Capítulo 8C – Conservación de energíaCapítulo 8C – Conservación de energía

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Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física

Southern Polytechnic State UniversitySouthern Polytechnic State University

© 2007

Una cascada en el Parque Yellowstone proporciona un ejemplo de energía en la naturaleza. La energía potencial del agua en la cima se convierte en energía cinética en el fondo.

Objetivos: Después de completar Objetivos: Después de completar este módulo, deberá:este módulo, deberá:

• Definir y dar ejemplos de fuerzas Definir y dar ejemplos de fuerzas conservativas conservativas yy no conservativas no conservativas..

• Definir y aplicar el concepto de Definir y aplicar el concepto de conservación de energía mecánicaconservación de energía mecánica para para fuerzas conservativas.fuerzas conservativas.

• Definir y aplicar el concepto de Definir y aplicar el concepto de conservación de energía mecánica que conservación de energía mecánica que explique las explique las pérdidas por fricciónpérdidas por fricción..

Energía potencialEnergía potencial

La La energía potencialenergía potencial es la habilidad para realizar trabajo en virtud de la posición o condición.La La energía potencialenergía potencial es la habilidad para realizar trabajo en virtud de la posición o condición.

Tierra

mgh

mEjemplo:Ejemplo: Una masa que se mantiene a una distancia h sobre la Tierra.

Si se libera, la Tierra puede realizar trabajo sobre la masa:

Trabajo = mghTrabajo = mgh

¿Este trabajo es + o - ?¿Este trabajo es + o - ?¡Positivo!

Energía potencial gravitacionalEnergía potencial gravitacional

La La energía potencial gravitacional Uenergía potencial gravitacional U es igual al es igual al trabajo que se puede realizar trabajo que se puede realizar PORPOR la gravedad la gravedad debido a la altura sobre un punto específico.debido a la altura sobre un punto específico.

La La energía potencial gravitacional Uenergía potencial gravitacional U es igual al es igual al trabajo que se puede realizar trabajo que se puede realizar PORPOR la gravedad la gravedad debido a la altura sobre un punto específico.debido a la altura sobre un punto específico.

U = mghU = mgh E.P. gravitacionalE.P. gravitacional

Ejemplo:Ejemplo: ¿Cuál es la energía potencial cuando un ¿Cuál es la energía potencial cuando un bloque de 10 kg se sostiene a 20 m sobre la calle?bloque de 10 kg se sostiene a 20 m sobre la calle?

U = mgh = U = mgh = (10 kg)(9.8 m/s(10 kg)(9.8 m/s22)(20 m))(20 m)

U = 1960 JU = 1960 J

El origen de la energía potencialEl origen de la energía potencial

La La energía potencialenergía potencial es una propiedad del es una propiedad del sistema Tierra-cuerpo. Ninguno tiene sistema Tierra-cuerpo. Ninguno tiene energía potencial sin el otro.energía potencial sin el otro.

La La energía potencialenergía potencial es una propiedad del es una propiedad del sistema Tierra-cuerpo. Ninguno tiene sistema Tierra-cuerpo. Ninguno tiene energía potencial sin el otro.energía potencial sin el otro.

El trabajo realizado El trabajo realizado por la fuerza de por la fuerza de

elevación elevación F F proporciona energía proporciona energía potencial positivapotencial positiva, , mghmgh, , al sistema al sistema Tierra-cuerpo.Tierra-cuerpo.

Sólo fuerzas Sólo fuerzas externas externas pueden agregar o quitar energíapueden agregar o quitar energía.

mgh

F

Fuerzas conservativasFuerzas conservativasUna Una fuerza conservativafuerza conservativa es aquella que hace es aquella que hace trabajo cero durante un viaje redondo.trabajo cero durante un viaje redondo. Una Una fuerza conservativafuerza conservativa es aquella que hace es aquella que hace trabajo cero durante un viaje redondo.trabajo cero durante un viaje redondo.

mgh

F El peso es conservativo.El peso es conservativo.

