Clase 142

Revisión del estudio Revisión del estudio individual.individual.

xxA E B

D C En la figura En la figura A = A = B y B y AD AD || CE. || CE. Probar Probar que: que: x = x = BBA = A = B por B por

datosdatosA = A = x por x por correspondientescorrespondientes entre ADentre AD||CE y AB secante||CE y AB secante

x = B por carácter transitivo l.q.q.d.

TriánguloTriánguloSe llama triángulo a la porción del Se llama triángulo a la porción del plano limitada por tres rectas que plano limitada por tres rectas que se cortan dos a dos.se cortan dos a dos.

A B

C

ab

c

Elementos:Elementos:Elementos:Elementos:Vértices:Vértices: A, B y CA, B y CLados:Lados: AB, BC y ACAB, BC y AC

ó a, b y có a, b y c

Ángulos: Ángulos: A,A,B y B y CCó ó , , y y

En todo triángulo se cumple que En todo triángulo se cumple que cada lado es menor que la suma cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su de los otros dos y mayor que su diferencia.diferencia.

En todo triángulo se cumple que En todo triángulo se cumple que cada lado es menor que la suma cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su de los otros dos y mayor que su diferencia.diferencia.

Desigualdad triangularDesigualdad triangularDesigualdad triangularDesigualdad triangular

A

B Ca

bc

En símbolos:En símbolos:En símbolos:En símbolos:

a a < b + c< b + ca a < b + c< b + cb b < a + c< a + cb b < a + c< a + cc c < a + b< a + bc c < a + b< a + b

a a > b – c > b – c a a > b – c > b – c

b b > a – c > a – c b b > a – c > a – c

c c > a – b > a – b c c > a – b > a – b

a > b > ca > b > ca > b > ca > b > c

Clasificación de los triángulos Clasificación de los triángulos según sus ladossegún sus lados

Clasificación de los triángulos Clasificación de los triángulos según sus ladossegún sus lados

EquiláteroEquiláteroEquiláteroEquilátero IsóscelesIsóscelesIsóscelesIsósceles EscalenoEscalenoEscalenoEscaleno

Tiene sus Tiene sus tres lados tres lados iguales.iguales.

A B

C

Tiene dos Tiene dos lados lados iguales.iguales.

A B

C

Tiene sus Tiene sus tres lados tres lados desiguales.desiguales.

A B

C

Clasificación Clasificación de los de los

triángulos triángulos según sus según sus

ángulosángulos

Clasificación Clasificación de los de los

triángulos triángulos según sus según sus

ángulosángulos

AcutánguloAcutánguloAcutánguloAcutángulo

RectánguloRectánguloRectánguloRectánguloObtusánguloObtusánguloObtusánguloObtusángulo

Tiene sus tres Tiene sus tres ángulos agudos.ángulos agudos.Tiene sus tres Tiene sus tres ángulos agudos.ángulos agudos.

Uno de sus Uno de sus ángulos es recto.ángulos es recto.

Uno de sus Uno de sus ángulos es ángulos es obtuso.obtuso.

Ángulos Ángulos interioresinterioresÁngulos Ángulos interioresinterioresEn todo triángulo, la suma de los En todo triángulo, la suma de los

ángulos interiores es igual a 180ángulos interiores es igual a 18000..

A B

C

En En símbolos:símbolos: + + + + = 180 = 18000

Ángulos Ángulos exterioresexterioresLos ángulos exteriores de un Los ángulos exteriores de un

triángulo son los formados por un triángulo son los formados por un lado y la prolongación de otro de lado y la prolongación de otro de

los lados.los lados.

A B

C

PropiedadPropiedad:: = = + +

Rectas y Rectas y

puntos puntos

notables del notables del

triángulotriángulo

Rectas y Rectas y

puntos puntos

notables del notables del

triángulotriángulo

ALTURA:ALTURA: es eles el segmento de segmento de perpendicular trazado desde un perpendicular trazado desde un vértice de un triángulo al lado vértice de un triángulo al lado opuesto.opuesto.

ALTURA:ALTURA: es eles el segmento de segmento de perpendicular trazado desde un perpendicular trazado desde un vértice de un triángulo al lado vértice de un triángulo al lado opuesto.opuesto.

