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Unidad N 3CINEMTICA

FsicaLa fsica estudia los fenmenos fsicos:aqullos en que las sustancias no modifican sucomposicin ni se transforman en otrasnuevas.

La cinemtica es la parte de la fsica queestudia el movimiento de los cuerpos y lasleyes que lo rigen

Qu es el movimiento. Movimiento y reposo

Un cuerpo est en movimiento si cambia de posicin con respecto al sistema de referencia; en caso contrario, est en reposo.

Sistema de referencia es un punto respecto al cual se describe el movimiento de un cuerpo.

Mvil es todo cuerpo capaz de desplazarse

Movimiento y reposo

Recibe el nombre de camino o de trayectoria la lnea que une las diferentes posicionesque ocupa un punto en el espacio, a medida que pasa el tiempo.

La distancia recorrida por un mvil es una magnitud escalar, ya que solo interesa saber cualfue la magnitud de la longitud recorrida durante su trayectoria seguida sin importar en quedireccin lo hizo.

El desplazamiento de un mvil es una magnitud vectorial pues corresponde a unadistancia medida en una direccin particular entre dos puntos: el de partida y el de llegada.

Vector: segmento orientado que indica la direccin, el sentido y el valor del desplazamiento

DEFINICION DE TRAYECTORIA, DISTANCIA DESPLAZAMIENTO Y VELOCIDAD.

La velocidad de un mvil resulta de dividir el desplazamiento efectuado por el mismo entreen tiempo que tard en efectuar dicho desplazamiento: su ecuacin es la siguiente:

velocidad en m/seg, km/h, km/min. millas/h, pies/seg, pulg/ seg etc.

Trayectoria y desplazamiento

La forma geomtrica que describe la trayectoria de un mvil permite identificar distintos tipos de movimientos:

- Rectilneo: como un ascensor- Circular: giro de un CD, rueda de automvil.- Elptico: traslacin de la Tierra- Parablico: pelota de tenis en partido

Posicin y distancia

Posicin de un mvil es el punto de la trayectoria que ocupa en un momento determinado.

Mediante un vector de posicin que une el origen del sistema de coordenadas con el punto P (posicin)

Fijando un origen O e indicando la distancia s recorrida sobre la trayectoria

Posicin y distancia

Distancia recorrida en un intervalo de tiempo es la longitud, medida sobre la trayectoria, que existe entre las posiciones inicial y final del mvil en dicho intervalo de tiempo.

Se calcula restando las posiciones final e inicial, medidas sobre la trayectoria: S = s - s0

Posicin y distancia

7. Desplazamiento: diferencia entre posicin final e inicial en lnea recta. Distancia: diferencia entre posicin final e inicial medida sobre la trayectoria

8. Entre 0 y 20 min: 500 m

Entre 20 y 40 min: 900 m

No, en el segundo caso ha ido ms rpido pues ha recorrido ms distancia en menos tiempo.

Velocidad: rapidez en cambio de posicin

La velocidad de un mvil representa la rapidez con que ste cambia de posicin.

Se calcula en el S.I.: v (m/s) = s (m) / t (s)

Velocidad Media e Instantnea

La velocidad media es el cociente entre la distancia recorrida por el mvil y el tiempo empleado en recorrerla.

La velocidad instantnea es la que tiene un mvil en un instante determinado.

Velocidad Media e Instantnea

Movimiento Rectilneo Uniforme: MRU

Un mvil se desplaza con MRU cuando su trayectoria es una lnea recta y su velocidad es constante. Es decir, mdulo, direccin y sentido del vector velocidad no varan.


Representacin grfica del MRU

Para visualizar las caractersticas del movimiento de un cuerpo lo representamos grficamente:

Un movimiento es rectilneo cuando el mvildescribe una trayectoria recta, y es uniformecuando su velocidad es constante en eltiempo, dado que su aceleracin es nula. Nosreferimos a l mediante el acrnimo MRU.


