Trabajo y Energia Clases

7/23/2019 Trabajo y Energia Clases

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TRABAJO y ENERGA

1.- ENERGA.- Es la medida cuantitativa nica del movimiento de la materia en todas las formas que este semanifieste, es una magnitud escalarPara caracterizar cuantitativamente las diversas formas del movimiento que estudia la fsica, cualitativamente seintroduce las correspondiente formas de energa tales como: Energa mecnica, trmica, qumica,electromagntica, nuclear etc.No hay diferentes formas de la energa sino diferentes formas de movimiento de la materia1.1.- Unidad de la energa 1 Joule = 1 Newton. Metro = 107 ergios1.2.- Procedimientos de transmisin de energa:

a.- En forma de trabajob.- En forma de calor

2.- TRABAJO.- Es la medida de la transferencia del movimiento de un cuerpo a otro (o es la medida detransferencia de la energa de un cuerpo a otro)Decimos que realizamos un trabajo cuando la fuerza que aplicamos produce un desplazamiento en la direccinde esta.Cuerpo Motor.- Es el cuerpo que posee la fuerza, por eso a esa fuerza se llama tambin fuerza motora que lo

denotaremos F o f

Cuerpo movido.- Es el cuerpo sobre el cual esta aplicado la fuerza motora F o f

Podemos definir matemticamente el trabajo como el producto de la Fuerza aplicada por el desplazamientoefectuado, si la fuerza y el desplazamiento tienen la misma direccin.

2.1.- TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA.-

El trabajo elemental dw que realiza una fuerza motora al desplazar una distancia dr

sobre un cuerpo es igual al

producto escalar del vector f

y dr

es decir .dw f dr

De modo que el trabajo realizado para llevar a cuerpo desde el punto P hasta el punto P ser

.

P

P

w f dr

Al observar la figura el producto escalar se tiene

. cosP P

P P

w f dr f dr

Pero cosT

dr ds y F f de modo queP

T

P

w f ds Esto es si F es constanteSi la fuerza es variable, entonces el trabajo que realiza vendr dado por:

2 2 2 2

1 1 1 1

r x y z

x y zr x y z

W F dr F dx F dy F dz

Nota 1,.1.- Si la fuerza y el desplazamiento tienen misma direccin y sentido el trabajo es positivo.2.- Si la fuerza y el desplazamiento tienen misma direccin pero diferente sentido entonces el trabajo esnegativo.3.- Si la fuerza y el desplazamiento tienen direcciones perpendiculares no se realiza trabajo.


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4.- El trabajo total realizado por varias fuerzas es igual al trabajo que realiza la fuerza resultante de ellas.2.2.- FUERZAS QUE NO REALIZAN TRABAJO.-Cualquier fuerza aplicada al cuerpo y que a su vez sea perpendicular al desplazamiento de este realiza untrabajo nulo. Algunos ejemplos en la fsica son:2.1.- Fuerza centrpeta: Fuerza que hace que un cuerpo gire dentro de una circunferencia. Ej: La fuerza degravedad que hace que giren los satelites, la friccin entre los autos y la autopista en una curva, etc. En todosestos casos la fuerza es perpendicular al desplazamiento.2.2.- Fuerza de Lorentz: Es la fuerza que hace que una carga elctrica gire circularmente en presencia de uncampo magntico.Finalmente de hecho cualquier fuerza que no realiza desplazamiento no realiza trabajo. Ej: Cualquier fuerza deequilibrio.

3.- FUERZAS CONSERVATIVAS.-Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre una partcula depende slo de las posiciones inicial yfinal, no dependiendo del camino seguido. Por lo tanto, una fuerza ser conservativa o potenciales si realiza untrabajo nulo al recorrer una trayectoria cerrada. Son fuerzas conservativas, por ejemplo, la gravitatoria, laelctrica, la elstica, etc.

El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es cero.

Ejemplo: Sobre una partcula acta la fuerza F = (2xyi +x2j) N

Calcular el trabajo efectuado por la fuerza a lo largo del camino cerrado ABCA.

La curva AB es el tramo de parbola y=x2/3.

BC es el segmento de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3) y

CA es la porcin del eje Y que va desde el origen al punto (0,1)

El trabajo infinitesimal dWes el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento

dW= F dr = (Fxi+Fyj) (dxi+dyj) = Fxdx+Fydy


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Las variablesxe yse relacionan a travs de la ecuacin de la trayectoria y=f(x), y los desplazamientosinfinitesimales dxy dyse relacionan a travs de la interpretacin geomtrica de la derivada dy=f(x)dx. Donde

f(x) quiere decir, derivada de la funcin f(x) con respecto ax.

Vamos a calcular el trabajo en cada unos de los tramos y el trabajo total en el camino cerrado.

Tramo AB

Trayectoria y=x2/3, dy=(2/3)xdx.

Tramo BC

La trayectoria es la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3). Se trata de una recta de pendiente 2/3 y cuya

ordenada en el origen es 1.

y=(2/3)x+1, dy=(2/3)dx

Tramo CD

La trayectoria es la rectax=0, dx=0, La fuerza F=0 y por tanto, el trabajo WCA=0

El trabajo total

WABCA = WAB + WBC + WCA = 27+(-27)+0=0

La fuerza de la gravedad es conservativa. El trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre un objeto quese mueve entre dos puntos cualesquiera cerca de la superficie de la Tierra es:

A partir de esto vemos que el trabajo realizado por la fuerza gravitacional slo depende de las coordenadasinicial y final del objeto y, en consecuencia, es independiente de la trayectoria.

Podemos asociar una funcin de energa potencial con cualquier fuerza conservativa. En la seccin anteriorencontramos que la funcin energa potencial asociada a la fuerza gravitacional era igual a:

Ep = mgy

Las funciones de energa potencial son definidas slo para fuerzas conservativas. En general, el trabajo W,hecho sobre un objeto por una fuerza conservativa es igual al valor inicial de la energa potencial asociada alobjeto menos el valor final .


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La energa potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa peso tiene la forma funcional

Donde ces una constante aditiva que nos permite establecer el nivel cero de la energa potencial.

3.1.- La fuerza que ejerce un muelle es conservativa

Como vemos en la figura cuando un muelle se deformax, ejerce una fuerza sobre la partcula proporcional a ladeformacinxy de signo contraria a sta.

Parax>0, F=-kx

Parax


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5.- Energa Mecnica

Se entiende por Energa Mecnica, EM, a la energa del movimiento mecnico y de la interaccin delos cuerpos, la energa del movimiento mecnico se llama energa cintica EC mientras que la energa deinteraccin de los cuerpos, la llamamos energa Potencial EP .De modo que EM = EC + EP

6.- Energa Cintica

Supongamos que aplicamos una fuerza a un cuerpo de masa m que est en reposo, el cuerpo se acelera,gana velocidad y recorre una cierta distancia, se hace un trabajo sobre este, el cual se manifiesta enforma de Energa Cintica EC. Si la fuerza continua actuando sobre el cuerpo, se hace tambin sobreeste un trabajo, que se transforma tambin en energa cintica.

6.1.- Calculo de Energa Cintica

Imagina que a un cuerpo en reposo VO = 0, le aplicamos una fuerza F, durante un tiempo, t; el cuerpo sedesplaza una distancia, s. Sabemos que:

Fuerza aplicada = masa x aceleracin, Como a = v/t

Atendiendo que el movimiento es rectilneo, el desplazamiento coincide con el espacio recorrido:

Como el trabajo hecho = Fuerza x desplazamiento

Resulta que:

se define la Energa Cintica como la capacidad para efectuar un trabajo por medio del movimiento ydepende de la masa del cuerpo m y de su velocidad, v:

La energa Cintica se expresa en unidad de trabajo (J) Julios

6.2.- RELACIN ENTRE TRABAJO Y VARIACIN DE ENERGA CINTICA

Al aplicar un trabajo sobre un cuerpo que est en movimiento, este aumenta de velocidad. Podemosentonces deducir que:

La variacin de la energa cintica es igual al trabajo hecho por la resultante de todas las fuerzas queactan sobre un cuerpo:

Trabajo = variacin de la energa cintica


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OTRA FORMA.- Supongamos que F es la resultante de las fuerzas que actan sobre una partcula demasa m. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial de la energacintica de la partcula.

6.3.- El teorema del trabajo-energa indica que el trabajo de la resultante de las fuerzas que acta sobreuna partcula modifica su energa cintica.

Ejemplo: Hallar la velocidad con la que sale una bala despus de atravesar una tabla de 7 cm de espesory que opone una resistencia constante de F=1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y sumasa es de 15 g.

El trabajo realizado por la fuerza F es -18000.07=-126 J

La velocidad final v es

7.- Energa Potencial.-

Una fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre los valores iniciales yfinal de una funcin que solo depende de las coordenadas. A dicha funcin se le denomina energa potencial.

El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido para ir del punto A al punto B.

Para un muelle la funcin energa potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa Fvale

El nivel cero de energa potencial se establece del siguiente modo: cuando la deformacin es cerox=0, el valorde la energa potencial se toma cero, Ep=0, de modo que la constante aditiva vale c=0.

La energa potencial es la que tiene un cuerpo en virtud de la posicin que ocupa, que ser distinta a la del

equilibrio.


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7.1.- Energa Potencial Elstica

Como ya sabemos, cuando comprimimos o estriamos un muelle, estamos aplicndole una fuerza F, y se produceun desplazamiento x.Tenemos una masa, m, unida a un resorte de constante elstica, k , y tomamos como origen de coordenada x, laposicin de la masa m, en la que el resorte tiene la longitud normal (sin comprimir o alargar). Estiramos el muellelentamente en sentido horizontal hasta la posicin x.

Los resultados obtenidos se recogen en la grafica siguiente:

Fuerza (N) Alargamiento (m)

1

22.

33.

44.

55.

Observa que la fuerza elstica F= k.x, no es constante, y por consiguiente, no podemos establecer el trabajohecho por esta fuerza de la misma manera que determinamos el trabajo ejecutado por la fuerza peso, sino quehemos de calcularlo grficamente.

El trabajo hecho por la fuerza F no se ha trasformado en energa cintica ni en energa potencial gravitatoria,tampoco hemos tenido en cuenta el rozamiento. El nico efecto de esta fuerza responsable del trabajo ha sidoaumentar la energa potencial elstica.La Energa Potencial Elstica es la que tiene un cuerpo elstico (un muelle, una goma) a causa de suestado de tensin.La energa potencial elstica es el rea comprendida debajo de la lnea de la representacin grafica de F enfuncin de x:

Para todas las deformaciones que cumplan la ley de Hooke, la energa potencial elstica almacenada en elcuerpo deformado es proporcional al cuadrado de la deformacin.


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8.- LA ENERGA MECNICA SE TRANSFORMA Y SE CONSERVA.

La Energa mecnica es la suma de la energa cintica y la energa potencial. Veremos a continuacin como setransforma la energa mecnica.Experimento:Coge un bol o una taza muy pulida y deja caer una bola una bola de acero desde uno de los bordes.

