Trabajo de Caminos - Curvas Verticales

ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

PRESENTANCIONEn esta oportunidad nos enfocamos a otra consideración del diseño geométrico en planta y perfil, me refiero a las CURVAS VERTICALES.

La función de las curvas verticales consiste en reconciliar las tangentes verticales de las gradientes. Las curvas parabólicas se usan casi exclusivamente para conectar tangentes verticales por la forma conveniente en que pueden calcularse las ordenadas verticales.

Por otra parte las curvas verticales, se dividen en SIMETRICA y ASIMETRICA según LONGITUD VERTICAL; CONCAVAS Y CONVEXAS de acuerdo a la pendiente de entrada y salida.

Esperamos que dicho trabajo sea de lo más fructífero para su investigación y desarrollo intelectual.

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DEDICATORIADedicamos este trabajo a Dios y a nuestros padres

que siempre nos apoyan en todo momento,

para poder alcanzar nuestros objetivos

y superar las adversadas.

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INDICEPág.

CURVAS VERTICALES.......................................................................... 5

GEOMETRIA DE LAS CURVAS VERTICALES.......................................... 6

CURVAS VERTICALES SIMETRICAS...................................................... 6

ELEMENTOS DE UNA CURVA VERTICAL SIMETRICA........................... 7

CURVAS VERTICAL SIMETRICA PUNTO MAXIMO................................ 12

CURVAS EN CRESTA O ENCIMA.......................................................... 14

CURVAS EN COLUMPIO...................................................................... 16

CURVAS VERTICALES ASIMETRICAS.................................................... 18

CURVAS VERTICALES ASIMETRICAS PUNTO MAXIMO........................ 20

COEFICIENTE ANGULAR DE UNA CURVA VERTICAL............................ 21

LONGITUD VERTICAL.......................................................................... 23

BIBLIOGRAFIA..................................................................................... 26

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CURVAS VERTICALES

Las curvas verticales son las que enlazan dos tangentes consecutivas del alineamiento vertical, para que en su longitud se efectúe el paso gradual de la pendiente de la tangente de entrada a la de la tangente de salida. Deben dar por resultado una vía de operación segura y confortable, apariencia agradable y con características de drenaje adecuadas. El punto común de una tangente y una curva vertical en el origen de ésta, se representa como PCV y como PTV el punto común de la tangente y la curva al final de ésta. Al punto de intersección de dos tangentes consecutivas se le denomina PIV, y a la diferencia algebraica de pendientes en ese punto se le representa por la letra A.

Para una operación segura de los vehículos al circular sobre curvas verticales, especialmente si son convexas, deben obtenerse distancias de visibilidad adecuadas, como mínimo iguales a la de parada.

Debido a los efectos dinámicos, para que exista comodidad es necesario que la variación de pendiente sea gradual, situación que resulta más crítica en las curvas cóncavas, por actuar las fuerzas de gravedad y centrífuga en la misma dirección.

Debe también tenerse en cuenta el aspecto estético, puesto que las curvas demasiado cortas pueden llegar a dar la sensación de quiebre repentino, hecho que produce cierta incomodidad. Se ha comprobado que la curva que mejor se ajusta a estas condiciones es la parábola de eje vertical.

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GEOMETRIA DE LAS CURVAS VERTICALES PARABOLICAS

CURVAS VERTICALES SIMETRICAS

Las curvas verticales son diseñadas como parábolas, su longitud se deriva de varios factores, como son: distancia de visibilidad de parada, distancia de visibilidad de rebase, comodidad del usuario, etc. Estas distancias dependen de la pendiente de entrada, la pendiente de salida y si la curva es cóncava o convexa. Se efectúan todos los controles y se aplica la longitud que salga mayor. Por supuesto, si el terreno obliga a una longitud mayor, se coloca la longitud que se adapte mejor a éste, siempre y cuando sea mayor que la de los controles mencionados con anterioridad.

