INSTITUTO TECNOLOGICO DE PIEDRAS NEGRAS

Proyecto:UNIDAD 1

PROGRAMACION DINAMICA

Especialidad:

Ing. Industrial

Estudiantes:

EQUIPO 1

Carlos Flores Salazar

Aracely Adelnery

Rolando Ortiz

José Chávez

Héctor Pilotsi

Maestro:

Luis Manuel Pizarro

Materia:

Investigación de Operaciones 2

1

29-Jun-14

UNIDAD 1 PROGRAMACION DINAMICA.1.1 Programacion dinamicaDefinición: Método que permite determinar de manera eficiente las decisiones que optimizan el comportamiento de un sistema que evoluciona a lo largo de una serie de etapas. Características de los problemas dinámicos

Son problemas secuenciales: El problema se puede dividir en etapas. Interrelación de las decisiones tomadas en cada etapa. Las variables que describen el problema están gobernadas por

transformaciones en el tiempo. No cuenta con una formulación matemática estándar

Concepto de soluciónPrincipio de optimalidad de Bellman“Una solución óptima tiene la propiedad de que, cualesquiera sean el estado y la decisión inicial tomadas, las decisiones restantes deben constituir una política óptima con independencia del estado resultante de la primera decisión.”Descomponer en una serie de etapas el problema y la solución secuencial de los subproblemas de decisión asociados con cada etapa es equivalente a la solución del problema de decisión delsistema original.Considerar un problema como una secuencia de decisiones equivale a dividirlo en subproblemas más pequeños y por lo tanto más fáciles de resolver.La programación dinámica se aplica cuando la subdivisión de un problema conduce a:

Gran cantidad de subproblemas. Subproblemas cuyas soluciones parciales se solapan. Grupos de subproblemas de muy distinta complejidad.

Diferencias entre Programación dinámica y Programación Lineal:

Describe una situación determinada en términos de un modelo matematico(Lineal)Las decisiones se toman de manera simultanea. (Lineal)Formulación matematica estándar (Lineal)Resolución mediante recursividad (Dinamica)

Descripción de un modelo dinámico1.- Etapas: particiones del problema en los que se pueden tomar decisiones que no dependen de las alternativas anteriores. (Ej. Días, meses, años etc.)2.- Estados en: es la información que relaciona la etapa actual y la siguiente o anterior. Los estados pueden ser finitos o no.3.- Decisión xn: Alternativas en la etapa n.4.- Función costo cn (en ,xn ): Costo asociadodel estado y decisión tomada en la etapa n

2

5.- Función de transición, en xn: Relaciona las variables de estado y decisión de una etapa con la variable de estado de la etapa siguiente.6.- Función costo acumulado, f n(en , xn ) : Costo total acumulado en n-etapas dado un estado y una decisión particular.7.- Función objetivo f n

* (en ) : Objetivo a alcanzar al finalizar el problema. (Max o

Mini). Notemos que para un valor determinado de en se tendrán varias decisiones posibles de , xn y entre ellas la decisión óptima, x*

n . Resolución de un problema de programación dinámicaIdentificar las etapas, variables de decisión y variables de estado.Descripción de las ecuaciones de recurrencia.Optimizar cada subproblema en cada etapa en función de los resultados de la resolución del subproblema siguiente.El método de solución determina inicialmente la política de decisión óptima para la última etapa. Esto es generalmente trivial. Recursividad hacia atrás.

Clasificación de los problemas de programación dinámicaProgramación dinámica deterministica: son problemas dinámicos, donde el estado en la siguiente etapa está completamente determinado por el estado y la decisión actual. DiscretosContinuos

Programación dinámica probabilística: existe una distribución de probabilidad sobre lo que puede ser el siguiente estado.En la programación dinámica probabilística, el estado en la etapa siguiente noqueda completamente determinado por el estado y la decisión de la subpolíticaen el estado actual, sino que existe una distribución de probabilidad para loque sería el estado siguiente. Gráficamente tenemos:

3

1.2 Ejemplos de Modelos de programación dinámica.Ejemplo 1.-Un caza fortunas mítico de Missouri que decide ir al oeste a unirse a la fiebre del oro en California a mediados del siglo XIX. Tiene que hacer el viaje en diligencia a través de territorios sin ley cuando existían serios peligros de ser atacado por merodeadores. Aun cuando su punto de partida y su destino eran fijos, tenía muchas opciones en cuanto a que estados (o territorios) debía elegir como puntos intermedios.En la siguiente figura se muestran las rutas posibles, en donde cada estado está representado por un círculo numerado. Como se puede observar, se requerían cuatro etapas (jornadas de diligencia) para viajar desde su punto de partida en el estado A (Missouri) a su destino en el estado J (California).

Este caza fortunas era un hombre prudente que estaba preocupado por su seguridad. Después de reflexionar un poco se le ocurrió una manera bastante ingeniosa para determinar la ruta mas segura. Se ofrecían pólizas de seguros de vida a los pasajeros. Como el costo de la póliza para cualquier jornada de la diligencia estaba basado en una evaluación cuidadosa de la seguridad del recorrido, la ruta mas segura debía ser aquella que tuviera el costo total mas barato.

4

El costo de la póliza estándar para el viaje en diligencia, del estado i al estado j, se denotara por Cij, y es…

La atención se centrara sobre la pregunta ¿Cuál es la ruta que minimiza el costo total de la póliza?

PROCEDIMIENTO DE SOLUCION.n = 4 donde X4 = JF4*(s,J) = Cij + Fn+1*(Xn)

s F4*(s) X4*

H 3 J

I 4 J

n = 3F3*(s,X3) = Csx3 + F4*(X3)

X3 S

F3(s,X3) = Csx3 + F4*(X3)

F3*(S) X3*H I

E 4 8 4 H

F 9 7 7 I

G 6 7 6 H

n = 2F2*(s,X2) = Csx3 + F3*(X2)

X2 S

F2(s,X2) = Csx2 + F3*(X2)

F2*(S) X2*E F G

B 11 11 12 11 E o F

C 7 9 10 7 E

5

D 8 8 11 8 E o F

n = 1F1*(s,X1) = Csx1 + F2*(X1)

X1 S

F1(s,X1) = Csx1 + F2*(X1)

F1*(S) X1*B C D

A 13 11 11 11 C o D

Soluciones Óptimas:A – C – E – H – JA – D – E – H – JA – D – F – I – J

Ejemplo 2Un viajero quiere saber cuál es el camino más corto en km para administrar la gasolina de su automóvil y poder tener un ahorro en su dinero, pero al checar el mapa se da cuenta que tiene varios caminos que puede tomar para llegar a su destino así que decidió aplicar la programación dinámica para saber qué camino tomar y cumplir con su objetivo de optimizar la gasolina.

6

n=4s x4 F4(s) X4

I 14 L

J 6 L

K 15 L

n=3s x3 I j

kF3+(s) X3

E 24 14 14 J

F 21 15 15 J

G 25 14 22

14 J

H 18 21

18 J

n=2s x2 E F G

HF2+(s) X2

B 23 25 23 E

C 19 22 19 19 G,E

7

24

D 22 32

22 G

n=1s x1 B C

DF1(s) X1

A 29 27 29

27 C

SOLUCION OPTIMA: A,C,G,J,L=8+5+8+6=27 km A,C,E,J,L

1.3 PROGRAMACION DINAMICA DETERMINISTA.La programacion dinamica encuentra la solucion optima de un problema con “n” variables Descomponiendolo en n etapas, siendo cada etapa un subproblema de una sola variable. Sin embargo, como la naturaleza de la etapa difiere de acuerdo con el problema de optimizacion. La programacion dinamica no proporciona los detalles de computo para optimizar cada etapa.

NATURALEZA RECURSIVA DE LOS CALCULOS EN PROGRAMACION DINAMICA.Los calculos de programacion dinamica se hacen en forma recursiva, ya que la solucion optima de un subproblema se usa como dato para el siguiente subproblema. Para cuando se resuelve el ultimo subproblema queda a la mano la solucion optima de todo el problema. La forma en la que se hacen los calculos recursivos dependen de como se descomponga el problema original. En particular, los subproblemas se vinculan normalmente mediante restricciones comunes. Al pasar de un subproblema al siguiente se debe mantener la factibilidad de esas Restricciones comunes.  Ejemplo 10. 1-1 (Problema de la ruta mas corta).Suponga que se desea seleccionar la ruta más corta entre las ciudades O y T La red a continuación muestra las rutas posibles entre ambas ciudades, las cuales cruzan por las ciudades intermedias A-E.

8

Utilizando programación dinámica podemos dividir el problema en tres etapas La red siguiente muestra las etapas 1, 2 y 3 en que se ha dividido el problema Definimos las fórmulas recursivas hacia delante:

Formulas recursivas hacia atrás:

9

RESPUESTA PROBLEMA 1

10

Nodo A Distancia más corta al nodo A = 7 (desde el nodo O) Nodo BDistancia más corta al nodo B = 8 (desde el nodo O) Nodo C Distancia más corta al nodo C = 5 (desde el nodo ONodo DRuta AD: 7+12 = 19; Ruta BD: 8+8 = 16; Ruta CD: 5+7 = 12Distancia más corta al nodo D =min{7+12,8+8,5+7} = 12 (desde el nodo C)Nodo E Ruta BE: 8+9 = 17; Ruta CE: 5+13 = 18 Distancia más corta al nodo E = min {8+9,5+13}= 17 (desde el nodo B)Nodo T Ruta DT: 12+9 = 21; Ruta ET: 17+6 = 23 Distancia más corta al nodo T =min {12+9,17+6} = 21 (desde el nodo D)

EJERCICIO 2Alicia se encuentra de vacaciones y quiere visitar a sus papas que viven en Guanajuato (T) y ella se encuentra en ciudad juarez (O), pero tiene que pasar por varias ciudades, encuentre la ruta mas corta entre ciudad juarez y guanajuato (T y O) usando programación dinámica con recursiva hacia adelante su poniendo que se tiene la sig red.

Sub grupos.

11

Ruta más optima = es 21 kmRuta más corta = O – B – D – T

F1(x1)=min(d,x,X1*1) + (f, X(X1 + 1) i= 1, 2, 3

Etapa 1

X3 Xy F1 (X2) Sol optima Xy

D 8 8 T

E 9 9 T

Etapa 2

X2 Xy F1 (X2) Sol F2 (X2) X1

12

=13 km del nodo B5+10=159+4=138+9=17

F1=min=i=ABC

=17 km del nodo C9+10=198+9=175+17=22

F2=min=ABC

=21 km del nodo D13+8=2117+9=26

F3=min=

optima

A 8+10=18 9+17=26 18 D

B 8+4=12 9+10=19 12 D

C 8+9=17 9+9=18 17 D

Etapa 3

X1 X2 =A X1=B X3=C

Fx X2

O 18+5=23 12+9=21 17+8=25

21 B

Sol. Optima =21 KmSol Corta = D --- B --- O

1.4. Programación dinámicaProbabilistica

13

La programación dinámica probabilística difiere de la determinística (Capítulo 10) en que los estados y los retornos o retribuciones en cada etapa son probabilísticos. La programación dinámica probabilística se origina en especial en el tratamiento de modelos estocásticos de inventarioy en los procesos markovianos de decisión. Estos dos temas se describen por separado en los capítulos 16 y 19. Este capítulo presentará algunos ejemplos generales, con objeto de hacer resaltar la naturaleza estocástica de la programación dinámica.

UN JUEGO ALEATORIOEn una variación del juego de la ruleta rusa, se hace girar una rueda con marcas de n numerous consecutivos: 1 a n, en su periferia. La probabilidad de que la rueda se detenga en el número y después de un giro es p. Un jugador paga $x por el privilegio de hacer girar la rueda un máximode m giros. La recompensa para el jugador es el doble de la cantidad obtenida en el ultimo giro. Suponiendo que el juego se repite (hasta con m giros cada vez) una cantidad razonablemente grande de veces, propone una estrategia óptima para el jugador.i Se puede formular el problema como un modelo de programación dinámica con las siguientes definiciones:

1. La etapa i se representa con el giro . i, i = 1, 2, p , m2. Las alternativas en cada etapa incluyen hacer girar la rueda una vez más o terminar el juego.3. El estado j del sistema en la etapa i se representa con uno de los números de 1 a n que se haya obtenido en el último giro.

SeaFi (j) =Ingreso máximo esperado cuando el juego está en la etapa (el giro) i y el resultado del último giro fue j

En este caso se tiene que( Recompensa esperada en la etapa I ∑❑Pkfi+1 (k ) 2j, si termina el juegodado el resultado j del último giro) = 2j, si termina el juego

Entonces, la ecuación recursiva se puede escribir como sigue:

Fm+1(j)=2jFi(j)=max Fin:2j, =i=2,3….m

Giro:∑k−1

n

Pkfi+1(k )

14

F1(0)=∑k−1

n

Pkf 2(k )

La lógica de la ecuación recursiva es que en el primer giro (i = 1), el estado del sistema es j= 0, porque acaba de comenzar el juego. En consecuencia,F1(0)=p1f2(1)+p2f2(2)+…Pnf2(n). Después del último giro (i _ m), el juego debe terminar independientemente del resultado j del m-ésimo giro. Por tanto, fm+1(j)=2j.Los cálculos recursivos comienzan con fm+1y terminan con f1(0) , produciendo m _ 1 etapas de cómputo. Comof1(0) es el ingreso esperado por los m giros, y dado que el juego cuesta $x, el ingreso neto es f1(0)-x .

Ejemplo 1Suponga que el perímetro de la rueda de la ruleta rusa está marcado con los números 1 a 5. Laprobabilidad de detenerse en el número i es p1=0.3, p2=0.25, p3=0.2, p=0.1.El jugador paga $5 para hacer un máximo de cuatro giros. Determine la estrategia óptima paracada uno de los cuatro giros, y el ingreso neto esperado correspondiente.

Etapa 5.f5( j)2 = 2j

Solución óptima

Resultado j del giro 4 f5( j) Decisión

1

2

3

4

5

2

4

6

8

10

Terminar

Terminar

Terminar

Terminar

terminar

Etapa 4.

F4( j ) = máx( 2j, p1f5(1)+p2f5(2)+p3f5(3)+p4f5(4)+p5f5(5)) = máx (2j, 03*2+0.25*4+0.2*6+0.15*8+0.1*10) = máx (2j,5)

15

Ingreso esperado

Solucion optima

Resultado j del giro3

terminar girar F(j) decision

1

2

3

4

5

2

4

6

8

10

5

5

5

5

5

5

5

6

8

10

Girar

Girar

Terminar

Terminar

terminar

Etapa 3.

F3( j ) = máx( 2j, p1f4(1)+p2f4(2)+p3f4(3)+p4f4(4)+p5f4(5)) = máx (2j, 03*5+0.25*5+0.2*6+0.15*8+0.1*10) = máx (2j,6.15)

Ingreso esperado

Solucion optima

Resultado j del giro3

terminar girar F(j) decision

1

2

3

4

5

2

4

6

8

10

6.15

6.15

6.15

6.15

6.15

6.15

6.15

6.15

8

10

Girar

Girar

Girar

Terminar

terminar

Etapa 2.

F2( j ) = máx( 2j, p1f3(1)+p2f3(2)+p3f3(3)+p4f3(4)+p5f3(5)) = máx (2j, 03*6.15+0.25*6.15+0.2*6.15+0.15*8+0.1*10) = máx (2j,6.8125)

16

Ingreso esperado

Solucion optima

Resultado j del giro3

terminar girar F(j) decision

1

2

3

4

5

2

4

6

8

10

6.8125

6.8125

6.8125

6.8125

6.8125

6.8125

6.8125

6.8125

8

10

Girar

Girar

Girar

Terminar

terminar

Etapa 1.