La bola llega hasta el fondo del bol, transformando la energa potencial que tenia en el borde del recipiente enenerga cintica; a continuacin la bola vuelve a subir hasta el borde opuesto, recuperando as su energapotencial.Experimento:Con un cordn y una bola, construye un pndulo como el de la figura.

1.- Fija el cordn por su extremo A y hazlo oscilar entre los puntos B y C2.- Pon un clavo en la posicin D, de manera que el pndulo, abandonado de nuevo en B no pueda llegar alpunto C; el cordn detenido por D hace que la masa del pndulo se eleve hasta la posicin E, que se encuentraen la lnea horizontal BC.

3.- En el movimiento de retorno, llega al punto BEn este ejemplo el pndulo asciende en sus oscilaciones hasta llegar a la misma altura, aunque se ponga unobstculo en el recorrido del cordn, y la energa potencial se transforma en energa cintica, y esta otra vez enenerga potencial. La energa cintica en el punto D se transforma en potencial la subir la bola hasta el punto E.8.1.- PRINCIPIO DE CONSERVACIN DE LA ENERGA MECNICAUn nio que est en la parte superior de un tobogn, situado a una altura h, de 2 metros sobre el suelo, tieneenerga potencial:

donde m es la masa m de nio (25 Kgr)

Consideremos el siguiente ejemplo cuando el nio llega al suelo, toda su energa potencial se ha transformadoen energa cintica; y por lo tanto:

A lo largo del recorrido, la energa potencial se va transformando en energa cintica, es decir, la energapotencial del nio va disminuyendo al mismo tiempo que aumenta la energa cintica, pero la suma de ambasser siempre 490 J.Cuando el nio esta a la mitad del tobogn, tiene energa cintica y energa potencial y su suma sigue siendo490 J:

Por lo tanto, la energa cintica ser:


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Podemos generalizar el ejemplo anterior de la siguiente manera:

La suma de la energa cintica y potencial se mantiene siempre constante en cualquier punto:

Esta es la expresin matemtica del principio o ley de conservacin de la energa mecnica

Si no tuviramos en cuenta el rozamiento, podramos calcular la velocidad con que el nio llega al final deltobogn a partir de la expresin de la energa cintica:

8.2.- La energa total se transforma y se conserva

En los experimentos anteriores (Taza-Bola y Pndulo), la transformacin de la energa cintica en potencial serepite pocas veces: finalmente, la bola es queda parada en el fondo del bol y el pndulo acaba parndose.En estos experimentos interviene una fuerza que no hemos tenido en cuenta, la fuerza de rozamiento. Recuerdaque el trabajo de la fuerza de rozamiento siempre es negativa. As, si hay fuerzas de rozamiento, la energa

mecnica disminuir, y el trabajo de las fuerzas de rozamiento ser igual a la variacin de la energa mecnicadel sistema.Observa las transformaciones de energa que tienen lugar en la pelota

La pelota se para por la accin de las fuerzas de rozamiento. Ahora bien, se ha perdido energa? La respuestaes negativa; se ha perdido capacidad de hacer trabajo, pero no energa, ya que esta se ha disipado al medio enforma de calor. Esta es otra manera de transferencia de energa entre los cuerpos.El principio de conservacin de energa podemos enunciarlo de la siguiente manera:La energa ni se crea ni se destruye, solo se transforma; es decir, en todos los procesos hay intercambio deenerga pero la energa total se mantiene constante.La energa puede transformarse de una formas en otras, no obstante, siempre se mantiene constante, comovemos en el ejemplo siguiente:

En todos estos casos, la energa inicial es transformada en otro tipo de energa.

La unidad en el S.I. del trabajo y de la energa es el julio (J).

7. La energa potencial de un sistema es la energa asociada con la configuracin del mismo. Lavariacin en la energa potencial de un sistema se define como el valor negativo del trabajo realizado por unafuerza conservativa que acta sobre el sistema:


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pvaconservati.F EW

Es decir, el trabajo realizado por una fuerza conservativa sobre un sistema es igual a la disminucin de energapotencial del sistema. Por lo tanto, el trabajo que realizan las fuerzas conservativas se realiza a costa de suenerga potencial asociada.

8. El valor absoluto de la energa potencial carece de importancia. Slo interesan los cambios deenerga potencial.

9. La energa potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m a una altura y por encima del nivel dereferencia es:

mgy)grav(Ep

Esto es vlido para alturas pequeas sobre la superficie terrestre donde consideramos que gpermanece constante.

La energa potencial elstica de un muelle, de constante elstica K, cuando se alarga o se contrae unadistancia x desde el equilibrio viene dada por:

2p xk2

1)elstica(E

10. Si sobre un cuerpo slo realizan trabajo las fuerzas conservativas, la suma de la energa cintica ypotencial, es decir, la energa mecnica permanece constante. Esta es la ley de conservacin de la energamecnica.

cteEEE pcm

11. El trabajo realizado por una fuerza no conservativa actuando sobre una partcula es igual a lavariacin de la energa mecnica total del sistema:

mvasconservatino EW

1. TRABAJO REALIZADO POR LA FUERZA ELSTICA.

Como ejemplo de trabajo realizado por una fuerza variable tenemos el trabajo realizado por la fuerzaelstica de un resorte o muelle.

Sea el caso de un cuerpo colocado sobre una superficie horizontal y lisa que est conectado a un resortehelicoidal.

Si el resorte se estira o se comprime una pequea longitud respecto de su posicin de equilibrio, seejerce sobre el cuerpo una fuerza elstica, por parte del resorte, que viene dada por la ley de Hooke:

xkF


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donde x es el desplazamiento del cuerpo con respecto a la posicin de equilibrio. Es positivo cuando seencuentra a la derecha de x=0, y negativo cuando se encuentra a la izquierda de esta posicin. K es laconstante elstica del muelle. Los muelles rgidos tienen grandes valores de k, mientras que los suaves ofcilmente deformables tienen valores pequeos.

El signo - nos indica que la fuerza ejercida por el resorte sobre el cuerpo tiene siempre sentido contrarioal desplazamiento producido. Por eso, puesto que la fuerza del resorte siempre acta tendiendo a llevar alcuerpo hacia la posicin de equilibrio, recibe tambin el nombre de fuerza recuperadora.

Si se produce un desplazamiento arbitrario del bloque desde la posicin 1 a la 2, el trabajo realizado porla fuerza elstica es:

2

1

2

1

x

x

x

x

22

21 xk2

1xk

2

1xdxkdx)kx(W

Es decir, el trabajo realizado por la fuerza elstica depende slo de los puntos inicial y final, por lo tanto,la fuerza elstica es una fuerza conservativa.

2. ENERGA POTENCIAL ELSTICA

Como hemos visto el trabajo que realiza un muelle cuando pasa de una posicin x1 a otra x2 es:

2

kx

2

kxW

22

21

y, por lo tanto, la fuerza elstica ser conservativa. Por lo tanto, al ser una fuerza conservativa se puede definiruna funcin Energa Potencia Elstica de tal forma que el trabajo realizado por la fuerza conservativa elstica

equivale, de nuevo, a la variacin negativa de la energa potencia elstica:

pepepe

22

21 E)2(E)1(E

2

kx

2

kxW

As, si a partir de la posicin de equilibrio (x=0) ejercemos una fuerza F sobre el bloque, el muelle se

comprimir una distancia x determinada. El trabajo realizado sobre el muelle queda almacenado en este enforma de energa potencial elstica.

Cuando el bloque se libera, el muelle realiza un trabajo positivo sobre l, transformndose la EnergaPotencial elstica en energa Cintica del bloque.

El nivel cero de energa potencia elstica es aquel en el que el muelle est en la posicin de equilibrio(x=0).

3. CONSIDERACIONES SOBRE LA ENERGA POTENCIAL

1. La Energa Potencial es una energa de configuracin.Nos hemos referido a la energa potencial de una partcula sometida a una fuerza conservativa como siesa energa potencial estuviese almacenada en la partcula, es decir, como si dicha energa estuvieseexclusivamente ligada a la partcula a travs de la posicin que ocupa.

Esto es, sin embargo, una forma simplificada de enfocar la cuestin ya que la Energa Potencial es unapropiedad de un sistema de partculas, considerado como un todo, que interaccionan entre s.

Estrictamente hablando, la energa potencia depende tanto de las coordenadas de la partculaconsiderada como de las coordenadas de todas las dems partculas que constituyen su medio ambiente. Estoes, la energa potencial no debe asignarse a ningn cuerpo o partcula concreta, sino que debe de considerarsecomo algo perteneciente a todo el sistema en su conjunto, es decir, a todas las partculas interactuantes.Veamos algunos ejemplos.

Consideremos una piedra situada a una cierta altura sobre la superficie terrestre. Podemos afirmar quela piedra posee una cierta energa potencial mgh, por cuanto que posee, en virtud de su posicin, una ciertacapacidad para realizar trabajo. Un poco de reflexin nos descubrir que debemos considerar ese energa


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potencial como una propiedad del sistema piedra-tierra en su conjunto; es la posicin relativa entre las partes laque determina su energa potencial. La energa potencial es mayor cuanto ms separadas estn dichas partes.

Supongamos que abandonamos el sistema; las partes se aproximan y disminuye la energa potencial delconjunto. Durante esa desaparicin de energa potencial se realiza un trabajo por parte de las fuerzasgravitatorias y se va incrementando la energa cintica del sistema.

La piedra cae hacia la Tierra, pero la Tierra tambin cae hacia la piedra. La Tierra adquiere pues unacierta aceleracin, muy pequea dada la enorme desproporcin de masas. Como el cambio de rapidez de laTierra es sumamente pequeo, su incremento de energa cintica es despreciable en comparacin al de lapiedra que cae, por lo que se identifica la energa cintica del Sistema con la energa cintica de la piedra.Adems, como la configuracin del sistema piedra-Tierra viene expresado en funcin de la posicin (h) de lapiedra con respecto a la Tierra, hablamos de la Energa Potencial del Sistema Piedra-Tierra como Energapotencial mgh de la piedra. Esta es la razn por la que solemos afirmar: La energa potencial mgh que pierde lapiedra durante la cada se invierte en aumentar su energa cintica. Sin embargo, esta afirmacin, expresada demanera correcta sera:

La Energa Potencial mgh de interaccin entre la piedra y la Tierra, cuando aquella se encuentra a

una altura h, se transforma durante su cada en Energa Cintica del Sistema

La energa potencial no existe para un cuerpo o partcula aislada.

2. La Energa Potencial no tiene carcter absoluto.

Observese que la ecuacin de definicin de la energa potencial, pvaconservati.F EW , slo permite

calcular diferencias de energa potencial. Dicho de otra manera, el valor de la energa potencia en un punto B,Ep(B), slo estar definido si conocemos el valor de Ep(A), pues entonces:

vaconservati.Fpp W)A(E)B(E

Esto es, la energa potencial, al contrario que la energa cintica, no tiene carcter absoluto, ya que slo

podemos calcular la diferencia de energa potenciales correspondientes a dos posiciones dadas de la partcula;slo la diferencia Ep(B) - Ep(A) tiene siempre un significado fsico.

Debido a esto, no podemos calcular la energa potencial en valor absoluto; todo lo ms que podemoshacer es definir la diferencia de energa potencial de la partcula, para dos posiciones dadas, como el trabajoque realiza la fuerza conservativa, cambiado de signo, en un desplazamiento de la partcula entre esas dos

posiciones.

