Ingeniera civil

Teora y ejercicios resueltos de Lmites y asntotas

INTRODUCCIONEn el actual trabajo vamos a poder encontrar todo lo referente a los lmites a los infinitos, infinitos fundamentales, infinitos equivalentes estos son algunos de los ms importantes de los infinitos.Asimismo podremos observar las demostraciones de cada uno de estos trminos, as como tambin sus teoremas.

De igual manera estn las asntotas horizontales, verticales y oblicuas con sus ejemplos y grficas.

De la misma manera se encuentran los ejemplos de todos y cada uno de los lmites, desde el lmite infinito hasta el equivalente, estos son los limites ms usuales y de esta manera vamos a poder encontrar sus ejemplos y su definicin para poder utilizar esta informacin en distintas maneras.INDICE1.-LMITES INFINITOS

1.1CRECIMIENTO INFINITO:

1.2 DECRECIMIENTO INFINITO:1.2.1TEOREMAS

1.2.2 CASOS

2.- LMITES AL INFINITO

2.1.- TEOREMA. PROPIEDADES DE LOS LMITES AL INFINITO

2.2.- APLICACIONES DEL TEOREMA

3.- LMITES INFINITOS, ASNTOTAS VERTICALES: 4.- LMITES EN EL INFINITO, ASNTOTAS HORIZONTALES: 5.- LMITES EN EL INFINITO, ASNTOTAS OBLICUAS: CUANDO AL TENDER LA VARIABLE A MS O MENOS

6.- APLIACIONES DE LMITES1.-Lmites infinitos

Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin lmite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado.

1.1Crecimiento infinito:

1.2 Decrecimiento infinito:

1.2.1TEOREMAS

Teorema de lmite 1:

Teorema de lmite 2:

Teorema de lmite 3:

Teorema de lmite 4:

Teorema de lmite 5:

1.2.2 CASOS

Caso 1:

limx->af(x) = +inf para todo A > 0 existe > 0 / para todo x perteneciente al E*a, f(x) > A.

El lmite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier nmero positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un nmero tal que, para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio se cumple que f(x) es mayor que A.

En otras palabras, si para cualquier nmero positivo A que consideremos, existe un entorno reducido de a donde la funcin vale ms que A, quiere decir que f(x) puede hacerse mayor que cualquier nmero, con tal de que x se acerque lo suficiente a . Por eso se dice que el lmite de f(x) cuando x tiende a es +inf.

Caso 2:

limx->af(x) = -inf para todo A > 0 existe > 0 / para todo x perteneciente al E*a, f(x) < -A.

Caso 3:

limx->+inff(x) = +inf para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) > A.

Para cualquier nmero positivo A (por grande que sea), es posible encontrar un nmero positivo B tal que para todos los x mayores que B, f(x) es mayor que A. Es decir que f(x) puede ser mayor que cualquier nmero, si x es lo suficientemente grande.

Caso 4

limx->+inff(x) = -inf para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) < -A.

Caso 5:

limx->-inff(x) = +inf para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) > A.

Caso 6:

limx->-inff(x) = -inf para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) < -A.

Caso 7:

limx->+inff(x) = b para todo > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) pertenece al Eb,.

Caso 8:

limx->-inff(x) = b para todo > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) pertenece al Eb,.

Ejercicios resueltos En los siguientes ejercicios, determine el lmite infinito.

S o l u c i o n e s1. Solucin:

2. Solucin:

3. Solucin:

4. Solucin:

2.- Lmites al Infinito

En lo que sigue vamos a estudiar los lmites al infinito para diversas funciones.

Aqu consideraremos un problema diferente al considerado en captulos anteriores. En ellos nos hemos preguntado qu pasa con f(x) cuando x se aproxima a un valor determinado c. Aqu nos preguntaremos qu pasa con f(x) cuando x crece ilimitadamente (x crece sin cota) o cuando decrece ilimitadamente (decrece sin cota). Estos son los lmites al infinito.

Ejemplo 1. Crecimiento ilimitado de x.

