Trabajo de Analisis Estructural - Metodo de Los Tres Momentos

7/26/2019 Trabajo de Analisis Estructural - Metodo de Los Tres Momentos

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MÉTODO DE LOS TRES MEMENTOS


INTRODUCCIÓN

En la ingeniería se presentan problemas relacionados con el cálculo, o la

simplifcación del mismo con respecto a los momentos ectores en una viga de

estudio. Con la aplicación de una órmula que relaciona los datos de la

situación del problema, directamente (con una ecuación matemática), se

puede determinar a renglón seguido el comportamiento de la viga.

El problema que enrentan los ingenieros en el cálculo de vigas que tienen más

de dos apoos, reside en la indeterminación de las variables en superioridad de

las ecuaciones aportadas por la Estática la !esistencia de "ateriales. #ue es

el caso particular que se e$plicará en relación con el m%todo de los tres

momentos las vigas continuas.

& trav%s de este traba'o de investigación para fnes e$positivos, se resumirá

con algunos e'emplos básicos, la resolución de problemas de ingeniería, con la

t%cnica matemática el contenido teórico que respalda el desarrollo operativo

del m%todo de los tres momentos para vigas , que no pueden ser analiadas en

otros m%todos, dada su indeterminación o su comportamiento iperestático.

*e paso se resumirán los conceptos precedidos para el análisis compresivo del

m%todo. +e estará en contacto con la defnición de las ases de una viga

continua, los principios de iperestaticidad, diagramas de ueras e$iones

la propia deormación analiada en vigas continuas. uscando signifcados a

los datos recolectados para la ormulación del traba'o, e$iste una relación entre

la palabra eca deormación de una viga. +e e$plica este concepto, con tal

de que no se conunda su signifcado, así como otros.

-as gráfcas que presentan a las vigas en sus condiciones de apoo sumisión

a cargas, revelan que se necesitará previamente desarrollar bosque'os para

indicar el u'o del momento, cortante e$ión sobre la viga. Estos esquemas

gráfcos proporcionarán datos valiosos en la operatividad del m%todo.




-a utiliación de vigas continuas en la ingeniería civil es mu recuente, por

e'emplo en puentes, pórticos, or'ados, carriles de errocarril, tuberías, etc. -o

que no le resta importancia en su estudio.

-a viga continua nos dará pie a las defniciones más adelante, pero mientras,

es 'usto que se comprenda que puede tratarse como una tipología particular de

estructura reticulada de plano medio, capa de soportar esueros,

principalmente de e$ión cua característica mas importante es la de

disminuir los momentos en relación con los que se producen en vigas similares

de tramos simplemente apoados. Eso 'ustifca su uso, en este caso, su

estudio.

El teorema general de los tres momentos más que un teorema es una órmula

que relaciona los tres momentos en tres apoos de una viga continua, que nos

es mu /til en el cálculo de momentos en estos apoos.

&demás, este m%todo nos simplifca el proceso de cálculo de los momentos

ectores con los cuales se procede al traado de los a conocidos0 *"1 *1C.

Con la aplicación directa de la órmula, el proceso se simplifca se vuelve un

proceso netamente matemático rápido de desarrollar ácil de interpretar.

2




GENERALIDADES

A) OBJETIVOS

&nálisis de vigas estáticamente indeterminadas ó iperestáticas por

medio de la EC3&C456 *E -7+ 8!E+ "7"E687+, m%todo particular de

e$ibilidad, cuas incógnitas son las ueras, en este caso, los

momentos ectores en los apoos. Calculo de desplaamientos rotaciones en vigas aplicando dico

m%todo. *esarrollar en el estudiante la capacidad de analiar el tipo de

problemas de dee$ión en vigas aplicando el m%todo de los tres

momentos. &prender a utiliar este m%todo para que nos sea más ácil diagramar los

cortantes momentos ectores que se producen en una viga sometida a

cargas e$ternas.

Conocer más de este m%todo, para tener el conocimiento de traba'ar conestructuras iperestáticas.

9oder resolver e'ercicios con vigas de más de dos tramos en poco

tiempo.

