Tutorial para la construcción de los

conjuntos de Julia y de Mandelbrot

en Geogebra.

David Camilo Molano Valbuena

Acá se mostrará cómo construir tales conjuntos, empezaremos hablando de los números

complejos y puntos del plano. Al grano.

Un número complejo es un punto del plano, de la forma (a,b), bajo un producto bastante

particular. Para sumar números complejos lo haremos del siguiente modo:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).

Y para multiplicarlos:

(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc).

El producto de complejos es una operación un tanto tediosa. En caso de no memorizarlo,

los números complejos se pueden escribir de la forma a+bi, donde i²=-1. Y nuestro

producto será el producto clásico de polinomios, y de este modo tendremos:

(a+bi)(c+di)=ac+bdi²+adi+bci.

Pero como i²=-1:

(a+bi)(c+di)=ac+bdi²+adi+bci=ac-bd+adi+bci=ac-bd+

(ad+bc)i, que es nuestra definición de producto. De cualquier

modo hasta acá sólo se trata de algo informativo, Geogebra

puede hacer cálculos con números complejos así que no

tendremos que hacerlos nosotros.

Otras cosas que deberíamos saber, es cuál es el módulo de un

número complejo. El módulo de a+bi es la distancia a 0+0i, es

decir √(a2+b2).

Antes de hacer nada, en el menú de “Opciones” hay una opción

que dice “Rotulado”, en done valdría mucho la pena poner

“Ningún nuevo objeto”.

Para crear un número complejo lo podemos crear en la parte

de “Nuevo punto”, donde está la opción de poner un número

complejo.

Otra manera es poner un punto, hacer click derecho en él y poner “Propiedades”. En

“Estilo”, vale la pena disminuir el tamaño del punto para que se vea mejor nuestro conjunto

de Julia o Mandelbrot una vez hecho. En la parte de “Álgebra” hay una opción que dice

“Coordenadas Cartesianas”. Le haces click, y le pones “Número complejo”. Tendrás algo así:

Una vez puesto el punto el

punto, haremos varias co-

sas. Primero, pondremos

un Deslizador , con un

nombre cualquiera (Entre

más corto mejor), le hare-

mos click en “Entero”, para

que sea un entero (Hay

otras maneras de hacerlo,

pero ésta es la más simple).

Las pestañas de Deslizador

y Animación no nos intere-

sarán en este momento, en

la pestaña de “Intervalo”

pondremos un incremento de 5 o 10, y un intervalo de 0 a 200 o a 500. Luego de ponerlo , lo

arrastramos a 100, o un número por el estilo. Acá se lo llamará el “Deslizador n”.

Lo que haremos ahora será usar la hoja de cálculo para construir mu-

chos puntos cercanos a nuestro punto inicial (Que lo llamaremos A).

Para acceder a ella, click en Vista -›Hoja de Cálculo. En la casilla A1

ponemos “=A” para referirnos a que esa casilla tomará el valor del número

complejo A (Y creará un punto correspondiente en el plano), y en B1 pon-

dremos “A1+1/n”, lo que significa que en B1 habrá un número complejo

muy cercano a A. Ahora haremos click en B1, y en el cuadro azul en la es-

quina inferior, y lo arrastraremos por la fila 1. Tendemos algo como esto:

Puedes escoger hasta qué casilla quieres llegar, luego de Z1 sigue AA1, AB1,…en parti-

cular yo elegí llegar hasta BZ1. Luego, seleccionamos toda la fila 1 (Como en Excel,

haciendo click en el cuadro que dice 1 (El que aparece a la izquierda de la casilla A1),

click derecho, propiedades, y le quitamos “Muestra objeto”, para que ninguno de los

puntos mostrados ahí aparezca.

Hasta aquí hemos hecho una construcción básica. Lo que haremos es hacer una

“Impresora” virtual, que imprima el conjunto de Mandelbrot en la pantalla, cada uno

de los puntos creados está con ese objetivo. Cuando se dé la condición necesaria, los

puntos aparecerán y dejarán su rastro.

Ahora, como modelo básico de la impresora (Para que los puntos se muevan automá-

ticamente) podemos poner una curva dada, por ejemplo f(x)=2sen(15x), que se puede

colocar escribiendo eso mismo en la casilla de “Entrada” que está en la parte inferior

de la pantalla. Para limitar su dominio podemos escribir hacerlo de varias maneras.

Como por ejemplo, escribir:

Función[2sen(15x),-3,2], para que sea la función dada, pero solo definida entre –3 y

2.

O

Curva[t,2sen(15t), t,-3,2] que la pone de forma paramétrica. La gráfica no cambia.

Luego en la parte donde puedes crear un nuevo punto, haces click en “Adosa / Libera

punto”, hacemos click en el punto, y después en la gráfica de la función, lo que ence-

rrará a nuestro punto en la función, sólo se podrá mover por ella. Ahora, en las pro-

piedades del punto, en la parte de álgebra le pondremos de incremento algo como

0.01, y de velocidad igual. Haciendo click derecho al punto podemos activar y desac-

tivar la “Animación automática”, que lo moverá por nuestra curva.

Ahora, deberemos tener una ligera idea de lo que es un conjunto de Julia o uno de Mandelbrot.