Sea , nos preguntamos:

a) Qu sucede con f(x) si hacemos crecer a x ilimitadamente? b) Qu sucede con f(x) si hacemos decrecer a x ilimitadamente? (esto es, si tomamos valores negativos de x cada vez "ms abajo")

Solucin: La grfica de la funcin indica que a medida que x crece o decrece ilimitadamente, los valores de f(x) se acercan arbitrariamente a 2.

a) Construyamos una tabla de valores que nos refuerza lo que vemos en la grfica: Tabla 1Hacia

x10100100010000100000

f(x)3,1252,0918362,0090182,00092,00009

Hacia 2

Con la tabla 1 comprobamos que a medida que los valores de x crecen sin cota, los valores de f(x) se aproximan a 2.

La expresin "x crece sin cota" se simboliza con y se dice que x tiende a infinito. Toda la situacin anterior se escribe simblicamente como

b) Para comprobar la respuesta tambin construiremos una tabla de valores. Tabla 2Hacia

x-10-100-1000-10000-100000

f(x)1,251,9117641,9910171,99911,99991

Hacia 2

Nuevamente, a partir de la tabla 2 vemos que a medida que los valores de x decrecen sin cota, los valores de f(x) se aproximan a 2.

La expresin "x decrece sin cota" se simboliza con y se dice que x tiende a menos infinito. La situacin anterior se escribe simblicamente como:

Podemos dar una definicin informal para estas situaciones. Definicin. Lmites al infinito

a. Decimos que el lmite cuando x tiende a infinito de f(x) es igual a L si a medida que hacemos crecer x ilimitadamente entonces los valores de f(x) se aproximan a L. Simblicamente

(Esto se lee: el lmite de f(x) cuando x tiende a infinito es L).

b. Decimos que el lmite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es igual a M si a medida que hacemos decrecer x ilimitadamente entonces los valores de f(x) se aproximan a M. Simblicamente

(Esto se lee: el lmite de f(x) cuando x tiende a menos infinito es M).

2.1.- Teorema. Propiedades de los lmites al infinito

1. Si k es una constante entonces y 2. Si n es un nmero natural par entonces y 3. Si n es un nmero natural impar entonces y 4. Si m es un nmero natural par entonces 5. Si m es un nmero natural impar entonces y 6. Si k es un nmero racional positivo y r es un nmero real arbitrario entonces y siempre que xk est definido.

2.2.- Aplicaciones del Teorema

Ejemplo 2. , por el punto 1 del teorema anterior tomando k = 439.

y , por el punto 2 del teorema, tomando n=2 (par).

y , por el punto 3 del teorema, tomando n=5 (impar).

, por el punto 4 del teorema, tomando m=2 (par).

y , por el punto 5 del teorema, tomando m=3 (impar).

y , por el punto 6 del teorema, tomando r = 42 y k = 4.

Estrategia para determinar lmites de funciones racionales

1. Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, entonces el lmite de la funcin racional es 0.

2. Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, entonces el lmite de la funcin racional es el cociente de los coeficientes dominantes.

3. Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, entonces el lmite de la funcin no existe, por lo que es .

Ejemplo 3. Un mtodo para calcular ciertos lmites al infinito. Calcular Solucin: Tenemos

Calcular .

Solucin: Usualmente, con el fin de utilizar las propiedades anteriores, se procede en estos casos del siguiente modo:

Observe que lo que se hizo fue factorizar la expresin "sacando" el trmino de mayor exponente, por esta razn dentro del parntesis quedan fracciones en las que aparece la variable en el denominador. El objetivo que se persigue con esto es muy claro: estas fracciones que acabamos de mencionar tienden a 0 y, por lo tanto, el lmite solo va a depender del trmino de mayor exponente. Entonces,

(Por qu?)

El procedimiento que acabamos de utilizar en el ejemplo anterior se usa en el clculo de muchos de los lmites al infinito.

Calcular Solucin: Procedemos del siguiente modo:

4. Evaluar los siguientes lmites:

a.

b.

Solucin

a. Al dividir numerador y denominador por (mayor potencia de x), se obtiene:

b. Ntese que como la funcin es una funcin par, esto es, significa esto entonces que el comportamiento de f para valores grandes de x positivos y para valores grandes de x negativos, es el mismo. As que,

3.- Lmites infinitos, asntotas verticales: se dice que una funcin tiene lmite infinito cuando , en trminos de definicin de lmite , se dice que la funcin explota. La recta es una asntota vertical para la funcin.

De igual modo pueden ocurrir uno de los siguientes casos:

, en este caso explota por la izquierda del punto.

, en este caso explota por la derecha del punto.

, en este caso explota por ambos lados y en el mismo sentido.

