UFRO 2008 Master Fisica Medica 1 2 Modelo del Filamento

G d d R di ió I i tGeneradores de Radiación Ionizante 1.2 Modelo del Filamento

Dr. Willy H. Gerbery

Objetivos: Comprender como los electrones logran abandonar el filamento para ser posteriormente acelerado en el equipo radiológico.

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Electrones de valencia

Electrones de valenciaquasi libres

x

2

“Mar” de Electrones de Valencia no localizados

Cationes metálicos

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Electrones de valencia

En un cupo de LxLxL

L

LL

Su vector de onda es

con nx, ny y nz los estados posibles. Si m es la masa, la emergía será:

3

con h la constante de Planck ( ) )


Espacio estado

En el espacio de estados, estados con igual energía se encuentran distribuidos sobre una esfera:

nz

nnx

ny


Numero de estados

El numero de estados en la esfera de radio n:

en que los n pueden tomar valores entre 0 y el numero de electrones N. Por ello elen que los n pueden tomar valores entre 0 y el numero de electrones N. Por ello el volumen de la esfera debe ser dividido por 1/8:


Espacio estado

Los estados con una energía entre E y E + dE se encuentran entre el espacio estado entre la esfera de radio E y la de radio E + dE:

nz

nynx

6

El numero de estados entre ambas superficies se puede calcular retando del numero total de estados en la esfera de radio E + dE aquellos de la esfera de radio E.


Densidad de estados

Con 2 estados por spin “up” y “down” el numero es:


Probabilidad de que el estado este ocupado

1

La probabilidad de que uno de losestados este ocupado esta dado 1 EF=100kTestados este ocupado esta dado por la función de Fermi:

F(E)F(E)con

E Energía [J]

0

EF=kTEF=2kTEF=10kT

EEFkT

Energía [J]Energía de Fermi [J] Constante de Boltzmann [J/K]Temperatura absoluta [K]

8

0 5E/EF


Energía de Fermi

En el caso extremo de T ‐> 0:

con lo que se puede calcular la energía de Fermi E ya que el numero de electrones encon lo que se puede calcular la energía de Fermi EF ya que el numero de electrones en el cubo de lado L es N [#/m3].


Limites

Situaciones limites


Distribución de electrones

C l t t l l t i d l t dCon la temperatura los electrones comienzan a desplazarse a estados superiores:


Función de trabajo

Fermi

Conducción

Libre

Función de trabajo φ

Afinidad electrónica

x

Fermi

Valencia


Escape de electrones

Condición para abandonar el conductor:

pz

Condición para abandonar el conductor:

γ(p )

Impuso mínimo que debe tener el electrón

γ(pz)

1 ‒ γ(pz)

γ(pz)pzm

Coeficiente de reflexión [‐]Impuso [kg m/s]Masa electrón [kg]

13

EFϕ

Energía de Fermi [J]Función de trabajo [J]


Escape de electrones

Numero de electrones con impulso entre(px,py,pz) y (px + dpx, py + dpy,pz + dpz)



La corriente de electrones es entonces:

o sea

Para calcular la corriente debemos modelar la función de densidad fPara calcular la corriente debemos modelar la función de densidad f



Para obtener la función f se puede recurrir a la densidad de estados Z. La relación entre el impulso y el modo del electrón:

Con el volumen del espacio de fase

y la energía

se obtiene



Pasando del volumen de numero de estados al impulso

Como nos interesa solo la componente en z se procede a integrar en x y y:

Con lo que se obtiene la función densidadCon lo que se obtiene la función densidad



Con

y

se obtiene la integral de la corriente

Lo que nos permite derivar la ecuación de Richardson‐Dushman

con


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