Curvas de nivel Universidad Tecnolgica del Per

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL PERUFACULTAD: INGENIERIASCARRERA: INGENIERIA DE SEGURIDAD INDUSTRIAL Y MINERIATEMA:CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL

MATERIA: ANALISIS MATEMATICO IICICLO: IILIC.: URURE TEJADA, LUISAPRESENTADO POR: MAMANI AQUISE, EDWIN LEO FLORES, STEPHANIE TAPIA ROJAS, DIEGO LUQUE MENDOZA, ALAN

AREQUIPA - 2014

INDICEOBJETIVOS3INTODUCCIN42.-TOPOGRAFA5Altimetra5Nivelacin5Curva y superficies en R3 ....6CURVAS DE NIVEL10Caractersticas de las curvas de nivel13Tipos de curvas de nivel 19Equidistancia20Forma de la tierra22Curvatura y refraccin24Aplicaciones de las curvas de nivel: Desarrollo26METODOS DE TRAZADO DE CURVAS DE NIVEL28Mtodo grafico28Mtodo Analtico29Mtodo Grfico30Herramientas de obtencin31RESUMEN...32CONCLUSIONES 33BIBLIOGRAFA34

DESCRIPCIN DEL PROBLEMA

OBJETIVO GENERAL

Definir y diferenciar adecuadamente los conceptos de altimetra, nivelacin, curvatura terrestre como base para la aplicacin prctica en los proyectos de ingeniera.

OBJETIVOS ESPECFICOS

Realizar tipos de nivelacin de acuerdo a los instrumentos topogrficos disponibles.

Realizar el levantamiento de perfiles longitudinales, secciones transversales con nivel ingeniero, eclmetro, ciclmetro y otros instrumentos topogrficos.

1.-INTRODUCCINEl mundo real en que vivimos es un espacio de tres dimensiones, es decir, un espacio en el que se relacionan tres variables.El estudiante de nivel superior, en su contacto con las matemticas y en especial al trabajar en clculo, llega a la situacin en que dos variables, una dependiente de otra, ya no son suficientes para describir o modelar ciertos fenmenos. En muchas situaciones aparecen cantidades que dependen de dos o ms cantidades. Esto lo lleva a la necesidad de agregar ms variables, entrando as al estudio de lo multivariable. Se introduce entonces en el tema de los campos escalares o funciones de varias variables.Al querer graficar estas funciones, se encuentra con ciertas dificultades, como as tambin cuando debe interpretar y describir el comportamiento de las mismas.Una forma de visualizar indirectamente el comportamiento de los campos escalares es a travs del estudio de los conjuntos de nivel.En el caso de funciones de dos variables independientes, es decir, aquellas que quedan representadas en un espacio tridimensional, el estudio de las mismas se realiza a travs de las curvas de nivel o lneas de contorno. El mtodo que se utiliza para obtener estas lneas es el mismo que se realiza para construir mapas topolgicos.

MARCO TERICO 2.- TOPOGRAFALa topografa es una ciencia que estudia el conjunto de procedimientos para determinar las posiciones relativas de los puntos sobre la superficie de la tierra y debajo de la misma, mediante la combinacin de las medidas segn los tres elementos del espacio: distancia, elevacin y direccin. La topografa explica los procedimientos y operaciones del trabajo de campo, los mtodos de clculo o procesamiento de datos y la representacin del terreno en un plano o dibujo topogrfico a escala2.1. AltimetraTiene por objetivo determinar las diferencias de alturas entre puntos de terreno. Las alturas del terreno se toman sobre planos horizontales de referencia, siendo la ms comn de ellos el referido al nivel del mar (m.s.n.m.), estos planos horizontales de referencia tienen diverso nombre como: cotas, elevaciones, alturas y a veces tambin los llaman niveles.