, en este caso explota por ambos lados pero mientras por un lado lo hace en un sentido por el otro lo hace en sentido opuesto.

La recta x=a es asntota vertical (AV) de f(x) si limx->a+ f(x) = inf o limx->a- f(x) = inf.

4.- Lmites en el infinito, asntotas horizontales: cuando al tender la variable a ms o menos infinito las imgenes se mantienen en un entorno de un valor finito, as , y de igual modo . En ambos casos la recta es una asntota horizontal para la funcin.

La recta y=b es asntota horizontal (AH) de f(x) si limx->inf f(x) = b.

Ejemplo

f(x) = x/(x-1)

limx->1+ f(x) = +inflimx->1- f(x) = -inf

=> x=1 es AV de f(x)

limx->inf f(x) = 1

=> y=1 es AH de f(x)

5.- Lmites en el infinito, asntotas oblicuas: cuando al tender la variable a ms o menos infinito las imgenes de se mantienen en un entorno de un valor finito, as , y de igual modo . En ambos casos hay una asntota oblicua para la funcin de pendiente L y ordenada en el origen , es decir, de ecuacin .

Asntota oblicua

La recta y = mx + n es asntota oblicua (AO) de f(x) si limx->inf f(x) - (mx + n) = 0.

Ejemplo

f(x) = x + 1/x

limx->inf f(x) - x = limx->inf x + 1/x - x = 0

=> y=x es AO de f(x)

Adems,limx->0+ f(x) = +inflimx->0- f(x) = -inf=> x=0 es AV de f(x)

Teorema

y = mx + n es asntota oblicua de f(x) n = limx->inf f(x) - mxm = limx->inf f(x)/x

Demostracin:Directo:

Por hiptesis lim f(x) - (mx + n) = 0

x->inf

=> lim f(x) - mx - n = 0

x->inf

=> lim f(x) - mx = n

x->inf

n

---^---

f(x) f(x) f(x) - mx

=> lim ---- = lim ---- - m + m = lim --------- + m = m

x->inf x x->inf x x->inf x

Recproco:

lim f(x) - (mx + n) = lim f(x) - mx - n = 0

x->inf x->inf

=> Por definicin y = mx + n es asntota oblicua de f(x).

Resumen del comportamiento asinttico: Hay asntotas verticales cuando:

Dado un valor de x concreto, x0:

, y uno de los dos no es finito.La recta de ecuacin es una asntota vertical.

Hay asntotas horizontales cuando:

La ecuacin de la asntota horizontal ser , y si L1 = 0, entonces es el eje de abscisas.

La ecuacin de la asntota horizontal ser , y si L2 = 0, entonces es el eje de abscisas.

, en este caso habra una nica asntota horizontal comn a toda la grfica .

Hay asntotas oblicuas cuando: , en cuyo caso:

La ecuacin de la asntota ser:

Un modo sencillo para su clculo en funciones racionales es: Hacemos la divisin de la fraccin y el cociente es la frmula de la asntota.

Ejemplo:

Esquemticamente: (Para funciones racionales)

a) Una funcin tiene tantas asntotas verticales como races reales distintas tenga el denominador y que no pertenezcan al numerador.b) Una funcin tiene una asntota horizontal si el grado del numerador es menor o igual que el del denominador.c) Una funcin tiene una asntota oblicua si el grado del numerador es uno ms que el del denominador.Problema.Se proyecta que dentro de t aos, la poblacin de cierto pueblo ser p(t)miles de personas. Qu se espera que suceda con la poblacin a medida que el tiempo transcurre indefinidamente? Solucin.Para determinar el comportamiento de la funcin cuando el tiempo transcurre indefinidamente se debe calcular el lmite.Cuando t+, tambin t +1+y, por lo tanto,0.En consecuencia20. Esto expresa que a medida que el tiempo transcurre, la poblacin tiende a estabilizarse en 20 000 personas.BIBLIOGRAFIAhttp://blog.pucp.edu.pe/media/582/20130520-limites_infinitos.pdfhttp://www.slideshare.net/maurosc222/limites-al-infinito-comparacin-de-infinitosSOLUCIONARIO DEMIDOVICH ANALISIS MATEMATICO Ihttp://www.vadenumeros.es/primero/asintotas-verticales.htm

Definiciones y conceptos.Pgina.- 19

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