El trabajo realizado por la El trabajo realizado por la Tierra en el viaje hacia Tierra en el viaje hacia arriba es negativo, arriba es negativo, - mgh- mgh

El trabajo de regreso El trabajo de regreso es positivo,es positivo, +mgh+mgh

Trabajo neto = - mgh + mgh = 0Trabajo neto = - mgh + mgh = 0

La fuerza de resorteLa fuerza de resorte

La fuerza ejercida por un La fuerza ejercida por un resorteresorte también es también es conservativa.conservativa.

Cuando se estira, el resorte Cuando se estira, el resorte realiza trabajo negativo, realiza trabajo negativo, - ½kx- ½kx22..

Al liberarse, el resorte realiza Al liberarse, el resorte realiza trabajo positivo,trabajo positivo, + ½kx+ ½kx22 Fx

m

Fx

m

Trabajo neto = 0 (conservativa)Trabajo neto = 0 (conservativa)

Independencia de la trayectoriaIndependencia de la trayectoria

El trabajo realizado por las El trabajo realizado por las fuerzas fuerzas conservativasconservativas es independiente de la trayectoria. es independiente de la trayectoria.

El trabajo realizado por las El trabajo realizado por las fuerzas fuerzas conservativasconservativas es independiente de la trayectoria. es independiente de la trayectoria.

A

C

B

C

A B

Fuerza debida a la gravedadmg

Trabajo (A C) = Trabajo (A B C) ¿Por qué?Porque sólo el componente vertical del peso realiza trabajo contra la gravedad.

Fuerzas no conservativasFuerzas no conservativas

El trabajo realizado por El trabajo realizado por fuerzas no conservativasfuerzas no conservativas no no se puede restaurar. La energía se pierde y no se se puede restaurar. La energía se pierde y no se puede recuperar.puede recuperar. ¡Es dependiente de la trayectoria!¡Es dependiente de la trayectoria!

El trabajo realizado por El trabajo realizado por fuerzas no conservativasfuerzas no conservativas no no se puede restaurar. La energía se pierde y no se se puede restaurar. La energía se pierde y no se puede recuperar.puede recuperar. ¡Es dependiente de la trayectoria!¡Es dependiente de la trayectoria!

Las Las fuerzas de fricciónfuerzas de fricción son fuerzas no conservativas.son fuerzas no conservativas.

B

Af f

m

A B

El trabajo de las fuerzas El trabajo de las fuerzas conservativas es independiente de la conservativas es independiente de la

trayectoria:trayectoria:

A

B

C

Para fuerza gravitacional:Para fuerza gravitacional:(Trabajo)(Trabajo)ABAB= -(Trabajo)= -(Trabajo)BCABCA

Trabajo neto ceroTrabajo neto cero

Para fuerza de fricción:Para fuerza de fricción:

(Trabajo)(Trabajo)AB AB ≠ ≠ -(Trabajo)-(Trabajo)BCABCA

El trabajo realizado contra la fricción es El trabajo realizado contra la fricción es mayor para la trayectoria más larga (BCD).mayor para la trayectoria más larga (BCD).

El trabajo realizado contra la fricción es El trabajo realizado contra la fricción es mayor para la trayectoria más larga (BCD).mayor para la trayectoria más larga (BCD).

Energía potencial Energía potencial almacenadaalmacenadaEl trabajo realizado por una fuerza conservativa El trabajo realizado por una fuerza conservativa

sese almacenaalmacena en el sistema como energía en el sistema como energía potencial.potencial.

m

xox

F(x) = kx para comprimir El desplazamiento es x

La energía potencial es igual al trabajo realizado para comprimir el resorte:

La energía potencial es igual al trabajo realizado para comprimir el resorte:

Energía potencial de resorte comprimido:

221 kxTrabajoU ==

Conservación de energía Conservación de energía (Fuerzas conservativas)(Fuerzas conservativas)

En ausencia de fricción, la suma de las energías potencial y cinética es una constante, siempre que no se agregue energía al sistema.

