Trabajo de Estadistica y Probabilidad

2015TRABAJO Nº 4 PROBABILIDAD Y ESTADISTICA-HIDROLOGÍA

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

Integrantes: AGUEDO TORRES ALEXANDER O. AGUEDO TORRES KELIN JH. ALVARON ROBLES ALBERT J. MORALES ALVARADO PIERO J.

Ing. Abelardo Díaz Salas

INFORME Nº 04: ANALISIS ESTADÍSTICO Y PROBABILISTICO

HUARAZ - PERU

GRUPO Nº 05

TRABAJO Nº 4 PROBABILIDAD Y ESTADISTICA-HIDROLOGÍA

INDICEI. INTRODUCCIÓN....................................................................................................................6

II. OBJETIVOS............................................................................................................................7

2.1. OBJETIVO GENERAL......................................................................................................7

2.2. OBJETIVO ESPECÍFICO...................................................................................................7

III. PROBLEMA.......................................................................................................................7

IV. JUSTIFICACIÓN..................................................................................................................7

V. MARCO TEÓRICO..................................................................................................................8

5.1. ELEMENTOS DE HIDROLOGIA ESTADISTICA..................................................................8

5.2. Estadística.....................................................................................................................9

5.2.1. Población..............................................................................................................9

5.2.2. Parámetros de una población...............................................................................9

5.3. Métodos estadísticos....................................................................................................9

5.3.1. RECOPILACION......................................................................................................9

5.3.2. CLASIFICACION...................................................................................................10

5.3.3. Presentación de datos........................................................................................10

5.3.4. Descripción de datos..........................................................................................11

5.4. PROBABILIDAD...........................................................................................................14

5.4.1. Fenómeno aleatorio...........................................................................................15

5.4.2. Espacio muestral.................................................................................................15

5.4.3. Eventos...............................................................................................................15

5.5. Uso de Modelos Probabilísticos..................................................................................15

5.6. Análisis de Frecuencia de Valores Extremos...............................................................17

5.6.1. Posiciones de Trazado........................................................................................19

5.6.2. Ley de Gumbel....................................................................................................20

5.6.3. Distribución Log-Pearson Tipo III........................................................................22

VI. MATERIALES...................................................................................................................22

VII. PROCEDIMIENTO............................................................................................................22

7.1. RECOPILACIÓN DE DATOS DE LAS DESCARGAS MAXIMAS..........................................22

7.2. CLASIFICACIÓN DE DATOS..........................................................................................24

7.2.1. Ordenar los datos en forma descendente..........................................................24

7.2.2. Calcular el rango o la amplitud de la muestra....................................................24

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA - HIDROLOGÍA Página 2


7.2.3. Calcular el número de intervalos de clase..........................................................25

7.2.4. Calcular la amplitud de cada intervalo de clase..................................................25

7.2.5. Calcular los límites de clase de cada intervalo de clase......................................26

7.2.6. Calcular las marcas de clase................................................................................27

7.2.7. Calcular la frecuencia absoluta...........................................................................28

7.2.8. Calcular la frecuencia relativa de cada intervalo de clase...................................29

7.2.9. Calcular la función densidad empírica................................................................30

7.3. PRESENTACIÓN DE DATOS..........................................................................................31

7.3.1. TABLAS................................................................................................................32

7.3.2. GRÁFICOS...........................................................................................................35

VIII. CALCULOS.......................................................................................................................42

IX. DISCUSIÓN.........................................................................¡Error! Marcador no definido.

X. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.............................................................................46

XI. Bibliografía.....................................................................................................................47



INDICE DE TABLASTabla V-1 Presentación de datos................................................................................................10Tabla VII-1 DESCARGAS MÁXIMAS PARON.................................................................................23Tabla VII-2DESCARGAS MÁXIMAS COLCAS.................................................................................23Tabla VII-3 DESCARGAS MÁXIMAS QUITARACSA.......................................................................23Tabla VII-4 Datos en forma descendente PARON.......................................................................24Tabla VII-5 Datos en forma descendente COLCAS......................................................................24Tabla VII-6Datos en forma descendente QUITARACSA..............................................................24Tabla VII-7 Intervalo de datos de las descargas maximas-PARON..............................................26Tabla VII-8Intervalo de datos de las descargas maximas-COLCAS..............................................26Tabla VII-9 8Intervalo de datos de las descargas maximas-QUITARACSA..................................26Tabla VII-10 Marca de clase del intervalo de las descargas maximas de E. PARON....................27Tabla VII-11 Marca de clase del intervalo de las descargas maximas de E. Colcas.....................27Tabla VII-12 Marca de clase del intervalo de las descargas maximas de E. QUITARACSA..........27Tabla VII-13 Frecuencia absoluta de las descargas maximas de E. PARON.................................28Tabla VII-14 Frecuencia absoluta de las descargas maximas de E. COLCAS................................28Tabla VII-15 Frecuencia absoluta de las descargas maximas de E. QUITARACSA.......................28Tabla VII-16 Frecuencia Relativa de las descargas maximas E. PARON......................................29Tabla VII-17 Frecuencia Relativa de las descargas maximas E. COLCAS.....................................29Tabla VII-18 Frecuencia Relativa de las descargas maximas E. QUITARACSA............................29Tabla VII-19 Función Densidad empírica de las descargas maximas E. PARON.........................30Tabla VII-20 Función Densidad empírica de las descargas maximas E. COLCAS........................30Tabla VII-21 Función Densidad empírica de las descargas maximas E. QUITARACSA................30Tabla VII-22 Tabla de frecuencias de la E. PARON......................................................................32Tabla VII-23 Tabla de frecuencias de la E.COLCAS......................................................................33Tabla VII-24 Tabla de frecuencias de la E. QUITARACSA.............................................................34Tabla VIII-1 Periodo de Retorno de las descargas maximas de la E. PARON...............................42Tabla VIII-2 Periodo de Retorno de las descargas maximas de la E. Colcas................................42Tabla VIII-3 Periodo de Retorno de las descargas maximas de la E. QUITARACSA.....................43

INDICE DE ECUACIONES

Ecuación V-1 Coeficiente de asimetría.......................................................................................12Ecuación V-2 Coeficiente de curtosis.........................................................................................13Ecuación V-3 Ecuación de Vente Chow......................................................................................20Ecuación V-4 Ley de Gambel......................................................................................................20Ecuación V-5 Variable reducida..................................................................................................21Ecuación V-6 moda de distribución............................................................................................21Ecuación V-7 parámetro de dispersión......................................................................................21Ecuación VII-1 Rango de la muestra...........................................................................................24Ecuación VII-2 Número de intervalos de clase...........................................................................25Ecuación VII-3 AMPLITUD DE CADA INTERVALO........................................................................25