JUSTIFICACIÓN

-a ecuación de los tres momentos e$presan una relación entre los momentos

ectores en tres puntos cuales quiera de una viga cualquiera.

B) LIMITACIONES

Estructuras iperestáticas comple'as de varios tramos, donde se

requieren más ecuaciones para poder resolverlas. Cálculo de los diagramas de ueras internas.

:




cálculo de la eca se emplea el módulo de elasticidad del acero el

momento de inercia del perfl, la eca má$ima se compara con los

valores admisibles para estructuras de acero.

F&er-a #ortante$ 9ara mantener el equilibrio sobre el segmento de la

viga, se debe incluir la uera ?, que act/a perpendicular al e'e se

denomina uera cortante. -a uera cortante es igual a la suma de todas

las ueras verticales que act/an en la porción aislada ubicada en el lado

iquierdo.

Momento .e#tor$ &sí como la uera cortante equilibra las ueras

verticales, tambi%n se debe establecer un equilibrio en los momentos

asta la sección evaluada de las ueras aplicadas sobre la viga en el

segmento analiado. Este momento interno se denomina momentoector la magnitud es igual a la suma de los momentos sobre la

sección de corte, producidos por las ueras aplicadas en la porción de la

iquierda.

MARCO TEÓRICO

@




El ingeniero ranc%s Claperon en =@AB enunció por primera ve la

ecuación undamental de los tres momentos. -a ecuación de los tres

momentos es aplicable a tres puntos cualquiera de un viga, siempre que

no aa discontinuidades, tales como articulaciones, en esa parte de la

estructuraD. Entonces, este m%todo sirve para allar los momentos enlos apoos de una viga iperestática, o en puntos característicos o

notables de la viga. &l aplicar la ecuación undamental de los tres

momentos, a tres puntos de apoo consecutivos i, ', , los t%rminos del

corrimiento del segundo miembro de la ecuación serán nulos o iguales a

movimientos conocidos de los puntos de apooB obteniendo de esta

manera una ecuación que contiene, como /nicas incógnitas, a los

momentos en los apoos. Esto signifca, que podemos escribir una

ecuación en orma independiente, para tres puntos de apooconsecutivos en una viga continua. *e esta manera, se llega a un

sistema compatible nD ecuaciones independientes con nD incógnitas

que son los movimientos en los apoos, los cuales se allan resolviendo

el sistema. Cuando en una estructura continua, tenemos un apoo

e$tremo empotrado, la orma de salvarlo lo veremos en los e'ercicios de

aplicación.

CONCE/TUALI0ACIÓN /RECEDENTE 1VIGAS CONTINUAS)

+iempre, antes de enrentar el análisis de alg/n m%todo es

recomendable valerse de los signifcados de los t%rminos que se usarán.

En la tesis de la investigación, se encontró que el "%todo de los 8res

"omentos, no es el /nico que da soluciones a los problemas de cálculo

en vigas continuas. +in embargo, el

problema gen%rico parte de

condición estática de la viga.Una +i%a #ontin&a puede defnirse

como una estructura iperestática

ormada por varias pieas rectas

alineadas, unidas entre si por nudos

rígidos apoados, determinándose

F

Recordando que una estructurahiperestática es aquella quenecesita más elementos de losnecesarios para mantenerse

estable; la supresión de uno de ellosno conduce al colapso, peromodifca sus condiciones de

uncionamiento estático. Tambiénllamada estructura estáticamenteindeterminada. Y que estascondiciones se reejan en el cálculo,




vano, o tramo, al segmento comprendido entre dos apoos sucesivos de

la viga. Esta tipología es apreciable en la fgura .En el estudio de las vigas continuas sólo consideramos la acción de

ueras verticales de momentos, con lo que las reacciones en los

apoos tambi%n serán verticales. *e actuar alguna uera oriontal,como, por e'emplo, de renado en puentes de carretera o de errocarril,

supondremos

que uno de los

apoos es f'o ,

por tanto, que

soporta to(a"

a" a##ione"

2ori-ontae"3Con esta disposición de los apoos, los cambios t%rmicos uniormes a

trav%s del espesor de las pieas no producen ning/n tipo de esuero.Como la viga sobre dos apoos simples es un sistema isostático, en una

viga de más de un tramo cada apoo intermedio introduce un vínculo

redundante , en general, una viga continua sobre n apoos, constitue

un sistema nG2 veces iperestático. 9or tanto, en la resolución de una

viga continua pueden tomarse como incógnitas iperestáticas las

reacciones de los apoos intermedios.