En ausencia de fricción, la suma de las energías potencial y cinética es una constante, siempre que no se agregue energía al sistema.

vf

vy mg

v = 0h

0

En lo alto: Uo = mgh; Ko = 0

En y: Uo = mgy; Ko = ½mv2

En y=0: Uo = 0; Ko = ½mvf 2

E = U + K = ConstanteE = U + K = Constante

Energía total constante Energía total constante para un cuerpo que caepara un cuerpo que cae

vf

vy

K = 0h

0

ARRIBA: E = U + K = mghARRIBA: E = U + K = mgh

En cualquier y:En cualquier y:E = mgh + ½mvE = mgh + ½mv22

mgh =mgh = mgy + ½mvmgy + ½mv2 2 = ½mv= ½mvff22

La E total es la misma en La E total es la misma en cualquier punto.cualquier punto.

U = 0

Fondo: E = ½mvFondo: E = ½mv22

(Desprecie la fricción del aire)

Ejemplo 1:Ejemplo 1: Una bola de Una bola de 2 kg2 kg se libera desde se libera desde una altura de una altura de 20 m20 m. ¿Cuál es su velocidad . ¿Cuál es su velocidad cuando su altura disminuye a cuando su altura disminuye a 5 m5 m??

vv5m5m

v = 0v = 020m20m

00

mgh = mgy + ½mvmgh = mgy + ½mv2 2

2gh = 2gy + v2gh = 2gy + v22

vv22 = 2g(h - y) = = 2g(h - y) = 2(9.8)(20 - 5)2(9.8)(20 - 5)

v = v = (2)(9.8)(15)(2)(9.8)(15) v = 17.1 m/sv = 17.1 m/s

Earriba total = E total a 5 mEarriba total = E total a 5 m

Ejemplo 2:Ejemplo 2: Una montaña rusa cae de una Una montaña rusa cae de una altura máxima de altura máxima de 100 ft100 ft. ¿Cuál es la . ¿Cuál es la rapidez cuando llega a su punto más rapidez cuando llega a su punto más bajo?bajo?

Suponga fricción cero:Suponga fricción cero:Arriba: Arriba: U + K = mgh + 0U + K = mgh + 0Abajo: Abajo: U + K = 0 + ½mvU + K = 0 + ½mv22

La energía total se La energía total se conservaconserva

v = v = (2)(32 ft/s(2)(32 ft/s22)(100 ft))(100 ft)

mgh = ½mvmgh = ½mv22

v = 80 ft/sv = 80 ft/s

v = 2ghv = 2gh

Conservación de energía en Conservación de energía en ausencia de fuerzas de fricciónausencia de fuerzas de fricción

Comienzo: Comienzo: (U + K)(U + K)oo = Fin: = Fin: (U + K)(U + K)f

mghmghoo

½kx½kxoo22

½mv½mvoo22

==mghmghff

½kx½kxff22

½mv½mvff22

¿Altura?¿Altura?

¿Resorte¿Resorte??

¿Velocidad¿Velocidad??

¿Altura?¿Altura?

¿Resorte?¿Resorte?

¿Velocidad¿Velocidad??

La energía total es constante para un sistema La energía total es constante para un sistema conservativo, como la gravedad o un resorte.conservativo, como la gravedad o un resorte.La energía total es constante para un sistema La energía total es constante para un sistema conservativo, como la gravedad o un resorte.conservativo, como la gravedad o un resorte.

Ejemplo 3.Ejemplo 3. El agua en el fondo de una cascada tiene El agua en el fondo de una cascada tiene una velocidad de 30 m/s después de caer 35 ft. una velocidad de 30 m/s después de caer 35 ft.

hhoo = 35 m; v = 35 m; vff = 30 m/s = 30 m/s22

¿Cuál es la rapidez del ¿Cuál es la rapidez del agua en lo alto de la agua en lo alto de la cascada?cascada?

mghmghoo

½kx½kxoo22

½mv½mvoo22

¿Altura?¿Altura?

¿Resorte?¿Resorte?

¿Velocidad?¿Velocidad?