INDICE DE FIGURASFigura V-1 La asimetría y sus tres estados diferentes................................................................12Figura V-2 tipos de curtosis según la distribución de sus datos..................................................13Figura V-3 Curva Normal............................................................................................................14Figura V-4 registro de caudales máximos mensuales.................................................................18Figura V-5 Caudal máximo de cada año.....................................................................................18Figura V-6 Caudales de mayor a menor.....................................................................................19Figura V-7 Tabla de trazados......................................................................................................19Figura V-8 Modelo de Weibull....................................................................................................20Figura V-9 parámetros en función del tamaño n........................................................................21Figura V-10 Parámetros de la distribución Log-Pearson tipo III..................................................22Figura VII-1 Comparación de AModelos estadisticos E. PARON.................................................35Figura VII-2 Comparación de AModelos estadisticos E. Colcas...................................................36Figura VII-3 Comparación de AModelos estadisticos E. QUITARACSA........................................37Figura VII-4 Frecuencia acumulada de descargas E. PARON.......................................................38Figura VII-5 Frecuencia acumulada de descargas E. Colcas........................................................38Figura VII-6 Frecuencia acumulada de descargas E. QUITARACSA.............................................39Figura VII-7 Histograma de frecuencia absoluta de las descargas maximas E. PARON...............40Figura VII-8 Histograma de frecuencia absoluta de las descargas maximas E. Colcas................40Figura VII-9 Histograma de frecuencia absoluta de las descargas maximas E. QUITARACSA.....41



I. INTRODUCCIÓN

El estudio de frecuencia de caudales máximos es uno de los tópicos más estudiados

dela Hidrología, dada la necesidad de estimar la probabilidad de ocurrencia de crecidas

para el diseño de obras hidráulicas, protección de ciudades, etc.

El enfoque clásico del análisis de frecuencia se basa en el empleo de una serie de datos

observados de manera sistemática en una sección o punto de interés de un río o una

cuenca.

En hidrología y en cualquier otra disciplina, cuando se trabaja con la ley de

probabilidades, es necesario conocer la ley o leyes de probabilidad adecuada o

adecuadas para los datos experimentales (muestras). Para seleccionar el modelo

adecuado existen varios métodos, como por ejemplo la prueba de chi-cuadrado, es

necesario generar valores de la variable aleatoria.

Después de seleccionar el modelo probabilístico adecuado para eventos extremos

(máximos), se cuantifica el evento de diseño (por ejemplo descargas) para un

determinado periodo de retorno. El periodo de retorno de diseño se encuentra de tres

maneras: empírica, asumiendo un nivel de riesgo o mediante el análisis económico.



II. OBJETIVOS

II.1. OBJETIVO GENERAL

Conocer el comportamiento histórico de las descargas mediante modelos estadísticos

II.2. OBJETIVO ESPECÍFICO

Determinar el cuadro de frecuencias de las descargas máximas. Determinar los periodos de retorno de las descargas máximas. Comparar la densidad empírica con los modelos probabilísticos.

III.PROBLEMA

¿Cómo varía las descargas máximas de las estaciones en el tiempo?

IV.JUSTIFICACIÓN

El uso de la estadística y la probabilidad aplicada a la hidrología en este trabajo nos servirán para:

Diseño de estructuras Hidráulicas. Satisfacción de demandas. Diseño y operación de embalses.



V. MARCO TEÓRICO

V.1. ELEMENTOS DE HIDROLOGIA ESTADISTICA

Según (MORAN, 2000) El análisis de la información hidrológica en forma de muestras, a fin de inferir las características con que debe ser esperado en el futuro el fenómeno que se estudia. El avance en el campo de las computadoras y el desarrollo creciente de métodos numéricos han dado una importancia particular al uso de la estadística en todas las ciencias naturales, especialmente en Hidrología.

Existe en muchos la idea de que la estadística es usada sólo cuando no es posible dar una solución exacta a un problema hidrológico. En esta interpretación la solución exacta es una solución determinística' del problema. Sin embargo, se puede demostrar que la solución determinística constituye una solución particular de la solución estadística o probabilística.

En forma general, la mayoría de los problemas hidrológicos se agrupar en tres categorías principales de acuerdo al objetivo principal del proyecto:

a) Diseño de estructuras hidráulicas, siendo necesaria la evaluación y cuantificación de los valores extremos (máximos y mínimos) del escurrimiento superficial.

b) Satisfacción de demandas, siendo necesario evaluar y cuantificar las descargas disponibles en el punto de interés.

c) Diseño y operación de embalses, siendo necesario evaluar y cuantificar la variación del escurrimiento superficial en todas sus características estadísticas, como valores medios, máximos y mínimos.

En cada una de las tres categorías mencionadas se presentan diferentes tipos de problemas, dependiendo la simplicidad o complejidad de la solución del tipo, cantidad y calidad de la información disponible, así como de 1 a magnitud del proyecto. Los casos más comunes que se presen tan en cada una de las tres categorías mencionadas son:

Cuencas con suficiente información hidrológica. Este es el caso más optimista donde se pueden aplicar todo tipo de metodologías existentes.

Cuencas con escasa información hidrológica. En este caso se pueden desarrollar modelos <que relacionen las precipitaciones con las descargas, mediante. el uso de la regresión simple o múltiple, lineal no lineal.



Cuencas sin información hidrológica. Este es el caso más crítico y el más común, el cual puede resolverse mediante un análisis regional.

V.2. Estadística

V.2.1. Población(SALAS, 2010) Es la fuente de observación o de los datos.

V.2.2. Parámetros de una población

(SALAS, 2010) Son magnitudes que caracterizan a la población y cuyo valor no se puede calcular con exactitud, sólo se pueden estimar a través de los estadísticos. Los parámetros dependen básicamente del tipo de distribución de la variable aleatoria que representa a la población, por ejemplo la población de las precipitaciones medias anuales puede ser explicada mediante la distribución normal, cuyos parámetros son la media y la varianza.

V.3. Métodos estadísticos

(SALAS, 2010) Son los métodos que permiten obtener conclusiones acerca de la población a partir de la muestra, o por medio de muestras; la palabra estadística se usa comúnmente en vez de usar métodos estadísticos.

Los métodos estadísticos o la estadística está basado en principios matemáticos que describen el comportamiento de un conjunto de observaciones (muestra) donde se centra la atención en los datos mismos sin considerar las causas que influyeron en el suceso, es decir la estadística es una ciencia de descripción de los resultados y no de causalidad.

Por las consideraciones indicadas a la estadística se define como una técnica que proporciona un conjunto de métodos que permiten recopilar, clasificar y presentar los datos en forma adecuada, a esta parte de la estadística se le denomina como la estadística descriptiva. La otra parte de la estadística que permite tomar decisiones relacionadas a la población a partir de la muestra es la estadística inferencial (estimación de parámetros y prueba de hipótesis).