F1( j ) = máx( 2j, p1f2(1)+p2f2(2)+p3f2(3)+p4f2(4)+p5f2(5)) = máx (2j, 03*6.8125+0.25*6.8125+0.2*6.8125+0.15*8+0.1*10) = 7.31

La única opción disponible al iniciar el juego es girar. De acuerdo con los cuadros anteriores, la solución óptima es

Giro Núm. Estrategia óptima

1

2

3

4

Comienza el juego, girar

Continuar si el giro 1 produce 1, 2 o 3. Si no, terminar el juego

Continuar si el giro 2 produce 1, 2 o 3. Si no, terminar el juego

Continuar si el giro 3 produce 1 o 2. Si no, terminar el juego

Ingreso neto esperado _ $7.31 _ $5.00 _ $2.31

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Ejemplo 2En este modelo de inversión, hay que suponer que se desea invertir $10,000 durante los 4 años venideros. Hay 50% de probabilidades de que el dinero aumente al doble, 20% de probabilidades de salir a mano y 30% de probabilidades de perder la cantidad invertida. Proponer una estrategia óptima de inversión. Al usar la notación del modelo se tiene que

C = $10,000, n = 4, m = 3P1=0.4,p2=0.2,p3=0.4R1=1,r2=0,r3=-1

Etapa 4.

r = 0.5 * 1 + 0.2 * 0 + 0.3 *-1 = 0.2Entonces,

f4x(4)= 1.2x4

La solución óptima se resume como sigue:

Solución óptima

Estado F4( x4) Y4

X4 1.2X4 X4

Etapa 3.

F3(x3 ) = máx(0.5*1.2(x3+y3)+0.2*1.2(x3+y3)+0.3*1.2(x3+(-1)y3) = 1.2x3+0.24y3 =1.44x3

Solución óptima

Estado F4( x3) Y3

X3 1.44X3 X3

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Etapa 2.

F2(x2 ) = máx(0.5*1.44(x2+y2)+0.2*1.44(x2+y2)+0.3*1.44(x2+(-1)y2) = 1.44x3+0.288y3 =1.728x2

Solución óptima

Estado F4( x2) Y2

X2 1.728X2 X2

F1(x1 ) =máx(0.5*1.728(x1+y2)+0.2*1.728(x1+y2)+0.3*1.728(x1+(-1)y1) = 1.728x1+0.3456y1 =2.0736x1

Solución óptima

Estado F1( x1) Y1

X1 2.0736X1 X1

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1.5 USO DE PROGRAMAS DE COMPUTACIONEs un sistema interactivo que ayuda a la toma de decisiones que contiene herramientas muy útiles para resolver distintos tipos de problemas en el campo de la investigación operativa. El sistema está formado por distintos módulos, uno para cada tipo de modelo o problema Entre ellos.

CONTIENE DIFERENTES TIPOS DE PROBLEMAS : Linear programming (LP) and integer linear programming (ILP): este módulo

incluye los programas necesarios para resolver el problema de programación lineal gráficamente o utilizando el algoritmo del Simplex; también permite resolver los problemas de programación lineal entera utilizando el procedimiento de Ramificación y Acotación (Branch&Bound).

Linear goal programming (GP) and integer linear goal programming (IGP): resuelve modelos de programación multiobjetivo con restricciones lineales.

Quadratic programming (QP) and integer quadratic programming (IQP): resuelve el problema de programación cuadrática, es decir, problemas con función objetivo cuadrática y restricciones lineales. Utiliza un método Simplex adaptado. Los modelos de IQP los resuelve utilizando algoritmos de ramificación y acotación.

Network modeling (NET): incluye programas específicos para resolver el problema del transbordo, el problema del transporte, el de asignación, el problema del camino más corto, flujo máximo, árbol generador, y problema del agente viajero.

Nonlinear programming (NLP): permite resolver problemas no lineales irrestringidos utilizando métodos de búsqueda lineal, y problemas no lineales con restricciones utilizando el método SUMT (función objetivo con penalizaciones sobre el incumplimiento de las restricciones).

PERT/CPM: módulo de gestión de proyectos en los que hay que realizar varias actividades con relaciones de precedencia.

WinQSB utiliza los mecanismos típicos de la interface de Windows, es decir, ventanas, menús desplegables, barras de herramientas, etc. Por lo tanto el manejo del programa es similar a cualquier otro que utilice el entorno Windows.

Al acceder a cualquiera de los módulos se abre una ventana en la que debemos elegir entre crear un nuevo problema (File > New Problem) o leer uno ya creado (File > Load Problem). Las extensiones de los ficheros con los modelos las pone el programa por defecto, por lo tanto solamente debemos preocuparnos del nombre, que no deberá tener más de 8 caracteres

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TODOS LOS MODULOS DEL PROGRAMA TIENEN EN COMUN LOS SIGUIENTES MENUS DESPLEGABLES:

1. File: incluye las opciones típicas de este tipo de menús en Windows, es decir, permite crear y salvar ficheros con nuevos problemas, leer otros ya existentes o imprimirlos.

2. Edit: incluye las utilidades típicas para editar problemas, copiar, pegar, cortar o deshacer cambios. También permite cambiar los nombres de los problemas, las variables, y las restricciones. Facilita la eliminación o adición de variables y/o restricciones, y permite cambiar el sentido de la optimización.

3. Format: incluye las opciones necesarias para cambiar la apariencia de las ventanas, colores, fuentes, alineación, anchura de celdas, etc.

4. Solve and Analyze: esta opción incluye al menos dos comandos, uno para resolver el problema y otro para resolverlo siguiendo los pasos del algoritmo.

5. Results: incluye las opciones para ver las soluciones del problema y realizar si procede distintos análisis de la misma.

6. Utilities: este menú permite acceder a una calculadora, a un reloj y a un editor de gráficas sencillas.

7. Window: permite navegar por las distintas ventanas que van apareciendo al operar con el programa.

8. inQSB: incluye las opciones necesarias para acceder a otro módulo del programa.

9 WinQSB: incluye las opciones necesarias para acceder a otro módulo del programa.

(Modulo: Linear Programming and Integer Linear Programming) 1.- INTRODUCIR EL PROBLEMA

Para acceder a este módulo y crear nuestro propio modelo debemos seguir la siguiente secuencia,WinQSB > Linear and Integer Programming > File > New ProblemAparecerá entonces la siguiente ventana:

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En la que debemos indicar:

Problem Title: el nombre del problema Number of Variables: el número de variables Number of Constraints: el número de restricciones (sin contar las de no negatividad) Objective Criterion: si el problema es de maximizar o minimizar

Data Entry Format: el formato de los datos de entrada, que puede ser:

Spreadsheet Matrix Form.- formato de hoja de cálculo, solo se introducen los coeficientes.

Normal Model Form.- se introduce el problema completo en la forma habitual.

Default Variable Type: el tipo de variables, podemos elegir entre: Nonnegative Continuous (x >= 0 ) Nonnegative Integer (x >= 0 y entera) Binary ( x, 0 o 1) Unsigned/unrestricted (x no restringida)

A continuación podemos introducir los datos del modelo. Para poner cotas a las variables debemos utilizar el formato ">= 15, <=20", teniendo en cuenta que el infinito se indica utilizando la letra M.

2.- RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA Y OBTENCIÓN DE RESULTADOS Una vez introducido el modelo podemos resolverlo utilizando una cualquiera

de las tres opciones siguientes:

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Solve and Analyze > Solve the Problem: proporciona un informe completo sobre la solución del problema resumido en la siguiente tabla:

Como podemos observar la información contenida en la tabla es la siguiente:

Decision Variable Nombre de las variables Solution Value Valor de las variables en la solución

óptima Unit Cost or Profit (c(j)) Coeficiente de la variable en la función

objetivo Total Contribution Contribución total de la variable a la

función objetivo Reduced Cost Coste reducido, - (zj - cj ) Basis Status Indica si la variable es o no básica Allowable Min c(j) Mínimo valor de cj sin que cambie la base

óptima Allowable Max c(j) Máximo valor para cj sin que cambie la

base óptima Objective Function Valor de la función objetivo Constraint Nombre de la restricción Left Hand Side Valor del término de la derecha Direction Signo para la restricción (<=, >= o =) Right Hand Side Valor de la restricción en la solución

óptima Slack or Surplus Valor de la variable de holgura Shadow Price Valor de la variable dual asociada a

la restricción Allowable Min RHS Mínimo valor para bi sin que cambie

la base óptima Allowable Max RHS Máximo valor para bi sin que

cambie la base óptima  

Solve and Analyze > Solve and Display Steps: permite resolver el problema paso a paso, muestra la tabla del Simplex indicando en la última columna el ratio para elegir la variable que deja de ser básica.

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Obsérvese que la última fila corresponde a la ecuación de la función objetivo y que los costes reducidos aparecen cambiados de signo.

En esta ventana aparece un menú en el que la opción Simplex Iteration nos permite realizar las siguientes acciones:

Next Iteration Realizar la siguiente iteración Choose Entering Variable Elegir la nueva variable básica Go to the Last Tableau Ver la tabla óptima Nonstop to Finish Resolver el problema y dar un informe

global Solve and Analyze > Graphic Method:

Resuelve problemas de dos variables gráficamente, debemos elegir qué variable representar en cada eje.

Solve and Analyze > Perform Parametric Analysis: esta opción realiza el análisis paramétrico del modelo. Es decir, indica cómo cambia la función objetivo cuando el vector de costes o el RHS se perturba paramétricamente, z = c+µc' o RHS = b+µb'. El informe de resultados final tiene el siguiente formato:

Como vemos, además de indicar cómo cambia el valor de la función según varía el parámetro µ, también se indica la pendiente del cambio en cada tramo (Slope), y cada vez que se produce un cambio de base, la variable que deja de ser básica (Leaving Variable) y la nueva variable básica (Entering Variable).  

Desde la opción Results > Graphic Parametric Analysis podemos representar gráficamente el análisis paramétrico.

 Solve and Analyze > Alternative Solutions: proporciona soluciones óptimas alternativas si es que las hay.

Format > Switch to Dual Form: proporciona el problema dual del modelo que hemos introducido.

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE PIEDRASNEGRAS

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Integrantes: Alejandro Maximiliano Martínez Flores José Luis Castillo Chapa Carlos Antonio Coronado Campos Abel Puente Vázquez Juan Luis Pérez

Maestro: Ing. Luis Manuel García Pizarro

Materia: Investigación de operaciones II

Carrera: Ingeniería Industrial

TRABAJO DE UNIDAD 2 EQUIPO 2

Lunes 09 de julio del 2014

Calle Instituto Tecnológico #310 Col. Tecnológico C.P. 26080, Piedras Negras, Coah.Tels. (878) 783-0135, 783-0713, 783-9116, Fax Ext.103, email. info@itpiedrasnegras.edu.mx

INDICE.

2.1 Introducción, terminología, notación y casos de aplicación……….pag 3-5

2.2 MODELOS CON NACIMIENTOS Y MUERTE PURAS…………………….pag 6-10

2.3 POBLACIÓN INFINITA UN SERVIDOR, COLA INFINITA………………………………..pag 11-16

2.4 POBLACION FINITA UN SERVIDOR, COLA FINITA…………………………………………….pag 17-21

26

2.5 POBLACION INFINITA SERVIDORES MULTIPLES, COLA INFINITA……………………PAG 22-30

2.6 USO DE PROGRAMAS DE COMPUTACIÓN……………………………………PAG 31-34

BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………………………………….PAG 35

2.1 Introducción, terminología, notación y casos de aplicación.

Parte de nuestra vida diaria es la espera de algún servicio. Esperamos para entrar a un restaurante, “hacemos cola “en la caja de algún almacén y nos formamos para recibir un servicio en la oficina de correos. Y el fenómeno de la espera no es una experiencia que se limita solo a los humanos: los trabajos esperan a ser procesados en una máquina, los aviones vuelan en círculo hasta que la torre de control, les da permiso de aterrizar y los automóviles se detiene ante la luz roja de los semáforos. Desafortunadamente no se puede eliminar la espera sin incurrir en gastos desmesurados. De hecho, todo lo que cabe esperar es reducir el impacto desfavorable a niveles tolerables.

¿Por qué estudiar un sistema de colas?

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El estudio de las líneas de espera trata de cuantificar el fenómeno de esperar formando colas, mediante medidas representativa de eficiencia, como la longitud promedio de la cola, el tiempo promedio de espera en ella, y la utilización promedio de las instalaciones. El ejemplo que sigue demuestra cómo se usan esas medidas para diseñar una instalación de servicio.

EJEMPLO PRÁCTICO

McBurger es un restaurante de comida rápida, con tres mostradores de servicio. El gerente ha encargado que se haga un estudio para investigar las quejas por lo lento del servicio. El estudio indica la siguiente relación entre la cantidad de mostradores de servicio y el tiempo de espera de los clientes:

Al examinar esos datos que se ve que hay un tiempo promedio de espera de 7 minutos para el caso actual de 3 mostradores. El gerente desea reducirlo a unos 3 minutos, resultado que solo se puede alcanzar con cinco o más mostradores.

Modelo de decisión para línea de espera basada en costo.

28

Terminología y elementos de un modelo de cola o línea de espera.

los actores principales en una linea de espera son el servidor y el cliente. Los clientes se generan en una fuente. Al llegar a la onstalacion pueden recibir servicio de inmediato, o esperar una cola o linea de espera, si la instalacion esta ocupada. Cuando en una instalacion se termina un servicio, en forma automatica se atrae a un cliente que espera, si lo hay, de la cola. Si la cola esta vacia, la instalacion se vuelve a inactiva hasta que llega un cliente nuevo.

Desde el punto de vista del analisis de las colas, el proceso de llegada se representa con el tiempo entre llegadas, de los clientes sucesivos, y el servicio se describe con el tiempo de servicio por cada cliente. Por lo general, los tiempos entre llegadas y de servicio pueden ser probabilisticos, como el fincionamiento de una oficina de correos, o deterministicos, como en la llegada de solicitantes a la entrevista de trabajo.

El tamaño de la cola desempeña un papel en el analisis de colas, y puede ser finito, como el area de reserva entre dos maquinas consecutivas, puede ser infinito, como en las instalaciones de pedidos de correo.

La disiplina de cola, que representa el orden en que seleccionamos los clientes de una cola es un factor imprtante en el analisis de los modelos de colas. Las disciplinas mas comun es la de primero en llegar primero en servirse. Entre otras disciplinas estan ultimos en llegar, primero en servirse y de dar servicio en orden aleatorio. Tambien los clientes se pueden seleccionar en la cola con base en cierto orden de prioridad . por ejemplo, los trabajos ugentes en un taller se procesan antes que los trabajos normales.

29

El comportamiento de los clientes en espera juega un papel en el analisis de las lineas de espera. Los clientes humanos se pueden saltar de una cola a otra, tratando de reducir la espera. Tambien pueden rehusar totalmente a la cola por haber esperado demasiado.

El diseño de la instalacion de servicio puede comprender servidores en paralelo. Tambien, los servidores pueden ordenarse tambien en serie o bien pueden formar una red.

La fuente donde se generan los clientes puede ser finita o infinita. Una fueente finita limita a los cllientes que llegan al servicio. Tambien, una fuente infinita es abundante por siempre.

Las variaciones de los elementos de un caso de colas dan lugar a diversos modelos de colas. El resto de esta unidad describe ejemplos de esos modelos.

2.2 MODELOS CON NACIMIENTOS Y MUERTES PURAS(RELACIÓN ENTRE LAS DISTRIBUCIONES EXPONENCIAL Y DE POISSON)

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En esta sección se describen dos situaciones en las colas: la primera es un modelo de nacimiento(s) puro(s), en el que sólo se permiten llegadas, y el segundo es el modelo de muerte(s) pura(s), en el que sólo se permiten salidas.

Un ejemplo del modelo de nacimiento puro es la emisión de los certificados de nacimiento para los recién nacidos. El modelo de muerte pura se puede visualizar con el retiro aleatorio de un artículo en una tienda.

La distribución exponencial se usa para describir el tiempo entre llegadas en el modelo de nacimiento puro, y el tiempo entre salidas con el modelo de muerte pura. Un producto secundario del desarrollo de los dos modelos es la demostración de la estrecha relación entre las distribuciones exponenciales y de Poisson, en el sentido que una distribución define en forma automática a la otra.