Sin embargo, podemos dar un significado a la energa potencial en B haciendo que el punto A sea unpunto de referencia conveniente al que le asignamos un valor arbitrario de energa potencial, ordinariamenteigual a cero. Entonces:

vaconservati.F

vaconservati.Fpp

W

W)A(E)B(E

Conviene dejar claro que cualquier punto o nivel de referencia cmodo es igualmente vlido. Lo queimporta fsicamente es el cambio en la Energa Potencial, porque es lo que se relaciona con el trabajo efectuado.

As, por ejemplo, considerar mgh como expresin de la energa potencial gravitatoria significa quehemos fijado arbitrariamente un valor cero de energa potencial para una altura h=0. Se suele considerar comocero la energa potencial en el suelo donde estamos llevando a cabo el experimento. Sin embargo, es precisoinsistir en que ste es un criterio totalmente arbitrario, pues si el suelo se hundiera, por ejemplo, el objetoseguira cayendo.

Asimismo, para la energa potencial elstica se suele tomar como nivel cero a la posicin de equilibriodel muelle.


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3. La Energa Potencial puede ser positiva o negativa.Todo depende del nivel cero de referencia elegido.

4. La Energa Potencia est asociada a fuerzas conservativas.

En el caso de que la fuerza no sea conservativa, el trabajo que realiza en su desplazamiento desde Ahasta B depender del camino que siga la partcula y, al no ser dicho trabajo funcin exclusiva de la posicininicial y final de la partcula, no existir una funcin energa potencial asociada a la fuerza no conservativa. Porejemplo, no existe ninguna energa potencial asociada a la fuerza de rozamiento.

4. DIFERENCIAS ENTRE LA ENERGA POTENCIAL Y LA ENERGA CINTICA

1. Las fuerzas que intervienen en la ecuacin de definicin de la energa potencial son slo las fuerzasconservativas.

Comparando la ecuacin de definicin de la energa potencial, pvaconservati.F EW con la ecuacin:

cE)Total(W que expresa el Teorema Trabajo-Energa Cintica, conviene hacer notar que esta ltima expresin es vlidacualquiera que sea la fuerza F de que se trate , siempre que F sea la fuerza resultante, aunque no sea una fuerzaconservativa. Sin embargo, la ecuacin que se utiliza para definir la Ep slo es valida para fuerzas conservativas.

2. La expresin que da el valor de la Energa Potencial es diferente segn la fuerza conservativa que se trate.

En tanto que la energa cintica de una partcula viene expresada siempre por la frmula 2mv2

1, no

ocurre lo mismo con la energa potencial. A cada fuerza conservativa podemos asociarle una energa potencial,que viene expresada por una ecuacin distinta de acuerdo con la naturaleza de la fuerza, y que recibe distintos

calificativos, tales como: energa potencial gravitatoria, energa potencial elstica, etc. No existe una frmulanica para expresar la energa potencial.

3. La energa potencial no puede conocerse en valor absoluto.

Al contrario de lo que ocurre con la energa cintica, en la determinacin de la energa potencialinterviene una constante arbitraria (nivel cero). Esto no supone ningn inconveniente, ya que lo que estrelacionado con el trabajo efectuado por las fuerzas no es la energa potencial sino sus variaciones, y stastienen siempre el mismo valor cualquiera que sea el nivel de referencia elegido.4. La energa potencial puede tomar valores negativos.

Mientras que la energa cintica es siempre positiva.La energa mecnica total de un sistema se conserva si se cumplen dos condiciones:

El sistema debe ser aislado. Esto significa que no actun fuerzas externas sobre los cuerpos queconforman el sistema o que toda fuerza externa que acte sobre estos cuerpos no realiza trabajo sobre ellos a lolargo de cualquier posible movimiento de los mismos

Toda fuerza interna del sistema, es decir, una fuerza ejercida sobre un cuerpo del sistema por otrocuerpo del mismo tiene la siguiente propiedad: la fuerza no realiza trabajo total cuando los cuerpos queconstituyen el sistema se mueven desde una distribucin inicial a otra cualquiera y vuelven a la distribucinoriginal


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TRABAJO Y ENERGA - EJERCICIOS

1. Un cuerpo se desplaza horizontalmente 50 m bajo la accin de una fuerza constante de 100 N.Determinar el trabajo realizado por dicha fuerza si:a) Acta horizontalmente en el sentido del movimiento.b) Forma un ngulo de 60 con la horizontal.c) Acta perpendicularmente.d) Forma 150 con la direccin del desplazamiento.

Al ser constante la fuerza, el trabajo lo podremos calcular de la forma:

cosrFrFW

a) J50000cosm50N100cosrFW

b) J250060cosm50N100cosrFW

c) J090cosm50N100cosrFW

d) J4330150cosm50N100cosrFW

2. Un cuerpo de 2 kg recorre un espacio de 10 m en ascenso por un plano inclinado 30 sobre lahorizontal, obligado por una fuerza de 15 N paralela al plano. Si el coeficiente de rozamiento entre elcuerpo y el plano vale 0'2, calcula el trabajo realizado por las fuerzas que actan sobre el cuerpo.

La situacin sera la representada en la figura. En ella FT y FN son las componentes del peso cuyos valores son:

N8,9senmgFT

N97,16cosmgFN

N es la reaccin del plano y del mismo valor que FN

F es la fuerza paralela al plano de valor 15 N y Froz es la fuerza de rozamiento cuyo valor ser:

N39,3N97,162,0FF Nroz


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Como el cuerpo asciende por el plano las fuerzas FN y N no realizarn trabajo ya que forman un ngulo de 90con el desplazamiento. El trabajo de las dems fuerzas ser:

J1500cosm10N15)F(W

J98180cosm10N8,9)F(W T

J9,33180cosm10N39,3)F(Wroz

El trabajo total realizado ser:J1,18J9,33J98J150WTOTAL

3. Un cuerpo de 3 kg de masa experimenta un desplazamiento que viene dado por mk2ji3r

bajo la accin de una fuerza constante que vale Nk4ji10F

. Determina: a) El trabajo realizado por la

fuerza en ese desplazamiento.b) El valor de la componente de la fuerza en la direccin del desplazamiento.

a) El trabajo realizado ser:

J238130

J)k2ji3()k4ji10(rFW

b) El trabajo se puede expresar en funcin de la componente Fren la direccin del movimiento en la forma:

rFrcosFW r

Y como el mdulo del vector desplazamiento r es:

m74,3419r

Tendremos que la componente de la fuerza en la direccin del movimiento ser:

N14,6m74,3

J23

r

WFr

4. Calcula el trabajo realizado por la fuerza Nj15F

al trasladar una partcula desde el punto (0,0)

hasta el punto (3,3) segn las siguientes trayectorias:a) (0,0) . . . . . (0,3). . . . . (3,3)b) (0,0). . . . . .(3,0). . . . . (3,3)

c) (0,0). . . . . .(3,3)

Las trayectorias seran las representadas en la figura.

a) En el primer caso la partcula va de O a B y a C. El trabajo realizado sera:


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16

)CB(W)BO(W)CO(W

Los vectores desplazamiento en cada uno de estos trayectos son:

j3j)03(i)00(rOB

i3j)33(i)03(rBC

Luego el trabajo realizado ser:

J45J045i3j15

j3j15)CB(W)BO(W)CO(W

b) En este caso los vectores desplazamiento sern:

i3j)00(i)03(rOA

j3j)03(i)33(rAC

Y el trabajo realizado sera:

J45J450j3j15

i3j15)CA(W)AO(W)CO(W

c) En este caso el vector desplazamiento ser:

j3i3j)03(i)03(rOC

Y el trabajo ser:

J45J450)j3i3(j15)CO(W

Como se puede observar en las tres trayectorias el trabajo realizado por la fuerza es el mismo, por lo tanto, setratara de una fuerza conservativa.

5. Sobre una partcula acta la fuerza jy2ix6F 2

. Calcular el trabajo que realiza cuando la partcula

se desplaza desde el origen O hasta el punto P(1,1).

En este caso se trata de una fuerza variable ya que su valor depende en todo momento de las coordenadas (x,y)en las que se encuentre la partcula. Por lo tanto, para calcularlo tendremos que utilizar la expresin:

2

1

r

rrdFW

Que en nuestro caso ser:

P

O

2 )jdyidx()jy2ix6(W

10 10 1021032 J3yx2dyy2dxx6W


17/46

17

6. Un bloque de 100 kg es empujado una distancia de 6 m sobre un piso horizontal, mediante una fuerzade 1300 N que forma un ngulo de 30 hacia abajo con la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre elbloque y el piso es de 0'3. Calcular:a) El trabajo que realiza cada una de las fuerzas.b) Comprueba que el trabajo de todas las fuerzas que actan sobre el bloque es igual al trabajo de lafuerza resultante que acta sobre l.

a) La situacin sera la siguiente:

Si descomponemos la fuerza F en sus componentes perpendiculares tendremos:

Cuyos valores sern:

N83,1125cosFFx

N650senFFy

El valor de la fuerza de rozamiento ser:

N489)PF(NF yroz

Como la componente Fy es perpendicular al desplazamiento no realizar trabajo. Lo mismo ocurre con la fuerzaPeso y con la reaccin del plano N. El trabajo de la fuerza F es debido exclusivamente a la componente Fx,luego:

J98,6754

0cosm6N83,1125)F(W)F(W x

El trabajo de la fuerza de rozamiento ser:J2934180cosm6N489)F(W roz

Y el trabajo total ser:

J98,3820J2934J98,6754WTOTAL

b) Calculamos primero la fuerza resultante de todas las que actan sobre el cuerpo. Como N neutraliza a lasfuerzas P y Fy, la resultante sobre el cuerpo ser:

N83,636N489N83,1125FFF rozxR

Y el trabajo que realiza esta fuerza resultante ser:

J98,38200cosm6N83,636)F(W R


18/46

18

Donde se comprueba que el trabajo de todas las fuerzas es igual al trabajo de la fuerza resultante de ellas.

7. Un resorte de constante elstica 80 N/m se comprime una longitud de 3 cm, a partir del equilibrio,sobre una superficie lisa y horizontal. Calcular el trabajo realizado por el resorte cuando el bloque pasade la posicin x1= - 3 cm hasta su posicin no deformada.

La fuerza que ejerce el muelle viene dada por kxF y es, por lo tanto, una fuerza variable, ya que su valordepende en todo momento de la posicin x.

El trabajo que realiza al descomprimirse desde la posicin inicial (x1=-0,03 m) hasta la posicin final (x2=0 m)ser:

J036,0

2

03,00

m

N80

2

x

m

N80xdxkdx)kx(W

2

0

03,0

2x

x

0

03,0

2

1

8. Calcula el trabajo que realiza la fuerza kz2jyix3F

al desplazar una partcula desde el punto

A(0,0,0) hasta el punto B(3, -1, 2).