V.3.1. RECOPILACION

(SALAS, 2010) La recopilación de la información en la hidrología se realiza tomando muestras (datos), dado que no es posible recopilar todos los datos de la población referente a una variable hidrometeorológica. Como se trata de una muestra y se



considera que la recopilación de los datos se efectúa al azar, se dice que el muestreo es aleatorio y por consiguiente a la muestra se denomina muestra aleatoria.

V.3.2. CLASIFICACION

(SALAS, 2010) Para facilitar la interpretación y la evaluación correspondiente, estos datos deben ser clasificados o categorizados o distribuidos en clases, es decir los datos deben ser organizados en clases o grupos. La clasificación se logra ordenando los datos según su magnitud en forma ascendente o descendente y luego se agrupan en clases. Al clasificar los datos, se determina el número de datos en cada clase, dado que cada una de estas clases tienen sus límites (valores) superior e inferior definidos.

V.3.2.1. Procedimiento para obtener las distribuciones de frecuencias

1. Ordenar los datos en forma descendente2. Calcular el rango o la amplitud de la muestra 3. Calcular el número de intervalos de clase4. Calcular la amplitud de cada intervalo de clase5. Calcular los límites de clase de cada intervalo de clase.6. Calcular las marcas de clase7. Calcular la frecuencia absoluta8. Calcular la frecuencia relativa de cada intervalo de clase9. Calcular la función densidad empírica

V.3.3. Presentación de datos(SALAS, 2010) Después de la clasificación de datos, es necesario presentar los resultados en forma de tablas y en forma de gráficos, con la finalidad de facilitar su interpretación y su posterior análisis.

Tabla V-1 Presentación de datos

NUMERO DE INTERVALO DE CLASE K

(1)

INTERVALO DE CLASE

(2)

MARCA DE CLASE

(3)

FRECUENCIA ABSOLUTA

(4)

FRECUENCIA RELATIVA

(5)

FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA

(6)

FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA

(7)

FUNCION DENSIDAD EMPÍRICA

(8)

1

K

TOTAL



V.3.4. Descripción de datos

(SALAS, 2010) La razón fundamental de clasificar los datos en una tabla y graficar las frecuencias es para describir la naturaleza de la distribución de frecuencias, La descripción se realiza mediante los estadísticos o los estadígrafos

1. Estadísticas de posición

2. Medidas muestrales de dispersión

3. Momentos muestrales, medidas de asimetría y curtosis

V.3.4.1. Estadísticas de posición

(SALAS, 2010) Son números que indican la localización del valor medio o valor central de la distribución de frecuencias, estos estadísticos son denominados como medidas de localización o medidas de tendencia central; por tanto las medidas de posición determinan la ubicación del valor central de los datos de una distribución de frecuencias. Los estadísticos de posición comúnmente usados son: media, mediana y moda.

V.3.4.2. Medidas muestrales de dispersión

(SALAS, 2010) Estos estadísticos (números) indican el grado de dispersión o desfases en los datos de la muestra, poca dispersión indica una uniformidad en los valores de la muestra, mientras que alta dispersión indica poca uniformidad en los valores de la muestra. Cuando los valores son muy cercanos al promedio existe uniformidad y cuando los valores de la muestra son muy alejados al promedio se dice que no hay uniformidad, es decir los valores de la muestra son diferentes o dispersos. Los estadísticos de dispersión son: rango, varianza, desviación estándar y coeficiente de variación.

V.3.4.3. Momentos muestrales, medidas de asimetría y curtosis

(SALAS, 2010) Para evaluar el tipo de una curva de una distribución de frecuencias y para comparar las distribuciones es necesario calcular cuatro valores a partir de la muestra:

Promedio que mide la localización del valor central de la distribución de frecuencias.

Desviación estándar que mide el grado de dispersión de las frecuencias con respecto al del valor central.



Coeficiente de asimetría que mide el grado asimetría o la falta de equilibrio de la distribución de frecuencias entre las dos regiones en que queda dividida la curva de la distribución por la ordenada trazada sobre el valor más alto de la distribución de frecuencias (moda).

Coeficiente de curtosis que mide el grado de concentración en los valores centrales de la curva.

V.3.4.3.1. Medida de asimetría

(Wester, s.f) Esta medida nos permite identificar si los datos se distribuyen de forma uniforme alrededor del punto central (Media aritmética). La asimetría presenta tres estados diferentes, cada uno de los cuales define de forma concisa como están distribuidos los datos respecto al eje de asimetría. Se dice que la asimetría es positiva cuando la mayoría de los datos se encuentran por encima del valor de la media aritmética, la curva es Simétrica cuando se distribuyen aproximadamente la misma cantidad de valores en ambos lados de la media y se conoce como asimetría negativa cuando la mayor cantidad de datos se aglomeran en los valores menores que la media.

Figura V-1 La asimetría y sus tres estados diferentes

El Coeficiente de asimetría, se representa mediante la ecuación matemática,

Ecuación V-1 Coeficiente de asimetría



Donde (g) representa el coeficiente de asimetría de Fisher, (Xi) cada uno de los valores, ( ) la media de la muestra y (ni) la frecuencia de cada valor. Los resultados de esta ecuación se interpretan:

(g1 = 0): Se acepta que la distribución es Simétrica, es decir, existe aproximadamente la misma cantidad de valores a los dos lados de la media. Este valor es difícil de conseguir por lo que se tiende a tomar los valores que son cercanos ya sean positivos o negativos (± 0.5).

(g1 > 0): La curva es asimétricamente positiva por lo que los valores se tienden a reunir más en la parte izquierda que en la derecha de la media.

(g1 < 0): La curva es asimétricamente negativa por lo que los valores se tienden a reunir más en la parte derecha de la media.

(Martínez, s.f.) Desde luego entre mayor sea el número (Positivo o Negativo), mayor será la distancia que separa la aglomeración de los valores con respecto a la media.

V.3.4.3.2. Coeficiente de curtosis

(Martínez, s.f.)Esta medida determina el grado de concentración que presentan los valores en la región central de la distribución. Por medio del Coeficiente de Curtosis, podemos identificar si existe una gran concentración de valores (Leptocúrtica), una concentración normal (Mesocúrtica) ó una baja concentración (Platicúrtica).

Figura V-2 tipos de curtosis según la distribución de sus datos

Para calcular el coeficiente de Curtosis se utiliza la ecuación:

Ecuación V-2 Coeficiente de curtosis

Donde (g2) representa el coeficiente de Curtosis, (Xi) cada uno de los valores, ( ) la media de la muestra y (ni) la frecuencia de cada valor. Los resultados de esta fórmula se interpretan:



(g2 = 0) la distribución es Mesocúrtica: Al igual que en la asimetría es bastante difícil encontrar un coeficiente de Curtosis de cero (0), por lo que se suelen aceptar los valores cercanos (± 0.5 aprox.).

