Practica no.3Comandos de conversinContenidoIntroduccin1Objetivo1Objetivo general:1Objetivos particulares:1Marco terico2Sistema de control2Funcin de transferencia2Transformada de Laplace3Respuesta del sistema a una entrada del tipo escaln3Sistemas de primer grado3Sistema se segundo orden4Matlab6Procedimiento6Desarrollo:7Modelado del Sistema de primer orden7Solucin:7Seal del sistema primer orden matlab10Seal del sistema respondiendo 5 veces mas rapido:12Modelado del Sistema de segundo orden13Solucin:13Respuesta del sistema para 16Respuesta del sistema para .316Respuesta del sistema para 17Respuesta del sistema para 17Comparacin de los cuatro casos simultneamente18Simulacin de sistema de segundo orden en simulink19Simulacin de sistema de segundo orden en simulink20Conclusiones21Bibliografa21

Introduccin En este reporte se explicara el procedimiento realizado para lograr los objetivos de la prctica, se explicara el uso de los comandos propuestos en clase para ser aplicados posteriormente en problemas planteados en el aula.

En el marco terico se dar una breve explicacin de los conceptos necesarios para poder realizar la practica tales como variables de estado y funcin de transferencia, pero sin abarcar muy profundamente, esto ya que son temas que se han venido explicando en las dos ltimos reportes de practica con mayor detalle, sin embargo se enfocara mas en el uso de los comandos y su estructura as como ejemplos de cada uno.

Por ultimo se realizaran ejemplos de los comandos aplicados a funciones de transferencia y su transformacin en variables de estado basados en ejemplos vistos en clase y se compararan con los obtenidos en esta prctica.

Del siguiente sistema obtener la representacin en variables de estado

del diagrama anterior se puede escribir como se indica

--+

0.030.56

+

-

+

--+

0.03

++--

0.03

++-

++-

---+Y(s)U(s)+

++

+G6

+G7

ObjetivoObjetivo general:

Realizar operaciones entre funciones de transferencia Obtener la transformacin en variables de estado Obtener la transformacin a F.T.

Objetivos particulares: Programar un archivo m con un simulink. Obtener el uso de comandos en matlab para la transformacin de variables de estado F.T. y viceversa

Marco terico Funcin de transferenciaUna funcin de transferencia es un modelo matemtico que a travs de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) a una seal de entrada o excitacin (tambin modelada). En la teora de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada y salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo. La funcin de trasferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI), se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada, bajo la suposicin de que las condiciones iniciales son nulas.

El pico formado por los modelos de la seal de salida respecto de la seal de entrada, permite encontrar los ceros y los polos, respectivamente. Y que representan las races en las que cada uno de los modelos del cociente se iguala a cero. Es decir, representa la regin frontera a la que no debe llegar ya sea la respuesta del sistema o la excitacin al mismo; ya que de lo contrario llegar ya sea a la regin nula o se ir al infinito, respectivamente.Variables de estadoEl Estado de un sistema en el tiempo t0 es la cantidad de informacin necesaria en ese instante de tiempo para determinar de forma nica, junto con las U, el comportamiento del sistema para todo t>to.De acuerdo con la definicin, las variables de estado sern variables que muestran cmo evoluciona el estado del sistema, es decir, sern variables que contienen la informacin necesaria para predecir la evolucin del comportamiento del sistema en forma nica.Entre las formas de modelar un sistema matemticamente se encuentra la de describir al sistema mediante la representacin de variables de estado. Buscar un modelo matemtico es encontrar una relacin matemtica entre las salidas y las entradas del sistema. En particular la representacin interna (representacin por variables de estado) relacionarn matemticamente las salidas con las entradas a travs de las variables de estado como paso intermedio.La forma ms general de representacin por variable de estado de un sistema continuo est dada por dos ecuaciones: la primera que define los cambios de las variables de estado en funcin de estas mismas variables, las entradas y el tiempo; y la segunda que define la salida en funcin de las variables de estado, las entradas y el tiempo. As tenemos:

Aqu consideramos que x, y y u son vectores (columnas) de n, p y m componentes respectivamente. Donde A es una matriz de nxn, B es una matriz de nxm (n filas x m columnas), C es una matriz de pxn, y D una matriz de pxm, que pueden ser dependientes del tiempo.Diagramas de simulacinSuele resultar muy til determinar las ecuaciones de estado y de salida de un sistema mediante ecuaciones diferenciales (o en diferencias para el caso discreto) a partir de los llamados diagramas de simulacin.Los diagramas de simulacin consisten en diferentes bloques, cada uno describiendo alguna funcin u operacin sobre las variables de entrada, como lo muestra la siguiente figura:

Los diagramas de simulacin nos ayudan a realizar una simulacin en un computador digital para los sistemas continuos, como por ejemplo a travs de la herramienta de simulacin que ofrece MATLAB, llamado SIMULINK.