Representacin grfica del MRU

Para visualizar las caractersticas del movimiento de un cuerpo lo representamos grficamente:

- Dibujamos unos ejes de coordenadas: en abcisas (horizontal) representamos el tiempo y en ordenadas (vertical) la posicin del mvil

- Relacionamos cada pareja de valores espacio-tiempo

- Unimos todos los puntos mediante una lnea

GRAFICA DE POSICIN VERSUS TIEMPO

GRFICA DE VELOCIDAD VERSUS TIEMPO

GRFICA DE ACELERACIN VERSUS TIEMPO


Ecuacin del MRU

Nos da la posicin del mvil en cada momento.

Se obtiene a partir de la ecuacin de la velocidad:


Posicin (s)

0

5

10

15

20

25

30

35

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500Espacio (m)

T

i

e

m

p

o

(

s

)

Posicin (m)

Tiempo (s)

0 075 5150 10225 15300 20375 25450 30

Actividad 12


Posicin (s)

0

10

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100 120 140Espacio (m)

T

i

e

m

p

o

(

s

)

Actividad 30Posicin

(m)Tiempo

(s)Velocidad (m/s)

0 0 0

27 10 2,7

58 20 3,1

87 30 2,9

116 40 2,9

Cambios en la velocidad: Aceleracin

Normalmente, la velocidad de un mvil vara durante su movimiento: a veces aumenta, otras disminuye y en ocasiones cambia de direccin.

La aceleracin representa la rapidez con que un mvil vara su velocidad. Es una magnitud vectorial. Se calcula dividiendo la variacin de velocidad entre el intervalo de tiempo que ha transcurrido.

0

0

tt

vv

t

va

=

=

v = velocidad (m/s)

V0 = velocidad inicial (m/s)

t = tiempo (s)

t0 = tiempo inicial (s)

Las unidades de la aceleracin son m/s2

Cambios en la velocidad: Aceleracin

Ejemplo:

Movimiento Rectilneo Uniformemente Acelerado

Un mvil que se desplaza con un movimiento rectilneo uniformemente acelerado (MRUA) sigue una trayectoria rectilnea y su aceleracin es constante, no nula.


Un cuerpo que soltamos y cae libremente tiene un MRUA ya que su aceleracin es constante e igual a 9,8 m/s2 llamada aceleracin de la gravedad.

Es independiente de la masa del cuerpo


fiifif

ifvvtta

tt

vva =+

= )(

fiifif

ifssttv

tt

ssv =+

= )(

Con estas expresiones se puede calcular la velocidad del objeto en cada instante y tambin su posicin


Actividades:

TIPOS DE MOVIMIENTO I. ACELERADO El signo (+) es para un movimiento acelerado (aumento

de velocidad).

II. DESACELERADO EL signo () es para un movimiento desacelerado(disminucin de velocidad).

OBSERVACIN:Nmeros de Galileo

EJEMPLO:Un mvil que parte del reposo con MRUV recorre en el primersegundo una distancia de 5m. Qu distancia recorre en el cuartosegundo?

MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORME Hemos expresado la posicin x de un objeto como una

funcin del tiempo t indicando la funcin matemtica querelacionaba a x y a t. Luego se obtuvo su velocidadcalculando la derivada de x con respecto a t. Finalmente, secalcul la aceleracin a de un objeto derivando la velocidadcon respecto al tiempo t. Un movimiento rectilneo uniformees aqul en el cual la velocidad es constante, por tanto, laaceleracin es cero (la derivada de una constante es cero).

La funcin desplazamiento es la integral de la funcinvelocidad que en este caso es constante v ( t ) = C, portanto el desplazamiento ser x ( t ) = xo + v . t , donde x0ser la posicin inicial del mvil

MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTEACELERADO

Si un objeto se mueve con aceleracin constante en unasola dimensin Existe alguna forma de ir de a a v y luegoa x ? S, por un proceso llamado integracin. Dada laaceleracin podemos obtener la funcin velocidadintegrando la aceleracin y dada la velocidad podemosobtener la funcin desplazamiento integrando la velocidad.

La funcin velocidad es la integral de la aceleracin a ( t )= C , por tanto la velocidad ser v ( t ) = v0 + a . t . Lafuncin desplazamiento es la integral de la velocidad, portanto: Esta es la expresin general de la posicin de un objeto en

el caso del movimiento en una dimensin con aceleracinconstante, donde x0 es la posicin inicial del objeto.

