INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLAHERMOSA

DINAMICAINGENIERIA CIVIL

UNIDAD 1 CINEMATICA DE PARTICULAS

ING. CARLOS RODRIGUEZ JIMENEZ

EMMANUEL ALVAREZ PEREZ

1

1. CINEMTICA DE LA PARTCULA

1.1 Movimiento rectilneo

1.1.1 Posicin en funcin del tiempo

1. La posicin de una partcula que describe una lnea recta queda definida mediante la expresin s= t3/3 9t + 2, donde si t est en s, s resulta en m. De-termine: a) la aceleracin de la partcula cuando su 0 Pvelocidad es de 7 m/s; b) su velocidad media desde t s= 3 hasta t = 6 s. c) Dibuje las grficas tiempo-posi-cin, tiempo-velocidad y tiempo-aceleracin del mo- vimiento de la partcula, durante los primeros seis segundos.

Resolucin

Ecuaciones del movimiento

s 1 t 3 9t 23v ds t 2 9dta dv 2t dt

a) Tiempo en que la velocidad es 7 m/s

7 t 2 9t 2 16t 4

La raz negativa no tiene significacin fsica en este caso.2 Cinemtica de la partcula

Para t = 4

a 24 ;

a 8 m s 2

b)

v s s6 s3 s (m)

m t 3s 1 (6)3 9(6) 2 206 320s (3)3 9(3) 2 161

3 32 3

-16

t (s)

v 20 (16)m 3

; vm

12

m s 6 c) Tabulacin para dibujar las grficas

v (m/s)

27

-9 3 6

t (s)

a (m/s2)

12

6

3 6

t

1.2.1 Movimiento de varias partculas independientes

17Cinemtica de la partcula

17Cinemtica de la partcula

12. Un motociclista arranca del punto A con una aceleracin constante a1 = 2.4 ft/s2 hacia la derecha. Cuatro segundos despus, un automvil pasa por el punto B, situado a 200 ft de A, viajando hacia la izquierda. Sabiendo que la velocidad del automvil es v2 = 30 ft/s y constante, diga en dnde el motociclista encuentra el automvil. Desprecie el tamao de los vehculos.

Resolucin

a1 v2

A 200 ft B

a1 v2

Tomando como origen el punto A, eligiendo un eje xx hacia la derecha y tomando como t = 0 el instante en que arranca el motociclista, las ecuaciones del movimiento son:

Motociclista

A 200 ft B200 ft

x

a1 2.4v1 a1dt 2.4tx1 1

v dt 1.2t 2Las constantes de integracin son nulas.

Automvil

a2 0v2 30

Negativa, porque el sentido es contrario al del eje elegido.

x2 v2dt 30t C

Cuando t 4 ,

x2 200

de los datos, sustituyendo200 30(4) C ; C 320x2 30t 320

El motociclista encuentra el automvil si:

x1 x2

1.2t 2 30t 3201.2t 2 30t 320 0

t 30

302 4(1.2)3202.4

t1 8.06t2 33.1

Sustituyendo t1 en x1

x 1.2(8.06)2 78.11

El motociclista encuentra al automvil a 78.1 ft a la derecha de A.

x A 78.1 ft

1.2.2 Movimiento de varias partculas conectadas

13. El cuerpo A se desplaza hacia abajo conuna velocidad de 8 m/s, la cual aumenta a razn de 4 Dm/s2, mientras B baja a 5 m/s, que disminuye arazn de 10 m/s2. Calcule la magnitud y la direccin tanto de la velocidad como de la aceleracin delcuerpo C. A C

B

Resolucin

Velocidad

DyDyA yB yC

Cuerda que une los cuerpos A y D

l1 yA yDDerivando respecto al tiempo0 vA vD ;

vD vA

(1)

A

vA = 8

aA = 4

B

vB = 5

Cy

aB = 10

Cuerda que une B con C

l2 yB yD yC yD l2 yB yC 2 yD

Derivando respecto al tiempo0 vB vC 2vD

De (1)0 vB vC 2vAvC vB 2vA

(2)