Como alternativa a dierentes m%todos para resolver vigas continuas seeliminan los enlaces entre los diversos tramos se eligen como

incógnitas iperestáticas los momentos ectores sobre los apoos

intermedios. Eso equivale a suprimir la continuidad de los tramos

considerar la viga como una sucesión de vigas biapoadas isostáticas

que interaccionan entre sí a trav%s de momentos de e$tremidad de valor

desconocido al momento del cálculo.

LOS TRES MOMENTOS

Este m%todo toma como incógnitas iperestáticas los momentos

ectores0 "2, ":, "mG que act/an en las secciones transversales

correspondientes a los mG2 apoos intermedios.

"%todo de cálculo0 se sustitue la viga continua por mG vigas

isostáticas equivalentes, simplemente apoadas, en cuos e$tremos se

A

Fi%&ra 4 Vi%a #ontin&a3 +e observa que losnudos intermedios son rígidos, lo cual implica lacontinuidad de los giros los momentos




sit/an las ligaduras internas con los tramos contiguos de los que las

emos liberado, es decir, las resultantes los momentos resultantes de

las cargas que quedan a un lado de dicos e$tremos.0 12, "2, 1:, ":,

*es

arrollemos pues a continuación estas ecuaciones de deormación para

ello tomemos dos vigas isostáticas equivalentes, correspondientes a dos

tramos consecutivos n nH de la viga continua0

=




Calculemos a continuación cada uno de estos valores0

<




I




La ecuación se irá aplicando cada tres apoyos sucesivos de la viga

continua.

2




ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS

En el diseJo de elementos mecánicos se cuenta con pieas elementos

que se pueden analiar como vigas que tienen más de dos apoos, entre

estos se pueden mencionar las tuberías, algunas armaduras algunos

marcos. -a determinación de las reacciones en los apoos no se pueden

establecer mediante la estática, por lo que se denominan iperestáticos,

como a se mencionó, se recurre a la mecánica de materiales para su

análisis.

uscando determinar la ecuación que se utiliará para el desarrollo del

m%todo, se toma en cuenta que se tiene una viga continua infnita con

dierentes tipos de cargas en cada uno delos e$tremos se toma de la misma, en el ipot%tico caso, dos tramos,

los cuales tienen

longitud - -2,como se observa

en la fgura 2.

1igura 2

+eparación de dos tramos de una viga continua infnita desarrollo de

los diagramas de cortante *1? *1".

:




+eparando por tramos la viga aciendo la similitud estática de las

cargas en las secciones de corte, construimos los diagramas de cortante

momento, seJalando las áreas centroides de las fguras compuestas

en lasiguiente

orma0&l dividir la

estructura

por tramos,

es decir,

entre cada

apoo, un

corte, se

generan

momentos

compensados de signos contrarios. -os ángulos de giro son seJalados

con relación a la pendiente de la deormación, en la división de los

tramos. &l realiar el corte sobre los e$tremos infnitos, se generanmomentos que tambi%n son seJalados sobre ambos tramos.En estas raones se puede establecer0

+i se toma por separado cada uno de estos tramos

se observa que las cargas e$ternas producen un

diagrama de momentos pero tambi%n aparecen

momentos iperestáticos al separar cada tramo de la viga. -os dos

tramos tienen un punto com/n en el cuál se ubica el apoo 6o. 2, en

cual se sabe que θ=0 .