Al ser una fuerza variable su trabajo lo calcularemos de la forma:

2

1

2

1

2

1

2

1

z

zz

y

yy

r

r

x

xx dzFdyFdxFrdFW

Que en nuestro caso tendremos que:

J1742

1

2

27z

2

y

2

x3dzz2dyydxx3W

2

02

1

0

2

3

0

22

0

1

0

3

0

9. Un cuerpo de 2 kg desciende en cada libre.a) Qu fuerza constante es preciso aplicarle, en el instante en que su velocidad es de 20'4 m/s, paradetenerlo en 2 s?.b) Qu trabajo se realiza sobre el cuerpo desde que se aplica la fuerza hasta que se detiene?.

a) Si el cuerpo cae libremente es debido a que sobre l slo acta la fuerza peso que provoca que su velocidadvaya en aumento. Si queremos detenerlo es necesario aplicarle una fuerza hacia arriba y mayor que su peso detal manera que le provoque una aceleracin negativa para que pueda detenerlo (ver figura).La aceleracin negativa necesaria para detenerlo ser:


19/46

19

20 ms2,10s2

s

m4,200

t

vva

La fuerza resultante necesaria para producir esta aceleracin ser:

N4,20ms2,10kg2maF 2R

Esta fuerza debe estar dirigida hacia arriba. Ahora bien:

N40N4,20ms8,9kg2

FPFFPF

2

RR

b) Para calcular el trabajo debemos conocer previamente el espacio que recorre el cuerpo hasta que se detiene.Este ser:

m4,202 s4ms2,10s2ms4,20

2

tatvs

22

1

2

o

Por lo tanto, el trabajo que realiza la fuerza F que debemos ejercer ser de:

J816180cosm4,20N40W

El signo negativo del trabajo es debido a que la fuerza F que ejercemos tiene sentido contrario al movimiento delcuerpo.

10. Una partcula de masa m est unida a un muelle cuyo comportamiento no sigue la ley de Hooke, yaque la fuerza que ejerce es, en funcin de la deformacin x, F=-4x2 - 2x. Calcular el trabajo que es precisorealizar para deformarlo 6 cm.

La fuerza F es variable ya que depende de la posicin x en la que se encuentra el muelle con respecto a laposicin de equilibrio.

La partcula pasa de la posicin inicial, x0= 0 m, hasta la posicin final, x=0,06 m. El trabajo que realiza la fuerzaelstica vendr dado por:

J1088,3

006,003

06,04x

3

x4dx)x2x4(dxFW

3

2306,0

02

x

x

06,0

0

06,0

0

32

0

Este es el trabajo que realiza la fuerza debido al muelle. El trabajo que tendremos que realizar nosotros ser elmismo pero de signo positivo.

11. Una piedra de 2 kg atada al extremo de una cuerda de 0'5 m gira con una velocidad de 2 revolucionespor segundo.a) Cul es su energa cintica?.b) Calcular el valor de la fuerza centrpeta que acta sobre la piedra.c) Qu trabajo realiza la fuerza centrpeta en una vuelta?.


20/46

20

a) La velocidad angular en el S.I. ser:

1srad56,12rev1

rad2

s

rev2

Su velocidad lineal ser:11 ms28,6m5,0srad56,12rv

Y su energa cintica:

J43,39ms28,6kg22

1mv

2

1Ec

212

b) La fuerza centrpeta ser:

N75,157r

mvFc

2

c) Ninguno ya que en todo momento forma un ngulo de 90 con el desplazamiento.

12. Si una masa de 10 g cae, sin velocidad inicial, desde una altura de 1 m y rebota hasta una alturamxima de 80 cm. Qu cantidad de energa ha perdido?.

La prdida de energa ser debido a la prdida de energa potencial, es decir:

J0196,0m8,0m1ms8,9kg01,0

)hh(mgEpg

2

0

13. Un trineo de 5 kg se desliza con una velocidad inicial de 4 m/s. Si el coeficiente de friccin entre eltrineo y la nieve es de 0'14, determinar la distancia que recorrer el trineo antes de detenerse.

El trineo termina parndose debido a que en todo momento acta sobre l la fuerza debido al rozamiento, que alir en contra del movimiento le provocar una disminucin de velocidad. La fuerza peso P se ve equilibrada por lareaccin del plano N; estas fuerzas no afectan al movimiento del cuerpo.

Si aplicamos el teorema trabajo-energa cintica analizaramos la situacin de la siguiente forma: inicialmente el

cuerpo posee una energa cintica, como la nica fuerza que acta sobre el cuerpo, la F roz, realiza un trabajonegativo entonces su energa cintica ir disminuyendo (su velocidad disminuye) hasta que termina perdiendotoda la energa cintica que tena al principio, parndose finalmente.

Aplicando el teorema trabajo-energa cintica tendremos que:

cTotal EW

Y el trabajo total es debido al rozamiento ya que esta es la nica fuerza que acta, luego:

cosxFWW rozrozTOTAL

El valor de la fuerza de rozamiento ser:


21/46

21

N86,6ms8,9kg514,0PNF 2roz

Luego el trabajo que realiza ser:

x86,6

180cosx86,6cosxFW rozroz

Donde x es el espacio que recorre hasta pararse y la incgnita que debemos calcular.

La variacin de energa cintica ser:

J40ms4kg52

1

mv2

1Ec0EcEcE

21

2000Fc

Si igualamos el trabajo total y la variacin de energa cintica podremos calcular la distancia que recorre hastapararse. Es decir:

m83,586,6

40x

40x86,6EW cTotal

14. Una fuerza horizontal de 25 N se aplica a una caja de 4 kg, inicialmente en reposo sobre una mesarugosa horizontal. El coeficiente de friccin cintica entre la caja y la mesa es 0'35. Determinar lavelocidad de la caja despus de haber sido empujada a lo largo de una distancia de 3 m.

Sobre la caja actan dos fuerzas: la fuerza horizontal hacia la derecha y la fuerza de rozamiento hacia laizquierda. La primera favorece el movimiento y la de rozamiento va en contra de l.

La fuerza peso P y la reaccin del plano se anulan y no realizan trabajo alguno.

Para calcular la velocidad final aplicaremos el teorema trabajo-energa cintica calculando primero la energacintica final y de aqu la velocidad final. Es decir:

cTotal EW

J84,33m3)ms8,9kg435,0N25(

x)mgF(

xFFxFW

2

rozTOTALTOTAL

FF0F Ec0EcEcEcEc

Por lo tanto:

J84,33EcEW FcTotal


22/46

22

1

FF

2FF

ms11,4kg4

J84,332

m

Ec2vmv

2

1Ec

15. Una muchacha de 55 kg se encuentra en el tercer piso de un edificio, que se encuentra 8 m porencima de la planta baja. Cul es la energa potencial del sistema muchacha-Tierra si:

a) Si se elige como nivel de referencia igual a cero en la planta baja.b) Si se elige como nivel de referencia igual a cero en el segundo piso, que est 4 m por encima de laplanta baja.

a) En el primer caso la altura con respecto al nivel de referencia es de 8 m, luego:

J31,4m8ms8,9kg55mghEpg 2

b) En el segundo caso la altura con respecto al nivel de referencia es de 4 m, luego:

J15,2m4ms8,9kg55mghEpg 2

16. Se empuja un bloque de 2 kg contra un muelle, cuya constante elstica es 500 N/m, comprimindolo20 cm. Cunto vale la energa potencial elstica del bloque en ese instante?.

J10m2,0Nm5002

1kx

2

1Epe 212

17. Desde una altura de 200 m se deja caer una piedra de 5 kg.a) Con qu velocidad llega al suelo?.b) Cunto valdr su energa potencial en el punto ms alto?.c) Cunto valdr su energa cintica al llegar al suelo?.d) Cunto valdr su velocidad en el punto medio de su recorrido?.Considerar g=10 m/s2

a) La velocidad al llegar al suelo, aplicando la ecuacin del m.u.a. ser:

12 ms24,63m200ms102gh2v

b) J10m200ms10kg5mghEpg 420

c) Al no existir fuerzas no conservativas, la Epg arriba se transformar ntegramente en Ec en el suelo, luego Ec= 104 J.

d) Al conservarse la Em tendremos que:

)pm(Ec)pm(EpgEpg)pm(EmEm 00

Donde pm indica punto medio. Por lo tanto:

J5000m100ms10kg5J10

)pm(EpgEpg)pm(Ec

24

0

1ms72,44kg5

J50002

m

)pm(Ec2)pm(v


23/46

23

18. Dos bloques de masas m2 y m1 se encuentran unidos por una cuerda delgada que pasa por una polealigera sin rozamiento. Demostrar que la velocidad de cada uno de los bloques cuando el ms pesado de

ellos desciende una distancia h viene dada por la expresin

21

12

mm

ghmm2v

. Suponer m2 > m1.

La situacin grfica antes y despus de caer sera la siguiente:

El sistema inicialmente est en reposo. Comienza a moverse ya que las fuerzas que actan son P2 y P1 y, al serP

2>P

1, el sistema se mover hacia la derecha de forma acelerada ganando velocidad. Al estar unidos por una

cuerda el cuerpo 1 subir una distancia h cuando el cuerpo 2 descienda tambin una distancia h. Adems losdos se movern en cada momento con la misma velocidad.

Como las nicas fuerzas que intervienen, los pesos de los cuerpos, son fuerzas conservativas se cumplir elPrincipio de Conservacin de la Energa Mecnica. Por lo tanto tendremos que:

F0 EmEm

Evaluaremos la energa mecnica inicial y final y las igualaremos. Para ello, consideramos como nivel cero deEpg el nivel al que se encuentran los cuerpos inicialmente.

Energa mecnica inicial

La energa cintica de ambos cuerpos ser cero ya que estn en reposo.La energa potencial gravitatoria ser cero ya que ambos cuerpos se encuentran en el nivel cero elegidoarbitrariamente. Luego:

000EpgEcEm 000

Energa mecnica final

Como ambos cuerpos se mueven a la misma velocidad v, la energa cintica del sistema ser:

2212

22

1F vmm2

1vm

2

1vm

2

1Ec

La Epg del cuerpo 1 ser positiva ya que se encuentra por encima del nivel cero, mientras que la del cuerpo 2ser negativa al encontrarse por debajo del nivel cero. Luego:

ghmmghmghmEpg 2121F

Por lo tanto:


24/46

24

ghmm

vmm2

1EpgEcEm

21

221FFF

Si aplicamos el principio de conservacin de la energa mecnica tendremos que:

ghmm

vmm2

10EmEm

21

221F0

ghmmvmm2

112

221

21

12

mm

ghmm2v

Al mismo resultado se hubiera llegado de haber elegido como nivel cero de Epg cualquier otra referencia.

19. Calcular la velocidad de un pndulo de 1 m de longitud cuando pasa por la vertical, si se suelta desdeuna desviacin de 37.

Cuando el pndulo cae desde una desviacin hasta la vertical desciende una altura h, perdiendo Epg. Encambio, gana Ec al ir ganado velocidad. Como la nica fuerza que acta es el peso, fuerza conservativa, seconservar la Em y lo que ocurre es que la prdida de energa potencial se traduce en ganancia de energacintica. Por lo tanto, podremos escribir que:

gh2vmv2

1mgh 2

Para calcular h tendremos en cuenta que:

m20,037cosm1m1

cosLLhL

hLcos

Luego, la velocidad al pasar por la vertical ser:

12 ms97,1m2,0ms8,92gh2v

20. Un proyectil de 2 g sale del can de un fusil a 300 m/s:a) Calcular la energa cintica del proyectil a la salida del can.

b) Si la fuerza que acta sobre el proyectil mientras est en el can es F = 360 - 720 x, determinar lalongitud del can.