2.2. NivelacinLa nivelacin es el proceso de medicin de las elevaciones o altitudes de puntos sobre la superficie de la tierra. La elevacin o altitud es la distancia vertical medida desde la superficie de referencia hasta el punto considerado. La distancia vertical debe ser medida a lo largo de una lnea que sigue la direccin de la gravedad o direccin de la plomada.Podemos entender a la nivelacin como la determinacin de la distancia vertical entre dos puntos, la distancia vertical que existe de uno o ms puntos de referencia llamado de uno a ms puntos a partir de un punto de referencia llamado benchmarck (BM), en lneas generales es la determinacin de la diferencia de altitud existente entre un punto y otro que se encuentran en diferentes posiciones segn sus coordenadas.

3.- Curvas y superficies en R3

Nos interesan las superficies de ecuacin z = f (x, y) , es decir, las superficies formadas por los puntos (x, y, z) que satisfacen la ecuacin z = f (x, y) o tambin en la forma F(x, y, z) = 0.

A veces decimos superficie de ecuacin (explcita) z = f (x, y) o superficie de ecuacin (im- plcita) F(x, y, z) = 0 . Como sugiere el ejemplo 5, un bosquejo de una superficie se puede hacer con un conjunto de curvas; a estas curvas se les llama trazas o cortes verticales y horizontales. En esta seccin vamos a ocuparnos con superficies simples: Planos, superficies cilndricas y su- perficies cudricas.

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Ingeniera de Seguridad Industrial y MineraPgina 12

3.1.-Curva en el espacio

Una manera de describir una curva en el plano XY es por medio de su ecuacin cartesiana F(x, y) = c. Por ejemplo, una circunferencia de radio a tiene ecuacin: x2 + y2 = a2 . Desde este punto de vista, una curva C definida por esta ecuacin es un conjunto de puntos, a saber,

C = {(x, y) R2 | F(x, y) = c}

Las curvas en R3 podran ser definidas por un par de ecuaciones (como interseccin de dos superficies),F1 (x, y, z) = c1 ; F2 (x, y, z) = c2 ,

Por ejemplo, una circunferencia centrada en el origen y de radio a en el plano XY:

x2 + y2 = a2; z = 0.

Otra manera de definir una curva es como el lugar geomtrico de un punto en movimiento, r(t) es la posicin del punto en el instante t. La curva es descrita por una funcin r(t) de parmetro t que devuelve valores en R2 , si es una curva plana, o en R3 si es una curva en el espacio. Por ejemplo r(t) = (a cos t, a sen t, 0); t [0, 2] es una parametrizacin de una circunferencia, centrada en el origen, de radio a en el plano XY.

Ejemplo jempl6

En el espacio tridimensional, una circunferencia en el plano XY , de radio a y centrada en el origen se puede describir de varias maneras, por ejemplo,

V

Ecuacin cartesiana: x2 + y2 = a2 ; z = 0.Ecuacin paramtrica: r(t) = (r cos t, r sen t, 0); t [0, 2].

Curvas en los planos XY, XZ y YZ. En general, F(x, y) = 0; z = 0 es la ecuacin de una curva en el plano XY. De manera anloga, F(x, z) = 0; y = 0 corresponde a una curva en el plano XZ y F(y, z) = 0; x = 0 corresponde a una curva en el plano YZ.

Realizar la representacin grfica, en el espacio, de la curva C1 : x + y = 3; z = 0Solucin: La curva C1 : x + y = 3; z = 0, corresponde a una recta en el plano XY. Interseca al eje X enx = 3 y al eje Y en y = 3.

4.- Curva de nivelEl conjunto de puntos (x, y) en el plano donde una funcin de dos variablesIndependientes tiene un valor constante f(x, y) = c, es una curva de nivel de f.

4.1 Curvas de nivel y trazas.Si S es una superficie en el espacio de ecuacin F(x, y, z) = 0, todos los pares (x, y) R2 que satisfacen la ecuacin F(x, y, c) = 0 definen una curva en el plano XY. A esta curva se le llama curva de nivel de la superficie S.

Tambin nos interesa dibujar la curva como una curva en el espacio. Por abuso del lenguaje se dice la curva de nivel z = c para indicar la curva de nivel F(x, y, c) = 0, z = 0. (Iso z el mismo z para los x e y). A las curvas F(x, y, c) = 0, z = c les llamamos trazas o cortes de la superficie.