El ángulo que se genera en este punto debe ser igual a cero. 8ambi%n se

observa que cada uno de los tramos es aectado por las cargas los

>




momentos. 8omando en consideración el teorema de área momentos, la

contribución de las cargas e$ternas del tramo a θ2

' es la siguiente0

θ2

' =

A1a1

ElL1

9odemos e$presar el ángulo θ2

'

como una contribución de los

momentos iperestáticos

En el tramo dos, igualmente está e$presado como sigue0

4gualando con la ecuación determinada antes donde θ2

' =θ2

' '

, tenemos0

*onde0

M45 M65 M7 0 "omento ectores en los apoos , 2 :.

L45 L6 $ -ongitudes de los tramos 2.

A45 A6 0 Krea del diagrama de "omentos 1lectores de las

Cargas sobre los tramos 2.

a4 0 *istancia del centro del diagrama de "omentos 1lectores

del tramo al apoo .

86 0 *istancia del centro del diagrama de "omentos 1lectores

del tramo 2 al apoo :.

Consideraciones del m%todo+i se va a traba'ar con más de dos tramos, deben escribirse una

ecuación de 8res "omentos por cada par de tramos consecutivos.

@




Tramo 496$

"- H 2"2(- H -2) H ":-2 H (F&a)L- H (F&2b2)L-2 M I

Tramo 697$

"2-2 H 2":(-2 H -:) H ">-: H (F&2a2)L-2 H (F&:b:)L-: M I

Tramo 79:$":-: H 2">(-: H ->) H "@-> H (F&:a:)L-: H (F&>b>)L-> M I

+i tenemos un apoo simple, el momento en dico e$tremo será igual a

cero. +i tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuaciónadicional de 8res "omentos, creando un tramo virtual en el que todos los

valores sean iguales a cero. +i tenemos un voladio, el momento en tal

e$tremo seguirá valiendo cero.

EL MÉTODO /OR /ASOS

Separar la viga en tramos tomándolos de dos en dos.

Superponer las cargas en cada tramo sin violar los principios de

la estática. Calculando y ubicando las reacciones de los apoyos.

Construir diagrama de cortante y momento fector, calculando y

ubicando áreas y sus respectivos centroides.

Aplicar la ecuación de los Tres Momentos en los tramos, de dos

en dos. Obteniendo un sistema de ecuación de dos ecuaciones y

dos incógnitas por cada tramo. Sustituir y resolver.

F




Considerando las condiciones de borde, donde los momentos

son cero.

Con el valor de los momentos calculados, sustituir en las

ecuaciones de uera, calculando las ueras en los tramos con

los valores encontrados para obtener las reacciones reales delos apoyos. !Opcional"

Construir el diagrama de momento y cortante total de la

estructura !Opcional"

#ste m$todo ue idealiado por%

Benoit /a& Émie Cape;ron (2F de ebrero, A<< G 2= de enero,

=F>) ue un ingeniero ísico ranc%s, padre

(entre otros) de la teoría termodinámica. 6acido

en 9arís, Claperon estudió en la Ncole

poltecnique la Ncole des "ines, antes de

mudarse a +an 9etesburgo en =2I para enseJar

en la Ncole des 8ravau$ 9ublics. 8ras la !evolución

de =:I volvió a 9arís, donde supervisó la

construcción de la primera vía de errocarril de

1rancia, que comunicaba 9arís con ?ersalles +aintGOermainGenG-ae.

EJERCICIOS DE A/LICACIÓN

A




4)

Construendo el esquema de análisis del problema0

En el siguiente paso construimos el diagrama de cortante momento,

superponiendo las cargas dividiendo la estructura en tramos. El primer tramo

contiene la carga puntal de la primera columna de contención con su

magnitud respectiva. El segundo tramo asume el peso del camión como carga

=

Encuentre los momentos iperestáticos en la estructura de supervisión deequilibrio para camiones que se muestra en la fgura articulado en , simplemente apoado en 2, : >. Considere el peso de las columnas decontención de acero galvaniado como cargas puntuales en las distanciasc%ntricas correspondientes. &suma el peso del camión como carga

I6 I6 >6Lm2I6

2m

>m

Fm

20KN




distribuida entre el punto 2 :. El tercer tramo asume el peso de dos columnas

en cargas puntualmente aplicadas conclue con una articulación.