FORMULA PARA RESOLVER LOS PROBLEMAS:

La solucion de estas ecuaciones en diferencias y diferenciales es :

pn ( t )= λt n e−λt

n !,n=0,1,2 ,…

EJEMPLO 1:Los niños nacen en un estado poco poblado con una frecuencia de un nacimiento cada 12 minutos. El tiempo entre nacimientos sigue una distribución exponencial. Determinar lo siguiente:

a) Cantidad promedio de nacimientos por año.

31

b) La probabilidad de que no haya nacimientos en cualquier día.c) La probabilidad de emitir 50 certificados de nacimiento en 3 horas, cuando se emitieron

40 certificados durante las primeras 2 horas del periodo de 3 horas.

a) λ=24 x6012

=120nacimientos por día

λt=120 x365=43800nacimientos por dia

b) po (1 )= (120x 1 )0 e−120 x1

o!=0

c) p10 (1 )= (5 x 1 )10e−5x 1

10!=0.01813

EJEMPLO 2:

32

En un banco la fercuencia de llegadas es de 2 clientes por minuto. Determine lo siguiente:a) La cantidad promedio de llegada durante 5 minutosb) La probabilidad de que no haya llegadas durante el próximo 0.5 minuto.c) La probabilidad de que haya al menos una llegada durante el siguiente 0.5 minuto.

a¿5min (2min)

1=10min

b¿ p ( x=0 ) ( p=0,1 )=10e−1

0 !=0.3678

1=0.3678=38.78 %

c ¿ p ( x=1 ) ( p=1,1 )=11 e−1

1 !=

1(0.3678)1 !

=0.3678=36.78 %

Modelo de muertes puras .

33

El termino de Nacimientos Puras es cuando solo se le permite llegadas al sistema ; el deMuertes Puras cuando solo se permiten salidas del sistema

Nacimientos Puros

proceso completamente aleatorio que se puede describir por medio de una distribución de Poisson.

Probabilidad de un Evento Cero condicionada por:

po(t )=e tλ

Probabilidad de un Evento n condicionada por:

34

2.3 POBLACIÓN INFINITA UN SERVIDOR, COLA INFINITA.

35

MODELO GENERALIZADO DE COLA DE POISSON

En esta sección se formula un modelo general de cola donde se combinan llegadas y salidas, basandose en la hipotesis de piosson: los tiempo entre llegadas y de servicio tienen una distribucion exponencial. El modelo es la base para reducir modelos de poisson espesializados.

El desarrollo del modelo generalizado se basa en el comprtamiento a largo plaz, o de estado estable, de la cola, que se alcanza despues de qu el sistema ha estado funcionando durante un tiempo suficientemente largo. Esta clase de analisis contrasta con el comportamiento transitorio que orevalece durante el inicio del funcionamiento transitorio.

En el modelo generalizado supone que las frecuencias tanto de llegada como de salida depende del estado, y eso quiere decir que dependen de la cantidad de clientes en la intalacion de servicio. Por ejemplo, el la caseta durante las hora pico. Otro ejemplo se da en un taller, con determinada cantidad de maquinas, cuando disminuye la frecuencia de descomposturas, cuando aumenta la cantidad de maquinas descompuestas.

Se definira lo siguiente:

n=cantidad declientes en el sistema (en lacola y enelservicio )

λn=frecuenciade llegada cuandohay nclientes enel sitema .

μn=frecuenciade salidacuandohay nclientes enel sistema

pn=probabilidad deestadp estable deque hayanclientes enel sistema

COLA ESPECIALIZADA DE POISSON.

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La frecuencia de llegadas al sistema es lamda clientes por unidad de tiempo. Todos lo servidores estan en paralelo y son identicos, lo que quiere decir que la tasa de servicio en cualquier servidor m clientes por unidad de tiempo. La cantidad de clientes en el sistema incluye, por definicion, lo que hay en el servidor y lo que esper en la cola.

Notacion:

a=distribución de lasllegadas .

b=distribución de las salidas .

c=cantidadde servidores en paralelo

d=disciplinade la cola

e=cantidadmaxima

f=tamañode lafuente

M=distribuciondemarkov

D=tiempoconstante

GI=distribución general .

MEDIDAS DE DESEMPEÑO EN ESTADO ESTACIONARIO.

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Las medidas de desempeño, eficiencia o funcionamiento de una cola son:

ls=cantidadde espera declientes enel sistema

lq=cantidadesperada de clientes enla cola

ws=tiempo esperado deespera enel sistema

wq=tiempo esperado deespera en lacola

c=cantidadesperada de servidoresocupados

Analisis de porblemas.

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A continuacion se presenta un resumen de las ecuaciones analiticas que modelan el comportamiento de una cola un servidos simple que da servicio a una poblacion infinita.

factor deutilización :

ρλμ

sistemavacio

po=1− λμ

unidades enel sistema

P1= λμpo

Clientes en la cola =

Lq= λ2

μ−(μ−λ)

EJEMPLO 1

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Un tecninco en mantenimiento de computadoras, es capaz de instalar discos duros a una tasa promedio de tres horas, de acuerdo con una distribucion de probabilidad exponencial negativa.

Los clientes solicitan este servicio llegan al taller a un promedio de 2 por hora, siguiendo una distribucion poisson.

Los clientes son atendidos sobre la prioridad de entrar primero en Sali, proceden de una poblacion muy grande de potenciales usuarios.

Con esta informacion, obtenga las caracteristicas de operación del sistema:

Solución:

factor deutilización p= λμ=2

3=0.67

clientes en la colal 1= λμ (μ−λ )

= 22

3 (3−2 )=1.33clientes

clientes en el sistema l1= λμ (μ−λ )

= 23 (3−2 )

=2clientes

tiempo en lacolaw1=λ

μ (μ−λ )=

2❑

3 (3−2 )=0.67horas

tiempo promedio enel sistema= 1λ−μ

=1hora

EJEMPLO 2

40

Supóngase un supermercado grande con muchas cajas de salida, en donde los clientes llegan para que les marquen su cuenta con una tasa de 9 clientes por hora y que hay 10 cajas en operación.

Si hay para intercambiar en las líneas, puede tratarse este problema como 10 problemas separados (sistemas) de una sola línea cada una con una llegada de 9 clientes por hora. Para una tasa de servicio de 12 clientes por hora:

A=9 clientes por hora

S=12 clientes por hora

RESPUESTA

CLIENTES EN LA LINEA, L4:

L4= A2

S (S−A )= 92

12 (12−9 )=2.25CLIENTES

PROMEDIO DE ESPERA, w4:

W 4= AS (S−A )

= 912 (12−9 )

=0.25horas=15minutos

CLIENTES EN EL SISTEMA:

L3= AS−A

= 912−9

=3clientes

TIEMPO QUE LLEVA EL PROCESO COMPLETA:

W 3= 1S−A

= 112−9

=0.33horas=20minutos

TIEMPO QUE LA CAJA ESTA OCUPADA:

U= AS

= 912

=0.75=0.75 %

PORCENTAJE DE PERSONAS EN EL SISTEMA

P (L3,3 )= AS

X+1

=0.32=32 %

41

2.4 POBLACION FINITA UN SERVIDOR, COLA FINITA

Este modelo difiere del Modelo con un servidor, cola Infinita en que hay un límite N para la cantidad de clientes en el sistema. Entre los ejemplos de este caso están los de manufactura en donde una maquina puede tener un área limitada de reserva y una ventana de servicio para un carril de autos, en un restaurante de comida rápida.

Nomenclatura

λ = Número de llegadas por unidad de tiempo

μ = Número de servicios por unidad de tiempo

ρ = λμ

: Factor de utilización

Po : Probabilidad de encontrar el sistema vacío

Pn = Probabilidad de encontrar n Clientes en el Sistema

Ls = Cantidad esperada de clientes en el Sistema

Ws = Tiempo estimado que emplea un cliente en el Sistema

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W = Ls / λef

λef = Tasa efectiva de llegadas λ = λef + λPerdido

λPerdido = Tasa Perdida

Wq = Tiempo Esperado en la cola

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Ejemplo 1

En una peluquería hay un peluquero y un total de 10 asientos. Los tiempos de llegada tienen distribución exponencial, y llega un promedio de 20 clientes posibles por hora. Los que llegan cuando la peluquería está llena no entran. El peluquero tarda un promedio de 12 minutos en atender a cada cliente. Los tiempos de corte de pelo tienen distribución exponencial.

En nuestro problema, N = 10, λ=20 clientes por hora y μ= 5 clientes /h. Entonces ρ= 20/5 = 4

   1. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar los 10 asientos ocupados?   2. En promedio, ¿cuánto tiempo pasará un cliente en la peluquería cuando entra?

Solución

1.-

P10=410( 1−4

1−411)=.75

2.- Para calcular W

L=4¿¿

Entonces da como resultado:

W = Ls / λef λ = λef + λ perdido 20 = 5 + 15

W=9.675

=1.93horas

44

Ejemplo 2

El conmutador telefónico de una empresa que vende pizzas tiene capacidad para atender una llamada y detener otras tres en tanto que la llamada primera es terminada. (Los clientes que están en espera escuchan el tercer movimiento de la Cuarta Sinfonía de Mahler, por lo que nunca cuelgan y esperan a ser atendidos.) La quinta llamada y subsecuentes dan el tono de ocupado.Asuma que la distribución del tiempo entre llamadas de los clientes es exponencial con media de 2 minutos y que la distribución de la duración de las llamadas atendidas es también exponencial con media de 4 minutos.N = 4, = 30, λ = 15 y = 2.μ ρ

1.- ¿Cuál es la probabilidad de que al llamar el teléfono dé tono ocupado?2.- En promedio ¿Cuánto tiempo esperara el cliente al teléfono?

Solución:

1.-

P4 = 24(1−2)1−24+1 = 0.5 = 50%

2.- para calcular W

Ls = 2¿¿ = 3.16 Clientes

W = Ls / λef λ = λef + λ perdido 30 = 15 + 15

W = 3.1615

= 0.21 Horas = 12.6 Minutos

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2.5 POBLACION INFINITA SERVIDORES MULTIPLES, COLA INFINITA

Una línea de espera con canales múltiples consiste en dos o más canales de servicio que se supone son idénticos de capacidad. En el sistema de canales múltiples las unidades que llegan esperan en una sola fila y luego pasan al primer canal disponible para ser servidos. La operación de un solo canal puede expandirse a un sistema de dos canales al abrir un segundo canal de servicio. La siguiente figura muestra un diagrama de la línea de espera de dos canales o más

Notación universal

• Objetivo: dados los siguientes parámetros (se suelen estimar estadísticamente)

λ ≡ tasa de llegadas.

µ ≡ tasa de servicio.

s ≡ número de servidores.

se calcula ρ = λ

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sµ ≡ factor de utilización del sistema o intensidad de tráfico (proporción de tiempo esperado en el que los servidores están ocupados). Si ρ < 1 entonces el sistema se estabiliza. En otro caso el número de clientes en el sistema se incrementa sin límite.

L ≡ valor esperado del número de clientes en el sistema (la variable se denota por N).

Lq ≡ valor esperado del número de clientes en cola (la variable se denota por Nq). y

W ≡ tiempo medio de espera en el sistema (la variable se denota por T).

Wq ≡ tiempo medio de espera en la cola (la variable se denota por Tq).

pn ≡ probabilidad de que n clientes estén en el sistema (en estado estacionario).

¯c ≡ número medio de clientes en servicio.

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EJEMPLO 1

Suponga que en el cruce fronterizo de México y Estados Unidos, localizado entre las poblaciones de Piedras Negras, Coahuila, y Eagle Pass, Texas, existe un puente sobre el Río Bravo con dos líneas de tráfico, una en dirección de México a Estados Unidos y la otra en sentido contrario. La línea de tráfico de Estados Unidos a México, se bifurca a 5 garitas de inspección migratoria y aduanera.

Suponga que las llegadas de automóviles tienen una distribución de Poisson con ƛ igual a 15 llegadas por hora, mientras que el número de servicios tiene una distribución exponencial negativa con µ igual a

8 servicios por hora.

Por decreto gubernamental, no existe prioridad de trato, así que las garitas migratorias y aduaneras proporcionan servicio en la medida que se desocupan, y se atiende en primer término al primer automóvil de la cola y así sucesivamente.

Calcule los tiempos deseados:

SOLUCIÓN

Parámetro de no infinidad.

ƛS µ

<1

ƛS µ

= 155(8)

=1540

=0.375<1

Tiempo de ocupación del servidor.

ƛµ=15

8=1.875

Probabilidad de que los servidores estén ocupados.

PO=¿

Po=¿= 0.1526=15.26%

Largo de la cola, L:

L=ƛ µ¿¿

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¿ (15 ) (8 ) ¿¿

Elementos en el sistema, W:

W=L+ ƛµ=0.0283+1.875=1.9033automóviles

Tiempo promedio de espera, Ts:

Ts= Lƛ=0.0283

15=0.0019dehora

Tiempo dentro del sistema, Tw:

T w=T S+1µ

¿0.0019+ 18=0.1269de hora

Ejemplo 2 (CANCELADO)

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Servidores múltiples, cola infinita, fuente infinita

Supóngase que las llegadas son Poisson, los tiempos de servicio son exponenciales, hay una sola línea, varios servidores y una cola infinita que opera con la disciplina de primero en llegar primero en ser servido. Las ecuaciones para las características de operación se vuelven un poco más complicadas. Sea :

N = número de servidores.

A = tasa promedio de llegadas (llegadas por unidad de tiempo).

S = tasa promedio de servicio por cada servidor (llegadas por unidad de tiempo).

Entonces :

La cantidad P0 es la probabilidad de que no haya llegadas en una unidad de tiempo, lo cual cual no lo hace más fácil de calcular. Para dos o tres servidores pueden combinarse y simplificar las dos ecuaciones para obtener, para N=2

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Nótese que para N = 1 este modelo se reduce al modelo de un servidor.

Ejemplo:

|Considérese la biblioteca de una universidad cuyo personal está tratando de decidir cuántas copiadoras debe de instalar para uso de los estudiantes. Se ha escogido un equipo particular que puede hacer hasta 10 copias por minuto. No se sabe cuál es el costo de espera para un estudiante, pero se piensa que no deben tener que esperar más de ods minutos en promedio. Si el número promedio de copias que se hacen por ususario es cinco, ¿ cuántas copiadoras se deben instalar ? .

Se usa prueba y error para resolver este tipo de problemas, no se encuentra una solución general como se hizo para el modelo de un servidor. Se tratará primero con dos copiadoras, después con tres, y así hasta que se satisfaga el criterio del tiempo de espera.

¿Cuál es la tasa de servicio? Si el número promedio de copias es cinco y la copiadora puede hacer hasta 10 copias por minuto, entonces pueden servirse en promedio hasta dos estudiantes por minuto. Pero, en esto no se toma en cuenta el tiempo para insertar la moneda, cambiar originales, para que un estudiante desocupe y otro comience a copiar. Supóngase que se permite un 70 % del tiempo para estas actividades. Entonces la tasa de servicio neta baja a 0.6 estudiantes por minuto. Además se supone que los periodos pico de copiado tienen una tasa de llegada de 60 estudiantes por hora, o 1 por minuto.

Se comenzará con dos copiadoras, ya que una no sería suficiente.

A = 1 por minuto.

51

S = 0.6 por minuto.

N = 2

3.8 estudianes

Esto excede el criterio del máximo de 2 minutos de espera para el estudiante promedio. Se tratarán tres copiadoras.

Y=0.31

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2.6 USO DE PROGRAMAS DE COMPUTACIÓN

Resolución de problemas de líneas de espera en Winqsb

Práctica

La franquicia Hot Wings cuenta con dos servidores en mostrador. El gerente sospecha que se pierden ventas por clientes que se van, cuando la fila supera los 7 clientes en horas pico. Se realiza un estudio en ese periodo de tiempo y se define que la tasa de llegadas es de 80 clientes por hora y la tasa de atención es de 20 clientes por hora.

Estimar lo siguiente:

¿Cuál es el número de promedio de clientes en la fila?

¿Cuántos clientes en promedio hay en el sistema?

¿Cuál es el tiempo promedio que el cliente espera en la fila?

¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente espera en todo el sistema?

Se abre el programa Winqsb seleccionando el ejecutable de Queuing Analysis.