Z

Curvas de nivelX

Figura 2.4 Superficie z = x2 + y2 y algunas curvas de nivel y algunas trazaEjemplo 2Trace la grfica de la funcin .SolucinEsta es otra de las grficas que usaremos con mucha frecuencia, se trata de un plano y + z = 2, su grfica se muestra en la figura 3.

Trazas

Y

4.-Curvas de nivel

Se denominan curvas de nivel a las lneas que marcadas sobre el terreno desarrollan una trayectoria que es horizontal. Por lo tanto podemos definir que una lnea de nivel representa la interseccin de una superficie de nivel con el terreno en un mapa une todos los puntos que tienen igualdad de condiciones y de altura. En un plano las curvas de nivel se dibujan para representar intervalos de altura que son equidistantes sobre un plano de referencia. Esta diferencia de altura entre curvas recibe la denominacin de equidistancia De la definicin de las curvas podemos citar las siguientes caractersticas:1. Las curvas de nivel no se cruzan entre s.2. Deben ser lneas cerradas, aunque esto no suceda dentro de las lneas del dibujo. 3. Cuando se acercan entre si indican un declive ms pronunciado y viceversa. 4. La direccin de mxima pendiente del terreno queda en el ngulo recto con la curva de nivelUna herramienta usual que se emplea, ya sea para ayudarnos a visualizar estas superficies o como una alternativa de representacin grfica, es el mtodo conocido como el de las curvas de nivel. Este mtodo es justamente el que se utiliza para graficar el relieve terrestre mediante mapas planos. Estos mapas son conocidos como mapas fsicos o geogrficos. Con estos mapas es posible estimar, por ejemplo, la altura y extensin de montaas y fondos marinos.La tcnica para aplicar este mtodo consiste en graficar las curvas planas que resultan de cortar la superficie por medio de planos horizontales ubicados a diferentes alturas o niveles. En otras palabras: consiste en graficar las curvas, para distintos valores.

4.1.- Caractersticas de las curvas de nivel

Debido a que la superficie de la tierra es una superficie continua, las curvas de nivel son lneas continuas que se cierran en s mismas, bien sea dentro o fuera del plano, por lo que no se deben interrumpir en el dibujo. Las curvas de nivel nunca se cruzan o se unen entre s, salvo en el caso de un risco o acantilado en volado o en una caverna, en donde aparentemente se cruzan pero estn a diferente nivel. Las curvas de nivel nunca se bifurcan o se ramifican. La separacin entre las curvas de nivel indican la inclinacin del terreno. Curvas muy pegadas indican pendientes fuertes (figura a), curvas muy separadas indican pendientes suaves (figuras b).

Curvas concntricas cerradas, en donde las curvas de menor cota envuelven a las de mayor cota indican un cerro o colina (figura a). Curvas concntricas cerradas, donde las curvas de mayor cota envuelven a las de menorcota indican una depresin (figura b).

Curvas con dos vertientes o laderas en forma de U, donde las curvas de menor cota envuelven a las de mayor cota representan estribos o elevaciones. La lnea de unin de las dos vertientes por la parte central de la forma de U representa la divisoria de las vertientes (figura a).

Curvas con dos vertientes o laderas en forma de V, donde las curvas de mayor cota envuelven a las de menor cota representan un valle o vaguada. La lnea de unin de las dos vertientes por la parte central de la forma V indica la lnea de menor cota del valle (figura b).

Las curvas de nivel nos permiten identificar una serie deformas del terreno fundamental para la lectura e interpretacin del mapa:

-Monte: El monte es una elevacin del terreno en el plano. Se representa con curvas de nivel concntricas que van de menor a mayor altura contando siempre de fuera hacia dentro, es decir que la curva exterior tiene una cota inferior a la inmediatamente siguiente e interior.