25/46

25

a) J90ms300kg002,02

1mv

2

1Ec

212

b) Aplicaremos el teorema trabajo-energa cintica, es decir:

J90J0J90

EcEcEcWW 0FFTOTAL

Para calcular el trabajo que realiza la fuerza F, al ser esta variable, tendremos que utilizar la expresin, siendo Lla longitud del can:

2

L

0

2

L

0

L

0

L0F

L360L3602

x720

x360dxx720360dxFW

Por lo tanto, tendremos:

m5,0LL360L36090 2

21. Un bloque de 0'5 kg de masa se encuentra en el extremo superior de un plano que est inclinado 45respecto de la horizontal. En la parte inferior del plano existe un resorte de constante elstica k=400 N/m,inicialmente sin deformar. El bloque se encuentra a 3 m del extremo del resorte y est inicialmente enreposo. Al deslizar el bloque y entrar en contacto con el resorte lo comprime. Calcular la deformacinmxima que sufre el resorte.

La situacin grfica inicial sera:

La altura vertical h a la que se encuentra el cuerpo ser:

m12,245senm3h

Debido a la fuerza peso del cuerpo este desciende por el plano ganando velocidad y, al final, al encontrarse con

el muelle lo comprimir, perdiendo velocidad, hasta que al final el cuerpo se para siendo en este caso lacompresin del muelle mxima. La situacin final sera:

donde x es la compresin mxima que experimenta el muelle.


26/46

26

Si analizamos la situacin desde el punto de vista trabajo-energa diremos que: sobre el cuerpo actainicialmente la fuerza peso y al entrar en contacto con el muelle la fuerza elstica, como ambas son fuerzasconservativas, se conservar la energa mecnica del sistema.Ahora bien, inicialmente slo hay energa potencial gravitatoria debido a la situacin del cuerpo, suponiendo elnivel cero de Epg la base del plano. Al final slo hay energa potencial elstica debido a la compresin delmuelle.

Al principio el cuerpo tiene Epg que, al descender se convierte en Ec y sta se va convirtiendo en Epe al ir

comprimiendo el muelle. Por lo tanto podremos poner que:

m22,0

Nm400

m12,2ms8,9kg5,02

k

mgh2x

kx2

1mghEpeEpg

1

2

2F0

22. Un nio de masa 40 kg se desliza hacia abajo por un tobogn inclinado 30. El coeficiente de friccincintica entre el nio y el tobogn es 0'2. Si el nio parte del reposo desde el punto ms alto del tobogn,a una altura de 4 m sobre el suelo. Qu velocidad tiene al llegar al suelo?.

Las fuerzas que intervienen son las representadas en la figura, donde FT y FN son las componentes del peso.

El nio recorre una distancia x a lo largo del plano, distancia que valdr:

m85,0

m4

30sen

hx

x

h30sen

En este caso, al existir fuerza de rozamiento, la Epg inicial no se transforma ntegramente en Ec al llegar al sueloya que parte de la energa se pierde debido al rozamiento. Al existir una fuerza no conservativa, la F roz, no semantendr constante la Em, ahora bien, podremos poner que:

Em)F(W)F(W roznc

Ahora bien:

J12,543m830cosms8,9kg402,0

xcosmg180cosxF)F(W

2

rozroz

Si consideramos como nivel cero de Epg la base del plano tendremos:

1568v2048,940v402

1

mghmv2

1

EpgEcEmEmEm

2

22

0F0F


27/46

27

Por lo tanto:

1

2roz

ms15,720

12,5431568v

1568v2012,543Em)F(W

23. Un bloque que tiene una masa de 20 kg comienza a ascender, por un plano inclinado que forma unngulo de 30 con la horizontal con una velocidad de 12 m/s. Al regresar el cuerpo pasa por el punto departida con una velocidad de 6 m/s. Calcula el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficiedel plano inclinado.

Al existir fuerza de rozamiento no se mantendr constante la Em sino que deberemos emplear la ecuacin:

Em)F(W)F(W roznc

Vamos a aplicarla al movimiento de subida y al de bajada. Suponemos que el cuerpo finalmente est a unaaltura h con respecto al suelo despus de haber recorrido una distancia x sobre el plano inclinado.Movimiento de subida

Se inicia con una velocidad v1 = 12 m/s para terminar parndose a una altura h, recorriendo una distancia xsobre el plano.

x74,169x30cosms8,9kg20

xcosmg180cosxF)F(W

2

rozroz

ya que tanto como x son desconocidos.

1440x98ms12kg20

2

1

30senxms8,9kg20mv2

1mgh

EcEpgEmEmEm

21

221

0F0F

Por lo tanto:

1440x98x74,169Em)F(W roz

Ecuacin con dos incgnitas que no podremos resolver sin otra ecuacin que las relacione. Por eso vamos aanalizar el movimiento de bajada.

Movimiento de bajada

Se inicia con velocidad cero a una altura h para terminar en el suelo con una velocidad v2 = 6 m/s.


28/46

28

x74,169x30cosms8,9kg20

xcosmg180cosxF)F(W

2

rozroz

x9836030senx8,920

ms6202

1mghmv

2

1

EpgEcEmEmEm

2122

0F0F

x98360x74,169Em)F(W roz

Si comparamos las dos ecuaciones obtenidas en la subida y en la bajada tendremos que:

m18,9xx983601440x98

Y sustituyendo este valor en cualquiera de las dos ecuaciones obtenemos para el coeficiente de rozamiento elvalor de = 0,34.

24. Un cuerpo de 20 kg se lanza por un plano inclinado 37, con la velocidad de 20 m/s. Calcular la

distancia que recorre hasta que se detiene:a) Si se desprecia el rozamiento.b) Considerando que el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el suelo es 0'2.

a) Si llamamos h a la altura vertical que sube y x a la distancia que recorre sobre el plano tendremos que:

37senxhx

h37sen

Si no hay rozamiento se cumple el principio de conservacin de la energa mecnica, luego:

m91,33x37senxms8,9kg20

ms20kg2021EmEm

2

21F0

b) Al haber rozamiento tendremos que aplicar la ecuacin:

Em)F(W)F(W roznc

x3,31x37cosms8,9kg202,0

xcosmg180cosxF)F(W

2

rozroz

4000x95,117ms20202

1

37senx8,920mv2

1mgh

EcEpgEmEmEm

21

20

0F0F

Igualando las dos ecuaciones tendremos que:

m8,26x4000x95,117x3,31

Lgicamente una distancia menor que en el primer caso al existir ahora rozamiento.


29/46

29

--------------- 000 ---------------

25. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con la velocidad inicial v 0. Si el aire ejerce una fuerzade rozamiento constante Fa sobre la pelota, demostrar que:a) la altura h alcanzada por la pelota es:

m

Fg2

v

h a

20

b) la velocidad con la que regresa al punto de partida es:

a

a0

Fmg

Fmgvv

a) Al existir fuerza de rozamiento tendremos que:

Em)F(W)F(W roznc

hF)F(W aroz

20

0F0F

mv2

1mgh

EcEpgEmEmEm

Por lo tanto:

a

2020a

20a

20a

Fmg2

mvhmv

2

1Fmgh

mv2

1hFmghmv

2

1mghhF

Pasando la masa m del numerador al denominador tendremos:

m

Fg2

v

m

F

m

mg2

v

Fmgm

2

vh

a

20

a

20

a

20

b) Si aplicamos el mismo razonamiento al movimiento de descenso, tendremos que:

hF)F(W aroz

mghmv2

1

EpgEcEmEmEm

2

0F0F

m

Fmgh2

m

hFmgh2vmghmv

2

1hF

a

a2a

Si sustituimos h por la expresin obtenida en el apartado anterior y desarrollamos llegaremos a la ecuacinpedida para v.


30/46

30

26. Desde una torre de 40 m de altura se dispara un proyectil de 1 kg, formando un ngulo de 37 con lahorizontal, con una velocidad de 120 m/s. Calcular la velocidad del proyectil cuando llega al suelo, porconsideraciones energticas, despreciando el rozamiento con el aire.

El ngulo de inclinacin no importa ya que al aplicar trmino energticos slo nos interesa el mdulo de lavelocidad. Al no existir rozamiento se cumple el principio de conservacin de la energa mecnica.

Si consideramos nivel cero de Epg al suelo tendremos que:

1

22120

20

2220

F00F0

ms22,123

m40ms8,92ms120gh2vv

ghv

2

1v

2

1mv

2

1mghmv

2

1

EcEpgEcEmEm

27. Desde el punto A de la figura se suelta un cuerpo. Calcular la altura que alcanza en la rampa de 53:a) si no hay rozamiento.b) si hay rozamiento en todo el recorrido, siendo 0'1 el coeficiente de rozamiento.

a) Si no hay rozamiento se conserva la energa mecnica y, por lo tanto, la altura que alcanzar en la segundarampa ser tambin de 1 m.

b) Al existir rozamiento la altura que alcanzar ser menor de 1 m ya que parte de la energa inicial se pierde.

El cuerpo desciende una distancia x en el primer plano que valdr:

m66,1xx

m137sen

Desliza 1 m por el plano horizontal y asciende una distancia y por el plano vertical que valdr:

h25,153sen

h

yy

h

53sen


31/46

31

Para calcular el trabajo que realiza el rozamiento habr que hacerlo por separado en cada una de las superficies.Es decir:

3roz2roz1rozroz )F(W)F(W)F(W)F(W

m3,1m66,137cosms8,9m1,0

x37cosmg)F(W

2

1roz

m98,0m1ms8,9m1,0

m1mg)F(W

2

2roz

hm73,0h25,153cosms8,9m1,0

y53cosmg)F(W

2

3roz

Luego:

)h73,028,2(m

hm73,0m98,0m3,1)F(W roz

La variacin de energa mecnica desde la posicin inicial a la final ser:

)1h(m8,9

m8,9hm8,9m1ms8,9m

hms8,9mmghmgh

EpgEpgEmEmEm

2

20

0F0F

Igualando las dos ecuaciones tendremos:

m71,0h52,7h53,10

8,9h8,9h73,028,2

)1h(m8,9)h73,028,2(m

Lgicamente, alcanzar una altura inferior a 1 m, debido a la prdida de energa por rozamiento.

28. Dejamos caer un cuerpo de 100 g sobre un muelle de K=400 N/m. La distancia entre el cuerpo y elmuelle es de 5 m. Calcular la longitud x del muelle que se comprime.