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Se da clic en la hoja cuadriculada de la parte superior izquierda de la pantalla para iniciar la captura de datos.

Después nos aparecerá un cuadro de texto en el que se pondrá el título del problema, la unidad de tiempo y el tipo de problema que queremos resolver.

Nos aparecerá una tabla donde vamos a capturar los datos que nos de el problema y los que no de el problema se dejara el espacio en blanco.

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Después simplemente damos en la opción “Solve and and Analyze” para que Winqsb resuelva el problema de forma automática seleccionando la opción “Solve the Performance”.

Después de esto nos aparecerá una tabla con los resultados que se requieren saber incluyendo algunos más que dan solución al problema.

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Y estos serán los datos que se deseaban saber:

¿Cuál es el número de promedio de clientes en la fila? Lq= 6.0166

¿Cuántos clientes en promedio hay en el sistema? Ls= 8.0137

¿Cuál es el tiempo promedio que el cliente espera en la fila? Wq= 0.1506 hrs.

¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente espera en todo el sistema?

Ws= 0.2006 hrs.

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BIBLIOGRAFÍA

Taha Hamdy A. Investigación de operaciones Ed. Alfa Omega

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE PIEDRAS NEGRAS

UNIDAD III.- TEORIA DE DECISIONES

MATERIA: INVESTIGACION DE OPERACIONES II

CARRERA: Ingeniería Industrial

MAESTRO: Ing. Luis Manuel García Pizarro

Equipo 3:

Viviana Reyna González Eloy Morales Pérez Víctor Tello Rodríguez Diego Reyna Rubí Jesús Enrique Mares López Alan Alvares Esther Guzmán

Fecha: 25/Julio/2014

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3.1 CARACTERÍSTICAS GENERALES DE LA TEORÍA DE DECISIONES

La teoría de decisiones puede definirse como el análisis lógico y cuantitativo de todos los factores que afectan los resultados de una decisión en un mundo incierto.

La toma de decisión es también un proceso durante el cual la persona debe escoger entre dos o más alternativas. Todos y cada uno de nosotros pasamos los días y las horas de nuestra vida teniendo que tomar decisiones. Algunas decisiones tienen una importancia relativa en el desarrollo de nuestra vida, mientras otras son gravitantes en ella.

El proceso de toma de decisión es sin duda una de las mayores responsabilidades.

La toma de decisiones en una organización en una serie de personas que están apoyando el mismo proyecto. Debemos empezar por hacer una selección de decisiones, y esta selección es una de las tareas de gran trascendencia.

Con frecuencia se dice que las decisiones son algo así como el motor de los negocios y en efecto, de la adecuada selección de alternativas depende en gran parte el éxito de cualquier organización.

Se consideran a veces la toma de decisiones como su trabajo principal, porque constantemente tienen que decidir lo que debe hacerse, quién ha de hacerlo, cuándo y dónde, y en ocasiones hasta cómo se hará. Sin embargo, la toma de decisiones sólo es un paso de la planeación, incluso cuando se hace con rapidez y dedicándole poca atención o cuando influye sobre la acción sólo durante unos minutos.

Las Funciones De La Toma De Decisiones.

La toma de decisiones en una organización invade cuatro funciones que son: planeación, organización, dirección y control.

Funciones dentro de la organización al tomar decisiones.

Importancia De La Toma De Decisiones.

En el momento de tomar una decisión es importante ya que por medio de esta podemos estudiar un problema o situación que es valorado y considerado profundamente para elegir el mejor camino a seguir según las diferentes alternativas y operaciones.

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También es de vital importancia ya que contribuye a mantener la armonía y coherencia del grupo, y por ende su eficiencia.

En la Toma de Decisiones, podemos considerar un problema y llegar a una conclusión válida, significa que se han examinado todas las alternativas y que la elección ha sido correcta. Uno de los enfoques más competitivos de investigación y análisis para la toma de las decisiones es la investigación de operaciones. Puesto que esta es una herramienta importante para de la producción y las operaciones.

TECNICAS PARA LA TOMA LA TOMA DE DECISIONES

1) Lista de ventajas e inconvenientes

Es la más conocida de las técnicas para la toma de decisiones, lo primero que enseñan en cualquier curso para la toma de daciones o en cualquier estudio que realices sobre el tema; de ahí que figure en el primer lugar de la lista.

2) Esperanza positiva

Consiste en visualizar EL ÉXITO de cada una de las opciones, percibirlo mentalmente hacerlo nuestro. 

3) Esperanza negativa

Esta técnica es justo la contraria y complementaria a la anterior.

4) Esperanza inversa

A veces, por muchas vueltas que le demos a las consecuencias de una decisión, no somos capaces de ver cual nos convence más o cual preferimos.

5) Experiencias previas

¿Es la primera vez que tomamos una decisión en el curso de nuestra vida? Seguramente no. 

6) Modelos a seguir

Una de las técnicas para la toma de decisiones más útiles para afrontar una decisión es tratar de imaginar como la afrontaría alguien a quien admiramos. 

7) Pedir consejo

A veces las personas somos reticentes a dejarnos aconsejar por los demás, nos parece humillante o subordinado el que alguien nos diga lo que tenemos que hacer. 

8) El poder de la Intuición

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El proceso de toma de decisiones es un proceso principalmente racional. Todas las técnicas que hemos visto se basan en el análisis, en los argumentos, el los razonamientos. 

9) Madurar las decisiones 

Una vez hayamos tomado una decisión, no es necesario lanzarse apresuradamente a la ejecución.

10) Ser coherente con las decisiones tomadas

Tras el proceso de maduración, una vez que hemos puesto en práctica la decisión tomada, debemos ser firmes en la misma. En el curso de la vida debemos actuar con seguridad, con solidez, y confiando en nuestras decisiones. Ya habíamos analizado las consecuencias de nuestra decisión, ahora nada nos va a coger de sorpresa, así que asumamos todas las consecuencias con valentía.

3.2 CRITERIOS DE DECISION DETERMINISTICOS Y PROBABILISTICOS

En el análisis de decisiones se usa un proceso racional para elegir la mejor de varias alternativas y esto depende de la calidad de los datos que se usen para describir el caso de la decisión.

Se dividen en 3 categorías

Toma de decisiones certidumbre Toma de decisiones bajo riesgos Toma de decisiones bajo incertidumbre

Bajo certidumbre

Bajo certidumbre: en la que los datos se conocen de forma determinística, es decir, puede predecir con certeza todas las consecuencias de sus acciones

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La resolución de un problema de este tipo es inmediata: basta elegir la alternativa que proporcione un mejor resultado.

Bajo riesgo

Los datos se pueden se pueden describir con distribuciones de probabilidades.

Los principales criterios de decisión empleados sobre tablas de decisión en ambiente de riesgo son:

Criterios de valor esperado Criterios de la dispersión Criterio de la probabilidad máxima

Decisiones bajo incertidumbre

En los procesos de decisión bajo incertidumbre, el decisor conoce cuáles son los posibles resultados de la naturaleza, aunque no dispone de información alguna sobre cuál de ellos ocurrirá.

EJEMPLO: la elección entre cara o cruz de una moneda desconocemos de antemano el resultado pero la conocemos la probabilidad objetiva de las 2 alternativas.

Criterios de decisión probabilísticos

Estos criterios utilizan el valor esperado esto es, en donde se asigna una acción o estrategia se calcula un valor esperado a partir de las consecuencias y pagos junto con las probabilidades asignadas a los eventos.

Principio de razón insuficiente

Maximización del valor esperado

Maximización de la pérdida esperada de oportunidades

Cuando uno se encuentra a un conjunto de eventos y tiene suficiente razón para suponer que uno ocurrirá en lugar de otro los eventos deben considerarse igualmente probable

EJEMPLO: una moneda simétrica tiene dos caras y sólo se distinguen por el nombre; de acuerdo al principio de indiferencia deberíamos asignar 1/2 de probabilidad a cada una de ellas al jugar un volado.

Minimización de la pérdida esperada

Una alternativa aproximada para maximizar el valor monetario esperado (EMV) es minimizar la pérdida de la oportunidad esperada ( EOL) la oportunidad perdida algunas veces llamada de arrepentimiento se refiere a la diferencia entre el beneficio óptimo y el actual resultado

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recibido, en otras palabras es la cantidad perdida por no seleccionar la mejor alternativa.

Maximización del valor esperado

El criterio del valor esperado busca la maximización de la utilidad (promedio) esperada o la minimización del costo esperado

Toma de decisiones basada en la teoría de probabilidades

Un importante método de resolución de problemas en el campo de la investigación de operaciones son los modelos de probabilidad

Estos modelos de probabilidad son también diferentes, cada tipo puede ser útil en diferentes situaciones.

¿Qué decisiones se toma?

Cadenas de Markov: Un ejemplo común de una aplicación de la cadena de Markov es el pronóstico del tiempo.

Procesos de Poisson: Se encuentran principalmente en los problemas de investigación de operaciones que tienen que ver con situaciones inverosímiles o raras, tales como terremotos, errores tipográficos de libros de texto o fallo de las máquinas.

Teoría de colas: La teoría de colas incluye una clase de modelos que tienen que ver con cómo los clientes llegan, esperan y salen de un centro o servicio.

Valor esperado de la información esperada

VEIP = BEIP - VME

VEIP = "Máximo valor que puede aportar la información adicional (que es perfecta)"

BEIP = Beneficio esperado si se conoce el estado Nj que va a presentarse, esto es, si existe información perfecta. (El que obtendría un decisor que nunca se equivocase)

VME = Valor máximo esperado con la información conocida a priori sobre el entorno.

Criterios de decisión Determinística y probabilística

Toma de decisiones probabilísticas (Laplace) razón insuficiente.

¿PARA QUE SIRVE?

Decidir entre diferentes opciones cuando no se cuenta con probabilidades para los eventos.

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Ejemplo: Una empresa organizadora de conciertos tiene que elegir la ubicación de un evento y duda entre 2 opciones: un polideportivo cubierto o un campo de futbol al aire libre. Dependiendo del tiempo que haga y de la ubicación elegida esperan obtener los siguientes beneficios.

Se monta el concierto en el polideportivo: 30,000 hace frio 20,000 templado 10,000 hace calor.

Se monta el concierto en campo de futbol: -12,000 hace frio 1,000 templado 43,000 hace calor.

Solución

P ( Sj ) = 1/3

J = 1, 2, 3

30,000+20,000+10,000 *1/3 = 20,000

-12,000+1,000+43000 * 1/3 = 10.667

FRIO TEMPLADO CALOR LAPLACE

PD 30,000 20,000 10,000 20,000

CF -12,000

1,000 43,000 10,667

Regla de Bayes (determinística)

Nos ayuda a tomar una decisión cuando se conoce las probabilidades de que algún evento ocurra.

Ejemplo: Habiendo una posibilidad del 10% de que haga frio, un 30% de que este templado, y un 60% de ¿Que este caluroso que decisión tomarían los organizadores?

Solución

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Probabilidades

0.10 0.30 0.60 Bayes

FRIO TEMPLADO CALOR

PD 30,000

20,000 10,000 15,000

CF -12,000

1,000 43,000 24,900

E {p (a1, q)} = 0.10 * 30,000 + 0.30 * 20,000 + 060 * 10,000 = 15,000

E {p (a2, q)} = 0.10 * -12,000 + 0.30 * 1,000 + 0.60 * 43,000 = 24,900

Conclusión: al disponer de la probabilidad de encontrarnos en cada estado, según Beyes, es mejor escoger

La opción del campo de futbol CF ya que de promedio obtendremos un beneficio de 24,900.

Toma de decisiones bajo certidumbre proceso de jerarquía analítica.

Aplicaciones:

El proceso de jerarquía analítica (AHP, por sus siglas en inglés) está diseñado para casos en los que las ideas, sentimientos y emociones se cuantifican con base en juicios subjetivos para obtener una escala numérica para dar prioridades a las alternativas de decisión.

Ejemplo: Martin Hans, un brillante egresado de preparatoria, ha recibido tres ofertas de beca completa en tres instituciones: U de A, U de B y U de C. Para seleccionar una universidad, Martin enuncia dos criterios principales: ubicación y reputación académica. Como es tan buen estudiante, juzga que la reputación académica es cinco veces más importante que el lugar, con lo que se tienen pesos aproximados de 17% de la ubicación y 83% de la reputación. La tabla siguiente clasifica los dos criterios para las tres universidades:

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Solución

El problema implica una sola jerarquía (el nivel) con dos criterios (ubicación y reputación) y tres alternativas de decisión (U de A, U de B y U de C).

La calificación de las tres universidades se basa en calcular un factor de ponderación o peso compuesto para cada universidad, como sigue:

U de C = 0.17 * 0.594 + 0.83 * 0.182 = 0.2520

U de B = 0.17 * 0.277 + 0.83 * 0.273 = 0.2737

U de A = 0.17 * 0.129 + 0.83 * 0.545 = 0.4743

Estimaciones de peso porcentual

Criterio U de A U de B U de C

Ubicación 12.9 22.7 59.4

Reputación 54.5 27.3 18.2

Toma de decisiones bajo riesgo, criterio de posibilidad maxima (deterministica)

1. De todos los estados de la naturaleza elegimos el que tenga mayor probabilidad de ocurrir.

2. Para este estado de la naturaleza se encuentra la acción con el pago máximo y se elige.

Desventajas

Una desventaja es que ignora mucha información relevante, no considera ningún estado distinto al más probable, la probabilidad del mas importante puede ser la más pequeña.

Solución

Elegimos el estado de la naturaleza con mayor Probabilidad

Petróleo Seco

a

Perforar $700,000 -$100,000

Vender $90,000 $90,000

Probabilidad 0.25 0.75

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Pagos estado seco

A1 = -$100,000

A2 = $90,000

VENTAJAS Y CONCLUSIONES DE LA TOMA DE DECISIONES

La toma de decisiones consiste en encontrar una conducta adecuada para resolver una situación problemática, en la que, además, hay una serie de sucesos inciertos. Una vez que se ha detectado una amenaza, real, imaginaria, probable o no, y se ha decidido hacer un plan para enfrentarse a ella, hay que analizar la situación: hay que determinar los elementos que son relevantes y obviar los que no lo son y analizarlas relaciones entre ellos y la forma que tenemos de influir en ellos. Este paso puede dar lugar a problemas, cuando se tienen en cuenta aspectos irrelevantes y se ignoran elementos fundamentales del problema.

Una vez determinada cual es la situación problemática y analizada en profundidad, para tomar decisiones, es necesario elaborar modelos de acciones alternativas, extrapolarlas para imaginar el resultado final y evaluar este teniendo en cuenta la incertidumbre de cada suceso que lo compone y el valor que subjetivamente se le asigna ya sea consciente o automáticamente. Así se obtiene una idea de las consecuencias que tendría cada una de las acciones alternativas que se han definido y que puede servir para elegir la conducta más idónea como el curso de acción que va a solucionar la amenaza

I. Toda empresa eficientemente bien manejada debe contar con una plana gerencial plenamente capacitada en la toma de decisiones bajo condiciones de certeza, incertidumbre y riesgo, pues su importancia es capital para la eficacia y eficiencia de la correcta toma de decisiones.

II. Un gerente tiene que familiarizarse con el circuito básico de toma de las decisiones y sus ingredientes. Una vez reconocidos estos ingredientes básicos, debe prestarse atención al carácter de quien toma la decisión, tanto individualmente como en grupo. Debido a que la mayoría de las decisiones tienen efecto sobre la gente, el Gerente no puede ignorar la influencia de las relaciones humanas en una decisión, especialmente cuando se selecciona una técnica para tomarla.

III. La representación en diagrama de un problema dado puede tomar diferentes formas y puede ser una ayuda invaluable para reunir y mostrar el problema en particular o los parámetros de la decisión tomada bajo condiciones de certeza, incertidumbre y riesgo.

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IV. Un conocimiento básico de las teorías de las probabilidades y de la estadística ayudará en la presentación gráfica de la información a efectos de una rápida y efectiva toma de decisiones bajo cualquiera de los tres parámetros estudiados.