-Cima o cumbre: Es el punto culminante o altura superior de un monte. En el mapa se identifica como la ltima curva concntrica interior. Para marcar con mayor precisin esta altura mxima algunos mapas la indican con un tringulo o un punto, y a veces aaden su altitud expresada en metros.

-Laderas o vertientes. Superficies laterales e inclinadas de un monte o una cumbre. En un mapa se representa como un conjunto de curvas aproximadamente equidistantes rectilneas y paralelas. Cuando las laderas son muy verticales reciben el nombre de "paredes". Una mayor proximidad de las curvas indicar mayor pendiente.

Monte, cima y ladera

-Hoya, hondonada o depresin: Es una depresin o zona ms baja del terreno. Es fcilmente confundible con un monte ya que la configuracin de las curvas de nivel es anloga, si bien la diferencia estriba en que en las hoyas la curva exterior tendr una altitud o cota superior a la inmediatamente interior. Es decir, que en este caso habr curvas concntricas que engloban a otras de menor altitud.

Hoya u hondonada

-Divisoria o cresta: suponiendo una cada de agua sobre el monte, parte del agua ira hacia una ladera y parte hacia la otra. Esta lnea imaginaria en la que el agua tomara distintos caminos es la divisoria o cresta.En el mapa es la lnea igualmente imaginaria que unira los vrtices que forman las curvas de nivel de estas dos laderas. Aparece como un conjunto de "uves" que apuntan hacia debajo de la montaa donde las curvas de menor cota envuelven a las de mayor cota

Divisoria y cresta

-Collado: Zona donde acaba la divisoria de un monte y comienza la del siguiente. Es una zona deprimida entre dos colinas. El collado es el punto de franqueo ms asequible entre dos montes al estar situado a menos altura. En el mapa lo identificamos como el lugar donde comienzan a ascender por separado las curvas que envuelven a los dos montes entre los que se ubica. Histricamente, los collados han constituido los pasos naturales de las barreras montaosas, por lo que sendas, caminos y carreteras suelen trazarse a travs de ellos. Los collados de fcil acceso suelen llamarse "puertos" mientras que los ms escarpados y de difcil acceso se llaman "brechas o portillas".

Collado

-Vaguada: Depresiones que inicindose en los collados separan las laderas de un monte con las del siguiente. Son los caminos naturales del agua (vaguada = por donde va el agua) y en ellas generalmente encontraremos arroyos y torrentes por los que se encauza el agua que separa las divisorias. Si las vaguadas se ubican entre laderas de inclinacin muy pronunciada se llaman "barrancos", y si estas barreras llegan a ser paredes, su nombre es el de "gargantas", o "desfiladeros" cuando su longitud es grande.En el mapa la vaguada es la lnea imaginaria que une los vrtices que forman las curvas de nivel de dos laderas, teniendo la forma de un entrante. Se ver entonces como un conjunto de "uves" apuntando hacia arriba del valle donde las curvas de mayor cota envuelven a las de menor cota.

Vaguada

-Llanura: Son zonas de mnima pendiente, corresponden a representaciones donde las curvas de nivel estn muy separadas.

Distintos tipos de accidentes del terreno en un mapa

4.2.- Tipos de curvas de nivel

hay muchos tipos de curvas de nivel como Curva clinogrfica, curva de configuracin, curva de depresin, curva de nivel, curva de pendiente general, curva hipsomtrica, curva intercalada pero las ms comunes son. Curvas maestras, son las lneas ms gruesas que se denominan y que indican la altura en nmero como gua vlida para todos los puntos de esa curva. Cada 5 curvas se traza una curva maestra para facilitar la interpretacin de la lectura del mapa. Lneas finas; en las que no se lee la altura, pero que podemos averiguar fcilmente tomando como referencia las gruesas teniendo en cuenta la equidistancia segn la escala del mapa.

Curvas de nivel maestras y las ms finas normales

4.3.- Equidistancia

La distancia vertical o desnivel entre dos curvas consecutivas es constante y se denomina equidistancia.El valor de la equidistancia depende de la escala y de la precisin con que se desea elaborar el mapa. Como norma general se recomienda se utilice la equidistancia normal (en), definida como la milsima parte del denominador de la escala, expresada analticamente segn la siguiente ecuacin.

en= Descala/1.000 (7.7)en donde,en= equidistancia normal.Descala= denominador de la escala.