A B

C

ab

c

hc hc AB

En todo triángulo existen tres alturas En todo triángulo existen tres alturas que se intersecan en un punto que se intersecan en un punto

llamado llamado ORTOCENTROORTOCENTRO..

MEDIANA: MEDIANA: es el es el segmento trazado segmento trazado desde cada vértice de un triángulo desde cada vértice de un triángulo hasta el punto medio del lado hasta el punto medio del lado opuesto.opuesto.

A B

C

ab

cD

D: punto medio de AB

En todo triángulo existen tres En todo triángulo existen tres medianas que se intersecan en medianas que se intersecan en

un punto llamado un punto llamado BARICENTROBARICENTRO..

BISECTRIBISECTRIZZ: : es el es el segmento de bisectriz segmento de bisectriz de un ángulo interior de un triángulo de un ángulo interior de un triángulo determinado por un vértice y el punto determinado por un vértice y el punto en que la misma corta al lado opueen que la misma corta al lado opuessto.to.

A B

C

ab

c D

CD: bisectriz del ACB

En todo triángulo existen tres En todo triángulo existen tres bisectrices que se intersecan en bisectrices que se intersecan en un punto llamado un punto llamado INCENTROINCENTRO..

MEDIATRIZ: es la MEDIATRIZ: es la recta perpendicular en recta perpendicular en el punto medio de el punto medio de cada lado de un cada lado de un triángulo.triángulo.

A B

C

ab

c D

r

r AB

D: punto medio del AB

En todo triángulo existen tres En todo triángulo existen tres mediatrices que se intersecan en un mediatrices que se intersecan en un

punto llamado punto llamado CIRCUNCENTRO.CIRCUNCENTRO.

Recta notable Intersección Propiedad

Altura Ortocentro

Medianas BaricentroCentro de

gravedad

Bisectriz Incentro Centro cir.

inscrita

Mediatriz CircuncentroCentro cir.

circunscrita

Ejercicio 1Ejercicio 1

Determina si se puede construir Determina si se puede construir un triángulo con tres segmentos un triángulo con tres segmentos que midan respectivamente:que midan respectivamente:

a) 5; 12 y 4 cm.a) 5; 12 y 4 cm.

b) 23; 36 y 50 cm.b) 23; 36 y 50 cm.

c) 21,4; 8,13 y 7 cm. c) 21,4; 8,13 y 7 cm.

No; 12 > 5 + 4

Si; 50 < 23 + 36

No; 21,4 > 8,13 + 7

Ejercicio 2Ejercicio 2Ejercicio 2Ejercicio 2

A BA B

C DC D

EE

En la figura ABEn la figura AB││CD; ││CD; DAB= 62 DAB= 6200; ; DE: bisectriz del DE: bisectriz del ADC; ADC; AD: bisectriz del AD: bisectriz del CAB. CAB. Calcula Calcula

En la figura ABEn la figura AB││CD; ││CD; DAB= 62 DAB= 6200; ; DE: bisectriz del DE: bisectriz del ADC; ADC; AD: bisectriz del AD: bisectriz del CAB. CAB. Calcula Calcula

DAB = ADC por ser alternos entre AB CD y AD secante. ADC = 620

EDA = ADC

2por ser DE bisectriz del ADC.

EDA = 620

2= 310

A BA B

C DC D

EE

En EAD tenemos:

= CAD + ADE por ser exterior al EAD. = 620 +310

= 930

CAD = DABpor ser AD bisectriz del CAB.

CAD = 620

A BA B

C DC D

EE

Para el estudio individualPara el estudio individual

1.1.En la figura: En la figura: ED ED BCBC; ; = 50 = 5000; ; = 30 = 300 0 y ; CA y y ; CA y ED se cortan en ED se cortan en F. Halla F. Halla y y ..

1.1.En la figura: En la figura: ED ED BCBC; ; = 50 = 5000; ; = 30 = 300 0 y ; CA y y ; CA y ED se cortan en ED se cortan en F. Halla F. Halla y y .. DD AA BB

CC

FF

EE