CADA LIBRE Si permitimos que un cuerpo caiga en vaco, de modo que la

resistencia del aire no afecte su movimiento, encontraremosun hecho notable: todos los cuerpos independientemente desu tamao, forma o composicin, caen con la mismaaceleracin en la misma regin vecina a la superficie de laTierra. Esta aceleracin, denotada por el smbolo g , sellama aceleracin en cada libre

Si bien hablamos de cuerpos en cada, los cuerpos conmovimiento hacia arriba experimentan la misma aceleracinen magnitud y direccin. El valor exacto de la aceleracin encada libre vara con la latitud y con la altitud. Hay tambinvariaciones significativas causadas por diferencias en ladensidad local de la corteza terrestre, pero este no es elcaso que vamos a estudiar en esta seccin.

Las ecuaciones vistas en la seccin anterior para unmovimiento rectilneo con aceleracin constante pueden seraplicadas a la cada libre, con las siguientes variaciones:

Establecemos la direccin de la cada libre como el eje Y ytomamos como positiva la direccin hacia arriba.+

Reemplazamos en las ecuaciones de un movimientouniformemente acelerado a la aceleracin por -g , puestoque nuestra eleccin de la direccin positiva del eje Y eshacia arriba, significa que la aceleracin es negativa.

Reemplazamos en las ecuaciones de un movimientouniformemente acelerado a la aceleracin por -g , puestoque nuestra eleccin de la direccin positiva del eje Y eshacia arriba, significa que la aceleracin es negativa.

En la grfica podemos observar la direccin de los vectores aceleraciny velocidad, de un objeto que ha sido lanzado hacia arriba con unavelocidad inicial; en el primer instante (bola a la izquierda) notamos queel vector velocidad apunta hacia arriba, en el sentido positivo del eje Y,mientras el vector aceleracin ( g ) tiene una direccin hacia abajo, enel sentido negativo del eje Y. En el segundo instante cuando el objetocae (bola a la derecha) la direccin de la velocidad es hacia abajo en elmismo sentido del desplazamiento y el vector aceleracin ( g ) mantienesu misma direccin, en el sentido negativo del eje Y.

Con estas variaciones las ecuaciones resultan ser:

a ( t ) = - g

v ( t ) = v0 - g

MOVIMIENTO PARABLICO Llamamos movimiento parablico a la trayectoria de un

objeto que describe un vuelo en el aire despus de habersido lanzado desde un punto cualquiera en el espacio. Si elobjeto tiene una densidad de masa suficientemente grande,los experimentos muestran que, a menudo, podemosdespreciar la resistencia del aire y suponer que laaceleracin del objeto es debida slo a la gravedad. Comode costumbre, vamos a definir el eje x como horizontal y el+y en la direccin vertical hacia arriba. En este caso laaceleracin es a = -g . j , entonces:

Supongamos que un proyectil se lanza de forma que suvelocidad inicial v0 forme un ngulo q con el eje de las x ,como se muestra en la figura:

Descomponiendo la velocidad inicial, obtenemos lascomponentes iniciales de la velocidad:

Para deducir las ecuaciones del movimiento parablico,debemos partir del hecho de que el proyectil experimentaun movimiento rectilneo uniforme a lo largo del eje x , yuniformemente acelerado a lo largo del eje y . De estaforma tenemos que:

Si derivamos estas ecuaciones obtenemos la aceleracin ysi integramos obtenemos el desplazamiento:

Eliminamos el tiempo de las ecuaciones deldesplazamiento x e y , obtenemos la ecuacin de latrayectoria :

y = ax2 +bx +c

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Examinaremos ahora el caso especial en que una partcula

se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular.Como veremos, tanto la velocidad como la aceleracin sonde magnitud constante, pero ambas cambian de direccincontinuamente. Esta situacin es la que se define comomovimiento circular uniforme. Para el movimiento encrculo, la coordenada radial es fija ( r ) y el movimientoqueda descrito por una sola variable, el ngulo , quepuede ser dependiente del tiempo (t). Supongamos quedurante un intervalo de tiempo dt, el cambio de ngulo esd.