(g2 > 0) la distribución es Leptocúrtica (g2 < 0) la distribución es Platicúrtica

Cuando la distribución de los datos cuenta con un coeficiente de asimetría (g1 = ±0.5) y un coeficiente de Curtosis de (g2 = ±0.5), se le denomina Curva Normal. Este criterio es de suma importancia ya que para la mayoría de los procedimientos de la estadística de inferencia se requiere que los datos se distribuyan normalmente. La principal ventaja de la distribución normal radica en el supuesto que el 95% de los valores se encuentra dentro de una distancia de dos desviaciones estándar de la media aritmética; es decir, si tomamos la media y le sumamos dos veces la desviación y después le restamos a la media dos desviaciones, el 95% de los casos se encontraría dentro del rango que compongan estos valores.

Figura V-3 Curva Normal

V.4. PROBABILIDAD

El comportamiento de las variables aleatorias discretas o continuas se describe con la ley de probabilidades asociada, que asigna medidas de probabilidad a ocurrencias o a rangos de ocurrencia de la variable. Estas leyes de probabilidad reciben el nombre de funciones de distribuciones de probabilidad. Como notación, se representa por una letra mayúscula la variable aleatoria, y por una letra minúscula, un valor específico, una relación o una muestra de la variable.



(SALAS, 2010) El comportamiento de la variable hidrometeorológica como la precipitación, temperatura del aire, descargas, etc. en la naturaleza son aleatorios especialmente las variables extremas (máximas o mínimas), el medio adecuado para estudiar las variables aleatorias es a través de la teoría de probabilidades.

V.4.1. Fenómeno aleatorio(SALAS, 2010) Es aquel fenómeno que bajo las mismas condiciones experimentales se presentan más de una manera o también se le denomina fenómeno que sucede al azar. En el lenguaje de probabilidades las palabras: fenómeno, suceso, experimento, observación o dato son términos que se usan indistintamente. Por ejemplo todas las variables hidrológicas como las precipitaciones, descargas, etc. son consideradas como fenómenos o sucesos aleatorios, porque se consideran como sucesos al azar. La palabra aleatoria deriva del Latín alea lo cual significa suerte o azar. El azar hace que algunas cosas ocurran de manera fortuita e impredecible. Los fenómenos aleatorios se estudian a través de la ley de probabilidades (posibilidades).

V.4.2. Espacio muestral(SALAS, 2010)Es el conjunto de todas las ocurrencias o resultados posibles de un experimento aleatorio, se denota por S. En un experimento aleatorio no es posible predecir con anticipación el resultado, pero si es posible conocer el conjunto de todos los resultados posibles, llamado especio muestral.

V.4.3. Eventos.(SALAS, 2010)Es un subconjunto del espacio muestral, evento también se puede definir como la colección de puntos o subconjuntos en un espacio muestral que tienen características comunes.

V.5. Uso de Modelos Probabilísticos

Resalta (MORAN, 2000) que Los fenómenos que se presentan en la ingeniería pueden clasificarse, desde el punto de vista de la certeza de su ocurrencia, en determinísticos y probabilísticos. Si la ocurrencia de las variables en un proceso es cierta, es decir si las variables siguen una ley determinada se habla de un proceso determinístico. En cambio, si se toma en cuenta la probabilidad de ocurrencia y la falta de certeza existente, entonces se habla de un proceso de naturaleza probabilística. Es conveniente hacer notar que la gran mayoría de los procesos que interesan al ingeniero, en especial en el campo de la Hidrología, pertenecen a la categoría de fenómenos probabilísticos.

Entre los procesos probabilísticos es necesario distinguir los probabilísticos a secas de los probabilísticos estocásticos o simplemente estocásticos. Se denomina proceso estocástico a aquél en el que las características de las variables aleatorias varían con el tiempo. En un proceso probabilístico,



independiente de la variable tiempo, la secuencia de las variables no interesa y se supone que ellas siguen un determinado comportamiento dado por el modelo probabilístico o distribución de frecuencias. Dada pues una variable aleatoria, interesará describir la probabilidad de ocurrencia de los distintos estados. Esto se consigue gracias a un modelo matemático de su comportamiento o modelo probabilístico. Esta distribución probabilística permite calcular:

1. Las probabilidades de los distintos estados o valores que puede tomar la variable aleatoria.

2. La probabilidad de tener valores mayores o menores que un determinado límite.

3. Los valores de probabilidad de ocurrencia asociados a cada valor de la variable aleatoria.

En resumen, puede decirse que el modelo probabi1ístico o distribución permite conocer y manejar fácilmente el comportamiento de la variable y sintetiza toda la información sobre probabilidades asociadas a cada estado.

Según se trate de variables discretas o continuas, se usarán modelos de distribución probabilísticos discretos o continuos. Serán modelos discretos aquéllos cuya función densidad de probabilidad y función de probabilidad acumulada se encuentran definidas para determinados' valores que puede tomar la variable.

Las principales distribuciones discretas son:

1. Distribución binomial2. Distribución de Poisson

Las principales distribuciones continuas son:

1. Distribución uniforme2. Distribución normal3. Distribución logarítmico-normal4. Distribución Gamma5. Distribuciones de valores extremos

a) Tipo I o tipo exponencial (ley de Gumbel)b) Tipo II o tipo Cauchyc) Tipo III o distribuciones truncadas

6. Distribución Chi cuadrado



(MORAN, 2000) Una vez que el ingeniero, en base a su experiencia, escoge el modelo probabilístico que va a usar debe proceder a calcular los parámetros de su modelo y después revisar si este modelo es consistente con la realidad. Ambas cosas las hace con los datos observados (registro o muestra). Para la estimación de los parámetros hay disponibles dos métodos:

El método de los momentos El método de máxima verosimilitud

Y para el estudio de la consistencia dos grupos de métodos:

Métodos gráficos Métodos cuantitativos: Test chi cuadrado Test w , Test student Test de kolmogoroff.

V.6.Análisis de Frecuencia de Valores Extremos

(SEGERER, 2007) Los sistemas hidrológicos son afectados en ocasiones por eventos extremos, tales como tormentas severas, crecidas y sequías. La magnitud de un evento extremo está inversamente relacionada con su frecuencia de ocurrencia, es decir, eventos muy severos ocurren con menor frecuencia, que eventos más moderados.

El objetivo del análisis de frecuencia de información hidrológica es, relacionar la magnitud de los eventos extremos con su frecuencia de ocurrencia, mediante el uso de “Funciones de Distribución de Probabilidad”.

Los requisitos que debe cumplir la información hidrológica (eventos extremos) es que:

Debe ser independiente

Está idénticamente distribuida (por ejemplo, precipitación diaria máxima anual).