MatlabEn MATLAB un polinomio se representa mediante un vector fila que contiene los coeficientes de las potencias en orden decreciente: empezando por el coeficiente principal y terminando por el trmino independiente.Por ejemplo, el polinomio p(s)=3s2-2s se representa con: p = [3 -2 0];Ntese que incluso los coeficientes que son cero deben incluirse en el vector que define al polinomio en s. A continuacin podemos definir una variable del espacio de trabajo sys1 que ser la funcin de transferencia del sistema, mediante el comando tf. Tecleando:

Donde num y den son el numerador y denominador de la funcin de transferencias declaradas como polinomios de s

Procedimiento Explicar la funcin y configuracin de los siguientes comandos

Series Parallel Feedback Printsys Tf2ss Ss2tf Lsim Roots

Realizar operaciones entre bloques utilizando los comando mencionados y con problemas vistos en clase.

Desarrollo:Comandos de matlab: Lineales invariantes en el tiempo de Sistemas

SeriesConexin en serie de dos modelos LTI()Sintaxisseriessys = series(sys1, sist2)sys = series(sys1, sist2, outputs1, inputs2)DescripcinSeries conecta dos modelos LTI en serie. Esta funcin acepta cualquier tipo de modelo LTI. Los dos sistemas tienen que ser tanto continua o discreta, tanto con el tiempo muestra idntica. Ganancias estticas son neutrales y pueden ser especificados como matrices regulares.sys = series (sys1, sist2) forma la conexin en serie bsica se muestra a continuacin

Este comando es equivalente a la multiplicacin directasys = sys2 * sys1

sys = series(sys1,sys2,outputs1,inputs2) que es la forma de conexin en serie mas general:

Ejemplo Considere un sistema sys1 en espacio de estado con cinco entradas y cuatro salidas y otro SYS2 sistema con dos entradas y tres salidas. Conecte los dos sistemas en serie mediante la conexin de las salidas 2 y 4 del sys1 con las entradas 1 y 2 de sist2.outputs1 = [2 4];inputs2 = [1 2];sys = series(sys1,sys2,outputs1,inputs2)

ParallelConexin en paralelo de dos modelos LTISintaxisparallelsys =parallel (sys1, sist2)sys = parallel (sys1, sist2, INP1, INP2, OUT1, OUT2)

DescripcinParallel conecta dos modelos LTI en paralelo. Esta funcin acepta cualquier tipo de modelo LTI. Los dos sistemas tienen que ser tanto continua o discreta, tanto con el tiempo muestra idntica. Ganancias estticas son neutrales y pueden ser especificados como matrices regulares.sys = parallel (sys1, sist2) forma la conexin en paralelo de base se muestra a continuacin.

Este comando es equivalente a la adicin directasys = sys1 + sys2sys = parallel(sys1,sys2,inp1,inp2,out1,out2) es la forma mas general de la conexin en paralelo

FeedbackConexin en retroalimentacin de dos modelos LTI Sintaxissys = feedback(sys1,sys2) Descripcinsys = feedback(sys1,sys2) Devuelve un sistema LTI interconexin de retroalimentacin negativa.

