1. Introduccin Enciertosexperimentosmultifactorialeslosniveles deunfactorAson similares peronoidnticospara diferentesnivelesdelotrofactorB.Talarreglose conocecomodiseojerrquicodeAanidadocon los niveles de B. Factor BFactor A 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 43 2 1observaciones observaciones observaciones2. Anlisis de diseos jerrquicos o anidados de dos etapas El diseo estadstico lineal en dos etapas es: k ij i j i ijkY) ( ) (c | t + + + =Enotraspalabras,existenaniveldefactorB,jerarquizadosbajo cadanivelA,ynreplicas.Elsubndicendiceque elj-esimodel factorBestaanidadobajoeli-esimoniveldelfactorA.Es convenienteconsiderarquelasreplicasestnanidadasdentrode lascombinacionesdelosnivelesAyB.As,elsubndice(ij)kse usaparaelterminodelerror.EsteesundiseoanidadobalanceadoyaquehayunnmerodenivelesdeBdentrode cada nivel A y un mismo nmero de replicas. Como cada nivel de B no aparece con cada nivel de B no aparece con cada nivel de A, no hay interaccin entre A y B. Lasumatotaldecuadradospuededescomponerseenuna sumadecuadradosdebidoalfactorA,enunasumade cuadradosdebidaalfactorBbajolosnivelesdeA,yenuna sumadecuadradosdebidaalerror.Estosimblicamentese puede expresar:E A B A TSC SC SC SC + + =) (Valores esperados de la media de cuadrados en un diseo anidado Af ija Af ija AAleatroria ) (CM EB f ija B AleatroriaB Aleatroria ) (EA E122+abni to 122 2+ +abnni to o |

o o o t |2 2 2bn n + + ) () ( A EMA E ) 1 (2) ( 2+ b ani j|o

o o |2 2n + o o |2 2n + ) (EMA Eo2 o2

o2 Tabla de anlisis de variancia Fuente deMedia de Variacion Suma de cuadradosGrados delibertad cuadrados A abnYbnYSCAaii2...12.. ==1 aMCA B dentrode A = = = =aibjaiiijbnYnYA SCB1 1 12..2.) ( ) 1 ( a b ) (A MCBError = = = = =aibjnkaibjij ijknYnYSCE1 1 1 12.2 ) 1 ( n ab MCE Total = = = = =aibjnkaibjij ijknYnYSCE1 1 1 12.2 1 abn

Tabla de anlisis de variancia Se observa que Esto se expresa la idea de quees la suma decuadradosde los nivelesde B para cada nivel de A, sumando todo los niveles de A. = =(((

=aibjiijbn nA SCBYY1 12..2.) (Ejemplo Diseo Anidado en Dos Etapas Seencuentrabajoestudioelacabadosuperficialdeparte metlicasproducidasporcuatromquinas.Serealizaun experimentoenelquecadamquinaesmaniobradaportres diferentes operadores, y se seleccionan y prueban dos piezas de cadaoperador.Debidoaquelasmquinasestnendiferente localidadnoesposibleusarlosmismosoperariosencada mquina; adems los operadores se eligen al azar. Los datos se muestranenlasiguientetabla.Analicelosdatosyrealicelas conclusiones apropiadas. Operario 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 379 94 46 92 85 76 88 53 46 36 40 6262 74 57 99 79 68 75 56 57 53 56 47Mquina 1 Mquina 2 Mquina 3 Mquina 4La sintaxis ingresada en el editor de SAS para realizar el anlisis de los datos es la siguiente: proc glm data = ejemplo1; class maq oper; model superf = maq oper(maq); *debidoaquelasmquinassonfijasperolosoperarios son elegidos al azar; random oper(maq) /Test; run; Ejemplo Diseo Anidado en Dos Etapas Ejemplo Diseo Anidado en Dos Etapas Tenemos la siguiente salida: Ejemplo Diseo Anidado en Dos Etapas Ejemplo Diseo Anidado en Dos Etapas Qu podemos apreciar? ElvalordelFcalculadoparalasvarianzasdelas mquinas, cuyo valor es de 3.42 y su valor p es de 0.0728,elcualesmayora5%,nuestronivelde significancia. Sin embargo, en el caso de los operadores en cada mquina,alobservarelvalorp(=0.0134)parael estadsticocalculadoFnosdamoscuentaquees menor al nivel de significancia de 5% . Ejemplo Diseo Anidado en Dos Etapas Qu podemos concluir? Laproporcindelavariabilidadtotalexplicadaporlavarianzade las mquinas no es significativa; es decir, que el acabado superficial noessignificativamentediferentepormotivodevariacinenel desempeo de cada mquina. La proporcin de variabilidad total en los acabados explicada por la variabilidad en el desempeo del operario, es significativa. Portanto,lavariabilidaddelosacabadossedebeensumayora por la variabilidad en el desempeo de los operarios, ms que en la variabilidad en el desempeo de las mquinas. 3. Verificacin deldiagnstico El anlisis residual es la herramienta principal para verificar el diagnstico. . Para el diseo anidado de dos etapas, los residuales son: El valor ajustado es:

ijk ijk ijky y e =) ( i j i ijky | t + + = Y se establecen las restricciones usuales sobre los parmetros del modelo

