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TRIGONOMETRA- Primera parte

La palabra trigonometra proviene del griego: trigonos(tringulo) metria(medida)! En sus orgenes esta rama de la matemtica se cual"uierutili#$ pararesolver problemas de agrimensura astronoma% pero con el desarrollo de la

ciencia se &a convertido en un instrumento indispensable en la 'sica% laingeniera% la medicina todo otro proceso en el "ue se encuentrencomportamientos "ue se repiten cclicamente! Sirve para estudiar 'en$menosvibratorios% como por eemplo la lu#% el sonido% la electricidad!% etc!

SISTEMAS DE MEDICIN DE NGULOS

ara medir ngulos pueden adoptarse distintas unidades! Los sistemas msusados son:

Sistema se*agesimalLa unidad es el grado se*agesimal ( o)% e"uivalente a la noventa-ava parte delngulo recto! Los subm+ltiplos son el minuto se*agesimal ( , ) el segundose*agesimal ( ) . / 0 12o . 0 324 .4 0 32 1 giro = 360o

Sistema circular o radialLa unidad es el radin (rad): es la medida del ngulo central "ue en una circun'erenciadetermina un arco de la misma medida "ue el radio!

Como la longitud de la circun'erencia es 6 7r% la medida en radianes de un ngulocompleto ser 67 r8 r0 6 7 !

9/C ;E

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Convr!i"n d #dida! d $ng%&o!El uso de radianes en ve# de grados auda a simpli@car muc&as '$rmulas

trigonomAtricas!

1' ara convertir de grados a radianes% se multiplica por se divide entre .B2o

se simpli@ca!

E(#)&o* convertir D2oa radianes:

6180

30

30

180 === xx

x o

o

o

o

2' ara convertir de radianes a grados% se multiplica por .B2 se divide entre se simpli@ca!

E(#)&o!* 1' convertir6

a grados: reempla#amos

por .B2o

oo

306

180

6==

2' convertir 6 radianes a grados!

"3035114

180.2180

2

ooo

xxx

==

Nota: es aproximadamente igual a 3,1416. Un ngulo de radianes equivale

a un ngulo de 180o. Pero

1+0,-

E.%iva&n/ia! nr grado! !ag!i#a&! radian!

Grados Radianes

ACTIIDAD N4 1

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1-E*pres los siguientes ngulos en el sistema se*agesimal:

a&

rad4

= b& ! rad = c& ",' rad = d& ',( rad =

e& rad = ')

rad5

g)

rad3

i)

rad4

17

0

2-E*pres los siguientes ngulos en el sistema radial: a& )"# = b& *(# = c& 2+"o= d& ()# 2( =

3- n ngulo central abarca un arco de 62 cm de longitud sobre unacircun'erencia de 6 m de radio! FCul es la medida del ngulo en radianesG

5-FCuntos radianes mide el ngulo "ue determinan las dos aguas de un relocuando transcurren 5 minutosG

-E*presar en sistema circular las tres cuartas partes de la suma de los ngulosinteriores de un romboide!

6-FCul es el radio de una circun'erencia si un ngulo central de36

5

determina unarco de .62cmG

7A8ONES T7IGONOM9T7ICAS

Conocemos la propiedad "ue tiene la suma de los ngulos interiores de un tringuloabc:

a : ; : / = ------

Sabemos de la relaci$n "ue veri@can los lados de un tringulo rectngulo:

A2 =

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0

IambiAn de@nimos las raon! rigono#>ri/a! r/?)ro/a!de las anteriores%llamadas cosecante% secante cotangente:

opuestocateto

adacentcateto

adacentecateto

&ipotenusa

opuestocateto

&ipotenua=== cotseccos gec

Noa*Las '$rmulas anteriores son vlidas cuando no se anulen losdenominadores!