Cabe destacar que, la parábola es la curva en la cual la razón de variación de su pendiente es una constante, y segunda; en proyección horizontal, el punto de intersección de las tangentes está a media distancia entre las proyecciones de los puntos de tangencia), las siguientes propiedades son de importancia al calcular los elementos de la parábola:

1. En una parábola de eje vertical, los elementos verticales entre la tangente y la curva son proporcionales a los cuadrados de las proyecciones horizontales de los elementos de tangente comprendidos entre el punto de tangencia y el elemento vertical.

2. En una parábola de eje vertical, el coeficiente angular (pendiente) de la recta que une dos puntos de la curva es el promedio de los coeficientes angulares de las tangentes en esos puntos.

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ELEMENTOS DE UNA CURVA VERTICAL SIMETRICA

Los principales elementos que caracterizan a esta parábola son:

ELEMENTO DESCRIPCION

A = PIVPunto de intersección vertical. Es el punto donde se interceptan las dos tangentes verticales.

B = PCV Principio de curva vertical. Donde empieza la curva.

C = PTVPrincipio de tangente vertical. Donde termina la curva.

BC = LvLongitud de la curva vertical, medida en proyección horizontal.

VA = EvExterna vertical. Es la distancia vertical del PIV a la curva.

VD = f Flecha vertical.P(x1,y1) Punto sobre la curva de coordenadas (x1,x2).

Q(x1,y1)Punto sobre la tangente de coordenadas (x1,x2), situado sobre la misma vertical de P.

QP = yCorrección de pendiente. Desviación vertical respecto a la tangente de un punto de la curva P. Valor a calcular.

BE = xDistancia horizontal entre el PCV y el punto P de la curva.

α Angulo de pendiente de la tangente de entrada.β Angulo de pendiente de la tangente de salida.

ΨAngulo entre las dos tangentes. Angulo de deflexión vertical.

m = tan α Pendiente de la tangente de entrada.n = tan β Pendiente de la tangente de salida.I = tan Ψ Diferencia algebraica entre las pendientes de la

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tangente de entrada y salida.

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Se tiene entonces una parábola de eje vertical coincidiendo con el eje Y y el vértice V en el origen (0,0), según el sistema de coordenadas X versus Y. La ecuación general para esta parábola es:

y=k x2

La ecuación de la tangente de entrada, dados su pendiente m y un punto B, es:

y− y3=m(x− Lv2 ) , donde,

m=dydx

, evaluada en el punto B,

m=2kx=2k ( Lv2 )=kLvPara la parábola en el punto B se tiene:

y 3=k ( Lv2 )= k Lv2

4

Reemplazando y3 y m en la ecuación de la tangente y evaluando para el punto A(0,y4), se tiene:

y 4− k Lv2

4=kLv (0−Lv

2 )=−k Lv2

2y 4=−k Lv2

2+ k Lv

2

4, de donde,

y 4=−k Lv2

4

Obsérvese que los valores absolutos de y3 – y4 son iguales, por lo tanto:

VA = VD

La anterior igualdad es una importante propiedad de la parábola, la cual dice que:

EXTERNA = FLECHA

La ecuación de la tangente también puede darse considerando su pendiente m y el punto Q:

y− y2=m ( x−x 1 )

y− y2=kLv (x−x1 )

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Evaluándola en el punto B:

y 3− y 2=kLv (Lv2 −x 1)Reemplazando y3 y despejando y2, se tiene:

k Lv2

4− y 2= k Lv2

2−k (Lv∗x1 )

y 2=k (Lv∗x 1 )+ k Lv2

4− k Lv2

2

y 2=k (Lv∗x 1 )− k Lv2

4

Y efectuando la diferencia entre y1 y y2 que es la que se quiere calcular, resulta:

y 1− y 2=k x 12−k (Lv∗x 1 )+ k Lv2

4=k ( Lv24 −Lv∗x1+x 12)

y 1− y 2=k x 12−k ( Lv2 −x1)2

= y , pero,

k=4∗y 4Lv2

=4∗VALv2

=4∗EvLv2

Lv2

−x 1=BE=x

y= 4 EvLv2

∗x2

y=Ev ( xLv2 )

2

Esta es la ecuación de la corrección de pendiente en función de la externa Ev, y con origen el punto B o PCV.

