UNAM FI Cónicas · 2019-08-05 · Obtener la ecuación de la canónica o ordinaria a partir de la...

M.I. Víctor Manuel Durán Campos

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Cálculo y Geometría Analítica

CálculoInfinitesimal

Representaciones

Geométricas

Cálculo

Integral

Cálculo

Diferencial

Rapidez de

variación

Cálculo

Multivariables

Vectorial

Funciones y

relaciones

matemáticas

LímiteValor único

VectoresRectas Cónicas

Derivadas

Superficies


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Parábola Circunferencia Elipse Hipérbola


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Ecuación general de segundo grado

2 2 0Ax Cy D y FBxy x E

Presencia de Rotación Presencia de Traslación

1xy

2 21 2 1x y


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Ecuaciones en formato canónico

Se presentan cuando en una curva no existe ni rotación ni traslación con

respecto al origen de coordenadas.

El término canónico se aplica en matemáticas y en especial en geometría

Para indicar que algo (en nuestro caso una curva) es muy obvio, es Decir que

solamente con verlo debe reconocerse.


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Ecuaciones canónicas

Con solo ver la podríamos

asegurar (casi en un 100%)

que es una mujer


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Con solo ver lo podríamos

asegurar que es un hombre


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Con solo verlos podríamos

asegurar que son unos

mari……..


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Ecuaciones canónicas de las curvas cónicas

2 2 2x y r Circunferencia

Elipse

2 2

2 21

x y

a b Hipérbola

2 4y pxParábola

2 2

2 21

x y

a b *

*

*

* Existen dos tipos horizontales y verticales


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Degeneración de las curvas cónicas

2 2 0x y Punto

Vacío (no existe)

2 2x yRectas que se intersectan

2 4x Rectas paralelas

2 2 1x y


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Ecuaciones ordinarias

Son ecuaciones en las que existe una translación de ejes (el centro de la

cónica esta fuera del origen de coordenadas), son muy semejantes a las

canónicas.


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Ecuaciones ordinarias de las curvas cónicas

2 2 2x h y k r Circunferencia

Elipse

2 2

2 21

x h y k

a b

Hipérbola

2

4y k p x h Parábola

2 2

2 21

x h y k

a b

*

*

*

* Existen dos tipos horizontales y verticales


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Identificación de los elementos de una cónica

2 2

2 21

x h y k

a b

a => Semieje (en elipse eje mayor)

b => Semieje (en elipse eje menor)

h => desfase del centro de la curva con el eje X

k => desfase del centro de la curva con el eje Y

Para una elipse si a=b => a igual al radio

ab

h

k

a

b

h

kCentro Centro


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Hipérbola

Asíntotas

( ) ( )b

y k x ha


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Identificación de los elementos de una cónica

2

4x h p y k p => Distancia focal

h => desfase del vértice de la curva con el eje X

k => desfase del vértice de la curva con el eje Y

P

Foco

h

k Vértice

Directriz


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Cónicas horizontales o verticales

Elipse

Horizontal

2 2

2 21

x y

a b

Elipse

Vertical

2 2

2 21

x y

b a

2 2

14 1

x y

2 2

11 4

x y

El mayor da la orientación de la curva


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Cónicas horizontales o verticales

hipérbola

Horizontal

2 2

2 21

x y

a b

hipérbola

Vertical

2 2

2 21

x y

a b

2 2

14 4

x y

El signo da la orientación de la curva

2 2

14 4

x y


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Parábolas: horizontal, vertical y hacia donde abren

Parábola

Horizontal

Que abre hacia

La derecha

2 4x py

2 4y x El signo nos indica para donde abre

Parábola

Horizontal

Que abre

hacia

La izquierda

2 4x py

La variable con exponente de

grado 1 nos indica la orientación

2 4y x El signo nos indica para donde abre




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Parábolas: horizontal, vertical y hacia donde abren