V. Sin embargo, una vez que se haya procesado toda la información y al mismo tiempo comprendido cuáles son los ladrillos básicos para la construcción de la toma de decisiones, aún se requiere un ingrediente más para que un gerente tome las decisiones acertadas. La persona que no desee correr riesgos nunca tendrá éxito como gerente y/o administrador de una empresa.

VI. Un gerente debe tener el buen juicio para saber qué tanta información debe recoger, la inteligencia para dirigir la información y, lo más importante de todo, el valor para tomar la decisión que se requiere cuando ésta conlleva un riesgo en condiciones de certeza, incertidumbre y riesgo.

3.3 VALOR DE LA INFORMACION PERFECTA

Introducción

En muchas situaciones de toma de decisiones podemos obtener evaluaciones de probabilidad para los estados de la naturaleza.

Cuando están disponibles dichas probabilidades podemos usar el enfoque del valor esperado para identificar la mejor alternativa de decisión.

El valor esperado de una alternativa de decisión es la suma de los resultados ponderados para la alternativa de decisión.

El peso para un resultado es la probabilidad del estado de la naturaleza asociado, o la probabilidad de que ocurrirá el estado.

Antes de realizar cualquier experimento, debe determinarse su valor potencial.

Si se pudiera contar con un productor perfecto, se podría seleccionar por anticipado el curso de acción optimo correspondiente a cada evento pronosticado.

Ponderando la utilidad correspondiente a cada curso de acción optimo por la probabilidad de ocurrencia de cada evento, se obtiene la utilidad esperada comando con información perfecta (UEIP)

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Información Perfecta

El Valor Esperado de la Información Perfecta (VEIP) es la diferencia entre UEIP y VE.

Refleja el aumento en la utilidad esperada a partir de contar con un mecanismo de predicción perfecto.

El VEIP puede considerarse como una medida general del impacto económico de la incertidumbre en el problema de decisión.

“Es un indicador del valor máximo que convendría pagar por conseguir información adicional antes de actual”

El VEIP también da medidas de las oportunidades perdidas.

Si el VEIP es grande, es una señal para que quien toma la decisión busque otra alternativa que no se haya considerado hasta el momento.

Utilizar el Valor esperado de la información perfecta

A veces decidimos invertir mucho en conocer aspectos muy detallados sobre variables cuyo conocimiento exacto no nos va a proporcionar ningún beneficio adicional, y sin embargo otras veces no empleamos recursos en obtener cantidades pequeñas de información sobre variables clave que tienen una alta correlación con los beneficios futuros y de las cuales conocemos muy poco.

Normalmente medimos lo que más fácil resulta medir, y no lo que tiene más valor.

La información tiene valor porque nos ayuda a tomar decisiones.

Podríamos decir que el valor de la información para la toma de una decisión determinada es igual a la pérdida producida por tomar la decisión errónea (la decisión contraria a la que tomaríamos si tuviéramos la información perfecta) por la probabilidad de que dicha pérdida se produzca. 

Es decir, lo más que estoy dispuesto a pagar por una información es lo que podría dejar de ganar si tuviera la información perfecta multiplicada por la probabilidad de esa pérdida.

El valor de la información importa. Conviene pararnos a medirlo, aunque sea intuitivamente, para que los esfuerzos de obtener información se adecuen al valor que dicha información proporciona.

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Obtener la información necesaria de manera iterativa. Si disponemos de poca información, pequeñas cantidades de información, normalmente obtenidas con pocos recursos, proporcionan un alto valor.

Es decir, necesitamos menos cantidad de información que la que creemos, ya que el mayor valor se obtiene al principio de la medición. Lo importante es encontrar las variables adecuadas que necesitamos medir.

Si pudiésemos disponer de información perfecta, ¿Cuánto estaríamos dispuestos a pagar por ella?

VEIP = BEIP – VME

VEIP = "Máximo valor que puede aportar la información adicional (que es perfecta)”

BEIP = Beneficio esperado si se conoce el estado Nj que va a presentarse, esto es, si existe información perfecta. (El que obtendría un decisor que nunca se equivocase)

VME = Valor máximo esperado con la información conocida a priori sobre el entorno.

V. Altas (0.2)

V. Medias (0.5)

V. Bajas (0.3)

B*E (ei)

e1: Construccion

Planta grande

12 3 -3 12*0.2 + 3*0.5 – 3*0.3 = 3

e2: Construccion

Planta mediana

6 1 0.256*0.2 + 1*0.5 + 0.25*0.3 =

1.775

VME = MAX (3, 1.775) = 3 (e1)

70

BEIP = 12*0.2 + 3*0.5 + 0.25*0.3 = 3.975

VEIP = BEIP – VME = 975,000 u.m.

“Maximo coste que la empresa asumiría por obtener información perfecta”

“Coste de la incertidumbre (a priori)”.

3.4 ÁRBOL DE DECISION

El árbol de decisión es un diagrama que representa en forma secuencial condiciones y acciones.

Los arboles de decisión se destacan por su sencillez y pueden utilizarse en diversas áreas, tales como: reconocimiento de señales de radar, reconocimiento de caracteres, sensores remotos, sistemas expertos, diagnóstico médico, juegos, predicción meteorológica, control de calidad, etc.

Su nombre proviene de la forma que adopta el modelo, parecido a un árbol. El modelo está conformado por múltiples nodos cuadrados, que representan puntos de decisión, y de los cuales surgen ramas (que deben leerse de izquierda a derecha), que representan las distintas alternativas. Las ramas que salen de nodos circulares, o casuales, representan los eventos.

Características

Un árbol de decisión es una forma gráfica y analítica de representar todos los eventos (sucesos) que pueden surgir a partir de una decisión asumida en cierto momento.

Nos ayuda a tomar la decisión “más acertada”, desde un punto de vista probabilístico, ante un abanico de posibles soluciones.

Permite desplegar visualmente un problema y organizar el trabajo de cálculos que deben realizarse.

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Proveen un método efectivo para la toma de decisiones debido a que:

Claramente plantean el problema para que todas las opciones sean analizadas.

Permiten analizar totalmente las posibles consecuencias de tomar una decisión.

Proveen un esquema para cuantificar el costo de un resultado y la probabilidad de que suceda.

Nos ayuda a realizar las mejores decisiones sobre la base de la información existente y de las mejores suposiciones.

COMO DIBUJAR UN ARBOL DE DECISION

DESAROLLAR UN NUEVO PRODUCTO O CONSOLIDAR UNO YA DESAROLLADO.

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Producto nuevo

BuenaModeradaPobreBuenaModeradaPobre

Desarrollo meticuloso

BuenaModeradaPobreBuenaModeradaPobre

Consolidar producto

Desarrollo lento

Desarrollo rapido

Producto fortalecido

Producto efectivo

Terminología

Nodo de Decisión: Indica que una decisión necesita tomarse en ese punto del proceso. Está representado por un cuadrado.

Nodo de Probabilidad: Indica que en ese punto del proceso ocurre un evento aleatorio. Está representado por un círculo.

Rama: Nos muestra los distintos caminos que se pueden emprender cuando tomamos una decisión o bien ocurre algún evento aleatorio.

VENTAJAS DE LOS ARBOLES DE DECISION:

La regla de asignación son simples y legibles, por tanto la interpretación de resultados es directa e intuitiva.

Es valida sea cual fuera la naturaleza de las variables explicativas: continuas, binarias nominales, u ordinales.

Es una técnica no paramétrica que tiene en cuenta las interacciones que pueden existir entre los datos.

Es computacionalmente rápido.

DESVENTAJAS DE LOS ARBOLES DE DECISION

Las reglas de asignación son bastantes sensibles a pequeñas perturbaciones en los datos.

Dificultad para elegir el árbol óptimo.

Ausencia de una función global de las variables y como consecuencia perdida de la representación.

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EJEMPLO: La empresa DMG comercializadora de productos alimenticios, desea implementar un sistema de atención de enviarle las compras a los clientes en las casas, para implementar esta nueva modalidad de atención al cliente, la empresa realizo los estudios de ingresos y costos correspondientes, los cuales arrojaron las siguientes cifras tal como se detallan a continuación.

Sistema Antiguo Sistema Nuevo

Ingresos Probabilidad Ingresos Probabilidad

$ 3.000.000 60% $4.000.000 70%

$ 4.000.000 30% $5.000.000 20%

$ 5.000.000 10% $6.000.000 10%

Cifras de costo:

COSTO FIJO COSTO VARIABLE

SISTEMAANTIGUO

$400 10%

SISTEMA NUEVO $600 5%

CONSTRUIR ARBOL DE DECISION

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Ingreso Neto

E1= 2300 x 0.6 + 3200 x 0.3 + 4100 x 0.1 = $2750

E2= 3200 x 0.7 + 4150 x 0.2 + 5100 x 0.1 = $3580

EJEMPLO: La empresa SEÑOR DE LOS MILAGROS, está interesado en abrir un nuevo local para la venta de los populares panes. La empresa tiene 3 ubicaciones posibles para la instalación del nuevo local. 

Estos locales se encuentran en distintos puntos de la ciudad siendo estos en Yarina, centro de Pucallpa y plaza de Manantay. La empresa tiene los siguientes costos y beneficios por abrir un local en cada ubicación.

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0.6 x 3,000 – (300 + 400) =

Sistema

Actual (10%)

Nuevo (5%)

0.3 x 4,000 – (400 + 400) =0.1 x 5,000 – (500 + 400) =0.7 x 4,000 – (200 + 600) =0.2 x 5,000 – (250 + 600) =0.1 x 6,000 – (300 + 600) =

$2,300

$3,200

$4,100

$3,200

$4,150

$5,100

UBICACIÓN BENEFICIOS ANUALES

COSTOS DE ARRENDAMIENTO

PROBABILIDAD DE OBTERNER BENEFICIOS

YARINA 100,000 3,500 65%

CENTRO 120,000 4,000 75%

MANATAY 50,000 3,000 55%

CONSTRUIR ABROL DE DECISION

E1= 0.65 x 100,000 + 0.35 x (-3500) = $63,775

E2= 0.75 x 120,000 + 0.25 x (-4000) = $89,000

E3= 0.55 x 50,000 + 0.45 x (-3000) = $26,150

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65% beneficiosYarina

Centro

35% perdidas

75% beneficios

25% perdidas

Manantay 55% beneficios

45% perdidas

3.5 TEORIA DE UTILIDAD

La toma de decisiones es el proceso mediante el cual se realiza una elección entre las alternativas o formas para resolver diferentes situaciones de la vida, estas se pueden presentar en diferentes contextos: a nivel laboral, familiar, sentimental, empresarial, etc., es decir, en todo momento se toman decisiones, la diferencia entre cada una de estas es el proceso o la forma en la cual se llega a ellas.

Es un estudio formal sobre la toma de decisiones. Los estudios de casos reales, que se sirven de la inspección y los experimentos, se denominan teoría descriptiva de decisión; los estudios de la toma de decisiones racionales, que utilizan la lógica y la estadística, se llaman teoría preceptiva de decisión.

La toma de decisiones en una organización se circunscribe a una serie de personas que están apoyando el mismo proyecto. Debemos empezar por hacer una selección de decisiones, y esta selección es una de las tareas de gran trascendencia.

Con frecuencia se dice que las decisiones son algo así como el motor de los negocios y en efecto, de la adecuada selección de alternativas

77

depende en gran parte el éxito de cualquier organización. Una decisión puede variar en trascendencia y connotación.

Modelos de criterios de decisión

Certeza: Sabemos con seguridad cuáles son los efectos de las acciones. 

Riesgo: No sabemos qué ocurrirá tomando determinadas decisiones, pero sí sabemos qué puede ocurrir y cuál es la probabilidad de ello. 

Incertidumbre: En este caso no sabemos qué puede ocurrir ni tampoco qué probabilidades hay para cada posibilidad. Es cuando no tenemos ni idea qué puede pasar.

La toma de decisiones en la teoría de decisión

Los estudios de casos reales, que se sirven de la inspección y los experimentos, se denominan teorema descriptivo de decisión; Los estudios de la toma de decisiones racionales, que utilizan la lógica y la estadística, se llaman teorema preceptivo de decisión.

3.6 ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Sabemos que las matemáticas son una herramienta fundamental para realizar cálculos, operaciones y obtener resultados. Por lo tanto dentro del estudio de investigación de operaciones es recurrente la utilización de este instrumento.

Un uso común es el caso en el que hemos obtenido la solución óptima y deseamos encontrar la nueva solución primordial cuando hayan cambiado, por ejemplo, las disponibilidades de los recursos (b i), los precios ó costos unitarios por unidad (Cj), cambio en los coeficientes tecnológicos (aij), incorporación de una nueva variable (Nuevo producto Xj) y adición de una nueva restricción.

Esto es necesario para que el encargado de llevar a cabo la toma de decisiones conozca en que rango se puede mover los distintos coeficientes mencionados, manteniéndose la presente solución óptima; ello le da una ventaja competitiva frente a otro tomador de decisiones que no ha utilizado este modelo matemático.

En forma genérica, el análisis de sensibilidad busca investigar los efectos producidos por los cambios del entorno sobre el sistema.

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El propósito general es identificar los parámetros relativamente sensibles (es decir, aquellos que no pueden cambiarse mucho sin cambiar la solución óptima).

Desde el punto de vista de la programación lineal, el análisis de sensibilidad, llamado también análisis paramétrico, es un método que permite investigar los efectos producidos por los cambios en los valores de los diferentes parámetros sobre la solución óptima.

Dado que los parámetros que se muestran en el modelo utilizan valores estimados basados en una predicción de las condiciones futuras, los datos obtenidos para desarrollar estas estimaciones son bastante imperfectos; por esto pueden tomar otros valores posibles.

De ahí la importancia de este análisis.

Dos principales razones para realizar un análisis de sensibilidad son:

Los modelos de programación lineal son con frecuencia grandes y costosos; por lo tanto no es recomendable utilizarlos para un solo caso.

Los elementos que se dan como datos para un problema de programación lineal, la mayoría de las veces son estimaciones; por lo tanto es necesario investigar o tener en cuenta más de un conjunto de casos posibles.

El análisis de sensibilidad se lleva a cabo en:

Cambios en los niveles de recursos escasos. Cambios en los coeficientes de la función objetivo Cambios en los coeficientes tecnológicos Supresión y adición de restricciones Adición de nuevas variables

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3.7 USO DE SOFTWARE

Introducción

Al inicial este tema de Sistema de Soporte para la Toma de Decisiones de Grupos o DGSS(Dirección General de Servicio Social) , busco de manera sencilla y clara de aprender cuales son los sistema de soportes mas utilizados en estos tiempos así como están constituidos, sus clasificaciones, que es recurso humano, software, hardware entre otros.

Los DGSS tienen el objetivo de lograr la participación de un grupo de gentes mediante la toma de cualquier decisión en una empresa u organización.

Este tema promete se educador para los administradores y porque no para cualquier persona que desee tener conocimiento de lo que es un DGSS.

Sistema de soporte para la toma de Decisiones de grupos

Un sistema de soporte para la toma de decisiones de grupos es un sistema interactivo basado en computadoras, el cual solicita la solución de problemas no estructurado por un conjunto de tomadores de decisiones trabajando junto como un grupo. Los componentes de que constan son el Hardware, Software, Recursos Humanos, y Procedimientos.

Hardware

Para trabajar con DGSS es necesario constar con los procedimientos mínimos de Hardware para este tipo de sistema:

Un dispositivo de entrada / salida mediante el cual sea posible darle datos de entrada al sistema y producir una salida.

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Un procesador, para realizar los procesos necesarios y generen resultados útiles a los tomadores de decisiones.

Una línea de comunicación entre el dispositivo de entrada / salida y el, procesador, para permitir la comunicación interactivo entre los miembros del grupo.

Una pantalla o monitor individuales, para ver las aportaciones que hace cada miembro del grupo o para analizar resultado.

Una base de datos que cuente con información relacionada con las decisiones que deben tomarse y que permitan las consultas y búsqueda de temas específicos.

Una base de modelo, de lo cual se puedan elegir diferentes alternativas para tomar decisiones.

Programas de aplicaciones específicas para que el grupo los use como procesadores de palabras, grafica dotes, hojas de cálculos, o paquetes estadísticos.