Daremos un concepto muy impreciso de un conjunto de Julia, porque no necesitamos saber más

para construirlo en Geogebra. Sea c un número complejo. Entonces, teniendo nuestro número

complejo A, haremos esta operación. z1=A2+c. Luego repetiremos varias veces la operación, de

modo que:

z5=z42+c=(z3

2+c)2+c=((z22+c)2+c)2+c=(((z1

2+c)2+c)2+c)2+c=((((A2+c)2+c)2+c)2+c)2+c

Esa es la idea básica, repetir la operación unas 30 veces. Ahora supongamos que conocemos el

valor de c, y dado nuestro número complejo A, el resultado de repetir la operación las 30 veces.

El resultado es un número complejo. Ahora…¿Qué tan lejos está del (0,0)? ¿Si está a más de 2

unidades del (0,0), o si está a menos?

En general, podemos decir que si en algún momento el resultado de la operación llega a estar a

más de 2 casillas de 2, al repetir la operación más veces, el punto se va a alejar indefinidamente.

Si no, puede ser que no se aleje y se mantenga cerca del origen. Y entre más veces se haga la ope-

ración, más probable es que los puntos que aún están cerca del origen permanezcan cerca al se-

guir repitiendo la operación. Esos puntos nos interesan. Lo que haremos con geogebra es...si

luego de realizar la operación con un número complejo arbitrario A, el resultado está a menos de

2 unidades del 0, lo marcamos. Si no, no lo marcamos. Si cogemos todos

los puntos para los que esa repetición no los aleje del origen, y los marca-

mos, todos los puntos marcados formarán el conjunto de Julia.

Volviendo a Geogebra, crearemos un número complejo y lo llamaremos “c”.

Ahora, en la casilla A2 de la Hoja de Cálculo pondremos (A1)^2+c. Luego

seleccionaremos A2 y con el cuadro azul, arrastraremos hasta la casilla 30.

De ese modo tendremos nuestras 30 repeticiones.

Luego, seleccionamos todas las casillas de la A2 a la A30, y arrastramos to-

do eso hasta la columna BZ. Entonces nos quedará un enorme bloque de

números complejos, donde podemos ver algunos que dicen ?+?i, lo que sig-

nifica que el número es tan grande que Geogebra no lo puede calcular. Es

muy interesante el movimiento que tienen, en caso de querer verlos se pue-

den seleccionar todas las filas de la 2 a la 30, y en propiedades, mostrar ob-

jeto. No es necesario para construir el conjunto de Julia ni el de Mandel-

brot.

Ahora tenemos que poner la condicional, que lo haremos con una “Variable

Booleana”, que simplemente le asigna un valor de verdad a una proposi-

ción, y el comando “Si”, que tiene como sintaxis Si[Condición, Conclusión],

donde la “Conclusión” es lo que aparecerá en la casilla en caso de que la

condición se cumpla.

Entonces escribiremos en la casilla A31, x(A30)^2+y(A30)^2<4.

Esto es aplicar el Teorema de Pitágoras. Si la distancia del complejo de la casilla A30 es me-

nor que 2, entonces esa afirmación dirá “true”, si no, dirá “false”. Luego pondremos en la

casilla A32, Si[A31,A1]. Es decir, si A31 es verdadera (Si dice true), entonces en la casilla

A32 aparecerá el número complejo inicial, es decir, el de la casilla A1. Luego seleccionamos

la casilla A31 y la casilla A32, y las arrastramos hasta la columna BZ. Tendremos lo si-

guiente:

Ahora, seleccionamos la fila 32, y en propiedades, ponemos, mostrar objeto, y mostrar ras-

tro. Ya casi estamos listos. Seleccionemos c, y démosle un valor, por ejemplo (-0,75,0).

Ahora, click derecho en A y “Animación automática”. Sería bueno poner algo de zoom para

ver mejor lo que se va a ir dibujando, y ocultar la función. Teniendo algo de paciencia,

eventualmente saldrá la gráfica de nuestro primer conjunto de Julia.

Si escogemos diferentes valores de c tenemos diferentes conjuntos de Julia, por ejemplo para

c=-0.75:

c=-0.73+0.2i

c=-1

Estos son varios de nuestros conjuntos. Ahora, basándonos en todo lo que hemos he-

cho…¿Cómo podemos crear nuestro conjunto de Mandelbrot? Dejamos todo igual, sola-

mente en la hoja de cálculo haremos unos cambios. No olvidemos guardar el archivo de

Geogebra.

En la casilla A2 escribiremos en lugar de c, A$1 (A$1 es lo mismo que A1 sólo que estático,

es decir, que no cambiará cuando lo copiemos a otras casillas), lo arrastrare-

mos hasta la A30, y luego arrastraremos las filas de la A2 a la A30, hasta BZ.

Le pondremos “Animación automática”, y tendremos eventualmente:

Si queremos que aparezca más coloreado, como en la siguiente imagen:

Lo que tendremos que hacer es mirar para cuáles puntos la casilla 30 está a más de 2 unida-

des del (0,0), pero la casilla 28 no...luego para cuáles la casilla 28 está a más de 2 unidades

del (0,0) pero la 26 no...y así.” Podemos usar los símbolos lógicos para “no” y para “y” para

definir eso. Acá acaba el tutorial.