El sistema hidrológico que la produce (por ejemplo, un sistema de tormenta) sea aleatorio, independiente del espacio y del tiempo

La información hidrológica empleada debe ser seleccionada cuidadosamente, de manera tal que se satisfagan las suposiciones de independencia y de distribución idéntica.En la práctica, esto se lleva a cabo usualmente seleccionando el máximo anual de la variable bajo análisis (por ejemplo, el caudal máximo anual, que puede corresponder al



flujo pico instantáneo máximo o al medio diario máximo, que se haya producido en cualquier momento o en cualquier día durante el aforo) con la expectativa de que observaciones sucesivas de esta variable de un año a otro sean independientes.

Los resultados del análisis de frecuencia de los caudales de crecida pueden utilizarse para muchos propósitos en ingeniería:

Diseño de presas, puentes, cauces evacuadores y estructuras de control de crecidas.

Determinar el beneficio económico de proyectos de atenuación de crecidas. Delimitar planicies de inundación y determinar el efecto de ocupaciones o

construcciones en las mismas.

(MORAN, 2000) Describe el análisis de frecuencia de valores extremos referido a caudales, es decir el análisis a que son sometidos los caudales máximos anuales. El objeto es calcular el caudal de diseño de estructuras como los aliviaderos de las presas de embalse.

Figura V-4 registro de caudales máximos mensuales

Como esta serie abarca toda la información disponible es denominada serie de duración completa. La serie anual máxima se obtiene eligiendo el valor máximo de cada año:

Figura V-5 Caudal máximo de cada año



V.6.1. Posiciones de Trazado

Una vez seleccionada la serie con la que se va a realizar el análisis de frecuencia se ordenan los valores de mayor a menor, prescindiendo del año de ocurrencia:

Figura V-6 Caudales de mayor a menor

Luego es necesario asignarle a cada valor una probabilidad de excedencia. Esta probabilidad de excedencia o frecuencia (P) que se asigna a cada valor de la serie es lo que se conoce como posición de trazado. Su inversa es el período de retorno (T).

A través del tiempo diferentes autores han desarrollado fórmulas para determinar posiciones de trazado.

Figura V-7 Tabla de trazados



De todas las fórmulas propuestas la que mejor aceptación ha tenido hasta el momento es la de Weibull.

Figura V-8 Modelo de Weibull

V.6.2. Ley de Gumbel

De las varias distribuciones de valores extremos hay dos que tienen mayor aceptación, al haber demostrado que se ajustan bien al fenómeno de las crecida~ de los ríos: la distribución de valores extremos tipo 1 o ley de Gumbel y la distribución log-Pearson tipo III.

Vente Chow ha encontrado que estas distribuciones pueden expresarse en la forma:

x=x+k σ x

Ecuación V-3 Ecuación de Vente Chow

x caudal con una probabilidad dada. xmedia de la serie de caudales pico σ x desviaciónestándar de la serie K un factor de frecuencias definido por cada distribuClan. Es una función del

nivel de Probabilidad asignado a x.

La ley de Gumbel está dada por 1 a expresión:

p=1−e−e− y

Ecuación V-4 Ley de Gambel



P: probabilidad de que un valor x sea igualado o excedido Y: variable reducida, dada por la expresión:

y=a(x−u)

Ecuación V-5 Variable reducida

u :moda de la distribución a : parámetro de dispersión

Para una muestra de tamaño finito, Gumbel encontró que:

u=x−σ xynσ n

Ecuación V-6 moda de distribución

a=σnσ x

Ecuación V-7 parámetro de dispersión

y también que yn y σ n, son funciones sólo del tamaño de la muestra.

Figura V-9 parámetros en función del tamaño n

Dónde se obtiene:

x=x+k σ x

Con esta ecuación es posible hallar los caudales con largos períodos de recurrencia (avenida centenaria, avenida milenaria, avenida diez milenaria). Esta ecuación es la ecuación de una línea recta en papel probabilístico de Gumbel. Precisamente la manera de comprobar que el modelo de Gumbel es el apropiado para el problema en estudio consiste en graficar la recta y plotear los puntos de la muestra; deberá cumplirse que todos los puntos caen alineados cerca de la recta.



V.6.3. Distribución Log-Pearson Tipo III

Para el uso de esta distribución se convierten los valores de la serie a sus logaritmos decimales y se hallan los siguientes parámetros:

Figura V-10 Parámetros de la distribución Log-Pearson tipo III

VI.MATERIALES

DATOS O REGISTRO DE LAS ESTACIONES PARÓN, COLCAS Y QUITARACSA. PROGRAMA EXCEL, PARA CÁLCULOS ESTADÍSTICOS Y PROBABILÍSTICOS. CALCULADORA.

VII. PROCEDIMIENTO

VII.1. RECOPILACIÓN DE DATOS DE LAS DESCARGAS MAXIMAS

PARON. COLCAS. QUITARACSA.



Tabla VII-2 DESCARGAS MÁXIMAS PARON

AÑO Q (Max) AÑO Q (Max) AÑO Q (Max) AÑO Q (Max)

1953 1.680 1961 1.371 1969 1.605 1977 1.8801954 1.298 1962 1.390 1970 1.681 1978 2.1941955 1.282 1963 1.618 1971 1.593 1979 2.2681956 1.646 1964 1.161 1972 1.900 1980 2.4071957 1.958 1965 1.574 1973 1.573 1981 2.0631958 1.947 1966 1.421 1974 1.4481959 1.614 1967 1.302 1975 1.4631960 1.715 1968 1.748 1976 1.870

Tabla VII-3DESCARGAS MÁXIMAS COLCAS


1953 5.419 1961 5.756 1969 5.663 1977 5.7881954 5.293 1962 5.417 1970 6.348 1978 7.0681955 5.570 1963 5.681 1971 6.288 1979 6.7741956 5.327 1964 4.655 1972 6.837 1980 7.7991957 5.968 1965 5.949 1973 6.884 1981 6.5981958 6.497 1966 6.125 1974 5.7981959 4.911 1967 4.579 1975 4.6881960 6.253 1968 5.157 1976 6.471

Tabla VII-4 DESCARGAS MÁXIMAS QUITARACSA


1953 12.017 1961 13.172 1969 11.268 1977 7.7921954 12.132 1962 11.183 1970 10.839 1978 9.6161955 11.606 1963 11.475 1971 10.084 1979 7.5921956 9.560 1964 9.554 1972 12.405 1980 9.7921957 11.039 1965 11.686 1973 14.472 1981 10.4751958 10.874 1966 12.572 1974 12.0321959 11.346 1967 8.619 1975 8.6751960 12.158 1968 10.327 1976 9.438



VII.2. CLASIFICACIÓN DE DATOS

VII.2.1. Ordenar los datos en forma descendente

Tabla VII-5 Datos en forma descendente PARON

Q (Max) Q (Max) Q (Max) Q (Max) Q (Max)

