Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j:...
-
Upload
dolores-salazar-dominguez -
Category
Documents
-
view
262 -
download
3
Transcript of Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j:...
![Page 1: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/1.jpg)
Ecuaciones
![Page 2: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/2.jpg)
*Definiciones Fundamentales
![Page 3: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/3.jpg)
Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual
e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro
Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas.También se puede llamar igualdad algebraica.
e.j: x+10=20-12
![Page 4: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/4.jpg)
*Definiciones*Ecuación:
Igualdad que contiene variables.
*Ecuación Lineal:
Ecuación en la cual el exponente de la variable es 1.
*Ecuación Trivial:
Ecuación en la cual aparece la variable despejada (solita) en un lado de la ecuación y en el otro lado aparece una constante (número).
![Page 5: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/5.jpg)
*Definiciones Continuación…
*Solución de una ecuación lineal:
Son los valores de la variable que cuando se sustituyen en una ecuación hacen cierta la misma.
*Resolver la ecuación:
Es hallar el valor de la variable que representa la solución de la ecuación.
![Page 6: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/6.jpg)
*Propiedades de la Igualdad
![Page 7: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/7.jpg)
Para que una ecuación permanezca balanceada…
*Hay que aplicar las propiedades de la igualdad:
Propiedad Aditiva de la Igualdad
Propiedad Multiplicativa de la Igualdad
![Page 8: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/8.jpg)
Propiedad Aditiva
Para todo número a, b, c:
Si a = b, entonces, a + c = b + cEsta propiedad asegura que en una igualdad al sumar una misma cantidad en ambos lados, se obtiene el mismo resultado.
![Page 9: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/9.jpg)
Propiedad Multiplicativa
Para todo número a, b, c,
c 0:
Si a = b, entonces, a . c = b . c
Esta propiedad asegura que en una igualdad al multiplicar una misma cantidad en ambos lados, excepto 0, se obtiene el mismo resultado.
![Page 10: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/10.jpg)
*Propiedad idéntica o reflexivaEstablece que toda cantidad o expresión es igual a si misma.
Ejemplos:
*2a = 2a;
*7 + 8 = 7 + 8;
* x = x
![Page 11: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/11.jpg)
*Propiedad simétrica
Consiste en poder cambiar el orden de los miembros sin que la igualdad se altere.
*Ejemplos:
*Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11
*Si a - b = c, entonces c = a - b
*Si x = y, entonces y = x
![Page 12: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/12.jpg)
Propiedad transitiva
Enuncia que si dos igualdades tienen un miembro en común, los otros dos miembros también son iguales.
*Ejemplos:Si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10, entonces 4 + 6 = 5 + 5
Si x + y = z y a + b = z, entonces x + y = a + b
*Si m = n y n = p, entonces m = p
![Page 13: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/13.jpg)
Propiedad uniforme
Establece que si se aumenta o disminuye la misma cantidad en ambos miembros, la igualdad se conserva.
*Ejemplos:
*Si 2 + 5 = 7, entonces (2 + 5) (3) = (7) (3)
*Si a = b, entonces a + x = b + x
![Page 14: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/14.jpg)
Propiedad cancelativa
Dice que en una igualdad se pueden suprimir dos elementos iguales en ambos miembros y la igualdad no se altera.
*Ejemplos:
*Si (2 x 6) - 4 = 12 - 4, entonces 2 x 6 = 12
*Si a + b = c + b, entonces a = c
*Si (8 / 4) (5) = (2) (5), entonces 8 /4 = 2
![Page 15: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/15.jpg)
* Aplicación de las Propiedades de la Igualdad
![Page 16: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/16.jpg)
*Demostración de proceso para resolver ecuación
Se desea despejar la variable que está en el lado izquierdo.
Se mira lo que acompaña la variable en el lado donde está. En este ejemplo la variable x está acompañada de la suma de 5 y la multiplicación por 2.
Se elimina siempre primero las sumas y restas y después las multiplicaciones y divisiones.
2x + 5 = 11
![Page 17: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/17.jpg)
*Continuación de proceso...
Para eliminar la suma o resta se aplica la propiedad aditiva de la igualdad. Para eliminar la multiplicación o división se aplica la propiedad multiplicativa de la igualdad.Se elimina una operación haciendo la operación
contraria: Se elimina una suma restando
Se elimina una resta sumando
Se elimina una multiplicación dividiendo
Se elimina una división multiplicando.
2x + 5 = 11
![Page 18: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/18.jpg)
*Demostración de proceso...
2x + 5 = 11
2x + 5 – 5 = 11 – 5
2x + 0 = 6
2x = 6
2x = 6
2 2
x = 3
![Page 19: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/19.jpg)
*Otro ejemplo: 6x – 9 = 27
6x – 9 = 27
6x –9 + 9 = 27 + 9
6x + 0 = 36
6x = 36
6 6
x = 6
![Page 20: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/20.jpg)
*Otro ejemplo: 3x – 1 = - 4x + 6
3x – 1 = - 4x + 6
3x –1 + 1 = - 4x + 6 + 1
3x = - 4x + 7
3x + 4x = 4x + - 4x + 7
7x = 7
7 7
x = 1
![Page 21: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/21.jpg)
*Otro ejemplo: 2(x – 8) = 10
2(x – 8) = 10
2x – 16 = 10
2x = 10 + 16
2x = 26
2 2
x = 13
![Page 22: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/22.jpg)
*Ejemplos de Ecuaciones
Lineales en Una Variable
![Page 23: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/23.jpg)
*Ejemplos de Ecuaciones
3x + 5 = 8
-2x - 6y = 12
x2 – 6x + 8 = 25
y3 + 8y2 – 10y = 36
¿Cuáles son lineales?