Ejemplo Cul ser el valor de la equidistancia normal (en) recomendado para la elaboracin de un plano de curvas de nivel a escala 1/2.000.SolucinEl valor recomendado ser el valor de la equidistancia normal calculado por la ecuacin en= 2.000/1.000 = 2 men= 2 m

4.4.- Forma de la tierra

Para el estudio de la nivelacin es necesario definir o determinar la forma de la tierra, problema extremadamente complejo si no imposible para una solucin matemtica. Fue costumbre definir la superficie de la tierra como una superficie del geoide o superficie de nivel, que coincide con la superficie del agua en reposo de los ocanos.En realidad, la superficie del geoide es indeterminada, ya que depende de la gravedad y esta a su vez de la distribucin de las masas, de la uniformidad de las mismas y de la deformacin de la superficie terrestre. Se ha demostrado que la tierra no solo es achatada en los polos, sino en el Ecuador aunque en mucha menor cantidad.Debido a la complejidad del problema, se ha reemplazado la superficie del geoide por la superficie a la forma real de la tierra. Con esta aproximacin podemos asumir que una superficie de nivel es perpendicular en cualquier punto a la lnea vertical del lugar o direccin de la plomada, al como muestra la figura.

Para la resolucin de problemas prcticos de ingeniera, se debe estimar hasta que punto se puede asumir, sin apreciable error, que el plano horizontal coincide en toda su extensin con la superficie de nivel, es decir hasta que punto podramos considerar a la tierra como plana

4.5.- Curvatura y refraccin

Aceptando la simplificacin de la forma de la tierra, debemos estimar el efecto que la misma tiene en el proceso de nivelacin. Como se puede observar en la figura, una visualizacin horizontal lanzada desde el punto A se aleja de la superficie de la tierra en funcin de la distancia horizontal D, por lo que el efecto de la curvatura de la tierra (), sera la distancia BB.

Aplicando el teorema de Pitgoras tenemos.

Tomando un valor de R= 6.370 km, considerado por el momento una distancia horizontal de unos pocos km, la magnitud del efecto de la curvatura resulta un valor pequeo por lo que por ser un infinitsimo de orden superior, quedando la ecuacin anterior asi:

El efecto de la refraccin depende de la presin atmosfrica, temperatura y ubicacin geogrfica, pero puede admitir, para simplificar el problema, como funcin directa de la curvatura terrestre. ; Entonces K representa el coeficiente de refraccin

Se puede observar en la figura de la representacin de los efectos de curvatura y refraccin, que el efecto de refraccin contrarresta el efecto de curvatura, por lo que el efecto o error total de curvatura y refraccin se determina segn la siguiente expresin:

4.6.- Aplicaciones de las curvas de nivel: Desarrollo

1. Determinar, la mxima distancia horizontal de una nivelacin geomtrica de precisin donde se requiere que el error total de curvatura y refraccin, se menor o igual a medio milmetro.Aplicando la siguiente ecuacin tenemos que:; Por lo tanto:

Tomando como valor promedio un valor de coeficiente re refraccin K= 0.16, radio de la tierra R=6370000 metros y = 0.0005 metros, determinamos la mxima distancia horizontal.

2. Cual ser, el lmite del campo topogrfico de una nivelacin geomtrica realizada con un nivel automtico y con una estada plegable de graduacin al centmetro.En una estada graduada al centmetro, fcilmente se puede aproximar lecturas al milmetro, y considerando su margen de error de ms o Aplicando la frmula para determinar la distancia tendremos que:

En una estada graduada al centmetro, fcilmente se puede aproximar lecturas al milmetro, y considerando su margen de error de ms o menos un milmetro, tendremos una precisin de dos milmetros, para lo que .Aplicando la frmula para determinar la distancia tendremos que:

A fin de determinar los lmites topogrficos altimtricos para los distintos tipos de nivelacin, en la siguiente tabla se calcula para diferentes distancias, tomando como valores promedio de K=0,16 y R=6.370 km.En la siguiente tabla los valores de D representan el limite del campo topogrfico perimtrico para los diferentes tipos de nivelacinPara los valores de D>400 m, se debe tomar en cuenta el

5.- METODOS DE TRAZADO DE CURVAS DE NIVEL

Como las curvas de nivel son lneas que unen los puntos de cotas enteras de igual elevacin, y en el trabajo de campo difcilmente se obtienen las cotas enteras, es necesario recurrir a un proceso de interpolacin lineal entre puntos consecutivos, para ubicar dentro del plano acotado los puntos de igual elevacin.Finalmente, determinada la ubicacin de los puntos de igual elevacin, procedemos a unirlos pormedio de lneas continuas completando de esta manera el plano a curvas de nivel.A continuacin describiremos los mtodos ms comunes y prcticos de interpolacin para la ubicacin de las cotas enteras o redondas.

5.1.- Mtodo grafico

El mtodo grfico est basado en el teorema de proporcionalidad de Thales, cuyo enunciado se reproduce a continuacin:Si varias rectas paralelas cortan dos lneas transversales, determinan en ellas segmentos correspondientes proporcionales.En la figura AB y AC son rectas transversales y aa y bb son rectas paralelas a CB, por lo tanto, segn el teorema de Thalestenemos:

Este mismo principio es aplicado para ubicar el puntos de cota entera entre dos puntos del plano acotado.El procedimiento de interpolacin grfica ser descrito con la ayuda de la figura en la que deseamos ubicar los puntos de cota entera con equidistancia de 1 m que existen entre los puntos A-B

Procedimiento: Por el punto de menor cota (punto A) trazamos en recta arbitraria (AB). Alineando el escalmetro sobre AB y a una escala conveniente, hacemos coincidir la parte decimal de la cota del punto A (0,44) con el punto A representado. Como se desea ubicar las cotas enteras con equidistancia de 1 m, marcamos sobre la alineacin AB los puntos intermedios 1, 2, 3, 4 y B que representarn las cotas 44, 45, 46, 47 y 47,63, respectivamente. Por el punto B, que representa la cota 47,63 trazamos una lnea que pase por B, determinando de esta manera la alineacin BB. Trazamos paralelas a BB por los puntos 1, 2, 3 y 4 hasta interceptar la lnea AB. Por el principio de proporcionalidad de Thales, los puntos interceptados definen la ubicacin de las cotas 44, 45, 46 y 47 sobre la lnea AB. Ntese que en la interpolacin grfica, la escala utilizada para dividir la recta auxiliar no influye en el resultado final. Se repite el proceso indicado para cada par de puntos adyacentes. Finalmente se procede a unir los puntos de igual cota para obtener las curvas de nivel correspondiente.

5.2.- Mtodo AnalticoEs la versin del teodolito ptico, con la incorporacin de electrnica para hacer las lecturas del circulo vertical y horizontal, desplegando los ngulos en una pantalla eliminando errores de apreciacin, es ms simple en su uso, y por requerir menos piezas es ms simple su fabricacin y en algunos casos su calibracin.Las principales caractersticas que se deben observar para comparar estos equipos hay que tener en cuenta: la precisin, el numero de aumentos en la lente del objetivo y si tiene o no compensador electrnico.5.3.- Mtodo Grfico

El mtodo grfico est basado en el teorema de proporcionalidad de Thales, cuyo enunciado se reproduce a continuacin:Si varias rectas paralelas cortan dos lneas transversales, determinan en ellas segmentos correspondientes proporcionales.En la figura AB y AC son rectas transversales y aa y bb son rectas paralelas a CB, por lo tanto, segn el teorema de Thalestenemos:

Este mismo principio es aplicado para ubicarpuntos de cota entera entre dos puntos del planoacotado.El procedimiento de interpolacin grfica ser descrito con la ayuda de la figura en la que deseamos ubicar los puntos de cota entera con equidistancia de 1 m que existen entre los puntos A-B