Los sistemas modelo de circuito cerrado tiene como vector de entrada y como vector de salida. Los modelos sys1 y sys2 deben ser tanto continua o discreta, y por lo tanto con tiempos de muestreo idnticos.Para retroalimentacin positiva tenemos la siguiente sintaxis:sys = feedback(sys1,sys2,+1)Por defecto feedback(sys1,sys2) se asume como retroalimentacin negativa lo cual es equivalente a feedback(sys1,sys2,-1). TF2SSConversin funcin de transferencia a espacio de estadoSintaxis[A,B,C,D] = tf2ss(b,a).Descripcin

tf2ss convierte los parmetros de una representacin de la funcin de transferencia de un sistema dado a las de un espacio de estado

[A, B, C, D] = tf2ss (b, a) devuelve las matrices A, B, C, y D de una representacin de espacio de estado para la funcin de transferencia de entrada nica.Calcula la representacin en espacio de estado .x = Ax + Buy = Cx + Du

Del sistema: NUM(s)H(s) = -------- DEN(s)

ss2tfConversin de espacio de estado a funcin de transferencia.Sintaxis[b,a] = ss2tf(A,B,C,D,iu)DescripcinConvierte una representacin en espacio de estado de un sistema dado a su equivalente en funcin de transferencia.[b,a] = ss2tf(A,B,C,D,iu) regresa la funcin de transferencia

De el sistema

lsim

Simula respuestas de modelos LTI a entradas arbitrarias

Sintaxis

lsim lsim(sys,u,t) lsim(sys,u,t,x0) lsim(sys,u,t,x0,'zoh')lsim(sys,u,t,x0,'foh')lsim(sys)

Descripcin

Lsim simula la respuesta (tiempo) de los sistemas lineales continuos o discretos a entradas arbitrarias. Cuando se invoca sin argumentos a izquierda, lsim dibuja la respuesta en la pantalla un grfico de la respuesta temporal de los sistemas. El vector t especfica las muestras de tiempo para la simulacin y consta de muestras regulares de tiempoPor ejemplo:t = 0:0.01:5; u = sin(t); lsim(sys,u,t) Simula la respuesta de un modelo simple SYS a la entrada u(t)=sin(t) durante 5 segundos.

Printsys

Dibuja sistemas de espacio de estado o funciones de transferencia con etiquetas.

Sintaxis

PRINTSYS(A,B,C,D,ULABELS,YLABELS,XLABELS)

Descripcin

Printsys dibuja el sistema de espacio de estado con la entrada y salida adems de incluir etiquetas contenidas en las cadenas ULABELS, YLABELS y XLABELS respectivamente.ULABELS, YLABELS y XLABELS son variables de tipo cadena las cuales contienen las etiquetas de entrada, salida y de estado.Por ejemplo:YLABELS=['Phi Theta Psi']Define a Phi como la etiqueta para la primera salida, Theta como la etiqueta de la segunda salida y Psi como la etiqueta de la tercera salida.Mientras que PRINTSYS(A,B,C,D) dibuja el sistema con etiquetas numricas

Roots

Races polinomicas

Sintaxis

r=roots(c)

Descripcin

r=roots(c) devuelve un vector columna cuyos elementos son la races del polinomio cc contiene los coeficientes del polinomio ordenado en potencias descendientes

EjerciciosRealizar las siguientes operaciones

a)

U(S)Y(S)

G3G2G1

b) U(S)Y(S)

c) Y(S)U(S)

Considerando los siguientes

Antes de realizar las operaciones se definirn G1,G2 y G3 en matlab como se indica a continuacin.Para esto programaremos un archivo M en matlab y se usara el comando tf para definir a G1,G2 y G3 como funciones de transferencia recordando que se declara antes el numerador y denominador como polinomios para cada bloque G.Se tiene el siguiente cdigo.

Al compilar se obtiene lo siguiente en la ventana de comandos:

Ahora que se tienen definidos G1,G2 y G3 dentro de matlab se realizan las operaciones solicitadas.

a) Para este arreglo se observa una configuracin tipo serie de tres bloques por lo que se usara el comando series explicado anteriormente.

U(S)Y(S)

G3G2G1

El comando series solo realiza la operacin entre dos modelos por lo que primero se realizara la operacin serie de G1,G2 que ser contenida en la variable a y posteriormente a este se realizara el serie con G3 como se indica a continuacin:La variable a contiene la operacin serie de G1,G2 :

Teniendo lo siguiente para a

A la variable a se realiza la operacin serie con G3

El resultado de la conexin serie de los bloques G1,G2 y G3 quedan contenidas en la variable b :

b) En este sistema se observa de arreglos en serie y paraleloU(S)Y(S)

Procedimiento Primero se realiza la operacin paralelo para los bloques G1,G2 con el comando parallel este nos proporcionara un sub bloque que estar contenido en una nueva variable que llamaremos G4

Valor de G4:

Sustituyendo a los bloques G1 y G2 por G4 Obtenemos el siguiente sistema equivalenteY(S)

U(S)

G2G4G3G4

Se almacena el serie de G4 y G3 en una nueva variable Ga

Valor de Ga

Se almacena el serie de G4 y G2 en una nueva variable Gb

Valor de Gb

Obtenemos el siguiente diagrama equivalenteY(S)U(S)

GbGa

El resultado final es el arreglo serie de Ga y Gb contenidas en Gfinal

Resultado final

c)Para este arreglo se tiene una retroalimentacion de G2 hacia G1

c) En este sistema se observa una retroalimentacin de G2 a G1.