Sustituyendo:

vC 5 2(8) 21

El signo negativo indica que el sentido es contrario al del eje yy

vC 21 m s

Aceleracin

Derivando la ecuacin (2) respecto al tiempo:

aC aB 2aAaC (10) 2(4) 2

aC 2 ms 2

1.3 Movimiento curvilneo

1.3.1 Componentes cartesianas

y

14. Un avin de pruebas describe, inmediata- mente despus de despegar, una trayectoria cuya ecuacin cartesiana es y = 5 (10)-5 x2. Se mueve con- forme la expresin x = 150t + 5t2, donde t est en s, x resulta en m. Determine la posicin, velocidad y aceleracin del avin cuando t = 10 s.

Resolucin

y = 5 (10)-5 x2

x

Las ecuaciones de las componentes horizontales del movimiento son:

x 150t 5t 2v dx 150 10tx dta dv x 10y x dtSustituyendo x en la ecuacin de la trayectoria, seobtienen las ecuaciones de las componentes verticales

y 5 10 5 (150t 5t 2 ) 2

200 m

2010 m

5.7 x

v dy 10 10 5 (150 10t )(150t 5t 2 )y dtdv y 4 2 2

a y 10 (150 10t ) 10(150t 5t )dtPara t = 10 s

2000 m

x 1500 500 2000y 5 105 (2000) 2 200

En forma vectorial:

r 2000i 200 j

m

Escalarmente:

r 2000 2 200 2

tan1

200 ;2000

1 5.7

r 2010 m

5.7

Es la posicin del avin

y vx 150 10(10) 250v 1104 (250)(2000) 50y

Vectorialmente:

255 m/s

11.3

v 250i 50 j

Escalarmente:

m

x v 250 2 50 2

tan 2

50 ;250

2 11.3

v 255 m s

11.3

Es la velocidad del avin

ax 10a 1104 2502 10(2000) 8.25y

Vectorialmente:ya 10i 8.25 j

m 2 s

Escalarmente:

12.96 m/s

39.5

a 10 2 8.252

tan 3

x

8.25 ;10

3 39.5a 12.96 ms 2

39.5

Es la aceleracin del avin cuando t = 10 s

15. La corredera A se mueve dentro de la ranura conforme se eleva el brazo horizontal, que tiene una velocidad constante de 3 in/s. Calcule la velocidad y la aceleracin de la corredera cuando x= 6 in.

Resolucin

Como el brazo se mueve hacia arriba con velocidad constante:

ay 0vy 3

Y, por tanto:

y v y vy dt 3t

6La relacin entre las coordenadas de la posicin est3 establecida por la ecuacin de la trayectoria:A x 1 y 26 6x 1 (3t ) 26

Sustituimos y por el valor en funcin det

x 1.5t 2v x 3txa x 36

Derivando respecto al tiempo

Con las ecuaciones del movimiento a la vista, podemos responder a la pregunta.

Si x = 66 1.5t 2

t 4 2

a raz negativa no tiene significado fsico.

Para t 2

vx 3(2) 6v y 3

v vx

2 v 2 y

6 2 32

6.71

tan 3y 6 26.6

A v 6.71 ins

3

26.6

Para el mismo instante

a x 3a y 0

a 3x6

in s

Problema resuelto 12.1Un bloque de 200 lb descansa sobre un plano horizontal. Determine la magnitud de la fuerza P que se requiere para dar al bloque una aceleracin de 10 ft/s2 hacia la derecha. El coeficiente de friccin cintica entre el bloque y el plano es k=0.25

Solucin:

La masa del bloque es Se tiene que F= kN=0.25N y que a=10ft/s2. Al expresar que las fuerzas que actan sobre el bloque son equivalentes al vector ma, se escribe:

+Fx= P cos 30-.025N=(6.21 lb *s2/ft)(10 ft/s2) P cos 30-.025N=62.1 lb (1)+Fy= N-P sen 30-200 lb= 0(2)

Al resolver (2) para N y sustituir el resultado en (1) se obtiene:P cos 30 - 0.25(P sen 30+200 lb)= 62.1 lb

Problema 12.3Los dos bloques que se muestran empiezan a moverse a partir del reposo. El plano horizontal y la polea no presentan friccin y se supone que la masa de la polea puede ignorarse. Determine la aceleracin de cada bloque y la tensin de cada cuerda.xB= (1/2)xA Al diferenciar 2 veces se tiene que: aB= (1/2) aA (1)Bloque A + Fx=mAaA T1=100aA (2)Bloque BWB=mBg= (300kg) (9.81m/s2) =2940N +Fy=mBaB 2940-T2=300aBAl sust aB de (1), 2940-T2=300(1/2 aA)T2=2940-150A (3)Polea C +Fy=mCaC=0 T2-2T1=0 (4)Al sustituir T1 y T2 en (4)2940-150aA-2(100aA) =02940-350aA=0 AA=8.4m/s2Sustituir aA en (1) y (2)aB=1/2 aA=1/2 (8.4) aB=4.2 m/s2T1=100 aA=100(8.4) T1=840NT2=2T1 T2=2(840) T2=1680N

12.5 Problema resueltoLa plomada de un pndulo de 2m describe un arco de crculo en un plano vertical. Si la tensin de la cuerda en estos puntos es 2.5 veces el peso de la plomada en la posicin que se indica, determine la velocidad y la aceleracin de la ploma da en esa posicin.

SolucinEl peso de la plomada es W=mg; la tensin de la cuerda corresponde consecuentemente a 2.5 mg. Al recordar que an apunta hacia O y suponiendo que se muestra, se aplica la segunda ley de newton y se obtiene

+Ft= mg sen 30=mat At = g sen 30= 4.9 m/s2+Ft= 2.5mg mg cos 30= man An= 1.634 g = 16.03 m/s2

Puesto que an = v2 /p, se tiene v2=p/an = (2m) (13.03 m/s2) V= 5.66 m/s

Problema 12.6

Diagramas

Problema 12.7Un bloque B de masa m se pude deslizar libremente sobre un brazo OA sin friccin, que gira en un plano horizontal a razn constante 0. Si se sabe que B se suelta a una distancia r0 de O, exprese como funcin de r, a) la componente vr de la velocidad B a lo largo de OA, b) la magnitud de la fuerza horizontal F ejercida sobre B por el brazo OAEcuaciones de movimiento+ Fr=mar0=m(r-rd2) (1)+ F=ma F=m (r+2r) (2)a) Componente vr de la velocidadVr=rR=vr=dvr/dt= (dvr/dr) (dr/dt)=vr (dvr/dr)Sustituir r en (1) y recordar que =0Vrdvr=dO2rdrAl multiplicar por 2 e integrar de 0a vr y de r0 a rVr2=dO2 (r2-r02)vr=0 (r2-r02)1/2b) Fuerza horizontal F=0, =0, r=vrSustituir en (2)F=2m0 (r2-r02)1/20F=2md02 (r2-r02)1/2

Problema 12.8Se lanza un satlite en direccin paralela a la superficie de la tierra, con una velocidad de 18,820 mi/hr, desde una altitud de 240 m. Determnese la velocidad del satlite cuando este alcance su mxima altitud de 2340 m. Debe recordarse que el radio de la tierra es 3960 m.

Puesto que el satlite se mueve bajo el efecto de una fuerza central dirigida hacia el centro O de la tierra, su cantidad de movimiento angular Ho es constante. Tenemos: mrvSen =Ho = constanteQue muestra que v es mnima en B, donde tanto r como Sen son mximos. Al expresar la conservacin de la cantidad de movimiento angular entre A y B. RmA vA = rmB vBvB= vA (18,820 mi/hr) vB= 12550 mi/hr