![Page 24: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/24.jpg)
*Ejemplos de Ecuaciones
3x + 5 = 8
-2x - 6y = 12
x2 – 6x + 8 = 25
y3 + 8y2 – 10y = 36
¿Cuáles son lineales
en una variable?
![Page 25: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/25.jpg)
*Proceso para resolver una
ecuación lineal en una variable
![Page 26: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/26.jpg)
*Para resolver una ecuación lineal…
3x – 7 = 14Hay que convertir la ecuación anterior a la ecuación trivial,
o sea,
hay que despejar la variable en uno de los lados de la ecuación, el izquierdo o el derecho.
![Page 27: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/27.jpg)
*Recordar que...*Una ecuación es como una balanza
de dos platillos…
Lo que se hace en un lado de la ecuación hay que hacerlo en el otro lado para que se mantenga la relación de igualdad.
![Page 28: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/28.jpg)
*Ejemplo:
Si añado 2 en el lado izquierdo
Hay que añadir 2 también, en el lado derecho
![Page 29: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/29.jpg)
*Ecuaciones que contienen fracciones
![Page 30: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/30.jpg)
*Ecuaciones que contienen fracciones
Hay dos tipos de métodos que aplicamos para eliminar las fracciones:
Método de Proporciones
Método de No-Proporciones
![Page 31: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/31.jpg)
![Page 32: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/32.jpg)
*Ecuaciones que contienen fracciones
Método de Proporciones
Aplica cuando es una proporción.
Una proporción es una igualdad entre dos fracciones.
Ejemplos de proporciones: x – 4 = x + 4 3 2
2x – 4 = x + 8
3 5
En una proporción si se multiplica cruzado se obtiene la misma cantidad.
![Page 33: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/33.jpg)
Ecuaciones que contienen fracciones
Método de Proporciones
x – 4 = x + 4
3 2
2 (x – 4) = 3 (x + 4)
2x – 8 = 3x + 12
-12 + -8 = 3x – 2x
-20 = x
Se multiplica cruzado.
![Page 34: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/34.jpg)
Ecuaciones que contienen fracciones
Método de No-Proporciones
Aplica cuando la ecuación no es una proporción.
5 - 2x = 9
3
x + 3 = 2x - 5
4 5 3
![Page 35: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/35.jpg)
Ecuaciones que contienen fracciones
Método de No-Proporciones5 - 2x = 9
35 . 3 - 2x . 3 = 9 . 3
3 115 – 2x = 27-2x = 27 – 15
-2x = 12-2 -2x = -6
Cuando no es una proporción se multiplica cada término por el MCD.
![Page 36: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/36.jpg)
*Reflexión
Ecuación Condicional
Ecuación que tiene una sola solución
(Como todas las anteriores)
Hay ecuaciones especiales que no son condicionales. Veamos...
![Page 37: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/37.jpg)
*Ecuaciones Especiales
![Page 38: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/38.jpg)
*Ecuaciones EspecialesEcuación Identidad
La solución es infinita o la solución son todos los Reales (que es un conjunto infinito).
Ecuación Inconsistente
No tiene solución.
![Page 39: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/39.jpg)
*Ecuación IdentidadEcuación Identidad
2x + 1 = 5x + 1 - 3x
2x + 1 = 2x + 1
2x – 2x = 1 – 1
0 = 0
Solución son todos los números Reales
Enunciado cierto
![Page 40: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/40.jpg)
Ecuación InconsistenteEcuación Inconsistente
2 (3x + 1) = 9x + (3 - 3x)
6x + 2 = 9x + 3 – 3x
6x + 2 = 6x + 3
6x – 6x = 3 – 2
0 = 1
No tiene solución o la solución es el conjunto nulo.
Enunciado falso
![Page 41: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/41.jpg)
Ejercicios de Práctica
![Page 42: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/42.jpg)
*Resuelve las siguientes ecuaciones:
x – 8 = 20 6 = 4 - 5x
x + 4 = 52 3 (x – 4) = 8
3x = 81 16 + x = 3x - 5
-5x = 45 2 (x + 1) = 7 – (x + 3)
2x + 4 = 10 7x + 3 – 9x = 14 – 2x + 5
6 – 4x = -12 5 (x – 2) + 3x = 10x – 2 (x + 5)
![Page 43: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una.](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022012822/5665b4b41a28abb57c9358a8/html5/thumbnails/43.jpg)
Respuestas
x = 28 x = 2/-5
x = 48 x = 20/3
x = 27 x = 21/2
x = -9 x = 2/3
x = 3 No tiene solución
x = 9/2 La solución es todos los Reales