Entonces: 0 =iit0) (=ji j|...y = ... ..y yi i = t.. . ) (i ij i jy y = |Por consiguiente, el valor ajustado es: Por lo tanto, los residuales del diseo anidado de dos etapas son: Dondedatos de son los promedios individuales por operario. ) ( ) (.. . ... .. ... i ij i ijky y y y y y + + =

. ijy =

. ij ijk ijky y e =. ijyLas observaciones, valores ajustados y residuos para nuestro ejemplos se muestran a continuacin: yijkijk eijk79 70.5 8.562 70.5 -8.594 84 1074 84 -1046 51.5 -5.557 51.5 5.592 95.5 -3.599 95.5 3.585 82 379 82 -376 72 468 72 -488 81.5 6.575 81.5 -6.553 54.5 -1.556 54.5 1.546 51.5 -5.557 51.5 5.536 44.5 -8.553 44.5 8.540 48 -856 48 862 54.5 7.547 54.5 -7.5 Puederealizarseahoralasverificacionesdediagnstico usuales;incluyendolasgrficasdeprobabilidadnormal,la verificacin de puntos atpicos, y las grficas de residuos contra valoresajustados.Comounailustracin,graficamoslos residualescontralosvaloresajustadosycontralosnivelesdel factor maquinaria, de nuestro ejemplo. Grfica de los residuales contra los valores predichos-11-8-5-21471040 50 60 70 80 90valores predichosresiduales Puestoqueladispersinde losresidualesesdiferente paralascuatromaquinarias concluiremosquela variabilidadenelacabado superficialdeunoperarioa otroesdiferenteparalas cuatro mquinas. Grfica de los residuales contra la maquinaria-15-9-339150 1 2 3 4 5maquinariaresiduales4. Componentes de la varianza Para el caso de efectos aleatorios, el mtodo del anlisis de varianzapuede usarse para estimar los componentes de la varianza Por los cuadrados medios esperados de la tabla anterior, se obtiene: EMS =2onMS MSE A B=) (2|obnMS MSA B A ) (2=to,2o2|o2to En muchas aplicaciones de diseos anidados interviene un modelo mixto, con el efecto principal (A) fijo y el factor anidado (B) aleatorio. Este es el caso para el ejemplo descrito, los maquinarias (factor A) son fijos, y los operarios (factor B) son aleatorios Los efectos de los proveedores pueden estimarse con: = =... .. 1 1y y t24682415806412= 2414142415806499... .. 2 2= = = y y t24802415806375... .. 3 3= = = y y t244042415806294... .. 4 4= = = y y t Paraestimarloscomponentesdelavarianzaeliminamoslalneadelatablautilizamoslatabladelanlisisde varianzarelativoalasmaquinariasyseaplicaelmtododeestimacin del anlisis de varianza a las dos lneas siguientes. Se obtiene as ,22|o o y5 , 842= =EMS o==nMS MSE A B ) (2|o 855 , 133284,5 - 352,21=5. Modelos anidados de m etapas. Es una extensin del modelo de diseo anidado de 2 etapas, lo importanteenestaparteestenermuchocuidadoconel tratamientodeloscomponentesdelavarianciasobretodo discernir entre los factores de efectos fijos y los aleatorios. Consideremos un problema con 3 etapas, como sigue:Yijkm = + i + j(i) + k(ij) + ijk(m)ijk(m) ~ NID(0, 2) i = 1, 2, , a;j = 1, 2, , b; k = 1, 2, , c; m = 1, 2, , n 5. Un caso de modelos anidados de m etapas. Unagrnomorealizaunexperimentoparaestudiarla variabilidad que existe en rendimiento de plantacin de maz enunazonagrandedentrodeunpas.Elselecciona3 regiones en forma fija, 4 fincas al azar en cada regin y dos parcelasalazarencadafinca.Encadaparcelaobtieneal azar2muestrasdeigualsuperficieyparacadamuestra obtiene el valor del rendimiento del maz