2.407 1.880 1.618 1.448 1.1612.268 1.870 1.614 1.4212.194 1.748 1.605 1.3902.063 1.715 1.593 1.3711.958 1.681 1.574 1.3021.947 1.680 1.573 1.2981.900 1.646 1.463 1.282

Tabla VII-6 Datos en forma descendente COLCAS


7.799 6.471 5.798 5.417 4.5797.068 6.348 5.788 5.3276.884 6.288 5.756 5.2936.837 6.253 5.681 5.1576.774 6.125 5.663 4.9116.598 5.968 5.570 4.6886.497 5.949 5.419 4.655

Tabla VII-7Datos en forma descendente QUITARACSA


14.472 12.017 11.039 9.616 7.59213.172 11.686 10.874 9.56012.572 11.606 10.839 9.55412.405 11.475 10.475 9.43812.158 11.346 10.327 8.67512.132 11.268 10.084 8.61912.032 11.183 9.792 7.792

VII.2.2. Calcular el rango o la amplitud de la muestra

Rango=Xmax−Xmin

Ecuación VII-8 Rango de la muestra



ESTACIÓN - PARON

Rango=1.880−1.161

Rango=1.246

ESTACIÓN - COLCAS

Rango=6.47−4.579

Rango=3.220

ESTACIÓN - QUITARACSA

Rango=12.070−7.592

Rango=6.880

VII.2.3. Calcular el número de intervalos de clase

INTERVALO=1+1.33 ln (n)

Ecuación VII-9 Número de intervalos de clase

ESTACIÓN – PARON – COLCAS – QUITARACSA

INTERVALO=1+1.33 ln (n)

INTERVALO=1+1.33 ln (29)

INTERVALO=5

VII.2.4. Calcular la amplitud de cada intervalo de clase

AMPLITUD= RANGOINTERVALOS

Ecuación VII-10 AMPLITUD DE CADA INTERVALO

ESTACIÓN – PARON

AMPLITUD=1.2465

=0.249



ESTACIÓN – COLCAS

AMPLITUD=3.2205

=0.644

ESTACIÓN – QUITARACSA

AMPLITUD=6.8805

=1.376

VII.2.5. Calcular los límites de clase de cada intervalo de clase.

Tabla VII-8 Intervalo de datos de las descargas Máximas-PARON

Xi Xs = Xi + Δx1.161 1.4101.410 1.6591.659 1.9081.908 2.1582.158 2.407

Tabla VII-9 Intervalo de datos de las descargas Máximas-COLCAS

Xi Xs = Xi + Δx4.579 5.2235.223 5.8675.867 6.5116.511 7.1557.155 7.799

Tabla VII-10 Intervalo de datos de las descargas Máximas-QUITARACSA

Xi Xs = Xi + Δx7.592 8.9688.968 10.344

10.344 11.72011.720 13.09613.096 14.472

VII.2.6. Calcular las marcas de clase



Tabla VII-11 Marca de clase del intervalo de las descargas Máximas de E. PARON

Intervalo de ClaseMarca de Clase

MC1.04

1.161 1.410 1.291.410 1.659 1.531.659 1.908 1.781.908 2.158 2.032.158 2.407 2.28

2.53

Tabla VII-12 Marca de clase del intervalo de las descargas Máximas de E. Colcas


MC4.26

4.579 5.223 4.905.223 5.867 5.555.867 6.511 6.196.511 7.155 6.837.155 7.799 7.48

8.12

Tabla VII-13 Marca de clase del intervalo de las descargas Máximas de E. QUITARACSA


MC6.90

7.592 8.968 8.288.968 10.344 9.66

10.344 11.720 11.0311.720 13.096 12.4113.096 14.472 13.78

15.16

VII.2.7. Calcular la frecuencia absoluta

Tabla VII-14 Frecuencia absoluta de las descargas Máximas de E. PARON

Número de INTERVALO DE CLASE MARCA DE FRECUENCIA ABSOLUTA



Intervalos de clase K

CLASE

MC FA

1.0361.00 1.161 1.410 1.285 62.00 1.410 1.659 1.535 103.00 1.659 1.908 1.784 74.00 1.908 2.158 2.033 35.00 2.158 2.407 2.282 36.00 2.531

TOTAL (N) 29

Tabla VII-15 Frecuencia absoluta de las descargas Máximas de E. COLCAS

Número de Intervalos de

clase KINTERVALO DE CLASE

MARCA DE CLASE FRECUENCIA ABSOLUTA

MC FA

4.2571.00 4.579 5.223 4.901 52.00 5.223 5.867 5.545 103.00 5.867 6.511 6.189 84.00 6.511 7.155 6.833 55.00 7.155 7.799 7.477 16.00 8.121

TOTAL (N) 29

Tabla VII-16 Frecuencia absoluta de las descargas Máximas de E. QUITARACSA



MARCA DE CLASE FRECUENCIA ABSOLUTA

MC FA

6.9041.00 7.592 8.968 8.280 42.00 8.968 10.344 9.656 73.00 10.344 11.720 11.032 104.00 11.720 13.096 12.408 65.00 13.096 14.472 13.784 26.00 15.160

TOTAL (N) 29

VII.2.8. Calcular la frecuencia relativa de cada intervalo de clase

Tabla VII-17 Frecuencia Relativa de las descargas Máximas de E. PARON

Número de INTERVALO DE CLASE MARCA DE CLASE FRECUENCIA ABSOLUTA FRECUENCIA RELATIVA



Intervalos de clase K MC FA FR

1.036 0.0001.00 1.161 1.410 1.285 6 0.2072.00 1.410 1.659 1.535 10 0.3453.00 1.659 1.908 1.784 7 0.2414.00 1.908 2.158 2.033 3 0.1035.00 2.158 2.407 2.282 3 0.1036.00 2.531 0.000

TOTAL (N) 29

Tabla VII-18 Frecuencia Relativa de las descargas Máximas de E. COLCAS



MARCA DE CLASE FRECUENCIA ABSOLUTA FRECUENCIA RELATIVA

MC FA FR

4.257 0.0001.00 4.579 5.223 4.901 5 0.1722.00 5.223 5.867 5.545 10 0.3453.00 5.867 6.511 6.189 8 0.2764.00 6.511 7.155 6.833 5 0.1725.00 7.155 7.799 7.477 1 0.0346.00 8.121 0.000

TOTAL (N) 29

Tabla VII-19 Frecuencia Relativa de las descargas Máximas de E. QUITARACSA



MARCA DE CLASE FRECUENCIA ABSOLUTA FRECUENCIA RELATIVA

MC FA FR

6.904 0.0001.00 7.592 8.968 8.280 4 0.1382.00 8.968 10.344 9.656 7 0.2413.00 10.344 11.720 11.032 10 0.3454.00 11.720 13.096 12.408 6 0.2075.00 13.096 14.472 13.784 2 0.0696.00 15.160 0.000