La situacin antes y despus sera:

Las fuerzas que intervienen, el peso y la fuerza elstica, son conservativas luego se conservar la Em. Es decir:

m15,0x09,4x98,0x200x8,91,0x4002

1

58,91,0mgxkx2

1mgh

EpgEpeEpgEmEm

2

2

20

FF0F0


32/46

32

29. Un bloque de 8 kg desliza por una superficie horizontal sin rozamiento con una velocidad de 10 m s-1

e incide sobre el extremo libre de un resorte, de masa despreciable y constante elstica k = 400 N m -1 ,colocado horizontalmente.a) Analice las transformaciones de energa que tienen lugar desde un instante anterior al contacto delbloque con el resorte hasta que ste, tras comprimirse, recupera la longitud inicial. Cmo se modificarael balance energtico anterior si existiera rozamiento entre el bloque y la superficie?.b) Calcule la compresin mxima del resorte y la velocidad del bloque en el instante de separarse del

resorte, en el supuesto inicial de que no hay rozamiento.La situacin grfica sera la siguiente:

a) Inicialmente, en la posicin 1, el bloque posee una energa cintica debido a su velocidad, suponiendo el nivel

cero de Epg en el suelo. Al chocar con el muelle va perdiendo Ec pero el sistema va ganando Epe al ircomprimindose el muelle. Cuando el cuerpo pierde toda su Ec, posicin 2, el muelle alcanza su mximacompresin, x, y , por lo tanto, su mxima Epe que al no existir rozamiento ser igual a la Ec inicial del cuerpoantes de chocar con el muelle. Es decir, de la posicin 1 a la 2 lo que ocurre es una transformacin ntegra de Ecen Epe ya que la nica fuerza que interviene, la fuerza elstica, es conservativa y la Em del sistema debeconservarse.

De la posicin 2 a la 3 ocurre el proceso inverso. La Epe se convertir ntegramente en Ec cuando el cuerpoabandone el contacto con el muelle. Por lo tanto, la velocidad del cuerpo al abandonar el muelle ser de 10 m/sigual a la inicial ya que no ha habido prdidas de energa.Caso de existir rozamiento, parte de la Ec inicial se perder por rozamiento de tal manera que la compresin xdel muelle ser menor a la anterior y ya no se cumplir que la Ec inicial sea igual a la Epe del muelle en sumxima compresin. En el siguiente proceso, de 2 a 3, ocurrir tambin una prdida de energa por rozamientoy, por lo tanto, la Epe no se convertir ntegramente en Ec. Consecuencia de los dos procesos en que la Ec finaldel bloque ser inferior a la Ec inicial, por lo tanto, el bloque abandonar el muelle con una velocidad inferior a 10m/s.

b) Al no existir rozamiento se conservar la energa mecnica. Si aplicamos esta condicin desde la posicin 1 ala 2 podremos calcular l mxima compresin del muelle:

m41,1

Nm400

ms10kg8

k

mvx

kxmvkx2

1mv

2

1

EpeEcEmEm

1

2120

220

220

F0F0

La velocidad final del bloque ser de 10 m/s tal y como se ha razonado en el apartado anterior.

30. Un cuerpo de 0'5 kg se encuentra inicialmente en reposo a una altura de 1 m por encima del extremolibre de un resorte vertical, cuyo extremo inferior est fijo. Se deja caer el cuerpo sobre el resorte y,despus de comprimirlo, vuelve a subir. El resorte tiene una masa despreciable y una constante elsticak = 200 N m-1.a) Haga un anlisis energtico del problema y justifique si el cuerpo llegar de nuevo al punto de partida.b) Calcule la mxima compresin que experimenta el resorte.

g = 10 m s-2.La situacin grfica sera la siguiente:


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Si suponemos como nivel cero de Epg la posicin del cuerpo cuando el muelle est en su mxima compresin elanlisis energtico ser el siguiente.

Si no existe fuerza de rozamiento, las nicas fuerzas que actan sobre el sistema son la fuerza peso y la fuerzaelstica, ambas conservativas, por lo tanto, se conservar la energa mecnica del sistema.Inicialmente, el sistema tiene slo Epg debido a la altura, 1m + x, del cuerpo sobre el nivel cero. Al caer estaEpg0 se va convirtiendo paulatinamente en Ec. Al chocar el cuerpo con el muelle va perdiendo Ec y va ganadoEpe. Cuando el muelle est en su mxima compresin la Epg0 se habr convertido totalmente en Epe ya que eneste momento el cuerpo no tiene Ec (est parado) ni Epg (est en el nivel cero).

Desde est posicin ocurrir el fenmeno contrario, la Epe se ir convirtiendo primero en Epg y Ec y despus laEc se ir convirtiendo en Epg. Al no existir rozamiento no hay prdidas de energa y, por lo tanto, el cuerpoalcanzar la altura inicial de 1 m.

b) Si aplicamos la conservacin de la Em desde la posicin inicial hasta la mxima compresin del muelletendremos que:

31. Una fuerza conservativa acta sobre una partcula y la desplaza, desde un punto x1 hasta otro punto

x2, realizando un trabajo de 50 J.a) Determine la variacin de la energa potencial de la partcula en ese desplazamiento. Si la energapotencial es cero en x1, cunto valdr en x2?.b) Si la partcula, de 5 g, se mueve bajo la influencia exclusiva de esa fuerza, partiendo del reposo en x 1,cul ser la velocidad en x2?; cul ser la variacin de su energa mecnica?.

a) Si la fuerza es conservativa podremos poner que:

J50EpJ50Ep)F(W cons

J500J50)x(EpJ50)x(Ep

J50)x(Ep)x(EpEp

12

12

b) Si slo existe la fuerza conservativa esta ser tambin la fuerza resultante, por lo tanto, aplicando el teorematrabajo-energa cintica podremos poner que:

Ec)F(W)F(W consR

Como en x1 est en reposo su Ec1=0, luego:J50EcEcEcEc)F(W 212cons

Y la velocidad en x2 ser:

122 ms42,141

kg005,0J502

mEc2v


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Al actuar slo la fuerza conservativa su energa mecnica permanecer constante, luego la variacin de Em sernula.

32. Un cuerpo de 10 kg se lanza con una velocidad de 30 m s-1 por una superficie horizontal lisa hacia elextremo libre de un resorte horizontal, de constante elstica 200 N m-1, fijo por el otro extremo.a) Analice las variaciones de energa que tienen lugar a partir de un instante anterior al impacto con elresorte y calcule la mxima compresin del resorte.

b) Discute en trminos energticos las modificaciones relativas al apartado a) si la superficie horizontaltuviera rozamiento.

a.- Inicialmente, en la posicin 1, el bloque posee una energa cintica debido a su velocidad, suponiendo el nivelcero de Epg en el suelo. Al chocar con el muelle va perdiendo Ec pero el sistema va ganando Epe al ircomprimindose el muelle. Cuando el cuerpo pierde toda su Ec, posicin 2, el muelle alcanza su mximacompresin, x, y , por lo tanto, su mxima Epe que al no existir rozamiento ser igual a la Ec inicial del cuerpoantes de chocar con el muelle. Es decir, de la posicin 1 a la 2 lo que ocurre es una transformacin ntegra de Ecen Epe ya que la nica fuerza que interviene, la fuerza elstica, es conservativa y la Em del sistema debeconservarse.

b.- Si existiera rozamiento parte de la Ec inicial se perdera guante la compresin del muelle y, por lo tanto, la

Epe final ser inferior a la Ec inicial lo que implica que la compresin del muelle sera menor que en el casoanterior.

33. Un bloque de 3 kg cuelga verticalmente de un muelle cuya constante elstica es 600 N/m.a) Cul es el alargamiento del muelle cuando el bloque est en equilibrio?.b) Cunta energa potencial se almacena en el sistema muelle-bloque?.

a) Segn la ley de Hook:

m049,0

Nm600

ms8,9kg3

k

mg

k

FxxkF

1

2

b) El sistema almacena energa potencial elstica:

J72,0m049,0Nm6002

1kx

2

1Epe 212

34. Se empuja un bloque de 2 kg contra un muelle cuya constante elstica es de 500 N/m,comprimindolo 20 cm. Luego se suelta, y el muelle proyecta al bloque por una superficie horizontal sinrozamiento y por un plano inclinado de 45 sin rozamiento. Qu distancia llega a recorrer subiendo porel plano inclinado?.La situacin grfica sera:


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Si no existe rozamiento, como las nicas fuerzas que actan, la fuerza elstica y el peso, son conservativas laEm se conservar a lo largo del desplazamiento del cuerpo.

Inicialmente, posicin 1, el sistema tiene Epe, al actuar el muelle esa Epe se va convirtiendo ntegramente en Ec,situacin 2. Al comenzar a subir el plano la Ec se va convirtiendo en Epg. Cuando el cuerpo se pare finalmente, auna altura h recorriendo sobre el plano una distancia L, la Ec se habr convertido ntegramente en Epg.

Por lo tanto, en conjunto la Epe inicial se convertir ntegramente en Epg al final, luego:

m51,0

ms8,9kg22

m2,0Nm500

mg2

kxh

mghkx2

1EpgEpe

2

212

2F0

m72,045sen

m51,0

sen

hL

L

hsen

35. Una fuerza horizontal de 25 N se aplica a una caja de 4 kg, inicialmente en reposo sobre una mesa

rugosa horizontal. El coeficiente de friccin cintica entre la caja y la mesa es 0'35. Determinar lavelocidad de la caja despus de haber sido empujada a lo largo de una distancia de 3 m.Aplicamos la ecuacin Ec)F(W R . Las fuerzas que intervienen son la F=25 N y la de rozamiento cuyo valor

es:

N72,13ms8,9kg435,0mgF 2roz

N28,11N72,13N25FFF rozR

J84,33m3N28,110cosrF)F(W RR

Como la caja est inicialmente en reposo su Ec0=0, por lo tanto:

1FF

FR

ms11,4kg4

J84,332

m

Ec2v

J84,33EcEc)F(W

36. Un bloque de 4 kg cuelga de una cuerda ligera que pasa por una polea y por el otro extremo estatada a un bloque de 6 kg que descansa sobre una mesa rugosa. El coeficiente de friccin cintica es 0'2.El bloque de 6 kg se empuja contra un muelle cuya constante elstica es 600 N/m, comprimindolo 30cm. En estas condiciones se deja el bloque en libertad. Determinar la velocidad que tienen los bloques

cuando el bloque de 4 kg ha cado una distancia de 40 cm.

El sistema est inicialmente en reposo, al liberar el muelle la masa 2 desciende en vertical 40 cm y, por lo tanto,la masa 1 se desplaza horizontalmente tambin 40 cm quedando el muelle en su posicin de equilibrio yadquiriendo las dos masas una velocidad v, la misma para las dos ya que estn unidas por una cuerda.

Suponemos que la masa 2 est inicialmente a una altura a de la superficie horizontal. Asimismo vamos aconsiderar como nivel cero de Epg la posicin de la masa 2 al final de la cada. Ver figura.


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Las fuerzas que actan son: los pesos de ambos cuerpos, la fuerza elstica del muelle y la fuerza de rozamiento.Al existir una fuerza no conservativa la Em no permanecer constante debindose utilizar la ecuacin

Em)F(W consno . La fuerza de rozamiento aparece slo en el desplazamiento de 40 cm de la masa 1. Vamos

a evaluar el trabajo que realiza el rozamiento y la variacin de energa mecnica del sistema.