La longitud de arco recorrida durante ese intervalo est dada pords = r d. Al dividir entre el intervalo de tiempo dt, obtenemosuna ecuacin para la rapidez del movimiento:

De donde d/dt es la rapidez de cambio del ngulo y sedefine como la velocidad angular, se denota por y susdimensiones se expresan en radianes por segundo (rad/s) en elSI. En terminos de w, tenemos que:

v = r w Una cantidad importante que caracteriza el movimiento circular

uniforme es el perodo y se define como el tiempo en que tardael cuerpo en dar una revolucin completa, como la distancia

recorrida en una revolucin es 2pir, el perodo T es:

2 pi r = v T

La frecuencia es el nmero de revoluciones que efecta lapartcula por unidad de tiempo, por lo general es 1segundo. La unidad en el SI es el hertz (Hz), que se definecomo un ciclo por segundo. La frecuencia es el inverso delperodo, esto es:

ACELERACIN CENTRPETA Aunque la rapidez es constante en el caso del movimiento

circular uniforme, la direccin de la velocidad cambia, por lotanto, la aceleracin no es cero.

Sea P1 la posicin de la partcula en el tiempo t1 y P2 su posicinen el tiempo t2. La velocidad en P1 es V1, un vector tangente ala curva en P1. La velocidad en P2 es V2, un vector tangente a lacurva en P2. Los vectores V1 y V2 tienen la misma magnitud V ,ya que la velocidad es constante, pero sus direccionesdiferentes. La longitud de la trayectoria descrita durante t es lalongitud del arco del punto P1 a P2, que es igual a r. ( donde qesta medida en radianes ), la velocidad es la derivada deldesplazamiento con respecto al tiempo, de esta forma:

r . = V . t

Podemos ahora trazar los vectores V1 y V2 de tal forma quese originen en un punto en comn:

Esta figura nos permite ver claramente el cambio en lavelocidad al moverse la partcula desde P1 hasta P2 . Estecambio es: V1 - V2 = V

Ya que la direccin de la aceleracin promedio es la mismaque la de V, la direccin de a est siempre dirigida haciael centro del crculo o del arco circular en el que se muevela partcula. Para un movimiento circular uniforme, laaceleracin centrpeta es:

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO Cuando el movimiento es uniformemente acelerado, existe una

aceleracin angular, y se define como la razn instantnea de cambio de la velocidad angular:

Las unidades de la aceleracin angular son radianes porsegundo al cuadrado. Si la aceleracin angular esconstante, entonces la velocidad angular cambia linelmentecon el tiempo; es decir,

= 0 + a t donde w0 es la velocidad angular en t = 0. Entonces, el

ngulo est expresado por (t) = 0 + 0 t + a t

EJERCICIOS

1. (15) Dos coches partieron al mismo tiempo uno de A con direccina B y el otro de B con direccin a A, cuando se encontraron habarecorrido el primer coche 36 km ms que el segundo. A partir delmomento en que se encontraron. El primero tard 1 hora en llegar aB y el segundo 4 horas en llegar a A. Hallar la distancia entre A yB.

1 2

1 2

X + 36 x

Durante

Final2 1

etotal = 2x + 36

(I)

e2 = V2 x T2 = X

e1 = V1 x T1 = X + 36

(II)

e2 = V1 x T2 = (V1) (1h)e1 = V2 x T1 = (V2) (4h)

A B

e1 e2

De la ecuacin Ie2 = X = V2Te1 = X + 36 = V1T Cuando se encuentran T2 = T1 = T

V2 = XT

V1 = X + 36T

Reemplazando en las ecuaciones IIe2 = X = (V1) (1h) = (X + 36) (1) X + 36 = X T T= X + 36

T X e1 = X + 36 = (V2) (4h) = X (4)

T Reemplazo IIIX + 36 = ( X2 ) (4) 4 X 2 = (X + 36)2 (raz) X = 36

X + 36 El total = 2 x + 36 = 2(36) + 36

= 108 m

2. (17) Un mvil parte del reposo con una aceleracin constante de10/ms2, luego de transcurrir cierto tiempo, el mvil empieza adesacelerar en forma constante con a = 5 m/s2 hasta detenerse, si eltiempo total empleado es de 30 segundos. Cul es el espaciorecorrido?.