Parábola

vertical

Que abre hacia

La derecha

2 4y px

2 4x y El signo nos indica para donde abre

Parábola

vertical

Que abre

hacia

La izquierda

2 4y px



2 4x y

El signo nos indica para donde abre




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CÓNICAS IDENTIFICACIÓN

Métodos que podemos emplear:

1) Visual (si se tiene la ecuación canónica o la ordinaria)

2) Discriminante

3) Excentricidad


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CÓNICAS IDENTIFICACIÓNMétodo del discriminante:

2 2

Ecuación general de las cuadráticas

0Ax Bxy Cy Dx Ey F

2

2

2

4 0 Tipo Elipse

4 0 Tipo Parábola

4 0 Tipo Hipérbola

B AC

B AC

B AC


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Método de la excentricidad:

2 2 2

2 21

c a b be

a a a

* La excentricidad de una circunferencia es cero (e = 0).

* La excentricidad de una elipse es mayor que cero y menor que 1 (0<e < 1).

* La excentricidad de una parábola es 1(e = 1).

* La excentricidad de una hipérbola es mayor que 1 (e > 1).


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Método de la excentricidad:


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CÓNICAS IDENTIFICACIÓNMétodo visual:

2 2( 1) ( 2)1

9 4

x y

Exponentes

Símbolo (+/-)

Denominador

Termino

Independiente


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1) Verificar grado de los exponentes.

2 29( 1) 4( 2)1 , ,

36 36

x yCircunferencia Elipse hipérbola

X y Y de grado 2:

29( 1) 4( 2)x y parábola

X y Y de grado 1 y la otra del grado 2:


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2) Verificar el símbolo de los componentes de cada variable

2 2( 1) ( 2)1 ,

4 9

x yCircunferencia Elipse

X y Y positivos (o del mismo símbolo)

2 2( 1) ( 2)1

4 9

x yHipérbola

X y Y de símbolos contrarios


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3) Verificar los denominados

2 2( 1) ( 2)1

9 9

x yCircunferencia

denominadores iguales

2 2( 1) ( 2)1

9 4

x yElipse

denominados diferentes


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Obtener la ecuación general a partir de la canónica ordinaria

Ecuación ordinaria de una circunferencia:

(el procedimiento que se empleará como demostración se puede aplicar

a cualquiera de las cónicas).

2 2( 3) ( 5) 4x y

Desarrollando la ecuación anterior (aplicando el concepto de binomio cuadrado

Perfecto):

2 2

2

2 2

2

2

2

2

( )

(

2

( )

) 2

2

a b a ab b

a b a ab

a b a ab

b

b


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2 2( 3) ( 5) 4x y

Desarrollando nuestro ejemplo:

2 2( 10 256 9) )( 4yx x y

Agrupando y acomendando términos:

2 2

2 2

6 10 9 25 4 0

6 10 30 0

x y x y

x y x y


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Obtener la ecuación de la canónica o ordinaria a

partir de la general

Ecuación general:

(Se toma el resultado anterior para comprobar que realmente se había llegado

A la ecuación general de la circunferencia dada).

Aplicando el concepto de completando el binomio cuadrado perfecto:

2 2 6 10 30 0x y x y


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Acomendando términos:

22 1 06 0 30yx x y

Partiendo de la definición del binomio cuadrado:

2 2 2( ) 2a b a ab b

Para los dos casos X y Y nos falta una parte (el término independiente

Para completar el binomio cuadrado)


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Para realizar el proceso de completar empleamos dos variables b1 y b2 :

2 2 2

2 2

2 2 2

1 130 0106 b y y bx x b b


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Analizando la parte del binomio que involucra a la X:

Necesitamos encontrar un número que al ser multiplicado por 2 y por 1 nos de

El valor de -6.

