ECUACIONES DIFERENCIALES

Fase 1

ARSECIO CHARRY

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD”

MARZO

2014

EJERCICIOS

Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación:

dydx

+sen ( y )=0 Es una ecuación No - lineal porque no hay una función de “x” que multiplique a una de “y” o

sencillamente porque la función “Cos” no depende solo de x sino también de y

Ecuación de primer orden porque está determinado por la derivada de orden  más alto que aparezca en ella.

En este caso orden 1.

y ' '+ y'+ y=0 Es de la forma: y(n) = f(x, y, y',..., y (n1)) es lineal cuando  f es una función lineal de y, y',..., y (n1).

(1)

Y es de segundo orden porque está determinado por la derivada de orden  más alto que aparezca en ella.

En este caso orden 2 .

d2 yd x2 + dy

dx−5 y=ex Es ecuación lineal por que la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia

distinta de uno o cero y porque en el coeficiente que lo multiplica solo interviene la variable independiente

Y es de segundo orden porque está determinado por la derivada de orden  más alto que aparezca en ella.

En este caso orden 2.

(2 y+1 ) dx+( y2 x− y−x ) dy Es ecuación no lineal por que la función está elevada al cuadrado

Ecuación de primer orden porque está determinado por la derivada de orden  más alto que aparezca en ella.

En este caso orden.

x y'− y=x2 Es de la forma: y(n) = f(x, y, y',..., y (n1)) es lineal cuando  f es una función lineal de y, y',..., y (n1). (1)

Y es de primer orden porque está determinado por la derivada de orden  más alto que aparezca en ella.

En este caso orden (1).

F. demuestre que y=1x

es solución de la siguiente ecuación diferencial:

( dydx )+ y2+ y

x− 1

x2=0

1. derivamos y=1x

y=x−1

dydx

=−1x−2

dydx

=−1

x2

2. reemplazamos la derivada en la ecuación:

(−1

x2 )+( 1x )

2

+( 1

x )x

− 1

x2=0

−1

x2+ 1

x2+ 1

x2− 1

x2=0

0 = 0

Entonces y=1x

es solución de la ecuación diferencial.

Temática: ecuaciones diferenciales de primer orden

A. Resuelva la siguiente ecuación diferencial por el método de variables separables:

dydx

=−2 xy

dydx

=−2xy

ydy=−2 xdx

Calculamos la integral en ambos lados de la ecuación.

∫ ydy=−∫2 xdx

y2

2=−x2+C

y2=−2 x2+2C

y=√−2 x2+C

B. Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala.

(2 xy ) dydx

+ y2−2 x=0

( y2−2 x ) dx+(2 xy )dy=0

M= y2−2x

∂ M∂ y

=2 y

N=2 xy

∂ N∂ x

=2 y

Por tantodMdy

=dNdx

La ecuación es exacta

Una vez verificamos que la ecuación es exacta, suponemos que existe una función f (x , y ) tal que:

f ( x , y )=∫N dy

f ( x , y )=∫ (2 xy ) dy

f ( x , y )=xy2+g ( x )

Ahora, derivamos a f ( x , y ) respecto a x, para obtener M .

y2+g ' ( x )= y2−2 x

g' (x )=−2x

∫ g' ( x )dx=∫−2 x dx

g ( x )=−x2+C

Así, f ( x , y )=xy2−x2+C

C. Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante

(3 xy+ y2 ) dx+( x2+ yx ) dy=0

M=3 xy+ y2

∂ M∂ y

=3 x+2 y

N=x2+ yx

∂ N∂ x

=2 x+ y

Por tantodMdy

≠dNdx

No es Exacta, por lo tanto tenemos que resolver por medio del factor integrante:

∂ M∂ y

−∂ N∂ x

N=

3 x+2 y− (2 x+ y )x2+ yx

=x+ y

x ( x+ y )=

1x

El factor integrante es:

μ=e∫ 1

xdx

μ=e ln x

μ=x

Tenemos entonces:

x ( 3xy+ y2 ) dx+x ( x2+ yx ) dy=0

(3 x2 y+x y2 ) dx+ ( x3+ y x2 ) dy=0

M=3 x2 y+x y2

∂ M∂ y

=3 x2+2 xy

N=x3+ y x2

∂ N∂ x

=3 x2+2 xy

∂ M∂ y

=∂ N∂ x

SI ES EXACTA… por lo tanto resolvemos:

Una vez verificamos que la ecuación es exacta, suponemos que existe una función f (x , y ) tal que:

f ( x , y )=∫N dy

f ( x , y )=∫ ( x3+ y x2 ) dy

f ( x , y )=x3 y+ 12

x2 y2+g ( x )

Ahora, derivamos a f ( x , y ) respecto a x, para obtener M .