Trabajo del rozamiento

J7,41m4,0ms8,9kg62,0

180cosrgm180cosrF)F(W

2

1rozroz


Al estar en reposo las dos masas no tendrn Ec. Al estar comprimido el muelle habr Epe. Teniendo en cuenta elnivel cero de Epg elegido tanto la masa 1 como la 2 tendrn Epg. Por lo tanto:

ghmahgm

kx2

1)2(Epg)1(EpgEpeEm

21

2000


Los cuerpos estn ahora en movimiento luego tendrn Ec. El muelle est en su posicin de equilibrio luego nohabr Epe. La masa 1 tendr Epg pero la 2 no ya que se encuentra en el nivel cero elegido. Por lo tanto:

ahgmvmm2

1E m 1

221F

Por lo tanto:

Si sustituimos los valores numricos nos quedar que:

68,42v5Em 2

Por lo tanto:

1

2consno

ms75,25

7,468,42v

68,42v57,4Em)F(W

37. Se lanza una pequea pelota de 15 g mediante una pistola de juguete que posee un muelle cuyaconstante es de 600 N/m. El muelle puede comprimirse hasta 5 cm. Qu altura puede alcanzar la pelotasi se apunta verticalmente?.


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Si suponemos que no existe rozamiento se conservar la energa mecnica, por lo tanto la Epe al inicio seconvertir en Epg, luego:

m1,5

ms8,9kg015,02

m05,0Nm600

mg2

kxhmghkx

2

1EpgEpe

2

21

22

38. Se conectan dos bloques por medio de una cuerda de masa despreciable que pasa por una polea sinrozamiento. El bloque m1 = 0,5 kg est apoyado sobre una superficie horizontal y unido a un resorte cuyaconstante elstica vale k = 50 N/m. Si el sistema se libera a partir del reposo cuando el resorte no estestirado y m2 = 0,3 kg cae una distancia h = 0,05 m antes de quedar en reposo, calcula el coeficiente derozamiento entre m1 y la superficie.La situacin grfica sera:

Haciendo un anlisis similar al del ejercicio anterior tendremos que:

Trabajo del rozamiento

245,01m05,0ms8,9kg5,0

180cosrgm180cosrF)F(W

2

1rozroz


Al estar en reposo las dos masas no tendrn Ec. Al estar el muelle en su posicin de equilibrio no habr Epe.

Teniendo en cuenta el nivel cero de Epg elegido tanto la masa 1 como la 2 tendrn Epg. Por lo tanto: ghmahgmEm 210


Los cuerpos estn al final tambin en reposo luego no tendrn Ec. El muelle est estirado una distancia de 0,05m luego habr Epe. La masa 1 tendr Epg pero la 2 no ya que se encuentra en el nivel cero elegido. Por lotanto:

ahgmk x2

1E m 1

2F

Por lo tanto:


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J0845,0ghmkx2

1ghmahgm

ahgmkx2

1EmEmEm

22

21

12

0F

Luego:

34,0245,0

0845,0

0845,0245,0Em)F(W consno

39.- Determinar el trabajo que realiza la fuerza de rozamiento que acta sobre un cuerpo de 20 kg, al desplazarlodesde el punto A hasta el B del esquema (vista desde arriba de las trayectorias) tirando de l con una cuerdaparalelamente a la superficie horizontal donde est apoyado, si el coeficiente respectivo es d= 0,4:a- Por el camino directo (1)b- Pasando previamente por C (Camino 2)c- Por la semicircunferencia ADB (Camino 3)d- Es conservativa la fuerza de rozamiento?e- Hallar el trabajo que realiza la fuerza que ejerce la cuerda en cada caso, suponiendo que el objeto sedesplaza con velocidad de mdulo constante.

En la seccin de energa no hay otro ejercicio ms pavo. Sin embargo los estudiantes lo miran de lejos, dereojo... y se alejan como de un bicho sarnoso. Hiciste se?, les pregunto. No profe... es muy complicado: unplano inclinado, una colina... Un quee? And y volv a leer el enunciado, plano inclinado... y prest atencin alo que dice el enunciado!

Todo transcurre en un plano horizontal en el piso: el esquema que acompaa al enunciado representa una vistaarea, una vista cenital, como si fuera de Google Earth. Te lo voy representar de nuevo para que te quede msclaro:

El de arriba es el mismo esquema que el del enunciado solo que invent un cuerpo cualquiera -una caja- y lacoloqu en algn momento de cada viaje; y adems le dibuj un arbolito y una sombrita para darle msprofundidad y realismo a la perspectiva.

Por si fuera poco, volv a representarlo en una perspectiva oblicua para que no te quepa duda qu es lo queests viendo y qu lo que te estn pidiendo. Estamos?

La fuerza de rozamiento la represent con una flechita roja y la fuerza que realiza la cuerda con una verde.Ambas son constantes en mdulo... y siempre son paralelas a la trayectoria. Ahora: si entendiste cmo funcionasto, estars de acuerdo en que la fuerza de rozamiento forma permanentemente un ngulo de 180 con eldesplazamiento; de modo que...

La segunda ley de la dinmica nos asegura que la fuerza que comprime la superficie del objeto con el piso, esigual a su peso: 200 N, de modo que la fuerza de rozamiento vale:


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Roz = . P = 0,4 . 200 N = 80 N

Calcular sus trabajos es juego de nios (de 6 a 9 aos y medio).

WRozAB = Roz xAB cos 180

WRozAB = 80 N . 10 m

WRozABa = 800 J a)

WRozACB = WRozAC + WRozCB =

WRozACB = Roz xAC cos 180 + Roz xCB cos 180 =

WRozACB = 80 N . 6 m 80 N . 8 m =

WRozACB = 1.120 J b)

Para el clculo por la trayectoria curva alcanza con conocer su extensin, porque el resto de las variables queinteresan para el clculo del trabajo no cambia: el ngulo de la fuerza con el desplazamiento es siempre elmismo (lo dibuj en dos posiciones diferentes en los esquemas, para que te saques las dudas). El hecho de queel desplazamiento sea curvilneo tampoco es problema. Eso lo discuto al final, ok?

El largo de una semicircunferencia es igual a 3,14 veces el radio de la circunferencia. Y eso en nuestro caso da:15,7 metros.

WRozADB = Roz sADB cos 180

WRozADB = 80 N . 15,7 m

WRozADB = 1.257 J c)

Vos sabs casi religiosamente que la fuerza de rozamiento no es conservativa. De hecho es una de las fuerzasno-conservativas arquetpicas... que siempre le estn quitando energa mecnica a todos los sistemas dondeaparecen. Pero la idea ac es que repares en lo siguiente. Por tres caminos diferentes el objeto viaj desde elpunto A hasta el B. El trabajo del rozamiento en las tres transformaciones fue diferente, ergo, no puede tratarsede una fuerza conservativa.

Se trata de uno de los criterios utilizados para discriminar entre los tipos de fuerzas: conservativas o no-conservativas. Si el trabajo que realiza una fuerza entre dos estados diferentes de un objeto o sistema es elmismo, independientemente de cul haya sido la trayectoria, entonces se trata de una fuerza conservativa. Y

viceversa.

Con la ltima pregunta no pienso ayudarte mucho. La fuerza que arrastra al objeto debe ser igual y contraria alrozamiento. Eso lo garantiza el hecho de que el cuerpo se mueve a velocidad constante. Por lo tanto sustrabajos deben ser iguales y contrarios a los que calculamos para el rozamiento. Obviamente se trata de otrafuerza no-conservativa.

DISCUSION: Si no tuviste inconveniente el averiguar el trabajo total desde A hasta B por la trayectoria quebrada,pasando por C, como una suma de los dos trabajos de los segmentos rectos de 6 y 8 metros... no deberas tener

inconveniente en concebir el camino curvo de A a B pasando por D como una larga suma de pequeossegmentos rectos, tan pequeos que de lejos no parezca una sucesin de segmentos rectos sino unasemicircunferencia suave y redonda. Como los segmentos deben ser muy pequeos la suma de todos ellos debe


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ser muy larga. Los cientficos llamamos a esas largas sumas: integrales... y al mencionarlas, nos sentimospoderosos. Ricardo CabreraDESAFIO: Cunto vale el trabajo de la fuerza peso en cada recorrido?

40.- Se tiene un resorte cuya longitud sin carga es 0,8 m, y su constante elstica es 500 N/m. Dejando fijo unextremo, se lo estira hasta que su longitud es el doble de la original (Posicin A), para luego comprimirlo hasta lamitad de su longitud natural (Posicin B).Se pide:

a- Graficar la componente de la fuerza que ejerce el resorte, en funcin de su elongacin.b- Determinar el trabajo que realiza la fuerza elstica, al estirarlo desde la posicin inicial hasta A.c- Hallar el trabajo realizado por la fuerza elstica entre las posiciones A y B.

Hice un esquemita (no puedo evitarlo) para que veas cmo funciona el asunto. Ah represent el mismo resorteen tres posiciones diferentes. La representacin superior es la del resorte con su longitud natural, no estestirado ni comprimido. As me lo vendieron en la ferretera.

La posicin de su extremo derecho nos va a indicar cunto est estirado o comprimido. El otro extremo estsujeto a la pared. Dibuj una grilla en el fondo para que utilices como referencia.Las flechas celestes representan a la fuerza elstica, Fe. Fijate que cuando el resorte fue estirado hasta laposicin A, la fuerza del resorte tira para adentro. En cambio cuando el resorte fue comprimido hasta la posicinB, la fuerza elstica empuja hacia afuera.

Por eso a las fuerzas elsticas se las llama restitutivas, porque siempre intentan recuperar la forma original. En el

extremo pegado a la pared el resorte realiza una fuerza igual y contraria al extremo "libre".

Ac tenemos el grfico que representa la fuerza elstica en cualquier desplazamiento (entre B y A). Si referimosambas variables (fuerza elstica y posicin de la ltima espira) al mismo SR, entonces, cuando una es positiva,la otra negativa -chequealo-, as nos lo anticipaba la ley de Hoock:

Fe = k xLas reas que sombre en gris respresenta los trabajos que realiza la fuerza elstica durante losdesplazamientos del extremo "libre". Para asignarle un signo a ese trabajo tens que observar cul es el sentidode la fuerza y cul el sentido del desplazamiento.

Luego: si el desplazamiento y la fuerza tienen igual sentido se trata de un trabajo positivo; y si fuerza elstica y

desplazamiento tienen sentidos contrarios, estar realizando un trabajo negativo. Mientras el resorte se estiradesde 0 hasta A, el estiramiento es positivo (tiene el mismo sentido de crecimiento que las posiciones) y lafuerza apunta en el sentido contrario, de modo que se trata de un trabajo negativo. Para hallar la cantidad de


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trabajo alcanza con calcular el rea encerrada bajo la curva desde la posicin 0 hasta A. Se trata de un tringulo(base por altura sobre dos):

W0A = 0,8 m . 400 N

W0A = 160 J

WAB = 120 J

Ricardo CabreraDESAFIO: Cunto vale el trabajo de la fuerza que estira y/o comprime el resorte en este mismo ejercicio?Algunos de mis derechos reservados, y no los comparto con nadie, entendiste?. Se permite su reproduccincitando la fuente. ltima actualizacin jul-08. Buenos Aires, Argentina.