TOTAL (N) 29

VII.2.9. Calcular la función densidad empírica

Tabla VII-20 Función Densidad empírica de las descargas Máximas de E. PARON

INTERVALO DE CLASEMARCA DE

CLASEFRECUENCIAABSOLUTA

FRECUENCIARELATIVA

FUNCION DENSIDAD EMPIRICA

MC FA FR FDE=FR/∆X



1.036 0.00 0.001.16 1.41 1.285 6 0.21 0.831.41 1.66 1.535 10 0.34 1.381.66 1.91 1.784 7 0.24 0.971.91 2.16 2.033 3 0.10 0.422.16 2.41 2.282 3 0.10 0.42

2.531 0.00 0.00TOTAL (N) 29

Tabla VII-21 Función Densidad empírica de las descargas Máximas de E. COLCAS


CLASEFRECUENCIA ABSOLUTA

FRECUENCIA RELATIVA


MC FA FR FDE=FR/∆X4.257 0.00 0.00

4.58 5.22 4.901 5 0.17 0.275.22 5.87 5.545 10 0.34 0.545.87 6.51 6.189 8 0.28 0.436.51 7.16 6.833 5 0.17 0.277.16 7.80 7.477 1 0.03 0.05

8.121 0.00 0.00TOTAL (N) 29

Tabla VII-22 Función Densidad empírica de las descargas Máximas de E. QUITARACSA


CLASEFRECUENCIAABSOLUTA

FRECUENCIARELATIVA


MC FA FR FDE=FR/∆X6.904 0.00 0.00

7.59 8.97 8.280 4 0.14 0.108.97 10.34 9.656 7 0.24 0.18

10.34 11.72 11.032 10 0.34 0.2511.72 13.10 12.408 6 0.21 0.1513.10 14.47 13.784 2 0.07 0.05

15.160 0.00 0.00TOTAL (N) 29

VII.3. PRESENTACIÓN DE DATOS

Se presentan los resultados en forma de tablas y en forma de gráficos, con la finalidad de facilitar su interpretación y su posterior análisis.



VII.3.1. TABLAS

Tabla VII-23 Tabla de frecuencias de la E. PARON

NUMERO DE

INTERVALO DE CLASE K

INTERVALO DE CLASE

MARCA DE CLASE

FRECUENCIA

ABSOLUTA

FRECUENCIA RELATIVA

FRECUENCIA ABSOLUTA

ACUMULADA

FRECUENCIA RELATIVA

ACUMULADA


FUNCION DENSIDAD TEORICA NORMAL

1 2 MC 4 fr 6 7 fe fx-normal1.036 0.00 0.00 0.149

1 1.161 - 1.410 1.285 6 0.21 6 0.207 0.83 0.5762 1.41 - 1.659 1.535 10 0.34 16 0.552 1.38 1.1593 1.66 - 1.908 1.784 7 0.24 23 0.793 0.97 1.2184 1.91 - 2.158 2.033 3 0.10 26 0.897 0.42 0.6685 2.16 - 2.407 2.282 3 0.10 29 1.000 0.42 0.191

2.531 0.00 0.00 0.029TOTAL 29 1



Tabla VII-24 Tabla de frecuencias de la E. COLCAS

NUMERO DE


INTERVALO DE CLASE

MARCA DE CLASE

FRECUENCIA

ABSOLUTA

FRECUENCIA RELATIVA

FRECUENCIA ABSOLUTA

ACUMULADA

FRECUENCIA RELATIVA

ACUMULADA



1 2 MC 4 fr 6 7 fe fx-normal4.257 0.00 0.00 0.053

1 4.579 - 5.223 4.901 5 0.17 5 0.172 0.27 0.2192 5.22 - 5.867 5.545 10 0.34 15 0.517 0.54 0.4573 5.87 - 6.511 6.189 8 0.28 23 0.793 0.43 0.4824 6.51 - 7.155 6.833 5 0.17 28 0.966 0.27 0.2565 7.16 - 7.799 7.477 1 0.03 29 1.000 0.05 0.069

8.121 0.00 0.00 0.009TOTAL 29 1



Tabla VII-25 Tabla de frecuencias de la E. QUITARACSA

NUMERO DE


INTERVALO DE CLASE

MARCA DE CLASE

FRECUENCIA

ABSOLUTA

FRECUENCIA RELATIVA

FRECUENCIA ABSOLUTA

ACUMULADA

FRECUENCIA RELATIVA

ACUMULADA



1 2 MC 4 fr 6 7 fe fx-normal6.904 0.00 0.00 0.012

1 7.592 - 8.968 8.280 4 0.14 4 0.138 0.10 0.0702 8.97 - 10.344 9.656 7 0.24 11 0.379 0.18 0.1923 10.34 - 11.720 11.032 10 0.34 21 0.724 0.25 0.2494 11.72 - 13.096 12.408 6 0.21 27 0.931 0.15 0.1525 13.10 - 14.472 13.784 2 0.07 29 1.000 0.05 0.044

15.160 0.00 0.00 0.006TOTAL 29 1



VII.3.2. GRÁFICOS

0.800 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800 2.000 2.200 2.400 2.600 2.8000.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

FUNCION DENSIDAD EMPIRICA - NORMAL Y FR

Series2

Series4

Series6

DESCARGAS

FREC

UEN

CIAS

Figura VII-11 Comparación de AModelos estadisticos E. PARON



4.000 4.500 5.000 5.500 6.000 6.500 7.000 7.500 8.000 8.5000.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60


Series2Series4Series6

Figura VII-12 Comparación de AModelos estadisticos E. Colcas



6.000 7.000 8.000 9.000 10.000 11.000 12.000 13.000 14.000 15.000 16.0000.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40


Series2Series4Series6

DESCARGAS

FREC

UEN

CIAS

Figura VII-13 Comparación de AModelos estadisticos E. QUITARACSA



0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.0000.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

ESTACION PARON

Series2

MARCA DE CLACE

FREC

UEN

CIAS

Figura VII-14 Frecuencia acumulada de descargas E. PARON

4.000 4.500 5.000 5.500 6.000 6.500 7.000 7.500 8.000 8.5000

5

10

15

20

25

30

35

Chart Title

MARCA DE CLACE

FREC

UEN

CIAS

Figura VII-15 Frecuencia acumulada de descargas E. Colcas



6.0007.000

8.0009.000

10.000

11.000

12.000

13.000

14.000

15.000

16.00005

101520253035

Chart Title

MARCA DE CLACE

FREC

UEN

CIA

Figura VII-16 Frecuencia acumulada de descargas E. QUITARACSA



1.036 1.285 1.535 1.784 2.033 2.282 2.5310.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.00

0.21

0.34

0.24

0.10 0.10

0.00

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS RELATIVAS - PARON

Figura VII-17 Histograma de frecuencia absoluta de las descargas maximas E. PARON

1 2 3 4 5 6 70.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.00

0.17

0.34

0.28

0.17

0.030.00

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS RELATIVAS - COLCAS

Figura VII-18 Histograma de frecuencia absoluta de las descargas maximas E. Colcas



1 2 3 4 5 6 70.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.00

0.14

0.24

0.34

0.21

0.07

0.00

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS RELATIVAS - QUITARACSA

Axis Title

Axis Title

Figura VII-19 Histograma de frecuencia absoluta de las descargas maximas E. QUITARACSA



VIII. CALCULOS

MODELOS PROBABILÍSTICOS

LEY GUMBELLEY NORMALLEY EXPONENCIAL

De los datos presentados en las tablas y organizados en los gráficos podemos calcular el periodo de retorno de las descargas, para posteriores diseños.