5.4.- Herramientas de obtencinEl campo topogrfico plan mtrico depender de la precisin que se desee obtener y de la apreciacin de los instrumentos a utilizar en las operaciones de nivelacin.Las nuevas generaciones de instrumentos de medicin han hecho ms eficientes los trabajos de campo, as mismo en los trabajos de gabinete o de oficina, el clculo y dibujo cuenta con las herramientas del software del diseo asistido por computadora(CAD); son varios programas de aplicaciones CAD que permiten realizar el clculo y la edicin de planos de topografa.En Mxico la plataforma de diseo ms empleada es AutoCAD, el programa CivilCAD es un software de topografa que trabaja sobre plataforma de AutoCAD, por su costo accesible y sencilles en su aprendizaje y manejo es de amplia aplicacin en el ejercicio de la topografa. Otrosprogramas de topografiason: TopoCal, Cartomap, GeoOpus, Sierra Soft , AutoCAD CIVIL 3D, etc.

ResumenEl desarrollo de la tecnologa ha evolucionado en todos los campos del conocimiento. Las matemticas han contribuido enormemente a estos cambios; la visualizacin, la experimentacin numrica y grfica han cambiado aspectos fundamentales de la manera en que enseamos el razonamiento conceptual; sin embargo, seguimos creyendo que la esencia de las matemticas es el enfoque a la comprensin conceptual de los temas bsicos yFundamentales. Los conceptos matemticos de curvas y superficies describen a las cosas reales del mundo que habitamos. Estos elementos matemticos pueden explicarnos las formas de las cosas que nos rodean: [2]; las hlices, espirales, cnicas, cilindros, esferas, tetraedros, cubos, tubos, rectas, planos, etc. una coleccin de figuras geomtricas que resaltan por su belleza y por su similitud con muchos objetos que nos rodean. Nuestro objetivo es la construccin de las curvas y superficies con el apoyo de Matlab [11] para obtener la grfica de esa coleccin de figuras geomtricas y de otros. El uso de parametrizacin tanto en curvas como en superficies es bsico por la facilidad con que trabaja Matlab para efectuar los clculos y luego para su representacin grfica. Queremos mostrar la forma de obtener la grfica de estas curvas y superficies especiales que son comunes e importantes. Las definiciones formales se encuentran en el apndice o en la bibliografa que citamos. La disponibilidad de la tecnologa no hace menos importante comprender con claridad los conceptos que sustentan las imgenes que aparecen en la pantalla, sino que aumenta su importancia. Cuando se usa con propiedad las computadoras, son herramientas poderosas para descubrir y comprender temas que antes eran difciles de visualizar.

Conclusin El trabajo que realizamos nos ha ayudado a conocer algunas formas de determinar curvas de nivel sobre un terreno. Cualquiera sea su aspecto fsico. El objeto de la topografa es el estudio de los principios y mtodos para representar una porcin de la tierra con todos sus detalles naturales o debidos a la mano del hombre; as mismo se requiere del conocimiento del equipo e instrumental de medicin, clculo y dibujo para ello. En general las superficies levantadas por procedimientos topogrficos son reducidas (menores a una extensin de 200 Km2) por lo que no se considera el error por curvatura, efecto de la esfericidad terrestre.

En general la Topografa se encaraga de conocer los elementos naturales y los culturales, pendiente de terreno, posicin de puntos, reas de terreno y sus ocupantes, orientar los proyectos geolgicos mineros y cualquier obra de ingeniera civil, tanto en la realizacin de ante proyectos, proyectos y ejecucin.

3. Bibliografahttp://ima.ucv.cl/hipertexto/cvvhtml/Cap2/sec7/sec7.htmhttp://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/dragan/licenc/calcII-0708-graficas.pdfhttp://www.cuevadelcivil.com/2010/03/etapas-para-el-trazado-de-carreteras.htmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Curva_de_nivelhttp://es.slideshare.net/eliarosa/historia-de-la-topografia