Una interface flexible y fácil de usar, que permita al ejecutivo interactuar de manera adecuada con el sistema sin requerir de mucha accesoria ocupación.

Ventajas y desventajas de los DGSS

Ventajas:

Motivan a los miembros del grupo a trabajar juntos. Da la misma oportunidad de participación a todos los miembros

del grupo. Optimización de la información de los grupos Apoyar el desarrollo de una memoria organizacional de una junta a

otra. Mejorar la calidad de las tomas de decisiones debido a que el

anonimato de las contribuciones se hace que haya una mayor y mejor participación por parte de los miembros de grupos.

Incrementa la creatividad en la toma de decisiones.

Desventajas:

Falta de costumbres al utilizar un sistema para soportar el proceso de toma de decisiones respecto a la forma tradicional de realizarlos.

Resistencia al cambio por parte de los administradores, porque pueden pensar que ese sistema pueden remplazarlos.

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La responsabilidad al tomar una decisión puede diluirse, ya que las aportaciones son anónimas y las decisiones representan el consenso del grupo.

INSTITUTO TECNOLOGICO DE PIEDRASNEGRAS

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Nombre: Equipo de verano

Maestro: Ing. Luis Manuel García Pizarro

Materia: Investigación de operaciones II

Carrera: Ingeniería Industrial

Tarea: Unidad 4

INVESTIGACION

Lunes 28 de julio del 2014

Calle Instituto Tecnológico #310 Col. Tecnológico C.P. 26080, Piedras Negras, Coah.Tels. (878) 783-0135, 783-0713, 783-9116, Fax Ext.103, email. info@itpiedrasnegras.edu.mx4.1 Introducción a las cadenas de Markov.

Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria, "Recuerdan" el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado. En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de compra, los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo. El análisis de Markov, llamado así en honor de un matemático ruso que desarrollo el método en 1907, permite encontrar la probabilidad de que un sistema se encuentre en un estado en particular en un momento dado. Algo más importante aún, es que permite encontrar el promedio a la larga o las probabilidades de estado estable para cada estado. Con esta información se puede predecir el comportamiento del

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sistema a través del tiempo. La tarea más difícil es reconocer cuándo puede aplicarse. La característica más importante que hay que buscar en la memoria de un evento a otro.

Considere el problema siguiente: la compañía K, el fabricante de un cereal para el desayuno, tiene un 25% del mercado actualmente. Datos del año anterior indican que el 88% de los clientes de K permanecían fieles ese año, pero un 12% cambiaron a la competencia. Además, el 85% de los clientes de la competencia le permanecían fieles a ella, pero 15% de los clientes de la competencia cambiaron a K. Asumiendo que estas tendencias continúen determine:

¿cual es la parte que K aprovecha del mercado?:

a. en 2 años; y

b. en el largo plazo.

Esta situación es un ejemplo de un problema de cambio de marcas que sucede muy a menudo que se presenta en la venta de bienes de consumo.

Para resolver este problema hacemos uso de cadenas de Markov o procesos de Markov (qué es un tipo especial de proceso estocástico). El procedimiento se da enseguida.

SOLUCIÓN.

Observe que, cada año, un cliente puede estar comprando cereal de K o de la competencia. Podemos construir un diagrama como el mostrado abajo donde los dos círculos representan a los dos estados en que un cliente puede estar y los arcos representan la probabilidad de que un cliente haga una cambio cada año entre los estados. Note que los arcos curvos indican una "transición" de un estado al mismo estado. Este diagrama es conocido como el diagrama de estado de transición (notar que todos los arcos en ese diagrama son arcos dirigidos).

Dado ese diagrama nosotros podemos construir la matriz de la transición (normalmente denotada por el símbolo P) la qué nos dice la probabilidad de hacer una transición de un estado a otro estado. Sea:

estado 1 = cliente que compra cereal de K y

estado 2 = cliente que compra cereal de la competencia

tenemos así la matriz de transición P para este problema, dada por

Para estado 1 2

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Del estado 1 | 0.88 0.12 |

2 | 0.15 0.85 |

Note aquí que la suma de los elementos en cada fila de la matriz de la transición es uno.

Por datos de este año sabemos que actualmente K tiene un 25% del mercado. Tenemos que la fila de la matriz que representa el estado inicial del sistema dada por:

Estado

1 2

[0.25, 0.75]

Normalmente denotamos esta fila de la matriz por s1 indicando el estado del sistema en el primer periodo (años en este ejemplo en particular). Ahora la teoría de Markov nos dice que, en periodo (año) t, el estado del sistema está dado por el st de la fila de la matriz, donde:

st = st-1(P) =st-2(P)(P) = ... = s1(P)t-1

Tenemos que tener cuidado aquí al hacer la multiplicación de la matriz ya que el orden de cálculo es importante (i.e. st-1(P) no es igual a (P)st-1 en general). Para encontrar st nosotros podríamos intentar hallar P directamente para la potencia t-1 pero, en la práctica, es mucho más fácil de calcular el estado del sistema en cada sucesivo año 1,2,3 ,..., t.

Nosotros ya sabemos el estado del sistema en el año 1 (s1) tal que el estado del sistema en el año dos (s2) está dado por:

s2 = s1P

= [0.25,0.75] |0.88 0.12 |

........|0.15 0.85 |

= [(0.25)(0.88) + (0.75)(0.15), (0.25)(0.12) + (0.75)(0.85)]

= [0.3325, 0.6675]

Note que este resultado tiene sentido intuitivo, e.g. del 25% comprando actualmente al cereal de K, 88% continúan haciendolo, aunque del 75% comprando el cereal del competidor 15% cambia a comprar cereal de K - dando un (fracción) total de (0.25)(0.88) + (0.75)(0.15) = 0.3325 comprando cereal de K.

De lo anterior, en el año dos 33.25% de las personas están en estado 1 - esto es, está comprando cereal de K. Note aquí que, como un chequeo numérico, los elementos de st deben sumar siempre uno.

En el año tres el estado del sistema se da por:

s3 = s2P

= [0.3325, 0.6675] |0.88 0.12 |

85

............... |0.15 0.85 |

= [0.392725, 0.607275]

Por lo tanto en el año tres 39.2725% de las personas están comprando al cereal de K.

Recalcar que está pendiente la cuestión hecha sobre la porción que K comparte del mercado en el largo plazo. Esto implica que necesitamos calcular st cuando t se hace muy grande (se acerca al infinito).

La idea de la largo plazo es basada en la suposición de que, en el futuro, el sistema alcance un "equilibrio" (a menudo llamado el "estado sustentable") en el sentido de que el st = st-1. Ésto no quiere decir que las transiciones entre estados no tengan lugar, suceden, pero ellos tienden "al equilibrio global" tal que el número en cada estado permanece el mismo.

Hay dos enfoques básicos para calcular el estado sustentable:

Computational: - encontrar el estado sustentable calculando st para t=1,2,3,... y se detiene cuando st-1 y st son aproximadamente el mismo. Esto es obviamente muy fácil para una computadora y este es el enfoque usado por un paquete computacional.

Algebraico: - para evitar cálculos aritméticos largos necesarios para calcular st para t=1,2,3,... tenemos un atajo algebraico que puede usarse. Recalcar que en el estado sustentable st = st-1 (= [x1,x2] para el ejemplo considerado anteriormente). Entonces como st = st-1P tenemos eso

[x1,x2] = [x1,x2] | 0.88 0.12 |

.............| 0.15 0.85 |

(y también notar que x1 + x2 = 1). De esto tenemos tres ecuaciones que podemos resolver.

Note aquí que hemos usado la palabra suposición anteriormente. Esto es porque no todos los sistemas alcanzan un equilibrio, esto es, no cualquier sistema tiene matriz de transición

| 0 1 |

|1 0 |

nunca alcanza un estado sustentable.

Adoptando el enfoque algebraico anteriormente para el ejemplo del cereal K tenemos las tres ecuaciones siguientes:

x1 = 0.88x1 + 0.15x2

x2 = 0.12x1 + 0.85x2

x1 + x2 = 1

o

0.12x1 - 0.15x2 = 0

0.12x1 - 0.15x2 = 0

86

x1 + x2 = 1

Note que la ecuación x1 + x2 = 1 es esencial. Sin élla no podríamos obtener una única solución para x1 y x2. Resolviendo conseguimos x1 = 0.5556 y x2 = 0.4444

Por lo tanto, en la largo plazo, K comercializa una porción del mercado del 55.56%.

Un chequeo numérico útil (particularmente para problemas más grandes) es sustituir el examen final calculando los valores en las ecuaciones originales para verificar que ellos son consistentes con esas ecuaciones.

Paquete de Computo para la solución

El problema anterior se resolvió usando un paquete, la entrada se muestra abajo.

Datos de entrada del Problema del cereal de K (Iniciales Probabilidades de Estado)

1: 0.2500 2: 0.7500

Datos de entrada del Problema del cereal de K (Matriz de Probabilidades de Transición) Pg 1

.......De ...........A

1 1: 0.8800 2: 0.1200

2 1: 0.1500 2: 0.8500

El rendimiento se muestra debajo. Aunque el paquete puede usarse para calcular y desplegar st (para cualquier valor de t) no hemos querido mostrar esto.

En el rendimiento mostrado abajo de la nota:

las probabilidades de estado sustentables (se necesitaron 38 iteraciones antes de que st-1 y st fueran aproximadamente el mismo). Estas figuras son como se calcularon antes.

periodo recurrente para cada estado - éstos son el número esperado de periodos que pasarán para que una persona en un estado esté de nuevo en ese estado (esto es, esperaríamos que hubieran 1.80 periodos (en promedio) entre que una persona que compra el cereal de K y su próxima compra de cereal de K).

Iteración final--las Iteraciones Totales = 38

1: 0.5556 2: 0.4444

Periodo recurrente para Cada Estado

1: 1.80 2: 2.25

Datos

Note aquí que los datos que pueden necesitarse para deducir las probabilidades de transicióna, pueden a menudo fácilmente encontrarse, hoy en día . Por ejemplo se colectar tales datos por marca del consumidor que cambia, inspeccionando a los clientes individualmente. Sin embargo hoy día, muchos supermercados tienen sus propias "tarjetas de lealtad" qué son registradas a

87

través de inspecciones al mismo tiempo que un cliente hace sus compras en la caja. Éstos proporcionan una masa de información detallada sobre el cambio de marca, así como también otra información - por ejemplo el efecto de campañas promocionales.

Debe estar claro que las probabilidades de transición no necesitan se consideradas como números fijos - más bien ellas son a menudo números que podemos influenciar/cambiar.

También note que la disponibilidad de tales datos permite modelos más detallados, al ser construidos. Por ejemplo en el caso del cereal, la competencia fue representado por sólo un estado. Con datos más detallados ese estado pudiera ser desagregado en varios estados diferentes - quizá uno para cada marca competidora del cereal. También podríamos tener modelos diferentes para segmentos diferentes del mercado - quizá el cambio de marca es diferente en áreas rurales del cambio de marca en áreas urbanas, por ejemplo. Las familias con niños constituirían otro segmento importante del mercado obviamente.

APLICACIONES.

Una aplicación interesante de procesos de Markov que yo conozco es la industria costera noruega del petroleo/gas. En Noruega un cuerpo estatal, el Consejo de administración de Petróleo noruego, (junto con la compañía de aceite estatal noruega (STATOIL)), tienen un papel grande en la planeación de los medios para el desarrollo costero del petróleo/gas.

El problema esencial que el Consejo de la administración del Petróleo noruego tiene, es cómo planear la producción para aumentar al máximo su contribución en el tiempo a la economía noruega. Aquí los horizontes de tiempo son muy largos, típicamente 30 a 50 años. De importancia crítica es el precio del aceite - todavía nosotros no podemos prever esto, sensiblemente con exactitud, para esta horizonte de planeación.

Para superar este problema ellos modelan el precio del aceite como un proceso de Markov con tres niveles de precio (estados), correspondiendo a escenarios optimista, probable y pesimista. Ellos también especifican las probabilidades de hacer una transición entre los estados cada periodo de tiempo (año). Pueden usarse matrices de transición diferentes para horizontes de tiempo diferentes ( matrices diferentes para el cercano, medio y futuro lejano).

Aunque éste simplemente es un enfoque simple, tiene la ventaja de capturar la incertidumbre sobre el futuro en un modelo que es relativamente fácil de entender y aplicar.

88

Estudios sobre el modelado de la población (donde nosotros tenemos objetos con "edad") también son una aplicación interesante de procesos de Markov.

Un ejemplo de esto sería el modelado el mercado del automóvil como un proceso de Markov para prever la "necesidad" de nuevos automóviles cuando los automóviles viejos puedan extinguirse.

Otro ejemplo sería modelar el progreso clínico de un paciente en hospital como un proceso de Markov y ver cómo su progreso es afectado por regímenes de droga diferentes.

4.2 PROBABILIDAD DE TRANSICIONES ESTACIONARIAS DE N PASOS.

Las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov proporcionan un método para calcular estas probabilidades de transición de n pasos:

Estas ecuaciones simplemente señalan que al ir de un estado i al estado j en n pasos, el proceso estará en algún estado k después de exactamente m (menor que n) pasos. Así,

Es solo las probabilidad condicional de que, si se comienza en el estado i, el proceso vaya al estado k después de m pasos y después al estado j en n- m pasos.

Los casos especiales de m=1 y m=n-1 conducen a las expresiones

Para toda i, j, y n de lo cual resulta que las probabilidades de transición de n pasos se pueden obtener a partir de las probabilidades de transición de un paso de manera recursiva. Para n=2, estas expresiones se vuelven:

Note que las son los elementos de la matriz P (2), pero también debe de observarse que estos elementos, se obtienen multiplicando la matriz de transición de un paso por sí misma; esto es, P (2) = P * P = P2.

En términos más generales, se concluye que la matriz de probabilidades de transición de n pasos se puede obtener de la expresión: P(n) = P * P…. P = Pn = PPn−1 = Pn-1 P.

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Entonces, la matriz de probabilidades de transición de n pasos se puede obtener calculando la n-ésima potencia de la matriz de transición de un paso. Para valores no muy grandes de n, la matriz de transición de n pasos se puede calcular en la forma que se acaba de describir, pero cuando n es grande, tales cálculos resultan tediosos y, más aún, los errores de redondeo pueden causar inexactitudes.

Suponga que estudiamos una cadena de markov con matriz. P de probabilidad de transición conocida. Como todas las cadenas con las que trataremos son estacionarias, no nos importara identificar nuestras cadenas de markov como estacionarias. Una pregunta de interés es: si una cadena de markov está en el estado i en el tiempo m, ¿Cuál es la probabilidad que n periodos después de la cadena de markov este en el estado j? como se trata de una cadena de markov estacionaria, esta probabilidad será independiente de m y, por tanto, podemos escribir

Donde Se llama probabilidad en la etapa n de una transición de estado i al estado j.

Es claro que pn(1)=pn para determinar pn(2) nótese que si el sistema se encuentra hoy en el estado i. entonces para que el estado termine en el estado j dentro de 2 periodos, debemos pasar del estado i al estado k y después pasar del estado k al estado i (fig. 3) este modo de razonar nos permite escribir

(Probabilidad de transición de i a k)

(Probabilidad de transición de k a j)

El segundo miembro de la ecuación (3) es tan solo el producto escalar del renglón i de la matriz p por la columna j de esa matriz. Por lo tanto, pn(2) es e ij-esimo es el n elemento de la matriz generalizado este modo de razonar, se puede demostrar que para n≥1

90

Ejemplo:

Una tienda de cámaras tiene en almacén un modelo especial de cámara que se puede ordenar cada semana. Sean D1, D2,… las demandas de esta cámara durante la primera, segunda,…, semana, respectivamente. Se supone que las Di son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que tienen una distribución de probabilidad conocida. Sea X0 el

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número de cámaras que se tiene en el momento de iniciar el proceso, X1 el número de cámaras que se tienen al final de la semana uno, X2 el número de cámaras al final de la semana dos, etc. Suponga que X0 = 3. El sábado en la noche la tienda hace un pedido que le entregan el lunes en el momento de abrir la tienda. La tienda hace un pedido que le entregan el lunes en el momento de abrir la tienda. La tienda usa la siguiente política (s, S)1 para ordenar: si el número de cámaras en inventario al final de la semana es menor que s =1 (no hay cámaras en la tienda), ordenar (hasta) S=3. De otra manera, no coloca la orden (si se cuenta con una o más cámaras en el almacén, no se hace el pedido). Se supone que las ventas se pierden cuando la demanda excede el inventario. Entonces, {X1} para t = 0, 1,.. Es un proceso estocástico de la forma que se acaba de describir. Los estados posibles del proceso son los enteros 0, 1, 2, 3 que representan el número posible de cámaras en inventario al final de la semana.