También se observa que:

y=∝+β

Para el caso de perfecta simetría, ∝ debe ser igual a β:

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y=∝+∝=2∝, esto es ∝= y2

tan∝=tan y2= tan y

2

Reemplazando los valores de las tangentes :

m≈i2

Regresando a : y=4 Ev

Lv2∗x2, y reordenando,

y=( 2EvLv2 )( 1Lv )∗x2= ABBD ( 1Lv )∗x2, esto es,

y=tanα ( 1Lv )∗x2=m( 1Lv )∗x2= i2 ( 1Lv )∗x2

y=( i2Lv )∗x2

Para que (❑❑ ), se tiene que: y = Ev, entonces,

Ev= Lv∗i8

Ahora considérese el punto P´ sobre la segunda mitad de la curva. Para situarlo desde el punto C o PTV interesa conocer la distancia x´ y la altura y´. Entonces:

y ´= y− y 1− y 2

y=( i2Lv )∗x2 , referido al PCV

y 1=m(x− Lv2 )

y 2=n (x−Lv2 )=m(x− Lv

2 ), pues aquí m = n, entonces,

y ´=( i2Lv )∗x2−2m( x−Lv

2 )

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y ´=( i2Lv )∗x2−i(x− Lv

2 )= i2Lv [ x2−2Lv (x− Lv

2 )]y ´= i

2 Lv(x2−2Lv∗x+Lv2 )= i

2 Lv(Lv2−2 Lv∗x+x2)= i

2Lv(Lv−x )2

Pero Lv−x=x ´, entonces,

y ´=( i2Lv ) ( x ´ )2

Las expresiones de las ecuaciones (4-2) y (4-4) para las correcciones de pendiente y y y´ indican que la primera mitad de la curva se calcula desde el PCV y la segunda desde el PTV respectivamente.

CURVA VERTICAL SIMETRICA PUNTO MAXIMOUn elemento geométrico importante de ubicar en curvas verticales es su punto máximo (el punto más alto de la curva), o su punto mínimo (el punto más bajo de la curva). Así por ejemplo, en la figura 4.5 el punto P representa el punto máximo de una curva vertical convexa.

La cota de P a partir de la cota del PCV es:

Cota P = Cota P’.y , donde,

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Cota P’ = Cota PCV + mx

y=( i2Lv ) x2 , entonces,

Cota P = Cota PCV +mx .( i2Lv ) x2 , pero.

Cota P – Cota PCV =z , esto es,

Z = mx . ( i2Lv ) x2

La expresión anterior es la ecuación de la parábola, la cal define la posición exacta de P. mediante sus coordenadas (x , z) y de cualquier otro punto sobre la curva. La pendiente de

la tangente a cualquier punto de la curva dada por la primera derivada de dzdx

, que para el

punto máximo es igual a cero.

dzdx=

d ⌊mx−( i2 Lv )x2 ⌋dx

=0

m-( i2Lv ) x2=0 . , donde,

x = (mi )LvQuiere decir que para determinar la posición horizontal x o abscisa del punto máximo, referido al PCV, simplemente se multiplica la longitud de la curva Lv por el cociente de dividir a m entre i. esta misma expresión también es válida para el cálculo del punto mínimo de una curva vertical cóncava.

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CURVAS EN CRESTA O EN CIMA:Son las curvas que se asemejan a un segmento superior de una circunferencia. Las curvas en crestas se clasifican en:

TIPO I:

Se consideran curvas verticales tipo I, si la cota del punto de intersección de curva vertical "PIV" se encuentra por encima de la cota del principio de curva vertical "PCV" y de la cota del principio de tangente vertical "PTV" y la curva se abre en la parte inferior de las tangentes.

