag, New York, 2004.
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Bibliografıa
J.M. Lee, Introduction to Topological Manifolds, GraduateTexts in Mathematics, 218. Springer-Verlag, New York, 2003.
W.S. Massey, A Basic Course in Algebraic Topology, GraduateTexts in Mathematics 27. Springer-Verlag, New York, 1991.
V. Munoz, J. Madrigal, Topologıa Algebraica, Sanz y Torres,2015.
S.Y. Outdot, Persistence theory: from quiver representationsto data analysis, Mathematical Surverys and Monographs, 209.American Mathematical Society, Providence, RI, 2015.
N.A. Scoville, Discrete Morse Theory, Student MathematicalLibrary, 90. American Mathematical Society, Providente, RI,2019.
A.J. Zomorodian, Topology for computing, CambridgeMonographs on Applied and Computational Mathematics, 16.Cambridge University Press, Cambridge, 2005.
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