Sí (35 m)

No

Sí (vo)

Primero observe el punto de inicio: lo alto de la cascada. Suponga y = 0 en el fondo para punto de referencia.

Ejemplo 3 (Cont.)Ejemplo 3 (Cont.) El agua en el fondo de la cascada El agua en el fondo de la cascada tiene una velocidad de 30 m/s después de caer 35 ft. tiene una velocidad de 30 m/s después de caer 35 ft.

hhoo = 35 m; v = 35 m; vff = 30 m/s = 30 m/s22

¿Cuál es la rapidez del ¿Cuál es la rapidez del agua en lo alto de la agua en lo alto de la cascada?cascada?

mghmghff

½kx½kxff22

½mv½mvff22

¿Altura?¿Altura?

¿Resorte?¿Resorte?

¿Velocidad¿Velocidad??

No (0 m)

No

Sí (vf)

Luego elija el punto FINAL en el fondo de la cascada:

Ejemplo 3 (Cont.)Ejemplo 3 (Cont.) El agua en el fondo de la cascada El agua en el fondo de la cascada tiene una velocidad de 30 m/s después de caer 35 ft. tiene una velocidad de 30 m/s después de caer 35 ft.

hhoo = 35 m; v = 35 m; vff = 30 m/s = 30 m/s22

¿Cuál es la rapidez del ¿Cuál es la rapidez del agua en lo alto de la agua en lo alto de la

cascada?cascada?Energía total arriba = Energía total abajoEnergía total arriba = Energía total abajo

2 2 2 20 2 (25.8 m/s) 2(9.8 m/s )(33.2 m)fv v gh= − = −

2 20 14.9 m /sv = vo = 3.86 m/svo = 3.86 m/s

2 202 fgh v v+ =2 21 1

02 20 fmgh mv mv+ = +

Ejemplo 4.Ejemplo 4. Una bicicleta con velocidad inicial Una bicicleta con velocidad inicial 10 10 m/sm/s sube hasta una altura neta de sube hasta una altura neta de 4 m4 m. ¿Cuál es . ¿Cuál es la velocidad en lo alto, si desprecia la fricción?la velocidad en lo alto, si desprecia la fricción?

4 m

vf = ?

vo = 10 m/s

E(arriba) = E(abajo)E(arriba) = E(abajo)

EEarribaarriba = mgh + ½mv = mgh + ½mv22

EEabajoabajo = 0 + ½mv = 0 + ½mvoo22

2 21 102 2fmv mgh mv+ = 2 21 1

02 2fv v gh= −2 2 2 2

0 2 (10 m/s) 2(9.8 m/s )(4 m)fv v gh= − = −

2 221.6 m /sfv = vf = 4.65 m/svf = 4.65 m/s

Ejemplo 5:Ejemplo 5: ¿Cuánto subirá, sobre el ¿Cuánto subirá, sobre el plano plano inclinado de 30inclinado de 30oo, el bloque de 2 kg después de , el bloque de 2 kg después de liberarse? La constante de resorte es 2000 N/m y liberarse? La constante de resorte es 2000 N/m y se comprime 8 cm.se comprime 8 cm.

sshh

3030oo

InicioInicioFinFin

mghmghoo

½kx½kxoo22

½mv½mvoo22

==mghmghff

½kx½kxff22

½mv½mvff22

½kx½kxoo22 = mgh = mghffConservación de energía:Conservación de energía:

2 20

2

(2000 N/m)(0.08m)

2 2(2 kg)(9.8 m/s )

kxh

mg= = h = 0.327 mh = 0.327 m

Ejemplo (Cont.):Ejemplo (Cont.): ¿Cuánto subirá, sobre el plano ¿Cuánto subirá, sobre el plano inclinado de 30inclinado de 30oo, el bloque de 2 kg después de , el bloque de 2 kg después de liberarse? La constante de resorte es 2000 N/m liberarse? La constante de resorte es 2000 N/m y se comprime 8 cm.y se comprime 8 cm.

sshh

3030oo

InicioInicioFinFinContinúa:Continúa:

hh = 0.327 m = 32.7 cm = 0.327 m = 32.7 cm

sensen 30 30oo = =hh

ss

ss = = = =hh

sen sen 3030oo

32.7 cm32.7 cm

sen 30sen 30oos = 65.3 cms = 65.3 cm

Conservación de energía y Conservación de energía y fuerzas no conservativas.fuerzas no conservativas.