V0 VfT1 T2e1 e2

X

Ttotal = 30 Seg

T1 + T2 = 30 Seg

X = e1 + e2

Para el primer tramo

Vf1 = V0 a T1

Vf1 = 0 + (10) T1

Vf1= 10 T1 (I)

e1 = (V0) (T1) + 1 (10) (T1)2

2

e1 = 1 (10) (T1)2

2

Para el segundo tramo

Vf = Vi aT

Vf = Vf1 aT

0 = 10 T1 (5) (T2) . Reemplazo (I)

T2 = 2T1 (II)

Como T1 + T2 = 30 .. (a)

T1 + (2T1) = 30 reemplazo II en a

3T1 = 30 T1=10

T2 = 20

Se cumple:

e2 = (Vf1) (T2) 1 (5) (T2) 2

2

e2 = (10 T1) (T2) 1 (5) (T2)2

2 reemplazo (I)

Sumando e2 y e2

e1 + e2 = 10 T1 T2 ( 1 ) (5) T22 + 5T12

2

X = 10 (10) (20) ( 1 ) (5) (20)2 + (5) (10)2

2X = 1500 m

3. Una piedra lanzada en un planeta hacia arriba alcanza 100 m de altura,mientras que lanzada en la Tierra con la misma velocidad alcanza 20 m.Qu distancia recorrer en dicho planeta una piedra soltada de 400 m dealtura en el ltimo segundo de su cada?

Planeta X Vf = 0

h

V1

Para la tierra: Vf2 = V02 2ge 02 = (V1) 2 - 2(g) (100) -- raiz V1 = 20 m/s (I)

hmax = 100 m

Gravedad

+ -

Vf = V1 gt ---- Vi = V1

0 = 20 10 T

T = 2 Seg

Planeta Tierra

Hmax = 20 m

Vf = 0

h

V1

Para el planeta X: Vf2 = V02 2 ge 02 = (V1)2 - 2 (g)

(100) 202 = 2(g) (100) g = 2m/s21er Tramoe = V0t + 1 gt2

2400 X = 0 +1 (2) (T-1)2

2

400 X = (T-1) (I)Vf = V0 + gtV1= 0+(2) (T-1)V1 = 2 (T-1)V1 = 2 (20 1) = 38 m/s

(II)

V0=0

400-x

4. (19) Un mvil recorre la trayectoria mostrada en la figuracon una rapidez constante en el tramo AB y una aceleracin de6m/s2. Con otra rapidez constante en el tramo BC y aceleracinde 5 m/s2. Hallar el tiempo que demora en el recorrido totalABC.

Para AB V = Cte a = 6m/s2

r = 6 m

Para BC

V = Cte

a= 5m/s2

Sabemos: ar = v2 , donde V = velocidad lineal

r

Para AB: V2 = ar * r VAB2 = (6) (6) VAB = 6 m/s

Para BC: V2 = ar * r VBC2 = 5 * 5 VBC = 5 m/s

Sabemos que S = .rPara AB:1) SAB = () ( 6 ) = 6 2) SAB = e = vt 6 = VT1

6 =(6)T1 T1 = Seg

Para BC:

1) SBC = () (5) = 5 2) egvT 5 = 51T1 T2 = Seg

Ttotal = T1 + T2 = 2 Seg

5. (16) Hallar las velocidades V1, y V2. Si lanzadas las partculas simultneamentechocan como muestra la figura.

Para 1

M. Horizontal

e = V T

10 = V1 T (I)

Para 2

M. Horizontal

e = V T

30 = V2 T (II)

VY = 0

Vx

Vx

Vx

Vy

Vy

Vy

En y:

H = V1T + 1 (10) T2

2

180 = 1 (10) T2

2

III en I y II

V1 = 10 = 5 m/s

6 3

V2 = 30 = 5 m/s

6

T = 6 (III)

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