Así, dado que tiene una cámara al final de una semana, la probabilidad de que no haya cámaras en inventario dos semanas después es 0.283; es decir, De igual manera, dado que se tienen dos cámaras al final de una semana, la probabilidad de que haya tres cámaras en el almacén dos semanas después es 0.097; esto es,

La matriz de transición de cuatro pasos también se puede obtener de la siguiente manera:

P (4) = P4 = P (2) * P (2)

Así, dado que queda una cámara al final de una semana, 0.282 es la probabilidad de que no haya cámaras en inventario 4 semanas más tarde; es decir, De igual manera, dado que quedan dos cámaras en el almacén final de una semana, se tiene una probabilidad de 0.171 de que haya tres cámaras en el almacén 4 semanas después; esto es,

4.3 ESTADO ESTABLE.

Sea P la matriz de transición de una cadena de M estados. Existe entonces un vector tal que

Se establece que para cualquier estado inicial i.

92

El vector a menudo se llama distribución de estado estable, o también distribución de equilibrio para la cadena de Markov. Para encontrar la distribución de probabilidades de estacionario para una cadena dada cuya matriz de transición es P, según el teorema, para n grande y para toda i, (1)

Como Pij (n + 1) = (renglón i de Pn) (columna j de P), podemos escribir (2)

Se puede decir que el estado estable es la distribución de probabilidades que en cierto punto quedará fija para el vector P y no presentará cambios en periodos posteriores.

93

94

95

96

97

4.4 ESTADO ABSORBENTE.

Previamente hablamos de estado estable, ahora procederemos a explicar otra clase de estado, el absorbente.

Definición: Estado cuya única transición posible es volver al mismo estado. Un estado absorbente constituye una clase final de un único estado.

En otras palabras un estado absorbente es aquel del que no se puede salir una vez se haya caído en él, es decir la probabilidad de permanecer en el mismo es de 100% .Por ejemplo si expresáramos la vida como una cadena de markov, con la serie de estados: nacer, crecer, reproducirse y morir; la muerte sería obviamente el estado absorbente ya que no existe la posibilidad alguna de volver a un estado anterior.

EJEMPLO.

98

99

100

101

4.5 USO DE SOFTWARE

La opción Nuevo Problema (New Problem) genera una plantilla llamada Especificaciones del problema PMK (MKP Problem Specification) en la cual, se introducirán las características de nuestro problema:

Ingresemos un sistema representado por 4 estados:

La plantilla vacía representa una matriz con las relaciones entre los estados (State), sus probabilidades iniciales (Initial Prob.) y el costo de cada uno de ellos (State Cost).

102

103

104

105

BIBLIOGRAFIA.

106

http://metodoscuantitativos.50webs.org/Apuntes/Cap%2014_Proceso%20de%20MARKOV.pdf

http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r89851.PDF

http://www.scoop.it/t/cadena-de-markov-cuarta-unidad

http://es.scribd.com/doc/26580080/Proceso-de-Markov-Inves-Ope-Gabriel-Arzate-Elias

http://www.javeriana.edu.co/biblos/tesis/ingenieria/tesis161.pdf

107

INSTITUTO TECNOLÓGICO

DE PIEDRAS NEGRAS

INGENIERÍA INDUSTRIAL

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II

UNIDAD 5 TERMINOLOGIA OPTIMIZACION DE REDES

PROFESOR: ING. Luis Manuel García PizarroCORREO ELECTRONICO: luis7664@hotmail.com

EQUIPO #5:Leonel Bueno Glenda García

Jonathan PonceRafael Quezada

Héctor RivasDaniel Rivas

Raimundo Lira

UNIDAD 5 TERMINOLOGIA OPTIMIZACION DE REDES

5.1 TERMINOLOGIA

Introducción

La mayor parte de los modelos de optimización de redes son casos particulares de modelos de programación lineal y puden ser formalizados a partir del modelo de flujo de costo mínimo, estos

108

modelos se aplican en la administración de problemas de transporte, logística, comunicación y seguimiento de proyectos de finanzas, recursos humanos o mercadeo.

En algunos problemas de optimización puede ser útil representar el problema a través de una grafica, para entender los modelos de redes se utiliza una terminología apropiada que se muestra a continuación, esta terminología no esta estandarizada ni lo estará pues un concepto se pude describir de diferentes maneras.

GRAFICA o RED: la forman dos conjuntos; uno de puntos (llamado nodos o vértices) y otro de líneas (llamadas arcos) que unen ciertos pares de puntos en una red.

La siguiente red es una construcción en la cual nodos aparecen interconectados por arcos

NODO: punto al cual se dirigen y del cual salen los arcos para conformar una red. En la red los 7 círculos representan los 7 nodos de la red.

ARCO: línea que une dos nodos en una red.

Los arcos se etiquetan para dar nombres a los nodos en sus puntos terminales, por ejemplo, AB es el arco entre los nodos A y B

La red tiene 12 líneas llamadas de diferentes formas como arcos, ramas, aristas o ligaduras estas representan los 12 caminos existentes en la red.

Por los arcos de una red pueden existir algún tipo un flujo que pasa por ellos; como se muestra en la siguiente tabla:

109

A

B

C

D

E

F

G

NODO

ARCO

A

B

AB

Aplicaciones Nodos Arcos Flujo

Sistema de comunicación

Puntos de conmutación

Cables, canales, fibra óptica, radioenlaces por microondas

Transmisiones de mensajes de voz, de datos, de video

ARCO DIRIGIDO: el flujo atraves del arco se permite únicamente en una dirección (tal como una callede un solo sentido) y esta se indica con una cabeza de flecha al final de la línea que presenta el arco; estos se etiquetan poniendo primero el nodo de donde viene y luego el nodo hacia donde va el flujo, es decir, un arco dirigido del nodo A nodo B debe etiquetarse como AB y no como BA. Otra forma de etiquetarse es A-)B

Al etiquetarse un arco dirigido con el nombre de los nodos que une, siempre se coloca primero al nodo de donde viene y después el nodo a donde va, esto es, un arco dirigido del nodo A al nodo B debe etiquetarse como AB y no como BA.

CAPACIDAD DE ARCO: cantidad máxima de flujo que puede circular en un arco dirigido

ARCO NO DIRIGIDO: el flujo a través de un arco se permite en ambas direcciones (tal como una calle de doble sentido). Se permite que el flujo ocurra en cualquier dirección, se supone que ese flujo será en una dirección, en la seleccionada, y no tendrá flujo simultáneos en direcciones opuestas

Para destinguir entre los dos timpos de arcos con frecuencia los arcos no dirigidos se nombran ligaduras.

RED NO DIRIGIDA todos los arcos de la red son no dirigidos

RED DIRIGIDA todos los arcos de la red son dirigidos

110

A B

A B

A

B

C

D

E

A

B

C

E

Una red no dirigida se puede convertir en una red dirigida si se desea, cambiando cada arco no dirigido por un par de arcos dirigidos en direcciones opuestas

TRAYECTORIA ENTRE DOS NODOS: es una sucesión o serie de arcos distintos que conectan estos nodos. Por ejemplo, dos posibles trayectorias que conectan a los nodos A y Gson la sucesión de arcos

AC-CE-EG o A-)C-)E-)G y viceversa AD-DC-CF-FE-EG o A-)D-)C-)F-)E-)G

Cuando algunos o todos los arcos de una red son arcos dirigidos, se hace distinción entre trayectorias dirigidas y trayectorias no dirigidas.

TRAYECTORIA NO DIRIGIDA DEL NODO i AL NODO j: sucesión de arcos cuya dirección (si la tienen) puede ser hacia o desde el nodo j. alguna veces una trayectoria no dirigida tendrá algunos arcos dirigidos hacia el nodo j y otros desde el (es decir, hacia el nodo i). Con frecuencia una trayectoria no dirigida tendrá algunos arcos dirigidos al nodo j y otros desde el (es decir, hacia el nodo i).

TRAYECTORIA DIRIGIDA DEL NODO i AL NODO j: sucesión de arcos cuya dirección (si la tienen) es hacia el nodo j, y el flujo del nodo i hasta el nodo j es factible a través de esta.

111

A B

A

B

C

D

E

F

G

A

B

C

D

E

F

G

La trayectoria dirigida también satisface la definición de trayectoria no dirigida, pero el inverso no se cumple.

En la red dirigida la sucesión de arcos AB-BC-CE es una trayectoria dirigida del nodo A al nodo E ya que el flujo hacia el nodo E a lo largo de toda esta trayectoria es factible

CICLO: trayectoria que une a un nodo consigo mismo es decir, comienza y termina en el mismo nodo.

En una red dirigida un ciclo puede ser dirigido o no dirigido, dependiendo di la trayectoria en cuestión es dirigida o no dirigida, (como una trayectoria dirigida también es no dirigida, un ciclo dirigido es un ciclo no dirigido, pero en general el inverso no es cierto). por el contrario AB-BC-AC es un cilo no dirigido puesto que la dirección del arco AC es opuesta a los de los arcos AB y BC. Por otro lado, AB-BC-AC es un ciclo no dirigido por que A-B-C-A es una trayectoria no dirigida.

Una red está conectada cuando es posible llegar a cualquier nodo desde otro siguiendo la secuencia de arcos en la que no importa la dirección

Dos arcos están conectados si la red contiene al menos una trayectoria no dirigida entre ellos. (Nótese que no es necesaria que la trayectoria sea dirigida aun cuando la red es dirigida).

ARBOL DE EXPANSION: subconjunto conectado de una red que comprende todos los nodos, pero ningún ciclo

112

A C

B

G

E

A C

B

G

E

RED CONEXA: cada par de nodos esta conectado, es decir, si la red contiene el menos una trayectoria no dirigida entre ellos. Se debe resaltar que no es necesario que la trayectoria sea dirigida a un cuando la red sea dirigida.

Entonces las redes de las siguientes imágenes son conexas la ultima red no seria conexa si se eliminaras los arcos AD y CE

Si consideramos un conjunto de cinco nodos sin arcos (A, B, C, D, E). Podremos hacer creer un árbol agregando de uno en uno cada arco de cierta forma. El primer arco pude ir a donde sea para conectar algún par de nodos. De ahí en adelante cada arco nuevo se debe agregar entre un nodo que ya ha sido conectado a otros

113

A

B

C

E

D

A

B

C

E

D

Nodos y a un nuevo nodo conectado. Si se agregan arcos de esta manera, se evita que se forme un ciclo y además se asegura que numero de nodos conexos es uno mas que el numero de arcos.

5.2 PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTA

El Modelo de la Ruta Más Corta

Se trata de un modelo de red (debido a la forma de diagrama de red usado para su representación), donde cada arco o rama que une dos nodos (elementos) que forman dicha red, viene caracterizado por un valor que representa la distancia (costo o tiempo) desde el nodo origen hasta el nodo destino. Si denominamos ruta o camino, a cualquier secuencia de arcos que conecte el nodo origen con el destino, la resolución consiste en encontrar la más corta posible. Usualmente los arcos no están orientados, es decir, se permite el tráfico en ambos sentidos, salvo que se indique lo contrario (por ejemplo en una calle de dirección.

6.3.1 Ejemplos de aplicaciones de ruta más corta

Ejemplo 6.3-1 (Reemplazo de equipo)

RentCar está desarrollando un plan de reposición de su flotilla de automóviles para un horizonte de planeación de 4 años, que comienza el 1 de enero de 2001 y termina el 31 de diciembre de 2004. Al iniciar cada año se toma la decisión de si un auto se debe mantener en operación o debe sustituir. Un automóvil debe estar en servicio durante 1 año como mínimo, y 3 años como máximo. La tabla siguiente muestra el costo de reposición en función del año de adquisición de vehículo y los años que tiene en funcionamiento.

114

AD A

E

D

A

C

E

D

A

B

C

E

D

Costo de reposición ($) para los años en operación

Equipo

adquirido al

comenzar 1 2 3

2001 4000 5400 9800

2002 4300 6200 8700

2003 4800 7100 ---

2004 4900 --- ---

El problema se puede formular como una red, en el que los nadas 1 a 5 representan el inicio de los años 2001 a 2005. Los arcos del nodo 1 (año 2001) sólo pueden alcanzar los nadas 2, 3 Y 4, porque un vehículo debe estar en funcionamiento entre 1 y 3 años. Los arcos desde los otros nodos se pueden interpretar en forma parecida. La longitud de cada arco es igual al costo de reposición. La solución del problema equivale a determinar la ruta más corta entre los nodos 1 y 5.

En la figura 6.9 se ve la red que resulta. Si se usa TORA, 1 la ruta más corta, que se indica con la ruta gruesa, es 1 ~ 3 ~ 5. Eso quiere decir que un automóvil adquirido al iniciar 2001 (nodo 1) se debe reemplazar pasados 2 años, al iniciar 2003 (nodo 3). El auto de reposición debe estar en servicio hasta el final de 2004. El costo total de esta política de reposición es $12,500 (= $5400 + $7100).

El problema de la ruta más corta

El modelo de la ruta más corta se refiere a una red en la cual cada arco (i,j ) tiene asociado un número, el cual se interpreta como la distancia (o tal vez el costo o el tiempo) desde el nodo i hasta el nodo j . Una ruta o camino entre dos nodos es cualquier secuencia de arcos que los conecte. El objetivo consiste en encontrar las rutas más cortas (o de menor costo o más rápidas) desde un nodo especifico hasta cada uno de los demás nodos de la red.

115

Ejemplo01

La administración de seervada park necesita encontrar la ruta más corta desde la entrada del parque (nodo O) hasta el mirador (nodo T) a través del sistema de caminos que se presenta en la figura siguiente:

Algoritmo de Dijkstra

Vamos a resolver el Ejemplo 01 para determinar la ruta más corta desde “O” hasta “T”.

Iteración 01: procedemos a etiquetar el nodo origen y lo convertimos en permanente, luego etiquetamos los nodos adyacentes, directamente conectados que serán denominados nodos temporales.

116

Iteracion 02: de alguno de los nodos temporales elegimos aquel que tenga menor costo total asociado y lo convertimos en permanente y actualizamos los nodos temporales.

Iteración 03:

117

Iteración 04:

Iteración 05:

118

Iteración 06:

Al convertir permanente al último nodo nos indica que hemos encontrado la solución óptima, es decir la ruta más corta que sería la siguiente:

119

La ruta con distancia mínima de “O” hasta “T” es de 13u. Lo determinamos ahora de atrás hacia adelante, el cual se ha encontrado con 6 iteraciones.

O-A-B-D-T

5.3 PROBLEMA DEL ARBOL DE EXPANSION MINIMA

El problema de árbol tiene algunas similitudes con la versión principal de la ruta más corta ya que en ambas se considera una red no dirigida (se incluyen nodos y distancias). La DIFERENCIA CRUCIAL radica en que LAS LIGADURAS (arcos no dirigidos) YA NO SE ESPECIFICAN.

ENTONCES:

En lugar de encontrar la ruta más corta a través de una red completamente definida, el problema elige las ligaduras en la red que tenga la longitud total más corta al mismo tiempo que proporciona una trayectoria entre cada par de nodos.

Es necesario que la red resultante forme un árbol que conecta todos los nodos dados.

En resumen, el problema es encontrar el árbol de expansión con la longitud total mínima de sus ligaduras.

Árbol de Expansión

120

Aplicaciones prácticas importantes

• Planeación de redes de transporte que no se transitarán mucho (económica).

• Redes de comunicación.

• Redes de distribución de gran escala.