Se deben explicar las Se deben explicar las fuerzas de fuerzas de fricciónfricción. La . La energía todavía se energía todavía se conserva, pero conserva, pero nono es es reversible.reversible.

Se deben explicar las Se deben explicar las fuerzas de fuerzas de fricciónfricción. La . La energía todavía se energía todavía se conserva, pero conserva, pero nono es es reversible.reversible.

f

Conservación de energía mecánicaConservación de energía mecánica

(U + K)o = (U + K)f + Pérdidas(U + K)o = (U + K)f + Pérdidas

Estrategias para resolución de Estrategias para resolución de problemasproblemas

1. Lea el problema; dibuje y etiquete el bosquejo.1. Lea el problema; dibuje y etiquete el bosquejo.

2. Determine los puntos de referencia para 2. Determine los puntos de referencia para energía potencial gravitacional y/o resorte.energía potencial gravitacional y/o resorte.

3. Seleccione un punto de inicio y un punto final y 3. Seleccione un punto de inicio y un punto final y plantee tres preguntas en cada punto:plantee tres preguntas en cada punto:

a. ¿Hay altura?a. ¿Hay altura? U = mghU = mgh

b. ¿Hay velocidad?b. ¿Hay velocidad? K = ½mv2K = ½mv2

c. ¿Hay un resorte?c. ¿Hay un resorte? U = ½kx2U = ½kx2

Resolución de problemas (continuación)Resolución de problemas (continuación)

4. Aplique la regla para conservación de energía.4. Aplique la regla para conservación de energía.

mghmghoo

½kx½kxoo22

½mv½mvoo22

==mghmghff

½kx½kxff22

½mv½mvff22

+Trabajo Trabajo contra contra

fricción: fricción: ffkk x x

5. Recuerde usar el valor absoluto (+) del 5. Recuerde usar el valor absoluto (+) del trabajo de fricción. (Pérdida de energía)trabajo de fricción. (Pérdida de energía)

Ejemplo 6Ejemplo 6: : Una masa Una masa mm se conecta a una cuerda de se conecta a una cuerda de longitud longitud LL y se mantiene horizontalmente como se y se mantiene horizontalmente como se muestra. ¿Cuál será la velocidad en el punto muestra. ¿Cuál será la velocidad en el punto BB? (d = ? (d = 12 m, L = 20 m)12 m, L = 20 m)

BL vc

rd

1. Dibuje y etiquete.

2. Comience en A y termine en B.

3. Referencia U = 0.

U = 0(U + K)o =(U + K)f + pérdida0

mgL + 0 = mg(2r) + ½mvc2 (Multiplique por 2, simplifique)

2gL - 4gr = vc2 Luego encuentre r de la figura.

A

Ejemplo (Cont.)Ejemplo (Cont.): : Una masa Una masa mm se conecta a una cuerda se conecta a una cuerda de longitud de longitud LL y se mantiene horizontalmente como se y se mantiene horizontalmente como se muestra. ¿Cuál será la velocidad en el punto muestra. ¿Cuál será la velocidad en el punto BB? (d = 12 ? (d = 12 m, L = 20 m)m, L = 20 m)

2gL - 4gr = v2gL - 4gr = vcc22

r = L - dr = L - d

r = 20 m - 12 m = 8 mr = 20 m - 12 m = 8 m

BL vc

rd

U = 0

A

vvcc22 = 2(9.8 m/s = 2(9.8 m/s22)[20 m - (2)(8 m)])[20 m - (2)(8 m)]

vvcc2 2 =2gL - 4gr = 2g(L - 2r)=2gL - 4gr = 2g(L - 2r)

vvcc = = 2(9.8 m/s2(9.8 m/s22)(4 m) )(4 m) vvcc = 8.85 m/s = 8.85 m/svvcc = 8.85 m/s = 8.85 m/s