TIPO II:

Se consideran curvas verticales tipo II, si la cota del punto de intersección de curva vertical "PIV" se encuentra entre la cota del principio de curva vertical "PCV" y la cota del principio de tangente vertical "PTV". Pueden darse dos casos, en el primero las pendientes de las tangentes son positivas y la curva se abre en la parte inferior de las tangentes, de tal manera que la cota del PCV es menor que la cota del PIV y la cota del PIV es menor que la

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cota del PTV (PCV < PIV < PTV o PTV > PIV > PCV); en el segundo caso las pendientes de las tangentes son negativas y la curva se abre en la parte inferior de las tangentes, de tal manera que la cota del PCV es mayor que la cota del PIV y la cota del PIV es mayor que la cota del PTV (PCV > PIV > PTV o PTV < PIV < PC)

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CURVAS EN COLUMPIOSon las curvas que se asemejan a un segmento superior de una circunferencia. Las curvas en crestas se clasifican en

TIPO III:

Se consideran curvas verticales tipo III, si la cota del punto de intersección de curva vertical "PIV" se encuentra por debajo de la cota del principio de curva vertical "PCV" y de la cota del principio de tangente vertical "PTV" y la curva se abre en la parte en la parte superior de las tangentes.

TIPO IV:

Se consideran curvas verticales tipo IV, si la cota del punto de intersección vertical "PIV" se encuentra entre el principio de curva vertical "PCV" y el principio de tangente vertical "PTV". Pueden darse dos casos, en el primero las pendientes de las tangentes son negativas y la curva se abre en la parte superior de las tangentes, de tal manera que la cota del PCV es mayor que la cota del PIV y la cota del PIV es mayor que la cota del PTV

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(PCV > PIV >> PTV o PTV < PIV < PCV); en el segundo caso las pendientes de las tangentes son positivas y la curva se abre en la parte superior de las tangente, de tal manera que la cota del PCV es menor que la cota del PIV y la cota del PIV es menor que la cota del PTV (PCV < PIV < PTV o PTV > PIV > PCV).

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CURVAS VERTICALES ASIMETRICAS

Una curva vertical es asimétrica cuando las proyecciones horizontales de sus tangentes son de distinta longitud. Esta situación se presenta cuando la longitud de curva en una de sus ramas está limitada por algún motivo. La figura que se muestra a continuación, ilustra este caso para una curva vertical cóncava.

De acuerdo con la ecuación (4-1), las correcciones de pendiente para cada rama se calculan como:

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y 1=Ev ( x1L1 )2

y 2=Ev ( x 2L2 )2

Para las cuales la externa Ev, se calcula así:

a+c+Ev=d

Pero, la flecha c es igual a la externa Ev, entonces,

Ev=d−a2

, donde,

d=mL1 , pero,

a=pL1=( a+bL1+L2 )L1 , pero,

a+b=b−e=mL1−nL2 , esto es,

Ev=mL1−(mL1−nL2L1+L2 )L1

2=mL1−(mL1+nL2 )L1

2 (L1+L2 )

Ev=mL12−mL1 L2−mL12+nL1 L22 (L1+L2 )

L1+L2=Lv

Ev=(m+n )L1 L2

2Lv

Pero m+n=i, por lo tanto,

Ev= iL1L22 Lv

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CURVA ASIMETRICA PUNTO MAXIMOComo se vio anteriormente es importante ubicar en curvas verticales su punto máximo o su punto mínimo. Así por ejemplo, en la figura 4.7 el punto P representa el punto mínimo de una curva vertical cóncava asimétrica.

La Cota P es:

Cota =Cota P’ + y , donde,

Cota P’ = Cota PTV . nx

Y= Ev ( XL2 )2

, entonces,

Cota P = Cota PTV – nx + Ev ( XL2 )2

, pero,

Cota PTV – Cota P = z , esto es,

Z =nx . Ev ( XL2 )2

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La expresión anterior es la ecuación de la parábola asimétrica, la cual define la posición exacta de P, mediante sus coordenadas (x , z, y de cualquier otro punto sobre la curva. La pendiente de la tangente a cualquier punto de la curva está dada por la primera derivada dzdx

. Que para el punto mínimo es igual a cero:

dzdx

=d ⌊nx−Ev ( XL2 )

2

⌋

dx=0

n - ( 2EyL22 ) x , de donde,

x= n L22

2Ev

Esta expresión defina la posición horizontal x p abscisa del punto mínimo, referida al PTV, para el caso en que el, punto mínimo se encuentre en la segunda rama de la curva. Si el punto mínimo se encuentra en la primera rama de la curva, la posición horizontal x referida al PCV, se calcula de con la siguiente expresión:

x = mL12

2 Ev

Estas mismas expresiones también son validas para el cálculo del unto máximo de una curva vertical convexa asimétrica.