Y(S)U(S)

Se utiliza el comando feedback como se muestra a continuacinEl resultado es almacenado en Gc recordando que por default matlab realiza la operacin como retroalimentacin negativa

Valor de Gc

Uso de comandos tf2ss y ss2tf Se aplicaran los comandos tf2ss y ss2tf al ejemplo de clase de mtodo directo Obtener las variables de estado a partir de la siguiente funcin de transferencia por el mtodo directo.

Se tiene que: m=1(grado del polinomio del numerador) n=2(grado del polinomio del denominador)Paso 1 se multiplica el numerador y denominador por:

Paso 2 se introduce una nueva variable e(s)La ecuacin (1) puede escribirse como:

De la ecuacin anterior se determina que

Donde e(s)

Paso 3 con base en (a) y (b)

3

S-2e(s)S-1e(s)e(s)

2Y(s)U(s)

5

6

Quedando las siguientes variables de estado:

Por lo tanto las matrices de estado

A continuacin se comprobaran estas matrices con el uso de los comandos tf2ss y ss2tf.Comando tf2ssUna vez que se tienen las matrices de estado por el mtodo directo se programa un archivo m con el uso del comando tf2ssEste comando nos proporcionara las matrices de estado obtenidas del ejercicio propuesto en clase por el mtodo directo.

Una vez declarado el numerador y denominador se aplica el comando

Esta instruccin nos devolver las matrices de estado de la funcin de transferencia las cuales corresponden con las obtenidas por el mtodo directo.

Comando ss2tfDe las matrices de estado obtenidas por el mtodo directo se obtendr la funcin de transferencia.

Se declaran las matrices A,B,C,D

Una vez declaradas las matrices se realiza la operacin

Esta nos devolver los coeficientes del numerador y denominador en potencias descendientes de s.

Los cuales son los mismos que la F.T. del problema visto en clase

Plantear un ejercicio para el uso de los comandos lsim y roots.De la funcin de transferencia propuesta en clase

Obtener la respuesta en el tiempo del sistema dado una seal de entrada seno, en el tiempo t=0 a t=15 segundos. Obtener polos y ceros.Se declara pro la cual contiene la funcin de transferencia del sistema

Se declaran t y u que indican el tiempo en que se mostrara la respuesta del sistema y la funcin de entrada al sistema respectivamente.

La seal de gris indica la funcin seno.La seal azul indica la respuesta del sistema pro al tener como entrada la funcin seno. Hasta un tiempo de 15 segundos.

Para la obtencin de polos se usa el comando roots para el numerador y el denominador como se indica

Los polos y ceros son

Conclusiones Fue posible utilizar matlab para representar sistemas de primer y segundo orden, esto se logro a partir de un circuito RC y RLC. Estos sistemas fueron pasados a su forma cannica para cada uno, mediante el uso de ley de voltajes de kirchhoff y transformada de Laplace.Modificamos los valores del circuito para asi poder variar los parmetros del sistema y se observo como reaccionan a la salida del sistema aplicando una funcin escaln unitario tras variar s parmetros dinmicos. Podemos darnos ahora una idea de la respuesta del sistema tan solo sabiendo el parmetro dinmico del sistema y sus races.Se obtuvo la misma seal de salida tanto al programar un archivo M que cuando se utilizo Simulink.

Bibliografa1.-Kuo, Sistemas de automatizacin y control, compaa editorial continental,1978Se Consultaron las siguientes pginas web:1.-http://www.mathworks.com/help/toolbox/control/ref/tf.html2.http://www.fing.edu.uy/iq/cursos/dcp/teorico/7_FUNCION_DE_TRANSFERENCIA_Segundo_ORDEN.pdf