Ejemplo 7Ejemplo 7: : Una masa Una masa mm de de 2 kg2 kg ubicada ubicada 10 m10 m sobre el suelo comprime un resorte sobre el suelo comprime un resorte 6 cm6 cm. La . La constante de resorte es constante de resorte es 40,000 N/m40,000 N/m y y µµkk = 0.4 = 0.4. . ¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo?¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo?

hh

2 kg2 kg

ss

3030oo mgmg

ff nnmg sen 30mg sen 30oo

mg cos 30mg cos 30oo

3030oo

InicioInicio

FinFin

Conservación:Conservación: mgh + ½kxmgh + ½kx22 = ½mv = ½mv22 + f + fkkxx

(trabajo)(trabajo)ff = ( = (µµkknn) x = ) x = µµκκ((mg cos 30mg cos 30oo)) xx continúa . . .continúa . . .

Ejemplo (Cont.)Ejemplo (Cont.): : Una masa Una masa mm de de 2 kg2 kg ubicada ubicada 10 m10 m sobre el suelo comprime un resorte sobre el suelo comprime un resorte 6 cm6 cm. . La constante del resorte es La constante del resorte es 40,000 N/m40,000 N/m y y µµkk = = 0.40.4. ¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo?. ¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo?

hh

2 kg2 kg

xx

3030oo

10 m10 m

ffkkx = x = µµκκ((mg cos 30mg cos 30oo)) xx

mgh + ½kxmgh + ½kx22 = ½mv = ½mv22 + f + fkkxx

ffkkxx = (0.4)(2 kg)(9.8 m/s2)(0.866)(20 m) = 136 J

x = = 20 m10 m

sin 30o

mgh = (2 kg)(9.8 m/s2)(10 m) = 196 J

½kx½kx22 = ½= ½(40,000 N/m)(0.06 m)(40,000 N/m)(0.06 m)22 = = 72.0 J72.0 J

Ejemplo (Cont.)Ejemplo (Cont.):: Una masa Una masa mm de de 2 kg2 kg ubicada ubicada 10 m10 m sobre el suelo comprime un resorte sobre el suelo comprime un resorte 6 cm6 cm. . La constante de resorte es La constante de resorte es 40,000 N/m40,000 N/m y y µµkk = = 0.40.4. ¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo?. ¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo?

h

2 kg

x

30o

10 m

mgh + ½kxmgh + ½kx22 = ½mv = ½mv22 + f + fkkxx

ffkkxx = 136 J= 136 J

mghmgh = 196 J= 196 J ½kx½kx22 = 72.0 J= 72.0 J

½mv½mv22 = mgh + ½kx = mgh + ½kx22 - f - fkkxx

½½(2 kg) (2 kg) vv22 = = 196 J + 72 J - 136 J = 132 J 196 J + 72 J - 136 J = 132 J

v =11.4 m/sv =11.4 m/s

Resumen: Resumen: Ganancias o pérdidas de energíaGanancias o pérdidas de energía

U = mghU = mgh

212U kx=

Energía potencial gravitacionalEnergía potencial gravitacional

Energía potencial de resorteEnergía potencial de resorte

Fricción contra trabajoFricción contra trabajo Trabajo = fxTrabajo = fx

Energía cinéticaEnergía cinética 212K mv=

Resumen:Resumen:Conservación de energíaConservación de energía

Regla básica para conservación de energía:

mghmghoo

½kx½kxoo22

½mv½mvoo22

==mghmghff

½kx½kxff22

½mv½mvff22

+Trabajo Trabajo contra contra

fricción: fricción: ffkk x x

Recuerde usar el valor absoluto (+) del trabajo de fricción. (Pérdida de energía)

CONCLUSIÓN: Capítulo 8CCONCLUSIÓN: Capítulo 8CConservación de energíaConservación de energía