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La raza humana necesita un desafío intelectual. Debe de ser aburrido ser Dios, y no tener nada que descubrir.

Stephen Hawking. Físico teórico, astrofísico, cosmólogo, divulgador y personaje de Los Simpson nacido en Oxford en 1942.

Matemáticas B. Examen de trigonometría. 03.03.2015.

1. Una empresa que comercializa yogur en envases de 125 ml, desea aumentar el tamaño de éstos

sin variar su forma para que contengan el doble de cantidad y así disminuir los residuos de su

producto.

a) Halla la razón de semejanza y calcula la altura de los nuevos envases si la de los antiguos era de

8 cm.

Si llamamos V y v a los volúmenes, H a la altura del nuevo y r a la razón de semejanza, tenemos:

V =r3

∙ v=2 ∙ v❑⇒

r3=2❑

⇒

r=3√ 2❑

⇒

 H =3√ 2 ∙8≅10cm

b) ¿En qué porcentaje se reducirían los residuos si la cantidad de yogur consumida fuera la

misma?

Los residuos dependen de la superficie.

S=3√ 4 ∙ s  pero hay que tener en cuenta que ahora se usarán la mitad de envases, luego si antes se

empleaba una cantidad c, el total empleado ahora es

c ∙3√ 4

2≅c ∙0,79

Por tanto, se ha obtenido un ahorro en envases del 21%.

2. Los lados de un paralelogramo miden 20 y 30 cm, y uno de sus ángulos es de 120º. Haz un

dibujo y calcula la longitud exacta de su altura y su superficie.

sen 60°=h

2❑⇒

h=2 ∙sen60 °=2 ∙√ 3

2=√ 3cm

área=3 ∙ h=3∙√ 3cm2

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3.a) Representa en la circunferencia goniométrica que aparece a continuación las razones

trigonométricas del ánguloα  indicando el signo de cada una.

b) De un ángulo β sabemos que está en el tercer cuadrante y que su coseno mide 1/3. Dibújalo

y halla el valor exacto de sus otras razones.

a) b)

cos β=−1

3

;sen2 β+cos

2 β=1❑

⇒

sen2 β+

1

9

=1❑⇒

sen2 β=

8

9

❑⇒

sen β=−2√ 2

3

❑⇒

tg β=

−2√ 2

3

−13

=2√ 2

4. Una chica desea calcular la altura de una casa usando la trigonometría, para lo cual observa su

parte superior y mide al ángulo de su visual con el horizonte, que resulta ser de 58  ° .

 Después

se agacha y repite la observación, obteniendo ahora un ángulo de 61  °. Cuando está de pie,

sus ojos están a una altura de 150 cm, mientras que agachada, esta altura se reduce a 50 cm.

¿Cuál es la altura de la casa y a qué distancia de ella se encuentra la chica?

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tg61°=h−0,5

d  ❑⇒

d=h−0,5

tg 61°

tg58°=

h−1,5

d  ❑⇒ d

=h−1,5

tg 58°

}❑⇒

h−0,5

tg61°=

h−1,5

tg58°❑⇒

h ∙ ( tg58 °−tg61 ° )=0,5 ∙ tg58°−1,5 ∙ tg61 °❑⇒

❑⇒

h=0,5∙ tg58 °−1,5 ∙ tg61 °

tg58 °−tg 61°  ≅9,3m❑

⇒

d ≅4,9m