2

1

21 6x x b

2

1

1 1

2

1

1

2 6

?

a

a b

b

2

1 1

1

1

1 1 1

2(1) 6

63

2

a a

b

b


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Para completar el binomio sustituimos el valor de b1:

2 2 2

2 2

2 2 2

1 130 0106 b y y bx x b b

2 2 2

2 2

2 2 230 03 106 3x x b by y


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Aplicando el mismo procedimiento llegaríamos a que el valor de b2 es 5,

Y al sustituirlos en la ecuación de la cónica tendríamos::

2 2 2

2 2

2 2 2

1 130 0106 b y y bx x b b

22 2 22 23 10 35 06 530y yx x


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Sumando términos independientes y sustituyendo los datos por sus

Correspondientes binomios, tenemos:

22

2

2

2 22

23 9 305

4

25

3 5

y

y

x

x


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Identificar elementos a partir de su gráfica

Dada la siguiente gráfica obtener su ecuación ordinaria.


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rotación de una cónica

Si quisiéramos identificar los elementos característicos de una curva rotada,

no lo podríamos realizar de manera visual tan fácil como una curva orientada

con los ejes coordenados.

Por lo cual es necesario realizar el procedimiento llamado rotación de ejes.


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X

Y

U

V

P(X,Y) y P(U,V)

R


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cosX

R

Y

senR

cosU

R

V

senR

cos cosX R Rsen sen

cos sin cosY R Rsen

De la gráfica podemos obtener los siguientes datos y usando la formula de

suma de ángulos tenemos:

X

Y

U

V

R


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coscos U VsenU V

X R RsenR R

coscos V UsenV U

Y R RsenR R

Mezclando ecuaciones y simplificando:

tan 2B

A C

Ángulo de giro:

2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F


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cos

cos

senX U

senY V

Las ecuaciones anteriores también pueden manejarse en formato matricial:

Si se quisiera obtener los valores de U y V se podría obtener la inversa de la

matriz de ángulos y realizar una multiplicación de matrices con el vector

(X,Y).


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(deber ser positivo)

X

Y

UV

2 2 1x xy x

2 2

122

3

u v

Donde:

cos

cos

x u vsen

y usen v


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tan 2B

A C

Ángulo de giro:

2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F

1 1

tan 20 0 0

Ángulo de giro: 1xy

tan 90 tan 2*45

1tan(90) (90) tan (90)ang ArcTan


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cos

cos

x u vsen

y usen v

Ecuaciones de transformación

Sistema XY al UV:

1xy

2 2 2cos 45 45

2

2 2 245 cos

2 2

2

452

2

o

o o

oy

x u vsen

u

u v

sen v u v u

u

v

v

2

2

21

2u u vv


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2

41u vu v

22 2u v

2 2

12 2

u v


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cos

cos

U X Ysen

V Xsen Y

Ecuaciones de transformación del sistema UV al XY:


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2 24 9 36u v

Obtener la curva original si la siguiente curva tiene una ángulo

de rotación de 60 grados.


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3cos 60 60

2 2

360 cos 60

2 2

o o

o o

x yu x ysen

x yv xsen y

Aplicando las ecuaciones de transformación y evaluando:

2 2

3 34 9 36

2 2 2 2

x y x y

Sustituyendo en la ecuación original:


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Desarrollando la ecuación:

2 24 9

3 3 364 4

x y x y

2 2 2 24 92 3 3 3 2 3 36

4 4x xy y x xy y

2 2 2 24 2 3 3 9 3 2 3 144x xy y x xy y

2 2 2 24 8 3 12 27 18 3 9 144x xy y x xy y


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Simplificando:

2 2 2 24 8 3 12 27 18 3 9 144x xy y x xy y

2 231 10 3 21 144x xy y


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Comprobar para la siguiente ecuación general:

2 27 6 3 13 16x xy y

Su ecuación rotada en el sistema UV es:

2 2

14 1

u v


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Comprobar para la siguiente rotada en el sistema UV:

2 27 4 4 240x xy y

Tiene como ecuación general a:

2 2

130 80

u v

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