COEFICIENTE ANGULAR DE UNA CURVA VERTICALEl coeficiente angular Kv de una curva vertical, defina la curvatura de la parábola como una variación de longitud por unidad de pendiente así:

Kv = Lvi

(mts1% )

Si i = 1% →Kv = Lv/1% (mts 1%)

Entonces Kv es la distancia horizontal en metro, necesario para que se efectue un cambio del 1% en la pendiente de la tangente a lo largo de la curva, tal como se ilustra en la figura 4.8.

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Asa si kv es la distancia horizontal para que se produzca un cambio de pendiente del 1% la longitud necesaria para que se produzca un cambio total de pendiente del 1% será la longitud total Lv de la curva, esto es:

Lv = Kv. i

Mediante esta expresión, como se verá más adelante, se puede determinar la longitud mínima de una curva vertical para un coeficiente angular Kv dado, , según los criterios de seguridad, drenaje, comodidad y apariencia, de acuerdo al tipo de vía a proyectarse.

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LONGITUD VERTICALLos factores que afectan la longitud de una curva vertical son, (a) efecto centrifugo (b) visibilidad.

Según (Fonseca Rodrigues, 2010), la condición que se considera optima para la conducción de un vehículo en una curva, corresponde a un movimiento con una componente horizontal de la velocidad constante:

Vx=dxdt

=C

Por lo que la componente horizontal de la aceleración es:

ax=dVxdt

=d2 xd t 2

=0

Para cumplir con lo anterior, normalmente se utiliza una parábola, cuya ecuación general es:

y=K x2

Si llamamos A ala diferencia algebraica entre las pendientes de la tangente de entrada y de salida y L a la longitud de la curva vertical, como fracción de 20 metros:

K= A10 L

; A=P2−P1

La expresión de la parábola:

Y= x2

2 L∗K ;endonde

X: distancia horizontal variable, medida desde el PCV o el PTV en dirección al PIV.

Y: ordenada medida verticalmente, correspondiente a la distancia x, desde la tangente hasta la curva vertical.

L: longitud de la curva vertical.

K: diferencia algebraica de la pendiente, posterior menos la anterior (m2-m1). Este valor se conoce también “el grado cambio de pendiente”.

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Considerando la curva parabólico plana que se muestra en la figura, se puede ser que el eje y pasa por el PVC y el eje x también, formando un sistema de coordenadas de referencia. En la curva se tiene que:

L=Longitud de curva.

P1=pendiente de entrada.

P2= Pendiente de salida.

La razón de cambio de la pendiente de la parábola es contante, por lo que, al segunda derivada Y con respecto a X es una constante:

d2 ydx

=r=constante

Integrando se obtiene la primera derivada o pendiente de la curva expresada por:

dydx

=rx+H

Ahora, cuando x=0, la pendiente es P1 y cuando x=L, la pendiente de la parábola es P2, obteniéndose:

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P1=0+H

P2=rL + H

Sustituyendo 3 en 4 y despejando r se tiene:

r=P2−P1L

Donde:

R= razón de cambio de la pendiente en porcentaje por unidad de longitud

Sustituyendo 5 en 2:

dydx

=(P2−P1 )L∗2

x+P1

Integrando 6 se tiene la altura de la curva y en cualquier punto:

y=(P2−P1 ) x2

L∗2+P1 x+c

Cuando x=0, el valor de y es equivalente a la elevación de PCV, por lo tanto se obtiene lo siguiente:

C=Y*pcv

Quedando la ecuación 7 en su expresión final:

y=Ypcv+P1x+ r2x2

Esta ecuación es la que definió como general para el cálculo de las elevaciones sobre la parábola.

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BIBLIOGRAFIA http://sjnavarro.files.wordpress.com/2008/08/viii-curvas

verticales.pdf

http://nodubitatio.foroactivo.net/t17-curvas-verticales

http://www.buenastareas.com/ensayos/Curvas

Verticales/3050981.html

http://leiscod.atwebpages.com/articulos/curvas_verticales.html

DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS – JAMES CARDENAS GRIALES

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