IambiAn se veri@can las siguientes relaciones:

=

=

=

=

1cot

cos

1sec

1cos

cos

tgg

senec

sentg

USO DE LA CALCULADO7A

bservaci$n: Las calculadoras cient@cas tienen tres modalidades: DEG 7AD G7A (

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@0 .5o564Simb$licamente se indica:@0 arc sen 2%6DK (se lee: @es el ngulo o arco cuo seno es 2%6DK)

@0 .5o564

ACTIIDAD N4 2

1' a'

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Cuando conocemos un ngulo un cateto

jemplo$ 3n pintor tiene que apoyar una escalera en una pared para acceder a la parte ms alta. Sabeque, para que no se resbale, el pie de la escalera debe estar a ,2" m de la pared y que 4sta debe5ormar un ngulo de +"# con el piso. 6ueremos averiguar cunto mide la escalera, a qu4 altura llega yqu4 ngulo 5orma con la pared.

agamos un esquema de la situaci7n y en 4l marquemos los elementos que conocemos y se8alemos lasinc7gnitas$

? = +"# 9$ medida de la escalera 9 :atos $ /nc7gnitas$ C$ altura a la que llega

C ; = ,2 m $ ngulo que 5orma con la pared

+"# ,2 m Clculo de $

?< = ........ = .............. = 20 ngulo con la pared

Clculo de 9os preguntamos qu4 relaci7n vincula ?, ; y 9$ es el ....................ntonces$ cos?= ; 9 = ; 9 = ,2 m 3,51 m medida de la escalera 9 cos ? cos +"#

Clculo de C os preguntamos qu4 relaci7n vincula ?, ; y C$ es la .................... ntonces$ tg?=C C = ; . tg ? C = ,2 m . tg +"# 3,30 m altura a la que llega.

;

Cuando conocemos los catetos

jemplo$ n cierto tramo de un camino >ay una se8al que indica una subida del 2? %al avan@ar "" m>ori@ontalmente se suben 2 m&. 6ueremos averiguar qu4 distancia se recorre sobre el camino cada 2m de incremento en altura, cunto mide el ngulo que 5orma el camino con la >ori@ontal y cunto mide elngulo que 5orma el camino con la vertical.agamos un esquema y se8alemos los datos y las inc7gnitas$

; = "" m 9$ distancia sobre elcamino 9 :atos$ C = 2 m /nc7gnitas$ ?$ ng. entre el camino yla >ori@ontal

2 m $ ng. entre el camino yla vertical

?"" m

Clculo de 9os preguntamos qu4 relaci7n vincula ;, C y 9 -en este caso son los tres lados- por esoaplicamos ............................................................................................

ntonces$ 92= ;2< C2 9 =

2C+

6N

9 =

( ) ( ) 212m+6.22m 100,72 m

Clculo de ?os preguntamos qu4 relaci7n vincula ;, C y ?$ es la ................

ntonces$ tg ?= C tg ?= 2 m tg ?= ",2 ?= 6 50 34

; "" m Clculo de

os preguntamos qu4 relaci7n vincula ;, C y $ es la ................ ntonces$ tg = ; tg = "" m tg = !,' = !3 " 26

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.52 m *

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C 2 m

ACTIIDAD N4 31'/esolvA los tringulos rectngulos para los datos dados! sa calculadora!

a)

0 6Ko c 0.3!b) a 0 D6!K3 b 0 65%B

c)

0 6Ko a 0.3

d)

0 .o% c 0 KKe) a 0 D.6% c 0 B21') b 0 K!6.B c 0 3!51

g)

0 B.o.64 a 0 KD%3

2'ara poder volcar el contenido de la carga% es necesario inclinar el vol"uete del cami$n &asta los 2o! Sabiendo "ue ab 0 3m% calcul la medida apro*imada del so-

porte bc% el ngulo "ue se 'orma entre el soporte la&ori#ontal.

3'En un momento determinado% los dos bra#os de un comps estn separadospor una distancia de cm! Si cada bra#o mide 10cm% Fcul es el ngulo deabertura del compsG

5'9l colocarse a cierta distancia del pie de un rbol% se ve la punta del rbol conun ngulo de 0o! FNao "uA ngulo se ver el rbol si uno se alea el triple dela distancia inicialG! MacA el dibuo

)

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