DIAGRAMAS DE ESFUER0O CORTANTE < MOMENTO FLECTOR DE

LA ESTRUCTURA

&naliando el primer tramo de a 2, se construe nuestra primera ecuación0

&naliando el segundo tramo de 2 a :, se construe la segunda ecuación0

<

20KN




Con el valor de los momentos calculados, sustituimos en las ecuaciones de uera,

calculando las ueras en los tramos con los valores encontrados para obtener las

reacciones reales de los apoos.

2I




Construendo el diagrama de momento total con las reacciones totales a

calculadas.

2

20KN




6)

22

En la siguiente viga vamos a analiar los momentos que se generanen los apoos, mediante el m%todo de los tres momentos.




2:




7)

2>

*eterminar los momentos iperestáticos que se generan en los apoos,usar la ecuación de los tres momentos realiar los diagramas




2@




CONCLUSIONES

En la parte fnal de la investigación se alinean los aspectos

generales del tema de vigas continuas la oerta de solución que

brinda el m%todo matemático, para problemas de aplicación en

ingeniería. +e resumirá brevemente en conclusiones puntuales los

conocimientos concretos adquiridos, con'untamente, al análisis

del mismo con respecto a los sistemas de cálculo de momentos

ectores, conocidos previamente.

Comprendiendo el m%todo, podríamos decir, que se trata de una

ecuación que relaciona a las vigas los momentos sobre losapoos con un comportamiento matemático creciente, que a su

ve no es limitado por la orma iperestática de la estructura.

!esulta benefcioso un m%todo que nos proporcione soluciones en

problemas de vigas indeterminadas, o continuas, como suele

suceder en la ingeniería. 9or lo regular en grandes estructuras del

campo de estudio mecánico la propia construcción civil, un

m%todo que e$prese el comportamiento conteniendo a las cargas

los momentos, relacionándose al mismo tiempo con losdiagramas que ree'an los esueros de corte má$imos , los

momentos ectores, le agrega fdelidad a los resultados.

Eso es lo que difere con respecto a los demás m%todos. El

teorema de los tres momentos, a'usta por tramos de ecuaciones

conocidas a los esquemas de análisis que contienen la situación

de la estructura de estudio. Cada paso es fdedigno no requiere

de cálculos avanados de derivadas o integraciones m/ltiples. El

comportamiento es creciente, una unción relacionada a la

e$pansión de una línea, donde por lo conocido en resistencia de

materiales, el momento aectado sobre una viga guarda relación

con su centroide, su área de sección la distancia desde el punto

de reerencia.

2F




Es menester reconocer, que en el intento de presentar un e'ercicio

de aplicación donde se demostrase la utilidad de la ecuación de

los tres momentos idealiada por Claperon, nos dirigimos al caso

práctico de un puente, con ciertas condiciones de carga sobre la

plataorma. El problema le'anamente puede ser considerado comocomplicado. Pemos querido presentarlo de esa orma, para darle

la versatilidad al campo real de los problemas ingenieriles ligado

a la continuidad la indeterminación de las vigas de análisis.

En comparación con otros m%todos conocidos, para la resolución

de cargas vigas determinadas, aunque no est% al mismo nivel de

cálculo, el asunto indeterminado se corrige con una ecuación que

no trasciende ronteras algebraicas. -as unciones están

ordenadas en grados con respecto a los sistemas que dan solución

no más de dos sustituciones. Eso, sencillamente es /til

aprovecable.-os mismos m%todos para determinar la deormación de las vigas

son válidos para la resolución de vigas iperestáticas, a que las

ecuaciones adicionales para acer un sistema matemáticamente

determinado son tomadas de la elástica de la viga.

Cuando e$ista un empotramiento en el e$tremo de una viga

continua, para aplicar el teorema de los tres momentos se aJade

un tramo fcticio sin carga sin longitud en ese e$tremo, de

manera que pueda plantearse una nueva ecuación para resolver

ese momento de empotramiento.

2A




BIBLIOGRAF=A

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