Algoritmo para el problema del árbol de mínima expansión

• El problema del árbol de mínima expansión se puede resolver de una forma bastante directa pues ocurre que se trata de uno de los pocos problemas de la IO en el que la codicia en cada etapa del procedimiento de solución conduce a una solución óptima.

1. Se selecciona, de manera arbitraria, cualquier nodo y se conecta (es decir, se pone una ligadura) al nodo más cercano distinto de éste.

121

Red de solución factible:Ligaduras es igual a numero de nodos menos 1 (n-1). Solución = 24

Ligaduras expandidas por toda la red (gráfica conexa). Dos ciclos. Demasiadas ligaduras.

Nodos O-A-B-C no están conectados con nodos D-E-T (son dos árboles).

2. Se identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado, y se conectan estos dos nodos (es decir se agrega una ligadura entre ellos.

3. Repetir paso 2 hasta que se hayan conectado todos los nodos.

Empates

• Los empates para el nodo más cercano distinto (paso 1) o para el nodo no conectado más cercano (paso 2), se pueden romper en forma arbitraria y el algoritmo todavía debe llevar a una solución óptima.

• Los empates son señal de que pueden existir, pero no necesariamente, soluciones óptimas múltiples. Todas esas soluciones se pueden identificar si se buscan las demás formas de romper los empates hasta el final.

EJEMPLO

• La administración de Seervada Park necesita determinar los caminos bajo los cuales se deben tender las líneas telefónicas para conectar todas las estaciones con una longitud total de cable mínima.

– Los nodos y distancias para el problema se resumen en seguida, en donde las líneas delgadas representan ligaduras potenciales.

122

Solución:

123

En forma arbitraria se selecciona el nodo O para comenzar. El nodo no conectado más cercano a O es el nodo A.

El nodo no conectado más cercano a cualesquiera de los nodos O o A es el nodo B (más cercanos a A). Se conecta el nodo B al nodo A.

El nodo no conectado más cercano a O, A o B es el nodo C (más cercanos a B). Se conecta el nodo C al nodo B.

El nodo no conectado más cercano a O, A, B o C es el nodo E (más cercanos a B). Se conecta el nodo E al nodo B.

El nodo no conectado más cercano a O, A, B, C o E es el nodo D (más cercanos a E). Se conecta el nodo D al nodo E.

• Todos los nodos han quedado conectados, por lo que ésta es la solución óptima que se buscaba.

• La longitud total de las ramas es 14 millas.

Aunque con este procedimiento a primera vista puede parecer que la elección del nodo inicial afectaría la solución final (y la longitud total de las ligaduras) no es así.

Se sugiere se verifique este hecho en el ejemplo, aplicando el nuevo algoritmo, pero iniciando en un nodo distinto de O.

5.4 PROBLEMA DEL FLUJO MÁXIMO

PROBLEMA QUE CONSISTE EN DETERMINAR LA MÁXIMA CANTIDAD DE FLUJO QUE PUEDE SER ENVIADA A LO LARGO DE UNA RED DIRIGIDA, DESDE UN NODO ORIGEN (DE OFERTA) HASTA UN NODO DESTINO (DE DEMANDA)

POR UNIDAD DE TIEMPO.

ES NECESARIO:

SATISFACER LAS RESTRICCIONES DE CAPACIDAD EN CADA UNO DE LOS ARCOS.

CUMPLIR CON EL REQUERIMIENTO DE QUE, PARA CADA NODO (QUE NO SEA NI ORIGEN NI DESTINO):

124

El único nodo sin conectar es el nodo T. está más cercano al nodo D. Se conecta el nodo T al nodo D.

FLUJO QUE ENTRA = FLUJO QUE SALE

RED RESIDUAL

RED QUE MUESTRALAS CAPACIDADES RESTANTES (CAPACIDADES RESIDUALES) PARA ASIGNAR FLUJOS ADICIONALES.

EJEMPLO

LA SIGUIENTE RED MUESTRA EL NÚMERO DE PERSONAS QUE PUEDEN CIRCULAR POR MINUTO (DURANTE LA HORA PICO) A LO LARGO DE LOS

DIFERENTES CAMINOS:

125

A

5 1 3

7 4 9

O B D T

4 2 5 1 6

C E

4

DETERMINE LA RED RESIDUAL:

A

126

O B D T

C E

EL ARCO OB TIENE CAPACIDAD 7 , SI SE ASIGNA UN FLUJO DE 5 EN ESE ARCO LA CAPACIDAD RESIDUAL ES 7-5=2 EN EL SENTIDO OB Y UNA CAPACIDAD

RESIDUAL DE 5 EN EL SENTIDO BO ( PARA PODER CANCELAR ALGUN FLUJO YA ASIGNADO)

127

TRAYECTORIA AUMENTANTE

(AUGMENTING PATH)

CAMINO DESDE EL NODO DE OFERTA HASTA EL NODO DE DEMANDA EN LA RED RESIDUAL TAL QUE CUALQUIER ARCO EN DICHA TRAYECTORIA TIENE

UNA CAPACIDAD RESIDUAL ESTRICTAMENTE POSITIVA.

EL MÍNIMO DE LAS CAPACIDADES RESIDUALES DE LOS ARCOS QUE CONFORMAN A LA TRAYECTORIA AUMENTANTE REPRESENTA LA CANTIDAD

DE FLUJO QUE PUEDE AÑADIRSE A LO LARGO DE TODA LA TRAYECTORIA

EJEMPLO

EN EL EJEMPLO ANTERIOR, DETERMINE LA CAPACIDAD RESIDUAL DE LA TRAYECTORIA AUMENTANTE O B E T PARA EL EJEMPLO ANTERIOR. LA

RED MUESTRA LAS CAPACIDADES RESIDUALES INICIALES

3

A

0 1

5

7 0 1 4 0 0 9 0

O B D T

128

4 2 5 1 0

0 0 0 1

C E

4 0 6

TRAYECTORIA:

CAPACIDAD:

129

LA CANTIDAD MÁXIMA DE FLUJO QUE PUEDE ENVIARSE DESDE EL ORIGEN HASTA EL DESTINO A TRAVÉS DE UNA CIERTA TRAYECTORIA ES IGUAL AL MÍNIMO DE LAS CAPACIDADES DE LOS ARCOS SOBRE ESA TRAYECTORIA.

ALGORITMO

PASO 1: ENCUENTRE UNA TRAYECTORIA DESDE EL ORIGEN HASTA EL DESTINO QUE TENGO UNA CAPACIDAD DE FLUJO POSITIVA (IGUAL AL MÍNIMO DE LAS CAPACIDADES RESIDUALES EN LA DIRECCIÓN DEL FLUJO). SI NO ES POSIBLE ENCONTRAR UNA TRAYECTORIA CON TALES CARACTERÍSTICAS, SE HA ENCONTRADO LA SOLUCIÓN ÓPTIMA.

PASO 2: SEA Cmin LA CAPACIDAD MÍNIMA DE FLUJO DE TODOS LOS ARCOS QUE ESTÁN EN LA TRAYECTORIA SELECCIONADA EN EL PASO 1. INCREMENTE EL FLUJO EXISTENTE EN LA RED ENVIANDO UN FLUJO ADICIONAL IGUAL A Cmin SOBRE ESTA TRAYECTORIA.

PASO 3: PARA TODOS LOS ARCOS SOBRE ESTA TRAYECTORIA:

DISMINUYA EN Cmin SUS CAPACIDADES EN LA DIRECCIÓN DEL FLUJO. INCREMENTE EN Cmin SUS CAPACIDADES EN LA DIRECCIÓN OPUESTA AL FLUJO.

130

REGRESE AL PASO 1.

131

EJEMPLO

DETERMINE EL NÚMERO MÁXIMO DE PERSONAS QUE PUEDEN CIRCULAR A LO LARGO DE LA RED DEL EJEMPLO ANTERIOR MEDIANTE EL ALGORITMO DE

LA TRAYECTORIA AUMENTANTE.

TRAYECTORIA:

CAPACIDAD:

3

A

0 1

5

7 0 1 4 0 0 9 0

O B D T

4 2 5 1 0

0 0 0 1

C E

4 6

132

TRAYECTORIA:

CAPACIDAD:

A

O B D T

C E

EXISTE FLUJO A TRAVÉS DE UN ARCO SI SU CAPACIDAD RESIDUAL ES MENOR QUE LA CAPACIDAD ORIGINAL.

SI LA CAPACIDAD RESIDUAL EN UN ARCO ES MENOR QUE SU CAPACIDAD INICIAL, CALCULE LA DIFERENCIA. ESA DIFERENCIA ES LA CANTIDAD DE

FLUJO A TRAVÉS DEL ARCO.

133

EJEMPLO

DETERMINE EL FLUJO MÁXIMO PARA CADA UNO DE LOS ARCOS DEL PROBLEMA ANTERIOR.

A

O B D T

C E

134

135

CORTE

UNA PARTICIÓN DE LOS NODOS DE UNA RED EN DOS REDES DISJUNTAS, CO Y CD, DE TAL MANERA QUE CO INCLUYE AL ORIGEN Y CD INCLUYE AL DESTINO.

CAPACIDAD DE UN CORTE

SUMA DE LAS CAPACIDADES (EN LA DIRECCIÓN CO CD) DE TODOS LOS ARCOS EN CO CONECTADOS DIRECTAMENTE A ALGUN NODO DE CD.

EJEMPLO

EN LA RED ANTERIOR, DETERMINE LA CAPACIDAD DEL CORTE PARA EL CUAL CO = {O, A, B, C}.

A

5 1 3

7 4 9

O B D T

136

4 2 5 1 6

C E

4

137

TEOREMA DE MÁX FLUJO-MÍN CORTE

(MAX FLOW-MIN CUT)

PARA CUALQUIER RED CON UN SOLO ORIGEN Y UN SOLO DESTINO, EL FLUJO FACTIBLE MÁXIMO QUE PUEDE CIRCULAR DESDE EL ORIGEN HASTA EL

DESTINO ES IGUAL A LA CAPACIDAD DEL CORTE CON MENOR CAPACIDAD.

EJEMPLO

DETERMINE EL FLUJO MÁXIMO FACTIBLE PARA LA RED ANTERIOR UTILIZANDO EL TEOREMA DE MÁX FLUJO-MÍN CORTE

A

5 1 3

7 4 9

O B D T

138

4 2 5 1 6

C E

4

5.5 PROBLEMAS DE FLUJO DE COSTO MINIMO

Para definir un FMOCM, sea

La figura muestra las definiciones en el arco .

139

Entonces el FMOCM se puede escribir como

Las restricciones estipulan que el flujo neto que sale del nodo i debe ser igual a

Las restricciones se conocen como ecuaciones de balance de flujo para la red. Las restricciones aseguran que el flujo por cada arco satisface las restricciones de capacidad del arco. En los ejemplos anteriores, se estableció que

Se mostrara que los problemas de transporte y flujo máximo son casos especiales del problema de flujo de red de costo mínimo.

EJEMPLO 5.5.1

Una empresa fabrica un compuesto químico básico que utilizan otros fabricantes para producir una variedad de productos para pinturas. La empresa tiene dos rutas y ha firmado tratos con dos proveedores de materia prima. Los contratos estipulan una entrega mínima de 500 y 750 toneladas de materia prima por mes, por parte de los proveedores 1 y 2, a los precios de $200 y $210 por tonelada, respectivamente. Se necesitan 1.2 toneladas de materia prima para fabricar una tonelada del compuesto químico básico. Los costos de transporte por tonelada desde fábrica de los proveedores a las dos plantas se resumen en la siguiente tabla:

PROVEEDOR PLANTA 1 PLANTA 2

1 $10 $12

2 9 13

Las capacidades de producción y el costo por tonelada en las dos plantas se dan a continuación:

140

PLANTA CTO DE CAPACIDAD CAPACIDAD PRODUCCION/ton MINIMA (ton) MAXIMA (ton)

1 $25 400 800

las demandas mensuales en las dos plantas son de 660 y 800 toneladas. Los costos de transporte por toneladas entre las plantas y los centros de distribución, se dan a continuación:

CTO DE TRANSPORTE/ton PLANTA D1 D2

1 3 4 2 5 2

La siguiente figura muestra la red que representa al problema. El nodo fuente esta dado por el nodo 1. Las ramas (1,2) y (1,3) representan los dos proveedores. Las capacidades mínimas de las ramas reflejan el envío mínimo garantizado para cada proveedor. Como estas ramas no tienen cotas superiores, sus capacidades se resumen como y

. Los precios de compra por tonelada para los dos proveedores son $200 y $210,

respectivamente.

Para determinar la capacidad de las plantas en el modelo, cada planta se representa con dos nodos, que pueden verse como los puntos de entrada y salida de la planta. Las ramas que conectan los nodos de entrada y salida tienen las siguientes capacidades (400,800) y (450,900). Los nodos de salida de las plantas (nodos 6 y 7) se conectan a los de distribución (nodos 8 y 9) a través de las ramas de transporte (6,8), (6,9), (7,8) y (7,9). Estas ramas son similares a las de transporte que llega a las plantas en los nodos 4 y 5.

(400,800)

141

900 450 28 2

(-800)

(-660)

(450,900)

Las demandas en los nodos de distribución 8 y 9 están representadas por [-660] y [-800], respectivamente. En forma correspondiente, la oferta en el nodo fuente se especifica como [F]. para que el problema dé una solución factible, la oferta debe ser igual a la demanda total. Sin embargo, debemos tomar en consideración el hecho que los proveedores están tratando con toneladas de materia prima, en tanto que los centros de distribución están tratando con toneladas del compuesto químico. Una discrepancia puede arreglar usando un factor de 1.2 para convertir la materia prima en compuesto químico equivalente.

Por ejemplo, las capacidades de las ramas (1,2) y (1,3) deben reemplazarse por (500/1.2, y

(750/1.2, . En este caso los costos unitarios de compra de los dos proveedores deben

ponerse a una escala de los nodos 2 y 3 hacia los nodos 4 y 5. Con esta conversión podemos especificar la cantidad de oferta en el nodo fuente 1 como 660+800=1460 ton (de compuesto químico).

La solución de la red de la figura anterior debería dar la asignación óptima de la oferta de las dos plantas, así como la asignación de la producción de cada planta a los dos centros de distribución. El objetivo es minimizar el costo neto de la operación total.

En realidad, el ejemplo en la figura es una generalización del problema de transbordo. La diferencia principal es que puede modificarse la capacidad de las ramas. Además, los nodos de transbordo también pueden tener flujos externos. Por ejemplo, en la figura, los flujos externos en los nodos 6 y 7 se pueden utilizar para representar ventas locales del compuesto químico.

5.6 USO DE SOFTWARE METODO DE LA RUTA MAS CORTA (winQSB)

Una empresa desea saber cuántos metros de cable utilizara para conectar en red 12 computadoras.

1- Dar clic en archivo y “nuevo problema”

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2- Seleccionar el tipo de problema, en este caso dar clic en la opción “la ruta más corta”.

3- Dar clic en el criterio objetivo, en nuestro caso seleccionamos la opción “minimización”.

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4- En formato de enterada de datos dar clic en “formulario del modelo grafico”.

5- Introducir el nombre del problema y el número de nodos

6- Cambiamos los nodos, y editamos los nombres y su localización.

144

7- Para el nodo 1, editamos su nombre a “1” y su localización “3.2”, el nodo 2, con localización 1.4”

8- Ahora procedemos a crear los arcos, además clic en el extremo del nodo o receptor y lo arrastramos hacia el nodo emisor.

9- Introducimos el coeficiente M, que en este caso ese valor en metros que se necesita para conectar 2 computadoras en red (nodo 1 al nodo 2).

145

10- Ya terminada nuestra red procedemos a dar clic en el menú resolver y analizar.

11- Obteniendo iteración 1

146

Iteración 2

Iteración 3

12- Así hasta llegar a la iteración 11

147

13- Se muestran los nodos de inicio y finalización con su respectiva cantidad de cable a utilizar (en metros).

14-Para mantener en red 12 computadoras la empresa tendrá que utilizar 9 metros de cable.

15-En las ultimas 11 filas se presentan los metros necesarios que se emplearan al conectarla red desde la maquina 1 a las diferentes computadoras.

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