41.- Calcular el trabajo que realiza la fuerza elstica en el resorte del problema 1.10 al comprimirlo desde suposicin original hasta la mitad de sta (Posicin B). Comparar con la suma de los trabajos calculados en dichoproblema. Es conservativa la fuerza elstica? De qu modo puede hallarse el trabajo de la fuerza elstica, sinnecesidad de evaluar el rea bajo la grfica fuerza-elongacin?

Supongamos que tens presente al ejercicio 39 (en caso contrario and y pegale un vistazo, yo te espero). Enaquel caso hicimos el clculo de los trabajos ( 0 A y A B) haciendo uso de la estrategia del clculo de reasen grficos F-X; en este caso no estn solicitando el trabajo 0 B, y lo vamos a encarar por va doble: clculode rea y variacin de energa potencial elstica.

Empecemos con un esquema para que entres en rbita: Tenemos un resorte cuya longitud natural -sin estirar nicomprimir- es de 0,8 m (figura superior). Tomamos como referencia la posicin de la espira extrema derecha

(con perdn de la palabra), 0.Se lo comprime hasta la mitad de su longitud, B. Y al estar comprimido (durante todo el trayecto) aparece lafuerza elstica, representada por una flecha verde.El trabajo realizado por sa fuerza elstica es igual a menos la variacin de energa potencial elstica. Ensmbolos:

W0B = (EPe0B)

W0B = (EPeB EPe0)

W0B = EPe0 EPeB

W0B = k x0 k xB

La deformacin en 0, x0, es nula, y el valor de la constante es 500 N/m (dato del ejercicio 1.10), de modo que laexpresin se resume a:

W0B = 500 N/m . (0,4 m)

W0B = 40 J

Fijate que el enunciado del ejercicio pregunta sobre el trabajo de la fuerza elstica, o sea, el trabajo que realizael elstico. Si preguntar por el trabajo que hace una fuerza externa para comprimir el elstico, el mdulo deltrabajo valdra lo mismo, pero tendra signo opuesto!


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Si lo resolvemos por la va geomtrica (integracin de rea)...

Para este ejercicio hubiera sido mejor utilizar un grfico orientado al revs que ste, pero prioric utilizar elmismo que el del ejercicio 1.10. Ten en cuenta que el desplazamiento es contrario al sentido de las equis (por lotanto es negativo) y la fuerza elstica es contraria, positiva. (El ngulo que forma fuerza y desplazamiento es180). El rea (se trata de un simple tringulo) representa el trabajo que estamos buscando.

DESAFIO: Busc dos o tres comprobaciones de que la fuerza elstica es conservativa.

41.- 1.- Un cuerpo de 15 kg se deja caer desde una altura de 10 metros. Calcula el trabajo realizadopor el peso del cuerpo.

W=F P h=m g h=15 9,8 10=1470 Je

42.- Sobre un cuerpo de 10 kg de masa acta una fuerza de 100N que forma un ngulo de 30 con lahorizontal que hace que se desplace 5 m. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el suelo es0,2, calcula el trabajo realizado por la normal, el peso, la fuerza de rozamiento y la fuerza aplicadasobre el cuerpo.

N FFy

Fr Fx

PLa normal y el peso son perpendiculares a la direccin del desplazamiento y, por tanto, no realizantrabajo.La fuerza de rozamiento se opone al movimiento del cuerpo, por lo que realiza un trabajo negativo.Para calcular la fuerza de rozamiento necesitamos conocer la normal N. De la figura se deduce queN + FY=P, de donde: N=P-Fy.Aplicando la definicin de seno y coseno de un ngulo se deduce que:FY=F.sen30 y Fx=F.cos30.El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento ser igual a:

R yW=-F e=- N e=- (P-F ) e=- (m g-F sen30) e=-0,2 (10 9,8-100 0,5) 5=-48 J

Slo realiza trabajo la componente FX de la fuerza aplicada sobre el cuerpo:

XW=F e=F cos 30 e=100 0,866 5 433 J

43.- Una bomba elctrica es capaz de elevar 500 kg de agua a una altura de 25 metros en 50segundos. Calcula:a) La potencia til de la bomba.b) Su rendimiento, si su potencia terica es de 3000 w.

a)W F e m g h 500 9,8 25

P= 2450 wt t t 50


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b)Potencia practica 2450

Rendimiento= 100 100 82%Potencia teorica 3000

44.- Calcula la energa cintica de un coche de 500 kg de masa que se mueve a una velocidad de 100km/h.Pasamos la velocidad a las unidades del sistema internacional:

km 1000 m 1 h100 27,8 m/s

h 1 km 3600 s

Sustituimos en la ecuacin de la energa cintica:

21Ec= m v 0,5 500 27,8 6950 J2

45.- Un cuerpo de 20 kg de masa que se mueve a una velocidad 2 m/s se somete a una aceleracinde 2 m/s2 durante 5 s. Calcula el trabajo efectuado sobre el cuerpo.

El trabajo efectuado sobre el cuerpo es igual a la variacin que experimenta su energa cintica.

2 2

C O

1 1W= E m v m v

2 2

Conocemos todos los datos excepto la velocidad del cuerpo despus de los 5 s. Utilizamos laecuacin de un movimiento uniformemente acelerado para calcular esta velocidad:

0v=v a t=2+2 5=12 m/s

Sustituimos los datos en la ecuacin de arriba:

2 2

C

1 1W= E 20 12 20 2 1400 J

2 2

46.- El conductor de un coche de 650 kg que va a 90 km/h frena y reduce su velocidad a 50 km/h.Calcula:

a) La energa cintica inicial.b) La energa cintica final.c) El trabajo efectuado por los frenos.

90 km/h son 25 m/s y 50 km/h son 13,9 m/s.

a) 2 20

1Ec= m v 0,5 650 25 203125 J

2

b) 2 21

Ec= m v 0,5 650 13,9 62793,3 J2

d) C 0

W= E Ec Ec 62793,3 203125 140331,7 J

47.- Se dispara una bala de 10 gr con una velocidad de 500 m/s contra un muro de 10 cm de espesor.Si la resistencia del muro al avance de la bala es de 3000 N, calcula la velocidad de la bala despusde atravesar el muro.El muro opone una resistencia al paso de la bala por lo que realiza un trabajo negativo:

2 2

C O

1 1W= E ; -F e m v m v

2 2

Sustituimos:

2 21 1-3000 0,1 0,01 v 0,01 5002 2

Despejamos v y calculamos y obtenemos una velocidad de 435,9 m/s.


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48.- Un automvil de 1000 kg de masa aumenta su velocidad de 0 a 100 km/h en un tiempo mnimo de8 s. Calcula su potencia en watios y en caballos de vapor.Dato: 1 CV = 735 w.100 km/h son 27,8 m/s.

Calculamos el trabajo realizado por el motor teniendo en cuenta que es igual a la variacin de laenerga cintica:

2 2 2 2C O1 1 1 1W= E m v m v 1000 27,8 1000 0 386420 J

2 2 2 2

La potencia del motor ser:W 386420 J

P= 48302,5 wt 8 s

La potencia en C.V. valdr:1CV

48302,5 w 65,7 CV735 w

49.- Calcula la energa potencial gravitatoria de un cuerpo de 30 kg de masa que se encuentra a unaaltura de 20 m.

PE m g h= 30 9,8 20=5880 J

50.- La constante elstica del muelle es 100 N/m. Determina la energa potencial elstica del mismo sise ha comprimido una longitud de 10 cm.

2 2

x

1Ep k x 0,5 100 0,1 0,5 J

2

51.- Desde una altura de 10 m se deja caer un cuerpo de 5kg. Calcula su velocidad al llegar al suelo.

Al principio, el cuerpo slo tiene energa potencial y, a medida que va cayendo, esta se vatransformando en energa cintica. Cuando el cuerpo llega al suelo su energa cintica ser igual a laenerga potencial que tena al principio.

2 2

1 2 1 2

1Em Em ; Ep Ec ; m.g.h = .m.v ; 5 9,8 10=0,5 5 v

2

de donde: v= 14 m/s.

52.- Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. Determina la alturamxima que alcanzar.

La energa mecnica inicial ser igual a la energa cintica del cuerpo ya que se encuentra en el suelo.A medida que asciende, la energa cintica se va transformndose en energa potencial. En la alturamxima, la energa mecnica ser igual a la energa potencial ya que la energa cintica vale cero alestar el cuerpo parado.

2

1 2 1 2

1Em Em ; Ec Ep ; .m.20 =m.9,8.h ; h=20,4 m

2

53.- Se deja caer sobre un muelle un cuerpo de 2 kg desde una altura de 5 m. Calcula cuanto secomprime el muelle si su constante elstica es 3000 N/m.La energa potencial gravitatoria se transforma en energa potencial elstica:

2 2

1 2 G1 X2

1 1Em Em ; Ep Ep ; m g h= k x ; 2 9,8 5= 3000 x ; x = 0,26 m

2 2

54.- Desde una altura de 5 metros desliza por un plano inclinado un cuerpo de 2 kg de masa que partedel reposo. Calcula la velocidad del cuerpo cuando abandona el plano inclinado suponiendo:


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a) Qu no hay de rozamiento.b) Qu hay rozamiento y el trabajo realizado por esta fuerza es de 15 J.a) La energa potencial del cuerpo se transforma en energa cintica:

2

1 2 1 2

1Em Em ; Ep Ec ; 2 9,8 5 = 2 v ; v =9,9 m/s

2

b) Si consideramos que hay rozamiento la energa mecnica no se conserva, porque parte de esaenerga pasa al suelo y al cuerpo en forma de energa trmica. La energa mecnica final ser igual ala energa mecnica inicial menos el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.

2

1 Fr 2 1 21Em W Em ; Ep 15 Ec ; 2 9,8 5-15 = 2 v ; v =9,1 m/s2

55.- En una atraccin de la feria se deja caer desde una altura de 20 m una vagoneta con cuatropersonas con una masa total de 400 kg. Si el rizo tiene un dimetro de 7 m y suponemos que no hayrozamiento calcula:a) La energa mecnica de la vagoneta en el punto A.b) La energa cintica de la vagoneta en el punto B.c) La velocidad de la vagoneta en el punto C.d) La fuerza que tiene que realizar el mecanismo de frenado de la atraccin si la vagoneta se tiene

que detener en 10 m.

a) La energa mecnica en A ser igual a su energa potencial:

PE m g h= 400 9,8 20=78400 J

b) La energa cintica en B ser igual a la energa potencial arriba: Ec= 78400 Jc) En el punto C la energa mecnica ser igual a la suma de la energa cintica y de la energa

potencial:

2 2

A C A C C

1Em Em ; Ep = m.g.h + .m.v ; 78400=400 9,8 7 0,5 400 v ; v=15,9 m/s

2

d) Cuando la vagoneta llega abajo, toda su energa potencial se ha transformado en energa cinticacomo ya hemos visto en el apartado b).

2 21Ec= m v ; 78400 = 0,5 400 v ; v = 19,8 m/s

2

El mecanismo de frenado de la atraccin realiza un trabajo que se opone

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