Grupos terminados en 4.

1. Un jugador tiene tres oportunidades de lanzar una moneda para que aparezca una cara, el juego termina en el momento en que cae una cara o después de tres intentos, lo que suceda primero. Si en el primero, segundo o tercer lanzamiento aparece cara el jugador recibe $20000, $40000 o $80000 respectivamente, si no cae cara en ninguno de los tres pierde $200000. Si X representa la ganancia del jugador: a. Encuentre la función de probabilidad f(x)

La probabilidad de que aparezca una cara es 1/2, la probabilidad de que aparezca dos caras seguidas es (1/2)(1/2) = (1/4), la probabilidad de que aparezcan tres caras seguidas es (1/2)(1/2)(1/2) = 1/8, que es la misma probabilidad de que no aparezca una sola cara, por tanto la distribución de probabilidad es:

( )

{

b. Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviación estándar S(x). El valor esperado esta definido por

( ) ∑ ( )

( ) (

) (

) (

) (

)

( )

( )

La varianza V(x)

( ) ( ) [( ) ] ∑[( ) ( )]

( )

( ) (

) ( ) (

)

( ) (

) ( ) (

)

( )

( )

La desviación estándar ( )

( ) √

2. Sea X una variable aleatoria con función densidad

( ) { ( )

a. Determine el valor de a, para que la función sea efectivamente una función

densidad de probabilidad. Lo primero es que a > 0, porque la función

Lo segundo que debe cumplir

∫ ( )

Entonces

∫ ( )

∫ ( )

[ ∫

∫

]

[

]

[ ]

Por tanto la función de probabilidad queda de la forma

( ) {

( )

b. La probabilidad 1<P<1.5

[ ∫

∫

]

[

]

3. Se sabe que el 60% de los ratones inoculados con un suero quedan protegidos contra

cierta enfermedad. Si se inoculan 5 ratones, encuentre la probabilidad de que: a. ninguno contraiga la enfermedad

Consideremos el éxito, cuando los ratones inoculados quedan protegidos contra cierta enfermedad, por tanto no contraen la enfermedad, por tanto p = 0.6. La probabilidad que de 5 inoculados ninguno contraiga la enfermedad es: n = 5, x = 5 (todos protegidos)

[ ] ( )

( ) ( )

b. menos de 2 contraigan la enfermedad

en este caso la variable x es: , es decir: ninguno adquiere la enfermedad o uno la adquiere

∑[ ] ( )

[ ] [

]

( ) ( )

c. mas de 3 contraigan la enfermedad. En este caso la variable x es de la forma

∑[ ] ( )

[ ] [

]

( ) ( )

4. Una compañía fabricante utiliza un esquema de aceptación de producción de artículos antes de que se embarquen. El plan tiene dos etapas. Se preparan cajas de 25 artículos para su embarque y se prueba una muestra de 3 en busca de defectuosos. Si se encuentra alguno defectuoso, toda la caja se regresa para verificar el 100%. Si no se encuentran defectuosos, la caja se embarca. a. Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que contiene 3 defectuosos?

Para el caso la variable x se refiere a la posibilidad de encontrar un articulo no defectuoso, x = 3. K es el numero de artículos no defectuosos, para nuestro caso hay tres artículos defectuosos por tanto k = 22, N es el numero total de artículos = 25 y n el numero total de ensayos, n = 3.

[ ] [ ]

[ ]

b. Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene solo 1 artículo defectuoso se

regrese para su revisión? En este caso las variables no son como en el caso anterior, N = 25, n = 3 k = al numero de artículos defectuosos = 3 y x es la posibilidad de sacar uno de estos tres artículos.

[ ] [ ]

[ ]

5. Un científico inocula a varios ratones, uno a la vez, con el germen de una enfermedad

hasta que encuentra a 2 que contraen la enfermedad. Si la probabilidad de contraer la enfermedad es del 1,7% a. Cual es la probabilidad de que se requieran 8 ratones?

( ) [ ] ( ) ( )

b. Cual es la probabilidad de que se requieran entre 4 y 6 ratones?

( ) ( ) ( )

[ ] ( ) ( ) [

] ( ) ( ) [

] ( ) ( )

6. Suponga que cierto estudiante tiene una probabilidad de 0,75 de aprobar el examen de

inglés en cualquier intento que haga. a. Cuál es la probabilidad de que lo logre aprobar en el tercer intento?

( ) ( )

b. Cuál es la probabilidad de que lo apruebe antes del tercer intento?

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

7. En promedio en cierto cruce ocurren dieciocho accidentes de transito al año. ¿Cuál es la probabilidad de que para cualquier mes dado en este cruce : a. ocurran exactamente 3 accidentes

Suponiendo que la probabilidad es la misma para cada mes, el numero de accidentes por mes es = 18/12 = 3/2=1.5

( ) ( )

( )

b. Ocurran menos de 3 accidentes

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

c. Ocurran por lo menos 3 accidentes

Osea

( ) ( ) ( )

8. Un empleado viaja todos los días de su casa en las afueras a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo promedio para un viaje de ida es de 24 minutos con una desviación estándar de 3,8 minutos. Si se supone que la distribución de los tiempos de viaje esta distribuida normalmente a. Cuál es la probabilidad de que un viaje le tome al menos media hora?

La probabilidad de que el viaje tome al menos 30 minutos

( ) ( )

( )

Usando la tabla de probabilidades

( ) Por tanto la probabilidad de que se demore al menos 30 minutos

( )

b. Si la oficina abre a las 9:00 am y el sale a diario de su casa a las 8:45 am ¿Qué porcentaje de las veces llegará tarde al trabajo? Es la probabilidad de demorarse hasta 15 minutos

( ) ( )

( ) ( )

( )

La probabilidad de demorarse mas de 15 minutos es

( ) Y el porcentaje es igual a de las veces llega tarde.

c. Si sale de su casa a las 8:35 am y el café se sirve en la oficina de 8:50 a 9:00 am ¿Cuál es la probabilidad de que se pierda el café? La probabilidad de tardar más de 15 minutos es la misma que la anterior y es

( ) Ahora calculemos la probabilidad de tardar menos de 25 minutos

( )

La probabilidad de llegar a tiempo al café es

( ) ( ) ( )

( ) Por tanto la probabilidad de perder el café es

( ) ( )

9. Un estudio examinó las actitudes nacionales acerca de los antidepresivos. El estudio reveló que 70% cree que “los antidepresivos en realidad no curan nada, sólo disfrazan el problema real”. De acuerdo con este estudio, de las siguientes 5 personas seleccionadas al azar: a. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 tengan esta opinión?

Si consideramos como éxito (p) que la persona cree que “los antidepresivos en realidad no curan nada. Solo disfrazan el problema real”, la probabilidad de p = 0.70. Como son 5 personas n = 5 y se espera que al menos tengan esta opinión tres personas, es decir Por tanto la probabilidad es

∑[ ] ( )

[ ] [

] [

]

b. ¿Cuál es la probabilidad de que máximo 3 tengan esta opinión?

En este caso la variable x esta dada por:

La probabilidad es ahora:

∑[ ] ( )

[ ] [

] [

] [

]

c. De cuantas personas se esperaría que tuvieran esta opinión.

El valor medio en este tipo de distribución es:

( )