3 x2 y+x y2+g ( x )=3 x2 y+x y2

g' (x )=0

∫ g' ( x )dx=∫ 0 dx

g ( x )=C

Así,

f ( x , y )=x3 y+ 12

x2 y2+C

D. Resolver la siguiente ecuación diferencial

dydx

= yx+ x

y

dydx

= yx+ 1

yx

u= yx

ux= y

dydx

=xdudx

+u

Remplazando tenemos:

xdudx

+u=u+ 1u

xdudx

=1u

udu=dxx

∫udu=∫ dxx

u2

2=ln x+C

( yx )

2

=2 ln x+C

y2=x2 (2 ln x+C )

y=± x √(2 ln x+C )

1. Una fábrica está situada cerca de un rio con caudal constante de 10000m3/s que vierte sus aguas por la única entrada de un lago con volumen de 6000 millones de m3. Suponga que la fábrica empezó a funcionar el 1 de enero de 1999, y que desde entonces, dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes al río a razón de 2 m3/s. Suponga que el lago tiene una salida de 8000m3/s de agua bien mezclada. Esboce la gráfica de la solución y determine la

concentración de contaminantes en el lago después de un día, un mes (30 días), un año (365 días).

Datos:

Q del río: 10,000 m3/s

Volumen del lago: 6, 000, 000,000 m3

La fábrica bombea contaminantes 4 h/día por 2m3/s

Salida del lago: 8,000 m3/s

Calcular concentración de contamínate para 1 día, un mes y un año

Análisis:

Se debe llevar a una ecuación que contenga la mezcla de agua contaminada que

entra al lago restándole la mezcla de agua contaminada que sale del lago. Es decir: dxdt

= a la mezcla que entra – mezcla que sale.

Para saber la mezcla que entra al lago se multiplica la velocidad de entrada por la cantidad de contaminante (ambas en función del tiempo:

dxdt

=Ve ( t )Ce ( t )−Vs (t )Cs( t)

Dónde:

X: es la cantidad de contaminante al cabo de un tiempo (t)

Ve: es la velocidad de entrada

Vs: es la velocidad de salida

Ce (t): es la concentración de mezcla de entrada

Cs (t) es la concentración de mezcla de salida

Con las velocidades de entrada y salida:

dxdt

=10,000m 3s

∗Ce ( t )−8,000m3s

∗Cs( t)

dxdt

=10,000m 3s

(2 )−8,000

dxdt

=20,000m 3s

−8,000m3s

=12,000m3s

dxdt

=∫ 12,000m 3

s

x (t )=12,000 t +C C=0 sit=0 x=0

x (t )=12,000m3

st

1 día= a 86, 400 seg

Si t=86,400 se g→ x ( t )=12,000m 3

s(86,400 seg )

x (t )=10,369∗103 m3

1 mes= 2,592,000 seg → x ( t )=12,000m 3

s(2,592,000 seg)

x (t )=3,110∗106 m3

365 días= 31,104,000 seg → x ( t )=12,000m 3s

(31,104,000 seg)

x (t )=373,248∗103 m3

2- Una fábrica está situada cerca de un rio con caudal constante de 1000m3/s que vierte sus aguas por la única entrada de un lago con volumen de 1000 millones de m3. Suponga que la fábrica empezó a funcionar el 1 de enero de 1993, y que desde entonces, dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes al río a razón de 1

m3/s. Suponga que el lago tiene una salida de 1000m3/s de agua bien mezclada. Esboce la gráfica de la solución y determine la concentración de contaminantes en el lago después de un día, un mes (30 días), un año (365 días).

Los datos que podemos extraer del enunciado son los siguientes:

Volumen del lago 1000 millonesde m3

Caudal entrante al lago 1000m3

s

Caudal saliente del lago 1000m3

s

Sustancia contaminante 1m3

s

Se procede a hallar una ecuación diferencial para calcular la concentración de contaminantes en el transcurso del tiempo y entonces estará en función del (t).

Taza de entrada al algo A A=1000m3

s

Taza de salida del lago B B=1000m3

s

Concentración entrada C 1=1m3

s

Concentración saliente depende del tiempo C (t)

V (t) Volumen en el tanque en cualquier instante de tiempo.

Q (t) Cantidad de contaminante en cualquier instante

C (t) Concentración que hay en cualquier tiempo

C (t )=Q(t)V (t)

Se analizan cada una de las variables anteriormente mencionadas

Variación del volumen depende del tiempo dvdt

=A−B

La variación del volumen es lo que entra menos lo que sale dv=( A−B ) dt

Integramos ambos lados de la ecuación ∫ dv=∫ ( A−B )dt

Solucionando las integrales v=( A−B ) ( t )+C

Para hallar C partimos de una condición inicial del volumen en t=0

v (0 )=( A−B ) (0 )+C

v (0 )=C

Como A y B son iguales el volumen en todo tipo es el mismo

V (t )=1000 millonesde metros cubicos

Ahora para Q

dQdt

=R 1−R 2

R 1=razon deentrada=A∗C 1

R 2=razon de salida=B∗C( t)

¿B∗Q(t)

V ( t)

dQdt

=A∗C 1−B∗Q( t)

V (t)

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

(1), (2) Bucheli Carlos Ivan, MODULO DE ECUACIONES DIFERENCIALES, pág. 6-21, Bogotá 2007.

(3) https://www.youtube.com/watch?v=94YQF2BWis0

BIBLIOGRAPHYPurcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Cálculo. México: Pearson Educación.

Rondón Duran, J. E. (2010). Módulo Cálculo Integral. Bogotá: UNAD.