Tabla VIII-26 Periodo de Retorno de las descargas maximas de la E. PARON

PARONQ m p T Q m p T

2.407 1 0.033 30.000 1.614 16 0.533 1.8752.268 2 0.067 15.000 1.605 17 0.567 1.7652.194 3 0.100 10.000 1.593 18 0.600 1.6672.063 4 0.133 7.500 1.574 19 0.633 1.5791.958 5 0.167 6.000 1.573 20 0.667 1.5001.947 6 0.200 5.000 1.463 21 0.700 1.4291.900 7 0.233 4.286 1.448 22 0.733 1.3641.880 8 0.267 3.750 1.421 23 0.767 1.3041.870 9 0.300 3.333 1.390 24 0.800 1.2501.748 10 0.333 3.000 1.371 25 0.833 1.2001.715 11 0.367 2.727 1.302 26 0.867 1.1541.681 12 0.400 2.500 1.298 27 0.900 1.1111.680 13 0.433 2.308 1.282 28 0.933 1.0711.646 14 0.467 2.143 1.161 29 0.967 1.0341.618 15 0.500 2.000

Tabla VIII-27 Periodo de Retorno de las descargas maximas de la E. Colcas

COLCASQ m p T Q m p T

7.799 1 0.03 30.0 5.788 16 0.53 1.97.068 2 0.07 15.0 5.756 17 0.57 1.86.884 3 0.10 10.0 5.681 18 0.60 1.76.837 4 0.13 7.5 5.663 19 0.63 1.66.774 5 0.17 6.0 5.570 20 0.67 1.56.598 6 0.20 5.0 5.419 21 0.70 1.46.497 7 0.23 4.3 5.417 22 0.73 1.46.471 8 0.27 3.8 5.327 23 0.77 1.36.348 9 0.30 3.3 5.293 24 0.80 1.36.288 10 0.33 3.0 5.157 25 0.83 1.26.253 11 0.37 2.7 4.911 26 0.87 1.26.125 12 0.40 2.5 4.688 27 0.90 1.1



5.968 13 0.43 2.3 4.655 28 0.93 1.15.949 14 0.47 2.1 4.579 29 0.97 1.05.798 15 0.50 2.0

Tabla VIII-28 Periodo de Retorno de las descargas maximas de la E. QUITARACSA

QUITARACSAQ m p T Q m p T

14.472 1 0.03 30.0 10.874 16 0.53 1.913.172 2 0.07 15.0 10.839 17 0.57 1.812.572 3 0.10 10.0 10.475 18 0.60 1.712.405 4 0.13 7.5 10.327 19 0.63 1.612.158 5 0.17 6.0 10.084 20 0.67 1.512.132 6 0.20 5.0 9.792 21 0.70 1.412.032 7 0.23 4.3 9.616 22 0.73 1.412.017 8 0.27 3.8 9.560 23 0.77 1.311.686 9 0.30 3.3 9.554 24 0.80 1.311.606 10 0.33 3.0 9.438 25 0.83 1.211.475 11 0.37 2.7 8.675 26 0.87 1.211.346 12 0.40 2.5 8.619 27 0.90 1.111.268 13 0.43 2.3 7.792 28 0.93 1.111.183 14 0.47 2.1 7.592 29 0.97 1.011.039 15 0.50 2.0

VIII.1 ANALISIS PARA PERIODOS DE RETORNO DE 10, 20, ,50 Y 100 AÑOS

LEY GUMBEL

ESTACION PARON

PARA 10 AÑOS PARA 20 AÑOS PARA 50 AÑOS PARA 100 AÑOST= 10 T= 20 T= 50.00 T= 100.00

F(w)= 0.9 F(w)= 0.95 F(w)= 0.98 F(w)= 0.99W= 2.25 W= 2.97 W= 3.90 W= 4.60S= 0.31 S= 0.31 S= 0.31 S= 0.31

Qprom.= 1.68 Qprom.= 1.68 Qprom.= 1.68 Qprom.= 1.68Qcalc.= 2.08 Qcalc.= 2.25 Qcalc.= 2.48 Qcalc.= 2.65

ESTACION COLCAS






ESTACION QUITARACSA




LEY NORMAL

ESTACION PARON


F(Z)= 0.9 F(Z)= 0.95 F(Z)= 0.98 F(Z)= 0.99Z= 1.28 Z= 1.64 Z= 2.05 Z= 2.33S= 0.31 S= 0.31 S= 0.31 S= 0.31


ESTACION COLCAS


F(Z)= 0.9 F(Z)= 0.95 F(Z)= 0.98 F(Z)= 0.99Z= 1.28 Z= 1.64 Z= 2.05 Z= 2.33S= 0.78 S= 0.78 S= 0.78 S= 0.78


ESTACION QUITARACSA

PARA 10 AÑOS PARA 20 AÑOS PARA 50 AÑOS PARA 100 AÑOS



T= 10 T= 20 T= 50.00 T= 100.00F(Z)= 0.9 F(Z)= 0.95 F(Z)= 0.98 F(Z)= 0.99

Z= 1.28 Z= 1.64 Z= 2.05 Z= 2.33S= 1.59 S= 1.59 S= 1.59 S= 1.59


IX.CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES



La función más aproximada a la del Histograma es la de función de Gumbel, por lo cual es la función elegida para hallar nuestros caudales máximos.

X. BibliografíaMartínez, C. (s.f.). Estadística y Muestreo. Ecoe editores.



MORAN, W. C. (2000). HIDROLOGIA PARA ESTUDIANTES DE INGENIERIA CIVIL. LIMA: CONCYTEC.

SALAS, A. D. (2010). ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD EN LA HIDROLOGÍA. LIMA: INSTITUTO PACIFICO.

SEGERER, C. D. (2007). HIDROLOGÍA I. Cuyo.

Wester, A. (s.f). Estadística para administradores . McGraw-Hill .


Trabajo de Estadistica y Probabilidad

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